Predavanja iz predmeta Algebarska topologija - Prirodno

I.9. PRIRODNO PODIZANJE ɛA I REDUKOVANA HOMOLOGIJA. GRUPE H0(A) I H0(A)41
Da je ovo tačno vidi se iz (I) i (II) koji slede.
(I) Neka je i0 ∈ {1, . . . , l}, B ∈ An} tako da B ⊆ Si0 i b ∈ Bij(n, B).
[b] = 0. Ako je xi0 = 0 onda iz B = Ui0,j ⊆ Si0 za svako
Ako je xi0 = 0 onda je naravno xi0
j = 1, pi sledi
za svako j = 1, pi te je ponovo xi0
Ako je yi0 = 0 onda je naravno yi0
j = 1, qi sledi
svako s = 1, qi te je ponovo yi0
U svakom slučaju je xi0
[b] = 0.
[b] = 0.
[b] = yi0
〈ui0,j〉 [b] = 0
[b] = 0. Ako je yi0 = 0 onda iz B = Vi0,j ⊆ Si0 za svako
[b] .
〈vi0,s〉 [b] = 0
(II) Ako je i0 ∈ {1, . . . , l} i B ∈ An} tako da je B ⊆ Si0 i b ∈ Bij(n, B). Tada je B ⊆ Si za svako
i ∈ {1, . . . , l} \ {i0} pa je na osnovu dela pod (I)
xi [b] = yi [b] = 0
za svako i ∈ {1, . . . , l} \ {i0}; otuda je
l
⎛
[b]
xi = xi0 [b] + ⎝
i
Iz
l
xi =
i=1
i=1
l
i=1
yi
⎛
[b]
= yi0 [b] + ⎝
i∈{1,...,l}\{i0}
i∈{1,...,l}\{i0}
l
yi sada sledi xi0 [b] = yi0 [b] .
i=1
§
xi
yi
⎞
⎠ [b] = xi0
⎞
⎠ [b] = yi0
[b] + 0 = xi0
[b] + 0 = yi0
Neka je A a-kompleks. Na skupu A definiˇsemo relaciju A, i piˇsemo nadalje “” umesto
toga kad god znamo o kom se a-kompleksu radi, na sledeći način:
ako v, w ∈ A onda v w akko v = w ili postoje n ∈ N i a0, . . . , an ∈ A tako da je a0 =
v, an = w i {ai, ai−1} ∈ A 1} za 1 ≤ i ≤ n.
Jasno je da je ovim definisana relacija ekvivalencije na skupu A. Sa [v] označimo klasu
ekvivalencije temena v ∈ A u odnosu na relaciju . Takod¯e je jasno da je v w akko postoje
n ∈ N0 i A0, . . . , An ∈ A tako da je v ∈ A0, w ∈ An i, ako n > 0, Ai ∩ Ai−1 = ∅ za 1 ≤ i ≤ n.
Ako je A puna relacija A × A (drugim rečima ako je graf A, A 1} povezan) za akompleks
A reći ćemo da je povezan.
Jedno zapaˇzanje: ako su s ∈ A i A ∈ A proizvoljni onda je ili A ⊆ [s] ili A ∩ [s] = ∅; ovo
sledi iz A ⊆ [a] za svako a ∈ A.
[b]
[b]