Predavanja iz predmeta Algebarska topologija - Prirodno

I.11. HOMOLOGIJA KONUSA 49
Slika I.11.32.
Tada je z = hn(x)+fn−1(y) za neko x ∈ Cn(A) i neko y ∈ Cn−1(A). Imamo z−(∂ ′ n+1 ◦ fn)(x) =
hn(x) + fn−1(y) − hn(x) + (fn−1 ◦ ∂n)(x) = fn−1(y + ∂n(x)), tj.
z − (∂ ′ n+1 ◦ fn)(x) = fn−1(c) . . . (∗ ∗ ∗)
za c := y +∂n(x) ∈ Cn−1(A). Takod¯e ∂ ′
′
n z −(∂ n+1 ◦ fn)(x) = ∂ ′ n(z)−(∂ ′ n ◦∂ ′ n+1 )(fn(x)) = 0n−1,B
(jer je z n-cikl a-kompleksa B) pa je zato
0n−1,B = ∂ ′ n (fn−1(c)) =
h0(c) − ɛ(c) 〈w; B〉 ako n = 1, zbog (∗∗);
hn−1(c) − fn−2(∂n−1(c)) ako n > 1, zbog (∗)
tj. h0(c) = ɛ(c) 〈w; B〉 za n = 1, odnosno hn−1(c) = fn−2(∂n−1(c)) za n > 1.
Ako je n > 1 onda iz
- hn−1(c) ∈ Cn−1(A| B) (videti Stav I.8.1 pod (2)),
- fn−2(∂n−1(c)) ∈ (fn−2) → Cn−2(A)
i činjenice da je Cn−1(A| B) ∩ (fn−2) → Cn−2(A) = {0n−1,B}
sledi da je hn−1(c) = 0n−1,B, pa kako je hn−1 monomorfizam to je c = 0n−1,A. Odatle je
fn−1(c) = 0n−1,B odnosno z = ∂ ′ n+1 (fn(x)) ∈ Bn(B) na osnovu (∗ ∗ ∗). Ovim je pokazano da
je Zn(B) = Bn(B) tj. Hn(B) = Hn(B) je trivijalna.
Ako je n = 1 onda iz
- h0(c)([w]) = 0 jer je h0(c) ∈ C0(A|B) i [w] ∈ B 0] \ A 0] i