Predavanja iz predmeta Algebarska topologija - Prirodno

I.8. PRIRODNO UTAPANJE GRUPA LANACA PODKOMPLEKSA: CN(A0|A) 37
Stav I.7.1 Ako je f = (fn : n ∈ N0) C-morfizam iz C-kompleksa G =
(Gn, dn+1) : n ∈ N0 ka
C-kompleksu G ′ = (G ′ n, d ′
n+1) : n ∈ N0 , a g = (gn : n ∈ N0) C-morfizam iz C-kompleksa G ′
=
′ (G n, d ′
′′ ′′
n+1) : n ∈ N0 ka C-kompleksu G = (G n, d ′′
n+1) : n ∈ N0 onda je (gn ◦ fn : n ∈ N0)
C-morfizam iz G ka G ′′ . Pri tom vaˇzi
za svako n ∈ N0.
(gn ◦ fn)⋆ = (gn)⋆ ◦ (fn)⋆
Ako su e, e ′ i e ′′ podizanja C-kompleksa G, G ′ i G ′′ , tim redom, i ako morfizam f poˇstuje e i
e ′ a g poˇstuje e ′ i e ′′ , onda (gn ◦ fn : n ∈ N0) poˇstuje e i e ′′ i pri tom vaˇzi
(gn ◦ fn)⋆,e = (gn)⋆,e ′ ◦ (fn)⋆,e
za svako n ∈ N0 (ˇsto se u svetlu iznad već navedenog svodi na jedini novi podatak da (g0 ◦ f0)⋆,e =
(g0)⋆,e ′ ◦ (f0)⋆,e).
Takod¯e (idGn : n ∈ N0) je C-morfizam iz G ka njemu samom koji poˇstuje e i e i, ako stavimo
tn : df
= idGn za n ∈ N0, imamo (tn)⋆ = id Hn(G) kao i (tn)⋆,e = id Hn,e(G) .
Dokaz. Neka je hn : df
= gn ◦ fn. Da je (hn : n ∈ N0) morfizam, da on poˇstuje e i e ′′ pod
učinjenim pretpostavkama, kao i da je (idGn : n ∈ N0) morfizam koji poˇstuje poˇstuje e i e, stvar
je rutinske provere.
Neka je n ∈ N0 i neka je x ∈ Zn(G). Zbog x ∈ x ⊕ Bn(G), fn(x) ∈ fn(x) ⊕ Bn(G ′ ) i
gn(fn(x)) ∈ gn(fn(x)) ⊕ Bn(G ′′ ) imamo
(gn)⋆ ◦ (fn)⋆ x ⊕ Bn(G)
= (gn)⋆ fn(x) ⊕ Bn(G ′ ) = gn(fn(x)) ⊕ Bn(G ′′ ) = hn(x) ⊕ Bn(G ′′ ) =
= (hn)⋆ x ⊕ Bn(G) .
Dalje ako je x ∈ Zn(G) onda imamo (tn)⋆ x ⊕ Bn(G) = tn(x) ⊕ Bn(G) = x ⊕ Bn(G). Dakle
(tn)⋆ = idHn(G) .
Proveru tačnosti ostatka tvrd¯enja prepuˇstamo čitaocu. ✷
I.8 Prirodno utapanje grupa lanaca podkompleksa: Cn(A0|A)
Neka je A0 ⊆ A podkompleks a-kompleksa A. Tada je (A0) n] ⊆ A n] ; dok su n-lanci kompleksa
A0 po svojoj prirodi nekakve funkcije definisane na skupu (A0) n] , n-lanci kompleksa A su nekakve
funkcije definisane na ˇsirem skupu A n] .
tj.
kao i
Za svako n ∈ N0 definiˇsemo
Cn(A0| A) : df
=
h ∈ Cn(A) : h(x) = 0 za svako x ∈ A n] \ (A0) n]
Cn(A0| A) : df
= h ∈ Cn(A) : support(h) ⊆ (A0) n]