Predavanja iz predmeta Algebarska topologija - Prirodno

I.9. PRIRODNO PODIZANJE ɛA I REDUKOVANA HOMOLOGIJA. GRUPE H0(A) I H0(A)43
Kako za svako x ∈ A i A ∈ A vaˇzi ili A ⊆ [x] ili A ∩ [x] = ∅ to imamo da je
Zato je
c =
k
∂1ci =
i=0
k
i=0
ci
k
mi · 〈si〉 (I.1)
Ako je T0 = ∅ onda je i S0 = ∅ pa moˇzemo izabrati neko s0 ∈ S0 a (I.1) zapisati kao
k
∂1ci =
i=0
i=1
k
mi · 〈si〉
i=0
gde je m0 = 0.
Ako je T0 = ∅ onda je c0 = 0 pa se (I.1) svodi na
U svakom slučaju iz (I.1) sledi
k
∂1ci =
i=1
k
mi · 〈si〉
i=1
∂1ci = mi · 〈si〉
za svako i = 1, k (kao i ∂1c0 = 0 no ovaj podatak nam nije potreban za dokaz tvrd¯enja) obzirom
da vaˇzi
kao i
ako nije ∂1ci = 0 onda je Ti = ∅ i
∂1ci =
l(A) · 〈wA〉 − 〈vA〉 i {vA} ⊆ A ⊆ Si, {wA} ⊆ A ⊆ Si za svako i = 0, k,
A∈Ti
{si} ⊆ Si za i = 1, k
Da privedemo dokaz kraju preostaje samo da se primeti sledeće:
0 = ε(∂1ci) = ε mi · 〈si〉 = mi ε 〈si〉 = mi,
za svako 1 ≤ i ≤ k (na osnovu definicije pojma prirodnog podizanja ε datog a-kompleksa).
Dakle mi = 0 za sve 1 ≤ i ≤ k. Time je dokaz teoreme zavrˇsen. ✷
Dakle ako je a-kompleks A povezan onda je H0(A) ∼ = Z. Ako se A razbija na tačno k ∈ N
klasa relacije onda je H0(A) ∼ = Z × · · · × Z.
k puta
Teorema I.9.2 Ako je A proizvoljan a-kompleks i ako je S ⊆ A proizvoljna transverzala relacije
“A” i a ∈ S proizvoljno, onda je H0(A) slobodna nad skupom S \ {a}. Preciznije:
- ako je A povezan onda je H0(A) trivijalna;
- ako A nije povezan onda je S \{a} neprazan, h : S \{a} → 〈s〉−〈a〉 ⊕B0(A) | s ∈ S \{a} =: Y
definisano sa h(s) = 〈s〉 − 〈a〉 h ∼ = 〈s〉 − 〈a〉 ⊕ B0(A) je bijekcija a Y je baza za H0(A).
Za proizvoljan a-kompleks A vaˇzi H0(A) ∼ = Z × H0(A).