Predavanja iz predmeta Algebarska topologija - Prirodno

I.7. C-KOMPLEKSI 35
I.7 C-kompleksi
I.7.1 Grupe homologije C-komplekasa
Definicija I.7.1 Svaki niz G =
(Gn, dn+1) : n ∈ N0 , gde su Gn, za n ∈ N0, Abelove grupe
a dn : Gn → Gn−1, za n ∈ N, homomorfizmi tako da je dn ◦ dn+1 : Gn+1 → Gn−1 trivijalan
homomorfizam za svako n ∈ N, nazivamo C-kompleks (“chain complex”). ✷
Za Gn kaˇzemo da je grupa n-lanaca C-kompleksa G.
Iz Definicije I.7.1 sledi da je, za n ∈ N, Bn(G) : df
= ran(dn+1) podgrupa grupe Zn(G) : df
=
ker(dn); faktor grupu Hn(G) : df
= ker(dn)/ran(dn+1) nazivamo n-ta grupa homologije C-kompleksa
G. Definiˇsemo i Z0(G) : df
= C0(G) kao i nultu grupu homologije H0(G) : df
= G0/ran(d1) C-kompleksa
G.
Ako je A a-kompleks onda za GA :=
(Cn(A), ∂n+1,A) : n ∈ N0 kaˇzemo da je C-kompleks
lanaca a-kompleksa A. Jasno: Zn(A) = Zn(GA), Bn(A) = Bn(GA) i Hn(A) = Hn(GA) za svako
n ∈ N0.
Definicija I.7.2 Pod podizanjem C-kompleksa G =
(Gn, dn+1) : n ∈ N0 podrazumevamo bilo
koji epimorfizam e : G0 → Z takav da je e ◦ d1 : G1 → Z trivijalan homomorfizam. ✷
Ako je e podizanje C-kompleksa G onda definiˇsemo grupu H0(G) = H0,e(G) : df
= ker(e)/ran(d1)
i stavljamo Hn(G) : df
= Hn(G) za n ∈ N. Ovo su e-redukovane grupe homologije (nulta, prva, druga
itd.) C-kompleksa G.
I.7.2 Morfizmi C-komplekasa
Definicija I.7.3 Pod morfizmom C-komplekasa (skraćeno: C-morfizmom)
iz C-kompleksa G =
(Gn, dn+1) : n ∈ N0
ka C-kompleksu G ′ = (G ′ n, d ′
n+1) : n ∈ N0
podrazumevamo svaki niz (hn : n ∈ N0) homomorfizama hn : Gn → G ′ n za koji vaˇzi d′ n+1 ◦ hn+1 =
hn ◦ dn+1 za svako n ∈ N0. ✷
Definicija I.7.4 Ako su e i e ′ podizanja C-komplekasa G =
′ (Gn, dn+1) : n ∈ N0
i G =
′ (G n, d ′
n+1) : n ∈ N0 , tim redom, za C-morfizam (hn : n ∈ N0) iz G ka G ′ kaˇzemo da poˇstuje
podizanja e i e ′ ako vaˇzi e ′ ◦ h0 = e. ✷
I.7.3 Indukovani homomorfizmi grupa homologija: (hn)⋆
Neka je h = (hn : n ∈ N0) C-morfizam iz C-kompleksa G =
(Gn, dn+1) : n ∈ N0 ka C-kompleksu
G ′ = (G ′ n, d ′
n+1) : n ∈ N0 .
Neka je n ∈ N0 proizvoljno. Ako su x, y ∈ Gn tako da je b := x − y ∈ Bn(G) = ran(dn+1).
Tada imamo b = dn+1(c), za neko c ∈ Gn+1, te je hn(x) − hn(y) = hn(b) = (hn ◦ dn+1)(c) =
d ′ n+1 (hn+1(b)) ∈ Bn(G ′ ). Dakle
i sa
(hn) ⇀ (x ⊕ Bn(G)) ⊆ hn(x) ⊕ Bn(G ′ )
(hn) ⋆ (S) = hn(x) ⊕ Bn(G ′ ), gde je x ∈ S proizvoljno, za S ∈ Gn/Bn(G)