Predavanja iz predmeta Algebarska topologija - Prirodno

More documents

Recommendations

Info

44 DEO I. ALGEBRA: HOMOLOGIJA APSTRAKTNIH KOMPLEKASA Dokaz. Označimo sa 0 := B0(A) neutral za H0(A) pa i za podgrupu H0(A) grupe H0(A). Pretpostavimo najpre da je A povezan a-kompleks. Tada je S = {a} i 〈a〉 ⊕ B0(A) je baza za H0(A). Neka je x ∈ H0(A) proizvoljno. Imamo da je x = c ⊕ B0(A) ∈ H0(A) ⊆ H0(A), za neko c ∈ ker(ɛ), pa je c ⊕ B0(A) = n · 〈a〉 ⊕ B0(A) za neko n ∈ Z, tj. c = n · 〈a〉 + b za neko b ∈ B0(A). Otuda je 0 = ɛ(c) = n + ɛ(b) = n, tj. c = b ∈ B0(A) pa je x = B0(A) = 0. Dakle H0(A) = {0} je trivijalna. Neka sada A nije povezan. Ako je s ∈ S onda je ɛ 〈s〉−〈a〉 = 1−1 = 0 pa je 〈s〉−〈a〉 ∈ ker(ɛ), te 〈s〉 − 〈a〉 ⊕ B0(A) ∈ H0(A). Dakle Y ⊆ H0(A) pa je i Y0 ⊆ H0(A), gde je Y0 podgrupa od H0(A) generisana sa Y . Neka je x ∈ H0(A) proizvoljno. Znamo da je X := 〈s〉 ⊕ B0(A) | s ∈ S baza za H0(A) i da je f : S → X dato sa f(s) = 〈s〉 ⊕ B0(A) bijekcija. Imamo da je x = c ⊕ B0(A) ∈ H0(A), za neko c ∈ ker(ɛ), pa je c ⊕ B0(A) = n = − Dakle c = n · 〈a〉 + n · 〈a〉 + k mi. Otuda je i=1 k i=1 k i=1 x = c ⊕ B0(A) = mi · 〈si〉 ⊕ B0(A), za neke k ∈ N, n ∈ Z, mi ∈ Z i si ∈ S \ {a}. mi · 〈si〉 + b za neko b ∈ B0(A) pa je ɛ(c) = n + k i=1 〈si〉 mi · − 〈a〉 ⊕ B0(A) ∈ Y0. k mi + ɛ(b) tj. Kako je x ∈ H0(A) bilo proizvoljno ovim smo ustanovili da je H0(A) ⊆ Y0, pa zapravo imamo da je H0(A) = Y0. k 〈si〉 Ako je mi · − 〈a〉 ⊕ B0(A) = 0, za neke k ∈ N, n ∈ Z, mi ∈ Z i si ∈ S \ {a} i=1 tako da i = j ⇒ si = sj, onda je n · n = − 〈a〉 ⊕ B0(A) + k i=1 mi · i=1 〈si〉 ⊕ B0(A) = 0, za k mi. f je injekcija pa zbog i = j ⇒ si = sj kao i a = si za 1 ≤ i ≤ k, imamo i=1 i = j ⇒ 〈si〉 ⊕ B0(A) = 〈sj〉 ⊕ B0(A) kao i 〈a〉 ⊕ B0(A) = 〈si〉 ⊕ B0(A) za 1 ≤ i ≤ k. Otuda obzirom da je X baza za H0(A) sledi mi = 0 za 1 ≤ i ≤ k. Ovim je pokazano da je Y baza za Y0 = H0(A). h je injektivno jer je f injektivno i jer 〈t1〉 − 〈a〉 ⊕ B0(A) = 〈t2〉 − 〈a〉 ⊕ B0(A) akko 〈t1〉 ⊕ B0(A) = 〈t2〉 ⊕ B0(A) za svako t1, t2 ∈ A. Jednakost H0(A) ∼ = Z × H0(A) sada direktno sledi: ako je A povezan onda je H0(A) ∼ = Z dok je H0(A) trivijalna, a ako A nije povezan onda je H0(A), respektivno H0(A), Abelova grupa koja je slobodna nad skupom S, respektivno S \ {a}. ✷
I.10. JO ˇ S NEKI PRIMERI 45 I.10 Joˇs neki primeri Neka su T , K i P a-kompleksi simbolički prikazani na Slici I.10.30. Za svako A ∈ T , K, P označimo sa A ′ i A0 a-komplekse prikazane na Slici I.10.31. Slika I.10.30. Slika I.10.31.
Page 1: Algebarska Topologija - Predavanja
Page 4 and 5: 4 SADR ˇ ZAJ III Geometrija: geome
Page 6 and 7: 6 DEO I. ALGEBRA: HOMOLOGIJA APSTRA
Page 8 and 9: 8 DEO I. ALGEBRA: HOMOLOGIJA APSTRA
Page 10 and 11: 10 DEO I. ALGEBRA: HOMOLOGIJA APSTR
Page 64 and 65: 64 DEO II. SKUPOVNO-KOMBINATORNI DE
Page 82 and 83: 82 DEO III. GEOMETRIJA: GEOMETRIJSK
Page 94 and 95:
94 DEO III. GEOMETRIJA: GEOMETRIJSK
Page 96 and 97:
96 DEO III. GEOMETRIJA: GEOMETRIJSK
Page 98 and 99:
98 DEO IV. TOPOLOGIJA: POLIEDRI I T
Page 100 and 101:
100 DEO IV. TOPOLOGIJA: POLIEDRI I
Page 102 and 103:
Page 104 and 105:
Page 106 and 107:
Page 108 and 109:
Page 110 and 111:
Page 112 and 113:
Page 114 and 115:
Page 116 and 117:
Page 118 and 119:
Page 120 and 121:
Page 122 and 123:
122 DEO V. SIMPLICIJALNA HOMOLOGIJA
Page 124 and 125:
Page 126 and 127:
Page 128 and 129:
Page 130 and 131:
show all

Predavanja iz predmeta Algebarska topologija - Prirodno

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?