Predavanja iz predmeta Algebarska topologija - Prirodno

More documents

Recommendations

Info

50 DEO I. ALGEBRA: HOMOLOGIJA APSTRAKTNIH KOMPLEKASA - ɛ(c) 〈w; B〉 ([w]) = ɛ(c) sledi ɛ(c) = 0 pa i h0(c) = 00,B. Sada kao i malopre zaključujemo c = 00,A pa je z = ∂ ′ 2 (f1(x)) ∈ B1(B). Dakle i H1(B) = H1(B) je trivijalna grupa. ✷ Primetimo da je ako je A proizvoljan skup sa bar dva elementa i a ∈ A onda je ⌈A⌉ = Cone a, ⌈A \ {a}⌉ . Otuda je Hm(⌈A⌉) trivijalna grupa za svako m ∈ N0. Teorema I.11.2 Neka je n ∈ N i A proizvoljan skup sa n + 1 elemenata (tj. dim(A) = n). Tada je za k ∈ N0 \ {n − 1} grupa Hk(Bd(A)) je trivijalna dok je Hn−1(Bd(A)) beskonačna ciklična. Ako je v ∈ Bij(n, A) proizvoljno imamo: ∂n(〈v; ⌈A⌉〉) ∈ Zn−1(Bd(A)) za n ≥ 2, odnosno ∂1〈v; ⌈A⌉〉 ∈ ker(ε Bd(A)) za n = 1, i vaˇzi da je Hn−1(Bd(A)) generisana elementom {∂n〈v; ⌈A⌉〉} = ∂n〈v; ⌈A⌉〉 ⊕ Bn−1(Bd(A)) ∈ Hn−1(Bd(A)). Dokaz. Neka je najpre n ≥ 2. Za svako 0 ≤ k ≤ n − 1 vaˇzi Bd(A) k} = ⌈A⌉ k} (Slika I.11.33). Otuda se za svako 0 ≤ k ≤ n − 1 grupa Ck(Bd(A)) poklapa sa grupom Ck(⌈A⌉), za svako 1 ≤ k ≤ n − 1 rubni operator ∂ k,Bd(A) se poklapa sa rubnim operatorom ∂ k,⌈A⌉ a takod¯e je i ɛ Bd(A) = ɛ ⌈A⌉. Zato - za 1 ≤ k ≤ n − 1 grupa Zk(Bd(A)) se poklapa sa Zk(⌈A⌉) a takod¯e je i ker ɛBd(A) = ker ɛ⌈A⌉ ; - za 0 ≤ k ≤ n − 2 grupa Bk(Bd(A)) = ran ∂k+1,Bd(A) se poklapa sa grupom Bk(⌈A⌉) = ran ∂k+1,⌈A⌉ . Prema tome ako je 1 ≤ k ≤ n − 2 onda se grupa Hk(Bd(A)) = Zk(Bd(A))/Bk(Bd(A)) poklapa sa grupom Hk(⌈A⌉) = Zk(⌈A⌉)/Bk(⌈A⌉) koja je trivijalna grupa. Takod¯e, grupa H0(Bd(A)) = ker ɛBd(A) /B0(Bd(A)) poklapa se sa grupom H0(⌈A⌉) = ker ɛ⌈A⌉ /B0(⌈A⌉) pa je i ona trivijalna. Za svako k ≥ n je Bd(A) k} = ∅ pa je Hk(Bd(A)) trivijalna. Ispitajmo strukturu jedine preostale grupe homologije a-kompleksa Bd(A) - grupe Hn−1(Bd(A)). Kako je Cn(Bd(A)) trivijalna to je trivijalna i Bn−1(Bd(A)) pa je (vodimo računa da je n−1 ≥ 1) Hn−1(Bd(A)) = Hn−1(Bd(A)) = Zn−1(Bd(A))/{0 n−1,Bd(A)}. Imamo Zn−1(Bd(A)) = Zn−1(⌈A⌉) = Bn−1(⌈A⌉), jer je Hn−1(⌈A⌉) trivijalna. No ⌈A⌉ n} = {A} pa ako je v ∈ Bij(n, A) proizvoljno onda je {v} n-selektor za ⌈A⌉, te je shodno tome 〈v; ⌈A⌉〉 baza za Cn(⌈A⌉). Otuda jeCn(⌈A⌉) je (beskonačna) ciklična generisana elementom 〈v; ⌈A⌉〉. Zato je Bn−1(⌈A⌉) ciklična, ∂n v; ⌈A⌉ ∈ Bn−1(⌈A⌉) = Zn−1(Bd(A)) i Bn−1(⌈A⌉) je generisana sa ∂n 〈v; ⌈A⌉〉 . Kako je Bn−1(⌈A⌉) podgrupa od Cn−1(⌈A⌉) a ova potonja nema nenula elemente konačnog reda (po samoj definiciji grupalanaca) to ni Bn−1(⌈A⌉) nema nenula elemente konačnog reda. Sada, obzirom da je ∂n 〈v; ⌈A⌉〉 = 0n−1,⌈A⌉, imamo da je Bn−1(⌈A⌉) = Zn−1(Bd(A)) beskonačna ciklična generisana sa ∂n 〈v; ⌈A⌉〉 ∈ Zn−1(Bd(A)). Dakle Zn−1(Bd(A))/{0n−1,Bd(A)} je beskonačna ciklična grupa generisana sa {∂n〈v; ⌈A⌉〉} = ∂n〈v; ⌈A⌉〉 + {0n−1,Bd(A)} = ∂n〈v; ⌈A⌉〉 ⊕ Bn−1(Bd(A)).
I.11. HOMOLOGIJA KONUSA 51 Slučaj n = 1 se razmatra potpuno analogno, pri čemu je sada n−1 = 0 pa je ovde Hn−1(Bd(A)) = ker(ɛ Bd(A))/Bn−1(Bd(A)) gde je i ovde zbog Bd(A) 1} = ∅ grupa Bn−1(Bd(A)) trivijalna . ✷ Slika I.11.33.
Page 1: Algebarska Topologija - Predavanja
Page 4 and 5: 4 SADR ˇ ZAJ III Geometrija: geome
Page 6 and 7: 6 DEO I. ALGEBRA: HOMOLOGIJA APSTRA
Page 8 and 9: 8 DEO I. ALGEBRA: HOMOLOGIJA APSTRA
Page 10 and 11: 10 DEO I. ALGEBRA: HOMOLOGIJA APSTR
Page 64 and 65: 64 DEO II. SKUPOVNO-KOMBINATORNI DE
Page 82 and 83: 82 DEO III. GEOMETRIJA: GEOMETRIJSK
Page 98 and 99: 98 DEO IV. TOPOLOGIJA: POLIEDRI I T
Page 100 and 101:
100 DEO IV. TOPOLOGIJA: POLIEDRI I
Page 102 and 103:
Page 104 and 105:
Page 106 and 107:
Page 108 and 109:
Page 110 and 111:
Page 112 and 113:
Page 114 and 115:
Page 116 and 117:
Page 118 and 119:
Page 120 and 121:
Page 122 and 123:
122 DEO V. SIMPLICIJALNA HOMOLOGIJA
Page 124 and 125:
Page 126 and 127:
Page 128 and 129:
Page 130 and 131:
show all

Predavanja iz predmeta Algebarska topologija - Prirodno

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?