Predavanja iz predmeta Algebarska topologija - Prirodno

I.9. PRIRODNO PODIZANJE ɛA I REDUKOVANA HOMOLOGIJA. GRUPE H0(A) I H0(A)39
〈u; A〉 za svako m ∈ N0 i svako u ∈ (A0) m) . Zato za v ∈ (A0) n+1) imamo
(∂n+1 ◦ in+1) 〈v; A0〉 n+1
= ∂n+1 〈v; A〉 =
= in
n+1
(−1) i 〈v ˆi ; A0〉
i=0
obzirom da je in homomorfizam.
(4) Sledi iz (2) i (3).
(5) Za n = 0 ovo je isto ˇsto i (2). Neka je n > 0.
i=0
(−1) i 〈v ˆi n+1
; A〉 = (−1) i in
i=0
◦
= in ∂n+1 〈v; A0〉 = (in ◦ ∂ ◦ n+1 ) 〈v; A0〉 ,
〈v ˆi ; A0〉 =
(⊆) : Za x ∈ Zn(A0) ⊆ Cn(A0) na osnovu (2) imamo y := in(x) ∈ i → n Cn(A0) = Cn(A0|A) ⊆
Cn(A) i ∂ ◦ n(x) = 0n−1,A0. No ∂n(y) = (∂n ◦ in)(x) = (in−1 ◦ ∂ ◦ n)(x) = in−1(0n−1,A0) = 0n−1,A (jer
je in−1 homomorfizam), tj. y ∈ Zn(A).
(⊇) : Ako je y ∈ Cn(A0|A) ∩ Zn(A) onda je, na osnovu (2), y = in(x) za neko x ∈ Cn(A0).
Takod¯e je ∂n(y) = 0n−1,A. Otuda 0n−1,A = (∂n ◦ in)(x) = (in−1 ◦ ∂◦ n )(x) = in−1(∂◦ n (x)) pa kako je
i in−1(0n−1,A0) = 0n−1,A a in−1 injektivno, to mora biti ∂◦ n (x) = 0n−1,A0, tj. x ∈ Zn(A0). Dakle
y ∈ i→ n Zn(A0).
Jednakost i→ 0 ker(ɛ◦) = C0(A0|A) ∩ ker(ɛ) se utvrd¯uje na sličan način.
(6) i→ n Bn(A0) = i→
◦
n (∂n+1) →Cn+1(A0) = (in ◦ ∂◦ n+1) →Cn+1(A0) = (∂n+1 ◦ in+1) →
Cn+1(A0) =
→ in+1Cn+1(A0) = ∂→ n+1Cn+1(A0|A) ⊆ ∂→ n+1Cn+1(A) ∩ Cn(A0|A) = Bn(A) ∩ Cn(A0|A),
= ∂ → n+1
jer vaˇzi (4). ✷
k
Komentar uz Stav I.8.1. Iz Stava I.8.1 kao i Teorema I.4.1 i I.4.3 proizilazi
j=1
Cn(A0| A) =
mj〈vj; A〉 | k ∈ N; za svako 1 ≤ j ≤ k je mj ∈ Z i vj ∈ Bij(n, Vj) za neko Vj ∈ (A0) n}
,
tj. da je Cn(A0| A) podgrupa od Cn(A) generisana elementima oblika 〈v; A〉 gde je v ∈ Bij(n, A)
za neko A ∈ (A0) n} . Takod¯e, ako je S ⊆ n) n)
A0 ⊆ A n-selektor za a-kompleks A0
onda je
〈v; A〉| v ∈ S baza za Cn(A0| A). ✷
Iz Komentara uz Stav I.8.1 direktno sledi da ako su A1 i A2 podkompleksi a-kompleksa A i
n ∈ N0 proizvoljno onda vaˇzi
A1 ⊆ A2 ⇒ Cn(A1| A) ⊆ Cn(A2| A).
I.9 Prirodno podizanje ɛA i redukovana homologija. Grupe
H0(A) i H0(A)
Neka je A a-kompleks. Definiˇsemo g : A → Z kao konstantno preslikavanje g(a) = 1 za svako
a ∈ A.
Homomorfizam ɛA : C0(A) → Z indukovan preslikavanjem g (videti Teoremu I.4.3) predstavlja
podizanje C-kompleksa lanaca a-kompleksa A:
ako je (a, b) ∈ A 1) imamo (ɛA ◦ ∂1)(〈a, b〉) = ɛA(〈b〉 − 〈a〉) = ɛA(〈b〉) − ɛA(〈a〉) = 1 − 1 = 0; obzirom