Predavanja iz predmeta Algebarska topologija - Prirodno

I.6. NEKOLIKO PRIMERA 29
§
Za n ∈ N jezgro od ∂n označavamo sa Zn(A) : df
= ker(∂n) = {x ∈ Cn(A) | ∂n(x) = 0n−1}.
Takod¯e definiˇsemo i Z0(A) : df
= C0(A).
Za n ∈ N0 elemente grupe Zn(A) nazivamo n-ciklima (jednina: cikl) a-kompleksa A dok za
samu grupu Zn(A) kaˇzemo da je grupa n-ciklova od A. Jasno Zn(A) je podgrupa od Cn(A).
Za n ∈ N0 podgrupu Bn(A) : df
= {∂n+1(x) | x ∈ Cn+1(A)} = ran (∂n+1) grupe Cn(A) nazivamo
grupom n-rubova a-kompleksa A a njene elemente n-rubovima a-kompleksa A. Primetimo da ako
je A n+1} = ∅ onda je Bn(A) = {0n} trivijalna grupa.
Dakle imamo Bn(A) ∪ Zn(A) ⊆ Cn(A) za svako n ∈ N0. Za n = 0 je po definiciji zapravo
Bn(A) ⊆ Zn(A). Da je to slučaj i za n ∈ N sadrˇzaj je narednog stava.
Stav I.5.1 ∂n ◦ ∂n+1 je trivijalan homomorfizam za svako n ∈ N.
Dokaz. Neka je v ∈ An+1) . Imamo
n+1
∂n ◦ ∂n+1(〈v〉) = (−1) i ∂n(〈v ˆi n+1
〉) = (−1) i
⎡
n
⎣
i=0
=
n
n
i=0 j=i
i=0
(−1) i+j 〈(v ˆi ) ˆj 〉 +
j=0
(−1) j 〈(v ˆi ) ˆj 〉
⎤
⎦ =
n+1
n
i=0 j=0
n+1 i−1
(−1) i+j 〈(v ˆi ) ˆj 〉.
i=1 j=0
Primetimo da ako je 0 ≤ i ≤ j ≤ n onda je (v ˆi ) ˆj = (v ˆj+1 ) ˆi . Zato je
n
n
i=0 j=i
(−1) i+j 〈(v ˆi ) ˆj 〉 =
n+1 k−1
=
k=1 s=0
n
n
i=0 j=i
(−1) i+j 〈(v ˆj+1 ) ˆi 〉 =
n
n+1
s=0 k=s+1
(−1) s+k−1 〈(v ˆk ) ˆs n+1 i−1
〉 = − (−1) i+j 〈(v ˆi ) ˆj 〉.
i=1 j=0
(−1) i+j 〈(v ˆi ) ˆj 〉 =
(−1) s+k−1 〈(v ˆk ) ˆs 〉 =
Tvd¯enje je pokazano (imajući u vidu Teoremu I.4.1 kao i činjenicu da je ∂n ◦ ∂n+1 homomorfizam).
✷
Definicija I.5.1 Za n ∈ N0 faktor grupu Hn(A) : df
= Zn(A)/Bn(A) grupe n-cikala nazivamo “n-ta
grupa homologije a-kompleksa A”. ✷
Primetimo da ako je A n+1} = ∅ onda je Hn(A) = Zn(A)/{0n} ∼ = Zn(A).
Ako je n ∈ N0 i x, y ∈ Cn(A) onda za x kaˇzemo da je homologan sa y, i to zapisujemo sa “x h ∼ y”,
ako je x − y ∈ Bn(A). Koristimo i oznaku [x] h ∼ := x ⊕ Bn(A). Dakle Hn(A) = {[x] h ∼ | x ∈ Zn(A)}
je podgrupa grupe Cn(A)/Bn(A) = {[x] h ∼ | x ∈ Cn(A)}.
I.6 Nekoliko primera
Primer I.6.1 Neka je A1 := {a, c}, {a, b}, {b, c}; {a}, {b}, {c} .