Predavanja iz predmeta Algebarska topologija - Prirodno

Sadrˇzaj
I Algebra:
homologija apstraktnih komplekasa 5
I.1 Slobodne Abelove grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.1.1 Kanonska slobodna Abelova grupa nad datim skupom . . . . . . . . . . . . 6
I.2 Abelova grupa AbGrupa(X, P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I.2.1 “Usmerene duˇzi” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.2.2 “Usmereni trouglovi” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I.2.3 Definicija. Elementarne funkcije p a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I.2.4 ˇ Sta bi bio skup X kod nas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
I.3 Apstraktni kompleksi. A p} , A p) i A p] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
I.4 Grupa Cn(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
I.4.1 Alternativno vid¯enje n-lanaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
I.4.2 Lanci 〈v〉. Definisanje homomorfizama na Cp(A) . . . . . . . . . . . . . . . 23
I.5 Definicija grupa homologije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
I.6 Nekoliko primera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
I.7 C-kompleksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
I.7.1 Grupe homologije C-komplekasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
I.7.2 Morfizmi C-komplekasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
I.7.3 Indukovani homomorfizmi grupa homologija: (hn)⋆ . . . . . . . . . . . . . . 35
I.8 Prirodno utapanje grupa lanaca podkompleksa: Cn(A0|A) . . . . . . . . . . . . . . 37
I.9 Prirodno podizanje ɛA i redukovana homologija. Grupe H0(A) i H0(A) . . . . . . . 39
I.10 Joˇs neki primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
I.11 Homologija konusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
I.12 Simplicijalna preslikavanja i indukovani homomorfizmi: fn,♯ i fn,∗ . . . . . . . . . . 52
I.13 Nosači i morfizmi C-komplekasa lanaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
I.13.1 C-homotopija izmed¯u morfizama C-komplekasa . . . . . . . . . . . . . . . . 54
I.13.2 Teorema o acikličnim nosačima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
II Skupovno-kombinatorni deo:
od algebre ka geometriji 63
II.1 Popunjavanje apstraktnog kompleksa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
II.2 Topoloˇska interpretacija grupe H0(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
II.3 Simplicijalne aproksimacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
II.4 Usitnjenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
II.5 Usitnjenja i simplicijalne aproksimacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
II.5.1 Homomorfizam in;A1,J1,A2,J2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
II.5.2 Kad je in;A1,J1,A2,J2 izomorfizam: acikličnost nosača . . . . . . . . . . . . . 71
II.6 F, F, I i usitnjenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
II.6.1 Odnos izmed¯u (F, F, I)-komplekasa i funkcije I . . . . . . . . . . . . . . . . 73
II.6.2 sd-ekstenzori i usitnjenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3