Predavanja iz predmeta Algebarska topologija - Prirodno

I.6. NEKOLIKO PRIMERA 33
Slika I.6.29.
Imamo da je X2 := {σi : i = 1, 6} baza za C2(M), gde je:
σ1 := 〈a0, a1, a4〉, σ2 := 〈a1, a2, a5〉, σ3 := 〈a2, a3, a0〉, σ4 := 〈a0, a5, a2〉, σ5 := 〈a5, a4, a1〉
i σ6 := 〈a4, a3, a0〉.
Takod¯e, X1 := {βi : i = 1, 12} je baza za C1(M), gde je:
β1 := 〈a3, a0〉, β2 := 〈a0, a1〉, β3 := 〈a1, a2〉, β4 := 〈a2, a3〉, β5 := 〈a0, a5〉, β6 := 〈a5, a4〉,
β7 := 〈a4, a3〉, β8 := 〈a1, a4〉, β9 := 〈a2, a5〉, β10 := 〈a0, a4〉, β11 := 〈a1, a5〉, β12 := 〈a2, a0〉.
Računamo najpre H1(M). Neka je x =
00 = ∂x =
12
12
i=1
li · βi ∈ Z1(M), {l1, . . . , l12} ⊆ Z. Tada je
li · ∂βi = (l1 + l12 − l2 − l10 − l5) · 〈a0〉 + (l2 − l8 − l11 − l3) · 〈a1〉+
i=1
+(l3 − l9 − l12 − l4) · 〈a2〉 + (l4 + l7 − l1) · 〈a3〉 + (l10 + l8 + l6 − l7) · 〈a4〉 + (l11 + l9 + l5 − l6) · 〈a5〉.
A ovo vaˇzi akko je (l1, . . . , l12) ∈ Z12 reˇsenje sistema
⎧
⎪⎨
l1 + l12 − l2 − l10 − l5
l2 − l8 − l11 − l3
l3 − l9 − l12 − l4
=
=
=
0
0
0
⎪⎩
l4 + l7 − l1
l10 + l8 + l6 − l7
l11 + l9 + l5 − l6
=
=
=
0
0
0
Matrica ovog homogenog sistema je
⎡
⎢
⎣
1 −1 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 1
0 1 −1 0 0 0 0 −1 0 0 −1 0
0 0 1 −1 0 0 0 0 −1 0 0 −1
−1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 −1 1 0 1 0 0
0 0 0 0 1 −1 0 0 1 0 1 0
gde kolone s leva na desno odgovaraju redom nepoznatima l1, . . . , l12. Nakon niza elementarnih
transformacija V2 + V3 + V4 + V5 + V6 ↦→ V1; (V4, V2, V3, V6, V5) dobija se homogen sistem koji je
ekvivalentan polaznom a ima matricu
⎡
⎢
⎣
−1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 −1 0 0 0 0 −1 0 0 −1 0
0 0 1 −1 0 0 0 0 −1 0 0 −1
0 0 0 0 1 −1 0 0 1 0 1 0
0 0 0 0 0 1 −1 1 0 1 0 0
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦