Predavanja iz predmeta Algebarska topologija - Prirodno

I.6. NEKOLIKO PRIMERA 31
(1) Imamo (∂2 x) [b, d] = 0 ∈ Z i (∂2 x) =
0 =
7
ki(∂2 σi) [b, d] =
i=1
i/∈{1,2}
7
ki∂2 (σi). Dakle
i=1
ki(∂2 σi) [b, d] + k1(∂2 σ1) [b, d] + k2(∂2 σ2) [b, d] =
= k1(∂2 σ1) [b, d] + k2(∂2 σ2) [b, d]
obzirom da (jasno) uvek vaˇzi: “ ∂n〈v0, . . . , vn〉 [w0, . . . , wn−1] = 0 kad god je {v0, . . . , vn} ∈
An} , {w0, . . . , wn−1} ∈ An−1} i {w0, . . . , wn−1} ⊆ {v0, . . . , vn}”. Dakle imamo
0 = k1 〈a, b〉 [b, d] + 〈d, a〉 [b, d]
+ k1〈b, d〉 [b, d] +
+ k2 〈b, c〉 [b, d] + 〈c, d〉 [b, d]
+ k2〈d, b〉 [b, d] = k1 − k2,
tj. k2 = k1.
(2) Skup X1 := 〈d, a〉, 〈d, b〉, 〈d, c〉, 〈e, a〉, 〈e, b〉, 〈e, c〉, 〈a, b〉, 〈b, c〉, 〈c, a〉 je baza Abelove
grupe C1(A3).
Intermeco. Neka je X ⊆ G baza Abelove grupe G = (G, +) i x0 ∈ X. Definiˇsemo πx0,X,G : G → Z
tako da ako je g ∈ G i g =
mx · x, gde je mx ∈ Z za x ∈ X, onda πx0,X,G(g) = mx0. Za
x∈X
πx0,X,G(g) kaˇzemo da je “koordinata od g uz x0 u odnosu na (bazu) X u (Abelovoj) grupi G. Ako
je X i/ili G poznato i fiksirano piˇsemo skraćeno i samo “πx0,X” ili “πx0”. Lako je videti da je πx0
homomorfizam Abelovih grupa G i Z, tj. da vaˇzi
za svako n1, n1 ∈ Z i svako g1, g2 ∈ G. ✷
πx0(n1 · g1 + n2 · g2) = n1 · πx0(g1) + n2 · πx0(g2)
Najpre (nadalje izbacujemo “i” iz donjeg indeksa u “∂i” kad god je iz konteksta jasno o kom
rubnom homomorfizmu je reč)
0 = π 〈d,a〉, X1,C1(A3) (02) = π 〈d,a〉(02) = π 〈d,a〉(∂ x) =
7
i=1
kiπ 〈d,a〉(∂ σi) = k1π 〈d,a〉(∂ σ1)+k3π 〈d,a〉(∂ σ2)
jer je π 〈d,a〉(∂ σi) = 0 za j /∈ {1, 3} prema definiciji homomorfizama “∂i”. Dakle
0 = k1 · π 〈d,a〉 〈a, b〉 + 〈b, d〉 + 1 · 〈d, a〉 + k3 · π 〈d,a〉 〈a, c〉 + 〈c, d〉 + 1 · 〈d, a〉 = k1 + k3,
tj. k3 = −k1.
Slično 0 = π 〈a,b〉(∂ x) = k1 · π 〈a,b〉(∂ σ1) + k4 · π 〈a,b〉(∂ σ4) + k7 · π 〈a,b〉(∂ σ7) = k1 − k4 + k7
primetimo da je π〈a,b〉(∂ σ4) = π 〈a,b〉 〈a, e〉 + 〈e, b〉 + 〈b, a〉 = π〈a,b〉 〈a, e〉 + 〈e, b〉 − 〈a, b〉 = −1 .
Dakle k1 − k4 + k7 = 0.
Iz 0 = π 〈d,c〉(∂ x) sledi 0 = −k3 − k2 (dakle sad već niˇsta novo).
Iz 0 = π 〈e,a〉(∂ x) sledi 0 = −k4 − k6.