Predavanja iz predmeta Algebarska topologija - Prirodno

I.11. HOMOLOGIJA KONUSA 47
dvočlan algebarski nezavisan skup, iz čega će slediti da je H1(T ) ∼ =
Pokaˇzimo da je [α] h , [β] h
∼ ∼
Z × Z. Neka su n, m ∈ Z takvi da je n · [α] h + m · [β] h = [0] h . Ovo znači da je nα + mβ = ∂x
∼ ∼ ∼
za neko x ∈ C2(T ). Sada zbog ∂x = nα + mβ ∈ C1(T0|T ), iz (I.6) sledi da je ∂x = n∂θ, za neko
n ∈ Z, pa je (koristeći se sa (I.8)) nα + mβ = ∂x = 0. A odavde se direktnom proverom dobija da
mora biti n = m = 0.
2) H1(K): na osnovu (I.7) i (I.4) dobijamo da je H1(T ) = n · [α] h ∼ + m · [β] h ∼ : n, m ∈ Z . Neka
su n, m ∈ Z proizvoljni. Koristeći (I.6) i (I.8) imamo
n · [α] h ∼ + m · [β] h ∼ = [0] h ∼ ⇐⇒ ∃x ∈ C2(T ) nα + mβ = ∂x ⇐⇒ ∃k ∈ Z nα + mβ = k · ∂θ
⇐⇒ ∃k ∈ Z nα + mβ = 2k · β ⇐⇒ n = 0 ∧ m ∈ 2Z .
Posmatrajmo f : Z × {0, 1} → H1(K) definisano sa f(n, i) : df
= n · [α] h ∼ + i · [β] h ∼ . Označimo
sa G := Z × Z2 proizvod dotičnih dveju grupa i sa “⊕G” sabiranje u grupi G. Za proizvoljne
(n1, i2), (n2, i2) ∈ Z × {0, 1} postoji neko l ∈ {0, −1} tako da je
f (n1, i2) ⊕G (n2, i2) = f(n1 + n2, i1 +2 i2) = (n1 + n2) · [α] h ∼ + (i1 +2 i2) · [β] h ∼ =
= (n1 +n2)·[α] h ∼ +(i1 +i2)·[β] h ∼
+2l·[β] h ∼ = (n1 +n2)·[α] h ∼ +(i1 +i2)·[β] h ∼ = f(n1, i2)+f(n2, i2) .
Dakle f : G → H1(K) je homomorfizam grupa. Jasno je da je f preslikavanje na. Takod¯e ako je
(n, i) ∈ Z × {0, 1} tako da je f(n, i) = [0] h ∼ onda (kako smo to već pokazali) mora biti n = 0 i
i ∈ 2Z ∩ {1, 0} = {0}. Zato je ker(f) = {(0, 0)} pa je f i monomorfizam. Ovim smo pokazali da je
f : G → H1(K) izomorfizam datih grupa pa je H1(K) ∼ = Z × Z2.
3) H1(P): na osnovu (I.7) i (I.5) dobijamo da je H1(P) = n · [δ] h ∼ : n ∈ Z . Ispitajmo kog je
reda element [δ] h ∼ grupe H1(P). Neka je n ∈ Z takvo da n · [δ] h ∼ = [0] h ∼ . Imamo n · δ = ∂x za neko
x ∈ C2(P). Iz (I.6) sledi da je ∂x = n∂θ, za neko n ∈ Z, pa je (koristeći se sa (I.8)) n · δ = −2n · δ;
odavde imamo 3n · δ = 0, te i n = 0. Dakle [δ] h ∼ je beskonačnog reda pa je H1(P) ∼ = Z.
Prelazimo na izračunavanje grupa H2(A) za A ∈ {T , K, P}; kako je (A) 3} = ∅ to je B2(A) =
{02,A} pa je H2(A) ∼ = Z2(A); na osnovu (I.6) imamo da je Z2(A) ⊆ {n · θ : n ∈ Z}.
Ako je n ∈ Z takvo da je 01,A = ∂2,A(n · θ) = n∂2,A(θ), onda pretpostavka n = 0 povlači da
je element ∂2,A(θ) grupe C1(A) konačnog reda pa mora biti ∂2,A(θ) = 01,A; no ako je A ∈ K, P
onda na osnovu (I.8) imamo ∂2,A(θ) = 01,A pa zaključujemo da je n = 0; dakle Z2(A) = {0 ¯ 2,A }.
Ovim smo pokazali da je H2(A) trivijalna grupa za A ∈ K, P .
Iz ∂2,T θ = 01,T sledi da je Z2(A) = {n · θ : n ∈ Z} pa je H2(T ) ∼ = Z. ✷
I.11 Homologija konusa
Definicija I.11.1 Ako su A i v proizvoljni onda za Cone(v, A) : df
= A ∪ {v} ∪ A| A ∈ A ∪ {∅}
kaˇzemo da je konus nad A sa vrhom v. ✷
Jasno je da ako je A a-kompleks onda je i Cone(v, A) a-kompleks.
Teorema I.11.1 Ako je A a-kompleks i w /∈ A onda je B := Cone(w, A) a-kompleks i pritom
je grupa Hn(B) trivijalna za svako n ∈ N0.
Dokaz. Da je H0(B) trivijalna grupa sledi iz Teoreme I.9.1 i činjenice da je B 1} povezan graf.
(I) - priprema