Predavanja iz predmeta Algebarska topologija - Prirodno

Deo I
Algebra:
homologija apstraktnih
komplekasa
I.1 Slobodne Abelove grupe
Konvencija. Za Abelove grupe G = (G, ◦) koristićemo aditivnu notaciju:¯
- piˇsemo “+” umesto “◦” pa je tako x + y ≡ x ◦ y a −x ≡ x−1 je element suprotan elementu x
(inverz elementa x), za x, y ∈ G;
- za x1, . . . , xn ∈ G, n ∈ N, imamo x1 + · · · + xn ≡ x1 ◦ · · · ◦ xn;
- 0 je oznaka za neutral.
- za x ∈ G i n ∈ N imamo nx = x + · · · + x ≡ x
n puta
n je n-ti stepen elementa x; ako je n ∈ Z negativan
broj imamo nx = (−x) + · · · + (−x) ≡ (x
−n puta
−1 ) −n ; najzad 0x ≡ x0 = 0.
Smatraćemo da je
x = 0. ✷
x∈∅
§
Za X ⊆ G kaˇzemo da je baza Abelove grupe G ako vaˇzi:
za svako z ∈ G postoji jedinstven Xz ⊆ X (koji je za z = 0 prazan skup) i jedinstvena funkcija
mz : Xz → Z \ {0} (koja je za z = 0 jednaka ∅) tako da je
z =
x∈Xz
mz(x)x
Ovo je ekvivalentno konjunkciji sledeća dva uslova:
(Baza 1) za svako z ∈ G postoje k ∈ N i x1, . . . , xk ∈ X, n1, . . . , nk ∈ Z tako da je z =
n1x1 + · · · + nkxk;
(Baza 2) ako su k ∈ N i x1, . . . , xk ∈ X, n1, . . . , nk ∈ Z takvi da je xi = xj ⇐ i = j i
n1x1 + · · · + nkxk = 0, onda je ni = 0 za 1 ≤ i ≤ k.
Ako za X ⊆ G vaˇzi uslov (Baza 2) onda za X kaˇzemo da je algebarski nezavisan podskup
(Abelove) grupe G.
Ako je G trivijalna grupa onda je ∅ (u skladu sa gornjom definicijom) baza za G.
5