Maksvelove jednacine.pdf - KTiOS

Maksvelove jednačine elektromagnetskog polja
1
lim
Zatvorena površinica obuhvata elementarnu zapreminu , a unutar nje se nalazi tačka u kojoj određujemo
gradijent. Uslov 0 treba shvatiti u smislu da najveći “prečnik” zapremine teži nuli, tj. da se zapremina
“skuplja” oko tačke u kojoj se određuje gradijent. Npr, ne može biti tanak valjak konačne visine čiji
poluprečnik teži nuli. Element je po dogovoru usmeren iz površi u polje. Iz definicije (11) se vidi da je
gradijent skalarne funkcije vektorska veličina. Napomenimo da se neka vektorska polja mogu opisati i
podesnom skalarnom veličinom, čiji gradijent daje originalnu vektorsku veličinu u svakoj tački polja.
Može se dokazati da gradijent ne zavisi od oblika zatvorene površinice (dokaz nije prikazan). Ako se uzme
da je mala sfera sa centrom u posmatranoj tački, tada je iz definicione jednačine (11) očigledno da je
vektor u smeru najbržeg porasta veličine u okolini te tačke.
Pomoću definicionog obrasca (11) mogu se izvesti izrazi za gradijent u svim koordinatnim sistemima. Kao
primer, izvešće se izraz za gradijent u Dekartovom pravouglom sistemu. U tom slučaju najpogodnije je
staviti lim , i dalje sledi (videti sliku 8)
1
gde je srednja vrednost funkcije na strani 1 paralelopipeda na slici 8, i slično za , ..., . Sa , i
su obeleženi jedinični vektori (ortovi) osa , i . Pošto je
, i slično za druga dva izraza,
gradijent u Dekartovom koordinatnom sistemu ima oblik
(12)
Odavde se vidi da je skalarna komponenta vektora u pravcu i smeru neke ose jednaka
Slika 8. Uz izvođenje izraza za gradijent, divergenciju i rotor u Dekartovom pravouglom sistemu
Vrlo često se, zbog skraćenja pisanja, uvodi tzv. “nabla” operator
pa se po definiciji piše i
12
(11)
(13)
(14)