Maksvelove jednacine.pdf - KTiOS

Maksvelove jednačine elektromagnetskog polja 

Maksvelove jednačine predstavljaju matematičku formulaciju osnovnih postulata teorije makroskopskog 

elektromagnetskog polja koji u elektromagnetici igraju istu ulogu kao Njutnovi postulati u klasičnoj 

mehanici. Naziv su dobile po škotskom fizičaru Džejmsu Maksvelu koji je 1864. godine objavio prvi put rad 

sa jednačinama koje objašnjavaju elektromagnetske pojave. Kompletan sistem Maksvelovih jednačina sadrži 

četiri jednačine koje povezuju četiri vektora polja , , i , vektor gustine struje i gustinu električnih 

opterećenja . 

Integralni oblik Maksvelovih jednačina elektromagnetskog polja 

Integralni oblik Maksvelovih jednačina elektromagnetskog polja dat je u tabeli koja sledi. 

Naziv jednačine Jednačina 

Gausov zakon (zakon 

električnog fluksa) 

Gausov zakon magnetizma 

(zakon održanja magnetskog 

fluksa) 

Faradejev zakon 

elektromagnetne indukcije 

1 

· 

 

 

· 0 

 

· 

· 

Uopšteni Amperov zakon · 

· 

Ovim jednačinama treba dodati i jednačinu kontinuiteta koja izražava nemogućnost stvaranja ili uništavanja 

električnih opterećenja u makroskopskim razmerama, tzv. zakon održanja električnih opterećenja 

(naelektrisanja). Jednačina kontinuiteta glasi 

U nastavku će biti objašnjene sve ove jednačine. 

Neke korisne relacije: 

·


Značenje simbola i SI merne jedinice pomenutih veličina su dati u sledećoj tabeli. 

Simbol Značenje SI jedinica mere 

Vektor jačine električnog polja 

 

ili 

2 

 

 

 

 

Vektor jačine magnetskog polja 

 

Vektor (di)električnog pomeraja ili vektor električne indukcije ili vektor 

gustine električnog fluksa 

Vektor magnetske indukcije ili vektor gustine magnetskog fluksa ili 

Gustina naelektrisanja (zapreminskog) 

Specifična provodnost materijala 

Gustina električne struje 

Deo površine po kojoj se integrali 

Deo prostora obuhvaćenog zatvorenom površinom 

 

 

 

 

Deo krive koja okružuje površinu 

Permitivnost vakuuma ili (di)električna konstanta vakuuma 

 

8,85419 · 10 

 

Relativna permitivnost dielektrika 

Permitivnost dielektrika ili (di)električna kontstanta dielektrika 

 

Permeabilnost vakuuma ili magnetska konstanta 

 

4 · 10 

 

Relativna permeabilnost 

Permeabilnost (apsolutna) 

Vektor električne polarizacije 

Vektor magnetizacije 

Gausov zakon – zakon električnog fluksa 

Gausov zakon daje zavisnost električnog fluksa koji izvire iz neke zatvorene površine od naelektrisanja koje 

se nalazi unutar te površine. Ime je dobio po nemačkom fizičaru Gausu (Karl Friedrich Gauss, 1777 – 1855). 

Zamislimo da se punktualno električno opterećenje nalazi unutar domena ograničenog proizvoljnom 

zatvorenom površinom (slika 1), čija je pozitivna normala orijentisana napolje. Vektor električnog polja 

uopšte ima različit intenzitet u raznim tačkama površine i različito je orijentisan u odnosu na normalu. Kroz 

svaki element površine vektor stvara elementarni fluks, koji je definasan proizvodom 

cos 

gde je ugao koji vektor zaklapa sa pozitivnom normalom, a projekcija vektora na normalu. 

Slika 1. Uz izvođenje Gausove teoreme


Ako se sa obeleži vektor čiji je intenzitet jednak površini , a pravac i smer mu se poklapaju sa pravcem 

i smerom pozitivne normale na tu površinu, tada se elementarni fluks, koji će se obeležavati sa , može 

pisati u vidu skalarnog proizvoda 

· 

Ukupni izlazni fluks kroz zatvorenu površinu je dat površinskim integralom 

Kako je 

· 

 

1 

4 elementarni fluks dobija oblik 

 

 

4 4 gde je cos projekcija elementarne površine na ravan upravnu na poteg što spaja punktualno 

opterećenje sa elementarnom površinom. Kako je, s druge strane, elementarni telesni ugao Ω, pod kojim se 

vide površine i , definisan odnosom (definicija prostornog ugla) 

 

 

može se pisati 

 

 

4 Ukupni izlazni fluks kroz zatvorenu površinu je, prema tome, 

 

4 

3 

 

 

 

Ovaj izraz predstavlja Gausovu teoremu, izvedenu za slučaj usamljenog punktualnog opterećenja. Izlazni 

fluks vektora jačine električnog polja kroz zatvorenu površinu jednak je količniku električnog opterećenja i 

dielektrične konstante. Vrednost fluksa ne zavisi ni od oblika zatvorene površine, ni od položaja punktualnog 

opterećenja koje je njom obuhvaćeno. 

Ako površina obuhvata proizvoljno lociranih punktualnih opterećenja, ukupni fluks je jednak 

algebarskom zbiru parcijalnih fluksova što ih stvaraju pojedina opterećenja: 

· 1 

 

 

 

 

 

Kada su električna opterećenja kontinualno raspodeljena i njihov raspored određen funkcijom gustine 

naelektrisanja , Gausova teorema se piše u obliku 

· 1 

 

 

 

gde zapreminski integral treba računati po domenu koji obuhvata zatvorena površina S. 

Poslednji izraz predstavlja najopštiju formulaciju Gausove teoreme koja važi za svaki sistem opterećenja u 

vakuumu: izlazni fluks vektora električnog polja kroz proizvoljnu zatvorenu površinu jednak je količniku 

ukupne količine električnih opterećenja, obuhvaćenim tom površinom, i dielektrične konstante.


U slučaju linearnih homogenih dielektrika, permitivnosti , važi relacija 

 

je gustina struje dielektričnog pomeraja u amperima po kvadratnom metru. 

Na osnovu ovoga uopšteni Gausov zakon u integralnom obliku se može pisati 

· 

Ova jednačina je uvršćena u skup Maksvelovih jednačina elektromagnetskog polja. 

 

Ovaj zakon ima mnogo primena koje se uglavnom mogu podeliti u dve grupe. U prvu grupu spadaju 

izračunavanja vektora D i E u izvesnim prostim, ali važnim slučajevima. Ti slučajevi se odlikuju jako 

izraženom simetrijom, koja osigurava da je vektor D u svim tačkama poznatog pravca i smera, ali 

nepoznatog intenziteta u funkciji koordinata. Tada se pomoću uopštenog Gausovog zakona može odrediti 

zavisnost intenziteta od odgovarajuće koordinate. U drugu grupu primena spadaju dokazi izvesnih opštih 

osobina elektrostatičkih polja. 

Gausov zakon se može iskoristiti za dokazivanje da ukoliko unutar Faradejevog kaveza nema naelektrisanja, 

onda unutar kaveza nema ni električnog polja. Odnosno, spoljnje električno polje ne može prodreti u 

Faradejev kavez, već se polje unutar kaveza može stvoriti samo usled naelektrisanja koja se nalaze u njemu. 

Gausov zakon je elektrostatički ekvivalent Amperovog zakona koji se bavi magnetizmom. 

Zakon održanja magnetskog fluksa (Gausov zakon magnetizma) 

Fluks vektora magnetske indukcije se kraće naziva magnetski fluks. To je jedna od najvažnijih veličina u 

teoriji elektromagnetskih polja, i to ne samo kao računska veličina pomoću koje se mogu jednostavno 

formulisati izvesni fundamentalni zakoni, već i kao veličina koja je vrlo lako dostupna direktnom merenju 1 . 

Fluks vektora kroz neku površinu , koja se oslanja na konturu (slika 2), definiše se površinskim 

integralom 

cos, 

 

 

gde je vektor čiji je intenzitet jednak elementarnoj površini , a ima pravac i smer normale na tu 

površinu. Pozitivan smer normale određuje se po pravilu desne zavojnice u odnosu na proizvoljno izabrani 

pozitivan smer obilaženja po konturi. 

Slika 2. Uz izračunavanje magnetskog fluksa kroz površ 

1 Prof. dr Jovan Surutka, “Elektromagnetika”, treće izdanje, Građevinska Knjiga, Beograd 1971, pogl. 13.3.1, str. 336 

4


Fluks vektora podleže veoma važnom zakonu o konzervaciji fluksa koji je jedan od osnovnih zakona 

teorije elektromagnetskih polja. Prema ovom zakonu, izlazni fluks vektora kroz ma koju zatvorenu 

površinu jednak je nuli: 

· 0 

 

Ustvari, ovaj zakon iziskuje princip neprekidnosti linija vektora magnetske indukcije, koje nigde nemaju ni 

početka ni kraja, već se zatvaraju same u sebe. Za razliku od polja vektora elektrostatičke indukcije, polje 

vektora je bezizvorno, što je i razumljivo, s obzirom da u prirodi ne postoje magnetske mase (opterećenja). 

Ispravnost principa neprekidnosti, odnosno zakona o konzervaciji fluksa magnetske indukcije, će se pokazati 

ogledom. Ovaj zakon podjednako važi za homogenu kao i za nehomogenu sredinu, za magnetska polja 

proizvedena makroskopskim električnim strujama kao i za polja permanentnih magneta. Do prve spoznaje o 

neprekidnosti linija magnetske indukcije došlo se na osnovu proučavanja spektara magnetskog polja 

električnih struja u vakuumu, gde se pokazuje u svim slučajevima bez izuzetka da su linije magnetske 

indukcije zatvorene, tj. da nemaju ni početka ni kraja. Ilustracije radi, na slici 3 su prikazani spektri linija 

magnetske indukcije što ih stvaraju struje u tankim provodnicima proste geometrije (prav provodnik, kružna 

kontura, solenoid i torusni namotaj). Imajući u vidu da se, prema današnjim shvatanjima, namagnećenost 

permanentnih magneta i uopšte uticaj magnetika na magnetsko polje objašnjava postojanjem elementarnih 

struja u atomima i molekulima materije, princip neprekidnosti se može uopštiti i na magnetska polja u 

materijalnim sredinama. Naime polazeći od fizički korektne predstave o elementarnim strujama, magnetsko 

polje u materiji se može tretirati kao polje u vakuumu pri čemu uticaj materije treba zameniti uticajem 

unutrašnjih elementarnih struja. 

Slika 3. Spektri linija magnetske indukcije 

Na slici 4 je šematski prikazan ogled kojim se neposredno i na jednostavan način dokazuje važenje principa 

neprekidnosti (odnosno zakon o konzervaciji fluksa) i u slučaju heterogene sredine. Na slici je prikazan 

torusni namotaj sa feromagnetskim jezgrom, koje je na jednom mestu presečeno, tako da postoji vazdušni 

procep male debljine. Ako se probni navoj instrumenta za merenje magnetskog fluksa, fluksmetra 2 , koji 

obuhvata torusni namotaj, pomera duž ose torusa, konstatuje je se da je fluks vektora isti u svim 

presecima, pa i na mestu gde se nalazi vazdušni procep. Apstrahujući malo rasipanje u okolini procepa, 

2 

Princip rada fluksmetra: Prof. dr Jovan Surutka, “Elektromagnetika”, treće izdanje, Građevinska Knjiga, Beograd 1971, 

pogl. 13.3.1, str. 336 

5


proizilazi da magnetska indukcija u jezgru i procepu ima istu vrednost. To znači da linije magnetske 

indukcije prolaze kroz vazdušni procep bez prekidanja i da se zatvaraju same u sebe. 

Faradejev zakon elektromagnetne indukcije 

Slika 4. Fluks vektora meren fluksometrom 

Vremenski promenljiva magnetska polja izazivaju pojavu promenljivih električnih i magnetskih polja. Ova 

uzajamna povezanost vremenski promenljivih električnih i magnetskih polja ukazuje da su električno i 

magnetsko polje dva vida jednog jedinstvenog polja, koje se naziva elektromagnetsko polje. 

Uzajmnu povezanost ovih polja prvi je primetio engleski fizičar Majkl Faradej. On je 1831. godine na 

osnovu niza ekperimenata, otkrio i kvantitativno formulisao zakon elektromagnetske indukcije, jedan od 

osnovnih i najvažnijih zakona elektrodinamike i elektrotehnike. Zanimljivo je da je Faradej do ovog otkrića 

došao skoro slučajno, nastojeći da eksperimentalno dokaže jednu pogrešnu naučnu hipotezu. Neposredno 

posle otkrića Ersteda i Ampera da stacionarna električna struja stvara magnetsko polje, Faradej je pokušao da 

otkrije suprotan efekat, tj. da pomoću stalnog magnetskog polja izazove stacionarnu električnu struju u kolu 

koje prožima magnetsko polje. Poveden ovom idejom, Faradej je konstruisao dva kalema i, postavivši ih u 

neposrednu blizinu, kroz jedan od njih (primar) propuštao jaku jednosmernu struju. Stalno magnetsko polje 

primara, koji je u ovom eksperimentu igrao ulogu elektromagneta, trebalo je, prema očekivanju, da u 

sekundarnom kolu izazove stalnu jednosmernu struju. Iako je očekivani efekat izostao, Faradej je primetio da 

se prilikom uspostavljanja i isključivanja struje u primaru i sekundaru javljaju kratkotrajne prelazne struje 

suprotnog smera. Pojavu ovih tzv. indukovanih struja u sekundaru Faradej je zapazio i prilikom menjanja 

relativnog položaja primara u odnosu na sekundar, pri čemu je struja u primaru-elektromagnetu održavana 

konstantnom. Sličan efekat indukcije u sekundaru zapazio je kada je primar zamenio stalnim magnetom i 

menjao relativni položaj magneta i sekundarnog kola. 

Analizirajući na prvi pogled raznolike okolnosti pod kojima dolazi do pojave elektromagnetne indukcije, 

Faradej dolazi do zaključka da je uzrok indukcije u svim slučajevima promena magnetskog fluksa kroz 

posmatranu provodnu konturu, a da je intenzitet indukovane struje srazmeran brzini promene fluksa. Način 

na koji se ostvaruje ova promena je potpuno irelevantan. Ona može da bude ostvarena menjanjem pobudne 

struje u sistemu koji stvara magnetsko polje, pomeranjem ovog sistema u odnosu na provodnu konturu ili 

deformacijom i pomeranjem konture u nepromenljivom magnetskom polju. U opštem slučaju, promena 

fluksa može nastati i kao rezultat simultanog dejstva dva ili više pobrojanih faktora. Isto tako, promene 

fluksa mogu nastati i zbog promena struje u posmatranoj konturi (samoindukcija). 

Indukovana struja, koja se javlja u zatvorenoj provodnoj konturi prilikom menjanja fluksa, posledica je 

indukovane elektromotorne sile koja postoji i u slučaju kada je kontura prekinuta. S obzirom da Faradej, iako 

genijalni eksperimentator, nije vladao jezikom vektorske analize, on svoj zakon nije iskazivao u 

matematičkoj formi. Nojman je 1845. godine dao matematičku formulaciju Faradejevog zakona, koja glasi: 

6


Indukovana elektromotorna sila (ems) u zatvorenoj konturi je srazmerna negativnom diferencijalnom 

količniku priraštaja magnetskog fluksa i odgovarajućeg priraštaja vremena. Dakle, 

 

 

Znak „minus“ na desnoj strani predstavlja matematički iskaz Lencovog pravila, prema kome indukovana 

struja uvek ima takav smer da svojim poljem teži da spreči promenu fluksa, koja je prouzrokovala indukciju. 

Pri pozitivnim priraštajima fluksa smer indukovane ems je suprotan pozitivnom smeru obilaženja po konturi 

prema kome se određuje algebarski znak fluksa (po pravilu desne zavojnice). 

Prilikom procesa elektromagnetske indukcije u konturi, ili nekim njenim delovima, indukuje se električno 

polje, , čiji je linijski integral, uzet po zatvorenoj konturi, jednak ems, odnosno 

Pošto je 

Faradejev zakon se može pisati u obliku 

· 

 

 

 

· 

 

 

 

Izraz na desnoj strani predstavlja totalni izvod fluksa po vremenu, pri čemu promene fluksa mogu nastati bilo 

zbog promena magnetske indukcije, bilo zbog promena oblika, orijentacije ili položaja konture. 

Lako se može pokazati 3 da se u opštem slučaju totalni izvod fluksa po vremenu može predstaviti u obliku 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gde je brzina pojedinih elemenata konture u odnosu na posmatrača. Prvi član na desnoj strani 

predstavlja brzinu promene fluksa zbog menjanja indukcije , a drugi brzinu promene fluksa zbog pomeraja 

i deformacije konture . 

Prema tome izraz za indukovanu elektromotornu silu u opštem slučaju ima oblik 

· 

 

 

 

(1) 

 

 

 

Prvi član predstavlja indukovanu ems zbog promena magnetske indukcije, a drugi ems kao posledicu 

deformacije i pomeranja provodne konture u magnetskom polju. U specijalnom slučaju, kada je kontura 

nepokretna, a menja se magnetsko polje, može se pisati 

· 

 

 

(2) 

 

 

Kada se kontura kreće u nepromenljivom magnetskom polju, indukovana ems se određuje po formuli 

· 

 

3 Prof. dr Jovan Surutka, “Elektromagnetika”, treće izdanje, Građevinska Knjiga, Beograd 1971, str. 332‐333 

7 

 

 

(3)


Pošto nastaje zbog relativnog kretanja konture u odnosu na sistem koji stvara magnetsko polje, 

elektromagnetska indukcija u ovom drugom slučaju se naziva dinamičkom indukcijom. 

Jačina rezultantnog polja u nekoj tački provodne konture je geometrijski zbir indukovanog polja i polja 

koje potiče od kvazistacionarnih električnih opterećenja. Pošto je linijski integral polja po zatvorenoj 

konturi jednak nuli, polje se u jednačinama (1), (2) i (3) može zameniti rezultantnim poljem . Prema 

tome, jednačina (2) se može pisati u obliku 

· 

· 

 

Ovaj zakon je zajedno sa ostalim zakonima elektromagentizma ugrađen u Makvelove jednačine. 

Uopšteni Amperov zakon 

U fizici, Amperov zakon, koji je otkrio Andre-Mari Amper, opisuje zavisnost kružnog magnetskog polja oko 

električne struje. Ovaj zakon je magnetski ekvivalent Faradejevom zakonu elektromagnetske indukcije. U 

svom izvornom obliku, Amperov zakon povezuje magnetsko polje sa svojim izvorom, gustinom struje . 

Struktura magnetskog polja koje stvaraju električne struje zavisi od geometrijske konfiguracije strujnih 

provodnika i intenziteta struja u njima. Iako, u opštem slučaju, magnetska polja električnih struja mogu 

imati vrlo složenu strukturu, ona se pokoravaju jednom izvanredno jednostavnom integralnom zakonu, 

poznatom pod imenom Amperov zakon o cirkulaciji vektora magnetskog polja. Prema ovom zakonu, koji 

daje najopštiji kvantitativni odnos između magnetskih polja u vakuumu i stacionarnih električnih struja koja 

ta polja prouzrokuju, linijski integral vektora magnetske indukcije po proizvoljnoj zatvorenoj konturi 

(cirkulacija vektora ) je srazmeran algebarskom zbiru struja koje prolaze kroz površinu što se oslanja na 

konturu integraljenja (slika 5), odnosno 

8 

 

 

 

Slika 5. Pozitivan smer proticanja struje se određuje po pravilu desne zavojnice u odnosu 

na proizvoljno izabrani smer obilaženja po konturi 

U slučaju prostornog strujnog polja Amperov zakon se može pisati u obliku


Ovako formulisan Amperov zakon važi bez izuzetka za sva magnetska polja električne struje u slobodnom 

prostoru (vakuumu, vazduhu i materijalnim sredinama sa slabim magnetnim uređenjem, npr. 

paramagneticima), bez obzira na složenost raspodele struje u prostoru i komplikovanost magnetskog polja. 

U drugim sredinama važi uopšteni Amperov zakon koji kaže da je cirkulacija vektora jačine magnetnog polja 

duž zatvorene konture jednaka sumi svih struja koje ta kontura obuhvata. 

Naime, Maksvel je primetio neslaganje Amperovog zakona kada se primeni na punjenje ili pražnjenje 

kondenzatora. Ako površina prolazi između ploča kondenzatora, a ne preko provodnika, onda je 0. To 

je zato što se između ploča kondenzatora nalazi dielektrik, pa tu ne može biti gustine struje. Međutim, 

između ploča kondenzatora važi · 0, 

što je u suprotnosti sa prethodnim zaključkom da između 

 

ploča kondenzatora nema struje. Maksvel je zaključio da Amperov zakon nije potpun. Da bi rešio problem, 

osmislio je koncept struje dielektričnog pomeraja i napravio je opšti oblik Amperovog zakona koji je uvrstio 

u Maksvelove jednačine. Opšti zakon, kako ga je Maksvel ispravio, ima sledeći integralni oblik 

· 

· 

gde je u linearnim sredinama 

gustina struje dielektričnog pomeraja. 

Jednačina kontinuiteta 

 

 

 

Jednačina kontinuiteta izražava nemogućnost stvaranja ili uništavanja električnih opterećenja u 

makroskopskim razmerama, tzv. zakon održanja električnih opterećenja. 

Intenzitet ili jačina električne struje kroz malu ravnu površ definiše se kao odnos količine elektriciteta 

koja prođe kroz površ u intervalu vremena , i tog intervala vremena, 

 

(4) 

 

Jedan od dva moguća smera prolaska kroz površinicu uzima se proizvoljno kao referentni, pa se pozitivno 

naelektrisanje koje kroz prođe u tom smeru uzima kao pozitivno, a ako prođe u suprotnom smeru kao 

negativno. Prema dogovoru, za negativno naelektrisanje važi obrnuto pravilo: kao pozitivno u jednačinu (4) 

ulazi negativno naelektrisanje koje kroz prođe u smeru suprotnom od referentnog. Ovakav dogovor o 

računanju naelektrisanja koje prođe kroz malu površ potekao je iz dva razloga. Sa jedne strane, ako 

posmatramo jednu makroskopsku zatvorenu površ, promena naelektrisanja unutar površi je ista ako neko 

pozitivno nelektrisanje uđe u površ i ako isto toliko negativno naelektrisanje izađe iz površi. Sa druge strane, 

ispostavlja se da su skoro svi efekti koji prate električnu struju nezavisni od znaka nosilaca naelektrisanja, 

zbog čega je i vektor gustine struje definisan tako da ne zavisi ponaosob od (naelektrisanja čestice) i 

(srednje usmerene brzine naelektrisanih čestica), već od njihovog proizvoda. 

Ako je vektor gustine struje definisan kao vektorski zbir 

 

 

 

tada se jačina struje može se napisati preko vektora gustine struje u posmatranoj tački, na sledeći 

način 

· (6) 

9 

(5)


U slučaju makroskopske površi (koja ne mora biti ravna) intenzitet struje se dobija kao zbir intenziteta 

struja oblika (4) ili (6) kroz sve elementarne površinice na koje izdelimo površ . Dakle, 

ili, alternativno 

 

 

· 

Zamislimo sada jednu zatvorenu, nepokretnu površ u strujnom polju. I kroz zatvorenu površ moguće je 

izračunati jačinu električne struje prema obrascima (7) i (8). Neka je domen obuhvaćen površi , a 

gustina naelektrisanja (funkcija koordinata i vremena) unutar . Tada na osnovu jednačine (8) imamo 

š · 

Referentni smer vektorskog elementa zatvorene površi usmereva se uvek, po dogovoru iz površi u polje 

(slika 6). 

Prema zakonu održanja opterećenja imamo da je 

Slika 6. Referentni smer vektorskog elementa zatvorene površi 

 

 

Kombinovanjem jednačina (7), (9) i (10) dobijamo 

 

 

· 

 

 

 

10 

 

 

 

 

 

Ova jednačina se naziva jednačina kontinuiteta. Pošto smo pretpostavili da je površ nepromenljiva u 

vremenu, diferenciranje se može izvršiti po gustini opterećenja . Kako je funkcija i koordinata i vremena, 

pišemo znak parcijalnog diferenciranja, pa na kraju imamo 

· 

 

 

 

 

 

 

(7) 

(8) 

(9) 

(10)

Elementi vektorske analize 


Teorija elektromagnetskog polja koristi neke pojmove i niz identiteta iz vektorske analize koji će biti 

objašnjeni. 

Kaže se da u delu prostora postoji polje neke fizičke veličine ako je u svim tačkama toga domena veličina 

tačno određena podesnom definicijom. Npr, temperaturno polje na površi Zemlje je skup svih vrednosti 

temperatura površi, koje se mogu izmeriti ili izračunati interpolacijom. Za elektromagnetiku su od posebnog 

interesa skalarna i vektorska polja, tj. polja fizičkih veličina koje su skalari, odnosno vektori. Matematički se 

skalarna i vektorska polja opisuju skalarnom, odnosno, vektorskom funkcijom položaja tačke u polju. 

Smatraće se da su te funkcije uvek neprekidne i da su im definisani svi potrebni izvodi. 

Osnovne veličine koje karakterišu skalarno i vektorsko polje jesu: 

• za skalarno polje 

o gradijent skalarne funkcije kojom se opisuje polje, 

• za vektorsko polje: 

o divergencija vektorske veličine kojom se polje opisuje, 

o rotor vektorske veličine kojom se polje opisuje. 

Gradijent 

Gradijent, u vektorskoj analizi, je vektorsko polje koje predstavlja smer najveće promene u skalarnom polju. 

Ako se posmatra soba u kojoj je temperatura data sa skalarnim poljem , tako da je u svakoj tački , , 

temperatura , , (pretpostavka je da se temperatura ne menja sa vremenom). Tada će, u svakoj tački u 

sobi, gradijent u toj tački pokazivati smer u kojem temperatura raste najbrže. Intenzitet gradijenta će odrediti 

kako se brzo temperatura povećava u tom pravcu. 

Gradijent se, takođe, može koristiti za merenje kako se skalarno polje menja u drugim smerovima (a ne samo 

u pravcu najveće promene) korišćenjem skalarnog proizvoda vektora. Ako se posmatra brdo sa najvećim 

nagibom od 40% i ako put ide ravno uzbrdo, tada je najstrmiji nagib, takođe, 40%. Ako, međutim, put ide 

oko brda sa uglom u smeru uspona (vektor gradijenta), tada će imati manji nagib. Na primer, ako je ugao 

između puta i pravca uspona, projektovan na horizontalnu ravan, 60°, tada će najstrmiji nagib, koji se proteže 

duž puta, biti 20%, što se dobilo iz proizvoda 40% · cos 60°. 

Slika 7. Skalarno polje prikazano je crnim i belim područijem, s tim da crna odgovara većim vrednostima, a njegov 

odgovarajući gradijent je predstavljen strelicama. 

Gradijent skalarne funkcije se obeležava sa , a definiše se na sledeći način: 

11


1 

lim 

 

Zatvorena površinica obuhvata elementarnu zapreminu , a unutar nje se nalazi tačka u kojoj određujemo 

gradijent. Uslov 0 treba shvatiti u smislu da najveći “prečnik” zapremine teži nuli, tj. da se zapremina 

“skuplja” oko tačke u kojoj se određuje gradijent. Npr, ne može biti tanak valjak konačne visine čiji 

poluprečnik teži nuli. Element je po dogovoru usmeren iz površi u polje. Iz definicije (11) se vidi da je 

gradijent skalarne funkcije vektorska veličina. Napomenimo da se neka vektorska polja mogu opisati i 

podesnom skalarnom veličinom, čiji gradijent daje originalnu vektorsku veličinu u svakoj tački polja. 

Može se dokazati da gradijent ne zavisi od oblika zatvorene površinice (dokaz nije prikazan). Ako se uzme 

da je mala sfera sa centrom u posmatranoj tački, tada je iz definicione jednačine (11) očigledno da je 

vektor u smeru najbržeg porasta veličine u okolini te tačke. 

Pomoću definicionog obrasca (11) mogu se izvesti izrazi za gradijent u svim koordinatnim sistemima. Kao 

primer, izvešće se izraz za gradijent u Dekartovom pravouglom sistemu. U tom slučaju najpogodnije je 

staviti lim , i dalje sledi (videti sliku 8) 

1 

 

 

 

 

 

gde je srednja vrednost funkcije na strani 1 paralelopipeda na slici 8, i slično za , ..., . Sa , i 

su obeleženi jedinični vektori (ortovi) osa , i . Pošto je 

 

, i slično za druga dva izraza, 

 

gradijent u Dekartovom koordinatnom sistemu ima oblik 

 

 

 

 

(12) 

Odavde se vidi da je skalarna komponenta vektora u pravcu i smeru neke ose jednaka 

 

 

Slika 8. Uz izvođenje izraza za gradijent, divergenciju i rotor u Dekartovom pravouglom sistemu 

Vrlo često se, zbog skraćenja pisanja, uvodi tzv. “nabla” operator 

pa se po definiciji piše i 

12 

 

(11) 

 

 

 

 

(13) 

(14)

Divergencija 


Divergencija vektorske funkcije definiše se relacijom (uz ista ograničenja za mali domen kao u slučaju 

gradijenta) 

1 

 

 

(15) 

 

Iz ove definicije je očigledno da je divergencija vektora u nekoj tački mera onih izvora tog vektorskog polja 

u toj tački koji daju radijalnu komponentu polja. 

U Dekartovom koordinatnom sistemu izraz za divergenciju se dobija na sličan način kao za gradijent (slika 

8). Taj izraz glasi 

 

(16) 

, i su intenziteti vektorskih komponenata vektora u smeru osa , i . Divergencija u 

Dekartovom sistemu se može skraćeno pisati i pomoću nabla operatora 

· (17) 

gde tačka označava “skalarni proizvod” vektorskog operatora nabla i vektora . 

Fizičko značenje pojma divergencije se može lakše razumeti na primeru brzinskog polja tečnosti koja struji. 

Ako je brzina čestica tečnosti, onda površinski integral 

 

 

uzet po nekoj zatvorenoj površini , predstavlja količinu tečnosti (merenu jedinicama zapremine) koja u 

jedinici vremena napusti domen ograničen posmatranom površinom. Ako u domenu ne postoji nijedan izvor 

ili ponor, kroz graničnu površinu domena će isticati upravo onoliko tečnosti koliko uđe, pa će i vrednost 

integrala (18) biti jednaka nuli. U opštem slučaju, kada domen sadrži izvore i ponore, izlazni fluks vektora 

brzine je različit od nule i upravo jednak razlici količina tečnosti koje u jedinici vremena odaju svi izvori i 

prime svi ponori unutar domena. Vrednost integrala (18), kada se izračuna za domen konačne zapremine, 

daje samo sumaran podatak o količini tečnosti koja nastaje ili nestaje u posmatranom domenu, ali se na 

osnovu ovog podatka ne može ništa pobliže zaključiti o raspodeli i izdašnosti izvora i ponora. Međutim, ako 

se integral (18) izračuna za elementarni domen čija zapremina teži nuli i dobijeni rezultat podeli sa ovom 

zapreminom, dobije se mera izdašnosti izvora u posmatranoj tački, tj. količina tečnosti, svedena na jedinicu 

zapremine, koju ovi izvori odaju u jedinici vremena. Prema tome, divergencija vektora brzine nije ništa 

drugo do mera izdašnosti izvora, odnosno ponora, u posmatranoj tački brzinskog polja. U onim tačkama 

polja u kojima nema izvora ili ponora divergencija mora biti jednaka nuli. 

Po analogiji sa hidromehaničkim pojavama, pozitivna električna opterećenja možemo smatrati “izvorima” 

linija električnog polja, a negativna njihovim “ponorima”. Linije električnog polja u vakuumu počinju na 

pozitivnim, a završavaju na negativnim električnim opterećenjima. U onim domenima gde ne postoje 

nikakva električna operećenja linije električnog polja su neprekinute, što se matematički iskazuje relacijom 

0 

Ovaj zaključak o neprekidnosti linija električnog polja važi samo za polja u vakuumu. 

13 

(18)

Rotor 


U vektorskoj analizi, rotor je vektorski operator koji pokazuje “učestalost rotacije“ vektorskog polja, 

odnosno, pravac ose rotacije i intenzitet rotacije. Može se opisati i kao gustina cirkulacije (termini “rotacija” 

i “cirkulacija” su korišćeni kao objašnjenje osobina vektorske funkcije pozicije, uprkos njihovoj mogućoj 

promenljivosti u vremenu). 

Vektorsko polje koje ima rotor jednak nuli naziva se nevrtložno vektorsko polje. 

Rotor vektorske veličine definiše se relacijom 

1 

 

 

(19) 

 

Iz ove definicije se može zaključiti da je mera onih izvora vektora u posmatranoj tački koji stvaraju 

vrtložnu komponentu vektora . 

Pomoću slike 8 se dolazi do zaključka da definicija rotora (19) daje u Dekartovom sistemu izraz za rotor 

 

 

 

(20) 

 

što se pomoću nabla operatora može napisati u obliku 

(21) 

Poređenjem jednačina (11), (15) i (18) sa jednačinama (14), (17) i (21) dolazimo do zaključka da je moguće 

definisati generalisani operator nabla, 

1 

 

 

a gradijent, divergenciju i rotor obeležavati sa V, · i , ne ograničavajući se pri tome na Dekartov 

pravougli koordinatni sistem. 

Neke teoreme i identiteti vektorske analize 

Iz definicija gradijenta (11), divergencije (15) i rotora (19) slede skoro direktno tri veoma korisne teoreme 

vektorske analize. Kao prvo, pomožimo jednačinu (11) sa i primenimo je na sve male zapremine na 

koje smo izdelili proizvoljnu zapreminu konačne veličine. Imajući u vidu da je, po definiciji, element 

svih zatvorenih površinica orijentisan iz površinica u polje, sabiranjem tako dobijenih jednačina nalazimo da 

je 

 

 

Na sasvim sličan način, iz jednačine (5) sledi veoma važna teorema Gaus-Ostrogradskog, 

a iz jednačine (8) identitet 

· 

 

14 

 

 

 

(22) 

(23) 

(24)


 

 

Da bismo dokazali još jednu važnu teoremu vektorske analize, tzv. Stoksovu teoremu, zamislimo prvo da je 

elementarna zapremina u jednačini (19) oblika pljosnatog valjka (slika 9). Obeležimo ort spoljašnje normale 

na jednu osnovu valjka sa , površinu osnove sa ∆, a visinu (debljinu) valjka sa . 

Slika 9. Uz izvođenje Stoksove teoreme i izraza za komponentu · vektora . 

Po dogovoru, orijentacija konture i normale na površ koju kontura ograničava povezani su po pravilu desne strane 

Množenjem leve i desne strane tako modifikovane jednačine (19) skalarno sa dobijamo 

1 

· lim 

∆ ∆ · 

1 

lim 

∆ ∆ 

 

· 

 

Na osnovicama valjka su vektori i paralelni, pa im je vektorski proizvod nula. Na omotaču valjka je 

, gde je element konture koja ograničava osnovu valjka (npr. gornju, slika 9). Tako se 

dobija 

1 

· lim 

∆ ∆ · 

(26) 

 

Ovaj izraz predstavlja alternativu definiciji rotora, preciznije, definiciju komponente vektora u pravcu i 

smeru proizvoljnog orta . Važno je uočiti da je smer obilaska konture povezan sa normalom na površ 

koju kontura ograničava po pravilu desne zavojnice (slika 9), a u skladu sa dogovorom koga se uvek držimo. 

Zamislimo sada proizvoljnu otvorenu površ ograničenu konturom . Izdelimo površ na elementarne 

površinice ograničene konturama . Napišimo jednačine oblika (26) za sve te površinice, pomnožimo ih 

sa , pa te jednačine saberimo. Imajući u vidu da je orijentacija elemenata susednih kontura suprotna i da je 

, dobijamo 

Ova jednačina se naziva Stoksova teorema. 

· · 

 

Na osnovu do sada dobijenih rezultata moguće je definisati niz operacija nad skalarnim i vektorskim 

funkcijama, kao i dokazati veći broj vrlo korisnih identiteta. Na primer, moguće je računati divergenciju 

rotora neke vektorske funkcije, tj. . Prema teoremi Gaus-Ostrogradskog imamo prvo identitet 

15 

 

 

(25) 

(27)


· 0 

 

pošto se zatvorena površ može zamisliti kao otvorena površ sa beskonačno malom konturom kao 

granicom, pa primeniti Stoksova teorema (27). Pošto gornja jednačina mora važiti za svaku zapreminu , 

sledi da je integrand jednak nuli. Tako dolazimo do korisnog identiteta 

16 

 

0 (28) 

Na kraju, zamenimo u Stoksovoj teoremi (27) sa . Pošto je · ⁄ 

, 

desna strana jednačine (27) u tome slučaju je nula. Ovaj zaključak važi za svaku površ koja se oslanja na 

konturu , pa mora biti 

0 (29)


Diferencijalni oblik Maksvelovih jednačina elektromagnetskog polja 

Pomoću gore izvedenih teorema moguće je integralne jednačine polja transformisati u diferencijalne. 

Na Gausov zakon električnog fluksa koji u integralnom obliku glasi 

· 

primenimo teoremu Gaus-Ostrogradskog na levu stranu jednačine i dobijamo 

odnosno 

 

 

Na Gausov zakon magnetizma koji u integralnom obliku glasi 

 

17 

 

 

(30) 

· 0 

 

primenimo teoremu Gaus-Ostrogradskog na levu stranu jednačine i dobijamo 

odnosno 

0 

Ako na Faradejev zakon elektromagnetne indukcije koji glasi 

 

0 (31) 

· 

· 

primenimo Stoksovu teoremu na levu stranu jednačine dobijamo 

 

· 

Pošto ova jednačina važi za svaku površ , dobijamo da je 

 

 

 

· 

 

 

 

Na analogan način se transformiše uopšteni Amperov zakon koji u integralnom obliku glasi 

Primenom Stoksove teoreme dobijamo 

· 

· 

 

 

(32)

odnosno 


· 

 

 

· 

 

 

 

Pored ovih jednačina, transformišimo i jednačinu kontinuiteta koja u integralnom obliku glasi 

· 

 

tako što ćemo primeniti teoremu Gaus-Ostrogradskog na levu stranu i dobiti 

odnosno 

 

 

 

18 

 

 

 

 

 

 

Integralni i diferencijalni oblik Makvelovih jednačina, kao i jednačine kontinuiteta su dati u sledećoj tabeli. 

Naziv jednačine Integralni oblik Diferencijalni oblik 

Gausov zakon (zakon 

električnog fluksa) 

Gausov zakon magnetizma 

(zakon održanja magnetskog 

fluksa) 

Faradejev zakon 

elektromagnetne indukcije 

· 

 

 

· 0 

 

· 

· 

Uopšteni Amperov zakon · 

· 

Jednačina kontinuiteta · 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 

 

 

 

 

 

 

(33) 

(34)

Literatura 


1. Prof. Dr Branko Popović, “Osnovi elektrotehnike I”, četvrto izdanje, Građevinska knjiga, Beograd, 

1982. 

2. Prof. Dr Branko Popović, “Osnovi elektrotehnike II”, drugo izdanje, Građevinska knjiga, Beograd, 1981. 

3. Prof. Dr Branko Popović, “Elektromagnetika”, četvrto izdanje, Građevinska knjiga, Beograd, 1990. 

4. Prof. dr Jovan Surutka, “Elektromagnetika”, treće izdanje, Građevinska Knjiga, Beograd, 1971. 

5. Daniel Fleisch, “A student’s Guide to Maxwell’s Equations”, Cambridge University Press, 2008. 

6. http://sr.wikipedia.org 

7. http://sh.wikipedia.org 

8. http://en.wikipedia.org 

9. www.fizika.info 

10. www.pmf.ac.me 

Animacije 

1. http://phet.colorado.edu/simulations/index.php?cat=All_Sims 

2. http://phet.colorado.edu/simulations/sims.php?sim=Faradays_Electromagnetic_Lab 

3. http://phet.colorado.edu/simulations/sims.php?sim=Faradays_Law 

4. http://phet.colorado.edu/simulations/sims.php?sim=Radio_Waves_and_Electromagnetic_Fields 

5. http://webphysics.davidson.edu/physlet_resources/bu_semester2/menu_semester2.html 

6. http://courses.science.fau.edu/~rjordan/phy2044/rev_notes.htm 

19

Maksvelove jednacine.pdf - KTiOS

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?