Matematická analýza 1a - Atrey

Matematická anal´yza 1a
doc. RNDr. Bohumír Opic, DrSc. (opic@karlin.mff.cuni.cz)

Martina Bekrová 13. února 2012
Obsah
1 Základní pojmy z matematické logiky 4
1.1 Logické spojky (funktory) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 V´yrokové formy (funkce) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Kvantifikátory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Matematické věty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Mnoˇziny 6
2.1 Značení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Binární relace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Zobrazení (funkce) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Mnoˇzina reáln´ych čísel 8
4 D˚usledky axiomu suprema 10
5 Komplexní čísla, reálná funkce, mohutnost, posloupnosti 14
5.1 Intervaly v R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.2 Mnoˇzina komplexních čísel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.3 Reálná funkce reálné proměnné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.4 Mohutnost mnoˇzin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.5 Posloupnosti reáln´ych čísel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6 Posloupnosti, limity posloupností 16
6.1 Vlastní limity posloupností . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7 Vlastní limity posloupností 20
7.1 Vztah uspoˇrádání a limity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8 Nevlastní limita posloupnosti, monotónní posloupnosti 22
8.1 Nevlastní limita posloupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8.2 Monotónní posloupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9 Limes superior, limes inferior 26
9.1 Intervaly v R ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
10 Posloupnosti, číselné ˇrady 30
10.1 Číselné ˇrady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
10.2 ˇ Rady s nezáporn´ymi členy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
11 Podílové, odmocninové a kondenzační kritérium 32
12 Dalˇsí kritéria konvergence ˇrad 34
12.1 Reálná funkce (jedné) reálné proměnné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
12.1.1 Okolí bodu a s poloměrem δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
13 Limity reáln´ych funkcí 36
13.1 Věty o funkcích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
14 Sloˇzená funkce a spojitost 40
14.1 Funkce spojité na intervalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
15 Spojitost 42
16 Elementární funkce, exponenciela a logaritmus 46
2

Martina Bekrová 13. února 2012
17 Goniometrické a cyklometrické funkce 50
17.1 Goniometrické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
17.2 Cyklometrické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
18 Hyperbolické funkce, derivace 52
18.1 Hyperbolické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
18.2 Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
18.2.1 Geometrick´y v´yznam derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
18.2.2 Fyzikální v´yznam derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
19 Derivace sloˇzené a inverzní funkce, derivace vyˇsˇsích ˇrád˚u 54
20 Diferenciál a extrémy 58
21 Derivace a monotonnie, limity derivací 62
22 Konvexnost a konkávnost 64
23 Konvexnost, konkávnost a inflexe 68
3

Martina Bekrová 13. února 2012
1 Základní pojmy z matematické logiky
Def. 1.1: V´yrok je tvrzení, o němˇz má smysl ˇríci, zda je nebo není pravdivé.
1.1 Logické spojky (funktory)
Def. 1.2: Negací v´yroku V (¬V , nonV ) je v´yrok, kter´y je pravdiv´y, jestliˇze V neplatí, a nepravdiv´y,
jestliˇze V platí.
Def. 1.3:
V ¬V
1 0
0 1
• Konjunkce dvou v´yrok˚u V a W (V ∧ W ) je v´yrok, kter´y je pravdiv´y právě tehdy, kdyˇz
oba v´yroky jsou pravdivé.
• Disjunkce dvou v´yrok˚u V a W (V ∨ W ) je v´yrok, kter´y je nepravdiv´y právě tehdy, kdyˇz
oba v´yroky jsou nepravdivé.
• Implikace dvou v´yrok˚u V (premisa) a W (závěr) (V ⇒ W ) je v´yrok, kter´y je nepravdiv´y
právě tehdy, kdyˇz v´yrok V je pravdiv´y a v´yrok W je nepravdiv´y.
• Ekvivalence dvou v´yrok˚u V a W (V ⇔ W ) je v´yrok, kter´y je pravdiv´y právě tehdy, kdyˇz
oba v´yroky mají stejnou pravdivostní hodnotu.
1.2 V´yrokové formy (funkce)
V W V ∧ W V ∨ W V ⇒ W V ⇔ W
1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0
0 1 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1
Def. 1.4: V´yroková forma (V (x1, x2, . . . , xn)) je v´yraz, kter´y se stane v´yrokem, dosadíme-li za
hodnoty x1, x2, . . . , xn hodnoty z dan´ych mnoˇzin.
1.3 Kvantifikátory
Def. 1.5: Symbol ∀ naz´yváme obecn´ym (velk´ym) kvantifikátorem.
Def. 1.6: Symbol ∃ naz´yváme existenčním (mal´ym) kvantifikátorem.
V obecném pˇrípadě nelze měnit poˇradí kvantifikátor˚u aniˇz by se nezměnil v´yrok.
∃! – existuje právě jeden
1.4 Matematické věty
– pˇredpoklady a závěr
D˚ukaz = posloupnost správn´ych logick´ych úvah, které s vyuˇzitím dan´ych pˇredpoklad˚u a vět jiˇz dokázan´ych
vedou k danému závěru.
(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A) = A ⇔ B
• pˇrím´y d˚ukaz
• nepˇrím´y d˚ukaz – vyuˇzití ekvivalence:
A ⇒ C1 ⇒ C2 ⇒ . . . ⇒ Cn ⇒ B
(A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A)
4

Martina Bekrová 13. února 2012
• d˚ukaz sporem
• d˚ukaz matematickou indukcí
1. V (1) = pravdiv´y v´yrok
2. ∀n ∈ N : (V (n) ⇒ V (n + 1))
D˚ukaz binomické věty matematickou indukcí
viz. poznámky
A ⇒ B . . . pˇredpokládáme (A ∧ ¬B) ⇒ C (nepravdiv´y v´yrok)
∀n ∈ N : V (n) (napˇr.)
5

Martina Bekrová 13. února 2012
2 Mnoˇziny
naivní pˇredstava: mnoˇzina = souhrn objekt˚u, které mají jistou vlastnost
2.1 Značení
x ∈ M ∨ x /∈ M
A ⊂ B (x ∈ A) ⇒ (x ∈ B)
A = B (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A)
A ∪ B := {x; x ∈ A ∨ x ∈ B}
i∈I Ai := {x; ∃i ∈ I : x ∈ Ai}
A ∩ B := {x; x ∈ A ∧ x ∈ B}
i∈I Ai := {x; ∀i ∈ I : x ∈ Ai}
A \ B := {x; x ∈ A ∧ x /∈ B}
Pro operace ∪, ∩ platí komutativní, asociativní a distributivní zákon:
D˚ukaz:
A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A,
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C,
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
x ∈ (A ∪ B) ∩ C ⇔ (x ∈ A ∪ B) ∧ (x ∈ C) ⇔ [(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)] ∧ (x ∈ C) ⇔ (x ∈ A ∩ C) ∨ (x ∈ B ∩ C)
Věta 2.1: (De Morganova pravidla) Necht’ X, I, Ai, i ∈ I jsou mnoˇziny. Pak platí:
X \
Ai =
(X \ Ai)
2.2 Binární relace
i∈I
i∈I
X \
Ai =
(X \ Ai)
i∈I
Def. 2.2: Necht’ X1, X2, . . . , Xn jsou mnoˇziny. Pak jejich kartézsk´ym součinem naz´yváme mnoˇzinu
X1 × X2 × . . . × Xn := {[x1, x2, . . . , xn]; ∀i ∈ {1, 2, . . . , n} : xi ∈ Xi}.
Def. 2.3: Necht’ A, B jsou mnoˇziny. Binární relací mezi mnoˇzinami A a B rozumíme kaˇzdou
mnoˇzinu M, pro kterou platí
M ⊂ A × B.
Def. 2.4: Necht’ A, B jsou mnoˇziny a necht’ M ⊂ A × B. Definiční obor D(M) relace M je
definován pˇredpisem
D(M) := {x ∈ A; ∃y ∈ B : [x, y] ∈ M}.
Obor hodnot relace M je definován pˇredpisem
i∈I
R(M) := {y ∈ B; ∃y ∈ A : [x, y] ∈ M}.
Def. 2.5: Necht’ A je mnoˇzina a necht’ M ⊂ A × A. ˇRekněme, ˇze relace M je:
• reflexivní, jestliˇze x ∈ D(M) ⇒ [x, x] ∈ M;
• symetrická, jestliˇze [x, y] ∈ M ⇒ [y, x] ∈ M;
• tranzitivní, jestliˇze ([x, y] ∈ M ∧ [y, z] ∈ M) ⇒ [x, z] ∈ M;
• antisymetrická, jestliˇze [x, y] ∈ M ⇒ [y, x] /∈ M;
• slabě antisymetrická, jestliˇze ([x, y] ∈ M ∧ [y, x] ∈ M) ⇒ x = y.
6

Martina Bekrová 13. února 2012
Def. 2.6: Necht’ A je mnoˇzina a M ⊂ A × A. ˇRekněme, ˇze M je:
• ekvivalence, jestliˇze je reflexivní, symetrická a tranzitivní;
• částečné uspoˇrádání, jestliˇze je reflexivní, slabě antisymetrická a tranzitivní;
• lineární uspoˇrádání, jestliˇze je to částečné uspoˇrádání a platí:
∀x, y ∈ A : [x, y] ∈ M ∨ [y, x] ∈ M.
Def. 2.7: Necht’ A, B jsou mnoˇziny, M1 ⊂ M2 ⊂ A × B. Pak ˇrekneme, ˇze M2 je rozˇsíˇrením relace
M1 a M1 je zúˇzením relace M2.
2.3 Zobrazení (funkce)
– speciální pˇrípad relace
Def. 2.8: Necht’ A, B jsou mnoˇziny. Pak relaci F ⊂ A × B naz´yváme zobrazením z mnoˇziny A
do mnoˇziny B (F : A → B), jestliˇze platí
[x, y1] ∈ F ∧ [x, y2] ∈ F ⇒ y1 = y2.
Pozn.: ∀x ∈ A; ∃ nejv´yˇse jedno y ∈ B tak, ˇze [x, y] ∈ F.
Def. 2.9: Bud’ F : A → B zobrazení. Pak mnoˇzinu
naz´yváme grafem zobrazení F .
G(F ) := {[x, f(x)]; x ∈ D(F )}
Def. 2.10: Necht’ F : A → B je zobrazení. Bud’ M ⊂ A. Pak mnoˇzinu F (M) := {y ∈ B; ∃x ∈ M :
[x, y] ∈ F } naz´yváme obrazem mnoˇziny M pˇri zobrazení F . Necht’ P je libovolná mnoˇzina. Pak
mnoˇzinu F −1 (P ) := {x ∈ A; F (x) ∈ P } naz´yváme vzorem mnoˇziny P pˇri zobrazení F .
Def. 2.11: Bud’ F : A → B zobrazení. ˇRekněme, ˇze F je:
• prosté (injektivní), jestliˇze F (x1) = F (x2) ⇒ x1 = x2;
• na (surjektivní), jestliˇze ∀y ∈ B ∃x ∈ A : F (x) = y;
• vzájemně jednoznačné (bijektivní), jestliˇze F je prosté a na.
Def. 2.12: Necht’ f : A → B, g : B → C jsou zobrazení. Pak sloˇzené zobrazení (g ◦ f) : A → C
(g = vnějˇsí zobrazení, f = vnitˇrní zobrazení) je definováno pˇredpisem
(g ◦ f)(x) = g(f(x)), ∀x ∈ A.
Def. 2.13: Necht’ f : A → B je prosté zobrazení. Pak zobrazení f −1 : f(A) → A definováné
pˇredpisem
f −1 (y) = x ⇔ f(x) = y, ∀x ∈ D(A) ∀y ∈ f(A)
se naz´yvá inverzní zobrazení.
7

Martina Bekrová 13. února 2012
3 Mnoˇzina reáln´ych čísel
Def. 3.1: Mnoˇzina reáln´ych čísel R je mnoˇzina, v níˇz jsou definovány binární operace:
• sčítání (+ : R × R → R)
• násobení (· : R × R → R)
a relace lin. uspoˇrádání (≤) tak, ˇze jsou splněny axiomy z níˇze uveden´ych bod˚u 1, 2 a 3:
1. Vlastnosti sčítání a násobení a jejich vztah:
• S1) ∀x, y ∈ R : x + y = y + x – komutativita sčítání
• S2) ∀x, y, z ∈ R : (x + y) + z = x + (y + z) – asociativita sčítání
• S3) ∃(!)n ∈ R ∀x ∈ R : x + n = x – existence neutráního (nulového) prvku (n = 0)
• S4) ∀x ∈ R ∃(!)v ∈ R : x + v = n – existence inverzního prvku (v = −x)
• N1) ∀x, y ∈ R : xy = yx – komutativita násobení
• N2) ∀x, y, z ∈ R : (xy)z = x(yz) – asociativita násobení
• N3) ∃(!)j ∈ R \ {0} ∀x ∈ R : jx = x – existence neutrálního (jednotkového) prvku (j = 1)
• N4) ∀x ∈ R \ {0} ∃(!)w ∈ R : xw = j – existence inverzního prvku (w = 1
x )
• D) ∀x, y, z ∈ R : (x + y)z = xz + yz – distributivita
2. Vlastnosti lineárního uspoˇrádání a jeho vztah ke sčítání a násobení:
• U1) ∀x ∈ R : x ≤ x – reflexivita
• U2) ∀x, y ∈ R : (x ≤ y ∧ y ≤ x) ⇒ x = y – slabá antisymetrie
• U3) ∀x, y, z ∈ R : (x ≤ y ∧ y ≤ z) ⇒ x ≤ z – tranzitivita
• U4) ∀x, y ∈ R : x ≤ y ∨ y ≤ x
• U5) ∀x, y, z ∈ R : x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z
• U6) ∀x, y ∈ R : 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y ⇒ 0 ≤ xy
Pozn.:
• x − y := x + (−y)
• x, y = 0 : x 1
y = x y = xy−1
• x ≥ y . . . y ≤ x
• x ≥ y ∧ x = y . . . x > y . . . y < x
• xy := x · y
• reálné číslo x je kladné ⇔ x > 0
• reálné číslo x je záporné ⇔ x < 0
• reálné číslo x je nezáporné ⇔ x ≥ 0
• reálné číslo x je nekladné ⇔ x ≤ 0
3. Axiom suprema:
Je-li M ⊂ R, M = Ø, M je shora omezená, pak ∃! s ∈ R tak, ˇze platí:
• AS1) ∀x ∈ M : x ≤ s;
• AS2) ∀s ′ ∈ R, s ′ < s, ∃x ∈ M : s ′ < x.
8

Martina Bekrová 13. února 2012
Def. 3.2: Necht’ M ⊂ R. ˇRekněme, ˇze M je shora omezená, jestliˇze ∃k ∈ R tak, ˇze platí
∀x ∈ M : x ≤ k.
Toto číslo k se naz´yvá horní odhad (horní závora) mnoˇziny M.
ˇRekneme, ˇze M je zdola omezená, jestliˇze ∃K ∈ R tak, ˇze platí
∀x ∈ M : x ≥ K.
Toto číslo K se naz´yvá dolní odhad (dolní závora) mnoˇziny M.
Pokud M má horní odhad, M je shora omezená. Pokud M má dolní odhad, M je zdola
omezená. ˇRíkáme, ˇze M je omezená, pokud je omezená shora i zdola.
Def. 3.3: Číslo s z axiomu suprema se naz´yvá supremem mnoˇziny M (sup M).
Věta 3.4: (Existence a jednoznačnost (R, +, ·, ≤)) Existuje čtveˇrice (R, +, ·, ≤) splňující podmínky
uvedené v 1, 2 a 3. Tato čtveˇrice je určena jednoznačně v následujícím smyslu: Je-li ( R○, ⊕, ⊙, ⊳)
jiná čtveˇrice splňující podmínky uvedené v 1, 2 a 3, pak existuje bijekce f : R → R○, tak, ˇze
∀x, y ∈ R platí:
f(x + y) = f(x) ⊕ f(y);
f(xy) = f(x) ⊙ f(y);
x ≤ y ⇔ f(x) ⊳ f(y).
9

Martina Bekrová 13. února 2012
4 D˚usledky axiomu suprema
Def. 4.1: Necht’ M ⊂ R, M = Ø, M je zdola omezená. Pak číslo c nazveme infimem mnoˇziny
M (inf M), jestliˇze platí:
∀x ∈ M : c ≤ x;
∀c ∈ R, c ′ > c, ∃x ∈ M : c ′ > x.
Pozn.: Infimum mnoˇziny M je určeno jednoznačně – DOKA ˇ Z!
Def. 4.2: Necht’ M ⊂ R, M = Ø, M je zdola omezená. Pak ∃ inf M.
D˚ukaz:
−M := {−x; x ∈ M}
−M je shora omezená:
−α je horní odhad mnoˇziny −M
−M = Ø
∃α ∈ R : α ≤ x ∀x ∈ M ⇔ −α ≥ −x ∀ − x ∈ −M
∃s = sup M; s ∈ R (dle AS)
c := −s, c je inf M
∀x ∈ M : −x ≤ s; x ≥ −s = c (c je dolní odhad)
c ′ > c
−c ′ < −c = s
∃ − x ∈ −M : −c ′ < −x ⇒ c ′ > x; x ∈ M
⇒ c ′ není dolní odhad ⇒ c je největˇsí dolní odhad M (inf M)
Pozn.: Necht’ M = Ø, M ⊂ R, M je omezená. Pak inf M ≤ sup M (Rovnost nastane pouze je-li M
jednoprvková mnoˇzina) – DOKA ˇ Z!
Def. 4.3: Bud’ M ⊂ R, M = Ø. Pak a ∈ M nazveme největˇsím prvkem mnoˇziny M (maximem),
jestliˇze a je horní odhad mnoˇziny M. Značíme max M.
Bud’ M ⊂ R, M = Ø. Pak a ∈ M nazveme nejmenˇsím prvkem mnoˇziny M (minimem), jestliˇze
a je dolní odhad mnoˇziny M. Značíme min M.
Pozn.: Necht’ M ⊂ R, a = max M. Pak a = sup M. Necht’ M ⊂ R, a = min M. Pak a = inf M – DOKA ˇ Z!
Věta 4.4: (O existenci celé části) Ke kaˇzdému x ∈ R existuje k ∈ Z tak, ˇze platí:
k ≤ x < k + 1 ⇔ x − 1 < k ≤ x.
Číslo k se naz´yvá celá část čísla x a značí se [x].
D˚ukaz:
M = {n ∈ Z; n ≤ x}
M je shora omezená (x je horní odhad)
M = Ø
∃ sup M =: s (dle AS) ⇒ ∀n ∈ M : n ≤ s ≤ x
s ′ = s − 1 . . . ∃k ∈ M : k > s − 1 ⇒ k ≤ x
k + 1 > s ⇒ k + 1 /∈ M ⇒ k + 1 > x
Věta 4.5: (Archimedova mocnost) Ke kaˇzdému x ∈ R existuje n ∈ N tak, ˇze x < n.
D˚ukaz:
n := max{1; [x] + 1}
n ≥ [x] + 1 dle věty 4.4
10

Martina Bekrová 13. února 2012
Věta 4.6: (O hustotě Q v R) Necht’ a, b ∈ R, a < b pak ∃r ∈ Q takové, ˇze platí: a < r < b.
D˚ukaz:
1
< n; n ∈ N; a, b ∈ R (podle věty 4.5 – Archimedova mocnost)
b − a
na + 1 < nb
a =
na − 1
n
[na] + 1
r :=
n
a + 1
< b
n
1 [na] 1 na 1
+ < + = r ≤ +
n n n n n
a < r < b a pˇritom r ∈ Q
1
= a + < b
n
Věta 4.7: Ke kaˇzdému x ∈ R, x ≥ 0 a ke kaˇzdému n ∈ N existuje právě jedno y ∈ R, y ≥ 0 tak,
ˇze platí: y n = x (y = n-tá odmocnina z x = n√ x = x 1
n ) – D ˚ UKAZ NA PROSEMIN Áˇ RI!
Věta 4.8: D ˚ UKAZ NA CVI ČENÍ!
1. ∀x ∈ R : 0x = 0
D˚ukaz:
2. ∀x ∈ R : (−1)x = −x
D˚ukaz:
x · 0 = S3 x(0 + 0) = D x · 0 + x · 0
0 = S4 x · 0 + (−x · 0) = U5 x · 0 + (x · 0 + (−x · 0)) = S4 x · 0 + 0 = S3 x · 0
3. ∀x, y ∈ R : xy = 0 ⇒ x = 0 ∨ y = 0
x + (−1)x = N3 1x + (−1)x = D x(1 + (−1)) = x · 0 = 0
D˚ukaz: Pˇredpokládáme: xy = 0 ∧ x = 0. Chceme ukázat, ˇze pak: y = 0
4. ∀x, y ∈ R : 0 < x ∧ 0 < y ⇒ xy > 0
∃x −1 ∈ R : x · x −1 = 1(N4)
(x −1 · x)y = x −1 · 0 ⇒ y = 0
D˚ukaz: (sporem) Necht’ x > 0 a y > 0. Pak z U6: xy ≥ 0. Kdyby platilo: xy = 0, tak x = 0 ∨ y = 0 ⇒
SPOR!
5. ∀x, y ∈ R : (−x)(−y) = xy
D˚ukaz:
6. ∀x, y ∈ R : (xy) −1 = x −1 y −1
7. ∀x, y ∈ R ∀n ∈ N : 0 < x < y ⇒ x n < y n
8. ∀x ∈ R, x ≥ 0 : −x ≤ 0
9. ∀x ∈ R : x 2 ≥ 0
10. 1 > 0
Pozn.: DOKA ˇ Z!
a c
·
b d
ac
= , ∀a, b, c, d ∈ R, b, d = 0
bd
a c ad + bc
+ = , ∀a, b, c, d ∈ R, b, d = 0
b d bd
Def. 4.9: Je-li x ∈ R, pak definujeme absolutní hodnotu čísla x (|x|) jako maximum z {x; −x}.
|x| = max{x; −x}
|x| ≥ x
|x| ≥ −x
11

Martina Bekrová 13. února 2012
Věta 4.10: (Vlastnosti absolutní hodnoty) – D ˚ UKAZ NA CVI ČENÍ!
1. ∀x ∈ R : |x| ≥ 0
2. x ∈ R : |x| = 0 ⇔ x = 0
3. ∀x, y ∈ R : |xy| = |x||y|
4. ∀x, y ∈ R; y = 0 : | x |x|
y | = |y|
5. ∀x, y ∈ R : |x + y| ≤ |x| + |y|
D˚ukaz:
6. ∀x, y ∈ R : ||x| − |y|| ≤ |x − y|
D˚ukaz:
x + y ≥ 0 ⇒ |x + y| = x + y ≤ |x| + |y|
x ≤ |x|
y ≤ |y|
x + y ≤ 0 ⇒ |x + y| = −x − y ≤ |x| + |y|
−x ≤ |x|
−y ≤ |y|
|a + b| ≤ |a| + |b|; ∀a, b ∈ R (dle 5)
b = x − y; a = y; x = a + b; x, y ∈ R
|x| ≤ |y| + |x − y|
|x| − |y| ≤ |x − y|
|y| − |x| ≤ |y − x|
Def. 4.11: Mnoˇzina A ⊂ R se naz´yvá induktivní, jestliˇze platí:
• 1 ∈ A
• x ∈ A ⇒ x + 1 ∈ A
Def. 4.12:
1. N je definována jako nejmenˇsí induktivní podmnoˇzina R
2. Z := {x ∈ R; |x| ∈ N ∪ {0}}
3. Q := {x ∈ R; x = p
q , p, q ∈ Z, q = 0}
12

Martina Bekrová 13. února 2012
13

Martina Bekrová 13. února 2012
5 Komplexní čísla, reálná funkce, mohutnost, posloupnosti
5.1 Intervaly v R
Def. 5.1: Necht’ a, b ∈ R, a < b. Pak definujeme:
• < a; b >:= {x ∈ R; a ≤ x ≤ b}
• < a; b) := {x ∈ R; a ≤ x < b}
• < a; +∞) := {x ∈ R; a ≤ x}
• (a; b >:= {x ∈ R; a < x ≤ b}
• (−∞; b >:= {x ∈ R; x ≤ b}
• (a; b) := {x ∈ R; a < x < b}
• (a; +∞) := {x ∈ R; a < x}
• (−∞; b) := {x ∈ R; x < b}
• (−∞; +∞) := R
5.2 Mnoˇzina komplexních čísel
Def. 5.2: Mnoˇzinou komplexních čísel C rozumíme mnoˇzinu vˇsech uspoˇrádan´ych dvojic čísel
[a, b], kde a, b ∈ R, v níˇz je definováno:
1. rovnost
2. sčítání
3. násobení
Mnoˇzinu komplexních čísel nelze uspoˇrádat.
[a1, b1] = [a2, b2] ⇔ a1 = a2 ∧ b1 = b2
[a1, b1] + [a2, b2] = [a1 + a2, b1 + b2]
[a1, b1] · [a2, b2] = [a1a2 − b1b2, a1b2 + a2b1]
[a; 0] ≡ a
[0; 1] ≡ i
[a; b] = [a; 0] + [0; b] = [a; 0] + [0; 1][b; 0] = a + bi – kartézsk´y tvar komplexního čísla
z = [a; b]; a, b ∈ R
a – reálná část komplexního čísla
b – imaginární část komplexního čísla
|z| = √ a 2 + b 2
číslo komplexně sdruˇzené k číslu z = a + bi je z = a − bi
z · z = |z| 2
a+bi
c+di
(a+bi)(c−di)
= c2 +d2 , a, b, c, d ∈ R
5.3 Reálná funkce reálné proměnné
Def. 5.3: Necht’ A, B ⊂ R a f : A → B je zobrazení. Pak ˇríkáme, ˇze f je reálná funkce reálné
proměnné. Bud’ M ⊂ A. ˇRekneme, ˇze:
1. f je omezená shora na mnoˇzině M, jestliˇze f(M) je omezená shora
2. f je omezená zdola na mnoˇzině M, jestliˇze f(M) je omezená zdola
3. f je omezená na mnoˇzině M, jestliˇze je omezená shora i zdola
14

Martina Bekrová 13. února 2012
Def. 5.4: Necht’ J ⊂ R je interval a f : J → R. ˇRekneme, ˇze:
• f je rostoucí v intervalu J, jestliˇze
• f je klesající v intervalu J, jestliˇze
• f je nerostoucí v intervalu J, jestliˇze
• f je neklesající v intervalu J, jestliˇze
5.4 Mohutnost mnoˇzin
∀x1, x2 ∈ J, x1 < x2 : f(x1) < f(x2);
∀x1, x2 ∈ J, x1 < x2 : f(x1) > f(x2);
∀x1, x2 ∈ J, x1 < x2 : f(x1) ≥ f(x2);
∀x1, x2 ∈ J, x1 < x2 : f(x1) ≤ f(x2).
Def. 5.5: Necht’ A, B jsou mnoˇziny. ˇRekneme, ˇze A a B mají stejnou mohutnost, jestliˇze existuje
bijekce mnoˇziny A na mnoˇzinu B. ˇRekneme, ˇze mohutnost mnoˇziny A je menˇsí nebo rovna
mohutnosti mnoˇziny B, jestliˇze existuje prosté zobrazení A do B.
Def. 5.6: Mnoˇzina A se naz´yvá konečná, existuje-li bijekce mnoˇziny A na mnoˇzinu {1, 2, . . . ,
n}, kde n je vhodně zvolené pˇrirozené číslo.
Mnoˇzina A je nekonečná, není-li konečná.
Mnoˇzina A je spočetná, jestliˇze existuje bijekce A do N.
Mnoˇzina A je nejv´yˇse spočetná, jestliˇze A je konečná, nebo spočetná.
Mnoˇzina A je nespočetná, jestliˇze je nekonečná a není spočetná.
Def. 5.7: Bud’ X mnoˇzina. Pak mnoˇzinu 2 X = exp X := {A|A ⊂ X} naz´yváme potenční mnoˇzinou
mnoˇziny X.
Věta 5.8: (Cantorova věta) Bud’ X mnoˇzina. Pak neexistuje bijekce mnoziny X na exp X ⇔
exp X má větˇsí mohutnost neˇz X.
5.5 Posloupnosti reáln´ych čísel
Def. 5.9: Posloupností reáln´ych čísel rozumíme jakékoli zobrazení mnoˇziny N do R.
n ∈ N ⇒ a(n) = an ∈ R
{an}n∈N; {an} ∞ n=1; {an} – posloupnost
an – n-t´y člen posloupnosti {an}
M := {x ∈ R; ∃n ∈ N : x = an} – mnoˇzina vˇsech člen˚u posloupnosti {an}
15

Martina Bekrová 13. února 2012
6 Posloupnosti, limity posloupností
Def. 6.1: Necht’ {an}n∈N je posloupnost reáln´ych čísel. Bud’ M mnoˇzina vˇsech člen˚u posloupnosti.
ˇRekneme, ˇze posloupnost {an}n∈N je:
• shora omezená, jestliˇze mnoˇzina M je shora omezená.
• zdola omezená, jestliˇze mnoˇzina M je zdola omezená.
• omezená, jestliˇze mnoˇzina M je omezená.
ˇRekneme, ˇze posloupnost {an}n∈N je:
• rostoucí, jestliˇze platí:
• klesající, jestliˇze platí:
• neklesající, jestliˇze platí:
• nerostoucí, jestliˇze platí:
∀n ∈ N : an < an+1
∀n ∈ N : an > an+1
∀n ∈ N : an ≤ an+1
∀n ∈ N : an ≥ an+1
Posloupnost je monotónní, jestliˇze je rostoucí ∨ klesající ∨ neklesající ∨ nerostoucí. Posloupnost
je ryze monotónní, jestliˇze je rostoucí ∨ klesající.
6.1 Vlastní limity posloupností
Def. 6.2: Necht’ {an}n∈N je posloupnost reáln´ych čísel, necht’ A ∈ R. ˇRíkáme, ˇze číslo A je
limitou posloupnosti (limn→∞ an = A ∨ an → A pro n → ∞ ∨ an → A), jestliˇze platí:
∀ε > 0; ∃n0 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n0 : |an − A| < ε
ˇRekneme, ˇze posloupnost reáln´ych čísel {an}n∈N je konvergentní, jestliˇze existuje A ∈ R tak,
ˇze platí:
lim
n→∞ an = A
A ∈ R, ε > 0 : U(A, ε) := {x ∈ R; |x − A| < ε} = (A − ε; A + ε) – epsilonové okolí bodu A
Pozn.: Následující podmínky jsou ekvivalentní:
• limn→∞ an = A
• ∀ε > 0; ∃n0 ∈ N; ∀n ∈ N; n > n0 : |an − A| < ε
• ∀ε > 0; ∃n0 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n0 : |an − A| ≤ ε
• ∃ε0 ∈ (0; 1); ∀ε ∈ (0; ε0); ∃n0 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n0 : |an − A| < ε
• ∀ε > 0 je mnoˇzina {n ∈ N; an /∈ U(A; ε)} konečná
Pozn.: {an}n∈N je posloupnost reáln´ych čísel, A ∈ R, limn→∞ an = A
bn = an; ∀n ≥ n1; n ∈ N
D˚ukaz:
Chci: ∀ε > 0; ∃n0 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n0 : |bn − A| < ε
Vím: ∀ε > 0; ∃n2 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n2 : |an − A| < ε
Bud’ ε > 0 . . . ∃n2 ∈ N; n0 = max{n2, n1}; ∀n ∈ ; n > n0
16

Martina Bekrová 13. února 2012
Lemma 6.3: Necht’ K > 0, A ∈ R, necht’ {an}n∈N je posloupnost reáln´ych čísel a necht’ platí:
pak limn→∞ an = A.
∀ε > 0; ∃n0 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n0 : |an − A| < Kε
D˚ukaz:
Chci: ∀δ > 0; ∃n0 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n0 : |an − A| < δ
Bud’ δ > 0; ε = δ
K
∃n0 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n0 : |an − A| < Kε = K δ
n1 := n0
Věta 6.4: (Věta o jednoznačnosti limity posloupnosti) Necht’ {an}n∈N je posloupnost reáln´ych
čísel, pak existuje nejv´yˇse jedna limita posloupnosti {an}n∈N.
D˚ukaz: Sporem – pˇredpokládejme:
Pak ∀n ∈ N, n ≥ n2 platí:
lim
n→∞ an = A ∧ lim
n→∞ an = B
A, B ∈ R, A = B, BÚNO B > A
∀ε > 0; ∃n0 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n0 : |an − A| < ε
∀ε > 0; ∃n1 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n1 : |an − B| < ε
n2 := max{n0, n1}; ε =
B − A
2
B − A = |B − A| = |B − an + an − A| ≤ |B − an| + |A − an| < 2ε = B − A
⇒ B − A < B − A – SPOR!
Věta 6.5: (Věta o omezenosti konvergentní posloupnosti) Necht’ {an}n∈N je konvergentní posloupnost
reáln´ych čísel. Pak posloupnost {an}n∈N je omezená.
D˚ukaz:
lim
n→∞ an = A
∀ε > 0; ∃n0 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n0 : |an − A| < ε
ε = 1; ∃n0 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n0 : |an − A| < 1 ⇔ A − 1 < an < A + 1
⇒ |an| < max{|A − 1|; |A + 1|} = c
K := max{c, |a1|, |a2|, . . . , |an0−1|}
|an| ≤ K; ∀n ∈ N
Def. 6.6: Necht’ {an}n∈N je posloupnost reáln´ych čísel. ˇRekneme, ˇze posloupnost {bk}k∈N je
posloupnost vybraná z posloupnosti (podposloupnost posloupnosti) {an}n∈N, jestliˇze existuje
rostoucí posloupnost pˇrirozen´ych čísel {nk}k∈N tak, ˇze bk = ank , ∀k ∈ N.
Věta 6.7: Necht’ {an}n∈N je konvergentní posloupnost reáln´ych čísel s limitou A ∈ R. Bud’
{bk}k∈N posloupnost vybraná z posloupnosti {an}n∈N. Pak limn→∞ bk = A.
Hodí se k d˚ukazu, ˇze posloupnost nemá limitu (2 r˚uzné podposloupnosti mají r˚uznou limitu ⇒ (dle věty
6.4) posloupnost nemá limitu)!
D˚ukaz:
Chci: ∀ε > 0; ∃n1 ∈ N; ∀k ∈ N; k ≥ n1 : |bk − A| < ε
Bud’ ε > 0 . . . ∃n0 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n0 : |an − A| < ε
n1 := n0; k ≥ n1 = n0
bk = ank≥k≥n0
|bk − A| = |ank − A| < ε
17
K
= δ

Martina Bekrová 13. února 2012
Věta 6.8: (Aritmetika limit) Necht’ limn→∞ an = A ∈ R a limn→∞ bn = B ∈ R. Pak platí:
1. limn→∞(an + bn) = A + B
D˚ukaz:
∀n ∈ N : |(an + bn) − (A + B)| = |an − A + bn − B| ≤ |an − A| + |bn − B|
lim
n→∞ an = A . . . ∀ε > 0; ∃n0 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n0 : |an − A| < ε
lim
n→∞ bn = B . . . ∀ε > 0; ∃n1 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n1 : |bn − B| < ε
n2 = max{n0, n1}
∀n ∈ N; n ≥ n2 : |(an + bn) − (A + B)| ≤ |an − A| + |bn − B| < 2ε – UJD dle lemma 6.3 (K = 2)
2. limn→∞(anbn) = AB
D˚ukaz:
|anbn − AB| = |anbn − bnA + bnA − AB| ≤ |anbn − bnA| + |bnA − AB| = |bn||an − A| + |A||bn − B| ≤
Necht’ ε > 0
3. limn→∞( an A ) = bn B ; B = 0
D˚ukaz: Stačí dokázat: limn→∞ 1 1 = bn B
Necht’ ε > 0
Pozn.: an → A ⇔ (an − A) → 0
D˚ukaz:
|bn| ≤ K
K|an − A| + |A||bn − B| ≤ max{K, |A|}[|an − A| + |bn − B|]
lim
n→∞ an = A ⇒ ∃n0 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n0 : |an − A| < ε
lim
n→∞ bn = B ⇒ ∃n1 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n1 : |bn − B| < ε
∀n ∈ N; n ≥ max{n0, n1} =: n2 :
|anbn − AB| ≤ max{K, |A|}2ε – UJD dle lemma 6.3
bn
– pak platí podle pˇredchozího bodu
1
− 1
B =
B − bn
bnB
= |B − bn|
|bn||B| ≤
lim
n→∞ bn = B ⇒ ∃n0 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n0 : |bn − B| < |B|
2
|bn| = |B − (B − bn)| ≥ ||B| − |B − bn|| >
|B|
|B| −
|B|
2 = > 0
2
∀n ∈ N; n > n0 :
≤ 2|bn − B|
|B| 2
= K|bn − B|
lim
n→∞ bn = B ⇒ ∃n1 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n1 : |bn − B| < ε
∀n ∈ N; n ≥ max{n0; n1} =: n2 :
K|bn − B| < Kε – UJD dle lemma 6.3
|(an − A) − 0| = |an − A| < ε; ∀n ≥ n0; n, n0 ∈ N
Pozn.: Necht’ an je posloupnost reáln´ych čísel. Pˇredpokládejme, ˇze limn→∞ an = A. Necht’ k ∈ N; bn :=
an−k; ∀n ∈ N; n > k. Pak limn→∞ bn = A – DOKA ˇ Z!
18

Martina Bekrová 13. února 2012
19

Martina Bekrová 13. února 2012
7 Vlastní limity posloupností
Věta 7.1:
D˚ukaz:
Věta 7.2:
D˚ukaz:
lim
n→∞ an = A ⇒ lim
n→∞ |an| = |A|
||an| − |A|| ≤ |an − A| < ε
lim
n→∞ an = 0 ⇔ lim
n→∞ |an| = 0
||an| − 0| = ||an|| = |an| = |an − 0|
Věta 7.3: (Věta o limitě součinu omezené posloupnosti a posloupnosti s limitou 0) Necht’ an
a bn jsou posloupnosti reáln´ych čísel. Necht’ limn→∞ an = 0 a posloupnost bn je omezená. Pak
limn→∞ anbn = 0.
D˚ukaz:
Bud’ ε > 0
7.1 Vztah uspoˇrádání a limity
|anbn − 0| = |anbn| = |an||bn| ≤ k|an| < ε
bn je omezená ⇒ ∃k ∈ N; (∀n > n0) : bn < k
lim
n→∞ an = 0 ⇒ ∃n0 ∈ N; ∀n ∈ N; n > n0 : |an| < ε
Věta 7.4: Necht’ an, bn jsou posloupnosti reáln´ych čísel. Necht’ limn→∞ an = A, limn→∞ bn = B.
Pˇredpokládejme, ˇze ∃n0 ∈ N; ∀n ∈ N; n > n0 : an ≤ bn. Pak A ≤ B.
D˚ukaz: (sporem) Necht’ A > B
> 0
Bud’ ε = A−B
2
∃n0 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n0 : |an − A| < ε ⇒ A − ε < an
∃n1 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n1 : |bn − B| < ε ⇒ bn < B + ε
bn < B + ε = A − ε < an; ∀n ∈ N; n ≥ max{n0, n1} =: n2 – SPOR!
Věta 7.5: (Věta o dvou policajtech) Necht’ an, bn a cn jsou posloupnosti reáln´ych čísel.
Pˇredpokládejme, ˇze platí:
Pak limn→∞ cn = A.
D˚ukaz:
Chci: ∃n1 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n1 : |cn − A| < ε
Vím:
Bud’ ε > 0
∃n0 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n0 : an ≤ cn ≤ bn
lim
n→∞ an = A; lim
n→∞ bn = A; A ∈ R
∃n2 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n2 : |an − A| < ε ⇒ A − ε < an
∃n3 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n3 : |bn − A| < ε ⇒ bn < A + ε
∀n ∈ N, n ≥ n1 := max{n0, n2, n3} :
A − ε < an ≤ cn ≤ bn < A + ε ⇒ A − ε < cn < A + ε ⇔ |cn − A| < ε
20

Martina Bekrová 13. února 2012
Věta 7.6: Necht’ an, bn jsou posloupnosti reáln´ych čísel. Necht’ limn→∞ an = A, limn→∞ bn = B;
A, B ∈ R, A < B. Pak platí:
D˚ukaz: Bud’ ε = B−A
2
> 0
∃n0 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n0 : an < bn
∃n1 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n1 : |an − A| < ε ⇒ an < A + ε
∃n2 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n2 : |bn − B| < ε ⇒ B − ε < bn
n0 := max{n1, n2}
∀n ∈ N; n ≥ n0 : an < A + ε = B − ε < bn
21

Martina Bekrová 13. února 2012
8 Nevlastní limita posloupnosti, monotónní posloupnosti
8.1 Nevlastní limita posloupnosti
Posloupnost, která není konvergentní, je divergentní.
Limita divergentní posloupnosti je bud’ +∞ nebo −∞.
Def. 8.1: Necht’ {an}n∈N je posloupnost reáln´ych čísel. ˇRekneme, ˇze posloupnost {an} má limitu
+∞ (−∞), jestliˇze platí:
∀K ∈ R; ∃n0 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n0 : an ≥ K
(∀K ∈ R; ∃n0 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n0 : an ≤)K
Pozn.: Stačí pˇredpokládat, ˇze platí pro ∀K > 0 (∀K < 0)
Pozn.:
neexistuje
limita posloupnosti
existuje ↗
vlastní
nevlastní ↗
Věta 8.2: Kaˇzdá poslounost reáln´ych čísel má nejv´yˇse jednu limitu
D˚ukaz: Víme, ˇze nem˚uˇze nastat:
Zb´yvají pˇrípady:
1. limn→∞ an = A ∈ R ∧ limn→∞ an = ∞
2. limn→∞ an = A ∈ R ∧ limn→∞ an = −∞
3. limn→∞ an = ∞ ∧ limn→∞ an = −∞
limn→∞ an = A ∈ R
limn→∞ an = B ∈ R
A = B
ε = 1; ∃n0 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n0 : an < A + 1
+∞
−∞
K = A + 1; ∃n1 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n1 : an ≥ A + 1
n2 := max{n0, n1}
∀n ∈ N; n ≥ n2 : an < A + 1 ≤ an – SPOR!
Def. 8.3: R ∗ := R ∪ {+∞; −∞}, kde R ∗ je rozˇsíˇrená mnoˇzina reáln´ych čísel a R je mnoˇzina
konečn´ych reáln´ych čísel.
• Vlastnosti uspoˇrádání na R ∗ :
1. ∀x ∈ R : −∞ < x
2. ∀x ∈ R : x < +∞
3. −∞ < ∞
• Vlastnosti sčítání a násobení na R ∗ :
1. ∀x ∈ R ∗ \ {+∞} : −∞ + x = x + (−∞) = −∞
2. ∀x ∈ R ∗ \ {−∞} : +∞ + x = x + ∞ = +∞
Nedefinuji: +∞ + (−∞) ∧ −∞ + ∞
3. ∀x ∈ R ∗ ; x > 0 : (±∞)x = x(±∞) = ±∞
4. ∀x ∈ R ∗ ; x < 0 : (±∞)x = x(±∞) = ∓∞
Nedefinuji: 0(±∞) ∧ (±∞)0
5. ∀x ∈ R : x
±∞ = 0
Nedefinuji: ±∞
±∞
∧ ±∞
0
22

Martina Bekrová 13. února 2012
• Vlastnosti absolutní hodnoty na R ∗ :
| ± ∞| = +∞
U(+∞, ε) := {x ∈ R ∗ ; x > 1
ε }
U(−∞, ε) := {x ∈ R ∗ ; x < 1
ε }
lim
n→∞ an = +∞ ⇔ ∀U(+∞, ε); ∃n0 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n0 : an ∈ U(+∞, ε)
⇔ ∀ε > 0; ∃n0 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n0 : an > 1
ε
lim
n→∞ an = −∞ ⇔ ∀U(−∞, ε); ∃n0 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n0 : an ∈ U(−∞, ε)
⇔ ∀ε > 0; ∃n0 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n0 : an < 1
ε
Věta 8.4: (Aritmetika limit v R ∗ ) Necht’ {an} a {bn} jsou posloupnosti reáln´ych čísel. Necht’
limn→∞ an = A ∈ R ∗ ∧ limn→∞ bn = B ∈ R ∗ . Pak platí:
1. limn→∞(an + bn) = A + B, pokud je tento součet definován
2. limn→∞(anbn) = AB, pokud je tento součin definován
3. limn→∞( an
bn
A ) = B , pokud je tento podíl definován
D˚ukaz: Analogick´y jako d˚ukaz věty 6.8
Pozn.: Necht’ limn→∞ an = +∞ ∧ limn→∞ bn = −∞. Nelze nic soudit o limn→∞(an + bn).
Věta 8.5: Necht’ {an} a {bn} jsou posloupnosti reáln´ych čísel. Necht’ limn→∞ an = A ∈ R ∗ , A > 0
a necht’ limn→∞ bn = 0. Pˇredpokládejme, ˇze ∃n0 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n0 : bn > 0. Pak:
D˚ukaz: NA PROSEMIN Áˇ RI!
Def. 8.6:
an
lim = ∞
n→∞ bn
1. Necht’ M ⊂ R ∗ je shora neomezená mnoˇzina. Pak sup M := +∞
2. Necht’ M ⊂ R ∗ je zdola neomezená mnoˇzina. Pak inf M := −∞
3. sup Ø := −∞; inf Ø := +∞
Pozn.: Je-li M ⊂ R ∗ , M = Ø, pak inf M ≤ sup M
8.2 Monotónní posloupnosti
Věta 8.7: (O limitě monotónní posloupnosti) Kaˇzdá monotónní posloupnost má limitu.
1. Je-li {an} posloupnost reáln´ych čísel, která je neklesající, pak:
lim
n→∞ an = sup
an
n∈N
D˚ukaz: Necht’ sup n∈N an = A ∈ R, chceme dokázat, ˇze A je limitou posloupnosti {an}
Necht’ A ′ < A ⇒ ∃n0 ∈ N; ∀n ∈ N; n ≥ n0 : A ′ < an0 ≤ an, A ′ = A − ε
2. Je-li {an} posloupnost reáln´ych čísel, která je nerostoucí, pak:
lim
n→∞ an = inf
n∈N an
23

Martina Bekrová 13. února 2012
D˚usledek:
1. Je-li {an} posloupnost reáln´ych čísel, která je shora neomezená a neklesající, pak:
lim
n→∞ an = +∞
2. Je-li {an} posloupnost reáln´ych čísel, která je zdola neomezená a nerostoucí, pak:
lim
n→∞ an = −∞
3. Kaˇzdá monotónní omezená posloupnost je konvergentní
24

Martina Bekrová 13. února 2012
25

Martina Bekrová 13. února 2012
9 Limes superior, limes inferior
{an}n∈N – posloupnost reáln´ych čísel, n ∈ N
Def. 9.1: limes superior:
limes inferior:
Pozn.: αn ≤ βn ⇒ α ≤ β
αn := inf
k≥n ak
αn je neklesající posloupnost ⇒ ∃ lim
n→∞ αn
βn := sup ak
k≥n
βn je nerostoucí posloupnost ⇒ ∃ lim
n→∞ βn
lim
n→∞ sup an := lim
n→∞ βn = β
lim
n→∞ inf an := lim
n→∞ αn = α
Věta 9.2: Bud’ {an} posloupnost reáln´ych čísel.
1. Necht’ β = limn→∞ sup an (∈ R ∗ ). Pak existuje vybraná posloupnost {ank }k∈N tak, ˇze
D˚ukaz: Za pˇredpokladu, ˇze β ∈ R. ε = 1
j , j ∈ N
β − 1
j
lim ank = β.
n→∞
j = 1, ε = 1, ∃m1 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ m1 : |βn − β| < 1 ⇔ β − 1 < βn < β + 1
∃n1 ∈ N : β − 1 < an1 < β + 1
j = 2, ε = 1
2 , ∃m2 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ m2 : |βn − β| < 1 1
⇔ β −
2 2 < βn < β + 1
2
∃n2 ∈ N : β − 1
1
< an2 < β +
2 2
.
j = j, ε = 1
j , ∃mj ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ mj : |βn − β| < 1 1
⇔ β −
j j < βn < β + 1
j
→ β, β + 1
j
∃nj ∈ N : β − 1
j
< anj < β + 1
j
→ β – podle věty o dvou policajtech anj → β
2. Necht’ α = limn→∞ inf an (∈ R ∗ ). Pak existuje vybraná posloupnost {ank }k∈N tak, ˇze
lim ank = α.
n→∞
Věta 9.3: (O vztahu mezi limitou, limes superior a limes inferior) Necht’ {an} je posloupnost
reáln´ych čísel. Pak limn→∞ an ecistuje právě tehdy, kdyˇz
lim
n→∞ sup an = lim inf an.
n→∞
D˚ukaz:
⇒ Necht’ existuje limn→∞ an = A ∈ R ∗ . Pak kaˇzdá vybraná posloupnost {ank }k∈N má limitu A.
26

Martina Bekrová 13. února 2012
⇐ Necht’
lim
n→∞ βn = lim
n→∞ sup an = lim
n→∞ inf an = lim
n→∞ αn = A ∈ R
Necht’ ε > 0, n0 := max{n1, n2}, ∀n ∈ N, n > n0 :
∀ε > 0 ∃n1 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n1 : |βn − A| < ε
∀ε > 0 ∃n2 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n2 : |αn − A| < ε
Chci: ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : |an − A| < ε
A − ε < βn < A + ε
A − ε < αn < A + ε
αn ≤ βn
A − ε < αn ≤ an ≤ βn < A + ε
A − ε < an < A + ε
Def. 9.4: Necht’ {an} je posloupnost reáln´ych čísel. ˇRekneme, ˇze číslo B ∈ R∗ je hromadnou
hodnotou (hromadn´ym bodem) posloupnosti {an}, jestliˇze existuje vybraná posloupnost
{ank }k∈N tak, ˇze limn→∞ ank = B. Mnoˇzinu vˇsech hromadn´ych hodnot posloupnosti {an}
značíme symbolem H({an}n∈N).
Věta 9.5: Necht’ {an} je posloupnost reáln´ych čísel.
1. H({an}n∈N) = Ø
2. limn→∞ sup an = max H({an}n∈N)
3. limn→∞ inf an = min H({an}n∈N)
D˚ukaz: Bud’ {ank }k∈N vybraná posloupnost z posloupnosti {an} taková, ˇze existuje
αnk
lim
n→∞ ank = c ∈ R∗ .
αnk ≤ ank ≤ βnk
→ α, ank → C (libovoln´y prvek mnoˇziny hromadn´ych bod˚u), βnk → β
α ≤ C ≤ β
D˚usledek: limn→∞ an exitstuje ⇔ H({an}) je jednoprvková
D˚ukaz:
9.1 Intervaly v R ∗
lim
n→∞ sup an = lim
n→∞ inf an ⇒ UJD podle věty 9.3
Věta 9.6.: (Cantorova) Bud’ {< an, bn >}n∈N nerostoucí systém uzavˇren´ych interval˚u v R∗ (tj.
< an+1, bn+1 > ⊂ < an, bn >). Pak
< an, bn >= Ø.
D˚ukaz:
n→N
an ≤< an+1 ≤ bn+1 ≤ bn ⇒ lim
n→∞ an = a ≤ lim
n→∞ bn = b
x ∈
n→N
{an} – neklesající monotónní posloupnost
{bn} – nerostoucí monotónní posloupnost
< an, bn >⇔ an ≤ x ≤ bn ∀n ∈ N
an → a, x → x, bn → b
a ≤ x ≤ b
an ≤ a ≤ x ≤ b ≤ bn
an ≤ x ≤ bn
27

Martina Bekrová 13. února 2012
Věta 9.7: Necht’ {an} je posloupnost reáln´ych čísel. Pak {an} je konvergentní právě tehdy,
kdyˇz platí Bolzano-Cauchyho podmínka:
∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n, m ∈ N, n, m ≥ n0 : |an − am| < ε.
BC podmínka je ekvivalentní s definicí konečné limity.
D˚ukaz:
⇒ Necht’ posloupnost {an} je konvergentní. Pak
A := lim
n→∞ an ∈ R
∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : |an − A| < ε
2
∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n, m ∈ N, n ≥ n0 : |an − am| ≤ |an − A| + |A − am| < ε
⇐ Víme, ˇze platí BC podmínka
Necht’ ε > 0, dle BC podmínky máme:
|an − an0 | < ε ∀n ≥ n0, n ∈ N
an0 − ε < an < an0 + ε
an0 − ε ≤ αn ≤ an ≤ βn ≤ an0 + ε
an0 − ε ≤ α ≤ β ≤ an0 + ε
|α − β| < 2ε ⇒ α = β – dle věty 9.3 existuje limita
2
ε
+ = ε
2
an a am jsou konečná čísla ⇒ limita je konečná ⇒ posloupnost je konvergentní
Def. 9.8: ˇRekneme, ˇze systém mnoˇzin Gγ, γ ∈ Γ pokr´yvá mnoˇzinu M, jestliˇze M ⊂
γ∈Γ Gγ.
Věta 9.9: (Borelova) Necht’ < a, b > je uzavˇren´y a omezen´y interval v R a necht’ Iγ, γ ∈ Γ
jsou otevˇrené intervaly takové, ˇze systém {Iγ}, γ ∈ Γ, pokr´yvá < a, b >. Pak existuje konečná
mnoˇzina ∆ ⊂ Γ tak, ˇze
< a, b >⊂
Iγ.
D˚ukaz:
γ∈∆
M := {x ∈< a, b >, ∃Γx, Γxje konečná : < a, x >⊂
Chceme dokázat, ˇze M =< a, b >
M = Ø(a ∈ M), M je shora omezená ⇒ existuje c = sup M(c ≤ b)
sporem: pˇredpokládejme, ˇze c < b ⇒ c ∈< a, b)
γ∈Γx
∃γc ∈ Γ : c ∈ Iγc ⇒ δ > 0 tak, ˇze (c − δ, c + δ) ⊂ Iγc
c − δ < c ⇒ ∃x ∈ M tak, ˇze c − δ < x ⇒< a, x >⊂
j=1,2,...,k
a, c + δ
⊂< ax > ∪(c − δ, c + δ) – konečné sjednocení
2
c + δ
> c – SPOR!
2
c = b
28
Iγ}
Iγj

Martina Bekrová 13. února 2012
potˇrebujeme dokázat, ˇze b ∈ M
b ∈< a, b >⊂
γ∈Γ
∃γb ∈ Γ : b ∈ Iγb ⇒ δ > 0 tak, ˇze (b − δ, b + δ) ⊂ Iγb
b − δ < b = sup M ⇒ ∃x ∈ M tak, ˇze b − δ < x ⇒< a, x >⊂
< a, b >⊂< a, x > ∪(b − δ, b + δ)
< a, b >⊂ Iγb ∪ Iγ – konečné sjednocení ⇒ b ∈ M
γ∈Γx
29
Iγ
γ∈Γx
Iγ

Martina Bekrová 13. února 2012
10 Posloupnosti, číselné ˇrady
Věta 10.1: (Stolzova) Necht’ {xn} a {yn} jsou posloupnosti reáln´ych čísel. Necht’ {yn} je rostoucí
a limn→∞ yn = +∞. Pak
pokud poslední limita existuje.
D˚ukaz: BEZ D ˚ UKAZU
Pozn.: Platí i pro posloupnosti komplexních čísel.
xn xn+1 − xn
lim = lim
n→∞ yn n→∞ yn+1 − yn
Def. 10.2: Necht’ {an} je posloupnost komplexních čísel. ˇRekneme, ˇze posloupnost {an} je
konvergentní, jetsliˇze
∃A ∈ C ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : |an − A| < ε.
A se naz´yvá limitou posloupnosti {an} a značí se
lim
n→∞ an = A.
Věta 10.3: Necht’ {an} je posloupnost komplexníxh čísel. Pak
D˚ukaz:
lim
n→∞ an = A ∈ C ⇔ lim
n→∞ Re an = A1 ∈ R ∧ lim
n→∞ Im an = A2 ∈ R ∧ A = A1 + iA2
10.1 Číselné ˇrady
|an − A| = (Re an − Re A) 2 + (Im an − Im A) 2
|an − A| ≥ |Re an − Re A|
|an − A| ≥ |Im an − Im A|
|an − A| ≥ max{|Re an − Re A|, |Im an − Im A|} ⇒ vˇsechno jde k 0
Def. 10.4: Necht’ {an} je posloupnost konečn´ych reáln´ych čísel. Pak symbol
(1)
∞
an = a1 + a2 + . . . + an + . . .
n=1
naz´yváme nekonečnou ˇradou. N-t´y člen ˇrady (1) značíme an. K-t´y částečn´y součet ˇrady (1)
definujeme takto:
k
sk := an = a1 + a2 + . . . + ak.
n=1
ˇRekneme, ˇze ˇrada (1) má součet s ∈ R ∗ , jestliˇze
lim
k→∞ sk = s.
(Tento součet značíme také symbolem (1)) ˇRíkáme, ˇze ˇrada je konvergentní, jestliˇze s ∈ R. V
opačném pˇrípadě ˇríkáme, ˇze ˇrada diverguje k:
• +∞ ⇔ ∞ n=1 = +∞
• −∞ ⇔ ∞ n=1 = −∞
ˇRada osciluje, kdyˇz limita neexistuje.
Pozn.:
lim
k→∞ sk
neexistuje (osciluje)
existuje ↗
vlastní (konverguje)
nevlastní ↗
30
+∞ (diverguje k +∞)
−∞ (diverguje k −∞)

Martina Bekrová 13. února 2012
Věta 10.5: (Nutná podmínka konvergence ˇrady) Necht’ ∞
n=1 an konverguje. Pak limn→∞ an = 0.
D˚ukaz:
a = sn − sn−1
sn → s, sn−1 → s ⇒ an → s − s = 0
Věta 10.6: Necht’ m ∈ N. Pak ˇrady ∞ n=1 an a ∞ n=m+1 an bud’to obě konvergují, nebo divergují k
+∞(−∞), nebo oscilují ⇒ konvergence (divergence) ˇrady se nezmění, vynecháme-li (změníme,
pˇridáme do ní) konečn´y počet člen˚u.
D˚ukaz: k > m, k, m ∈ N
sk = a1 + a2 + . . . + am + am+1 + . . . + ak = a1 + a2 + . . . + am + σk−m
10.2 ˇRady s nezáporn´ymi členy
σk :=
m+k
n=m+1
an
lim
k→∞ σk−m = lim
k→∞ σk = σ
lim
k→∞ sk = s = a1 + a2 + . . . + am + σ
∞
an, an ≥ 0
{sk} je neklesající posloupnost ⇒ ∞
n=1 an konverguje ⇔ {sk} je omezená shora
Věta 10.7: (Srovnávací kritérium) Necht’ ∞ n=1 an a ∞ Pˇredpokládejme, ˇze
0 ≤ an ≤ bn ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0.
Pak platí:
n=1
1. Jestliˇze ∞
n=1 bn konverguje, tak i ∞
n=1 an konverguje.
D˚ukaz: B ÚNO n0 = 1
sk :=
k
an, tk :=
n=1
n=1 bn jsou ˇrady s nezáporn´ymi členy.
sk ≤ tk, {tk} je shora omezená ⇒ {sk} je shora omezená ⇒ konverguje
2. Jestliˇze ∞
n=1 an diverguje, tak i ∞
n=1 bn diverguje.
D˚ukaz: Plyne z 1.
Věta 10.8: Necht’ ∞
n=1 an je konvergentní a α ∈ R. Pak ∞
n=1 αan je konvergentní a platí
∞
∞
αan = α an.
n=1
Necht’ ∞
n=1 an a ∞
n=1 bn jsou konvergentní. Pak i ˇrada ∞
n=1 (an + bn) je konvergentní a platí
n=1
D˚ukaz: Plyne z věty 6.3 o aritmetice limit
n=1
n=1
k
n=1
bn
∞ ∞ ∞
an + bn = (an + bn).
31
n=1

Martina Bekrová 13. února 2012
11 Podílové, odmocninové a kondenzační kritérium
Věta 11.1: (d’Alermbertovo kritérium = podílové) Necht’ ∞
n=1 an je ˇrada reáln´ych čísel s
kladn´ymi členy.
1. Jestliˇze ∃q ∈ (0, 1) ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : an+1
an < q, pak ∞ n=1 an konverguje. Speciálně
ˇrada ∞ n=1 an konverguje, je-li
an+1
lim < 1.
n→∞ an
D˚ukaz: B ÚNO n0 = 1
0 < an = an
an−1
· an−1
· · · · ·
an−2
a2
· a1 < a1 · q
a1
n−1 ⇒
∞
an konverguje
2. Jestliˇze ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : an+1
an ≥ 1, pak ∞ n=1 an diverguje. Speciálně ˇrada ∞ diverguje, je-li
D˚ukaz: B ÚNO n0 = 1
an+1
lim > 1.
n→∞ an
an = an
·
an−1
an−1
· · · · ·
an−2
a2
· a1 > a1 > 0 ⇒
a1
n=1
∞
an diverguje
n=1
n=1 an
Věta 11.2: (Cauchyho kritérium = odmocňovací) Necht’ ∞
n=1 an je ˇrada s nezáporn´ymi členy.
1. Jestliˇze ∃q ∈ (0, 1) ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : n√ an < q, pak ∞
n=1 an je konvergentní.
Speciálně ˇrada ∞
n=1 an konverguje, je-li
D˚ukaz: B ÚNO n0 = 1
lim n√
an < 1.
n→∞
an < q n = q · q n−1 ⇒
∞
an konverguje
2. Jestliˇze platí n√ an ≥ 1 pro nekonečně mnoho n ∈ N, pak ∞
n=1 an je divergentní. Speciálně
∞
n=1 an je divergentní, je-li
D˚ukaz: B ÚNO n0 = 1
n=1
lim n√
an > 1.
n→∞
an ≥ 1 pro nekonečně mnoho n ∈ N ⇒
Pozn.: Bud’ cn posloupnost kladn´ych čísel. Pak platí:
Cauchyho kritérium je silnějˇsí neˇz d’Alembertovo.
∞
an diverguje
n=1
cn+1
lim ≤ lim n√
cn ≤ lim n√
cn ≤ lim
n→∞ cn n→∞ n→∞ n→∞
32
cn+1
cn
.

Martina Bekrová 13. února 2012
Věta 11.3: (Kondenzační kritérium) Necht’ ∞ ˇze ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : an+1 ≤ an. Pak ∞ n=1 an je konvergentní ⇔ ∞ gentní.
D˚ukaz:
⇒ B ÚNO n0 = 1
1
sk =
n=1 an je ˇrada s kladn´ymi členy. Pˇredpokládejme,
k
an; {sk} – neklesající posloupnost
n=1
∃S := lim
n→∞ sk ⇒ ∃ lim
n→∞ s2k = S
n=1 2n a2
n je konver-
2 2k a 2 k = 2 k−1 a 2 k ≤ s 2 k − s 2 k−1 = a 2 k−1 +1 + a 2 k−1 +2 + · · · + a 2 k (2 k−1 sčítanc˚u) ≤ 2 k−1 a 2 k−1
⇒
∞
n=1
2 n a2n konverguje
Necht’ ∞
n=1 an je konvergentní ⇒ S ∈ R
Cosi chybí, protoˇze to nechápu...
⇐ ∞
n=1 2n a2 n konverguje ⇒ s 2 k − s 2 k−1 konverguje ⇒ ∞
n=1 an konverguje
Alternativní d˚ukaz: Pomocí srovnávacího kritéria
∞
∞
an = (a2 + a3) + (a4 + a5 + a6 + a7) + . . . ≤ (a2 + a2) + (a4 + a4 + a4 + a4) + . . . = 2 n a2n n=2
∞
n=1
2 n a2n K ⇒
∞
∞
an K ⇒
∞
∞
an = a1+a2+(a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+. . . ≥ 0+a2+(a4+a4)+(a8+a8+a8+a8)+. . . =
n=1
∞
∞
an K ⇒
n=1
n=1
n=2
1
2 2na2n K ⇒
33
n=1
∞
n=1
an K
2 n a2n K
n=1
n=1
1
2 2n a2 n

Martina Bekrová 13. února 2012
12 Dalˇsí kritéria konvergence ˇrad
Věta 12.1: (Raabeovo kritérium) Bud’ ∞
n=1 an ˇrada s kladn´ymi členy.
1. Jestliˇze ∃r > 1 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : n
an
an
2. Jestliˇze ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : n − 1
an+1
D˚ukaz: BEZ D ˚ UKAZU
an+1
− 1
≥ r, pak ∞
n=1 an konverguje.
≤ 1, pak ∞
n=1 an diverguje.
Def. 12.2: ˇRekneme, ˇze ∞ n=1 an konverguje absolutně, jestliˇze konverguje ∞ n=1 |an|. Jestliˇze
ˇrada konverguje, ale nekonverguje absolutně, ˇríkáme, ˇze ˇrada konverguje neabsolutně.
Věta 12.3: (Bolzano-Cauchyho podmínka pro ˇrady) ˇRada ∞ n=1 an je konvergentní právě tehdy,
kdyˇz platí BC-podmínka:
n
∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n, m ∈ N, n ≥ m ≥ n0 : ai
< ε
D˚ukaz:
∞
an konverguje ⇔ sk :=
n=1
k
n=1
i=m
an, lim
k→∞ sk = s ∈ R ⇔ {sk} splňuje BC-podmínku pro posloupnosti
∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n, m ∈ N, n.m ≥ n0 : |sn − sm| < ε ⇔
n
i=m
Věta 12.4: Kaˇzdá absolutně konvergentní ˇrada je konvergentní.
D˚ukaz:
∞
|an| < ∞ ⇔ ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n, m ∈ N, n ≥ m ≥ n0 :
n=1
n
i=m
ai
≤
n
|ai| < ε ∀n, m ∈ N, n ≥ m ≥ n0
i=m
ai < ε (BÚNO: m < n)
n
|ai| < ε
Věta 12.5: (Leibnizovo kritérium) Necht’ 0 < an+1 ≤ an ∀n ∈ N. Pak ∞
n=1 (−1)n+1 an konverguje
právě tehdy, kdyˇz limn→∞ an = 0
D˚ukaz:
⇒ Jestliˇze ∞
n=1 (−1)n+1 an konverguje, pak
lim
n→∞ (−1)n+1an = 0 ⇔ lim
n→∞ |(−1)n+1 ||an| = 0 ⇔ lim
n→∞ |an| = 0 ⇔ lim
n→∞ an = 0(an > 0)
⇐ Pˇredpokládáme, ˇze limn→∞ an = 0
posloupnost {s2k} je neklesající ⇒ ∃ limn→∞ s2k
s2k+2 = s2k + a2k+1 − a2k+2 ≥ s2k > 0
s2 ≤ s4 ≤ s6 ≤ . . .
s2k+1 = s2k−1 − a2k ≤ s2k−1
posloupnost {s2k+1} je nerostoucí ⇒ ∃ limn→∞ s2k+1
s1 ≥ s3 ≥ s5 ≥ . . .
i=m
s2k = s2k−1 − a2k ≤ s2k−1 ≤ s1 ⇒ lim
n→∞ s2k = s ∈ R
34

Martina Bekrová 13. února 2012
s2k+1 = s2k + a2k
s2k → s, a2k → 0 ⇒ s2k−1 → s
∀ε > 0 ∃k1 ∈ N ∀k ∈ N, k ≥ k1 : |s2k − s| < ε
∀ε > 0 ∃k2 ∈ N ∀k ∈ N, k ≥ k2 : |s2k−1 − s| < ε
Bud’ ε > 0, zvolím n0 := max{2k1, 2k2 − 1} n ∈ N, n ≥ n0 :
n = 2k ≥ n0 ≥ 2k1 ⇒ k ≥ k1 ⇒ |s2k − s| < ε
n = 2k − 1 ≥ n0 ≥ 2k2 − 1 ⇒ k ≥ k2 ⇒ |s2k−1 − s| < ε
12.1 Reálná funkce (jedné) reálné proměnné
f : A → B; A, B ⊂ R
F : M → R; M ⊂ R
Def. 12.6: Necht’ f : M → R, M ⊂ R (pˇredpokládáme, ˇze M ⊂ D(f)). ˇRekneme, ˇze fce f je:
• sudá, jestliˇze ∀x ∈ M : −x ∈ M ∧ f(−x) = f(x)
• lichá, jestliˇze ∀x ∈ M : −x ∈ M ∧ f(−x) = −f(x)
• periodická s periodou p > 0, jestliˇze ∀x ∈ M : x ± p ∈ M ∧ f(x ± p) = f(x)
12.1.1 Okolí bodu a s poloměrem δ
okolí bodu a ∈ R ∗ : U(a, δ) :=
• (a − δ, a + δ), jestliˇze a ∈ R
• ( 1
δ , +∞ >, jestliˇze a = +∞
• < −∞, 1
δ ), jestliˇze a = −∞
redukované (prstencové) okolí bodu: P (a, δ) \ {a}
pravé okolí bodu a ∈ R ∗ \ {+∞}: U+(a, δ) :=
• < a, a + δ), jestliˇze a ∈ R
• < −∞, 1
δ ), jestliˇze a = −∞
pravé redukované okolí bodu: P+(a, δ) := U+(a, δ) \ a
levé okolí bodu a ∈ R ∗ \ {−∞}: U−(a, δ) :=
• (a − δ, a >, jestliˇze a ∈ R
• ( 1
δ , +∞ >, jestliˇze a = +∞
levé redukované okolí bodu: P−(a, δ) := U−(a, δ) \ a
Def. 12.7: Necht’ f : M → R. Necht’ a ∈ R ∗ , A ∈ R ∗ . ˇRekneme, ˇze fce f má v bodě a limitu A,
jestliˇze platí:
∀U(A) ∃P (a) ∀x ∈ P (a) : f(x) ∈ U(A)
a ∈ R, A = +∞
⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ P (a, δ) : f(x) ∈ U(a, ε)
⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0, 0 < |x − a| < δ : |f(x) − A| < ε
∀ε > 0 ∃δ > 0, 0 < |x − a| < δ : f(x) > 1
ε
⇔ ∀K ∈ R ∃δ > 0, 0 < |x − a| < δ : f(x) > K
35

Martina Bekrová 13. února 2012
13 Limity reáln´ych funkcí
Def. 13.1: Necht’ f : M → R, M ⊂ R, a ∈ R ∗ \ {+∞}(R ∗ \ {−∞}). ˇRekneme, ˇze fce f má v bodě
a limitu zprava (zleva) rovnou A ∈ R ∗ (značíme limx→a +(−) f(x) = A), jestliˇze platí:
D˚usledek 13.2: Kdyˇz a ∈ R, pak platí
∀U(A) ∃P+(a) ∀x ∈ P+(a) : f(x) ∈ U(A)
(∀U(A) ∃P−(a) ∀x ∈ P−(a) : f(x) ∈ U(A))
lim f(x) = A ⇔ lim f(x) = A ∧ lim f(x) = A
x→a x→a+
x→a−
Def. 13.3: Necht’ f : M → R, M ⊂ R, a ∈ M. ˇRekneme, ˇze fce f je spojitá v bodě a, jestliˇze
lim f(x) = f(a)
x→a
Pozn. 13.4: ∀U(f(a)) ∃P (a) ∀x ∈ P (a) : f(x) ∈ U(f(a)) ⇔ ∀U(f(a)) ∃U(a) ∀x ∈ U(a) : f(x) ∈ U(f(a))
Def. 13.5: Necht’ f : M → R, M ⊂ R, a ∈ M. ˇRekneme, ˇze fce f je spojitá v bodě a zprava,
jestliˇze
lim f(x) = f(a)
x→a+
ˇRekneme, ˇze fce f je spojitá v bodě a zleva, jestliˇze
lim f(x) = f(a)
x→a−
Pozn.: fce f : M → R, M ⊂ R, a ∈ M je spojitá v bodě a ⇔ je spojitá v bodě a zprava i zleva
13.1 Věty o funkcích
Věta 13.6: Kaˇzdá fce f : M → R, M ⊂ R, a ∈ R ∗ má v bodě a nejv´yˇse jednu limitu (konečnou,
nebo nekonečnou).
D˚ukaz: sporem – pˇredpokládejme A1 = A2
∃U(A1) a U(A2) tak, ˇze U(A1) ∩ U(A2) = Ø
definuji P3(a) = P1(a) ∩ P2(a)
lim
x→a f(x) = A1 ∈ R ∗
lim
x→a f(x) = A2 ∈ R ∗
∀U(A1) ∃P1(a) ∀x ∈ P1(a) : f(x) ∈ U(A1)
∀U(A2) ∃P2(a) ∀x ∈ P2(a) : f(x) ∈ U(A2)
∀x ∈ P3(a) : f(x) ∈ U(A1) ∩ U(A2) = Ø ⇒ SPOR!
Věta 13.7: (Vztah limity a omezenosti) Necht’ f : M → R, M ⊂ R, a ∈ R ∗ . Necht’
Pak existuje P (a) tak, ˇze f je omezená v P (a).
D˚ukaz: U(A, 1) ∃P (a) ∀x ∈ P (a) : f(x) ∈ U(A, 1)
lim f(x) = A ∈ R.
x→a
dolní odhad → A − 1 < f(x) < A + 1 ← horní odhad ⇒ fce f je omezená v P (a)
36

Martina Bekrová 13. února 2012
Věta 13.8: (Heineho věta) Necht’ f : M → R, M ⊂ R, a ∈ R∗ . Pˇredpokládejme, ˇze f je
definována na nějakém P0(a). Pak
lim f(x) = A ⇔
x→a
pro kaˇzdou posloupnost {xn}n∈N platí
D˚ukaz:
⇒ pˇredpokládejme, ˇze limx→a f(x) = A
a = xn → a ⇒ f(xn) → A
(∗) ∀U(A) ∃P (a) ∀x ∈ P (a) : f(x) ∈ U(A)
Bud’ a = xn → a
Necht’ je dáno U(A). Máme najít n0 ∈ N ∀n ≥ n0 : f(xn) ∈ U(A)
Existuje P (a) (podle (∗)) a existuje n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : xn ∈ P (a) ⇒ f(xn) ∈ U(A) (podle (∗))
∀U(A) ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : f(xn) ∈ U(A) ⇔ lim
x→a f(xn) = A
⇐ víme: a = xn → a ⇒ f(xn) → A (2∗), chceme dokázat (∗)
sporem – necht’ platí negace (∗)
∃U(A) ∀P (a) ∃x ∈ P (a) : f(x) ∈ U(A)
zvolím P (a, 1
n ) : f(xn) ∈ U(A)
podle pˇredpokladu (2∗): f(xn) → A ⇒ SPOR!
n ) n ∈ N . . . ∃xn ∈ P (a, 1
Věta 13.9: (Heineho věta pro spojitost funkce) Necht’ f : M → R, M ⊂ R, a ∈ M. Pˇredp.,
ˇze f je definována v nějakém U0(a). Pak f je spojitá v bodě a právě tehdy, kdyˇz pro kaˇzdou
posloupnost {xn}n∈N:
xn → a ⇒ f(xn) → f(a)
D˚ukaz: Plyne z pˇredeˇslé věty a z definice spojitosti. (Analogicky pro jednostranné limity.)
Věta 13.10: (Věta o aritmetice limit) Necht’ limx→a f(x) = A ∈ R ∗ a limx→a g(x) = B ∈ R ∗ . Pak
platí:
1. limx→a(f(x) + g(x)) = A + B, má-li tento součet smysl
2. limx→a(f(x) · g(x)) = AB, má-li tento součin smysl
3. limx→a f(x)
g(x)
A = B , má-li tento podíl smysl
D˚ukaz: Plyne z VOAL posloupností a Heineho věty. (Analogicky pro jednostranné limity.)
Věta 13.11:
lim f(x) = A ⇒ lim |f(x)| = |A|
x→a x→a
D˚ukaz: Plyne z Heineho věty a pˇrísluˇsné věty pro posloupnosti
D˚usledek 13.12: Necht’ f, g jsou spojité v bodě a ∈ R. Pak fce (f + g), (f · g), |f| jsou spojité v
spojitá v bodě a.
bodě a. Jestliˇze navíc g(a) = 0, pak je i fce 1
g
Def. 13.13: Necht’ ai ∈ R, i = 0, . . . , n. Pak funkci
Pn(x) = anx n + an−1x n−1 + . . . + a1x + a0, x ∈ R
naz´yváme polynomem. Je-li an = 0, pak mluvíme o polynomu stupně n.
P, Q – polynomy
R = P
Q . . . racionální funkce
D(R) = R \ {x ∈ R, Q(x) = 0}
R je spojitá v celém D(R) (P je spoj. v R, Q je spoj. v R – z d˚usl. 13.12 vypl´yvá, ˇze R je spojitá v D(R))
37

Martina Bekrová 13. února 2012
Věta 13.14: (Limity a uspoˇrádání)
1. Necht’ limx→a f(x) < limx→a g(x). Pak ∃P (a) tak, ˇze f(x) < g(x) ∀x ∈ P (a).
D˚ukaz:
lim f(x) = A1
x→a
lim g(x) = A2
x→a
A1 < A2, A1 = A2 ⇒ ∃U(A1), U(A2) tak, ˇze U(A1) ∩ U(A2) = Ø
ale U(A1) ∩ U(A2) = Ø ⇒ f(x) < g(x)
∃P1(a) ∀x ∈ P1(a) : f(x) ∈ U(A1)
∃P2(a) ∀x ∈ P2(a) : g(x) ∈ U(A2)
P (a) = P1(a) ∩ P2(a), x ∈ P (a) ⇒ x ∈ P1(a) ∧ x ∈ P2(a)
2. Necht’ ∃P (a) tak, ˇze f(x) ≤ g(x) ∀x ∈ P (a). Necht’ existuje limx→a f(x) a limx→a g(x). Pak
lim f(x) ≤ lim
x→a x→a g(x).
3. Necht’ ∃P (a) tak, ˇze f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) ∀x ∈ P (a). Necht’ limx→a f(x) = limx→a h(x) = A. Pak
lim g(x) = A.
x→a
4. Necht’ ∃P (a) tak, ˇze f(x) ≤ g(x) ∀x ∈ P (a). Necht’ limx→a f(x) = +∞. Pak
lim g(x) = +∞.
x→a
Necht’ ∃P (a) tak, ˇze f(x) ≥ g(x) ∀x ∈ P (a). Necht’ limx→a f(x) = −∞. Pak
lim g(x) = −∞.
x→a
38

Martina Bekrová 13. února 2012
39

Martina Bekrová 13. února 2012
14 Sloˇzená funkce a spojitost
Věta 14.1: (O limitě sloˇzené funkce) Necht’ a ∈ R ∗ a necht’ fce f a g splňují:
Necht’ platí alespoň jedna z podmínek
• (P) ∃P (a) ∀x ∈ P (a) : f(x) = A
• (S) fce g je spojitá v A ∈ R
Pak limx→a g(f(x)) = B.
lim
x→a f(x) = A ∈ R∗ , lim g(y) = B ∈ R
y→A ∗
D˚ukaz: Dle Heineovy věty je tˇreba dokázat: a = xn → a ⇒ g(f(x)) → B. Víme:
(2) a = xn → a ⇒ f(xn) → A
(3) A = yn → A ⇒ g(yn) → B
1. Necht’ platí (P). Necht’ a = xn → a. Pak ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : xn ∈ P (a)
Dle (2) f(xn) → A, A = yn ∀n ≥ n0
Dle (3) g(yn) → B, g(f(xn)) → B
2. Necht’ platí (S). Necht’ a = xn → a
Dle (2) f(xn) → A
A = yn → A ⇒ g(f(xn)) → B
A = yn ⇒ g(yn) má smysl, limita se rovná funkční hodnotě (spojitá v A)
Věta 14.2: Necht’ fce f(x) je spojitá v bodě a a necht’ g je spojitá v f(a). Pak fce h = g ◦ f je
spojitá v a.
Věta 14.3: Necht’ limx→a f(x) = 0 a necht’ ∃P (a) tak, ˇze fce g je omezená v P (a). Pak
D˚ukaz: Plyne z Heineovy věty a věty 7.3
lim f(x)g(x) = 0.
x→a
Věta 14.4: (Bolzano-Cauchyho podmínka) Necht’ f : M → R, m ⊂ R, a ∈ R ∗ . Pak následující
podmínky jsou ekvivalentní:
1. limx→a f(x) = A ∈ R
2. ∀ε > 0 ∃P (a) ∀x, y ∈ P (a) : |f(x) − f(y)| < ε
D˚ukaz:
1. ⇒ 2. víme: ∀ε > 0 ∃P (a) ∀x ∈ P (a) : |f(x) − A| < ε (2)
Bud’ ε > 0 dle (2) ∃P (a) ∀x ∈ P (a) : |f(x) − A| < ε
2
∀x, y ∈ P (a) : |f(x) − A| < ε
ε
; |f(y) − A| <
2 2
|f(x) − f(y)| ≤ |f(x) − A| + |f(y) − A| < ε
40

Martina Bekrová 13. února 2012
2. ⇒ 1. chceme dokázat: a = xn → a ⇒ f(xn) → A ∈ R
Necht’ a = xn, ε > 0
Dle BC-podmínky ∃P (a). Dále víme: ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : xn ∈ P (a)
∀m, n ∈ N, m, n > n0 : |f(xn) − f(xm)| < ε
Dle BC-podmínky pro limity posloupností víme, ˇze existuje limn→∞(f(xn)) = C1 ∈ R
{yn} . . . x1, x1, x2, x2, x3, x3, . . .
je tˇreba dokázat: a = yn → a
14.1 Funkce spojité na intervalu
a = xn → a . . . ∃ lim
n→∞ f(xn) = C2 ∈ R
xn → a . . . ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : xn ∈ U(a)
xn → a . . . ∃n1 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n1 : xn ∈ U(a)
n2 := max{n0, n1}
∀n ∈ N, n ≥ n2 : yn ∈ U(a) ⇒ C2 = C1
Def. 14.5: Necht’ I ⊂ R je interval. Necht’ f : I → R. ˇRekneme, ˇze fce f je spojitá v intervalu I
(značíme f ∈ C(I)), jestliˇze platí:
1. f je spojitá zprava v kaˇzdém bodě a ∈ I, kter´y není koncov´ym bodem intervalu I
2. f je spojitá zleva v kaˇzdém bodě a ∈ I, kter´y není počátečním bodem intervalu I
Věta 14.6: (Darbouxova) Necht’ < a, b >⊂ R a f ∈ C(< a, b >). Necht’ f(a) < f(b) a y ∈ (f(a), f(b)).
Pak existuje c ∈ (a, b) tak, ˇze f(c) = y. (Platí analogie, jetsliˇze f(a) > f(b).)
D˚ukaz: M := {x ∈< a, b >; f(x) ≤ y}
M = Ø(a ∈ M), M je shora omezená (číslem b)
Tedy c := sup M, splňuje c ≤ b
f(cn) → f(c) (f je spojitá v c) ⇒ f(c) ≤ y
dn → c+
(f(dn) → f(c)) ∧ (dn ∈ M ⇒ f(dn) > y) ⇒ f(c) ≥ y
f(c) = y
c − 1
< c
n
c − 1
n < cn ≤ c
y ∈ (f(a), f(b)) ∧ f(c) ≤ y ⇒ f(c) < f(b) ⇒ c < b
41

Martina Bekrová 13. února 2012
15 Spojitost
Věta 15.1: (Spojit´y obraz intervalu) Necht’ I ⊂ R je interval. Necht’ f ∈ C(I). Pak f(I) je
bud’to jednobodová mnoˇzina, nebo interval.
D˚ukaz:
1. Je-li f konstantní, pak f(I) je jednobodová mnoˇzina
2. Necht’ f není konstantní ⇒ f nab´yvá alespoň dvou r˚uzn´ych hodnot
Tvrdí, ˇze f(I) je interval s krajními body α, β
α := inf f(I)
β := sup f(I)
Je-li α < C < β ⇒ C ∈ f(I) . . . ∃c ∈ I : f(c) = C?
Def. infima: ∃A ∈ f(I) : α ≤ A < C
Def. suprema: ∃B ∈ f(I) : C ⊂ R, f ∈ C(< a, b >)
D˚usledek 15.2: Bud’ I ⊂ R interval, f ∈ C(I). Pak bud’to f je konstantní na I a f(I) je
jednobodová mnoˇzina, nebo f není konstantní a f(I) je interval s krajními body α = sup f(I)
a β = inf f(I).
Věta 15.3: (O spojitosti inverzní funkce) Necht’ I ⊂ R je interval, f je spojitá, rostoucí (klesající)
na I. Pak inverzní fce f −1 k fci f je spojitá, rostoucí (klesající) na J = f(I).
D˚ukaz:
f −1 je rostoucí na J, kdyˇz f je rostoucí na I
y1, y2 ∈ J, y1 < y2 : f −1 (y1) < f −1 (y2) ⇔ x1, x2 ∈ I, f(x1) < f(x2) : x1 < x2
sporem: x1 ≥ x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2) ⇒ SPOR!
f −1 je spojitá na J – dokáˇzeme, ˇze f −1 je spojitá zprava v kaˇzdém bodě c ∈ J, kter´y není koncov´ym bodem
intervalu J
c = f(d) . . . ∃c1 ∈ J c < c1 f(d1) = c1
Bud’ ε > 0 ∃d2 ∈ I, d < d2 ≤ d + ε ∧ d2 < d1
f(d2) = c2 c < c2 < c1
δ := c2 − c
y ∈ P+(c, δ) c < y < c2 ⇒ f −1 (c) < f −1 (y) < f −1 (c2) ≤ d + ε
d + ε = f −1 (c) + ε ⇒ |f −1 (y) − f −1 (c)| < ε ⇒ f −1 (y) ∈ U(f −1 (c), ε)
42

Martina Bekrová 13. února 2012
Věta 15.4: (Bolzano-Weierstrassova) Z kaˇzdé omezené posloupnosti {xn} reáln´ych čísel lze
vybrat konvergentní podposloupnost.
D˚ukaz: ∃ < a, b >, a ≤ xn < b, ∀n ∈ N
I1 :=< a1, b1 >=< a, b >
In :=< an, bn >
In+1 :=< an+1, bn+1 >= an, an
+ bn an + bn
∨ , bn
2
2
Zvolím podle toho, ve kterém intervalu leˇzí nekonečně mnoho člen˚u posloupnosti
Inn∈N – posloupnost interval˚u In + 1 ⊂ In = Ø (Cantorova věta)
∃xnk ∈ Ik nk > nk−1, k ∈ N
α ← an ≤ an+1 < bn+1 ≤ bn → β
α ← an ≤ xnk ≤ bn → β
Zb´yvá dokázat, ˇze α = β (pak podle věty o dvou policajtech je podposloupnost {xnk } konvergentní)
|In| = an − bn =
a − b
→ 0 ⇒ α = β
2n−1 Def. 15.5: Bud’ M ⊂ R, f : M → R. ˇRekneme, ˇze fce f nab´yvá v bodě a ∈ M
1. maxima v M jestliˇze ∀x ∈ M : f(x) ≤ f(a)
2. minima v M jestliˇze ∀x ∈ M : f(x) ≥ f(a)
3. ostrého maxima v M jestiˇze ∀x ∈ M \ {a} : f(x) < f(a)
4. ostrého minima v M jestiˇze ∀x ∈ M \ {a} : f(x) > f(a)
Věta 15.6: Necht’ < a, b >⊂ R, f ∈ C(< a, b >). Pak fce f nab´yvá v < a, b > minima a maxima.
D˚ukaz: Dokáˇzeme, ˇze f nab´yvá v < a, b > minima
α := inf f(< a, b >)
∃yn ∈ f(< a, b >), f(xn) = yn → α
∀n ∈ N : a ≤ xn ≤ b {xn} – omezená posloupnost reáln´ych čísel
⇒ ∃{xnk } : xnk → x0 ∈< a, b > (BW)
α ← ynk = f(xnk ) → f(x0)
⇒ α = f(x0)
Def. 15.7: Bud’ f : M → R, M ⊂ R. ˇRekneme, ˇze fce f je stejnoměrně spojitá v mnoˇzině M,
jestliˇze
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ M, |x − y| < δ : |f(x) − f(y)| < ε.
Pozn.: Stejnoměrně spojitá fce f v M je spojitá k kaˇzdém bodě x ∈ M.
43

Martina Bekrová 13. února 2012
Věta 15.8: Necht’ < a, b >⊂ R, f :< a, b >→ R, f ∈ C(< a, b >). Pak f je stejnoměrně spojitá na
< a, b >.
D˚ukaz: V tomto d˚ukazu se nevyskytuje ˇzádné m!
sporem – ∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x1, x2 ∈< a, b >, |x1 − x2| < δ : |f(x1) − f(x2)| ≥ ε
δ = 1
n , n ∈ N ∃x1,n, x2,n ∈< a, b >, |x1,n − x2,n| < 1
n : |f(x1,n), f(x2,n)| ≥ ε
{x1,n}, {x2,n} – omezené posloupnosti ⇒ existují {x1,nk }, {x2,nk } konvergentní vybrané posloupnosti
(Bolzano-Weierstrass)
x1,nk → x1 ∈< a, b >
x2,nk → x2 ∈< a, b >
f(x1,nk ) → f(x1)
f(x2,nk ) → f(x2)
|x1 − x2| ≤ |x1 − x1,nk | + |x1,nk − x2,nk | + |x2,nk − x2|
|x1 − x1,nk | → 0
|x2,nk − x2| → 0
|x1,nk
− x2,nk | → 0
⇒ x1 = x2
ε ≤ |f(x1,nk ) − f(x2,nk )| ≤ |f(x1,nk ) − f(x1)| + |f(x2) − f(x2,nk )|
|f(x1,nk ) − f(x1)| → 0
|f(x2) − f(x2,nk )| → 0
⇒ |f(x1,nk ) − f(x2,nk )| → 0 ∧ |f(x1,nk ) − f(x2,nk )| ≥ ε ⇒ SPOR!
44

Martina Bekrová 13. února 2012
45

Martina Bekrová 13. února 2012
16 Elementární funkce, exponenciela a logaritmus
Def. 16.1: Necht’ f, g : M → R. Pak
• (f + g)(x) = f(x) + g(x)
• (f − g)(x) = f(x) − g(x)
• (fg)(x) = f(x)g(x)
•
f
g
(x) = f(x)
g(x)
1. Konstantní funkce
∀x ∈ R, f ∈ C(R), c ∈ R
2. Identita
∀x ∈ R, f ∈ C(R)
3. Identita na n-tou
∀x ∈ R, Id n ∈ C(R), n ∈ N
4. Identita na −n-tou
∀x ∈ D(f) ∩ D(g) \ {y, g(y) = 0}
Id −n ∈ C(R \ {0}), D(Id −n ) = R \ {0}
5. Polynom
f ∈ C(R), ak ∈ R, k ∈ {0, . . . , n}
an = 0 → polynom n-tého stupně
6. Racionální fce
f(x) = c
Id(x) = x
Id n+1 := Id · Id n
f(x) = x n
Id −n := 1
Id n
f(x) :=
n
akId k
k=0
f := P
Q
P, Q – polynomy, D(f) = R \ {x, Q(x) = 0}, f ∈ C(D(f))
7. Identita na 1
n-tou 0 ≤ x1 < x2 ⇒ xn 1 < xn n x1
2 ⇔ x2
Def. 16.2:
G(f) = {[x, f(x)]; x ∈ D(f)}
< 1 ⇒ Id n je rostoucí
Id 1
n := (Id n ) −1 n ∈ N ∧ n je liché
Id 1
n := (Id n | < 0, ∞)) −1
G(f −1 ) = {[y, f −1 (y)]; y ∈ D(f −1 )} = {[f(x), x]; x ∈ D(f)}
8. Identita na m
n -tou
m ∈ Z, n ∈ N
n ∈ N ∧ n je sudé
⇒ G(f) je souměrn´y s G(f −1 ) podle osy 1. a 3. kvadrantu
Id m
n := (Id m ) 1
n
46

Martina Bekrová 13. února 2012
Věta 16.3: (Existence exponenciální fce) Existuje právě jedna funkce exp : R → R tak, ˇze platí:
1. D(f) = R
2. ∀x, y ∈ R : exp(x + y) = exp x · exp y
3. limx→0
exp x−1
x
= 1
D˚ukaz: BEZ D ˚ UKAZU (2. semestr)
Věta 16.4: (Vlastnosti funkce exp)
1. exp je spojitá a rostoucí v celém D(f) = R
D˚ukaz: exp je spojitá
exp(x + h) − exp x exp x · exp h − exp x
exp h − 1
lim
= lim
= exp x lim = exp x
h→0 h
h→0 h
h→0 h
lim exp y = exp x ⇔ lim (exp y − exp x) = 0 ⇔ lim (exp(x + h) − exp x) = 0
y→x y→x
h→0
y = x + h y → x ⇔ h → 0
Věta o limitě sloˇzené fce y = x + h – splňuje podmínku (P)
2. exp 0 = 1
D˚ukaz: ∃x0 ∈ R : exp x0 = 0
3. exp x > 0 ∀x ∈ R
lim
h→0
exp(x + h) − exp x
h = 0 ⇒ exp je spojitá
h
exp x0 = exp(x0 + 0) = exp x0 · exp 0 ⇒ exp 0 = 1
D˚ukaz: D˚usledek fakt˚u, ˇze limx→−∞ exp x = 0 a exp je rostoucí
4. exp(−x) = 1
exp x
D˚ukaz:
exp x = (exp x
2 )2 ≥ 0
1 = exp 0 = exp(x + (−x)) = exp x · exp(−x) ⇒ exp x = 0 ∀x ∈ R
∀x ∈ R
5. exp nx = (exp x) n ∀x ∈ R, n ∈ N
D˚ukaz: indukcí
6. limx→∞ exp x = +∞
D˚ukaz: n ∈ N
1 = exp x · exp(−x) ⇒ exp(−x) = 1
exp x
lim exp n = lim exp(1 + 1 . . . + 1) = lim exp n · 1 = lim
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ (exp 1)n = +∞
exp 1 > exp 0 (exp je rostoucí fce)
∀K > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : exp n > K
∀K > 0 ∃n0 ∈ N ∀x ∈ R, x ≥ n0 : exp x ≥ exp n0 > K
47

Martina Bekrová 13. února 2012
7. limx→−∞ exp x = 0
D˚ukaz: x = −y splňuje podmínku (P)
8. R(exp) = (0, ∞)
D˚ukaz: zobrazuje interval na interval
9. exp 1 = e
D˚ukaz:
lim exp x = lim exp(−y) = lim
x→−∞ y→∞ y→∞
1
= 0
exp y
e = lim 1 +
n→∞
1
n = lim
n n→∞ exp
n · ln 1 + 1
= lim
n n→∞ exp ln 1 + 1
n
1 = exp 1
ln 1 + 1
n → 1 podle 16.6.7
posloupnost m˚uˇze mít maximálně jednu limitu ⇒ exp 1 = e
Def. 16.5: (Zavedení logaritmické funkce)
Věta 16.6: (Vlastnosti fce ln)
1. D(ln) = (0, ∞), R(ln) = R
D˚ukaz:
2. ln je spojitá a rostoucí na (0, ∞)
1
n
ln := exp −1
D(ln) = R(exp) = (0, ∞)
R(ln) = D(exp) = R
D˚ukaz: inverzní fce exp je spojitá a rostoucí ⇒ ln je spojitá a rostoucí
3. ln 1 = 0, ln e = 1
D˚ukaz:
4. ∀x, y ∈ (0, ∞) : ln(x · y) = ln x + ln y
D˚ukaz: X, Y ∈ R
5. ln(x 1
n ) = 1
n ln x ∀x ∈ D(ln), ∀n ∈ N
D˚ukaz:
ln 1 = 0 ⇔ 1 = exp 0
ln e = 1 ⇔ e = exp 1
x = exp X
y = exp Y
ln(exp X · exp Y ) = ln(exp(X + Y )) = X + Y = ln x + ln y
ln x = ln
6. x ∈ (1, ∞) ⇒ ln x > 0, x ∈ (0, 1) ⇒ ln x < 0
D˚ukaz:
x 1
n
n
1
· ln x = ln
n
48
= n · ln
x 1
n
x 1
n
n

Martina Bekrová 13. února 2012
7. limx→0 ln(1+x)
x
= 1
D˚ukaz: y = ln(1 + x) = 0, protoˇze je to prostá fce – platí podmínka (P)
8. limx→∞ ln x = ∞
D˚ukaz:
exp y = 1 + x ⇒ x = exp y − 1
ln(x + 1)
lim = lim
x→0 x y→0
9. limx→0+ ln x = −∞
D˚ukaz: y = 1
x = 0 – platí podmínka (P)
Def. 16.7: a > 0, b ∈ R
1. a b := exp(b · ln a)
y
= lim
exp y − 1 y→0
lim
n→∞ ln 2n = lim n · ln 2 = ∞
n→∞
1
exp y−1
y
∀K > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : ln 2 n > K
= 1
∀K > 0 ∃n0 ∈ N ∀x ∈ R, x ≥ n0, x ≥ 2 n0 : ln x ≥ ln 2 n0 > K
1
lim ln x = lim ln = − lim ln y = −∞
x→0+ y→∞ y n→∞
0 = ln 1 = ln(x · 1
1
1
) = ln x + ln ⇒ − ln x = ln
x x x
2. a x := exp(x · ln a) a > 0, x ∈ R (obecná exponenciála)
3. x a := exp(a · ln x) x > 0, a ∈ R (obecná mocnina)
4. log a x :=
ln x
ln a
x ∈ (0, ∞), a ∈ (0, ∞) \ {1} (logaritmická fce o základu a)
Pozn.: a = m
n , m ∈ Z, n ∈ N, x > 0
x m
m
1
n = exp · ln x = exp · ln xm = exp ln (x
n n m ) 1
1
n m n = (x )
Pozn.: inverzní funkce k y = a x , a = 1, a > 0
ln x 2 = ln x + ln x = 2 ln x
ln x n = n ln x
y = a x = exp(x ln a)
x =
ln y = x ln a
ln y
ln a = log a y
49

Martina Bekrová 13. února 2012
17 Goniometrické a cyklometrické funkce
17.1 Goniometrické funkce
Věta 17.1: (Zavedení fcí sin, cos a čísla π) Existuje právě jedna fce sin : R → R, existuje právě
jedna fce cos : R → R, existuje právě jedno číslo π ∈ R tak, ˇze platí:
1. D(sin) = R, D(cos) = R
2. sin je lichá fce, cos je sudá fce
3. sin je rostoucí v intervalu 0, π
π
2 , sin 0 = 0, sin 2 = 1
4. ∀x, y ∈ R :
5. limx→0
sin x
x
= 1
Věta 17.2: (Některé vlastnosti sin a cos)
1. cos 0 = 1
2. ∀x ∈ R : sin 2 x + cos 2 x = 1
3. cos π
2 = 0
4. ∀k ∈ Z ∀x ∈ R :
5. ∀x ∈ R : sin 2x = 2 sin x cos x
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y
sin x + π
2
= cos x; cos
x + π
2
= sin x
sin(x + π) = − sin x; cos(x + π) = − cos x
sin(x + 2kπ) = sin x; cos(x + 2kπ) = cos x
6. ∀x ∈ R : cos 2x = cos 2 x − sin 2 x = 1 − 2 sin 2 x = 2 cos 2 x − 1
7. sin ∈ C(R)
D˚ukaz: ∀x, y ∈ R
VOLSF – absolutní hodnota je spojitá fce
sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y
sin(x + y) − sin(x − y) = 2 cos x sin y
x + y = a, x − y = b
a + b a − b
x = , y =
2 2
a + b a − b
sin a − sin b = 2 cos sin ∀a, b ∈ R
2 2
|sin a − sin b| = 2
a + b
cos
a − b
2 sin
2 ≤ 2
a − b
sin
2
0 ≤ lim |sin a − sin b| ≤ 2 lim
a→b a→b ·
a − b
2 = 0
sin a−b
2
a−b
2
VO2P ⇒ lima→b |sin a − sin b| = 0 ⇔ lima→b(sin a − sin b) = 0
⇒ lim
a→b sin a = sin b ∀b ∈ R
⇒ sin ∈ C(R)
50

Martina Bekrová 13. února 2012
8. cos ∈ C(R)
9. sin 2 x =
10. limx→0
D˚ukaz:
1−cos 2x
2 ; cos2 1+cos 2x
x = 2
1−cos x
x 2
= 1
2
D˚ukaz: NEUVEDL, ALE ZKOU ˇ S Í!
Def. 17.3: (Tangens, kotangens)
1 − cos x
lim
x→0 x2 = lim
x→0
tgx :=
sin x
cos x
cotgx :=
17.2 Cyklometrické funkce
Def. 17.4:
cos x
sin x
arcsin :=
2 sin 2
x
2
2 =
· 4 1
2 lim
x→0
x
2
2 x sin 2
x
2
π
∀x ∈ R \ + kπ , k ∈ Z
2
∀x ∈ R \ {kπ} , k ∈ Z
sin |
− π
2
π
−1 ,
2
arccos := (cos | 〈0, π〉) −1
arctg :=
tg|
− π π
−1 ,
2 2
arccotg := (cotg| (0, π)) −1
51
2 = 1
2

Martina Bekrová 13. února 2012
18 Hyperbolické funkce, derivace
18.1 Hyperbolické funkce
18.2 Derivace
sinh x := ex − e −x
2
∀x ∈ R
cosh x := ex + e−x 2
∀x ∈ R
sinh x
tgh x :=
cosh x
∀x ∈ R
(cosh x ≥ 1 ∀x ∈ R)
cotgh x :=
cosh x
sinh x
∀x ∈ R \ {0}
Def. 18.1: Necht’ f je reálná fce reálné proměnné. Necht’ x0 ∈ R. Pak definujeme derivaci f ′ (x0)
fce f v bodě x0 pˇredpisem
f ′ f(x) − f(x0)
(x0) = lim
x→x0 x − x0
(za pˇredpokladu, ˇze daná limita existuje).
Pozn.:
1. Jestliˇze existuje f ′ (x0), pak f je definována v jistém okolí U(x0)
derivace zprava:
derivace zleva:
f ′ f(x) − f(x0)
+(x0) = lim
x→x0 + x − x0
f ′ f(x) − f(x0)
−(x0) = lim
x→x0− x − x0
2. Necht’ A ∈ R ∗ . Pak: f ′ (x0) = A ⇔ f ′ +(x0) = A ∧ f ′ −(x0) = A
3.
18.2.1 Geometrick´y v´yznam derivace
Směrnice sečky grafu fce f:
f ′ f(x0 + h) − f(x0)
(x0) = lim
h→0 h
f(x) − f(x0)
x − x0
Směrnice tečny grafu fce f v bodě x0 (tečna – limitní poloha):
18.2.2 Fyzikální v´yznam derivace
f(x) − f(x0)
lim
x→x0 x − x0
Hmotn´y bod se pohybuje po ose x rychlostí v = f(t).
Pr˚uměrná rychlost v intervalu 〈t0, t〉:
f(t) − f(t0)
t − t0
Okamˇzitá rychlost v čase t0:
f(t) − f(t0)
lim
t→t0 t − t0
52

Martina Bekrová 13. února 2012
Věta 18.2: Bud’ f reálná fce reálné proměnné. Necht’ x0 ∈ R a necht’ existuje konečná derivace
f ′ (x0) ∈ R. Pak f je spojitá v x0.
D˚ukaz: chceme dokázat:
lim f(x) = f(x0) ⇔ lim (f(x) − f(x0)) = 0
x→x0
x→x0
f(x) − f(x0)
lim (f(x) − f(x0)) = lim
· (x − x0) = f
x→x0
x→x0 x − x0
′ (x0) · 0 = 0
Věta 18.3: (Aritmetika derivací) Necht’ f, g jsou reálné fce reálné proměnné. Necht’ x0 ∈ R
a necht’ existují f ′ (x0) ∈ R ∗ , g ′ (x0) ∈ R ∗
1. (f + g) ′ (x0) = f ′ (x0) + g ′ (x0), má-li PS smysl.
D˚ukaz:
(f + g)(x) − (f + g)(x0)
x − x0
= f(x) − f(x0)
x − x0
= f(x) + g(x) − f(x0) − g(x0)
x − x0
+ g(x) − g(x0)
x − x0
2. Jestliˇze alespoň jedna z fcí f, g je spojitá v bodě x0, pak
má-li PS smysl.
D˚ukaz: BÚNO f je spojitá v x0
(f · g) ′ (x0) = f ′ (x0)g(x0) + f(x0)g ′ (x0),
(fg)(x) − (fg)(x0)
x − x0
= f(x)g(x) − f(x0)g(x0)
x − x0
= f(x)g(x) − f(x)g(x0) + f(x)g(x0) − f(x0)g(x0)
x − x0
g(x) − g(x0) f(x) − f(x0)
= f(x) + g(x)
x − x0
x − x0
(g je spojitá v x0 ⇒ pˇridáme: −g(x)f(x0) + g(x)f(x0))
3. Jestliˇze fce g je spojitá v bodě x0 a g(x0) = 0, pak
má-li PS smysl.
′
f
g
D˚ukaz:
f
g (x) −
x − x0
= f ′ (x0)g(x0) − f(x0)g ′ (x0)
(g(x0)) 2 ,
f
g (x0)
=
f(x)g(x0)−f(x0)g(x)
g(x)g(x0)
x − x0
= f(x)g(x0) − f(x0)g(x0) + f(x0)g(x0) − f(x0)g(x) 1
·
x − x0
g(x)g(x0) =
f(x) − f(x0) g(x) − g(x0)
1
=
g(x0) − f(x0) ·
x − x0
x − x0
g(x)g(x0)
53
=
=
=
=

Martina Bekrová 13. února 2012
19 Derivace sloˇzené a inverzní funkce, derivace vyˇsˇsích ˇrád˚u
Věta 19.1: (Derivace sloˇzené fce) Necht’ fce f má derivaci v bodě y0. Necht’ fce g má derivaci
v bodě x0, y0 = g(x0) a necht’ fce g je spojitá v bodě x0. Pak
má-li PS smysl.
D˚ukaz:
1. F je spojitá v y0
(f ◦ g) ′ (x0) = f ′ (g(x0)) · g ′ (x0),
F (y) =
f(y) − f(y0)
y − y0
F (y) = f ′ (y0) y = y0
y ∈ P (y0, δ)
f(y) − f(y0)
lim F (y) = lim
= f
y→y0
y→y0 y − y0
′ (y0) = F (y0)
2. Protoˇze také g je spojitá v x0, tak podle věty o spojitosti sloˇzené fce je i F ◦ g spojitá v x0
3. Platí ∀P (x0, ∆)
(a) x ∈ P (x0, ∆), g(x) = g(x0)
F (g(x0)) ·
(b) x ∈ P (x0, ∆), g(x) = g(x0)
0 =
⇒ lim F (g(x)) = F (g(x0)) = F (y0)
x→x0
f(g(x)) − f(g(x0))
x − x0
4. F je spojitá v y0 – platí podmínka (S)
= F (g(x0)) ·
g(P (x0, ∆)) ⊂ U(y0, δ)
g(x) − g(x0)
x − x0
= f(g(x)) − f(g(x0))
f(g(x)) − f(g(x0))
x − x0
g(x) − g(x0)
x − x0
g(x) − g(x0)
= F (g(x0)) ·
· g(x) − g(x0)
g(x) − g(x0)
x − x0
x − x0
lim F (g(x)) = lim F (y) = F (y0) = f
x→x0
y→y0
′ (y0) = f ′ (g(x0))
f(g(x)) − f(g(x0))
g(x) − g(x0)
lim
= lim F (g(x0)) · = f
x→x0 x − x0
x→x0
x − x0
′ (g(x0)) · g ′ (x0)
Věta 19.2: (Derivace inverzní fce) Necht’ f je spojitá a ryze monotónní v intervalu I := (a, b) ⊂
R, x0 ∈ I.
1. Je-li f ′ (x0) ∈ R ∗ \ {0}, pak
D˚ukaz:
f −1 ′ (y0) =
h(x) :=
lim h(x) = lim
x→x0 x→x0
1
f ′ (f −1 (y0)) , y0 = f(x0).
x − x0
, x ∈ P (x0)
f(x) − f(x0)
54
1
f(x)−f(x0)
x−x0
= 1
f ′ (x0)
= 0

Martina Bekrová 13. února 2012
f : I → J := f((a, b))
f −1 : J → I
y0 = f(x0) ∈ Int J (Int J – vnitˇrek intervalu J)
−1
lim h ◦ f
y→y0
(y) = 1
f ′ (x0) =
1
f ′ (f −1 (y0))
Dle věty o spojitosti inverzní fce je f −1 spojitá v J ⇒ f −1 je spojitá v bodě y0
f −1 splňuje podmínku (P), protoˇze je ryze monotónní
−1
lim h ◦ f
y→y0
f
(y) = lim
y→y0
−1 (y) − f −1 (y0)
f(f −1 (y)) − f(f −1 f
= lim
(y0)) y→y0
−1 (y) − f −1 (y0)
=
y − y0
f −1 ′
(y0)
2. Je-li f ′ (x0) = 0 a f je rostoucí (klesající), pak
−1
f
′ f −1
(y0) = +∞
′
(y0) = −∞
D˚ukaz: f je rostoucí, f −1 (x0) = 0
dále postupujeme jako v pˇrípadě 1.
f(x) − f(x0)
x − x0
lim h(x) = lim
x→x0 x→x0
> 0 ∀x ∈ P (x0)
1
f(x)−f(x0)
x−x0
= +∞
Def. 19.3: (Derivace vyˇsˇsích ˇrád˚u) Necht’ fce f má v jistém okolí bodu x0 derivaci ˇrádu n ∈ N.
Pak definujeme (n + 1)-ní derivaci fce f v bodě x0 pˇredpisem
má-li daná limita smysl.
f (n+1) (x0) := lim
x→x0
f (n) (x) − f (n) (x0)
,
x − x0
Věta 19.4: (Leibnizova formule) Necht’ f, g mají v bodě x0 vlastní derivace ˇrádu n ∈ N. Pak
D˚ukaz: Matematickou indukcí
1. n = 1
(∗) (fg) (n) (x0) =
n
k=0
(fg) ′ (x0) = f ′ (x0)g(x0) + f(x0)g ′ (x0) =
2. pˇredpokládáme, ˇze (*) platí pro nějaké n ∈ N
n
f
k
(k) (x0)g (n−k) (x0).
55
1
k=0
1
f
k
(k) (x0)g (n−k) (x0)

Martina Bekrová 13. února 2012
3. dokáˇzeme, ˇze (*) platí pro n + 1
=
n
l=1
=
n
k=0
l=1
=
=
n
k=0
(fg) (n+1) (x0) =
n
k=0
(fg) (n) ′
(x0) =
n
f
k
(k) (x0)g (n−k)(x0)
′
(x0) =
n
f
k
(k+1) g (n−k) + f (k) g (n−k+1)
(x0) =
n
f
k
(k+1) (x0)g (n−k) (x0) +
n+1
n
=
l − 1
n
l − 1
+
f (l) (x0)g (n−l+1) (x0) +
n
k=0
n
f
k
(k) (x0)g (n−k+1) (x0) =
n
l=0
n
f
l
(l) (x0)g (n−l+1) (x0) =
n
f
l
(l) (x0)g (n−l+1) (x0) + f(x0)g (n+1) (x0) + f (n+1) (x0)g(x0) =
n+1
n + 1
=
f
l
(l) (x0)g (n−l+1) (x0)
l=0
56

Martina Bekrová 13. února 2012
57

Martina Bekrová 13. února 2012
20 Diferenciál a extrémy
Def. 20.1: ˇRekneme, ˇze fce f má v bodě x0 ∈ R diferenciál, jestliˇze existuje U(x0), A ∈ R, fce η,
která je spojitá v x0 a η(x0) = 0, tak, ˇze platí
(∗) f(x) − f(x0) = A(x − x0) + (x − x0)η(x) ∀x ∈ U(x0).
Má-li f diferenciál v bodě x0, pak fci x → A(x−x0), x ∈ R, naz´yváme diferenciálem fce f v bodě
x0. Tuto fci značíme df(x0) a její hodnotu v bodě x ∈ R df(x0; x). Tedy df(x0; x) = A(x − x0)
pro kaˇzdé x ∈ R.
Pozn.: f(x) − f(x0) . = A(x − x0) pro x ∈ U(x0)
Chyba je podstatně menˇsí, neˇz-li |x − x0|. Pˇresněji
f(x) − f(x0) − A(x − x0)
lim
= lim η(x) = η(x) = 0.
x→x0 x − x0
x→x0
Věta 20.2: (Vztah mezi diferenciálem a derivací) Funkce f má diferenciál v bodě x0 právě
tehdy, kdyˇz existuje f ′ (x0) ∈ R. Pak df(x0; x) = f ′ (x0)(x − x0) pro kaˇzdé x ∈ R.
D˚ukaz:
⇒ Pˇredpokládejme, ˇze existuje diferenciál df(x0)
f(x) − f(x0) A(x − x0) − (x − x0)η(x)
lim
= lim
= lim [A + η(x)] = A + lim η(x) = A ∈ R
x→x0 x − x0 x→x0 x − x0
x→x0
x→x0
⇒ ∃ f ′ (x0) = A
⇐ Pˇredpokládejme, ˇze ∃ f ′ (x0) ∈ R ⇒ f je definována v jistém U(x0)
Tedy fce η je spojitá v bodě x0
η(x) :=
f(x) − f(x0)
x − x0
− f ′ (x0) x ∈ P (x0)
η(x) := 0 x = x0
f(x) − f(x0)
lim η(x) = lim
− f
x→x0 x→x0 x − x0
′
(x0) = f ′ (x0) − f ′ (x0) = 0 = η(x0)
Tedy f má diferenciál v bodě x0 a platí
f(x) − f(x0) = f ′ (x0)(x − x0) + (x − x0)η(x) ∀x ∈ U(x0)
df(x0; x) = f ′ (x0)(x − x0) ∀x ∈ R
Def. 20.3: (Lokální extrémy) Bud’ f : M → R, M ⊂ R, x0 ∈ M. ˇRekneme, ˇze
1. fce f má v bodě x0 lokální maximum na mnoˇzině M, jestliˇze existuje U(x0) tak, ˇze fce f
má maximum v bodě x0 na U(x0) ∩ M
2. fce f má v bodě x0 ostré lokální maximum na mnoˇzině M, jestliˇze existuje U(x0) tak, ˇze
fce f má ostré maximum v bodě x0 na U(x0) ∩ M
3. fce f má v bodě x0 lokální minimum na mnoˇzině M, jestliˇze existuje U(x0) tak, ˇze fce f
má minimum v bodě x0 na U(x0) ∩ M
4. fce f má v bodě x0 ostré lokální minimum na mnoˇzině M, jestliˇze existuje U(x0) tak, ˇze
fce f má ostré minimum v bodě x0 na U(x0) ∩ M
Pozn.: Lokálními extrémy myslíme lokální maxima nebo minima na M.
58

Martina Bekrová 13. února 2012
Věta 20.4: (Vztah lokálních extrém˚u a derivace) Necht’ fce f má v bodě x0 lokální extrém.
Jestliˇze existuje f ′ (x0), pak f ′ (x0) = 0.
D˚ukaz: Sporem: pˇredpokládejme, ˇze f ′ (x0) = 0. Necht’ napˇr. f ′ (x0) > 0 ⇒ existuje P (x0) tak, ˇze platí
⇒ v bodě x0 nem˚uˇze b´yt lokální extrém
f(x) − f(x0)
x − x0
> 0 ∀x ∈ P (x0)
⇒ f(x) > f(x0) ∀x ∈ P+(x0)
⇒ f(x) < f(x0) ∀x ∈ P−(x0)
Pozn.: Lokální extrémy mohou b´yt pouze v bodech x0 takov´ych, ˇze f ′ (x0) = 0 ∨ f ′ (x0) neexistuje.
Pozn.: Necht’ f :< a, b >→ R, a, b ∈ R, a < b. Necht’ fce f má v bodě x0 ∈< a, b > maximum (minimum).
Pokud x0 ∈ (a, b), pak f má v bodě x0 lokální maximum (minimum). Body podezˇrelé z extrému: body, kde
je lokální extrém + krajní body.
Věta 20.5: (Rolleova věta) Necht’ a, b ∈ R, a < b. Necht’
1. f ∈ C(< a, b >),
2. f ′ (x) existuje ∀x ∈ (a, b),
3. f(a) = f(b) = 0.
Pak existuje ξ ∈ (a, b) tak, ˇze f ′ (ξ) = 0.
D˚ukaz: Protoˇze f je spojitá na < a, b >, f nab´yvá maxima a minima
1. Pˇredpokládejme, ˇze body, v nichˇz fce f nab´yvá maxima a minima leˇzí v mnoˇzině {a, b} ⇒ f(x) = 0
∀x ∈ (a, b) a za bod ξ lze vzít libovoln´y bod z (a, b).
2. Necht’ alespoň jeden z bod˚u, v nichˇz fce f nab´yvá maxima a minima neleˇzí v mnoˇzině {a, b}. Označme
ho ξ ∈ (a, b), f má v bodě ξ lokální extrém. Odtud, z věty 20.4 a z pˇredpokladu 3 plyne, ˇze f ′ (ξ) = 0.
Věta 20.6: (Lagrangeova věta o stˇrední hodnotě, o pˇrír˚ustku fce) Necht’ a, b ∈ R, a < b. Necht’
1. f ∈ C(< a, b >),
2. f ′ (x) existuje ∀x ∈ (a, b).
Pak existuje ξ ∈ (a, b) tak, ˇze
D˚ukaz:
f ′ (ξ) =
F (x) := f(x) − f(a) −
f(b) − f(a)
.
b − a
f(b) − f(a)
(x − a), x ∈< a, b >
b − a
F ∈ C(< a, b >) – aritmetika spojitosti
F ′ (x) existuje ∀x ∈ (a, b) – aritmetika derivací
F (a) = 0 = F (b)
F splňuje pˇredpoklady Rollovy věty ⇒ ∃ξ ∈ (a, b) takové, ˇze F ′ (ξ) = 0
0 = F ′ (ξ) = f ′ (ξ) −
⇒ f ′ (ξ) =
f(b) − f(a)
b − a
f(b) − f(a)
b − a
59

Martina Bekrová 13. února 2012
Věta 20.7: (Cauhyova věta) Necht’ a, b ∈ R, a < b. Necht’
1. f, g ∈ C(< a, b >),
2. min{f ′ (x), g ′ (x)} ∈ R ∀x ∈ (a, b) (f a g mají derivaci, v kaˇzdém bodě je alespoň jedna z nich
konečná),
3. g ′ (x) = 0 ∀x ∈ (a, b).
Pak existuje ξ ∈ (a, b) tak, ˇze
D˚ukaz:
f ′ (ξ)
g ′ f(b) − f(a)
=
(ξ) g(b) − g(a) .
F (x) := (f(x) − f(a))(g(b) − g(a)) − (g(x) − g(a))(f(b) − f(a)), x ∈< a, b >
F ∈ C(< a, b >) – aritmetika spojitosti
F ′ (x) existuje ∀x ∈ (a, b) – aritmetika derivací
F ′ (x) = f ′ (x)(g(b) − g(a)) − g ′ (x)(f(b) − f(a)), ∀x ∈ (a, b)
F (a) = 0 = F (b)
F splňuje pˇredpoklady Rollovy věty ⇒ ∃ξ ∈ (a, b) takové, ˇze F ′ (ξ) = 0
Podle Lagraneovy věty existuje η ∈ (a, b) taková, ˇze
0 = F ′ (ξ) = f ′ (ξ)(g(b) − g(a)) − g ′ (ξ)(f(b) − f(a))
g(b) − g(a) = g ′ (η)(b − a)
g ′ (η) = 0 ∧ (b − a) = 0 ⇒ g(b) − g(a) = 0
f ′ (ξ) = g ′ (ξ) ·
f(b) − f(a)
g(b) − g(a)
Pozn.: Nespojitá fce nemusí mít maximum a minimum (napˇr.: f(x) = 1
x ).
60

Martina Bekrová 13. února 2012
61

Martina Bekrová 13. února 2012
21 Derivace a monotonnie, limity derivací
Věta 21.1 (Vztah mezi znaménkem derivace a monotonnií) Necht’ I je interval, I ⊂ R, f ∈ C(I).
Jestliˇze
1. ∀x ∈ Int I f ′ (x) ≥ 0, pak f je neklesající v I,
D˚ukaz: x1, x2 ∈ I, x1 < x2, f ∈ C(< x1, x2 >), ∃ξ ∈ (x1, x2)
2. ∀x ∈ Int I f ′ (x) > 0, pak f je rostoucí v I,
3. ∀x ∈ Int I f ′ (x) ≤ 0, pak f je nerostoucí v I,
4. ∀x ∈ Int I f ′ (x) < 0, pak f je klesající v I.
f(x2) − f(x1) = f ′ (ξ)(x2 − x1)
f ′ (ξ) ≤ 0 ∧ (x2 − x1) > 0 ⇒ f(x1) ≤ f(x2)
Věta 21.2 (Limity derivací) Bud’ f reálná funkce reálné proměnné, necht’ x0 ∈ R a f je spojitá
zprava v bodě x0. Necht’ existuje P+(x0) tak, ˇze v P+(x0) má fce f vlastní derivaci. Necht’
limx→x0 + f ′ (x) = A ∈ R ∗ . Pak f ′ +(x0) = A.
D˚ukaz: x ∈ P+(x0), f ∈ C(< x0, x >), podle Lagrangeovy věty ∃ξx ∈ (x0, x) takové, ˇze
f(x) − f(x0)
x − x0
= f ′ (ξx)
f ′ f(x) − f(x0)
+(x0) = lim
= lim f
x→x0 + x − x0 x→x0 +
′ (ξx)
VOLSF limx→x0 + ξx = x0 (VO2P) ξx = x0 – platí podmínka (P)
Pozn.: Platí analogie pro derivaci zleva.
lim f
x→x0 +
′ (ξx) = lim f
x→x0 +
′ (x) = A
62

Martina Bekrová 13. února 2012
63

Martina Bekrová 13. února 2012
22 Konvexnost a konkávnost
Def. 22.1: Necht’ I ⊂ R je interval. Necht’ f : I → R. ˇRekneme, ˇze
1. fce f je konvexní v I, jestliˇze
∀x1, x2 ∈ I ∀λ ∈ (0, 1) : f(λx1 + (1 − λ)x2) ≤ λf(x1) + (1 − λ)f(x2) (1),
2. fce f je ryze konvexní v I, jestliˇze
∀x1, x2 ∈ I, x1 = x2, ∀λ ∈ (0, 1) : f(λx1 + (1 − λ)x2) < λf(x1) + (1 − λ)f(x2),
3. fce f je konkávní v I, jestliˇze
∀x1, x2 ∈ I ∀λ ∈ (0, 1) : f(λx1 + (1 − λ)x2) ≥ λf(x1) + (1 − λ)f(x2),
4. fce f je ryze konkávní v I, jestliˇze
∀x1, x2 ∈ I, x1 = x2, ∀λ ∈ (0, 1) : f(λx1 + (1 − λ)x2) > λf(x1) + (1 − λ)f(x2).
Pozn.: Fce f je (ryze) konvexní ⇔ fce −f je (ryze) konkávní.
Lemma 22.2: Fce f je konvexní v I ⊂ R právě tehdy, kdyˇz
∀x1, x, x2 ∈ I, x1 < x < x2 : f(x) ≤ f(x1) + f(x2) − f(x1)
(x − x1) (2)
x2 − x1
D˚ukaz:
⇒ Pˇredpokládejme, ˇze fce f je konvexní. Necht’ x1, x, x2 ∈ I, x1 < x < x2
Dle (1):
⇐ Necht’ λ ∈ (0, 1), x1, x2 ∈ I
1. x1 < x2
Dle (2):
2. x1 > x2
λ =
x − x2
x1 − x2
x = λx1 + (1 − λ)x2
λ(x1 − x2) = x − x2
x2 − x1
∈ (0, 1) ⇒ 1 − λ =
x − x1
x2 − x1
f(x) ≤ x2 − x x − x1
f(x1) + f(x2)
x2 − x1
f(x) ≤
x2 − x1
x2 − x1
+ x1
− x
f(x1) +
x2 − x1
x − x1
f(x2)
x2 − x1
f(x) ≤ f(x1) + f(x2) − f(x1)
(x − x1)
x2 − x1
x := λx1 + (1 − λ)x2
x1 < x < x2
f(λx1 + (1 − λ)x2) ≤ f(x1) + f(x2) − f(x1)
(x − x1)
x2 − x1
s := (1 − λ) ∈ (0, 1) ⇒ (1 − s) = λ
f(sx2 + (1 − s)x1) ≤ sf(x2) + (1 − s)f(x1)
f(λx1 + (1 − λ)x2) ≤ λf(x1) + (1 − λ)f(x2)
64

Martina Bekrová 13. února 2012
Lemma 22.3: Fce f je konvexní na intervalu I ⊂ R právě tehdy, kdyˇz pro kaˇzdé tˇrí body
x1, x, x2 ∈ I, x1 < x < x2, platí kterákoliv z následujících tˇrí nerovností
f(x1) − f(x)
x1 − x
≤ f(x2) − f(x1)
x2 − x1
D˚ukaz: Dokáˇzeme napˇríklad ekvivalenci první nerovnosti s (1)
(3) ⇒ (1) x2, x1 ∈ I, x1 < x2, λ ∈ (0, 1)
x := λx1 + (1 − λ)x2
≤ f(x2) − f(x1)
x2 − x
[f(x1) − f(x)](x2 − x1) ≥ [f(x) − f(x1)](x2 − x1)
f(x2)(x − x1) + f(x1)(x2 − x) ≥ f(x)(x2 − x1)
f(x) ≤ x2 − x
f(x1) +
x2 − x1
(1) ⇒ (3) x2, x, x1 ∈ I, x1 < x < x2, λ ∈ (0, 1)
x − x1
f(x2)
x2 − x1
x := λx1 + (1 − λ)x2
V pˇredchozí části d˚ukazu pouˇzíváme ekvivalentní úpravy ⇒ obrátíme postup a máme dokázáno.
Věta 22.4: (Limity monotónní fce) Necht’ a, b ∈ R ∗ .
1. Je-li f : (a, b) → R nerostoucí fce, pak
2. Je-li f : (a, b) → R neklesající fce, pak
D˚ukaz: 2 – druhá část
(3)
lim f(x) = sup f(x), lim f(x) = inf
x→a+ x∈(a,b) x→b− x∈(a,b) f(x).
lim f(x) = inf f(x), lim f(x) = sup f(x).
x→a+ x∈(a,b) x→b− x∈(a,b)
lim f(x) = sup f(x) (∗)
x→b− x∈(a,b)
s := sup
x∈(a,b)
f(x)
(a) s < +∞, necht’ ε > 0 ∃xε ∈ (a, b) tak, ˇze s − ε < f(xε)
∀x ∈ (xε, b) :
s − ε < f(xε) ≤ f(x) ≤ s ⇔ (∗)
(b) s = +∞ ⇔
Věta 22.5: (Konvexita a jednostranné derivace) Necht’ f je konvexní fce na intervalu I ⊂ R.
Pak existují konečné jednostranné derivace f ′ −(x0), f ′ +(x0) pro kaˇzdé x0 ∈ Int I. Navíc f ′ −(x0) ≤
f ′ +(x0).
D˚ukaz: Necht’ x0 ∈ Int I. Pak existuje U(x0, δ) ⊂ I.
1. Dokáˇzeme, ˇze existuje konečná f ′ +(x0), x2 ∈ P+(x0). Bud’ x0 < x < x2. Dle lemmmatu 22.3:
ϕ(x) =
f(x) − f(x0)
x − x0
≤ f(x2) − f(x0)
x2 − x0
x < x2 ⇒ ϕ(x) ≤ ϕ(x2), ϕ je neklesající v (x0, x0 + δ)
Dle věty 22.4 existuje
= ϕ(x2) < +∞
lim ϕ(x) = f
x→x0 +
′ +(x0) ≤ f(x2) − f(x0)
< +∞
x2 − x0
65

Martina Bekrová 13. února 2012
2. Dokáˇzeme, ˇze existuje konečná f ′ −(x0), x2 ∈ P−(x0). Bud’ x2 < x < x0
ϕ(x) =
f(x) − f(x0)
x − x0
≥ f(x2) − f(x0)
x2 − x0
x > x2 ⇒ ϕ(x) ≥ ϕ(x2), ϕ je nerostoucí v (x0 − δ, x0)
Dle věty 22.4 existuje
3. Dokáˇzeme, ˇze f ′ −(x0) ≤ f ′ +(x0)
= ϕ(x2) > −∞
lim ϕ(x) = f
x→x0− ′ −(x0) ≥ f(x2) − f(x0)
> −∞
x2 − x0
x1, x2 ∈ U(x0, δ) ⊂ I, x1 ∈ P−(x0, δ), x2 ∈ P+(x0, δ)
f(x1) − f(x0)
x1 − x0
≤ f(x2) − f(x0)
x2 − x0
f ′ f(x1) − f(x0)
−(x0) = lim
≤
x1→x0− x1 − x0
f(x2) − f(x0)
x2 − x0
f ′ f(x2) − f(x0)
−(x0) ≤ lim
= f
x1→x0 + x2 − x0
′ +(x0)
Pozn.: Konvexní fce nemusí mít derivaci v kaˇzdém bodě, ale musí mít jednostranné derivace v kaˇzdém bodě.
Věta 22.6: Necht’ f je konvexní fce na (a, b) ⊂ R (otevˇrenost je d˚uleˇzitá). Pak f ∈ C((a, b)).
D˚ukaz: Necht’ x0 ∈ (a, b). Pak existuje f ′ − a f ′ + a jsou konečné.
⇒ f je spojitá zleva v bodě x0
⇒ f je spojitá zprava v bodě x0
⇒ f ∈ C((a, b))
66

Martina Bekrová 13. února 2012
67

Martina Bekrová 13. února 2012
23 Konvexnost, konkávnost a inflexe
Věta 23.1: (Konvexita a monotonie jednostrann´ych derivací) Necht’ fce f je konvexní na
(a, b) ⊂ R. Pak f ′ − a f ′ + jsou neklesající fce na (a, b).
D˚ukaz: Dokáˇzeme, ˇze f ′ + je neklesající na (a, b). Necht’ x0, x2 ∈ (a, b), x0 < x2
∃x1, x3 ∈ (a, b) x0 < x1 < x2 < x3 (protoˇze (a, b) je otevˇren´y interval)
Dle lemmatu 22.3 platí
f(x1) − f(x0)
x1 − x0
≤ f(x2) − f(x0)
x2 − x0
≤ f(x3) − f(x2)
x3 − x2
f ′ f(x1) − f(x0)
+(x0) = lim
≤
x1 x0 + x1 − x0
f(x2) − f(x0)
≤
x2 − x0
f(x3) − f(x2)
x3 − x2
f ′ +(x0) ≤ f(x2) − f(x0)
x2 − x0
f(x3) − f(x2)
≤ lim
= f
x3→x2 + x3 − x2
′ +(x2)
Věta 23.2: Necht’ fce f je spojitá na intervalu I ⊂ R. Necht’ existuje f ′ (x) ∀x ∈ Int I.
1. Necht’ f ′ je neklesající v Int I, pak fce f je konvexní na Int I. D˚ukaz: x1, x, x2 ∈ I, x1 < x < x2
Stačí dokázat:
Lagrangeova věta, x1 < ξ < x
Lagrangeova věta, x < η < x2
f(x) − f(x1)
x − x1
f ′ (ξ) =
f ′ (ξ) ≤ f ′ (η), protoˇze f ′ je neklesající a ξ < η
⇒
≤ f(x2) − f(x)
x2 − x
f(x) − f(x1)
x − x1
f ′ (η) = f(x2) − f(x)
x2 − x
f(x) − f(x1)
x − x1
≤ f(x2) − f(x)
x2 − x
2. Speciálně, je-li f ′ spojitá na Int I a f ′′ ≥ 0 v Int I, pak f je konvexní na I.
Věta 23.3: Necht’ f je konvexní na (a, b) ⊂ R. Necht’ f ′ existuje v (a, b). Pak f ′ je neklesající v
(a, b).
D˚ukaz: Plyne z věty 23.1
Def 23.4: Necht’ fce f má vlastní derivaci v bodě x0 ∈ R, necht’ y(x) := f(x0)+f ′ (x0)(x−x0), x ∈ R
(rovnice tečny ke grafu fce f v bodě x0). ˇRekneme, ˇze bod x0 je inflexním bodem (inflexní
bod = bod, kde se mění konvexita na konkávnost a naopak) fce f, jestliˇze existuje δ > 0 tak,
ˇze platí alespoň jedna z následujících podmínek
1. ∀x ∈ P−(x0, δ) : f(x) < y(x) ∧ ∀x ∈ P+(x0, δ) : f(x) > y(x),
2. ∀x ∈ P−(x0, δ) : f(x) > y(x) ∧ ∀x ∈ P+(x0, δ) : f(x) < y(x).
Věta 23.5: (Nutná podmínka pro inflexi) Necht’ x0 ∈ R. Necht’ f ′′ = 0. Pak x0 není inflexním
bodem fce f.
D˚ukaz: Sporem: Necht’ f ′′ = 0. Necht’ napˇr. f ′′ > 0. Pak existuje P (x0, δ), δ > 0, tak, ˇze
∀x ∈ P+(x0, δ) : f ′ (x) > f ′ (x0)
∀x ∈ P−(x0, δ) : f ′ (x) < f ′ (x0)
f ′ (x) − f ′ (x0)
x − x0
> 0 ∀x ∈ P (x0, δ)
68

Martina Bekrová 13. února 2012
x ∈ P (x0, δ), pak podle Lagrangeovy věty (spojitost: f ′′ existuje ⇒ f ′ je konečná ⇒ f je spojitá) existuje
ξ v otevˇreném intervalu s krajními body x a x0 tak, ˇze platí:
∀x ∈ P−(x0, δ) :
∀x ∈ P+(x0, δ) :
f(x) − f(x0) = f ′ (ξ)(x − x0)
f(x) − f(x0) > f ′ (x0)(x − x0)
f ′ (ξ)(x − x0) > f ′ (x0)(x − x0)
f(x) > f(x0) + f ′ (x0)(x − x0)
f(x) − f(x0) > f ′ (x0)(x − x0)
f ′ (ξ)(x − x0) > f ′ (x0)(x − x0)
f(x) > f(x0) + f ′ (x0)(x − x0)
⇒ f(x) > f(x0) + f ′ (x0)(x − x0) ∀x ∈ P (x0, δ) ⇒ SPOR!
Věta 23.6: (Postačující podmínka pro inflexi) Necht’ fce f má spojitou první derivaci v (a, b) ⊂
R a necht’ x0 ∈ (a, b). Necht’ existuje δ > 0 tak, ˇze platí alespoň jedna z následujících podmínek
1. ∀x ∈ P−(x0, δ) : f ′′ (x) < 0 ∧ ∀x ∈ P+(x0, δ) : f ′′ (x) > 0,
D˚ukaz:
x ∈ P−(x0, δ) : f(x) − f(x0) = f ′ (ξ)(x − x0), ξ ∈ (x, x0) (LV)
f je klesající, protoˇze f ′′ < 0 (v U(x0, δ))
∀x ∈ P−(x0, δ) : f(x) < f(x0) + f ′ (x0)(x − x0)
⇒ f ′ (ξ) > f ′ (x0)
f ′ (ξ)(x − x0) < f ′ (x0)(x − x0)
x ∈ P+(x0, δ) : f(x) − f(x0) = f ′ (η)(x − x0), η ∈ (x0, x) (LV)
f je rostoucí, protoˇze f ′′ > 0 (v U(x0, δ))
∀x ∈ P−(x0, δ) : f(x) > f(x0) + f ′ (x0)(x − x0)
⇒ f ′ (η) > f ′ (x0)
f ′ (η)(x − x0) > f ′ (x0)(x − x0)
2. ∀x ∈ P−(x0, δ) : f ′′ (x) > 0 ∧ ∀x ∈ P+(x0, δ) : f ′′ (x) < 0,
pak bod x0 je inflexním bodem fce f.
69