Základní pojmy teorie grafů a jejich uložení v počítači - Atrey

Datové struktury pro ukládání graf˚u
TGH02 - grafy, základní pojmy
Jan Bˇrezina
Technical University of Liberec
28. února 2012

Datové struktury pro ukládání graf˚u
Definice grafu
Definition
Graf (obyčejn´y neorientovan´y) je uspoˇrádaná dvojice (V, E), kde V je
mnoˇzina vrchol˚u a E ⊆ V
V
2 je mnoˇzina hran. Symbolem n značíme
mnoˇzinu vˇsech n prvkov´ych podmnoˇzin mnoˇziny V .
Tato definice neumoˇzňje smyčky (hrany začínající a končící ve stejném
vrcholu), ani násobné hrany. Graf se smyčkami a násobn´ymi hranami se
naz´yvá pseudograf nebo multigraf.
Definition
Graf (obyčejn´y orientovan´y) je uspoˇrádaná dvojice (V, E), kde V je
mnoˇzina vrchol˚u a E ⊆ V × V je mnoˇzina hran.
|V | - velikost mnoˇziny V , zde tedy počet vrchol˚u grafu

Datové struktury pro ukládání graf˚u
Kreslení graf˚u:
vrcholy - puntíky, hrany - oblouky
pouze pom˚ucka
Kreslení graf˚u

Datové struktury pro ukládání graf˚u
Kruˇznice - Cn
V = {1, 2, . . . , n}
E = {{1, 2}, {2, 3}, . . . , {i, i + 1}, . . . , {n − 1, n}, {n, 1}}

Datové struktury pro ukládání graf˚u
Cesta - Pn
V = {1, 2, . . . , n}
E = {{1, 2}, {2, 3}, . . . , {i, i + 1}, . . . , {n − 1, n}}

Datové struktury pro ukládání graf˚u
Úpln´y graf - Kn

Datové struktury pro ukládání graf˚u
Úpln´y bipartitní graf - Kn,m

Datové struktury pro ukládání graf˚u
Grafy Platónsk´ych těles

Datové struktury pro ukládání graf˚u
Fulereny

Datové struktury pro ukládání graf˚u
Isomorfismus graf˚u
Definition
Dva grafy G a G ′ nazveme izomorfní jestliˇze existuje vzájemně
jednoznačné zobrazení f : V ↔ V ′ , takové, ˇze
{x, y} ∈ E právě kdyˇz {f(x), f(y)} ∈ E ′ .
Zobrazení f naz´yváme izomorfismus graf˚u G a G ′ . Značíme G ∼ = G ′ .
• pˇrejmenování vrchol˚u
• pˇríklad K3,3
• obecně těˇzká úloha rozhodnout zda jsou dva grafy isomorfní

Datové struktury pro ukládání graf˚u
Podgrafy, cesta a kruˇznice jinak, sled
Definition
ˇRekneme, ˇze graf H je podgrafem grafu G, pokud V (H) ⊆ V (G) a
E(H) ⊆ E(G). (maˇzu vrchuly i hrany) ˇRekneme, ˇze graf H je
indukovan´ym podgrafem grafu G, pokud V (G) ⊆ V (G) a
E(H) = E(G) ∩ V (H)
2 . Tj. podgraf obsahuje právě vˇsechny hrany
p˚uvodního grafu na podmnoˇzině vrchol˚u. (maˇzu jen vrcholy)
Cesta v grafu G (z vrcholu A do vrcholu B délky t): Podgraf isomorfní s
Pt. Vrcholy se nemohou opakovat.
Kruˇznice v grafu G (délky t): Podgraf isomorfní s Ct. Vrcholy se
nemohou opakovat.
Sled v grafu G (z vrcholu A do vrcholu B délky t) je posloupnost
(v0, e1, v1, e2, . . . , et, vt), kde platí ei = {vi−1, vi} ∈ E(G). Vrcholy se
mohou opakovat.
Lemma
V grafu G existuje cesta z a do b právě tehdy pokud existuje sled z a do b.

Datové struktury pro ukládání graf˚u
ekvivalence, tˇrídy ekvivalence
Relace (vztah) na mnoˇzině X je podmnoˇzina X × X.
(. . . těch dvojic, které jsou v relaci.) píˇseme: x ∼ y
Relace se naz´yvá ekvivalence pokud platí:
1) x ∼ x, 2) x ∼ y ⇒ y ∼ x, 3) x ∼ y ∧ y ∼ z ⇒ x ∼ z;
reflexivita, symetrie, tranzitivita.
Označme R[x] mnoˇzinu vˇsech y ∈ X ekvivalentních s x,
tzv. tˇrídu ekvivalence prvku x. Platí:
• R[x] je vˇzdy neprázdná
• bud’ R[x] a R[y] jsou bud’ totoˇzné nebo disjunktní
• Tˇrídy ekvivalence jednoznačně určují relaci ekvivalence.

Datové struktury pro ukládání graf˚u
souvislost grafu, komponenty
Definition
ˇRekneme, ˇze graf G je souvisl´y pokud pro kaˇzdé dva vrcholy x a y
existuje cesta z x do y.
Komponenty grafu jsou jeho největˇsí souvislé indukované podgrafy.
Zavedeme relaci pro vrcholy: x ∼ y, pokud existuje cesta z x do y.
Lemma
Relace ∼ je ekvivalence. (tj. reflexivní, symetrická a tranzitivní relace)
Mnoˇzina vrchol˚u V se rozpadne na tˇrídy ekvivalence Vi. Tˇrídy
ekvivalence Vi jsou komponenty grafu. Graf je souvisl´y pokud má jen
jednu komponentu.

Datové struktury pro ukládání graf˚u
vzdálenost v grafu
Pro dva vrcholy x, y souvislého grafu G definujeme jejich vzdálenost
dG(x, y) jako délku nejkratˇsí cesty v grafu G. Funkci dG : V × V → R
naz´yváme metrika grafu. Metrika má vlastnosti:
1. d(x, y) ≥ 0, pˇričemˇz d(x, y) = 0 pravě kdyˇz x = y
2. (symetrie) d(x, y) = d(y, x)
3. (trojúhelníková nerovnost) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)
Zobecnění pro grafy s hranami ohodnocen´ymi kladn´ymi čísly.

Datové struktury pro ukládání graf˚u
Pojmy zaloˇzené na metrice
• excentricita vrcholu je jeho vzdálenost k nejvzdálenějˇsímu vrcholu,
ɛG(v) = max
u∈V dG(v, u)
• pr˚uměr grafu, diam G, je maximální excentricita
• poloměr grafu, minimální excentricita
• periferní vrcholy - ty co mají excentricitu rovnou pr˚umeru
• centrální vrcholy - ty co mají excentricitu rovnu poloměru
• matice vzdáleností

Datové struktury pro ukládání graf˚u
Stupeň vrcholu
Stupeň vrcholu deg(v) v neorientovaném grafu je počet hran
vychazejících z v
pro orientované grafy: indegree deg − (v), outdegree deg + (v)
Lemma
deg(v) = 2|E|
v∈V
Skóre grafu - neklesající posloupnost stupň˚u vˇsech vrchol˚u grafu, nemění
se pˇri isomorfismu

Datové struktury pro ukládání graf˚u
Matice sousednosti
Vrcholy grafu očíslujeme 1, . . . , n = |V |, pak
1 pokud existuje (orientovaná) hrana mezi vrcholy i, j
A i,j
G =
• symetrická
0 pokud hrana neexistuje
• závisí na uspoˇrádání vrchol˚u
• počet prvk˚u na ˇrádku roven stupni vrcholu
deg(G) = deg + (G) + deg − (G)

Datové struktury pro ukládání graf˚u
Incidenční matice
Očíslujeme vrcholy 1, . . . , n = |V | a hrany 1, . . . , m = |E|. Neorientovaná
incidenční matice C o rozměrech m × n pro neorientovan´y graf má prvek
Ci,j = 1 pokud j je vrcholem hrany i, jinak je Ci,j = 0.
Pro orientovan´y graf je Ci,j = −1 pokud hrana i opouˇstí vrchol j
(ei = (j, x)) a Ci,j = 1 pokud hrana j pˇrichází do vrcholu i (ei = (x, j)).
Orientovanou incidenční matici m˚uˇzeme sestavit i pro neorientovan´y graf.

Datové struktury pro ukládání graf˚u
Vztah mezi maticemi (neorientované grafy)
Lemma
Necht’ C je neorientovaná incidenční matice a A je matice sousednosti
grafu G. Pak
C T C = A + D,
kde D je diagonální matice stupň˚u D i,i = deg(i)

Datové struktury pro ukládání graf˚u
Laplaceova/Kirchhoffova matice a vztah mezi maticemi
(orientované grafy)
Pokud A(G) je matice sousednosti (obecně) orientovaného grafu a D(G)
je diagonální matice stupň˚u, Laplaceova matice je:
L(G) = D(G) − L(G)
Lemma
Necht’ C je orientovaná incidenční matice a A je matice sousednosti
grafu G. Pak
C T C = L(G),
Laplaceova matice je d˚uleˇzitá pro anal´yzu souvislosti graf˚u.

Datové struktury pro ukládání graf˚u
Matice konektivity, ohodnocení a vzdáleností
Matice konektivity, nesymetrická matice sousednosti, Mij = 1 pokud
existuje hrana (i, j).
Matice ohodnocení hran.
Matice vzdálenosti, matice metriky grafu.

Datové struktury pro ukládání graf˚u
ˇRídké grafy a matice
• pole začátk˚u ˇrádk˚u, pole sloupc˚u, pole hodnot (alokace dohromady)
• pro kaˇzd´y ˇrádek pole sloupc˚u nenulov´ych prvk˚u a pole jejich hodnot
(alokace zvláˇst’)
• místo polí lineární (spojov´y) seznam (kaˇzd´y prvek zvláˇst’)