T - DCE FEL ČVUT v Praze

Linearizace
systémů
Petr Hušek
diskrétních

Linearizace
diskrétních systémů
Petr Hušek
husek@fel.cvut.cz
katedra řídicí
techniky
Fakulta elektrotechnická
ČVUT v Praze
MAS 2012/13 ČVUT v Praze 8 - Linearizace diskrétních systémů 2/32

Co se dnes dozvíme?
Co to je a k čemu je dobrá linearizace systému
Jak nelineární systém linearizovat
Jak porovnat chování nelineárního a linearizovaného
systému
MAS 2012/13 ČVUT v Praze 8 - Linearizace diskrétních systémů 3/32

Co je linearizace?
vytvoření lineárního systému, jehož chování je velmi
podobné chování původního nelineárního systému
výhody
jednodušší řešení diferenční rovnice, přesnější simulace
jednodušší analýza chování systému
jednodušší návrh regulátoru
nevýhody
chování linerizovaného systému ne zcela souhlasí s
chováním nelineárního systému
aproximace je možná pouze v omezeném rozsahu
pracovních podmínek
MAS 2012/13 ČVUT v Praze 8 - Linearizace diskrétních systémů 4/32

y
Princip linearizace
3
2.5
2
y
y 0 =f(x 0 )
0.5
lineární
Δ y
funkce: f(ax1+ bx2) = af(x1) + bf(x2) linearizace krivky
y=f(x)
y-y 0 =k(x-x 0 )
Δ y=k Δ x
Δ x
0
0 2 4 x x 8 10
x 0
y = kx + q není
přírůstkový tvar:
Δ y = kΔx lineární
funkce
linearizace platí v blízkém okolí
pracovního bodu [x0,y0] MAS 2012/13 ČVUT v Praze 8 - Linearizace diskrétních systémů 5/32
k
=
df
dx
x
0

Vícerozměrný případ –
skalární
funkce
( , …, ) , ( , …,
) ( )
y = f x x y = f x x = f x
1 n 0 10 n0
0
∂f ∂f ∂f
y = y + ⋅ x − x + ⋅ x − x + + ⋅ x − x +
( ) ( ) ( )
0 1 10 2 20 n n0
∂x1 ∂x ∂x
x 2 x n x
0 0 0
Δ y = k Δ x + k Δ x + + k Δx
1 1 2 2
Vícerozměrný případ –
n n
vektorová
funkce
( x1, …, xn) , 0 ( x10, …,
xn0)
( 0)
( , …,
n )
( , …,
)
y= f y = f = f x
y = f x x
1 1 1
y = f x x
2 2 1
n
( , …,
)
y = f x x
n n 1 n
MAS 2012/13 ČVUT v Praze 8 - Linearizace diskrétních systémů 6/32

∂f ∂f ∂f
y = y + ⋅ x − x + ⋅ x − x + + ⋅ x − x +
( ) ( ) ( )
1 1 1
1 10
∂x1 x
1 10
∂x2 x
2 20
∂xnx
n n0
0 0 0
∂f ∂f ∂f
y = y + ⋅ x − x + ⋅ x − x + + ⋅ x − x +
Δ y = k Δ x + k Δ x + +
k Δx
1 11 1 12 2 1n
n
Δ y = k Δ x + k Δ x + +
k Δx
2 21 1 22 2 2n
n
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 20
∂x1 x
1 10
∂x2 x
2 20
∂xnx
n n0
0 0 0
∂f ∂f ∂f
y = y + ⋅ x − x + ⋅ x − x + + ⋅ x − x +
( ) ( ) ( )
n n n
n n0 ∂x1 x
1 10
∂x2 x
2 20
∂xnx
n n0
0 0 0
Δ y = k Δ x + k Δ x + + k Δx
n n1 1 n2 2 nn n
MAS 2012/13 ČVUT v Praze 8 - Linearizace diskrétních systémů 7/32

⎡Δy1 ⎤
⎢
Δy
⎥
⎢ 2
Δ y = ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
Δy
⎣ n ⎦
⎡Δx1 ⎤
⎢
Δx
⎥
⎢ 2
Δ x = ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
Δx
⎣ n ⎦
Δ y= AΔx ⎡k11 k12 k1n⎤
⎢
k k k
⎥
⎢ 21 22 2n
A = ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
k k k
⎣ n1 n2 nn⎦
MAS 2012/13 ČVUT v Praze 8 - Linearizace diskrétních systémů 8/32

Linearizace systému 1. řádu
Q(t)
p 0
v 1
S 1
h(t) p 0
S 2
volba pracovního bodu ~
1 2 2
Δ h
S = Q −k⋅S gh
Δt
S T
ht k T g ht T h t T
S
S
2
() =− ⋅ ⋅ 2 ⋅ ( − ) + ( t −T
) + Q(
− )
1 1
S T
h ( t + T =− ⋅ ⋅ ⋅ ht + h +
S
S
Q 2
2
) k T 2g
() () t Q()
t
1 1
rovnovážný stav systému
Δ h
=
Δt
MAS 2012/13 ČVUT v Praze 8 - Linearizace diskrétních systémů 9/32
0
h
0
Q = k⋅S 2gh
0
2
0

S T
h ( t + T =− ⋅ ⋅ ⋅ ht + h +
S
S
2
) k T 2g
() () t Q()
t
( h(
t , Q )
ht ( + T) = f ) () t
1 1
∂f∂f h(
t+ T) h ( +
t) h
( h( − ) ⋅(
Qt () − Q)
= 0 t T ) + ⋅ 0 +
∂h
h , Q
∂Q
h , Q
0 0 0
⎛ k⋅T⋅ g S ⎞
T
Δ h t+ T = ⎜ − ⋅ + ⋅ − 0 + ⋅
S
2
( ) 1 ⎟ (
⎜ 2h
S ⎟
⎝
0 1 ⎠
Δ h( t +
T ) = a ⋅Δ ht () + b⋅ΔQ(
t)
1
( ht) h) ( Qt () − Q )
MAS 2012/13 ČVUT v Praze 8 - Linearizace diskrétních systémů 10/32
1
0
0
0

Step
model nelineárního systému
Step
Q(t)
T/S1
T/S1
Add
-K-
k*T*sqrt(2*g)*S2/S1
model linearizovaného systému
Q(t)
Add1
Q0 Q0
Delta Q(t)
T/S1
T/S1
Add
h(t+T) h(t)
1
MAS 2012/13 ČVUT v Praze 8 - Linearizace diskrétních systémů 11/32
z
h 0
Unit Delay
sqrt
Sqrt
Delta h(t+T) Delta h(t)
1
-K-
z
0
Unit Delay
-k*T*sqrt(g)*S2/S1/sqrt(2*h0)+1
h0 h0
Add2
Scope
h(t)
Scope

h(t) [m]
S = 25cm = 25⋅ 10 m , S = 0.1cm = 1⋅ 10 m , k = 1, T = 1s
0.225
0.215
0.205
2 −4 2 2 −5
2
1 2
h Q h
0.22
0.21
−5
3
0 = 0.2m, 0 = k⋅ S2 2g 0 = 1.98⋅10 m /s
Δ h( t + T) = 0.98⋅Δ h(
t) + 4 00 ⋅ΔQ(
t)
Q(t)
–
skok z Q 0
o 5% v čase t = 100s
vyska hladiny
nelinearni model
linearizovany model
0.2
0 200 400 600 800 1000
t[s]
h(t) [m]
0.2
0 200 400 600 800 1000
t[s]
MAS 2012/13 ČVUT v Praze 8 - Linearizace diskrétních systémů 12/32
Q(t)
0.25
0.24
0.23
0.22
0.21
–
skok z Q 0
o 10% v čase t = 100s
vyska hladiny
nelinearni model
linearizovany model

h(t) [m]
0.45
Q(t)
0.4
0.35
0.3
0.25
–
skok z Q 0
o 50% v čase t = 100s Q(t)
vyska hladiny
nelinearni model
linearizovany model
0.2
0 200 400 600 800 1000
t[s]
h(t) [m]
MAS 2012/13 ČVUT v Praze 8 - Linearizace diskrétních systémů 13/32
0.205
0.2
0.195
0.19
0.185
–
skok z Q 0
o -5% v čase t = 100s
vyska hladiny
nelinearni model
linearizovany model
0.18
0 200 400 600 800 1000
t[s]

h(t) [m]
0.24
0.23
0.22
0.21
0.2
0.19
0.18
Q(t)
~Q 0
+ 0.1* Q0 *sin0.02t Q(t)
vyska hladiny
nelinearni model
linearizovany model
0.17
0 200 400 600 800 1000
t[s]
h(t) [m]
~Q 0
+ 0.5* Q0 *sin0.02t
0.05
0 200 400 600 800 1000
t[s]
MAS 2012/13 ČVUT v Praze 8 - Linearizace diskrétních systémů 14/32
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
vyska hladiny
nelinearni model
linearizovany model
linearizovaný model lze použít pouze v blízkém okolí
pracovního bodu

h(t) [m]
0.45
0.44
0.43
0.42
0.41
h k S gh
−5
3
0 = 0.4m, Q0
= ⋅ 2 2 0 = 2.8⋅10 m /s
Δ ht ( + T) = 0.986⋅Δ ht () + 400⋅ΔQt
( )
Q(t)
–
skok z Q 0
o 5% v čase t = 100s Q(t)
vyska hladiny
nelinearni model
linearizovany model
0.4
0 200 400 600 800 1000
t[s]
h(t) [m]
0.4
0 200 400 600 800 1000
t[s]
MAS 2012/13 ČVUT v Praze 8 - Linearizace diskrétních systémů 15/32
0.45
0.44
0.43
0.42
0.41
–
skok z Q 0
vyska hladiny
nelinearni model h 0 =0.4m
linearizovaný model lze použít pouze spočtený ve
správném pracovním bodě
o 5% v čase t = 100s
linearizovany model h 0 =0.2m
linearizovany model h 0 =0.4m

Linearizace systému 2. řádu
M
φ
m
m
M () t − mglsin ϕ() t −Bϕ () t = Jε () t = ml ϕ()
t
2
B g
() t
() () sin () t
ml l m
M
ϕ t + ϕt
+ ϕ =
2 2
l
2
Δϕ() t B Δϕ()
t g M ( t)
+ + sin ϕ(
t)
=
2 2
2
Δt ml Δt
l ml
ϕ ( 0)
=ϕ0,
ϕ ( T ) =ϕT
2 2
⎛ BT ⎞ ⎛ BT ⎞ gT T
ϕ() t = ⎜2− ⎟ϕ( t−T) −⎜ − 1⎟ϕ( t−2T) − s in ϕ( t−2T) + M ( t−2T) 2 2 2
⎝ ml ⎠ ⎝ml ⎠
l ml
2 2
⎛ BT ⎞ ⎛ BT ⎞ gT T
ϕ ( t+ 2T) = ⎜2− ⎟ϕ ( t+ T) −⎜ −1⎟ϕ()
t − sin ϕ()
t + M ( t)
2 2 2
⎝ ml ⎠ ⎝ml
⎠ l ml
MAS 2012/13 ČVUT v Praze 8 - Linearizace diskrétních systémů 16/32

x () t = ϕ (), t ut () = Mt ()
1
stavový popis
x ( t+ T) = x ( t)
1 2
⎛ BT ⎞ gT ⎛ BT ⎞ T
x2( t+ T) = ⎜ −1⎟x1( t) − sin x1( t) + ⎜2− ⎟x2(
t)
+
⎝ml ⎠ l ⎝ ml
⎠ ml
y()
t = x () t
1
x ( 0) =ϕ ( 0), x ( 0)
=ϕ(
T)
1 2
2 2
2 2 2
x ( t+ T) = f ( x ( t), x ( t), u( t))
1 1 1 2
x ( t+ T) = f ( x ( t), x ( t), u( t))
2 2 1 2
yt () = gx ( (), t x(), t ut ())
1 2
x( t+ T) = f( x(
t), u( t))
yt () = gx
( (), t ut ())
ut ()
MAS 2012/13 ČVUT v Praze 8 - Linearizace diskrétních systémů 17/32

volba pracovního bodu ~
z diferenční rovnice
stacionární
2
Δϕ() t B Δϕ()
t g M ( t)
+ + sin ϕ(
t)
=
2 2
2
Δt ml Δt
l ml
stav systému
2
Δϕ() t Δϕ()
t
= 2
Δt Δt
ϕ , ϕ ( T ) =ϕ , ( ω = 0)
, M = mgl sinϕ
ze stavového popisu
0
0 0
0
0
x ( t+ T) = x ( t) = x , x ( t+ T) = x ( t) = x
10 10 10 20 20 20
⇒ x = x = ϕ , u = M = mglsi n ϕ , y =ϕ
10 20 0 0 0
0 0 0
= 0
MAS 2012/13 ČVUT v Praze 8 - Linearizace diskrétních systémů 18/32

linearizace
x ( t+ T) = x ( t)
1 2
2 2
⎛ BT ⎞ gT ⎛ BT ⎞ T
x2( t+ T) = ⎜ −1⎟x1( t) − si n x1( t) + ⎜2− x ( t)
+ ut ( )
2 2 ⎟ 2
2
⎝ml ⎠ l ⎝ ml ⎠ ml
yt ( ) = x () t
1
Δ x ( t+ T) =Δx
( t)
1 2
∂f2 ∂f2
x2( t+ T) = x20( t+ T) + ⋅( x1() t − x10() t ) + ⋅( x2() t − x20() t ) +
∂x ∂x
∂f2
+ ⋅ −
∂u
0
( ut () u() t)
1 0 2 0
0
2 2
⎛ BT gT ⎞ ⎛ BT ⎞ T
Δ x2( t+ T) = ⎜ −1− cos x10⎟Δ x1( t) + ⎜2− Δ x ( t)
+ Δu()
t
2 2 ⎟ 2
2
⎝ml l ⎠ ⎝ ml ⎠ ml
Δ y()
t =Δx()
t
1
MAS 2012/13 ČVUT v Praze 8 - Linearizace diskrétních systémů 19/32

maticový zápis linearizovaného systému
Δ x( t+ T) = AΔ x() t + BΔu()
t
Δ yt () = CΔ x() t + DΔut
()
⎡ 0
A= ⎢ 2
⎢ BT gT
−1− cos x
2 10
⎢⎣ ml l
1 ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎥
BT , B=
⎢ 2 ⎥
⎥ ⎢ T
2−
⎥
2 2
ml ⎥⎦ ⎢⎣ml ⎥⎦
C= D=
[ 1 0] , [ 0]
⎡Δx1() t ⎤ ⎡Δϕ() t ⎤
Δ x()
t = ⎢ , u() t M() t
x () t
⎥ = ⎢ ⎥ Δ =Δ
⎣Δ2⎦ ⎣ − ⎦
Δ yt () =Δ x() t =Δϕ()
t
MAS 2012/13 ČVUT v Praze 8 - Linearizace diskrétních systémů 20/32
1

model nelineárního systému
Vstup
M(t)
Delta M(t)
T*T/(m*l*l)
-K-
Delta x2(t+T)
1
Delta x2(t)
1
Delta x1(t)
Vstup
Add1
z
z
Add
Unit Delay1 Unit Delay2
M0
M(t)
-K-
T*T/(m*l*l)
Add
-K-
-B*T/m/l/l+2
phi(t+2T)
x2(t+T )
-K-
-B*T/m/l/l+2
-K-
g*T*T/l
model linearizovaného systému
-K-
phi(t+T)
-g*T*T/l*cos(phi0)+B*T/m/l/l-1
MAS 2012/13 ČVUT v Praze 8 - Linearizace diskrétních systémů 21/32
1
z
x2(0)=φ(T) x2(t)
-K-
sin
Sin
-B*T/m/l/l+1
0
1
z
x1(0)=φ(0) 0
phi(t)
x1(t)
phi0
180/pi
-K-
Add2
180/pi
-K-
Scope
kn
To Workspace
Scope
kl
To Workspace

φ (t) [°]
m= 0.2kg, l = 0.5m
ϕ = 0( ° x = x = 0), M = m⋅g⋅l⋅
sinϕ= 0Nm
0 10 20 0
0
T = 0.05s –
4
3
2
1
0
-1
špatná
poloha kyvadla
nelinearni model
linearizovany model
M(t)
-2
0 5 10
t[s]
15 20
–
skok z 0 na 0.1 v čase t = 1s
volba periody vzorkování T = 0.01s
0
0 5 10
t[s]
15 20
MAS 2012/13 ČVUT v Praze 8 - Linearizace diskrétních systémů 22/32
φ (t) [°]
2.5
2
1.5
1
0.5
poloha kyvadla
nelinearni model
linearizovany model

φ (t) [°]
25
20
15
10
5
M(t)
–
ϕ = 0( ° x = x = 0), M = m⋅g⋅l⋅
sinϕ= 0Nm
0 10 20 0
0
skok z 0 na 1 v čase t = 1s M(t)
poloha kyvadla
nelinearni model
linearizovany model
0
0 5 10
t[s]
15 20
φ (t) [°]
MAS 2012/13 ČVUT v Praze 8 - Linearizace diskrétních systémů 23/32
50
40
30
20
10
–
skok z 0 na 2 v čase t = 1s
poloha kyvadla
nelinearni model
linearizovany model
0
0 5 10
t[s]
15 20

φ (t) [°]
M(t)
15
10
–
ϕ = 5( ° x = x = 5), ° M = m⋅g⋅l⋅sinϕ=
0.427Nm
skok z M 0
0 10 20 0
0
o 100% v čase t = 1s
poloha kyvadla
nelinearni model
linearizovany model
5
0 5 10
t[s]
15 20
φ (t) [°]
MAS 2012/13 ČVUT v Praze 8 - Linearizace diskrétních systémů 24/32
M(t)
35
30
25
20
15
10
–
skok z M 0
o 400% v čase t = 1s
poloha kyvadla
nelinearni model
linearizovany model
5
0 5 10
t[s]
15 20

φ (t) [°]
500
450
400
350
300
250
200
M(t)
–
ϕ = 180 ° ( x = x = 180 ° ) , M = m⋅
g ⋅l⋅sinϕ = 0Nm
0 10 20 0
0
skok z 0 na 10 -5
poloha kyvadla
v čase t = 1s
nelinearni model
150
0 5 10
t[s]
15 20
φ (t) [°]
-150
0 5 10
t[s]
15 20
MAS 2012/13 ČVUT v Praze 8 - Linearizace diskrétních systémů 25/32
200
150
100
50
0
-50
-100
M(t)
–
skok z 0 na -10-5 v čase t = 1s
poloha kyvadla
nelinearni model

φ (t) [°]
320
300
280
260
240
220
200
ϕ = 180 ° ( x = x = 180 ° ) , M = m⋅
g ⋅l⋅sinϕ = 0Nm
0 10 20 0
0
M(t)
poloha kyvadla
–
skok z 0 na 10 -5
nelinearni model
linearizovany model
180
0 1 2 3
t[s]
4 5 6
φ (t) [°]
v čase t = 1s
0
0 2 4
t[s]
6 8
MAS 2012/13 ČVUT v Praze 8 - Linearizace diskrétních systémů 26/32
2500
2000
1500
1000
500
poloha kyvadla
nelinearni model
linearizovany model

Linearizace systémů
ze stavového popisu
vyšších řádů
x1( t+ T) = f1( x1( t), …,
xn( t), u( t))
x ( t+ T) = f ( x ( t), …,
x ( t), u( t))
2 2 1
x ( t+ T) = f ( x ( t), …,
x ( t), u( t))
n n 1
n
yt ( ) = gx ( ( t), …,
x( t), ut ( ))
1
n
n
nelineární systém
x( t+ T) = f( x(
t), u( t))
?
linearizovaný systém
Δ x( t+ T) = AΔ x() t + BΔu()
t
yt () = gx ( (), t ut ())
Δ yt () = CΔ x() t + DΔut
()
MAS 2012/13 ČVUT v Praze 8 - Linearizace diskrétních systémů 27/32

⎡∂f f f ⎤
1 ∂ 1 ∂ 1 ⎡ ∂f⎤ ⎢ ⎥
1
x x x ⎢
n u
⎥
⎢∂ 1 ∂ ∂ 0 2 0 0 ⎥ ∂
⎢ 0 ⎥
⎢ ⎥
f f f ⎢ f ⎥
⎢∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 ⎥ ∂ 2
⎢ ⎥
A= ⎢∂x x x ⎥ 1 ∂ ∂ n , B=
⎢ ∂u
0 2 0 0
0 ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
∂f fn
n ∂fn ∂f
⎢∂ ⎥
⎢ n ⎥
⎢
x x x ∂u
⎥
⎣
⎢∂ ∂ ∂ ⎥ ⎣ 0 ⎦
1 0 2 0 n 0 ⎦
⎡∂g ∂g ∂g ⎤ ⎡∂g ⎤
C= ⎢ ⎥, D=
⎢ ⎥
⎢⎣∂x1 ∂x ∂xn⎥⎦ ⎣∂u 0 2 0 0
0 ⎦
pracovní bod
x , x , …,
x , u , y :
10 20 n0
0 0
x10 = f1( x10, …,
xn0, u0)
x20 = f2( x10, …,
xn0, u0)
xn0 = fn( x10, …,
xn0, u0)
y = g( x , …,
x , u )
0 10 n0
0
MAS 2012/13 ČVUT v Praze 8 - Linearizace diskrétních systémů 28/32

Kontrolní
otázky
Proč linearizujeme nelineární systémy?
V čem spočívá princip linearizace nelineárních systémů?
Jaké podmínky musí splňovat lineární funkce?
Jaké je charakterizován klidový pracovní bod a jaké souřadnice má?
Jak pomocí simulace ověříme, že se systém nachází v klidovém
pracovním bodě?
Jak vypočteme souřadnice klidového pracovního bodu?
Jaký tvar má stavový popis nelineárního a linearizovaného systému 1.
řádu?
Jaký tvar má stavový popis nelineárního a linearizovaného systému 2.
řádu?
Zlinearizujte systém nádrže s přítokem ve Vámi zvoleném pracovním
bodě a pomocí simulací zjistěte rozsah platnosti linearizovaného modelu.
Zlinearizujte systém kyvadla ve Vámi zvoleném pracovním bodě a Vámi
zvolenými parametry a pomocí simulací zjistěte rozsah platnosti
linearizovaného modelu.
MAS 2012/13 ČVUT v Praze 8 - Linearizace diskrétních systémů 29/32

Zlinearizujte model systému kulička na tyči ve Vámi zvoleném pracovním
bodě. Parametry modelu volte R = 10mm, r = 7mm, T = 0.1s. Porovnejte
chování nelineárního a linearizovaného modelu v okolí pracovního bodu.
2
xt () − 2xt
( −T) + xt ( − 2T ) = KT s in ϕ( t−2T) r R
MAS 2012/13 ČVUT v Praze 8 - Linearizace diskrétních systémů 30/32
F N
F g
F m
φ
x g
K =
2 ⎛R⎞ 1+ ⎜ ⎟
5
⎝ r ⎠
2

Uvažujme systém seskoku padákem, kdy je parašutista nadlehčován
silou stoupavého proudu teplého vzduchu F(t). Tato síla bude vstupní
veličinu systému, výstupní veličinou bude rychlost parašutisty v(t).
Diferenční rovnice popisující systém pak má tvar
Δvt
( −T)
m−BT T
m + Bvt ( −T ) = mg−F( t−T) ⇔ vt ( ) − vt ( −T)
= gT − F(
t−T) Δt
m
m
Je tento model lineární? Pokud ne, linearizujte jej ve Vámi zvoleném
paracovním bodě a pomocí simulací oba systémy porovnejte. Uvažujte m =
80kg, B = 270Ns/m, T = 0.01s.
MAS 2012/13 ČVUT v Praze 8 - Linearizace diskrétních systémů 31/32
v
B
F
mg

U předchozího příkladu je reálnější uvažovat odporovou sílu vzduchu
úměrnou kvadrátu rychlosti parašutisty. Diferenční rovnice pak má tvar
Δvt
( −T)
2
m + Bv ( t−T)
= mg−F( t−T) ⇔
Δt
BT 2
T
vt ( ) − vt ( −T) + v( t−T)
= gT − Ft ( −T
)
m
m
Model linearizujte ve Vámi zvoleném paracovním bodě a pomocí simulací
oba systémy porovnejte. Uvažujte m = 80kg, B = 100Ns/m, T = 0.01s.
MAS 2012/13 ČVUT v Praze 8 - Linearizace diskrétních systémů 32/32