Teema 8 - Cs.ioc.ee

Puu definitsioon ja lihtsamad omadused
Graafide aluspuud
PUUD
Teema 8
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puud

Puu definitsioon ja lihtsamad omadused
Graafide aluspuud
Loengu kava
1 Puu definitsioon ja lihtsamad omadused
2 Graafide aluspuud
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puud

Puu definitsioon ja lihtsamad omadused
Graafide aluspuud
Puu definitsioon
Definitsioon
Graafi, milles pole tsükleid, nimetatakse metsaks. Sidusat metsa nimetatakse puuks.
Graafi näiteid
Tippu, mille aste on 1, nimetatakse leheks.
Väide. Iga puu on kahealuseline graaf.
Tõestus. Hakkame mingist tipust alates tippe alustesse jaotama. Meil ei saa
tekkida vastuolu, sest tsükleid ei ole. m.o.t.t.
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puud

Puu definitsioon ja lihtsamad omadused
Graafide aluspuud
Puu definitsioon
Definitsioon
Graafi, milles pole tsükleid, nimetatakse metsaks. Sidusat metsa nimetatakse puuks.
Graafi näiteid
Tippu, mille aste on 1, nimetatakse leheks.
Väide. Iga puu on kahealuseline graaf.
Tõestus. Hakkame mingist tipust alates tippe alustesse jaotama. Meil ei saa
tekkida vastuolu, sest tsükleid ei ole. m.o.t.t.
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puud

Puu definitsioon ja lihtsamad omadused
Graafide aluspuud
Servad ja sidususkomponendid
Lemma L1
Kui graafil G on n tippu, m serva ja k sidususkomponenti, siis
n − k m.
Tõestus. Induktsioon m järgi.
Baas. Kui m = 0, siis on G iga tipp eraldi sidususkomponent, s.t.
k = n. Seega võrratus kehtib.
Samm. Olgu m > 0. Eemaldame graafist G ühe serva, saades m − 1
servaga graafi. Edasi on kaks võimalust:
Sidususkomponentide arv ei muutunud. Induktsiooni eeldusest
saame n − k m − 1 < m.
Sidususkomponentide arv suurenes ühe võrra. Induktsiooni
eeldusest saame n − (k + 1) m − 1. Seega ka n − k m.
m.o.t.t.
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puud

Puu definitsioon ja lihtsamad omadused
Graafide aluspuud
Sidusus ja tsüklilisus
Teoreem
Olgu T = (V ,E) n-tipuline graaf. Suvalisest kahest järgmisest väitest järeldub kolmas:
(a) T on sidus;
(b) T on tsükliteta;
(c) T -s on n − 1 serva.
Tõestus.
(a) & (b)⇒(c). Kui T sisaldab ühe tipu, siis kõik ta servad on silmused, st T sisaldab
tsüklit, mis on aga vastuolus tingimusega (b). Järelikult on servade arv 0.
Kui T tippude arv n > 0, siis tingimusest (a) järeldub, et suvalise tipuga on intsidentne
vähemalt üks serv ja tingimusest (b) järeldub, et leidub tipp v, nii et deg(v) < 2, sest
vastasel korral oleks graafi tsüklilisuse teoreemi põhjal graafis tsükkel.
Indutseeritud alamgraaf T ′ tipuhulgaga V \ {v} on sidus ja tsükliteta, induktsiooni
eelduse järgi on temas n − 2 serva.
GraafisT on üks serv rohkem kui graafis T ′ .
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puud

Puu definitsioon ja lihtsamad omadused
Graafide aluspuud
Sidusus ja tsüklilisus (tõestuse jätk ...)
(b) & (c)⇒(a). Oletame väitevastaselt, et T pole sidus, s.t. tal on k
sidususkomponenti T1,...,Tk, mis kõik on sidusad ja tsükliteta. Seepärast on eelmise
juhu põhjal igaühes neist servi ühe võrra vähem kui tippe. Siis peab graafis T kokku
olema n − k serva. Kuna tingimuse (c) järgi on graafil n − 1 serva, siis k = 1 ehk T on
sidus.
(a) & (c)⇒(b). Oletame, et graafis T on tsükkel. Eemaldades sellest ühe serva, jääb
järele n tipuga ja n − 2 servaga sidus graaf, mis on vastuolus Lemmaga L1. m.o.t.t.
Kaks alternatiivset puu definitsiooni
Puu on n tipuga sidus graaf, millel on n − 1 serva.
Puu on n tipuga tsüklivaba graaf, millel on n − 1 serva.
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puud

Puu definitsioon ja lihtsamad omadused
Graafide aluspuud
Sidusus ja tsüklilisus (tõestuse jätk ...)
(b) & (c)⇒(a). Oletame väitevastaselt, et T pole sidus, s.t. tal on k
sidususkomponenti T1,...,Tk, mis kõik on sidusad ja tsükliteta. Seepärast on eelmise
juhu põhjal igaühes neist servi ühe võrra vähem kui tippe. Siis peab graafis T kokku
olema n − k serva. Kuna tingimuse (c) järgi on graafil n − 1 serva, siis k = 1 ehk T on
sidus.
(a) & (c)⇒(b). Oletame, et graafis T on tsükkel. Eemaldades sellest ühe serva, jääb
järele n tipuga ja n − 2 servaga sidus graaf, mis on vastuolus Lemmaga L1. m.o.t.t.
Kaks alternatiivset puu definitsiooni
Puu on n tipuga sidus graaf, millel on n − 1 serva.
Puu on n tipuga tsüklivaba graaf, millel on n − 1 serva.
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puud

Puu definitsioon ja lihtsamad omadused
Graafide aluspuud
Puude sidusus
Definitsioon
Sidusa graafi G = (V ,E) serva e ∈ E nimetatakse sillaks, kui selle serva eemaldamisel
graafist G muutub graaf mittesidusaks.
Teoreem
Graaf T on puu parajasti siis, kui ta on sidus ja tema iga serv on sild.
Tõestus.
Tarvilikkus. Olgu T -s n tippu ja n − 1 serva. Kui eemaldame ühe serva, jääb järele n
tipuga ja n − 2 servaga graaf, mis vastavalt esimesele Lemmale L1 on mittesidus.
Seega on see serv sild.
Piisavus. Kui T -s leiduks mõni tsükkel, siis sinna tsüklisse kuuluvad servad ei ole sillad
– neist mõne eemaldamisel jääks graaf endiselt sidusaks. Seega on T tsükliteta (ja
vastavalt teoreemi eeldusele sidus), st T on puu. m.o.t.t.
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puud

Puu definitsioon ja lihtsamad omadused
Graafide aluspuud
Puu kriteeriumid
Teoreem 8.1.1
Olgu T graaf, milles on n tippu. Järgmised väited on samaväärsed:
(a) T on puu;
(b) T suvalise kahe tipu vahel on täpselt üks lihtahel;
(c) T on tsükliteta, aga serva lisamisel ükskõik millise kahe tipu vahele tekib tsükkel.
Tõestus.
(a) ⇒(b). Iga kahe tipu vahel on vähemalt üks lihtahel, muidu poleks T sidus. Kui
tipude vahel leiduks kusagil mitu lihtahelat, siis need ahelad koos moodustaksid tsükli,
seega poleks T siis puu.
(b) ⇒(c). T on tsükliteta, sest tsüklil olevate tippude vahel leidub vähemalt kaks
lihtahelat. Tippude u ja v vahele uue serva e lisamisel tekib tsükkel u v e
−− u.
(c) ⇒(a). Oletame, et T ei ole sidus. Serva lisamisel erinevatesse
sidususkomponentidesse kuuluvate tippude vahele tsüklit ei teki. Järelikult on meil
vastuolu eeldusega. m.o.t.t.
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puud

Puu definitsioon ja lihtsamad omadused
Graafide aluspuud
Graafi aluspuu
Definitsioon
Sidusa graafi G = (V ,E) aluspuu on selle graafi G alamgraaf T ,
mis on puu tipuhulgaga V .
Mittesidusa graafi korral võime rääkida tema alusmetsast – selle
graafi sidususkomponentide mingite alampuude ühendist.
Aluspuude näiteid:
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puud

Puu definitsioon ja lihtsamad omadused
Graafide aluspuud
Minimaalse kaaluga aluspuu leidmise algoritm
Olgu G = (V ,E) mingi n-tipuline graaf ning olgu iga serva e ∈ E jaoks defineeritud
tema kaal w(e) ∈ R. Kui G ′ = (V ′ ,E ′ ) on G alamgraaf, siis olgu
w(G ′ ) = ∑ w(e).
e∈E ′
Minimaalse kaaluga aluspuu leidmise algoritm (Joseph Kruskal)
Sisend: Graaf G = (V ,E), kus |V | = n.
Väljund: Puu T = (V ,E ′ ), kus E ′ ⊆ E.
Valida servaks e1 minimaalse kaaluga serv graafis G;
for i := 2 step 1 to n − 1
do
od
Valida servaks ei graafi G serv, nii et on täidetud tingimused:
1 ei erineb servadest e1,...,ei−1;
2 ei ei moodusta koos servadega e1,...,ei−1 tsüklit;
3 ei on minimaalse kaaluga eelmisi punkte rahuldavate servade
seas;
return(T (V ,{e1,...,en−1}))
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puud

Puu definitsioon ja lihtsamad omadused
Graafide aluspuud
Näide: Minimaalse aluspuu leidmine
96
155
59
152
111
101
91
129
84
48
93
64
108
99 72
97
143
99
91
84
72
78
103
79
73
87
128
71
68
113
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puud
51
136
68
25
48

Puu definitsioon ja lihtsamad omadused
Graafide aluspuud
Näide: Minimaalse aluspuu leidmine
96
155
59
152
111
101
91
129
84
48
93
64
108
99 72
97
143
99
91
84
72
78
103
79
73
87
128
71
68
113
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puud
51
136
68
25
48

Puu definitsioon ja lihtsamad omadused
Graafide aluspuud
Näide: Minimaalse aluspuu leidmine
96
155
59
152
111
101
91
129
84
48
93
64
108
99 72
97
143
99
91
84
72
78
103
79
73
87
128
71
68
113
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puud
51
136
68
25
48

Puu definitsioon ja lihtsamad omadused
Graafide aluspuud
Näide: Minimaalse aluspuu leidmine
96
155
59
152
111
101
91
129
84
48
93
64
108
99 72
97
143
99
91
84
72
78
103
79
73
87
128
71
68
113
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puud
51
136
68
25
48

Puu definitsioon ja lihtsamad omadused
Graafide aluspuud
Näide: Minimaalse aluspuu leidmine
96
155
59
152
111
101
91
129
84
48
93
64
108
99 72
97
143
99
91
84
72
78
103
79
73
87
128
71
68
113
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puud
51
136
68
25
48

Puu definitsioon ja lihtsamad omadused
Graafide aluspuud
Näide: Minimaalse aluspuu leidmine
96
155
59
152
111
101
91
129
84
48
93
64
108
99 72
97
143
99
91
84
72
78
103
79
73
87
128
71
68
113
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puud
51
136
68
25
48

Puu definitsioon ja lihtsamad omadused
Graafide aluspuud
Näide: Minimaalse aluspuu leidmine
96
155
59
152
111
101
91
129
84
48
93
64
108
99 72
97
143
99
91
84
72
78
103
79
73
87
128
71
68
113
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puud
51
136
68
25
48

Puu definitsioon ja lihtsamad omadused
Graafide aluspuud
Näide: Minimaalse aluspuu leidmine
96
155
59
152
111
101
91
129
84
48
93
64
108
99 72
97
143
99
91
84
72
78
103
79
73
87
128
71
68
113
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puud
51
136
68
25
48

Puu definitsioon ja lihtsamad omadused
Graafide aluspuud
Näide: Minimaalse aluspuu leidmine
96
155
59
152
111
101
91
129
84
48
93
64
108
99 72
97
143
99
91
84
72
78
103
79
73
87
128
71
68
113
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puud
51
136
68
25
48

Puu definitsioon ja lihtsamad omadused
Graafide aluspuud
Näide: Minimaalse aluspuu leidmine
96
155
59
152
111
101
91
129
84
48
93
64
108
99 72
97
143
99
91
84
72
78
103
79
73
87
128
71
68
113
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puud
51
136
68
25
48

Puu definitsioon ja lihtsamad omadused
Graafide aluspuud
Näide: Minimaalse aluspuu leidmine
96
155
59
152
111
101
91
129
84
48
93
64
108
99 72
97
143
99
91
84
72
78
103
79
73
87
128
71
68
113
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puud
51
136
68
25
48

Puu definitsioon ja lihtsamad omadused
Graafide aluspuud
Näide: Minimaalse aluspuu leidmine
96
155
59
152
111
101
91
129
84
48
93
64
108
99 72
97
143
99
91
84
72
78
103
79
73
87
128
71
68
113
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puud
51
136
68
25
48

Puu definitsioon ja lihtsamad omadused
Graafide aluspuud
Näide: Minimaalse aluspuu leidmine
96
155
59
152
111
101
91
129
84
48
93
64
108
99 72
97
143
99
91
84
72
78
103
79
73
87
128
71
68
113
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puud
51
136
68
25
48

Puu definitsioon ja lihtsamad omadused
Graafide aluspuud
Näide: Minimaalse aluspuu leidmine
96
155
59
152
111
101
91
129
84
48
93
64
108
99 72
97
143
99
91
84
72
78
103
79
73
87
128
71
68
113
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puud
51
136
68
25
48

Puu definitsioon ja lihtsamad omadused
Graafide aluspuud
Näide: Minimaalse aluspuu leidmine
96
155
59
152
111
101
91
129
84
48
93
64
108
99 72
97
143
99
91
84
72
78
103
79
73
87
128
71
68
113
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puud
51
136
68
25
48

Puu definitsioon ja lihtsamad omadused
Graafide aluspuud
Algoritm korrektsus
Teoreem
Vähima kaaluga aluspuu leidmise algoritm on korrektne.
Tõestus.
T on (alus)puu – ta on tsükliteta, temas on n tippu ja n − 1 serva.
Oletame, et w(T ) pole minimaalne. Olgu T ′ selline G minimaalse kaaluga aluspuu, et
tal on T -ga maksimaalne arv ühiseid servi.
Olgu k ∈ {1,...,n − 1} vähim selline arv, et ek /∈ E(T ′ ). Olgu S = T ′ ∪ {ek}. Graafis S
leidub mingi tsükkel C. Kuna T ja T ′ on tsükliteta, siis ek ∈ C ja leidub
e ∈ E(T ′ ) \ E(T ), nii et e ∈ C.
Graaf T ′′ = S \ {e} on sidus ja n − 1 servaga, s.t. ta on aluspuu.
Serv e on selline, mis
on erinev servadest e1,...,ek−1,
ei moodusta koos servadega e1,...,ek−1 tsüklit (sest e1,...ek−1 ∈ E(T ′ )).
Serv ek on minimaalse kaaluga selliste servade seas, mis
on erinevad servadest e1,...,ek−1,
ei moodusta koos servadega e1,...,ek−1 tsüklit .
Teisisõnu, w(ek) w(e). Järelikult saame w(T ′′ ) = w(T ′ ) − w(e) + w(ek) w(T ′ ),
s.t. T ′′ on mitte suurema kaaluga kui minimaalse kaaluga aluspuu T ′ . Puul T ′′ on
rohkem puuga T ühiseid servi kui puul T ′ , mis on vastuolus T ′ valikuga. m.o.t.t.
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puud