iv. odvodi funkcij več spremenljivk

14
Zadnja enačba nam ponovno da pogoj g(x,y) = 0. Iz tega sistema izračunamo neznanke
x, y in λ, vsaka reˇsitev (x,y) je stacionarna točka, torej moˇzna ekstremalna točka.
ZGLED. Poiskati ˇzelimo npr. polosi elipse v centralni legi z enačbo ax 2 +2bxy+cy 2 = 1
(elipso dobimo, kadar je ac − b 2 > 0, a > 0 in hkrati a = c ali b = 0).
Polosi sta dve, večja in manjˇsa. Ker je ta elipsa v centralni legi, ju dobimo kot največjo
in najmanjˇso moˇzno razdaljo točke na elipsi do koordinatnega izhodiˇsča. Zadoˇsča opazovati
kvadrat razdalje. Iˇsčemo torej ekstreme kvadrata razdalje f(x,y) = x 2 +y 2 pri pogoju
ax 2 + 2bxy + cy 2 = 1.
Nastavek
F(x,y,λ) = x 2 + y 2 + λ(ax 2 + 2bxy + cy 2 − 1)
nam da z odvajanjem na x in na y sistem enačb x + λ(ax + by) = 0, y + λ(bx + cy) = 0
oziroma (aλ + 1)x + bλy = 0, bλx + (cλ + 1)y = 0, ki je netrivialno reˇsljiv samo, če
je (ac − b 2 )λ 2 + (a + c)λ + 1 = 0. Ker je za to kvadratno enačbo pri zgornjih pogojih
diskriminanta (a + c) 2 − 4(ac − b 2 ) = (a − c) 2 + 4b 2 > 0, dobimo za λ dve vrednosti λ1 in
λ2 < λ1, ki sta obe negativni. Pri vsaki od teh vrednosti λ dobimo dve reˇsitvi (±x, ±y),
ki predstavljata nasprotni temeni elipse, ki leˇzita na premici y = −(aλ1 +1)x/bλ1 oziroma
y = −(aλ2 + 1)x/bλ2.
Iz sistema obeh enačb tudi ugotovimo, da za vsako reˇsitev (x,y) velja x 2 + y 2 = −λ.
Torej je mala polos elipse enaka √ −λ1, velika pa √ −λ2.
Oglejmo si konkreten primer elipse: 3x 2 + 2xy + y 2 = 1. V tem primeru je a = 3,
b = 1, c = 1 in ac − b 2 = 2. Enačba za λ nam da dve vrednosti: λ1 = −1 + 1/ √ 2 in
λ2 = −1 − 1/ √ 2, temeni elipse pa leˇzita na premicah y = ( √ 2 − 1)x in y = −( √ 2 + 1)x.
ZGLED. Denimo, da bi radi poiskali vse lokalne ekstreme fnkcije f(x,y) = x 2 − y 2 na
enotskem disku x 2 + y 2 ≤ 1. Posebej jih poiˇsčemo v notranjosti kroga in posebej na njegovem
obodu.
Edina stacionarna točka znotraj kroga (in sploh v celi ravnini je točka (0,0), vendar je
v njej A = 2, B = 0 in C = −2, torej D = AC − B 2 = −4 < 0, zato je tam sedlo.
Kaj pa na robu? Zdaj reˇsujemo problem vezanega ekstrema. Iˇsčemo maksimum in minimum
funkcije f(x,y) = x2 − y2 pri pogoju x2 + y2 = 1. Po Lagrangevi metodi definiramo
F(x,y,λ) = x2 − y2 + λ(x2 + y2 − 1), zato je ∂F
∂F
∂x = 2x + 2λx in ∂y = −2y + 2λy. Enačbe
x + λx = 0, −y + λy = 0 in x2 + y2 = 1 so hkrati reˇsljive za x = 0, y = ±1 in λ = 1 ter
za x = ±1, y = 0 in λ = −1. Funkcija f ima na kroˇznici x2 + y2 = 1 lokalna minimuma v
točkah (0,1) in (0, −1), ko je vrednost funkcije enaka −1, ter lokalna maksimuma v točkah
(1,0) in (−1,0), ko je vrednost funkcije enaka 1.
Vezani ekstremi funkcije več spremenljivk
Vzemimo zdaj sploˇsni primer, pri katerem bi radi poiskali lokalni ekstrem funkcije n
spremenljivk u = f(x1,x2,...,xn) pri m pogojih
g1(x1,x2,...,xn) = 0, g2(x1,x2,...,xn) = 0, ...,gm(x1,x2,...,xn) = 0.
Enačb vezi mora biti manj kot spremenljvk, se pravi m < n. Totalni diferencial funkcije
u = f(x1,x2,...,xn) je
du = ∂f
dx1 +
∂x1
∂f
dx2 + ... +
∂x2
∂f
dxn.
∂xn