iv. odvodi funkcij več spremenljivk

16
Dovolj je poiskati vezane ekstreme funkcije f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 pri pogojih
x + y + z − 3 = 0 in x + 3y − z = 3.
Uporabimo Lagrangevo metodo in definirajmo novo funkcijo
F(x,y,z,λ,µ) = x 2 + y 2 + z 2 + λ(x + y + z − 3) + µ(x + 3y − z − 3).
Parcialni odvodi so ∂F
∂F
∂F
= 2x + λ + µ, = 2y + λ + 3µ, = 2z + λ − µ. Če iz teh
∂x ∂y ∂z
treh enačb izločimo λ in µ, dobimo zvezo −2x + y + z = 0, iz katere z upoˇstevanjem prve
enačbe vezi x + y + z = 3 najdemo x = 1 in y + z = 2. Vstavimo v drugo enačbo vezi
x + 3y − z = 3 in končno najdemo ˇse y = 1 in z = 1. Iz geometrije je jasno, da je točka
(1,1,1) najbliˇzja koordinatnemu izhodiˇsču in sicer je od njega oddaljena √ 3 enot.
(2) Na ravnini poiˇsčimo točko (x,y) z minimalno vsoto kvadratov razdalj do premic
x = 0, y = 0 in x + 2y = 5.
Opazimo, da je vsota treh kvadratov razdalj minimalna samo, če od točke (x,y) postavimo
na vse tri premice pravokotnico. Zato si lahko privoˇsčimo, da poiˇsčemo mininimum vsote
kvadratov razdalj od (x,y) do treh točk (z,0), (0,t) in (u,v), od katerih vsaka pripada eni
od premic.
Iˇsčemo torej minimum funkcije
f(x,y,z,t,u,v) = (x − z) 2 + y 2 + x 2 + (y − t) 2 + (x − u) 2 + (y − v) 2 ,
pri pogoju u + 2v = 5 (da točka (z,0) leˇzi na abscisni osi, točka (0,t) pa na ordinatni osi,
je jasno). Po Lagrangeu je torej
F(x,y,z,t,u,v,λ) = (x − z) 2 + y 2 + x 2 + (y − t) 2 + (x − u) 2 + (y − v) 2 + λ(u + 2v − 5).
Ko izračunamo vse parcialne odvode, jih izenačimo z nič in poenostavimo izraze, dobimo
enačbe x = z, y = t, u = 2x, v = 2y, u + 2v = 5 in λ = 2(x − u) = y − v z reˇsitvami
x = 1/2, y = 1, z = 1/2, t = 1, u = 1, v = 2 in λ = −1. Iskana točka je torej točka
(1/2,1), podnoˇziˇsča so (1/2,0) (na abscisni osi), (0,1) (na ordinatni osi) in (1,1) (na premici
x+2y = 5), najmanjˇsa vsota kvadratov vseh treh razdalj pa znaˇsa 5/2 (glej sliko 36).
5/2
1
(y)
(1,2)
(1/2,1)
0 1/2
5
Slika 36
(x)