Stojaca vlna Stojaca vlna Mersennove zákony Spôsoby kmitania

Ch Chvenie i strún t ú
Stojaca vlna
Mersennove zákony
Spôsoby kmitania

Postupná ávlna l a stojaca j vlna l
Aký je rozdiel medzi kmitajúcou strunou a
vlniacou sa hladinou?
– Vl Vlna na vodnej d j hl hladine di postupuje, t j ký kým
– Struna vlní „na mieste“.
Rozlišujeme dva druhy vĺn:
– PPostupná t á vlna l
– Stojaca vlna

Vznik ik stojacej j j vlny l
Ak Ako vzniká iká chvenie h i struny? t ?
Predstavme si si, že rozkmitávame gumenú hadice na
jednom jej konci, pričom jej druhý koniec bude voľný
– V tom prípade p p vzniká ppostupná p vlna
Predstavme si teraz, že druhý koniec hadice
upevníme upevníme.
– V tomto prípade sa pôvodná postupná vlna odrazí na
upevnenom konci
– Máme tu teda teraz dve vlnenia
– Výsledné vlnenie je vlastne súčtom dvoch opačným smerom
sa pohybujúcich vlnení
– Takto vzniká stojaca vlna

Uzly l a kmitne k i
Pri stojacej vlne vznikajú miesta s
maximálnym a á y a s minimálnym á y ( (vlastne ast e
nulovým) rozkmitom:
– Uzol – nulový rozkmit
– Kmitňa – maximálny rozkmit
kmitňa
uzol

Vlnová l ádĺžk dĺžka a frekvencia f k i
Trochu matematiky :))
Aký je vzťah medzi vlnovou dĺžkou, frekvenciou (resp. periódou) a rýchlosťou
šírenia vlny?
Nech je:
v rýchlosť šírenia vlny
T perióda kmitania (teda doba jedného kmitu)
f frekvencia kmitania
w vlnová dĺžka
potom zrejme:
z čoho máme:
w = v ∗ T
1
T
=
A nakoniec, keďže frekvencia je prevrátenou hodnotou periódy:
v
w
Využitie:
v
f = •meranie rýchlosti zvuku
w
•určenie absolútnej výšky tónu

Mersennove zákony ák
Monochord
Aké ffaktory
ovplyvňujú výšku tónu vyludzovaného
kmitajúcou strunou?
– Dĺžka struna
– Napätie struny (t.j. veľkosť sily napínajúcej strunu)
– Hmotnosť struny (resp. jej jednotková hmotnosť, t.j.
hmotnosť 1 m struny)
Francúzsky matematik Mersenne (1588-1648) vyslovil vo
svojej Harmonie Universelle (1636) nasledujúce tri zákony
týk týkajúce jú sa ffrekvencie k i kkmitajúcej it jú j struny
t

1 – Pytagorov zákon ák
Ak sa nemení struna (t.j. jej priemer a hustota) ani jej
napätie (t.j. sila, ktorá ju napína), tak frekvencia jej
kmitania je
– nepriamo úmerná dĺžke struny
Tento zákon sa tradične nazýva Pytagorov a je teda
známy už aspoň 2500 rokov.
Majme strunu, ktorá je naladená na frekvenciu a 1 =
440 Hz. Ak ju skrátime na polovicu, dostaneme tón
– DDvojnásobnej j á b j ffrekvencie k i a2 880 H
2 = 880 Hz

2 – Napínajúca í jú sila il
Ak sa nemení struna (t.j. jej priemer a hustota) ani jej
dĺžka dĺžka, tak frekvencia jej kmitania je
– priamo úmerná druhej odmocnine sily,
napínajúcej strunu
Majme strunu ktorá je naladená na frekvenciu a1 Majme strunu, ktorá je naladená na frekvenciu a =
440 Hz. Ak zoštvornásobíme napínajúcu silu,
dostaneme tón
– Dvojnásobnej frekvencie a2 = 880 Hz

3 – Jednotková d k áh hmotnosť ť struny
Ak sa nemení dĺžka ĺ struny ani veľkosť napínajúcej
sila, tak frekvencia jej kmitania je
– nepriamo úmerná druhej odmocnine
jednotkovej hmotnosti struny
Majme opäť strunu, ktorá je naladená na frekvenciu
a 1 = 440 Hz. Ak zoštvornásobíme jednotkovú
hmotnosť struny, dostaneme tón
– Polovičnej frekvencie a = 220 Hz
Naše úvahy možno ešte upresniť, ak si uvedomíme,
že jednotková hmotnosť je priamo úmerná hustote a
druhej mocnine polomeru struny (μ = ρ *π r2 )

Taylorov l vzorec
Všetky predošlé výsledky možno vyjadriť
jjediným di ý matematickým t ti ký zápisom: á i
Kde:
f
=
1
2l
f frekvencia
l dĺžk dĺžka struny t
F napínajúca sila
F
μ
Som si plne vedomý, že niekomu ten
vzorec iba naženie hrôzu a inému
pomôže zapamätať si Mersennove
zákony. Ale to je v poriadku. Určite
nechcem, aby ste sa ho biflovali. Len
treba vedieť vedieť, že existuje. existuje
μ [ [grécke ék mí] í] jjednotková d tk á hhmotnosť t ť

Flažolety lžl – oktáva ká
Nech toto je tón
Bežne struna kmitá takto: a1 = 440 Hz
Ak ju však jemne pridržíme v strede, t.j. v mieste, kde predtým
mala kmitňu, bude nútená kmitať ináč: Potomtotojetón
, Potom toto je tón
a 2 = 880 Hz
Ako sa zmení frekvencia kmitania?
– Spomeňme si, že stojatá vlna je zložením dvoch postupných vlnení v
opačnom č smere
– Perióda týchto vlnení sa zrejme zmenšila na polovicu (predpokladáme,
že rýchlosť šírenia vĺn sa nezmenila)
– Apretofrekvencia A preto frekvencia sa zväčšila na dvojnásobok (vieme, (vieme že frekvencia
je obrátenou hodnotou periódy)
– Teda znie o oktávu vyšší tón s frekvenciou 2f

Flažolety lžl – dduodecima d i
Čo sa bude diať, ak pridržíme strunu (a vynútime tak
vznik uzla) v tretine jej dĺžky? Nech htoto je j tón
a 1 = 440 Hz
Potom toto je tón
e 3 = 3 x 440 Hz =
1320 Hz
Ľahko už teraz prídeme na to, že bude znieť tón s
trojnásobnou frekvenciou 3f
Z hudobného hľadiska je to tón o duodecimu (oktáva
plus kvinta) vyšší

Vyššie šši harmonické h i ké tóny ó
Podobne by sme mohli vylúdiť ďalšie flažolety s
frekvenciami 4f 4f, 5f atď atď.
Vzniknuté tóny sú tzv tzv. vyššie harmonické tóny tóny,
nazývané aj alikvotné tóny. Budú kľúčové pre naše
ďalšie úvahy.
Nasledujúca tabuľka zhŕňa prvých 16 alikvotných
Nasledujúca tabuľka zhŕňa prvých 16 alikvotných
tónov.

Vyššie šši harmonické h i ké tóny ó (tabuľka)
Číslo
Číslo
harmonického
tónu Frekvencia Tón
______________________________
1 261,63 Hz c1 2 523,26 Hz c2 3 784,89 Hz g2 4 1046,52 Hz c3 5 1308,15 Hz e3 6 1596 1596,78 78 HHz g 3
7 1831,41 Hz *b3 8 2093,04 Hz c4 harmonického
tónu Frekvencia Tón
______________________________
9 2354,67 Hz d4 10 2616,30 Hz e4 11 2877,93 Hz **f-fis4 12 3139,56 Hz g4 13 3401,19 Hz **gis-a4 14 3662 82 H *b4 14 3662,82 Hz *b4 15 3924,45 Hz h4 16 4186,08 Hz c5 * 7. harmonický tón je výrazne nižší ako b
** 11 11.a 13 13. harmonický h i ký tó tón lležia ži ttaktiež kti ž mimo i našej š j
bežnej tónovej škály