不确定性原理的前世今生

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数 学 经 纬
不 确 定 性 原 理 的
前 世 今 生
木 遥
在 现 代 数 学 中 有 一 个 很 容 易 被 外 行 误 解 的 词 汇 : 信 号
(signal)。 当 数 学 家 们 说 起 “ 一 个 信 号 ” 的 时 候 , 他 们 脑 海
中 想 到 的 并 不 是 交 通 指 示 灯 所 发 出 的 闪 烁 光 芒 或 者 手 机 屏
幕 顶 部 的 天 线 图 案 , 而 是 一 段 可 以 具 体 数 字 化 的 信 息 , 可 以
是 声 音 , 可 以 是 图 像 , 也 可 是 遥 感 测 量 数 据 。 简 单 地 说 , 它
是 一 个 函 数 , 定 义 在 通 常 的 一 维 或 者 多 维 空 间 之 上 。 譬 如 一
段 声 音 就 是 一 个 定 义 在 一 维 空 间 上 的 函 数 , 自 变 量 是 时 间 ,
因 变 量 是 声 音 的 强 度 , 一 幅 图 像 是 定 义 在 二 维 空 间 上 的 函
数 , 自 变 量 是 横 轴 和 纵 轴 坐 标 , 因 变 量 是 图 像 像 素 的 色 彩 和
明 暗 , 如 此 等 等 。
在 数 学 上 , 关 于 一 个 信 号 最 基 本 的 问 题 在 于 如 何 将 它
表 示 和 描 述 出 来 。 按 照 上 面 所 说 的 办 法 , 把 一 个 信 号 理 解 成
一 个 定 义 在 时 间 或 空 间 上 的 函 数 是 一 种 自 然 而 然 的 表 示 方
式 , 但 是 它 对 理 解 这 一 信 号 的 内 容 来 说 常 常 不 够 。 例 如 一 段
声 音 , 如 果 单 纯 按 照 定 义 在 时 间 上 的 函 数 来 表 示 , 它 画 出 来
是 这 个 样 子 的 :
这 通 常 被 称 为 波 形 图 。 毫 无 疑 问 , 它 包 含 了 关 于 这 段
声 音 的 全 部 信 息 。 但 是 同 样 毫 无 疑 问 的 是 , 这 些 信 息 几 乎 没
法 从 上 面 这 个 “ 函 数 ” 中 直 接 看 出 来 , 事 实 上 , 它 只 不 过 是
巴 赫 的 小 提 琴 无 伴 奏 Partita No.3 的 序 曲 开 头 几 个 小 节 。 下
面 是 巴 赫 的 手 稿 , 从 某 种 意 义 上 说 来 , 它 也 构 成 了 对 上 面 那
段 声 音 的 一 个 “ 描 述 ”:
这 两 种 描 述 之 间 的 关 系 是 怎 样 的 呢 ? 第 一 种 描 述 刻 划
的 是 具 体 的 信 号 数 值 , 第 二 种 描 述 刻 划 的 是 声 音 的 高 低 ( 即
声 音 震 动 的 频 率 )。 人 们 直 到 十 九 世 纪 才 渐 渐 意 识 到 , 在 这
两 种 描 述 之 间 , 事 实 上 存 在 着 一 种 对 偶 关 系 , 而 这 一 点 并 不
显 然 。
1807 年 , 法 国 数 学 家 傅 立 叶 (J. Fourier, 1768-1830)
在 一 篇 递 交 给 巴 黎 科 学 院 的 革 命 性 论 文 Mémoire sur la
propagation de la chaleur dans les corps solides (《 固 体 中 的 热
数 学 文 化 / 第 2 卷 第 4 期 80

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传 播 》) 中 , 提 出 了 一 个 崭 新 的 观 念 : 任 何 一 个 函 数 都 可 以
表 达 为 一 系 列 不 同 频 率 的 简 谐 振 动 ( 即 简 单 的 三 角 函 数 ) 的
叠 加 。 有 趣 的 是 , 这 结 论 是 他 研 究 热 传 导 问 题 的 一 个 副 产 品 。
这 篇 论 文 经 拉 格 朗 日 (J. Lagrange, 1736-1813)、 拉 普 拉 斯 (P.
-S. Laplace,1749-1827) 和 勒 让 德 (A.-M. Legendre, 1752-
1833) 等 人 审 阅 后 被 拒 绝 了 , 原 因 是 他 的 思 想 过 于 粗 糙 且 极
不 严 密 。1811 年 傅 立 叶 递 交 了 修 改 后 的 论 文 , 这 一 次 论 文
获 得 了 科 学 院 的 奖 金 , 但 是 仍 然 因 为 缺 乏 严 密 性 而 被 拒 绝
刊 载 在 科 学 院 的 《 报 告 》 中 。 傅 立 叶 对 此 耿 耿 于 怀 , 直 到
1824 年 他 本 人 成 为 了 科 学 院 的 秘 书 , 才 得 以 把 自 己 1811 年
的 论 文 原 封 不 动 地 发 表 在 《 报 告 》 里 。
用 今 天 的 语 言 来 描 述 , 傅 立 叶 的 发 现 实 际 上 是 在 说 :
任 何 一 个 信 号 都 可 以 用 两 种 方 式 来 表 达 , 一 种 就 是 通 常 意
义 上 的 表 达 , 自 变 量 是 时 间 或 者 空 间 的 坐 标 , 因 变 量 是 信
号 在 该 处 的 强 度 , 另 一 种 则 是 把 一 个 信 号 “ 展 开 ” 成 不 同
频 率 的 简 单 三 角 函 数 ( 简 谐 振 动 ) 的 叠 加 , 于 是 这 就 相 当
于 把 它 看 作 是 定 义 在 所 有 频 率 所 组 成 的 空 间 ( 称 为 频 域 空
间 ) 上 的 另 一 个 函 数 , 自 变 量 是 不 同 的 频 率 , 因 变 量 是 该
频 率 所 对 应 的 简 谐 振 动 的 幅 度 。
这 两 个 函 数 一 个 定 义 在 时 域 ( 或 空 域 ) 上 , 一 个 定 义
在 频 域 上 , 看 起 来 的 样 子 通 常 截 然 不 同 , 但 是 它 们 是 在 以 完
全 不 同 的 方 式 殊 途 同 归 地 描 述 着 同 一 个 信 号 。 它 们 就 像 是 两
种 不 同 的 语 言 , 乍 一 听 完 全 不 相 干 , 但 是 其 实 可 以 精 确 地 互
相 翻 译 。 在 数 学 上 , 这 种 翻 译 的 过 程 被 称 为 “ 傅 立 叶 变 换 ”。
傅 立 叶 变 换 是 一 个 数 学 上 极 为 精 美 的 对 象 :
* 它 是 完 全 可 逆 的 , 任 何 能 量 有 限 的 时 域 或 空 域 信
号 都 存 在 唯 一 的 频 域 表 达 , 反 之 亦 然 。
* 它 完 全 不 损 伤 信 号 的 内 在 结 构 : 任 何 两 个 信 号 之
间 有 多 少 相 关 程 度 ( 即 内 积 ), 它 们 的 频 域 表 达
之 间 也 一 定 有 同 样 多 的 相 关 程 度 。
* 它 不 改 变 信 号 之 间 的 关 联 性 : 一 组 信 号 收 敛 到 一
个 特 定 的 极 限 , 它 们 的 频 域 表 达 也 一 定 收 敛 到 那
个 极 限 函 数 的 频 域 表 达 。
傅 立 叶 变 换 就 像 是 把 信 号 彻 底 打 乱 之 后 以 最 面 目 全 非
的 方 式 复 述 出 来 , 而 一 切 信 息 都 还 原 封 不 动 的 存 在 着 。 要
是 科 幻 小 说 作 家 了 解 这 一 点 , 他 们 就 可 以 多 了 很 多 有 趣 的
素 材 。
在 傅 立 叶 变 换 的 所 有 这 些 数 学 性 质 中 , 最 不 寻 常 的 是
这 样 一 种 特 性 : 一 个 在 时 域 或 空 域 上 看 起 来 很 复 杂 的 信 号
( 譬 如 一 段 声 音 或 者 一 幅 图 像 ) 通 常 在 频 域 上 的 表 达 会 很 简
单 。 这 里 “ 简 单 ” 的 意 思 是 说 作 为 频 域 上 的 函 数 , 它 只 集
中 在 很 小 一 块 区 域 内 , 而 很 大 一 部 分 数 值 都 接 近 于 零 。 例
如 下 图 是 一 张 人 脸 和 它 对 应 的 傅 立 叶 变 换 , 可 以 看 出 , 所 有
的 频 域 信 号 差 不 多 都 分 布 在 中 心 周 围 , 而 大 部 分 周 边 区 域 都
是 黑 色 的 ( 即 零 )。
这 是 一 个 意 味 深 长 的 事 实 , 它 说 明 一 个 在 空 域 中 看 起
来 占 满 全 空 间 的 信 号 , 从 频 域 中 看 起 来 很 可 能 只 不 过 占 用 了
极 小 一 块 区 域 , 而 大 部 分 频 率 是 被 浪 费 了 的 。 这 就 导 出 了 一
个 极 为 有 用 的 结 论 :
一 个 看 起 来 信 息 量 很 大 的 信 号 , 其 实 可 以 只 用 少 得 多
的 数 据 来 加 以 描 述 。 只 要 对 它 先 做 傅 立 叶 变 换 , 然 后
只 记 录 那 些 不 接 近 零 的 频 域 信 息 就 可 以 了 , 这 样 数 据
量 就 可 以 大 大 减 少 。
基 本 上 , 这 正 是 今 天 大 多 数 数 据 压 缩 方 法 的 基 础 思 想 。
在 互 联 网 时 代 , 大 量 的 多 媒 体 信 息 需 要 在 尽 量 节 省 带 宽 和 时
间 的 前 提 下 被 传 输 , 所 以 数 据 压 缩 从 来 都 是 最 核 心 的 问 题
之 一 。 而 今 天 几 乎 所 有 流 行 的 数 据 压 缩 格 式 , 无 论 是 声 音 的
mp3 格 式 还 是 图 像 的 jpg 格 式 , 都 是 利 用 傅 立 叶 变 换 才 得 以
发 明 的 。 从 这 个 意 义 上 说 来 , 几 乎 全 部 现 代 信 息 社 会 都 建 立
在 傅 立 叶 的 理 论 基 础 之 上 。
这 当 然 是 傅 立 叶 本 人 也 始 料 未 及 的 。
傅 立 叶 变 换 这 种 对 偶 关 系 的 本 质 , 是 把 一 块 信 息 用 彻
底 打 乱 的 方 式 重 新 叙 述 一 遍 。 正 如 前 面 所 提 到 的 那 样 , 一 个
信 号 可 能 在 空 域 上 显 得 内 容 丰 富 , 但 是 当 它 在 频 域 上 被 重 新
表 达 出 来 的 时 候 , 往 往 就 在 大 多 数 区 域 接 近 于 零 。 反 过 来 这
个 关 系 也 是 对 称 的 : 一 个 空 域 上 大 多 数 区 域 接 近 于 零 的 信
号 , 在 频 域 上 通 常 都 会 占 据 绝 大 多 数 频 率 。
有 没 有 一 种 信 号 在 空 域 和 频 域 上 的 分 布 都 很 广 泛 呢 ?
有 的 , 最 简 单 的 例 子 就 是 噪 声 信 号 。 一 段 纯 粹 的 白 噪 声 , 其
傅 立 叶 变 换 也 仍 然 是 噪 声 , 所 以 它 在 空 域 和 频 域 上 的 分 布 都
是 广 泛 的 。 如 果 用 信 号 处 理 的 语 言 来 说 , 这 就 说 明 “ 噪 声 本
身 是 不 可 压 缩 的 ”。 这 并 不 违 反 直 觉 , 因 为 信 号 压 缩 的 本 质
就 是 通 过 挖 掘 信 息 的 结 构 和 规 律 来 对 它 进 行 更 简 洁 的 描 述 ,
而 噪 声 , 顾 名 思 义 , 就 是 没 有 结 构 和 规 律 的 信 号 , 自 然 也 就
无 从 得 以 压 缩 。
另 一 方 面 , 有 没 有 一 种 信 号 在 空 域 和 频 域 上 的 分 布 都
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海 森 堡 不 确 定 性 原 理 的
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很 简 单 呢 ? 换 句 话 说 , 存 不 存 在 一 个 函 数 , 它 在 空 间 上 只 分
布 在 很 少 的 几 个 区 域 内 , 并 且 在 频 域 上 也 只 占 用 了 很 少 的 几
个 频 率 呢 ?( 零 函 数 当 然 满 足 这 个 条 件 , 所 以 下 面 讨 论 的 都
是 非 零 函 数 。)
答 案 是 不 存 在 。 这 就 是 所 谓 的 uncertainty principle( 不
确 定 性 原 理 )。
这 一 事 实 有 极 为 重 要 的 内 涵 , 但 是 其 重 要 性 并 不 容 易
被 立 刻 注 意 到 。 它 甚 至 很 不 直 观 : 大 自 然 一 定 要 限 制 一 个 信
号 在 空 间 分 布 和 频 率 分 布 上 不 能 都 集 中 在 一 起 , 看 起 来 并 没
有 什 么 道 理 啊 。
这 个 原 理 可 以 被 尽 量 直 观 地 解 释 如 下 : 所 谓 的 频 率 ,
本 质 上 反 应 的 是 一 种 长 期 的 全 局 的 趋 势 , 所 以 任 何 一 个 单 一
的 频 率 , 一 定 对 应 于 一 个 在 时 空 中 大 范 围 存 在 的 信 号 。 反 过
来 , 任 何 只 在 很 少 一 块 时 空 的 局 部 里 存 在 的 信 号 , 都 存 在 很
多 种 不 同 的 长 期 发 展 的 可 能 性 , 从 而 无 法 精 确 推 断 其 频 率 。
让 我 们 仍 然 用 音 乐 来 作 例 子 。 声 音 可 以 在 时 间 上 被 限
制 在 一 个 很 小 的 区 间 内 , 譬 如 一 个 声 音 只 延 续 了 一 刹 那 。
声 音 也 可 以 只 具 有 极 单 一 的 频 率 , 譬 如 一 个 音 叉 发 出 的 声
音 ( 如 果 你 拿 起 手 边 的 固 定 电 话 , 里 面 的 拨 号 音 就 是 一 个
440Hz 的 纯 音 加 上 一 个 350Hz 的 纯 音 , 相 当 于 音 乐 中 的 A-F
和 弦 )。 但 是 不 确 定 性 原 理 告 诉 我 们 , 这 两 件 事 情 不 能 同 时
成 立 , 一 段 声 音 不 可 能 既 只 占 据 极 短 的 时 间 又 具 有 极 纯 的 音
频 。 当 声 音 区 间 短 促 到 一 定 程 度 的 时 候 , 频 率 就 变 得 不 确 定
了 , 而 频 率 纯 粹 的 声 音 , 在 时 间 上 延 续 的 区 间 就 不 能 太 短 。
因 此 , 说 “ 某 时 某 刻 那 一 刹 那 的 一 个 具 有 某 音 高 的 音 ” 是 没
有 意 义 的 。
这 看 起 来 像 是 一 个 技 术 性 的 困 难 , 而 它 实 际 上 反 映 出
却 是 大 自 然 的 某 种 本 质 规 律 : 任 何 信 息 的 时 空 分 辨 率 和 频 率
分 辨 率 是 不 能 同 时 被 无 限 提 高 的 。 一 种 波 动 在 频 率 上 被 我 们
辨 认 得 越 精 确 , 在 空 间 中 的 位 置 就 显 得 越 模 糊 , 反 之 亦 然 。
这 一 规 律 对 于 任 何 熟 悉 现 代 多 媒 体 技 术 的 人 来 说 都 是
熟 知 的 , 因 为 它 为 信 号 处 理 建 立 了 牢 不 可 破 的 边 界 , 也 在 某
种 程 度 上 指 明 了 它 发 展 的 方 向 。 既 然 时 空 分 辨 率 和 频 率 分 辨
率 不 能 同 时 无 限 小 , 那 人 们 总 可 以 去 研 究 那 些 在 时 空 分 布 和
频 率 分 布 都 尽 量 集 中 的 信 号 , 它 们 在 某 种 意 义 上 构 成 了 信 号
的 “ 原 子 ”, 它 们 本 身 有 不 确 定 性 原 理 所 允 许 的 最 好 的 分 辨
率 , 而 一 切 其 他 信 号 都 可 以 在 时 空 和 频 率 上 分 解 为 这 些 原 子
的 叠 加 。 这 一 思 路 在 四 十 年 代 被 D. Gabor ( 他 后 来 因 为 发 明
全 息 摄 影 而 获 得 了 1971 年 的 诺 贝 尔 物 理 奖 ) 所 提 出 , 成 为
整 个 现 代 数 字 信 号 处 理 的 奠 基 性 思 想 , 一 直 影 响 到 今 天 。
但 是 众 所 周 知 , 不 确 定 性 原 理 本 身 并 不 是 数 学 家 的 发
明 , 而 是 来 自 于 量 子 物 理 学 家 的 洞 察 力 。 同 样 一 条 数 学 结 论
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