微博上的数学漫游（连载四）

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数 学 经 纬
微 博 上 的 数 学 漫 游 ( 连 载 四 )
歌 之 忆
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柏 拉 图 式 的 数 学 赋 予 我 们 以 美 的 眼 光 去 解 读 日 月 星 辰 , 释 疑 声 光 电 化 。 但 真 正 的 数 学
却 并 不 耽 于 美 、 并 不 满 足 于 只 做 自 然 的 倾 听 者 。 正 是 那 些 看 上 去 远 离 人 间 烟 火 、 最 具
抽 象 华 美 质 感 的 数 学 , 创 造 出 了 今 天 的 信 息 社 会 , 构 建 出 现 代 文 明 的 技 术 基 础 。 汲 天
地 之 精 华 而 有 了 数 学 , 取 数 学 之 精 华 成 就 了 今 天 的 技 术 世 界 。
信 息 时 代 的 数 学 前 奏
发 明 晶 体 管
数 学 文 化 / 第 4 卷 第 1 期 84

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为 庆 祝 瑞 典 国 王 的 生 日 而 举 办 的 数 学 论 文 竞 赛 , 引 来 了 直 觉 和 逻 辑 的 精 彩 对 阵 。
法 国 大 数 学 家 庞 加 莱 的 直 觉 , 经 过 瑞 典 小 将 弗 拉 格 门 (Phragmén) 在 逻 辑 上 的 层
层 诘 问 , 最 终 打 通 了 通 往 混 沌 的 道 路 。 在 这 场 逻 辑 与 直 觉 的 较 量 中 , 瑞 典 青 年 才
俊 弗 拉 格 门 从 一 名 初 创 期 刊 的 小 编 辑 , 成 为 被 世 人 铭 记 的 数 学 名 家 。
在 弗 拉 格 门 的 那 个 时 代 , 数 学 家 们 所 醉 心 的 函 数 论 , 极 尽 抽 象 之 能 事 , 全 然
一 副 不 食 人 间 烟 火 的 形 象 。 很 难 把 那 样 的 数 学 与 今 天 的 技 术 世 界 联 想 到 一 起 ——
我 们 拥 有 了 拿 起 手 机 随 时 聊 天 的 便 利 , 我 们 随 心 所 欲 地 在 互 联 网 上 享 受 着 虚 拟 人
生 。 这 个 一 切 都 被 数 字 化 的 信 息 时 代 , 正 是 靠 最 抽 象 的 数 学 包 括 弗 拉 格 门 的 理 论 ,
以 其 巨 大 的 力 量 支 撑 起 来 的 。
美 国 的 贝 尔 实 验 室 为 我 们 竖 起 了 数 字 化 世 界 的 第 一
个 里 程 碑 。 这 是 发 明 了 晶 体 管 和 激 光 的 实 验 室 , 是 发 明 了
CCD 成 像 技 术 的 实 验 室 , 是 发 明 了 C/C++ 语 言 的 实 验 室 ,
也 是 创 建 了 信 息 论 的 实 验 室 。 这 个 塑 造 了 现 代 信 息 社 会 的 实
验 室 , 迄 今 已 经 诞 生 了 7 位 诺 贝 尔 奖 得 主 。
毕 业 于 耶 鲁 的 瑞 典 移 民 奈 奎 斯 特 (Nyquist) 博 士 , 无
疑 是 贝 尔 实 验 室 进 军 现 代 通 信 技 术 的 先 锋 。 要 高 效 地 传 输 信
息 , 最 好 的 办 法 是 数 字 化 。 可 是 模 拟 信 号 如 何 才 能 对 应 到 一
串 数 列 ? 你 又 如 何 能 确 保 从 数 列 复 原 出 模 拟 信 号 ? 奈 奎 斯
特 指 出 了 前 提 条 件 : 对 信 号 采 样 的 速 率 , 至 少 要 达 到 信 号 最
高 频 率 两 倍 以 上 。
瑞 典 裔 美 国 电 信 工 程 师 奈 奎 斯 特 (1889-1976)
奈 奎 斯 特 提 出 的 条 件 , 早 已 经 成 为 现 今 电 子 信 息 教 科 书 的 标 准 内 容 。 要 求 信
号 的 频 率 低 于 采 样 率 的 一 半 , 这 看 似 十 分 轻 巧 的 一 个 条 件 , 却 像 是 一 个 巨 大 的 幕 布 。
而 幕 后 究 竟 是 地 狱 还 是 天 堂 , 却 十 足 耐 人 寻 味 。 众 人 忽 略 了 它 , 而 真 正 思 考 信 号
结 构 的 思 想 者 , 才 嗅 出 这 里 面 大 有 文 章 。 这 个 人 就 是 维 纳 (Wiener)。
维 纳 拉 来 英 国 的 数 学 天 才 佩 利 (Paley), 攻 下 了 奈 奎 斯 特 条 件 真 正 的 数 学 含 义 ,
提 出 了 深 刻 的 佩 利 - 维 纳 定 理 。 这 个 定 理 的 关 键 部 分 就 是 建 立 在 弗 拉 格 门 - 林 德 洛
夫 的 理 论 上 。 简 单 而 言 , 符 合 奈 奎 斯 特 条 件 的 信 号 , 必 然 是 某 种 类 型 的 解 析 函 数 。
不 过 这 种 深 刻 的 结 果 , 在 许 多 “ 现 代 ” 电 子 信 息 教 科 书 上 一 概 不 去 引 述 评 论 。
无 数 古 典 音 乐 迷 , 无 法 忍 受 CD 带 给 他 们 过 于 纯 净 的 音 色 。 若 进 不 了 音 乐 厅 ,
他 们 宁 愿 花 大 价 钱 去 听 黑 胶 (LP)。 而 弗 拉 格 门 们 的 数 学 , 恰 好 解 释 了 此 中 奥 妙 。
CD 的 数 字 化 音 乐 , 播 放 的 不 过 是 解 析 函 数 ! 它 当 然 过 于 光 滑 了 。 它 怎 么 可 能 有 黑
胶 的 模 拟 录 音 带 给 你 的 无 比 温 暖 的 音 色 , 还 有 丰 富 多 彩 的 、 透 着 木 质 情 调 的 泛 音 !
数 学 文 化 / 第 4 卷 第 1 期 85

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依 然 是 在 贝 尔 实 验 室 , 奈 奎 斯 特 的 探 索 由 香 农 (Shannon) 发 扬 光 大 为 精 彩 的 采
样 定 理 , 打 开 了 通 往 数 字 化 世 界 的 第 一 扇 大 门 。 我 们 从 手 机 上 或 CD 上 所 听 到 的 音
乐 , 就 是 由 一 组 解 析 函 数 (sinc- 函 数 ) 线 性 叠 加 而 来 。 这 个 连 接 了 模 拟 世 界 与 数
字 世 界 的 采 样 定 理 , 带 给 我 们 莫 扎 特 , 也 带 给 我 们 江 南 Style。
或 许 有 史 以 来 , 应 用 最 频 繁 、 创 造 出 最 大 经 济 价 值 的 数 学 定 理 , 就 是 奈 奎 斯 特 -
香 农 的 采 样 定 理 。 你 每 一 次 用 手 机 、 每 一 次 上 网 、 每 一 次 听 Mp3, 都 用 到 它 。 它
把 我 们 带 到 数 字 化 的 天 堂 , 它 把 我 们 送 入 数 字 化 的 地 狱 。 而 这 个 数 字 化 世 界 的 潘
多 拉 魔 盒 , 里 面 装 的 就 是 名 为 指 数 型 整 函 数 的 解 析 函 数 精 灵 。
小 仓 金 之 助
连 接 了 物 理 世 界 与 数 字 世 界 的 奈 奎 斯 特 -
香 农 采 样 定 理 , 一 端 开 启 了 我 们 日 常 生 活 离
不 开 的 手 机 、CD、Mp3, 另 一 端 却 通 往 高 深
莫 测 的 黎 曼 zeta 函 数 。 其 前 世 今 生 , 简 直 可
以 媲 美 一 部 精 彩 的 小 说 。 好 的 理 论 总 是 有 诸
多 起 源 , 最 早 接 近 于 现 代 形 式 的 采 样 定 理 发
表 于 1920 年 , 作 者 是 日 本 数 学 家 小 仓 金 之
助 (Kinnosuke Ogura)。
日 本 数 学 家 小 仓 金 之 助 (1885-1962)
“ 新 叶 滴 翠 , 摘 来 拂 拭 尊 师 泪 ”。 日 本 无
疑 是 个 极 度 善 于 学 习 的 民 族 。 我 们 常 常 满 足
于 找 到 对 手 的 缺 陷 从 而 遐 想 对 手 的 渺 小 , 但 他
们 却 始 终 在 研 究 对 手 的 优 势 从 而 成 全 自 己 的 强
大 。2001 年 , 当 日 本 宣 布 要 在 未 来 50 年 拿 30
个 诺 贝 尔 奖 时 , 中 国 人 多 不 以 为 然 。 可 自 2001
年 算 起 , 日 本 已 经 拿 下 了 10 个 诺 贝 尔 奖 。
更 令 国 人 难 以 释 怀 的 是 , 日 本 第 一 个 由 私 立 大 学 培 养 出 来 的 数 学 博 士 小 仓 金
之 助 , 既 对 《 九 章 算 术 》 情 有 独 钟 , 又 为 日 本 侵 华 战 争 摇 旗 呐 喊 。 刀 与 菊 的 双 重 性 格 ,
常 常 遮 蔽 了 历 史 真 相 。 中 国 人 习 惯 于 感 恩 , 我 们 至 今 仍 在 感 念 其 人 对 中 国 数 学 教
育 和 数 学 史 研 究 带 来 的 积 极 影 响 。
90 年 前 , 日 本 数 学 家 小 仓 金 之 助 用 复 分 析 率 先 论 证 了 采 样 定 理 。 这 类 “ 违
背 国 人 常 识 ” 的 事 情 远 不 止 一 例 。 当 后 来 获 得 菲 尔 兹 奖 的 小 利 翁 斯 (Pierre-Louis
Lions) 与 其 合 作 者 研 究 出 现 代 图 像 处 理 的 核 心 模 型 “ 尺 度 空 间 ” 之 后 , 人 们 再 次
惊 讶 地 发 现 : 日 本 计 算 机 科 学 先 驱 饭 岛 (Taizo Iijima) 在 50 年 代 末 就 已 经 发 表 了
数 学 文 化 / 第 4 卷 第 1 期 86

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类 似 成 果 。
小 仓 金 之 助 能 在 采 样 定 理 上 做 出 成 绩 , 靠 的 是 钻 研 芬 兰 数 学 家 林 德 洛 夫
(Lindelöf) 的 复 分 析 专 著 。 当 世 之 下 , 快 餐 式 的 速 成 学 习 成 为 时 尚 , 钻 研 沦 为 一 种
稀 缺 的 习 惯 。 当 年 林 德 洛 夫 发 现 自 己 身 边 的 天 才 阿 尔 福 斯 (Ahlfors) 自 我 感 觉 甚 好 、
妄 想 翘 掉 奈 望 林 纳 (Nevanllina) 的 数 学 课 时 , 将 其 好 生 训 了 一 通 , 责 令 其 按 部 就
班 地 学 习 和 考 试 。
阿 尔 福 斯 家 境 良 好 , 但 他 做 大 学 教 授 的 父 亲 却 从 未 要 求 孩 子 超 前 学 习 。 芬 兰
的 某 一 任 总 理 曾 说 : 给 孩 子 最 好 的 教 育 , 等 于 给 了 他 最 好 的 人 生 。 而 最 好 的 教 育 ,
就 是 按 部 就 班 地 成 长 。 摆 脱 瑞 典 和 沙 皇 的 统 治 , 立 国 还 不 足 百 年 的 芬 兰 , 不 仅 创
造 出 了 世 界 级 的 品 牌 诺 基 亚 , 还 创 造 出 位 列 全 球 之 冠 的 芬 兰 教 育 。
在 远 离 世 界 数 学 中 心 的 日 本 , 小 仓 金 之 助 们 必 须 埋 头 苦 读 才 能 学 有 所 成 。 正
是 靠 这 种 潜 心 努 力 , 战 后 的 日 本 不 断 涌 现 出 世 界 级 的 大 学 者 。 阿 尔 福 斯 回 忆 到 自
己 无 须 闭 门 苦 读 : 他 的 身 边 全 是 世 界 级 的 数 学 家 , 他 生 活 在 鲜 活 的 数 学 中 , 他 的
研 究 纯 然 就 是 世 界 级 的 。 两 种 际 遇 , 两 种 道 路 , 都 登 上 了 顶 峰 。
奈 望 林 纳
优 秀 的 教 育 传 承 , 成 就 了 由 林 德 洛 夫 、 奈 望 林 纳 和
阿 尔 福 斯 这 群 大 师 领 衔 的 芬 兰 复 分 析 学 派 。 阿 尔 福 斯
获 得 了 菲 尔 兹 数 学 奖 和 沃 尔 夫 奖 。 奈 望 林 纳 担 任 过 国
际 数 学 联 盟 的 主 席 。 而 四 年 一 度 的 世 界 数 学 家 大 会 ,
不 仅 会 颁 发 菲 尔 兹 奖 , 还 同 时 颁 发 以 信 息 科 学 为 主 题
的 应 用 数 学 大 奖 —— 奈 望 林 纳 奖 。
为 芬 兰 数 学 带 来 了 极 高 的 荣 誉 的 亚 纯 函 数 奈 望 林
纳 理 论 , 被 大 数 学 家 外 尔 (Weyl) 赞 誉 为 二 十 世 纪 经
典 。 冷 峻 而 富 有 逻 辑 的 数 学 作 品 , 就 像 芬 兰 作 曲 家 西
贝 柳 斯 的 音 乐 —— 那 是 一 种 追 求 深 刻 逻 辑 的 “ 绝 对 音
乐 ”。 奈 望 林 纳 12 岁 听 音 乐 会 时 迷 上 西 贝 柳 斯 。 一 生
与 爱 因 斯 坦 、 希 尔 伯 特 等 无 数 名 流 交 往 过 的 他 , 最 推
崇 的 人 正 是 谱 写 了 《 芬 兰 颂 》 的 西 贝 柳 斯 。
芬 兰 音 乐 家 西 贝 柳 斯 (1865-1957)
终 身 挚 爱 小 提 琴 的 西 贝 柳 斯 或 许 不 知 , 这 位 12
岁 的 粉 丝 奈 望 林 纳 已 经 是 小 提 琴 高 手 , 常 与 母 亲 和 哥
哥 演 奏 三 重 奏 , 长 大 后 还 组 建 过 室 内 乐 团 。 这 位 为 芬
兰 赢 得 至 高 荣 誉 的 数 学 家 , 不 仅 执 掌 过 国 际 数 学 家 联
盟 , 还 两 度 出 任 芬 兰 最 高 音 乐 学 府 西 贝 柳 斯 学 院 的 理
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