Eðlisfræði reiðhjóls

Eðlisfræði reiðhjóls
Hópur 1a
14. nóvember 2005
Benedikt Skúlason, Haukur Elvar Hafsteinsson, Heimir Hjartarson og
Snæbjörn Helgi Emilsson.
1

Efnisyrlit
1 Inngangur 3
2 Jafnvægi 3
2.1 Mannlaust hjól . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Reiðhjól með hjólreiðamanni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Gírar og kraftvægi 9
3.1 Gírahjól . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Kraftvægi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 Hlutföll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.4 Tölulegir útreikningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Fjöðrun á hjóli 13
4.1 Tilgangur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Dempunin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3 Aðrar pælingar um dempun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Gagnkraftar 16
5.1 Útleiðsla á F loft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.2 Áhrif F n og F loft á hjólreiðamann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.3 Vangaveltur varðandi hönnun á reiðhjólum . . . . . . . . . . . . . 19
5.4 Útleiðsla á loftmótstöðu teina reiðhjóls á ferð . . . . . . . . . . . . 20
5.5 Hversu hratt er hægt að komast á reiðhjóli? . . . . . . . . . . . . 22
6 Lokaorð 23
2

1 Inngangur
Reiðhjólið er mjög umhversvænt farartæki og eru vinsældir þess alltaf að aukast.
Ekki er vitað hver fann það upp en Leonardo da Vinci teiknaði upp tæki sem líktist
reiðhjóli á 16. öld. Reiðhjólið, eins og við þekkjum í dag, kom fram um 1886
og birtust fyrstu gírahjólin um 15 árum síðar. Reiðhjólið er mjög einföld vél, við
fyrstu sýn. Hún samanstendur af tveimur hjólum, stelli og drifker. Eðlisfræðileg
virkni reiðhjólsins er þó mun óknari en menn skyldu halda t.d. má velta fyrir
sér hvernig hjólið helst uppi, hvernig virka gírar, hver er tilgangur dempara á
fjallahjólum og hvaða gagnkröftum er hjólreiðamaðurinn að vinna gegn? Þessum
spurningum, auk eiri, verður leitast við að svara í þessu verkefni.
2 Jafnvægi
Flestir sem hafa lært að hjóla líta eaust á það sem sjálfsagðan hlut að halda
jafnvægi. Við hoppum bara upp á hjólið og þeysum af stað. En hvernig heldur
hjólið jafnvægi? Hvaða kraftar og fyrirbæri valda því að hjólið getur brunað áfram
jafnvel án þess að nokkur sé á því til þess að stjórna því? Við réðumst á þetta
verkefni og komumst að því að jafnvægið er ekki eins einfalt fyrirbæri eins og það
lítur út fyrir að vera.
2.1 Mannlaust hjól
Við skulum byrja á því að skoða hvernig stakt dekk sem rúllar eftir jafnsléttu
heldur jafnvægi. Þetta fyrirbæri er þekkt sem svokölluð "snúðshrif"(e. gyroscopic
eect). Við vitum að þegar hjól er upprétt er það í svokölluðu óstöðugu jafnvægi
þ.e. það leitast við að falla í átt til jarðar. Segjum sem svo að dekkið okkar rúlli
eftir beinni línu þegar það skyndilega byrjar að halla til vinstri í átt til jarðar
(mynd 1).
Mynd 1: Hverþungabreyting.
3

Jafna fyrir hverþunga er gen með
⃗L = ⃗ I × ⃗ω
Þar sem ⃗ I er hvertregða dekks um snúnigsás og ⃗ω er hornhraði dekksins. Svo
þurfum við að hafa jöfnu fyrir vægi þyngdarkrafts um ás frá jörð
⃗τ = ⃗r × ⃗ F g
Við höfum samband á milli þessara stærða
⃗τ = d⃗ L
dt
⇓
d ⃗ L = ⃗τdt
Sem segir okkur að hverþungabreytingin er í sömu stefnu og stefna vægisins. Nú
er hverþunginn varðveittur, þ.a. þó að stefna hans breytist þá breytist stærð
hans ekki. Það gerir það að verkum að dekkið byrjar að snúast um snertipunktinn
við jörð og beygir í sömu átt og dekkið hallar, þ.e. til vinstri. Dekkið er þá ekki
lengur á leið eftir beinni línu heldur hringlaga braut sem upphaega hefur stóran
radíus sem minnkar með meiri halla á hjólinu. Og hvað gerist þá...? Jú, þá mætir
miðóttakraftur til leiks sem verkar með vægi til hægri og vegur upp á móti vægi
þyngdarkraftsins. Þannig erum við komin með jafnvægi. Við skoðum betur vægi
miðóttakrafts í næsta kaa.
Fyrir reiðhjól sem er látið akka eftir jafnsléttu erum við með svipaðar aðstæður
eins og fyrir stakt dekk. En þó verður þetta allt aðeins, eða öllu heldur töluvert
óknara. Mjög ertt verður að lýsa jafnvægi hjólsins stærðfræðilega. Lögun framgaals
hjólsins skiptir miklu máli [1]. Fjarlægðin milli snertipunkts framdekks og
skurðpunkts stýris-áss við jörð (mynd 2) er kallað slóð eða sporlengd (e. trail).
Jákvæð slóð (þ.e. skp. stýrisáss er fyrir framan snertipunkt framdekks við jörð)
er nauðsynleg til þess að reiðhjól haldi jafnvægi. Hægt er hugsa sér að stýrisásinn
leiði framdekkið áfram, þ.e. framdekkið eltir stýrisásinn inn í beygjuna þegar
reiðhjóli er hallað til hliðar. Við sjáum þetta á reiðhjólunum okkar þegar við
höllum því til hliðar, þá beygir framdekkið í sömu átt vegna vægis þverkrafta frá
jörð. Því jákvæðari sem slóðin er því meira beygir framdekkið. Á móti kemur
að beita þarf meiri krafti á stýrið til þess að beygja. Ef hins vegar slóðin verður
neikvæð hefur framdekkið ekki fastar skorður fyrir stefnu og ómögulegt verður
fyrir mannlaust hjól að halda jafnvægi. Því þegar hjól á ferð hallar getur framdekkið
beygt í öfuga átt og miðóttakrafturinn hendir hjólinu á hliðina. Þetta
myndi sennilegast okkast sem svokallað óhjól. Slóðin reynist vera eitt mikilvægasta
verkfærið við hönnun hjóla [2]. Ef búið er að hanna hjól og það reynist
illstjórnanlegt er yrleitt fyrsta verk að ráðast í að breyta lengdinni á slóðinni.
4

Mynd 2: Hér má sjá hvað átt er við með orðinu slóð(sporlengd).
En þrátt fyrir mikilvægi þessarar stærðar er ekki til stærðfræðilegt verkfæri til
þess að segja til um hversu stór slóðin þarf að vera til þess að nægilegt jafnvægi
á hjólið fáist. Hönnun reiðhjóla í sambandi við jafnvægi er því ennþá meira háð
verkkunnáttu og tilraunum frekar en beinum útreikningum.
Þegar slóð nokkura reiðhjóla var borin saman fengust eftirfarandi niðurstöður:
Taa 1: Slóð reiðhjóla í skúrnum heima
Tegund Gerð Slóð/Trail [cm]
Moongoose pro nx-7.1 Fjallahjól 8.0
Mongoose pro Rockadile Fjallahjól 6.5
Mongoose LE Fjallahjól 6.0
Giant OCR2 6000series Keppnishjól 3.5
Kalkho Keppnishjól 4.5
Við sjáum að fjallahjólin eru með slóð sem er áberandi lengri en slóðin á keppnishjólunum.
Það er vegna þess að á fjallahjólum er mikið lagt upp úr jafnvægi. Með
samanburði fannst að erðara er að snúa stýrinu á fjallahjólunum en á keppnishjólunum.
Það er í lagi að keppnishjólin ha stutta slóð því þar er meira lagt
upp úr hraða en jafnvægi. Við hönnun keppnishjóla er ekki miðað við hjólreiðar
5

utan brautar, í landslagi sem krefst mikils jafnvægis.
velja fjallahjól.
Þar myndum við heldur
2.2 Reiðhjól með hjólreiðamanni
Við erum eaust est sammála því að auðveldara verður að halda jafnvægi með
auknum hraða. Í mjög einfölduðu máli náum við fram jafnvægi vegna sambands
milli vægi þyngdarkrafts sem verkar á hjólreiðamann (og reiðhjól) og vægi mið-
óttakrafts sem verkar í öfuga átt. Tilraunir sýna að vægi þyngdarkrafts og
miðóttakrafts sem verkar á hjól reiðhjóls er mun áhrifameira en hverþungi
dekkjanna og hægt er að líta fram hjá þeim lið í útreikningum. En hvers vegna er
þá auðveldara að halda jafnvægi með meiri hraða? Við skulum byrja á að skoða
jöfnu fyrir vægi miðóttakrafts (e. centrifugal force)
τ mid = F mid l 1 + F norm l 2 =
þar sem l 1 og l 2 eru fjarlægðir F mid og F norm frá snúningsás hjóls við jörð (mynd
3). Nú er l 1 = h cos(θ) og l 2 = h sin(θ) það gefur:
τ mid = mv2 h cos(θ) + mgh sin(θ)
r
Þar sem m er massi hjóls auk hjólreiðamanns, v er hraði hans og r er radíus
brautar sem maðurinn fer eftir, h er hæð massamiðju frá neðstu stöðu hjóls og
θ er hornið sem hjól myndar við normal frá jörð. Núna skulum við skoða vægi
þyngdarkraftsins sem verkar í öfuga átt m.v. τ mid . Þ.e. við höfum vægi lóðrétta
þáttar þyngdarkrafts og vægi lárétta þáttar þyngdarkrafts
τ ut = F larett l 1 +F g l 2 = F larett h cos(θ)+F g h sin(θ) = mg tan(θ)h cos(θ)+mgh sin(θ)
Mynd 3: Hér sjáum við helstu krafta sem verka á massamiðju.
6

þar sem g er þyngdarhröðun. Nú til þess að við höldum jafnvægi þarf
því F norm = F g
τ mid = τ ut
⇓
F mid l 1 + F norm l 2 = F larett l 1 + F g l 2
⇓
F mid = F larett
⇓
v 2
r = g tan(θ)
Af þessu sjáum við að hjólreiðamaður sem byrjar að halla (um θ gráður m.v.
normal frá jörð) í átt til jarðar hefur tvo möguleika ef hann ætlar að halda jafnvægi;
Hann getur minnkað beygjuradíusinn og/eða aukið hringhraða hjólsins. Við
sjáum líka að ef maðurinn er á litlum hraða eftir tiltölulega beinni braut þá má
hjólið ekki halla mikið til þess að jafnvægi fari úr skorðum. Þar með höfum við
skýringu á því hvers vegna auðveldara er að halda jafnvægi með meiri hraða.
Eins og ég nefndi áður þá er mjög ertt að búa til líkan sem lýsir vel hreyngu
og jafnvægi reiðhjólsins. Orsökin er sú að massi hjólreiðamanns er yrleitt um
5 sinnum meiri en massi hjóls og öll hreyng hans hefur mikil áhrif á hreyngu
hjólsins. Þó hafa verið gerðar ýmsar tilraunir með að reyna að búa til slík líkön,
en þau eru öll háð e-m annmörkum. Ég ætla til gamans að varpa fram einu slíku
líkani (1), sem var unnið í Berkeley háskóla í Kaliforníu [3]. Það var hannað til
þess að meta áhrif af völdum vægis sem beitt er á stýri. Það er takmarkað að því
leyti að það gerir ráð fyrir litlum halla og lítilli beygju:
ωI 0 ˙λ + Is¨σ = N s − Mgb∆
L
λ − Mbv2 ∆
σ
L 2 (1)
Þar sem N s er vægi á stýri, λ og σ eru halli hjóls m.v. lóðrétt og beygjuhorn, ω
er hornhraði dekkja, I 0 er hvertregða dekkjanna um snúningsöxul, M er heildarmassi,
g þyngdarhröðun, b lárétt fjarlægð frá aftara hjóli að massamiðju, ∆ er
slóðin, L er fjarlægð milli snúningsása fram- og afturdekks og v er hraði hjóls.
Fyrsti liðurinn vinstra megin er vegna stefnubreytingar á hverþunga L ω , annar
liður er vegna hverþunga um stýrisásinn. Annar og þriðji liður hægri hliðar er
vegna slóðar. Annar liðurinn veldur því að framdekkið beygir í sömu átt og hjólið
hallar. Þriðji liður þröngvar framhjólinu beint áfram við mikinn hraða.
Okkur gefst því miður ekki tóm til þess að leysa þessa jöfnu hér, hún hefur
hinsvegar verið leyst með hjálp tölvu. Útkomur eru sveiur með tíma út frá jafnvægistöðu.
Jafnvægisstöðu er ekki aftur náð nema með tilkomu dempunarliðs á
7

formi Γ ˙σ, sem væri í þessu tilfelli vægi á stýri af völdum hjólreiðamanns. Niðurstöður
jöfnunnar segja okkur líka að ef við ætlum að beygja í aðra hvora átt út
frá beinni línu þurfum við fyrst að beygja í gagnstæða átt (e. countersteering).
Það virkar frekar mótstæðukennt en ef við hugsum aðeins og ímyndum okkur að
við séum að hjóla eftir beinni línu og ýtum létt með útréttri hendi öðru megin á
stýrið þ.a. við beygjum örlítið. Þá verkar á okkur miðóttakraftur sem hendir
okkur í öfuga átt m.v. beygjuna á stýrinu. Þá þurfum við að stýra í sömu átt og
miðóttakrafturinn ýtir okkur ef við viljum ekki detta. Þ.a. á meðan við erum
að hjóla erum við sífellt að leiðrétta jafnvægið með fyrrgreindu ferli.
8

3 Gírar og kraftvægi
3.1 Gírahjól
Þegar við hjólum knýjum við hjólið áfram með okkar eigin ai. Fyrstu hjólin voru
þannig gerð að fótstigin og sveifarnar voru tengd beint í framhjólið. En til að ná
einhverri ferð urðu framhjólin að vera risastór til að komast á einhvern hraða. Í
dag hjólum við á hjólum með keðju og mörgum tannhjólum sem við notum til að
færa kraftinn í afturhjólið (sjá mynd 4).
Mynd 4: Mynd sem sýnir drifker reiðhjóls.
3.2 Kraftvægi
Skoðum þetta nánar. Skilgreinum nokkrar stærðir fyrst. Átak frá hjólreiðamanni
sem beitt er á fóstigið. Köllum þann kraft F H . Svein hefur lengd L S og tannhjólið
að framan hefur radíus R F . Kraftur keðjunnar á tannhjólið að framan er
F K . Að aftan hefur tannhjólið radíus R A og hjólið hefur radíus R h . Krafturinn
sem jörðin verkar með á afturhjólið er F g . Þá getum við reiknað út hvernig
krafturinn frá hjólreiðamanninum fer út í dekkið. Gerum ráð fyrir að hjólið sé á
jöfnum hraða og L S , R h , F g séu fastar. Þá fæst:
og að aftan fáum við:
Stingum jöfnu (3)inn í jöfnu (2) og fáum:
F H ∗ L S = F K ∗ R F (2)
F g ∗ R h = F K ∗ R A (3)
F H = F g ∗ R F ∗ R h
R A ∗ L S
(4)
9

Við sjáum að hlutfallið R h /L S og F g (þ.e. við hjólum eftir einsleitum vegi)
breytist ekkert og því getum við sett það sem fastan K.
F H = K ∗ R F
R A
(5)
Þá er krafturinn háður hlutfallinu milli tannhjólanna, því hærra sem hlutfallið
er, því meiri kraft þarf hjólreiðamaðurinn að setja á fótstigin til að halda jöfnum
hraða en um leið ferðast hjólið lengra m.v. snúninga sveifarinnar. Skoðum þetta
betur. Skilgreinum θ sem hornfærsluna á fótstiginu, φ sem hornfærslu afturhjólsins
og L H lengdina sem afturhjólið fer. Þá fæst:
og
svo
stingum jöfnu (8) inn í jöfnu (4) og fáum
R F ∗ θ = R A ∗ φ (6)
L H = φ ∗ R h (7)
L H = R h ∗ θ ∗ R F
R A
(8)
F H =
L H
L S ∗ θ
(9)
sem sagt hjólið ferðast lengra því hærra sem R F /R A hlutfallið er en þá þarf meiri
kraft (skv. (9) og (8). Ef við viljum fá að vita hvaða hraða hjólið er á þá getum
við dirað (8) m.t.t tíma og fengið:
V H = ˙θ ∗ R h ∗ R F
R A
(10)
Þar sem V H er hraðinn (sem við gáfum okkur að væri fasti) og ˙θ er hornhraði
sveifar. Ef við dirum aftur fæst hröðun hjólsins:
a H = ¨θ ∗ R h ∗ R F
R A
(11)
þar sem a H er hröðun hjólsins og ¨θ er hröðun sveifarinnar.
3.3 Hlutföll
Á reiðhjólinu heima er ekki auðvelt að nna radíus tannhjólanna með mikilli
nákvæmni en hægt er að nýta sér hlutföll á milli þeirra. Reiðhjólakeðja hreyst
með sama hraða v á báðum tannhjólunum. Því er:
v = ˙θ ∗ R F = ˙φ ∗ R A (12)
10

og
˙θ
˙φ = R F
R A
(13)
Til að keðjan passi á bæði tannhjólin verður að vera sama bil milli tannanna á
báðum tannhjólunum. Látum N F vera fjölda tanna á fremra tannhjóli og N A
vera fjölda tanna á aftara tannhjóli. Því fæst:
svo
2 ∗ π ∗ R F
N F
= 2 ∗ π ∗ R A
N A
(14)
N F
N A
= R F
R A
(15)
Þ.a. hlutfall á milli radíuss er það sama og hlutfall á milli fjölda tanna. Stingum
nú jöfnu (15) inn í jöfnu (13) og fáum:
N F
N A
= ˙φ
˙θ
Þá sjáum við að hornhraðinn er í öfugu hlutfalli við fjölda tanna á tannhjóli.
3.4 Tölulegir útreikningar
(16)
Mynd 5: Taa sem sýnir fjölda tanna á tannhjólum á raunverulegu gírahjóli,
gírhlutföllin fyrir hvern gír og hraðabil hans.
Á mynd 5 er taa þar sem er skráður fjöldi tanna á tannhjólum á raunverulegu 24
gíra Giant Boulder 880 reiðhjóli. Einnig er búið að reikna gírhlutföllin þ.e. nota
11

jöfnu 15. Þar sést vel að mörg af gírhlutföllunum skarast sbr. 5. og 17. gír og 7.
og 19. gír. Besti snúningshraðinn fyrir reiðhjólamann að hjóla á er 70 til 90 rpm
[4]. Þ.e. 7/3π ≤ ˙θ ≤ 3π. Margir byrjendur hjóla oft með minni snúningshraða
þ.e. 50 til 60 rpm og eru því að erða miklu meira. Á þessum snúningshraða eru
byrjendurnir því ekki að nýta sér hverþungann sem fæturnir hafa nægjanlega
vel. Ef nota jöfnu 10, þá er hægt að nna hraðabilið sem hjólreiðamaðurinn á
að hjóla á í hverjum gír þ.e. um leið og hjólreiðamaðurinn er kominn upp að efri
mörkum í ákveðnum gír skiptir hann í annan sem hentar þeim hraða. Þessi gildi
eru líka á mynd 5. Ef við teiknum upp þessi hraðabil fyrir hvern gír (sjá mynd 6)
sést vel að hraðabilin vaxa með öðru veldi á milli gíra, fyrir fastan snúningshraða.
Þetta er auðvitað engin tilviljun að þeir sem hönnuðu gírana á þessu hjóli vildu
Mynd 6: Graf sem sýnir hraðabil fyrir hvern gír. Rauðu krossarnir sýna efri mörk
bilanna og þeir bláu neðri mörk. Eins og sést vex hraðin í öðru veldi.
láta hraðan vaxa í öðru veldi. Ef hraðinn myndi vaxa línulega þá þyrftum við að
hafa miklu eiri gíra [5, 6, 7, 8].
12

4 Fjöðrun á hjóli
Flest nútímahjól hafa einhverskonar fjöðrunarker og þess vegna er ekki úr vegi
að fjalla aðeins um slík ker hér. Flest þessara kerfa eru samsett úr þremur
einingum, gormi, dempara og einhverjum vélbúnaði sem ytur hreynguna sem
við viljum minnka yr á gorminn og demparann.
4.1 Tilgangur
Til að átta okkur aðeins á tilgangi dempara getum við hugsað okkur hjól þar sem
dekkin eru fest beint á grind hjólsins (án dempara). Á slíku hjóli hreyfast grindin
og dekkin saman þannig að þegar dekkið lendir á ójöfnu þá fær grindin sömu
hröðun og skriðþunga í sömu átt og dekkið, því það er ekkert á milli þeirra til
að vinna á móti högginu á dekkið. Þetta getur valdið miklum óþægindum fyrir
hjólreiðamanninn sem upplir einnig þessa skyndilegu hröðun við það að sæti
hjólsins og stýrið þrýsta harkalega á hann.
Til að draga úr áhrifum þessa krafts er hægt að setja gorm á milli dekkja og
grindar sem dregur þá í sig hluta af kraftinum. Grindin og hjólreiðamaðurinn
upplifa áfram hröðun út af kraftinum, en ekki jafn mikla.
Þetta er samt ekki nógu gott því höggið á gorminn veldur því að kerð byrjar að
sveiast. Til að draga úr óþægindum þessara sveina væri hægt að setja dempara
í kerð til að dempa sveiuna. Demparinn verkar þannig að hann breytir orku
sem kemur inná kerð vegna höggi á dekkið í varmaorku með því að láta gorminn
hætta að sveiast (olían inní demparanum hitnar). Þá er stóra spurningin,
hverskonar dempun er hentugust fyrir þetta ker?
4.2 Dempunin
Venjuleg reiðhjólafjöðrun samanstendur af gormi og dempara. Oftast eru gormarnir
annaðhvort línulegir eða stighækkandi. Stighækkandi gormar eru þannig að
þeir verða stífari eftir því sem er ýtt fastar á þá. Til dæmis ef það þarf kraft F
til að þjappa gorminn um 1cm þá gæti þurft 3F til að þjappa honum um 2cm. Á
línulegum gormi vex krafturinn í réttu hlutfalli við þjöppunarvegalengdina, þ.e.
ef það þarf kraft F til að þjappa gorminn um 1cm þá þarf 2F til að þjappa um
2cm. Hér erum við hinsvegar einungis að skoða línulega gorma.
Demparinn er oftast samsettur úr hýsingu með olíu í og bullu sem gengur fram og
til baka í hýsingunni. Á bullunni er haus með götum sem olían æðir í gegnum
þegar bullan hreyst. Dempunarkrafturinn sem myndast vex í réttu hlutfalli við
hraðann sem olían er þvinguð til að fara í gegnum götin. Minnsta breyting á
gorminum veldur sveiu. Við sjáum að hér er um að ræða dempaðar sveiur því
bullan verkar á móti gorminum [9]. Heildar dempunarkraftur kersins er þá
∑
Fx = −k(x − x 0 ) − bẋ (17)
13

þar sem b er dempunarstuðull og k er kraftstuðull gormsins. Annað lögmál
Newtons gefur svo að hreyjafna kers með massa fastan við dempara og gorm
er
mẍ + bẋ + k(x − x 0 ) = 0 (18)
við getum umskrifað þetta á formið
ẍ + 2βẋ + ω 2 0(x − x 0 ) = 0 (19)
Þar sem β ≡ b/2m og ω = √ k/m er grunnhorntíðnin ef dempunin væri engin.
Fyrir litla dempun gildir að
β 2 ≪ ω 2 0 (20)
þetta þýðir að minnsta færsla úr jafnvægisstöðu myndi framkalla sveiur sem
héldu áfram í margar lotur.
Ef dempunarstuðullinn er hár þ.e.
þá fáum við að lausn á jöfnu 19 verður
β 2 > ω 2 0 (21)
x(t) = e −βt [A 1 e ωt + A 2 e −ωt ] (22)
þar sem ω 2 = √ β 2 − ω0 2 (hér er um að ræða yrdempað ker). Af jöfnu 22
sést að þegar þetta kerð er fært úr jafnvægisstöðu þá fer það aftur í jafnvægi
eftir exponential-ferli (sem fall af tíma, sjá mynd 7). Yrdempandi demparar
eru almennt ekki taldir hentugir fyrir ökutæki því þeir geta verið lengi að komast
aftur í jafnvægisstöðu. Ef það kæmi síðan fyrir að hjól með yrdempandi dempara
færi yr tvær ósléttur á stuttum tíma þá er demparinn e.t.v. fulldempaður eftir
fyrri ósléttuna og nær ekki að komast aftur í jafnvægisstöðu fyrir þá síðari og
getur því ekki að dregið eins vel úr seinna högginu.
Þægilegast fyrir hjólreiðamanninn er að demparinn dempi krítískt (eða örlítið
undirdempað). Þá dempar hann sveiuna og fer síðan eins jótt aftur í jafnvægi
og hægt er án þess að sveiast aftur (ef hann er lítið undirdempandi þá fylgja
litlar sveiur í kjölfar höggútslagsins). Fyrir krítíska dempun er β 2 = ω0 2 og
b = 2 √ mk og því verður lausn á jöfnu 19 (skv. Thornton & Marion [10])
x(t) = e −βt (A + Bt) (23)
14

Mynd 7: Dempaðar sveiur.
4.3 Aðrar pælingar um dempun
Helsti og e.t.v. eini ókostur dempara (þetta á þá helst við um afturdempara) er
að þegar hjólreiðamaður stígur á fótstigið þá gefur demparinn eftir og þá fer hluti
af þeim krafti sem hjólreiðamaðurinn setti á fótstigið í að koma demparanum
aftur í jafnvægisstöðu.
Önnur pæling er hvort staðsetning demparans á gainum skipti máli. Hugsum
okkur hjól á ferð sem rekst á einhverja ójöfnu. Við áreksturinn fær dekkið og sá
hluti gaalsins sem er fyrir neðan demparann skriðþunga upp á við. Eftir því
sem massinn fyrir neðan demparann er meiri þeim meiri skriðþunga fær sá hluti
og því meiri kraft þarf demparinn að eyða. Það hlýtur því að vera hagkvæmast
uppá dempunina að hafa demparann sem næst öxli dekksins.
15

5 Gagnkraftar
Sú eðlisfræði sem menn velta einna mest fyrir sér varðandi hjólreiðar eru áhrif
þeirra gagnkrafta sem hjólreiðamaður þarf að kljást við. Drifkraftur þessara pælinga
er mjög mikill því til mikils er að vinna, bæði fyrir hjólreiðakeppendur í Tour
de France sem og fyrir iðngreinar eins og bílaiðnaðinn (þar sem sömu afræðilegu
úrlausnarefnin skjóta upp kollinum). Þar leggja menn höfuðið í bleyti í eltingarleik
sínum við mínútur og sekúndur, eða minnkandi bensíneyðslu. Leitast er við
að allt renni eins mjúklega og núningslaust eins og frekast er unnt.
Gagnkröftum hjólreiðamannsins má skipta í tvo okka, þ.e. innri núningskraftar
í legum og núningur dekkja við vegyrborð annars vegar og hins vegar mótstöðukrafta
af völdum þess lofts sem hjólreiðamaðurinn þarf að ryðja frá sér á leið
sinni. Hér er ætlunin að einbeita sér að loftmótstöðuþættinum, F loft , en einungis
nota kraftinn frá legum og dekkjum, F n , í útreikningum og samanburði við F loft .
Þar sem að ekki verður farið nákvæmlega í saumana á F n er eins gott að varpa
því strax fram í uppha að umtalsvert einfaldað líkan af F n gefur [11]:
F n = a ∗ m ∗ g (24)
Þar sem m stendur fyrir massa hjóls og hjólreiðamanns, g fyrir þyngdarhröðun
og a er stuðull sem er háður dekkjagerð, ástandi lega o.s.frv.
5.1 Útleiðsla á F loft
Það að F loft sé fall af hraða ætti ekki að koma neinum á óvart sem hefur prufað
að stinga hendinni út um glugga í bíl á ferð. Við ályktum:
F loft = b ∗ v x (25)
Ef við svo veltum fyrir okkur hversu miklu erðara er að hjóla á 40 km/klst heldur
en á 20 km/klst spyrjum við okkur e.t.v. spurningarinnar: Er F n mögulega háð
v í einhverju hærra veldi en því fyrsta? Athugum málið. Við þekkjum jöfnu fyrir
hreyorku, K.
K = (1/2) ∗ m ∗ v 2 (26)
Hér má sjá að hreyorka agna er háð hraða í öðru veldi. Þegar við hjólum erum
við einmitt alltaf að draga með okkur loft úr kyrrstöðu og koma því á ferð. Ef
við komum loftinu í kringum okkur á tvöfalt meiri hraða, þá hlýtur það að kosta
okkur fjórfalt meiri orku (sbr jöfnu 26). Þ.e. út frá þessari einföldu rökfræði
ályktum við að veldisvísirinn við v (jafna 25) sé 2.
F loft = b ∗ v 2 (27)
16

Þ.e. að loftmótstöðukrafturinn sé fall af hraðanum, v (afstæðum hraða hjólreiðamanns
og loftsins sem hann fer í gegnum), í öðru veldi. Þetta kemur heim og
saman við tilraunir sem gerðar hafa verið í vindgöngum og víðar. Lítum nú á
stuðulinn b, með vandlegri íhugun má sjá að eftirfarandi þrír þættir hljóta að hafa
áhrif á hann; ofanvarpsatarmál hlutar í stefnu loftstraums, þéttleiki loftsins og
lögun hlutarins. Gefum þessum eiginleikum eftirfarandi tákn í sömu röð: A, ρ og
Cd. Sjá má að að margfeldi A og ρ ákvarða það efnismagn sem hluturinn þarf
að ryðja frá sér á leið sinni í gegnum loftið. Lögunarstuðullinn Cd táknar hversu
auðveldlega tiltekið form ferðast í gegnum loft (eða einhvern annan miðil á gas
eða jótandi formi ef að því er að skipta). Fyrir hækkandi mótstöðu fáum við
hækkandi Cd og öfugt. Cd stuðulinn má nota til þess að bera saman hentugleika
mismunandi forma í ákveðin hönnunarverkefni. T.d. viljum við lágmarka Cd í
hjólreiðum, en við fallhlífagerð er leytast við að hámarka Cd.
Nú má setja fram eftirfarandi.
F loft = q ∗ Cd ∗ ρ ∗ A ∗ v 2 (28)
Þar sem að q er margföldunarfasti sem viðtekin venja er að skilgreina sem q =
0,5. Annað val á q hefði einungis þau áhrif að Cd gildi fyrir geð form hlutar
myndi breytast. Með q = 0,5 er jafna 28 orðin hliðstæða jöfnu hreyorku (jafan
26) þar sem að A*ρ koma í stað massa og lögunarstuðullinn Cd bætist við.
F loft = (1/2) ∗ Cd ∗ A ∗ ρ ∗ v 2 (29)
Til frekari skilnings og gamans má einnig má leiða jöfnu (29) út á annan hátt
þar sem hugsað er um skriðþungabreytingu loftsins sem lendir í árekstri við hjólreiðamann.
F n = dp/dt = m ∗ (dv/dt) = (ρ ∗ A ∗ v) ∗ (v br ) ⇒ (1/2)Cd ∗ (ρ ∗ A ∗ v 2 ) (30)
Sú hraðabreyting sem verður á loftinu við áreksturinn er dv/dt = v br . Þar sem
(1/2) ∗ Cd er stuðull sem táknar hversu vel hlutnum tekst að ná öllu því lofti sem
hann rekst á, á sinn hraða v br = (1/2) ∗ Cd ∗ v. Að lokum er svo ρ ∗ A ∗ v jafngilt
massa þess lofts sem hluturinn verkar á, á tímaeiningu. (Athygli skal vakin á
að varðandi v br hefur hver einasta loftögn sem hluturinn verkar á í raun og veru
sína einstöku hraðabreytingu. Hér er v br látið tákna meðaltal tölugildis þessara
∑
hraða. Stærðfræðilega gildir þá að v br = ( n v brn )/n þar sem v brn er tölugildi
hraðabreytingar hverrar smáeindar og n er fjöldi þeirra smáeinda sem notast er
við til þess að reikna út meðaltal). Á mynd 8 gefur að líta töu yr Cd gildi
mismunandi forma.
i=1
17

Mynd 8: Cd gildi helstu forma.
5.2 Áhrif F n og F loft á hjólreiðamann
Reiknum einfaldað dæmi um hversu mikið a hjólreiðamaður þarf til þess að
halda gefnum hraða. Hér þarf að reikna með F n annars vegar og F loft hinsvegar.
Þá fæst fyrir heildarkraftinn sem verkar á hjólreiðamanninn:
F gagn = F n + F loft (31)
Sem aftur leiðir af sér fyrir aið sem verkar á hjólreiðamanninn P gagn .
Nú er vitað að
P gagn = v ∗ F n + v ∗ F loft (32)
ρ = 1, 266kg/m 3
g = 9, 82m/s 2
Með tilraunum og mælingum hefur verið ákvarðað fyrir jöfnur 24 og 29
a = 0, 007
Cd = 0, 9
A = 0, 7.
fyrir venjulegt reiðhjól. Varast ber að allar þessar tölur eru umtalsverðar nálganir
til þess gerðar að gefa einhverja áþreifanlega hugmynd um virkni jafnanna
sem settar voru fram í síðasta undirkaa. Þ.a. farir þú sjálfur út að hjóla og
gerir samanburð við niðurstöður fengist að öllum líkindum ekki sama niðurstaða,
18

Mynd 9: Það a sem hjólreiðamaður þarf að skila til að halda gefnum hraða.
en hún ætti að vera af sama stærðarskala. Niðurstöðu útreikninga fyrir 70 kg
hjólreiðamann og 10 kg reiðhjól má sjá á mynd 9.
Sjá má að veldisþátturinn tekur snemma yr og er F loft augljóslega mun stærri
þáttur en F n á því hraðabili sem við hjólum venjulega á. Glögglega má sjá af
gra hversu ertt er að auka hraðann mikið yr 10 m/s.
5.3 Vangaveltur varðandi hönnun á reiðhjólum
Í hjólreiðum í dag er öllum brögðum beitt til þess að minnka loftmótstöðu. Þetta
er hægt að gera á tvo vegu. Annars vegar með því að minnka atarmálið, A, og
hins vegar með því að lækka lögunarstuðulinn, Cd. Okkur eru þó settar vissar
skorður í þessum efnum þar sem að hjólreiðamaðurinn sjálfur er stærsta hindrun
loftsins og ekki getum við breytt honum mikið. Jafnvel þótt við getum ekki
breytt hjólreiðamanninum, þá er hægt að breyta sætisstöðu hans og með því móti
minnka F loft gríðarlega mikið. Þetta má sjá á keppnishjólum þar sem stýrið er
sveigt niður til þess að hjólreiðamaðurinn geti hallað sér fram og þar með minnkað
ofanvarpsatarmál sitt í vindstefnuna. Einnig reyna keppnislið í hjólreiðakeppnum
oft að mynda loftskjöld utan um sinn sigurstranglegasta keppanda. Þá getur
hópurinn verið að ferðast á 50 km/klst og dregið með sér loft þ.a. einstaklingur
í miðjum hópnum er með 20 km/klst meðbyr. Þannig geta lið hvílt sinn besta
19

mann þangað til á lokasprettinum þar sem honum er sleppt lausum, úthvíldum,
til þess að svo stinga hópinn af. Þegar vindskýlingu sem þessari er beitt fer
að bera hlutfallslega meira á loftmótstöðu dekkja hjólsins. Ástæðan er sú að á
meðan afstæður hraði hjólreiðamanns við loftið í kring er einungis 30km/klst þá
hafa yrborð dekkja hjólsins að ofanverðu hraðann (50+50-20) km/klst. Þ.e. 80
km/klst afstæðan hraða miðað við loftið í kring. Yrborð dekkja að neðanverðu
hefur samtímis afstæðan hraða -20 km/klst við loftið í kring. Því er gríðarlega
mikilvægt að hafa yrborð dekkjanna slétt og hanna teina þannig að þeir ha
sem minnsta loftmótstöðu [12].
Mynd 10: Skýringarmynd varðandi hjólreiðar inni í hóp á ferð.
5.4 Útleiðsla á loftmótstöðu teina reiðhjóls á ferð
Athugum nú loftmótstöðukraftinn sem verkar á einn stakan tein á hjóli (gerum
ekki ráð fyrir að hjólað sé í hóp að þessu sinni). Þær stærðir sem notaðar eru við
útreikninga eru:
Þvermál teins d
Radíus = r
Radíus út að gjörð R
Radíus nafs r n
dr = smálengd teins.
ω = hornhraði hjóls.
θ = horn teins frá π/2
v = hraði reiðhjóls.
v rel = hraði lofts þvert á yrborð teins miðað við teininn sjálfan.
F =
∫ R
r
F =
∫ R
r
(1/2) ∗ Cd ∗ ρ ∗ d ∗ v 2 rel ∗ dr
(1/2) ∗ Cd ∗ ρ ∗ d ∗ (v ∗ cos(θ) + ω ∗ r) 2 ∗ dr
20

F = (1/2) ∗ Cd ∗ ρ ∗ d ∗
F = (1/2) ∗ Cd ∗ ρ ∗ d ∗
∫ R
∫ R
F = (1/2)∗Cd∗ρ∗d∗((v ∗cos(θ)) 2 ∗(R−r)+
r
r
(v ∗ cos(θ) + ω ∗ r) 2 ∗ dr
((v ∗ cos(θ)) 2 + (ω ∗ r) 2 + 2 ∗ v ∗ cos(θ) ∗ ω ∗ r) ∗ dr
∫ R
r
((ω ∗r) 2 +2∗v ∗cos(θ)∗ω ∗r))∗dr
F = (1/2)∗Cd∗ρ∗d∗[(v∗cos(θ)) 2 ∗(R−r)+((ω 2 ∗(R 3 −r 3 )/3+v∗cos(θ)∗ω∗(R 2 −r 2 )))]
(33)
Sjá má að útkoma tegursins inniheldur þrjá liði sem allir eiga það sameiginlegt að
stækka með lækkandi gildi á r og umfram allt stækka mjög hratt með hækkandi
gildi á R. Til þess að losna við þessa mótstöðu nota sumir keppnishjólreiðamenn
lokaðar gjarðir þar sem að áhrif snúningshraða dekkjanna eru nánast útilokuð.
Þessar lokuðu gjarðir eru þó þyngri en hefðbundnar og vegur það upp á móti
kostunum. Því fer það mikið eftir keppnisleiðum hvaða gjarðir eru valdar. Í mjög
hröðum keppnum, eins og innanhúshjólreiðum eru notaðar lokaðar gjarðir og er
þar öllum brögðum beitt til þess að minnka loftmótstöðu.
Mynd 11: Innanhúshjólreiðar.
Í lengri og hægari keppnum er loftæðið ekki alveg eins mikilvægt en þar þarf að
samtvinna lága þyngd, sterka byggingu og gott vindæði. Þar eru notaðar léttari
opnar gjarðir sem þó eru hafðar djúpar til þess að lækka gildi á R í útreikningum
hér að framan (jafna 33). Þar er því um nokkurskonar málamiðlun þyngdar og
loftmótstöðu að ræða.
21

Mynd 12: Tour de France meistarinn Lance Armstrong á keppnishjóli sínu.
5.5 Hversu hratt er hægt að komast á reiðhjóli?
Með því að smíða skel utan um hjólreiðamanninn og láta hann liggja inni í skelinni
hefur tekist að minnka loftmótstöðu hjólsins og hjólreiðamannsins umtalsvert.
Einnig reynist liggjandi staða vera mjög skilvirk líkamsstaða við hjólreiðar og
þannig má ná meira ai út úr hjólreiðamanninum en ella. Á móti koma praktískir
hlutir eins og að sjá fram fyrir sig og að halda jafnvægi þegar tekið er af stað.
Þessu má þó bjarga með því að láta aðstoðarmann teyma hjólið af stað og jafnvel
notast við myndavélar og skjái til þess að sjá fram fyrir sig. Með þessu móti er
talið að megi ná allt að 160 km/klst á jafnsléttu [13].
Mynd 13: Hjól sem er sérhannað til þess að kljúfa vindinn sem best.
22

6 Lokaorð
Nú ætti að vera ljóst að eðlisfræðileg virkni reiðhjólsins er mun óknara fyrirbæri
en virðist þegar fyrst er á litið. Hana er hægt að skoða í kjölinn nánast út í hið
óendanlega. Hjólreiðar eru því sígilt dæmi um eitthvað sem menn einfaldlega
taka sem gefnu en velta sjaldan fyrir sér hversu ókið það er í raun og veru.
23

Heimildir
[1] David E. H. Jones. Physics today, the stability of the bicycle, 1970.
[2] John Forester M.S. P.E. http://www.johnforester.com/articles/bicycleeng/dahon.htm,
1989.
[3] J.Fajans. Berkeley. Department of Physics. How you steer a bicycle, 1999.
[4] http://search.eb.com/ebi/article-9273207, Lesin: 14.11.2005.
[5] Þorsteinn Vilhjálmsson og Hildur Guðmundsdóttir. http://www.visindavefur.is/, Lesin:
14.11.2005.
[6] http://www.madsci.org/posts/archives/may98/893173116.eg.r.html, Lesin: 14.11.2005.
[7] http://ist-socrates.berkeley.edu/ fajans/teaching/bicycles.html, Lesin: 14.11.2005.
[8] Young & Freeman. Univercity physics whith modern physics, addison-wesley, 2004.
[9] Ola Helenius. Göteborgs Universitet. http://www.math.chalmers.se/ olahe/bike/genshock.html.
[10] Thornton & Marion. Classical dynamics of particles and systems, fth edition, 2004.
[11] Berkley háskóli. How to calculate the speed of a commuting bicyclist, http://istsocrates.berkeley.edu/
fajans/teaching/calcsweb.htm, Lesin: 14.11.2005.
[12] Carbon Sports. The aerodynamics of a rotating wheel,
http://www.carbonsports.com/aerodynamik laufrad.lasso, Lesin: 14.11.2005.
[13] Science World. Tucker Libby. Bent on speed: get the lowdown
on how engineers use physics to build the fastest bikes on earth,
http://www.looksmartrecreation.com/p/articles/mi m1590/is 11 61/ai n13648068, Lesin:
14.11.2005.
24

Myndaskrá
• Mynd 2: http://www.cannondale.com/bikes/06/CUSA
/model-6FS6.html
• Mynd 4: http://www.classzone.com/books/geometry concepts
/graphics/gears01.jpg
• Mynd 7: Thornton and Marion. Classical Dynamics of Particles
and systems. bls.110, 2004
http://www.insideracingtechnology.com/tech102drag.htm
• Mynd 8: http://www.carbonsports.com/Aerodynamik Laufrad.lasso
• Mynd 10: http://www.london2012.org/en/news/archive/2005
/january/2004-01-06-18-00.htm
• Mynd 12: http://www.itsalreadysigned4u.com/shop/media/
images/ product detail/lam1.jpg
• Mynd 13: http://www.wisil.recumbents.com/wisil/whpsc2001
/resultsSaturday.htm
25