Beata StaÅkiewicz - Instytut Fizyki

POLITECHNIKA WROCŁAWSKA 

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH 

PROBLEMÓW TECHNIKI 

Transmisja światła spolaryzowanego 

w supersieciach optycznych Thue-Morse’a 

z warstwami metamateriałów 

Praca dyplomowa magisterska 

Beata Staśkiewicz 

Opiekun: Dr hab. inŜ. Włodzimierz Salejda, prof. nadzw. PWr 

WROCŁAW 2009 

1

PODZIĘKOWANIA 

Chciałabym serdecznie podziękować mojemu promotorowi, 

dr.hab.inŜ. Włodzimierzowi Salejdzie, prof. PWr, za cenne uwagi 

merytoryczne oraz liczne materiały, niezbędne podczas realizacji tematu 

pracy dyplomowej. 

2

SPIS TREŚCI.............................................................................3 

CEL PRACY……………………………………………………………………....6 

Wykaz waŜniejszych skrótów i oznaczeń………………………………………....8 

1.Wprowadzenie........…………………………………………………………..9 

1.1 Charakterystyka struktur wielowarstwowych…………………….................9 

2.Budowa, technologia, zastosowania wielowarstwowych układów 

półprzewodnikowych…...................................................................................11 

2.1 Budowa supersieci półprzewodnikowych…………………………..............11 

2.2 Technologie wytwarzania supersieci półprzewodnikowych……………......13 

2.21 Metoda wiązek molekularnych (molecular beam epitaxy – MBE)… ..13 

2.22 Metoda MOCVD (Metal Organic Chemical Vapor Deposition - 

osadzanie z par chemicznych związków organicznych)………… .......14 

2.3 Właściwości supersieci półprzewodnikowych…………….............................15 

2.4 Zastosowania supersieci półprzewodnikowych……………….......................16 

2.41 Kryształy fotoniczne………………………………………………. ...17 

2.42 Kropki kwantowe…………………………………………………… 21 

2.43 Druty kwantowe…………………………………………………….....22 

3.Wielowarstwowe ośrodki dielektryczne– optyczne supersieci 

aperiodyczne (OSA)…………………………………………….........................23 

3.1 Optyczna supersieć typu Thue-Morse’a ………………………………………...24 

3.11 Uogólniona supersieć typu Thue-Morse’a (UST-M) – sieć binarna…..24 

3.12 Niebinarna uogólniona supersieć typu Thue-Morse’a (UST-M)………27 

3.2 Transmitancja światła w supersieciach typu Thue-Morse’a…………………….28 

3.21 Materiały warstw tworzących wielowarstwową strukturę 

dielektryczną……........................................................................................................28 

3.22 Odbicie i załamanie fali elektromagnetycznej na granicy dwóch 

ośrodków dielektrycznych…………………………………………………………...29 

3.23 Model wielowarstwowego ośrodka dielektrycznego– formalizm 

macierzowy..................................................................................................................32 

3

3.24 Transmitancja w formalizmie śladów i antyśladów macierzy 

charakterystycznej Γ....................................................................................................34 

3.25 Odwzorowania dynamiczne śladów i antyśladów macierzy 

charakterystycznych sieci Thue-Morse’a..................................................................35 

3.3 Wyniki obliczeń numerycznych dla supersieci 

prawoskrętnych……………………………. .......................................................36 

3.4 Wielowarstwowy ośrodek z materiałem lewoskrętnym………………………..43 


lewoskrętnych……………………………….......................................................44 

4. Dyskusja wyników obliczeń numerycznych 

i podsumowanie.....................................................................................................50 

4.1 Wnioski oraz uwagi...............................................................................................50 

4.2 Konkluzje końcowe...............................................................................................52 

DODATEK A 

1. Sekwencja Thue-Morse’a........................................................................................54 

2. Zaskakujące własności sekwencji T-M...................................................................55 

3. Geometryczna interpretacja sekwencji T-M...........................................................55 

DODATEK B 

1.Fraktale.....................................................................................................................57 

2. Wymiar fraktalny – co to właściwie jest?................................................................59 

3. Systemy funkcji iterowanych IFS (iterated function system)..................................60 

DODATEK C 

1.Wybrane wyniki obliczeń numerycznych dla niebinarnych supersieci 

prawoskrętnych............................................................................................................63 

2.Wybrane wyniki obliczeń numerycznych dla niebinarnych supersieci 

lewoskrętnych..............................................................................................................64 

DODATEK D 

Supersieci THUE-MORSE’A – ich niezwykłe zbadane oraz odkryte 

własności…………………………………………………………..........................67 

1. Światło spolaryzowane w wielowarstwowych ośrodkach dielektrycznych 

a technika dynamicznych odwzorowań śladów i antyśladów macierzy 

przejścia…………………….......................................................................................69 

2. Ciąg Thue-Morse’a — zastosowanie matematyki w fizyce a moŜe coś 

więcej?.........................................................................................................................70 

3. O wymiarze fraktalnym oraz analizie multifraktalnej słów kilka………………....72 

3.1 Analiza multifraktalna a widma transmisyjne układów 

wielowarstwowych......................................................................................................73 

4

DODATEK E 

Metamateriały: wybrane zastosowania i metody 

otrzymywania..........................................................................................................75 

1 Ujemny współczynnik załamania ……...……………………………………….....75 

2 Propagacja fali i jej załamanie w metamateriałach………………………………...76 

3 Optyczna niewidzialność– czy to jest moŜliwe?......................................................78 

E.31 Optyczna peleryna wykonana z metamateriału………………………...80 

4 Metody otrzymywania metamateriałów dla zakresu optycznego – ostatnie postępy i 

perspektywy.................................................................................................................85 

E.41 Pierwszy eksperymentalny pokaz: pojedyncza warstwa 

metamateriału..............................................................................................................88 

E.42 Metody otrzymywania metamateriałów dwuwymiarowych...................89 

E.43 Metody otrzymywania metamateriałów trójwymiarowych....................92 

Podsumowanie............................................................................................................97 

BIBLIOGRAFIA..................................................................................................98 

5

CEL PRACY 

W niniejszej pracy autorce przyświecały dwa cele. Pierwszy z nich jest ściśle 

związany z przeprowadzeniem głębszych badań odnośnie propagacji światła w 

wielowarstwowych strukturach dielektrycznych, skomponowanych na bazie 

sekwencji Thue-Morse’a (T-M), zawierających warstwy metamateriałów. 

Niezbędne do tego było stworzenie programu komputerowego, umoŜliwiającego 

zbadanie właściwości światła propagującego się w analizowanych strukturach. 

Problem ten jest o tyle nietrywialny, iŜ pozwala powiązać ze sobą rosnące 

zainteresowanie badanymi strukturami, moŜliwościami ich zastosowań 

i odkrywaniem nowych właściwości. Współczesna technologia pozwala otrzymać 

wielowarstwowe ośrodki aperiodyczne (WOA) i w konsekwencji przyczynia się 

do odkrycia interesujących właściwości transmisyjnych dla supersieci 

aperiodycznych. 

Z fizycznego punktu widzenia badany w tej pracy układ jest 

aperiodycznym kwazijednowymiarowym kryształem fotonicznym [1,2]. 

Wielowarstwowe układy odgrywają istotną rolę w róŜnych dziedzinach takich 

jak: optyka, elektronika, fotonika czy elektronika kwantowa, gdzie wykorzystuje 

się urządzenia działające w oparciu o właściwości odbicia bądź transmisji fali 

elektromagnetycznej m. in. zastosowania w laserach półprzewodnikowych [1,3]. 

Drugi cel ma natomiast wprowadzić czytelnika w arkany 

dotychczasowych osiągnięć naukowych w dziedzinie badań nad wyŜej 

wymienionymi strukturami. Szczegółowo omówiono to w dodatkach, gdzie 

wnikliwie opisano zarówno niestandardowe metody badawcze, jak i rangę 

danych odkryć, które prowadzą do licznych zastosowań w fizyce i technice. 

W gestii autorki było poniekąd uczynienie z poniŜszej pracy przewodnika, 

który ma za zadanie zapoznać Czytelnika z takimi pojęciami jak: 

kwaziperiodyczność, supersieć optyczna, sekwencja Thue-Morse’a, 

metamateriały czy fraktale. 

BieŜące lata obfitują w liczne wdraŜanie nowych rozwiązań 

technologicznych, a takŜe poznawaniem właściwości dielektrycznych ośrodków 

wielowarstwowych. Fakt ten stanowi praprzyczynę wielu nowatorskich odkryć 

materiałów oraz struktur. Wśród nich moŜna wymienić: kwazikryształy [4], 

kryształy fotoniczne [2], światłowody fotoniczne [5] oraz metamateriały [6] – 

kompozyty, charakteryzujące się ujemnym współczynnikiem załamania światła. 

Pracę podzielono na pięć rozdziałów. Pierwszy stanowi krótką 

charakterystykę struktur wielowarstwowych. Drugi zawiera opis dotychczasowej 

wiedzy obejmującej budowę supersieci półprzewodnikowych, technologii ich 

wytwarzania, właściwości oraz zastosowań wielowarstwowych struktur 

aperiodycznych. Trzeci poświęcony jest opisowi kwazijednowymiarowej 

struktury typu Thue-Morse’a, będącej przedmiotem tej pracy. Zawarto w nim 

między innymi opis modelu wielowarstwowego ośrodka dielektrycznego 

(podrozdział 3.23), wzory na transmitancję w formalizmie śladów i antyśladów 

macierzy charakterystycznych (podrozdział 3.24), dynamiczne odwzorowania 

śladów i antyśladów macierzy charakterystycznych sieci Thue–Morse’a 

(podrozdział 3.25), a takŜe wyniki obliczeń numerycznych dla supersieci prawo– 

oraz lewoskrętnych (rozdziały 3.3; 3.5). Analiza otrzymanych wyników, wnioski 

i konkluzje wynikające z wykonanych obliczeń numerycznych oraz 

podsumowanie całej pracy stanowi treść rozdziału czwartego. W dodatkach 

6

przedstawiono metody generowania łańcuchów typu T-M oraz ich interpretacje, 

(dodatek A), scharakteryzowano pojęcia: fraktali, wymiaru fraktalnego, systemów 

funkcji iterowanych (dodatek B), zamieszczono wybrane wyniki obliczeń 

numerycznych dla niebinarnych supersieci prawo– i lewoskrętnych (dodatek C), 

opisano dotychczasowe osiągnięcia naukowe w dziedzinie badań nad strukturami 

typu Thue–Morse’a. Zawarto równieŜ informacje dotyczące analizy 

multifraktalnej, która w pośredni sposób odnosi się do tematu poniŜszej pracy 

(dodatek D). W dodatku E omówiono warstwy charakteryzujące się ujemnym 

współczynnikiem załamania światła – tzw. warstwy lewoskrętne. 

Scharakteryzowano pojęcie metamateriału, opisano propagację fali 

w metamateriałach, jej załamanie oraz jego konsekwencje. Poruszono równieŜ 

temat optycznej niewidzialności i szczegółowo opisano konstrukcję peleryny 

„niewidki” (E.41). Dodatek E kończy opis otrzymywania metamateriałów dla 

zakresu optycznego, a w nim między innymi informacje o ostatnich postępach 

i dalszych perspektywach wytwarzania metamateriałów jedno–, dwu– 

i trójwymiarowych. Pracę zamyka spis literatury. 

7

WYKAZ WAśNIEJSZYCH OZNACZEŃ ORAZ SKRÓTÓW 

Skróty 

FEM – fala elektromagnetyczna; 

T-M – prosta supersieć typu Thue-Morse’a; 

UST-M – uogólniona supersieć typu Thue-Morse’a; 

ALMW – Array of Long Metallic Wires, tablica długich drutów metalicznych; 

SRR – Split-Ring Resonators, rozszczepione rezonatory kołowe; 

CSRR – Crossed Split-Ring Resonators, skrzyŜowane rozszczepione rezonatory 

kołowe; 

EBP – elektroniczna baza preprintów prowadzona i udostępniana bezpłatnie przez 

Cornell University Library na stronie www.arXiv.org. 

WOA — wielowarstwowe ośrodki aperiodyczne 

OSA — optyczna supersieć aperiodyczna 

Oznaczenia 

E – wektor natęŜenia pola elektrycznego; 

H – wektor natęŜenia pola magnetycznego; 

D – wektor indukcji elektrycznej; 

B – wektor indukcji magnetycznej; 

k – wektor falowy; 

ω – częstość fali elektromagnetycznej; 

c – prędkość światła w próŜni; 

d – grubość warstwy; 

ε 0 – przenikalność elektryczna próŜni; 

µ 0 – przenikalność magnetyczna próŜni; 

εr – względna przenikalność elektryczna ośrodka; 

µr – względna przenikalność magnetyczna ośrodka; 

n – współczynnik załamania światła; 

Γ – macierz charakterystyczna ośrodka; 

P – macierz propagacji fali w warstwie dielektrycznej; 

D – macierz transmisji fali na granicy ośrodków dielektrycznych; 

τ – ślad macierzy 2 × 2; 

σ – antyślad diagonalny macierzy 2 × 2; 

ς – antysymetryczny antyślad niediagonalny macierzy 2 × 2; 

η – symetryczny antyślad niediagonalny macierzy 2 × 2; 

ts, tp – amplitudowe współczynniki transmisji FEM spolaryzowanej typu, 

odpowiednio, s i p; 

rs, rp – amplitudowe współczynniki odbicia FEM spolaryzowanej typu, odpowiednio, 

s i p. 

8

ROZDZIAŁ 1 

If real quasicrystalline materials exist, as suggested by Shechtman, 

they are sure to possess a wealth of remarkable 

new structural and electronic properties? 

— P.J. Steinhardt, The Physics of Quasicrystals (1987) 

WPROWADZENIE 

1.1 Krótka charakterystyka c 

struktur wielowarstwowych. 

Współczesne umiejętne wykorzystanie podstawowej wiedzy na temat 

właściwości fizycznych elektronów, przyczynia się do gwałtownego rozwoju 

nowych dziedzin nauki i techniki, moŜna w tym kontekście wymienić np. fizykę 

struktur niskowymiarowych (supersieci [7], druty [8] i kropki kwantowe [9], 

półprzewodnikowe struktury ze studniami kwantowymi, punktowe kontakty 

i wiele innych) czy fizykę ciała stałego [10]. Właściwości fizyczne oraz 

moŜliwości aplikacyjne wyŜej wymienionych struktur w duŜym stopniu zaleŜą od 

właściwości elektronów. 

W strukturach wielowarstwowych (supersieciach), często odkrywa się 

wiele nowych zjawisk. Jednym z ciekawszych jest tzw. zjawisko sprzęŜenia 

antyferromagnetycznego w warstwach wielokrotnych, a jego odkrycie wywołało 

prawdziwy boom badań podstawowych nad magnetycznymi supersieciami [11]. 

SprzęŜenie to powoduje występowanie efektu gigantycznego magnetooporu 1 

(giant magnetoresistance) [11]. 

Niezwykle istotną cechą charakteryzującą złoŜone układy fizyczne jest 

symetria przestrzenna. Pozwala ona w wielu przypadkach znaleźć rozwiązania 

równań opisujących dany układ, a których nie moŜna uzyskać w przypadku braku 

symetrii. W takich układach mogą wystąpić takŜe inne zjawiska fizyczne, 

nieistniejące w przypadku układów jednorodnych. 

Wieloletnie rozwaŜania (na poziomie atomowym), dotyczące układu 

elektronowego w kryształach (w układach idealnie symetrycznych pod względem 

translacyjnym) przyczyniły się w połowie ubiegłego stulecia, do wprowadzenia 

modelu pasmowego, opisującego stany energetyczne elektronów w krysztale. 

Model ten przewidywał, przy spełnieniu pewnych warunków w kryształach, 

występowanie przerwy energetycznej oraz istnienie energetycznych poziomów 

elektronowych. Odkrycia te stały się zaczątkiem rozwoju nowej dziedziny nauki − 

fizyki ciała stałego [10] oraz powstaniem mikroelektroniki, które przyczyniły się 

do upowszechnienia tranzystorów i obwodów scalonych. Koniec poprzedniego 

stulecia zaowocował rozwinięciem nowej dziedziny optoelektroniki: nanofotoniki 

[12]. 

1 Nagroda Nobla z fizyki w 2007 roku dla Alberta Ferta z University of Paris-Sud i Petera 

Grynberga z Jülich Research Centre. 

9

Przy opisie propagacji fal elektromagnetycznych w strukturach 

wielowarstwowych wykorzystano ich symetrię translacyjną, tj. periodyczność 

z okresem kilku bądź kilkudziesięciu warstw atomowych. Obecnie w dziedzinie 

nanofotoniki wykonuje się szerokie badania nad właściwościami tzw. „photonic 

crystals”, tj. kompozytowych materiałów, które charakteryzuje w pełni fotoniczna 

struktura fotoniczna zawierająca wielokrotne przerwy fotoniczne [2]. 

Najbogatszą bibliografię na ten temat − zawierająca obecnie ponad 6000 

publikacji − opracował John Dowling [13]. Nanofotonika pozwala równieŜ na 

wytworzenie struktur oraz materiałów w nanoskali, róŜniących się parametrami 

sieci, które nie występują w przyrodzie, a których właściwości moŜna w prosty 

sposób kształtować [14]. 

Trwające badania nad strukturami wielowarstwowymi przyczyniły się do 

opracowania nowych urządzeń takich jak: lasery o emisji powierzchniowej 

z pionowym rezonatorem (lasery VCSEL), zwierciadeł Bragga i światłowodów 

nanofotonicznych [12]. Urządzenia te wykorzystują przerwę fotoniczną, czyli 

zakres energii, przy której fotony nie mogą się w danym ośrodku propagować. 

Przerwę taką zaobserwowano eksperymentalnie w nanostrukturach warstwowych 

[15, 16]. 

PowyŜsze przykłady stanowią niezbity dowód na to, iŜ podstawowa 

wiedza iosiągnięcia technologii zmieniają cywilizacyjne oblicza społeczeństw, 

a jaki będą miały w tym udział struktury aperiodyczne? Czas pokaŜe. 

10

ROZDZIAŁ 2 

“It’s a discovery of a material which breaks 

the laws that were artificially constructed. 

They were not laws of nature; 

they were laws of the 

human classificatory system.”- 

Mackay. 

Budowa, technologia, zastosowania 

wielowarstwowych struktur półprzewodnikowych 

2.1 Budowa supersieci półprzewodnikowych. 

Rozdział ten stanowi zestawienie dotychczasowych dokonań związanych 

z metodami wytwarzania wielowarstwowych układów półprzewodnikowych 

zwanych dalej supersieciami, a takŜe w jasny i prosty sposób opisuje (w ujęciu 

fizycznym) budowę tego typu struktur, nierozłącznie związaną z zastosowaniami 

oraz właściwościami układów wielowarstwowych [19]. Warto przy tym 

nadmienić, iŜ metody te dotyczą wytwarzania zarówno struktur periodycznych, 

gdzie moŜna kontrolować porządek oraz sposób ułoŜenia warstw, jak 

i nieperiodycznych, gdzie kolejność warstw jest zdeterminowana lub 

przypadkowa [20]. 

Supersieci w najprostszy a zarazem w najbardziej dobitny sposób moŜna 

zdefiniować jako monokryształy, składające się z dwóch lub kilku powtarzających 

się okresowo lub nieokresowo, cienkich warstw półprzewodników o róŜnym 

składzie chemicznym, z na przemian większą bądź mniejszą szerokością pasma 

zabronionego, mających specyficzne właściwości elektronowe. Supersieć [7] jest 

zatem tworem pośrednim między układem dwuwymiarowym (np. studnia 

kwantowa) a litym półprzewodnikiem. Stany elektronowe nie są tu przestrzennie 

zlokalizowane jak w studni, z drugiej strony występują typowe dla struktur 

dwuwymiarowych obszary energii wzbronione dla elektronu [19]. 

Według autora pracy [7] najprostszą supersieć (tzw. sieć binarną) 

otrzymuje się poprzez periodyczne powielanie układu dwóch warstw − studni i 

bariery − w obydwu kierunkach osi Z (patrz rysunek 2.1). Powstaje wówczas 

sztuczny kryształ, o długości komórki elementarnej wzdłuŜ osi Z równej 

d = d w + d b. (2.1) 

gdzie d w − oznacza grubość warstwy studni, natomiast d b − grubość warstwy 

bariery. MoŜliwe jest takŜe wytwarzanie bardziej skomplikowanych struktur przez 

powielanie układu więcej niŜ dwóch warstw – mówi się wówczas o supersieciach 

z bazą. 

Wymiary geometryczne studni, tj. jej technologiczne wytworzone 

głębokości studni potencjalnych oraz szerokości warstw, określają dozwolone 

wartości energii nośników w niej uwięzionych. Dzięki sterowaniu tymi 

parametrami (w przypadku technologii półprzewodnikowych) mamy moŜliwość 

kontroli nie tylko grubości materiału tworzącego studnie, lecz równieŜ składu 

materiału tworzącego bariery. Proces ten stanowi podstawę inŜynierii 

11

mikroelektronicznej i materiałowej, gdzie poprzez regulację np. szerokości studni 

kwantowych, a co za tym idzie efektywnej wymiarowości nośników, moŜemy 

"dobierać" długość wyświecanej w akcie luminescencji fali w sposób poŜądany w 

danym przyrządzie. 

Rys.2.1 Budowa najprostszej supersieci półprzewodnikowej (rysunek 

zaczerpnięto z pracy [7]). 

Wymiary geometryczne studni, tj. jej technologiczne wytworzone 

głębokości studni potencjalnych oraz szerokości warstw, określają dozwolone 

wartości energii nośników w niej uwięzionych. Dzięki sterowaniu tymi 

parametrami (w przypadku technologii półprzewodnikowych) mamy moŜliwość 

kontroli nie tylko grubości materiału tworzącego studnie, lecz równieŜ składu 

materiału tworzącego bariery. Proces ten stanowi podstawę inŜynierii 

mikroelektronicznej i materiałowej, gdzie poprzez regulację np. szerokości studni 

kwantowych, a co za tym idzie efektywnej wymiarowości nośników, moŜemy 

"dobierać" długość wyświecanej w akcie luminescencji fali w sposób poŜądany w 

danym przyrządzie. 

Za pomysłodawcę wielowarstwowych układów półprzewodnikowych uznaje się 

profesora Leo Esaki’ego 2 (fotografia obok), 

japońskiego fizyka, odkrywcę zjawiska 

tunelowania elektronów w półprzewodnikach 

(jako pierwszy zauwaŜył moŜliwość tunelowego 

przepływu elektronów z pasma przewodnictwa do 

pasma walencyjnego) [19]. 

2 Profesor Leo Esaki − 1958 (dioda tunelowa), 1969-70 (supersieci − konsekwencje m.in.: 

dioda i tranzystor z rezonansem tunelowym), Nagroda Nobla w 1973 roku (współlaureaci: 

Ivar Glaeveri i Brian D. Josephson). 

12

2.2 Technologie wytwarzania supersieci 

półprzewodnikowych 

Supersieci czyli naprzemienne osadzanie bardzo cienkich warstw 

epitaksjalnych materiałów o grubości od kilku do kilkunastu odległości 

międzyatomowych i o ostrych granicach określonych z dokładnością do jednej 

warstwy atomowej, otrzymuję się przy pomocy technologii MBE (ang. Molecular 

Beam Eepitaxy) lub metodą osadzania par związków metaloorganicznych (ang. 

Metal─Organic Vapor Deposition) [18, 20]. Na idei tej oparto konstrukcje 

laserów półprzewodnikowych umoŜliwiających generacje promieniowania 

zakresu widzialnego i bliskiej podczerwieni oraz konstrukcje fotodetektorów 

pracujących w długofalowym zakresie widma podczerwieni. PoniŜej omówiono 

metody wytwarzania tego typu struktur. 

2.21 Metoda wiązek molekularnych (Molecular( 

Beam 

Epitaxy 

– MBE) 

Jej ideą jest wytworzenie jednorodnych wiązek atomowych lub molekuł, 

których strumień moŜna precyzyjnie kontrolować. Metoda wiązek molekularnych 

[20] daje nieporównywalnie większe moŜliwości sterowania parametrami procesu 

osadzania niŜ wszelkie inne metody osadzania termicznego. Najpopularniejszymi 

źródłami wiązek molekularnych są tzw. komórki efuzyjne oraz działa 

elektronowe. Komórki efuzyjne składają się z ceramicznego cylindra w kształcie 

menzurki, umieszczonego w elemencie grzejnym, którym najczęściej jest taśma 

wolframowa rozgrzewana metodą oporową (rys. 2.2). Komórka efuzyjna jest 

nagrzewana do temperatury, która pozwala otrzymać Ŝądane ciśnienia par atomów 

(rzędu 10 -3 tora). W dostępnych w eksperymentach zakresach temperatur proces 

powstawania par zachodzi w zaleŜności od metalu, przez wyparowywanie lub 

sublimację. Wiązka atomów jest formowana w obszarze gazu atomowego, 

a wydłuŜony kształt komórki zwiększa jej jednorodność. 

Rys.2.2 Schemat otrzymywania wiązek atomowych w komórce efuzyjnej [20]. 

13

Dla wielu metali temperatury dostępne w standardowych komórkach efuzyjnych 

są niewystarczające dla otrzymania wymaganego ciśnienia par atomów. W tych 

przypadkach konieczne jest uŜycie dział elektronowych [21] (schemat na rys. 2.3). 

Działa elektronowe pozwalają na rozgrzanie materiału do bardzo wysokich 

temperatur. 

Rys.2.3 Schemat otrzymywania wiązek atomowych z wykorzystaniem działa 

elektronowego [20]. 

2.22 Metoda MOCVD (Metal Organic Chemical Vapor Deposition 

−osadzanie z par chemicznych związków metaloorganicznych) 

MOVPE − czyli epitaksja z fazy gazowej z uŜyciem związków 

metaloorganicznych, zwane równieŜ MOCVD (Metal Organic Chemical Vapor 

Deposition − osadzanie z par chemicznych związków metaloorganicznych), to 

technika polegająca na osadzaniu warstw ze związków metaloorganicznych (patrz 

rysunek poniŜej) [22]. Osadzanie zachodzi przy ciśnieniu atmosferycznym lub 

obniŜonym (LPMOVPE) do 70÷100 tora (w obu przypadkach w systemie rury 

otwartej). Minimalne szybkości wzrostu warstw są rzędu kilku nm/min., zaś 

najczęściej stosowane to 15÷25nm/min. 

Gaz nośny (najczęściej wodór) przepływając przez saturator nasyca się parami 

związku metaloorganicznego, których stęŜenie określone jest temperaturą 

saturatora i przenosi te opary do reaktora. Tu dostarczane są takŜe domieszki. 

Jednorodna mieszanina gazów ulega w wysokiej temperaturze pirolizie 

(rozkładowi) i dochodzi do grzanego podłoŜa w postaci atomów lub cząsteczek 

osadzanej substancji, które są wiązane na jego powierzchni. 

Kinetyką wzrostu w technice MOVPE jest stosunkowo łatwo sterować, ze 

względu na małą czułość zmian temperatury procesu (dopuszczalne wahania 

±5K). 

14

Rys.2.4. Schematyczne przedstawienie systemu MOVPE( na podstawie [22]) 

Technika MOVPE nie wymaga skomplikowanej aparatury, aby moŜna ją 

było wykonać. Wymagany jest przede wszystkim szczelny reaktor i grzanie 

indukcyjne lub radiacyjne (lampy halogenowe) grafitowej podstawy podłoŜa. 

WaŜne zalety tej metody to przede wszystkim: 

• mała czułość na zmiany temperatury procesu; 

• łatwość sterowania składem osadzanej warstwy; 

• moŜliwość otrzymywania jednorodnych struktur na duŜych 

powierzchniach; 

Głównie te czynniki zadecydowały o tym, Ŝe w technologii MOVPE stosunkowo 

prosto moŜna otrzymać wielowarstwowe heterostruktury o poŜądanych 

parametrach, aŜ do wielokrotnych studni kwantowych włącznie. 

2.3 Właściwości supersieci półprzewodnikowych 

Właściwości supersieci róŜnią się od właściwości półprzewodników wchodzących 

w jej skład [7]. W efekcie kwantowego efektu rozmiarowego – w wyniku 

nakładania się funkcji falowych poszczególnych studni, moŜliwemu dzięki małej 

grubości barier – w paśmie przewodnictwa i walencyjnym, powstają podpasma 3 . 

Zmieniając szerokość warstw (poprzez zmianę szerokości przerw energetycznych 

oraz grubości barier i studni) moŜna wpływać na połoŜenie i rozmiary podpasm, 

regulować wielkość przerw wzbronionych oraz masy efektywne nośników. 

3 

W literaturze często spotyka się równieŜ termin minipasma lub subpasma. W supersieciach 

periodycznych istnieje moŜliwość obliczenia energii minipasm kilkoma sposobami. MoŜna to uczynić 

stosując metodę ciasnego wiązania bądź teŜ dokonać rachunku w sposób ścisły. Oba sposoby prowadzą 

do uzyskania przybliŜonych wzorów na energię minipasm zaleŜną od liczb: q – numeruje stany 

w obrębie minipasma i ma sens wektora falowego; j – numeruje kolejne minipasma [7]. 

15

Rys. 2.5 Podpasma dla pasma przewodnictwa [7]. 

Miedzy podpasmami mogą zachodzić równieŜ aktywne przejścia 

optyczne elektronów (rysunek poniŜej) [23]. 

Rys. 2.6 Schemat układu poziomów energetycznych w studni kwantowej [7]. 

Supersieci półprzewodnikowe − często trafnie określane jako sztuczne 

kryształy [24] − odgrywają waŜną rolę we współczesnej technologii 

półprzewodnikowej. A to za sprawą ściśle określonego rozkładu współczynnika 

załamania n, przenikalności elektrycznej ε i magnetycznej µ, uzyskiwanym 

poprzez ustalony porządek ułoŜenia poszczególnych warstw w strukturze 

supersieci opisany za pomocą wzorów rekurencyjnych. 

2.4 Zastosowania supersieci półprzewodnikowych 

Wielowarstwowe struktury półprzewodnikowe w ostatnich latach znajdują 

coraz liczniejsze zastosowania w róŜnych dziedzinach nauki czy techniki [1–3]. 

Jak juŜ wcześniej wspomniano we wprowadzeniu, w wyniku badań nad opisem 

propagacji światła w tego typu strukturach, rozwinęła się nowa dziedzina 

elektroniki: nanofotonika [12]. W jej obrębie rozpoczęto badania nad „photonic 

crystals” − „kryształami fotonicznymi” 4 , czyli materiałami bliskimi koncepcyjnie 

4 Koncepcja stworzenia kryształów fotonicznych powstała jednocześnie w 1987 w dwóch ośrodkach 

badawczych na terenie USA. Pierwszy − w Bell Communications Research w New Jersey Eli 

Yablonovitch pracował nad materiałami dla tranzystorów fotonicznych − sformułował pojęcie 

16

supersieciom półprzewodnikowym i oznaczającymi strukturę regularnie 

ułoŜonych warstw (odzwierciedlającą wewnętrzną budowę kryształu) wzdłuŜ 

wybranego kierunku. Materiały te są tematem wielu ksiąŜek oraz artykułów 

prasowych [25]. 

2.41 Kryształy fotoniczne 

While pentagonal symmetry is frequent in the organic world, one does not find it 

among the perfectly symmetrical creations of inorganic nature, among the crystals. 

Herman Weyl, Symmetry (1951) 

Kryształy fotoniczne [2] to w rzeczywistości sztucznie uzyskane 

trójwymiarowe materiały kompozytowe, w których periodycznie zmienia się 

współczynnik załamania. Materiały takie wykazują istnienie tzw. fotonicznej 

przerwy wzbronionej, co fizycznie oznacza, Ŝe fale elektromagnetyczne 

o energiach z określonego zakresu, zwanego przerwą energetyczną, nie mogą się 

w nich rozchodzić niezaleŜnie od kierunku propagacji. Przerwa fotoniczna 

występuje dla fal o długościach zbliŜonych do długości okresu rozkładu 

współczynnika załamania − w przypadku fal widzialnych oznacza to, Ŝe na jeden 

okres rozkładu współczynnika załamania przypada liczba rzędu 1000 warstw 

atomowych. Występowanie fotonicznej przerwy wzbronionej oraz budowa 

materiałów fotonicznych (periodyczna zmiana własności optycznych) jest 

analogiczne jak w przypadku półprzewodników, dla których stosuje się równanie 

Schrödingera do wyznaczania pasmowej struktury elektronowej. 

Rozmiary komórki elementarnej, a więc cegiełki z której zbudowane są 

kryształy fotoniczne, są porównywalne z długością fali z zakresu przerwy 

wzbronionej. Obecnie wytwarzane są struktury fotoniczne zbudowane 

z elementów (cegiełek) o rozmiarach odpowiadającym długości fal 

elektromagnetycznych z zakresu widzialnego (400 – 700 nm). 

W kryształach fotonicznych (podobnie jak w półprzewodnikach) moŜna 

w sposób kontrolowany wprowadzać określony rodzaj defektów, przez 

co zmieniać ich właściwościi. Dzięki temu struktury fotoniczne znajdują szerokie 

zastosowania, między innymi w produkcji światłowodów oraz mikrorezonatorów. 

Okazuje się, iŜ Natura potrafi równieŜ sama wytwarzać struktury fotoniczne czego 

przykładem jest chociaŜby opal − minerał posiadający naturalną strukturę 

periodyczną. 

fotonicznej przerwy wzbronionej (ang. photonic bandgap). W tym samym czasie − w Priceton 

University Sajeev John pracował nad zwiększeniem wydajności laserów stosowanych 

w telekomunikacji − odkrył podobne zjawisko przerwy fotonicznej. W 1991 roku Eli Yablonovith 

uzyskał pierwszy kryształ fotoniczny. W 1997 roku opracowana została masowa metoda wytwarzania 

kryształów (Shanhui Fan, John D. Joannopoulos) [2]. 

17

Rys.2.7 Bransoletka z minerałem opalu (fot.1), opal naturalny kryształ fotoniczny 

występujący w przyrodzie [2]. 

Rys.2.8 Przykłady wyglądu kryształów fotonicznych (kolejno 1D, 2D i 3D) [2] 

Kryształy fotoniczne w sposób teoretyczny moŜna przedstawić jako struktury 

jedno-, dwu- i trzy-wymiarowe (patrz Rys. 2.8), ale równieŜ jako struktury 

hybrydowe (kompozytowe). Kryształy fotoniczne nie są kryształami w sensie 

szafiru czy diamentu. Mogą one być wytworzone z wielu materiałów, w których 

jest moŜliwe powstanie struktury przestrzenie periodycznej lub w układzie z silną 

modulacją współczynnika załamania światła. Wiele dzisiejszych firm od dawna 

stosuje struktury periodyczne jako lustra, filtry interferencyjne czy teŜ lasery 

duŜej mocy. Takie struktury znane są szerzej pod nazwą siatek Bragga [2], które 

najprościej wytwarza się jako struktury wielowarstwowe. 

Ze względu na budowę, kryształy fotoniczne dzieli się na jedno-, dwui 

trójwymiarowe (Rys. 2.8). Najprostsza struktura to struktura jednowymiarowa. 

Jest to w istocie zwierciadło Bragga złoŜone z wielu warstw na przemian o duŜym 

i małym współczynniku załamania światła. Zwierciadło Bragga działa jak zwykły 

filtr przepustowy, pewne częstotliwości są odbijane, a inne przepuszczane. JeŜeli 

zwiniemy zwierciadło Bragga w rurkę to otrzymamy strukturę dwuwymiarową. 

18

Dwuwymiarowe kryształy fotoniczne (rysunek obok zaczerpnięto z [2]) są 

interesujące ze względu na moŜliwości realizowania w nich odbicia Bragga oraz 

ze względu na duŜy kontrast współczynnika 

załamania światła moŜliwy do uzyskania 

w przestrzeni dwuwymiarowej. Pomimo tego, 

Ŝe jednowymiarowe struktury periodyczne były 

odkryte znacznie wcześniej, to upłynęło duŜo czasu 

zanim zrozumiano, Ŝe zjawiska odbicia Bragga 

w dwu lub trójwymiarowych strukturach mogą być 

bardzo interesujące [2]. Dwuwymiarowe kryształy 

fotoniczne bardzo dobrze nadają się do połączenia ich z istniejącymi 

zintegrowanymi układami elektronicznymi. Współczesna technologia 

wytwarzania obwodów elektronicznych jest bardzo wysoko rozwinięta 

i zasadniczo jest to technologia dwuwymiarowa. Następnym wyzwaniem dla 

technologii jest zintegrowanie funkcji optycznych i elektrycznych na jednym 

wspólnym chipie. Do realizowanych układów elektronicznych moŜna dołączyć 

istniejącą juŜ technologię planarną. Kryształy fotoniczne dają moŜliwość 

stworzenia zintegrowanych struktur, które są miniaturowe i które równocześnie 

mają bardzo ciekawe własności optyczne. Wydaje się, Ŝe struktury fotoniczne 

staną się bardzo waŜne o ile technologia optyczna znajdzie zastosowanie 

w komputerach nowej generacji [2]. 

Większość propozycji urządzeń, w których miałyby znajdować się 

kryształy fotoniczne, nie wykorzystuje wprost właściwości samych kryształów, 

ale czerpie korzyści z moŜliwości wprowadzenia do kryształów fotonicznych 

defektów strukturalnych. Jako rezultat takiego działania, światło o częstotliwości 

znajdującej się w zakresie pasma optycznie zabronionego, moŜe propagować się 

lokalnie w krysztale fotonicznym, a konkretnie − w miejscu wprowadzonego 

defektu. NiemoŜliwa jest propagacja w miejscu otaczającym wprowadzony 

defekt. Zostały juŜ opracowane technologie, które pozwalają na wytwarzanie 

defektów umoŜliwiających prowadzenie światła wokół ostrych krawędzi oraz na 

wytwarzanie filtrów typu „add-drop” 5 . Inną waŜną aplikacją jest wykorzystanie 

tak zwanego efektu superpryzmatu (superprism effect). Blisko pasma optycznie 

zabronionego, w obszarze gdzie światło nie moŜe się propagować, rozwiązanie 

równań Maxwella sugeruje istnienie w tym obszarze fali stojącej. Częstotliwości 

fali stojącej cechuje ogromna dyspersja [2]. Niewielka zmiana w częstotliwości 

fal stojących moŜe powodować ogromną zmianę w prędkości grupowej, to jest 

5 Nowa technologia oparta na "trójwymiarowych" kryształach fotonicznych, które pełnią rolę 

filtra, pozwalającego dodawać kanały na drodze światłowodu oraz je odejmować (ang. add-drop 

filter). Filtr pozwala optymalnie wykorzystać dostępne pasmo przez ograniczenie "zasięgu" 

wybranego kanału jedynie do odcinka łączącego nadawcę z odbiorcą danych. Kanałów tych 

moŜna dziś zmieścić w światłowodzie do 160, a dzięki opisywanej technice, efektywna pojemność 

łącza jest zwielokrotniana. Podobne urządzenia nie są co prawda niczym nowym, jednak 

dotychczas stosowane rozwiązania charakteryzowały się pewnymi ograniczeniami, np. dopiero 

kryształ fotoniczny zapewnia stabilną, wysoką jakość sygnału. Obecnie naukowcy pracują nad 

udoskonaleniem filtra optycznego. PoniewaŜ od jego rozmiaru zaleŜą obsługiwane długości fal 

światła, konieczna jest miniaturyzacja kryształów do około 1,5 mikrometra. Jak twierdzą 

badacze, osiągnięcie tego rozmiaru stanowi niemałe wyzwanie [5]. 

19

prędkości z jaką energia propaguje się poprzez kryształ. Jest moŜliwe 

wykorzystanie tej właściwości, dla określenia róŜnicy pomiędzy prędkościami fal 

świetlnych o róŜnych częstotliwościach. Efekt ten moŜe mieć duŜe praktyczne 

znaczenie dla wielu waŜnych zastosowań, wliczając w to równieŜ 

telekomunikację [2]. 

Kryształy fotoniczne dwuwymiarowe posiadają pewne właściwości, które 

powinny charakteryzować równieŜ kryształy trójwymiarowe. Ciągle jednak 

brakuje im bardzo waŜnej właściwości: kryształy dwuwymiarowe nie są w stanie 

„zatrzymać” propagacji światła we wszystkich kierunkach przestrzeni (w trzech 

wymiarach). Dla osiągnięcia tego celu potrzeba fotonicznych kryształów 

trójwymiarowych. Głównym powodem stworzenia takiej struktury było 

otrzymanie kryształów, które potrafiłyby kierować i hamować emisję 

spontaniczną co jest niezwykle waŜne z teoretycznego i technologicznego punktu 

widzenia. Pomimo wielu trudności technologicznych zdołano zaprojektować 

struktury trójwymiarowe, które mogą być wyprodukowane za pomocą 

standardowych technik dwuwymiarowej litografii. Techniki te zostały rozwinięte 

dla przemysłu elektronicznego [2]. 

Realizacja struktur 3D (rysunek obok zaczerpnięto z [2]) 

odbywa się poprzez układanie „w stos” warstw, jedna na 

drugiej. W celu wytworzenia struktury trójwymiarowej 

uŜywa się narzędzi mikrometrycznych przez co osiąga 

się duŜą kontrolę nad całym procesem [2]. Stwarza to 

warunki do bardzo dokładnego i zaplanowanego 

wprowadzenia do struktury kryształu lokalnych 

defektów, a takŜe daje moŜliwość osadzenia kryształów fotonicznych na 

podłoŜach o rozmiarach odpowiednich do współczesnego przemysłu 

elektronicznego. Oczywiście poza licznymi zaletami kryształy fotoniczne mają 

określone wady. Sam proces wytwarzania moŜe być drogi i czasochłonny oraz 

mogą wystąpić pewne trudności przy wytwarzaniu kolejnych warstw na 

powierzchni wcześniej otrzymanych. Ogranicza to grubość rzeczywistych 

kryształów do zaledwie kilku warstw. Warstwy te mogą być wykorzystane do 

zastosowań w bliskiej podczerwieni lub do długości fal z zakresu optycznego. 

Ciągle otwartym pozostaje pytanie czy trójwymiarowe kryształy fotoniczne będą 

w stanie sprostać przewidywanym wymaganiom. Na przykład czy umoŜliwią 

całkowite zahamowanie emisji spontanicznej, co zakłada uŜycie tzw. 

„nieskończenie” grubych kryształów [2]. 

Do jakościowego oraz ilościowego modelowania pola elektromagnetycznego 

w kryształach fotonicznych stosuje się wiele metod obliczeniowych znanych 

z innych dziedzin optyki czy elektrodynamiki. Wymienić tu moŜna: metodę fal 

płaskich − PWM (ang. Plane wave method) [5], metodę róŜnic skończonych 

w dziedzinie czasu FDTD (z ang. Finite Difference Time Domain) [5], polegającą 

na numerycznym rozwiązywaniu równań Maxwella z zaleŜnością czasową dla 

pola elektrycznego i pola magnetycznego, metodę momentów [5], wraz z jej 

licznymi odmianami, a takŜe inne liczne metody półanalityczne i w pełni 

analityczne [5]. Jak do tej pory, analityczne rozwiązanie równań Maxwella 

zostało znalezione tylko w najprostszym, jednowymiarowym periodycznym 

krysztale fotonicznym [5]. 

20

2.42 Kropki kwantowe 

Innym równie fascynującym zastosowaniem supersieci półprzewodnikowych 

są kropki kwantowe 6 [9,18]. To niewielki obszar przestrzeni 

ograniczony w trzech wymiarach barierami potencjału, nazywany tak, gdy 

wewnątrz spułapkowana jest cząstka o długości fali porównywalnej z rozmiarami 

kropki. Oznacza to, Ŝe opis zachowania cząstki musi być przeprowadzony 

z uŜyciem mechaniki kwantowej. 

Przez długi czas kropki kwantowe były tworem teoretycznym. Wraz 

z rozwojem technologii układania cienkich warstw (takich jak MOCVD, MBE – 

jedna z nich omówiona w rozdziale 2) stało się moŜliwe kontrolowanie procesu 

wzrostu kryształów, a takŜe moŜliwości techniczne tworzenia kropek 

kwantowych. Do najwaŜniejszych metod wytwarzania kropek kwantowych 

w laboratoriach moŜna zaliczyć: 

• kropki spontanicznie, powstające na granicy faz półprzewodników, 

wzrastanych metodą MBE (tzw. self-assembled quantum dots, SAQD), 

gdzie geometryczne nierówności słuŜą relaksacji napięcia 

spowodowanego róŜnicą stałych sieci (tzw. metoda Stranskiego- 

Krastanowa) [9], 

• nanokryształy (ograniczenie ruchu elektronu przez granice kryształu) [9], 

• kropki powierzchniowe, w których w dwuwymiarowym gazie 

elektronowym na granicy faz półprzewodnikowych ogranicza się ruch 

poprzez lokalne zuboŜenie materiału za pomocą przyłoŜenia napięcia do 

bramek metalicznych [9]. 

2.9 Obraz rzeczywistych kropek "naciętych" na dwuwymiarowej strukturze 

(rysunek zaczerpnięty z [9]). 

6 Całkowite zamroŜenie swobodnego ruchu elektronów przez zamknięcie ich w kwazizerowymiarowej 

kropce kwantowej jako pierwszym powiodło się naukowcom z Texas Instrument Incorporated. W 1986 

roku grupa Reeda opisała kwadratową kropkę kwantową o boku długości 250 nm, wytrawioną 

litograficznie. Niedługo później pojawiły się kolejne prace opisujące wykonanie tego typu kropek 

w innych ośrodkach. Średnice opisywanych kropek były juŜ znacznie mniejsze i wynosiły 30-45 nm 

[9]. 

21

Kropki kwantowe znajdują liczne zastosowania w diagnostyce chorób lub 

do opracowania nowych leków [9]. Jako pierwsze znalazły zastosowanie 

w biologii i medycynie. 

MoŜliwości zastosowań kropek kwantowych w medycynie są liczne (widmowe 

kody paskowe, nanoznaczniki) [9]. W laboratoriach University of California 

w Davis trwają badania nad moŜliwością śledzenia wędrówki wirusa 

w organizmie za pomocą kropek kwantowych. Okazuje się bowiem, 

iŜ oświetlanie kropki kwantowej promieniowaniem o określonej długości fali, 

złoŜone z m.in. z atomów złota lub krzemu, powoduje wyraźne emitowanie 

światła umoŜliwiającego prześledzenie połoŜenia (bądź trasy wędrówki) komórek 

wirusa we wnętrzu Ŝywej tkanki [9]. 

2.43 Druty kwantowe 

Na początku lat osiemdziesiątych, dalszy rozwój technologii, a zwłaszcza 

bardzo precyzyjnych technik litograficznych, umoŜliwił związanie elektronów 

w strukturze kwazijednowymiarowej, czyli tzw. drucie kwantowym [8]. 

Druty kwantowe 7 [5, 8, 9] to jednowymiarowe struktury, w których ruch 

elektronów jest ograniczony w kierunkach poprzecznych, i pozbawiony 

ograniczeń w kierunku podłuŜnym. Ograniczeniem tym są najczęściej bardzo 

niewielkie rozmiary poprzeczne drutu. Taka struktura charakteryzuje się tym, Ŝe 

energie elektronów związane z ruchem poprzecznym są skwantowane, natomiast 

ruch elektronów w kierunku podłuŜnym odbywa się tak jak w krysztale 

masywnym (w szczególnym przypadku jest to ruch swobodnych nośników). To 

z kolei powoduje, Ŝe opór przewodnika i jego przewodność są skwantowane 

(formuła Landauera) [26]. 

Druty kwantowe wykonuje się w postaci miniaturowych pasków 

wytrawionych w próbce zawierającej studnię kwantową. Ze względu 

na ograniczone moŜliwości litografii ich wymiary poprzeczne (10-500 nm) 

są zwykle wyraźnie większe niŜ grubość studni. 

ROZDZIAŁ 3 

Wielowarstwowe ośrodki dielektryczne – 

optyczne supersieci aperiodyczne (OSA) 

7 Badania układów o obniŜonej wymiarowości (tj. druty i kropki kwantowe), przyniosły szereg 

nieoczekiwanych odkryć, które znalazły uznanie wyraŜone przez przyznanie najbardziej prestiŜowych 

nagród: Nagroda Nobla dla Klausa von Klitzinga w 1986 roku za odkrycie całkowitego kwantowego 

efektu Halla w kwazidwuwymiarowym gazie elektronowym w strukturach MOS (metal-tlenekpółprzewodnik) 

oraz Nagroda Nobla dla Horsta Störmera, Daniela Tsui i Roberta Laughlina w 1998 

roku za odkrycie i wytłumaczenie teoretyczne ułamkowego kwantowego efektu Halla [5]. 

22

W rozdziale tym omówione zostaną wielowarstwowe ośrodki 

dielektryczne, zwane supersieciami optycznymi [27], na przykładzie supersieci 

aperiodycznej typu Thue–Morse’a, głównego obiektu zainteresowania i badań 

tej pracy. RozwaŜania na ten temat rozpoczyna wyjaśnienie terminu supersieci 

optycznych. 

Supersieć to struktura, którą moŜna utworzyć poprzez naprzemienne 

nałoŜenie co najmniej dwóch rodzajów warstw materiałów dielektrycznych 

o zadanych grubościach. Często struktury takie określa się mianem 

wielowarstwowych układów optycznych. Główną cechą tego typu ośrodków jest 

ustalony porządek ułoŜenia poszczególnych warstw w strukturze supersieci, 

co ściśle wiąŜe się z określonym rozkładem współczynnika załamania, 

przenikalności elektrycznej oraz magnetycznej. 

W pracy tej rozwaŜania dotyczyć będą struktur aperiodycznych tzn. 

układów, w których elementami struktury są warstwy nakładane w sposób 

nieperiodyczny i nieprzypadkowy, co jest fizycznie moŜliwe do zrealizowania 

przy obecnych moŜliwościach technologicznych opisanych powyŜej. 

Najprostszym przykładem supersieci optycznej jest sieć binarna 

(dwuskładnikowa) zbudowana z jednorodnych nieprzewodzących warstw typu A 

oraz B. 

Do parametrów materiałowych, charakteryzujących dane warstwy, naleŜą: 

• współczynniki załamania światła: n A , n B ; 

• grubości warstw: d A , d B ; 

• przenikalności elektryczne: ε A , ε B ; 

• przenikalności magnetyczne: µ A , µ B . 

Rozkład takich struktur, tj. uporządkowania przestrzennego, moŜna zdefiniować 

posługując się regułą podstawiania − konkatenacji, która pozwala rekurencyjnie 

stworzyć supersieć. 

Szczegółowe zasady konstrukcji supersieci objętej tematem poniŜszej 

pracy zamieszczono w kolejnym rozdziale. 

23

3.1 Optyczna supersieć typu Thue-Morse’a 

Przedstawimy teraz zasady konstrukcji binarnych supersieci prostych 

i uogólnionych typu Thue-Morse’a. 

3.11 Uogólniona supersieć typu Thue-Morse’a (UST-M) – sieć binarna 

Uogólniona supersieć typu Thue-Morse’a (oznaczaną skrótem UST-M 8 ) 

określa następujący wzór rekurencyjny [28] 

(3.1) 

Przy konstrukcji supersieci tego typu niezbędna jest supersieć pomocnicza 

(oznaczana skrótem pUST-M), o wzorze rekurencyjnym w postaci 

gdzie odpowiednio S 0 = A, S 0 = B, L ≥ 0 − oznacza numer pokolenia; z kolei M, N 

to liczby naturalne nazywane parametrami konkatencji, przy czym M oznacza 

liczbę powtórzeń pokolenia L-tego UST-M, a N − liczbę powtórzeń pokolenia 

L-tego pUST-M, odpowiednio dla obydwóch wzorów określających (L+1) 

pokolenie supersieci. 

Dla supersieci Thue-Morse’a z ustalonymi parametrami M oraz N 

stosujemy oznaczenie ST-M (M,N). W przypadku, gdy parametry konkatenacji są 

sobie równe i wynoszą M = N = 1, sieć nazywana jest wówczas prostą lub zwykłą 

supersiecią Thue-Morse’a. 

Przykład oraz schemat konstrukcji prostej supersieci Thue-Morse’a, równowaŜnej 

powyŜszej regule podstawiania ma postać (rysunek zaczerpnięty z [29]): 

A → AB , B → BA 

(3.2) 

8 

Wykaz uŜywanych skrótów i oznaczeń znajduje się na stronie nr 8. 

24

Warto przy tym dodać, iŜ wzór rekurencyjny nie definiuje mnoŜenia (jak 

mogłoby się na pozór wydawać), tylko złoŜenie supersieci dwóch poprzednich 

pokoleń, i został on zaczerpnięty z algebry łańcuchów aperiodycznych, gdzie 

słuŜy do generowania ciągu znaków łańcucha [30–32]. 

Całkowita liczba elementów (L+1)-go pokolenia UST-M podlega prawu 

potęgowemu i wynosi: 

R L = (M + N) L (3.3) 

Z kolei całkowitą grubość warstw (L+1)-go pokolenia moŜna policzyć 

posługując się wzorem 

D L+1 = MD L + ND L , (3.4) 

gdzie odpowiednio D 0 = d A i D 0 = d B , a takŜe D L+1 = ND L + MD L 

WaŜną cechą wyróŜniającą supersieć Thue-Morse’a (o równych 

parametrach konkatenacji M = N) spośród innych sieci aperiodycznych 

(Fibonacciego, Rudin–Shapiro, z podwojonym okresem szczegółowo 

omówionych w pracy [24]) jest występowanie w łańcuchu pUST-M elementów 

„przeciwnych” do elementów w UST-M. To znaczy, jeśli na określonej pozycji 

w łańcuchu UST-M znajduje się element A, to na tej samej pozycji w łańcuchu 

pUST-M znajduję się element B. Daną zaleŜność najprościej jest przedstawić 

posługując się konkretną egzemplifikacją, np. dla trzeciego pokolenia ST-M (1,1) 

otrzymujemy 

S 3 = ABBABAAB, 

S3 = BAABABBA 

Supersieć Thue- Morse’a posiada jeszcze jedną interesującą właściwość 

odnoszącą się do aspektu jej budowy, a mianowicie liczbę sąsiadujących ze sobą 

warstw typu B, jakie tworzą całkowitą warstwę o grubości D B i wynosi ona 

D B = Nd B , D B = 2Nd B , 

przy czym N − parametr kontakenacji, natomiast d B – grubość poszczególnych 

warstw typu B. 

W tabelach poniŜej przedstawiono zasadę konstrukcji pięciu pierwszych 

pokoleń UST-M (1,1) oraz czterech pierwszych pokoleń UST-M (2,1). 

25

Tabela 3.1: Pięć pierwszych pokoleń uogólnionej supersieci typu Thue-Morse’a 

ST-M(1, 1). 

Numer Wzór rekurencyjny UST-M Wzór rekurencyjny pUST-M 

pokolenia 

L S L =S L-1 S L-1 S L =S L-1 S L-1 

0 A B 

1 AB BA 

2 ABBA BAAB 

3 ABBABAAB BAABABBA 

4 ABBABAABBAABABBA BAABABBAABBABAAB 

Tabela 3.2: Cztery pierwsze pokolenia uogólnionej supersieci typu Thue-Morse’a 

ST-M(2, 1). 

Numer Wzór rekurencyjny UST-M 

pokolenia 

L S L =S 2 L-1S L-1 

0 A 

1 AAB 

2 AABAABBAA 

3 AABAABBAAAABAABBAABAAAABAAB 

Numer 

Wzór rekurencyjny pUST-M 

pokolenia 

L S L =S L-1 S 2 L-1 

0 B 

1 BAA 

2 BAAAABAAB 

3 BAAAABAABAABAABBAAAABAABBAA 

Więcej informacji odnośnie generowania łańcuchów typu T-M oraz ich 

interpretacji zamieszczono w dodatku A1. 

26

3.12 Niebinarna uogólniona supersieć typu Thue-Morse’a (UST-M) 

Przedmiot badań stanowić mogą takŜe niebinarne supersieci wielowarstwowe 

typu Thue-Morse’a, konstruowane według następujących reguł podstawiania [33]: 

A→ AB, B → BC, C → CA (I), lub 

A→ BCA, B→ CAB, C→ ABC (II) 

co pozwala skonstruować supersieć (posługując się wzorami rekurencyjnymi (3.1) 

oraz (3.2) w postaciach: 

• zaczynając od elementu A: A → AB→ABBC→ABBCBCCA→… lub 

• zaczynając od elementu A: A→ BCA → CABABCBCA →… 

• zaczynając od elementu B: B → BC→BCCA→BCCACAAB→… lub 

• zaczynając od elementu B: B → CAB → ABCBCACAB →… 

• zaczynając od elementu C: C → CA → CAAB→CAABABBC→…lub 

• zaczynając od elementu C: C → ABC → BCACABABC →… 

W przypadku (I) całkowita ilość elementów wynosi 2 L , w przypadku (II) 3 L . 

Uogólniając powyŜsze podstawienie na sieć składającą się z n elementów 

otrzymuje się: 

A 1 →A 2 A 3 …..A n A 1 , lub A 1 →A 1 A 2 

A 2 →A 3 A 4 …..A 1 A 2 , A 2 →A 2 A 3 

. . 

. . 

. . 

A n →A 1 A 2 …..A n-1 A n . A n →A n A 1 

W tabeli poniŜej przedstawiono zasadę konstrukcji pięciu pierwszych pokoleń 

UST-M (1,1) dla sieci niebinarnej. 

Tabela 3.3: Pięć pierwszych pokoleń uogólnionej niebinarnej supersieci typu 

Thue-Morse’a ST-M(1, 1). 

Numer Wzór rekurencyjny UST-M Wzór rekurencyjny pUST-M 

pokolenia 

L S L =S L-1 S L-1 S L =S L-1 S L-1 

0 A B 

1 AB BC 

2 ABBC BCCA 

3 ABBCBCCA BCCACAAB 

4 ABBCBCCABCCACAAB BCCACAABCAABABBC 

27

3.2 Transmitancja światła w supersieciach typu Thue- 

Morse’a 

W ośrodku wielowarstwowym często korzysta się z formalizmu 

macierzowego, pozwalającego wyznaczyć transmitancję. W przypadku supersieci 

aperiodycznych, wykorzystuje się formalizm dynamicznych odwzorowań śladów 

i antyśladów macierzy przejścia [26, 34-39]. 

RozwaŜania na temat propagacji światła w badanej sieci rozpoczynamy od 

określenia rodzaju warstw tworzących daną strukturę, opisujemy zachowanie się 

FEM na granicy ośrodków dielektrycznych, a następnie za pracą [24] 

przytaczamy dynamiczne odwzorowana śladów i antyśladów macierzy przejścia. 

3.21 Materiały warstw tworzących wielowarstwową strukturę 

dielektryczną 

Propagację FEM w ośrodku jednorodnym i izotropowym opisują (łącznie 

z równaniami materiałowymi dla ośrodka liniowego) równania Maxwella 

w postaci 

(3.5) 

(3.6) 

(3.7) 

(3.8) 

wraz z równaniami materiałowymi ośrodka liniowego 

(3.9) 

Poszczególne składowe występujące we wzorach oznaczają odpowiednio: 

E(r,t) wektor natęŜenia pola elektrycznego, H(r,t) — wektor natęŜenia pola 

magnetycznego, D(r,t) — wektor indukcji elektrycznej, B(r,t) — wektor indukcji 

magnetycznej, ε 0 — przenikalność elektryczna próŜni, ε r — względna 

przenikalność elektryczna ośrodka, µ 0 — przenikalność magnetyczna próŜni, µ r 

— względna przenikalność magnetyczna ośrodka. 

28

Równanie FEM w ośrodku jednorodnym otrzymujemy z równań Maxwella, 

po standardowych przekształceniach w postaci 

(3.10) 

gdzie υ = c/n jest prędkością fali EM, zaleŜną od stałych materiałowych ośrodka, 

n – współczynnik załamania światła, a c = 1/( ε 0 µ 0 ) 1/2 , oznacza prędkość światła 

rozchodzącego się w próŜni. 

Ze wzoru 

n 2 = ε r µ r (3.11) 

wynikają dwie moŜliwe wartości współczynnika załamania światła 

n = + (ε r µ r ) 1/2 n = – [(–ε r ) (–µ r )] 1/2 . (3.12) 

Ma to szczególne znaczenie ze względu na fakt rozpatrywania w poniŜszej pracy 

warstw materiałów zarówno zwanych prawo- jak i lewoskrętnymi [40–45]. 

3.22 Odbicie i załamanie fali elektromagnetycznej na granicy dwóch 

ośrodków dielektrycznych 

Przy rozpatrywaniu propagacji światła w wielowarstwowych strukturach 

aperiodycznych naleŜy na wstępie rozwaŜyć warunki, jakie spełnia spolaryzowana 

fala elektromagnetyczna typu s lub p padająca na układ złoŜony z warstw 

dielektrycznych. 

Przykładowo niech na granicę układu dwóch izotropowych ośrodków, 

odpowiednio o współczynnikach załamania n 1 , n 2 , pada płaska fala 

elektromagnetyczna (FEM). Przyjmujemy następujące załoŜenia odnośnie 

płaszczyzn układu: 

• płaszczyzna yz — powierzchnia rozgraniczająca dane ośrodki, 

• płaszczyzna xz — płaszczyzna padania FEM (rys. 3.12). 

Rys. 3.12 Odbicie i załamanie fali elektromagnetycznej na granicy dwóch 

ośrodków dielektrycznych (na podstawie 24). 

29

Na granicy ośrodków linie pól załamują się zachowując przy tym ciągłość 

składowych stycznych wektorów natęŜenia pola elektrycznego E 

i magnetycznego H oraz składowych normalnych wektorów indukcji 

magnetycznej B i elektrycznej D. W takim przypadku wektory falowe fali 

padającej k 1 , odbitej k 1 ’ i załamanej k 2 leŜą w jednej płaszczyźnie zwanej 

płaszczyzną padania i mają postać 

(3.13) 

Posługując się prawem odbicia otrzymujemy równość kątów padania θ 1 

i odbicia θ 1 ’ : θ 1 = θ 1 ’. Poza tym spełnione jest prawo Snelliusa 

n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 . (3.14) 

Przejdźmy teraz do omówienia rodzaju polaryzacji fali EM. Wiemy, Ŝe 

w przypadku gdy wektor pola elektrycznego E = [0, E y , 0] jest prostopadły 

do płaszczyzny padania, mamy do czynienia z polaryzacją typu s, natomiast gdy 

wektor pola magnetycznego H = [0, H y , 0] jest prostopadły do płaszczyzny 

padania, mamy do czynienia z polaryzacją typu p (rys.3.13). 

Rys. 3.13 Polaryzacja fali EM: a) typu s; b) typu p (na podstawie [24]). 

a) b) 

Relacje między natęŜeniami fali padającej E 1 (+) i odbitej E 1 (-) oraz padającej E 1 

(+) 

i załamanej E 2 (+) określają wzory Fresnela, pozwalające wyznaczyć amplitudowy 

współczynnik odbicia r 12 i transmisji t 12. 

30

Dla polaryzacji typu s przyjmują one postać 

(3.15) 

(3.16) 

a dla polaryzacji typu p 

(3.17) 

(3.18) 

Z pomocą wzorów (3.15)–(3.18) moŜemy wyznaczyć transmitancję oraz 

reflektancję fali EM dla poszczególnych przypadków polaryzacji. 

Polaryzacja typu p: 

transmitancja 

reflektancja 

, 

Polaryzacja typu s: 

transmitancja 

R p = r p 

2 

. (3.19) 

reflektancja 

, 

R s = r s 

2 

. (3.20) 

31

3.23 Model wielowarstwowego ośrodka dielektrycznego − formalizm 

macierzowy 

Celem niniejszej pracy jest wyznaczenie transmitancji światła propagującego się 

w rozwaŜanym wielowarstwowym ośrodku dielektrycznym. Skupimy się zatem 

na krótkim opisie budowy takiej struktury, w czym pomoŜe rysunek 3.14. 

Rys. 3.14 Wielowarstwowy ośrodek dielektryczny umieszczony między 

ośrodkami jednorodnymi odpowiednio o współczynnikach załamania n in oraz n out 

(na podstawie [24]). 

Zakładamy, Ŝe wielowarstwowy, niemagnetyczny (tzn. µ j =1) ośrodek 

dielektryczny (rys.3.14), składa się z J jednorodnych warstw rozłoŜonych wzdłuŜ 

osi X, charakteryzowanych przez współczynniki załamania n j i grubości d j = x j – 

x j-1 . Kolejne ośrodki takiej struktury numeruje indeks j = 0, 1, 2, 3, …, J, J+1, przy 

czym wskaźniki j =0 oraz j = J+1 oznaczają ośrodki zewnętrzne, indeksowane 

odpowiednio jako „in” oraz „out”. Przyjmujemy ponadto, Ŝe na granicę ośrodków 

n in i n out pada płaska fala EM o długości λ pod kątem θ in . Przypadek ten 

najwygodniej jest rozpatrywać posługując się formalizmem macierzowym. 

Wtedy to relacje między amplitudami wektora natęŜenia pola elektrycznego fali: 

padającej E (+) (-) 

(+) 

in , odbitej E in oraz przechodzącej E out określa macierz 

(-) 

charakterystyczna, oznaczana grecką literą gamma Γ (wówczas E out = 0): 

(3.21) 

macierz Γ to w rzeczywistości iloczyn wszystkich macierzy propagacji P j 

i transmisji D j,j+1 poszczególnych warstw, opisujący przejście fali EM z ośrodka 

„in” do ośrodka „out”: 

32

(3.22) 

Macierz propagacji P j – występująca w macierzy Γ (niezaleŜna od typu 

polaryzacji) ma postać diagonalną 

(3.23) 

Macierz transmisji D j,j+1 (opisuje przejście FEM z ośrodka j – ego do (j+1)- go) 

przyjmuje, niezaleŜnie od typu polaryzacji, postać 

(3.24) 

Z kolei wyrazy (fresnelowskie amplitudowe współczynniki odbicia r j,j+1 

i transmisji t j,j+1 ) macierzy transmisji D j,j+1 , zaleŜą od typu polaryzacji światła: 

„dla polaryzacji p”: 

(3.25) 

(3.26) 

„dla polaryzacji s”: 

(3.27) 

. (3.28) 

33

Posługując się elementami macierzy charakterystycznej Γ moŜemy wyznaczyć 

energetyczne współczynniki odbicia R (refektancję) i transmisji T (transmitancję): 

. (3.29) 

W przypadku równości współczynników załamania warstw otaczających daną 

strukturę tzn. n in = n out , macierz Γ jest macierzą unimodularną o wyznaczniku 

równym 1, a wzór na transmitancję przybiera postać 

(3.30) 

3.24 Transmitancja w formalizmie śladów i antyśladów macierzy 

charakterystycznej Γ 

Jeśli załoŜymy unimodularność (tzn. det Γ = 1) macierzy charakterystycznej Γ, 

wówczas transmitancję światła moŜemy wyznaczyć posługując się jej śladem τ 

i antyśladem σ : 

(3.31) 

gdzie τ Γ = Γ 11 + Γ 22 – ślad macierzy charakterystycznej, σ Γ = Γ 11 - Γ 22 – antyślad 

diagonalny macierzy charakterystycznej. 

Ponadto wprowadza się równieŜ: 

• antysymetryczny antyślad niediagonalny ς Γ = Γ 21 – Γ 12 , 

• symetryczny antyślad niediagonalny η Γ = Γ 21 + Γ 12 (3.32) 

Macierzą charakterystyczna niebinarnej, wielowarstwowej struktury 

aperiodycznej jest macierz postaci 

Γ = D in,A QD A,out . (3.33) 

Macierz Q jest w tym przypadku unimodularną macierzą charakterystyczną, 

opisującą propagację fali EM w wielowarstwowym ośrodku aperiodycznym. 

34

Ze względu na fakt silnej zaleŜności transmitancji od ośrodków ją 

otaczających rozwaŜa się następujące przypadki: 

• supersieć umieszczona w jednorodnym ośrodku typu A — 

transmitancja wyraŜona w formalizmie śladów τ Q i antyśladów σ Q 

macierzy charakterystycznej Q 

(3.34) 

• supersieć umieszczona w dowolnym ośrodku jednorodnym — rozwaŜa 

się przypadek gdy n in ≠ n out , wówczas wzór na transmitancje przyjmuje 

postać: 

gdzie (3.35) 

to macierz unimodularna o wyznaczniku det Γ = (n out cos θ out )/ (n in cos θ in ). Ślady 

i antyślady macierzy W przybierają postać: 

(3.36) 

(3.37) 

3.25 Odwzorowania dynamiczne śladów i antyśladów macierzy 

charakterystycznych sieci Thue-Morse’a 

Macierze charakterystyczne sieci Thue-Morse’a tzn. UST-M oraz pUST-M dla 

(L+1) — go pokolenia wynoszą odpowiednio: 

35

Z kolei dynamiczne odwzorowania śladów i antyśladów [24] tych macierzy dla 

(L+1) — go pokolenia dane są wzorami (L ≥ 2): 

τ L+1 = u M (τ L )u N (τ L ) {-2u M+1 (τ L-1 ) + 2u M-1 (τ L-1 ) – u 2N+1 (τ L-1 ) + u 2N-1 (τ L-1 ) 

– 2 +[u M+N+1 (τ L-1 ) +u -M+N+1 (τ L-1 ) – u M+N-1 (τ L-1 ) + u M-N+1 (τ L-1 )] τ L } – 

u M+1 (τ L )u N-1 (τ L ) – u M-1 (τ L ) u N-1 (τ L ), (3.38) 

τ̃L+1 = τ L+1 (3.39) 

a L+1 = u M (τ L )u N (τ L ){ u 2N (τ L-1 ) ã L-1 + u 2M (τ L-1 ) a L-1 + [u N+M (τ L-1 ) - u N-M 

(τ L-1 )] a L-1 τ L } -u M (τ L )u N-1 (τ L ) a L - u M-1 (τ L )u N (τ L ) ã L (3.40) 

ã L-1 = u M (τ L )u N+1 (τ L ) a L + u M+1 (τ L )u N (τ L ) ã L - u M (τ L )u N (τ L ){ u M (τ L-1 )τ L-1 

τ L – u 2M (τ L-1 ) ] a L-1 + u 2N (τ L-1 ) ã L-1 } (3.41) 

gdzie wyrazy a j {σ j , η j , ς j } oraz ã {σ̃j, η̃j, ς̃j}, u j (y) oznaczają uogólnione 

wielomiany Czebyszewa 9 [24]. 


prawoskrętnych 

Podstawą algorytmu numerycznego pozwalającego wyznaczyć 

transmitancje światła spolaryzowanego w supersieci Thue-Morse’a, było 

wyznaczenie śladów i antyśladów macierzy charakterystycznej dla danego 

pokolenia – przypadek supersieci binarnej oraz bezpośredniego mnoŜenia 

macierzy propagacji i transmisji – przypadek supersieci niebinarnej, dla których 

to ograniczeniem jest nieunimodularność macierzy charakterystycznych układu, 

uniemoŜliwiająca zastosowanie metody dynamicznych odwzorowań. 

Obliczenia numeryczne przeprowadzono tak, aby pozwalały określić zmiany 

transmitancji w zaleŜności od parametrów modelu, którymi są: 

1. długość fali światła λ dla zakresu widzialnego tzn. [300 nm – 700 nm]. 

2. kąta padania θ zmieniającego się w granicach [0, π/2). 

3. rodzaju polaryzacji – s lub p. 

4. liczby L określającej numer pokolenia supersieci. 

5. róŜnych wartości parametrów konkatencji M, N. 

6. współczynników załamania warstw w zakresie [1,0; 3,0]. 

7. bezwymiarowych (wybrano d̃l = d l /λ 0 ; gdzie λ 0 = 100nm, l = A, B) grubości 

warstw w zakresie [250; 1000]. 

9 Zmodyfikowanymi wielomianami Czebyszewa nazywamy następujące funkcje zmiennej 

zespolonej z: 

u m (z) = 0, m = 0, 

1, m = 1, 

zu m-1 (z) – u m-2 (z) , m>1 , przy czym m – liczba całkowita oraz u -m (z) = -u m (z) 

36

Wyniki obliczeń numerycznych transmitancji T przedstawiono w postaci map 

szarości ze skalą dobraną w ten sposób, aby kolor biały odpowiadał transmitancji 

równej jeden, a czarny równej zero (rysunek 3.15). Wszystkie wyniki 

prezentowane w postaci map transmisji przeprowadzono dla rozdzielczości 

600×600 pikseli.Współczynniki załamania ośrodków zewnętrznych dobierano 

w ten sposób, aby nie wystąpiło zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia. 

Rysunek 3.15 Skala szarości reprezentująca wartość transmitancji. 

Mapy na rysunkach I–XII przedstawiają transmitancję T(λ̃, θ) światła dla 

polaryzacji s (lewa kolumna) oraz p (prawa kolumna) jako funkcję długości fali 

i kąta padania (wykresy dla sieci niebinarnych zamieszczono w dodatku C). Mapy 

transmitancji dla polaryzacji typu „p” wykazują wyraŜnie widoczne maksima 

transmitancji, odpowiadającej kątowi Brewstera dla θ ≈ 1 rad, niezaleŜnie od 

długości fali padającej. Mapy na rysunkach I, VII reprezentują przypadki 

umieszczenia supersieci w powietrzu oraz, gdy jeden ze współczynników 

załamania warstw ją tworzących, posiada taką samą wartość jak współczynnik 

załamania powietrza. Mapy z rysunków II–III, VIII–IX przedstawiają wpływ 

grubości warstw, a z rysunków IV–V, X–XI wpływ liczby pokoleń oraz wartości 

parametrów konkatencji na transmitancje. Z kolei na rysunkach VI, XII 

zamieszczono przypadki, kiedy supersieć osadzona jest między dwoma ośrodkami 

o znacznie róŜniących się współczynnikach załamania. 

37

Rys. I Mapy transmisji T(λ̃, θ) dla binarnej ST-M(1, 1) o parametrach: 

a) n A = 1,43; n B = 2,3, d A = d B = 350, n in = n out = 1,0; L = 4; b) n A = n in ; n B = 2,3, 

d A = d B = 350, n in = n out = 1,0; L = 4; 

polaryzacja s 

a) 

polaryzacja p 

b) 

38

Rys. II Mapy transmisji T(λ̃, θ) dla binarnej ST-M(1, 1) o parametrach: 

a) n A = 1,43; n B = 2,3, d A =250; d B = 350, n in = n out = 1,23; L = 4; b) n A = 1,43 ; 

n B = 2,3, d A = 350,d B = 250, n in = n out = 1,23; L = 4; c) n A = 1,43 ; n B = 2,3, d A = d B 

= 350, n in = n out = 1,23; L = 4; 

polaryzacja s 

polaryzacja p 

a) 

b) 

c) 

39

Rys. III Mapy transmisji T(λ̃, θ) dla binarnej ST-M(1, 1) o parametrach: 

n A = 1,43; n B = 2,3, d A =d B = 350, n in = n out = 1,23; a) L = 3; b) L = 6; c) L = 8; 

polaryzacja s 

polaryzacja p 

a) 

b) 

c) 

40

Rys. IV Mapy transmisji T(λ̃, θ) dla binarnej ST-M o parametrach n A = 1,43; 

n B = 2,3, d A =d B = 350, n in = n out = 1,23; a) M= 1;N= 2; L = 3; b) L = 3; 

M= 2; N= 1; c) M= 2; N= 2; L = 3; 

polaryzacja s 

a) 

polaryzacja p 

b) 

c) 

41

Rys. V Mapy transmisji T(λ̃, θ) dla binarnej ST-M o parametrach n A = 1,43; 

n B = 2,3, d A =d B = 350, n in = n out = 1,23; a) M= 2; N= 1; L = 6; b) L = 4; M= 2; 

N= 1; 

polaryzacja s 

a) 

polaryzacja p 

b) 

Rys. VI Mapy transmisji T(λ̃, θ) dla binarnej ST-M (1, 1)o parametrach n A = 1,43; 

n B = 2,3, d A =d B = 350, n in = 1,0; n out = 4,0; L = 4; 

polaryzacja s 

polaryzacja p 

42

3.4 Wielowarstwowy ośrodek z materiałem 

lewoskrętnym 

W niniejszej pracy rozwaŜania na temat propagacji światła 

w wielowarstwowych ośrodkach dielektrycznych dotyczą takŜe supersieci 

zbudowanych z materiałów prawo- jak i lewoskrętnych (właściwości materiałów 

lewoskrętnych — metamateriałów, ich zastosowania i metody wytwarzania 

opisane są szczegółowo w dodatku E). 

RozwaŜmy zatem supersieć zbudowaną z materiałów prawo– 

i lewoskrętnych. Przyjmijmy model, w którym warstwę prawoskrętną tworzy 

warstwa typu A, a lewoskrętną warstwa typu B. Zadając pytanie: W jaki sposób 

zachowa się fala EM na granicy ośrodka prawo- i lewoskrętnego? Odpowiedź 

przedstawia rysunek 3.16. 

Rys. 3.16 Zjawisko załamania światła na granicy ośrodka prawo- i lewoskrętnego; 

gdzie v A (f) , v B (f) – wektory prędkości fazowych, v A (g) , v B (g) – wektory prędkości 

grupowych, odpowiednich ośrodków( na podstawie [24]). 

Z rysunku 3.16 widać, iŜ promień padając na granicę ośrodków załamuje się po 

tej samej stronie normalnej, po której znajduje się promień padający. Postać 

prawa załamania nie ulega zmianie (wzór (3.42)), ale nie jest spełniona w tym 

przypadku tradycyjna zasada Fermata 

n A sinθ A = n B sin(–θ B ) = (– |n B | ) (– |sinθ B | ) dla n B < 0 . (3.42) 

Fakt ten wymusza zmianę amplitudowych współczynników odbicia r j,j+1 

i transmisji t j,j+1 , występujących w macierzy charakterystycznej Q, opisującej 

propagację fali EM w wielowarstwowym ośrodku aperiodycznym. 

43

Wynoszą one odpowiednio – w zaleŜności od polaryzacji typu s oraz p: 

(3.43) 

(3.44) 

PowyŜsza postać amplitudowych współczynników transmisji i odbicia nie 

wpływa ani na własności macierzy charakterystycznej(zachowuje ona swoją 

unimodularność), ani na zmianę wzoru transmitancji T dla supersieci (wzory 

3.29, 3.30). Zmianie ulegną jedynie początkowe wartości śladów i antyśladów, 

gdyŜ w amplitudowych współczynnikach odbicia i transmisji (3.44) i (3.43) 

pojawią się przenikalności magnetyczne warstw A i B. 


lewoskrętnych 

Obliczenia numeryczne przeprowadzono (analogicznie jak to miało miejsce 

w przypadku supersieci prawoskrętnych) tak, aby pozwalały określić zmiany 

transmitancji w zaleŜności od parametrów modelu określonych w rozdziale 3.3. 

którymi są: 

Rysunki poniŜej przedstawiają mapy transmisji T(λ̃, θ) światła w zaleŜności od 

polaryzacji s (lewa kolumna) oraz p (prawa kolumna) jako funkcję długości fali 

i kąta padania. 

44

Rys. VII Mapy transmisji T(λ̃, θ) dla binarnej ST-M (1, 1) o parametrach 

a) n A = 1,43; n B = –2,3, d A =d B = 350, n in = n out = 1,0; L = 4; b) n A = n in , 

n B = –2,3, d A = d B = 350,n in = n out = 1,0, L = 4; 

Polaryzacja s 

polaryzacja p 

a) 

b) 

45

Rys. VIII Mapy transmisji T(λ̃, θ) dla binarnej ST-M(1, 1) o parametrach: 

a) n A = 1,43;n B = –2,3, d A = 250, d B = 350, n in = n out = 1,23; L = 4; b) n A = 1,43; 

n B = –2,3, d A = 350, d B = 250, n in = n out = 1,23; L = 4; c) n A = 1,43, n B = –2,3, 

d A = d B = 350, n in = n out =1,23; L = 4; 

polaryzacja s 

a) 

polaryzacja p 

b) 

c) 

46

Rys. IX Mapy transmisji T(λ̃, θ) dla binarnej ST-M(1, 1) o parametrach: 

n A = 1,43; n B = –2,3, d A = d B = 350, n in = n out = 1,23; a) L = 3; b) L = 6; c) L = 8; 

polaryzacja s 

a) 

polaryzacja p 

b) 

c) 

47

Rys. X Mapy transmisji T(λ̃, θ) dla binarnej ST-M o parametrach n A = 1,43; 

n B = –2,3, d A =d B = 350, n in = n out = 1,23; a) M= 1; N= 2; L = 3; b) L = 3; M= 2; 

N= 1; c) M= 2; N= 2; L = 3; 

polaryzacja s 

a) 

polaryzacja p 

b) 

c) 

48

Rys. XI Mapy transmisji T(λ̃, θ) dla binarnej ST-M o parametrach n A = 1,43; 

n B = –2,3, d A =d B = 350, n in = n out = 1,23; a) M= 2; N= 1; L = 6; b) L = 4; M= 2; 

N= 1; 

polaryzacja s 

a) 

polaryzacja p 

b) 

Rys. XII Mapy transmisji T(λ̃, θ) dla binarnej ST-M (1, 1)o parametrach 

n A = 1,43; n B = –2,3, d A =d B = 350, n in = 1,0; n out = 4,0; L = 4; 

polaryzacja s 

polaryzacja p 

49

Rozdział 4 

Dyskusja wyników obliczeń numerycznych 

i podsumowanie 

4.1 Wnioski oraz uwagi 

Na podstawie otrzymanych rezultatów obliczeń numerycznych moŜemy 

sformułować następujące wnioski jakościowe oraz ilościowe: 

• Transmitancja światła spolaryzowanego w analizowanej supersieci 

binarnej typu Thue-Morse’a silnie zaleŜy od przestrzennego rozkładu 

warstw 

• Dzięki moŜliwości zmiany parametrów kontakenacji M i N moŜemy 

stosunkowo łatwo modyfikować właściwości transmisyjne supersieci. 

• Widoczne na uzyskanych mapach wielokrotne pasma wysokiej transmisji 

światła, składają się na fotoniczną strukturę jednowymiarowych 

kryształów fotonicznych, którymi są badane w tej pracy supersieci 

optyczne typu Thue-Morse’a. 

• Na zauwaŜalną modyfikację właściwości filtracyjnych supersieci wpływa 

w znacznym stopniu zmiana współczynników załamania ośrodków 

zewnętrznych (mapy I, VI, VII, XII). 

• Po osadzenie badanej struktury aperiodycznej między ośrodkami 

o współczynnikach załamania spełniających zaleŜności n in = n A oraz n out > 

3, moŜna zaobserwować nie tylko zmniejszenie się całkowitej 

transmitancji, lecz takŜe zanik większości pasm transmisji. Pozostałe 

pasma transmisyjne tworzą wtedy tzw. okna transmisyjne z „ostrymi”, 

niemalŜe skokowymi charakterystykami brzegowymi (mapy XII, VI). 

• Wzrost parametrów konkatenacji powoduje: dla parametru M szybkie 

zawęŜanie pasm transmisji (porównaj IVa i IVc, oraz Xa i Xc), a dla 

parametru N wzrost liczby poszczególnych pasm transmisji (porównaj IVa 

i IVb, oraz Xa i Xb). 

• Na zwiększenie liczby pasm transmisji i ich zwęŜanie się wpływ ma 

równieŜ zmiana grubości poszczególnych warstw (mapy II, VIII). 

• Właściwości filtracyjne modyfikuje takŜe zamiana numeru pokolenia L 

(mapy III, V, IX, XI). 

• Mapy transmisji wykazują teŜ maksima interferencyjne pochodzące 

od pojedynczej warstwy typu B o grubości D B , a struktura widma 

transmisyjnego ma charakter samopodobny (mapy IV, X). 

• Zastąpienie warstw typu B materiałami lewoskrętnymi (mapy VII–XII) 

zmienia połoŜenie i przebieg maksimów transmitancji oraz uzyskanie tym 

samym nowych, jakościowo właściwości filtracyjnych. 

• Obserwujemy istotną zmianę charakteru map transmisji supersieci 

zbudowanych z warst materiałów prawoskrętnych oraz supersieci 

zawierających warstwy materiałów lewo- i prawoskrętnych, co ilustrują 

mapy zamieszczone w rozdziałach 3.3 oraz 3.5). 

50

o Pasma wysokiej transmisji supersieci prawoskrętnych (jasne paski 

na mapach transmisji z rozdziału 3.3) przy wzroście kąta padania 

wykazują tendencje do przesuwania się do mniejszych wartości 

długości fali elektromagnetycznej. Reprezentacją graficzną tego 

wniosku jest poniŜszy rysunek, na którym szeroka biała krzywa 

przedstawia w duŜym jakościowym uproszczeniu przebieg pasm 

wysokiej transmisji jako funkcji dwóch zmiennych odłoŜonych 

na osiach map. 

o Pasma wysokiej transmisji supersieci lewo- i prawoskrętnych 

(jasne paski na mapach transmisji Rys. VII-XII z rozdziału 3.5) 

przy wzroście kąta padania wykazują podobny charakter 

zilustrowany poprzednim rysunkiem. ZauwaŜalna jest jednak nowa 

jakościowa tendencja polegająca na występowaniu szeregu pasm 

wysokiej transmisji, które przy wzroście kąta padania przesuwają 

się w stronę większych wartości długości fali elektromagnetycznej. 

Ilustruje to jakościowo poniŜszy wykres. Jest to zapewne 

konsekwencją specyficznego załamywania się fali 

elektromagnetycznej na granicy warstw lewo- i prawoskrętnych. 

51

4.2 Konkluzje końcowe 

W pracy podjęto próbę zbadanie wpływu uporządkowania 

kwazijednowymiarowej struktury, którą jest aperiodyczna supesieć optyczna 

typu Thue-Morse’a na jedną z jej właściwości fizycznych: transmisję światła 

spolaryzowanego. 

Supersieć skonstruowano w postaci wielowarstwowego ośrodka 

dielektrycznego, a wykorzystanie formalizmu macierzowego pozwoliło 

wyznaczyć transmitancję za pomocą dynamicznych odwzorowań śladów 

i antyśladów oraz uwzględnić wpływ ośrodków zewnętrznych na właściwości 

transmisyjne badanej supersieci. 

Przedstawiono wybrane wyniki obliczeń numerycznych dotyczących 

właściwości transmisyjnych nieperiodycznych supersieci optycznych T-M oraz 

scharakteryzowano dotychczas przeprowadzone badania odnośnie 

analizowanych struktur (patrz dodatek D). Badania te nie tylko zadziwiają 

i zaciekawiają, ale przede wszystkim przedstawiają nowe sposoby ich 

realizacji. UŜycie narzędzi matematycznych jak: analiza multifraktalna, teoria 

entropii, struktury algebraiczne (między innymi wykorzystywany wielokrotnie 

rozbudowany formalizm macierzowy) etc. (dodatek D, dodatek B) to tylko 

niektóre z nich. Co więcej okazuje się, iŜ zaawansowane narzędzia 

matematyczne, pozwalają fizykom poznawać i charakteryzować ilościowo 

właściwości specyficznych zjawisk fizycznych dla nieperiodycznych 

supersieci. 

Szczegółowej analizie poddano dwa typy supersieci aperiodycznej Thue- 

Morse’a: 

a) zbudowanej z materiałów prawoskrętnych, o dobrze znanej technologii 

wytwarzania (patrz rozdział 2); 

b) zbudowanych z materiałów lewoskrętnych o kosztownej 

i czasochłonnej technologii wytwarzania (patrz dodatek E); 

Istotnym osiągnięciem pracy, o charakterze uŜytkowym, jest opracowanie 

środowiska obliczeniowego, zaprogramowanego na platformie Delphi, które 

w prosty sposób pozwala na wyznaczenie i zbadanie transmisji światła 

spolaryzowanego w optycznej supersieci aperiodycznej T-M. Program Thue- 

MorseSuper.exe 10 , wykorzystuje do obliczeń formalizm macierzowy (metoda 

bezpośredniego mnoŜenia macierzy) i odwzorowania dynamiczne śladów 

i antyśladów (patrz rozdział 3). Pozwala on uŜytkownikowi wyznaczać 

i dokonywać analizy transmitancji w zaleŜności od wybranych parametrów 

modelu, którymi są: współczynniki załamania ośrodków zewnętrznych 

i warstw tworzących strukturę, liczba warstw, rodzaj polaryzacji, wartości 

parametry konkatencji, grubości warstw, długości FEM, kąty padania). 

Wybrane mapy transmisji (Rys. I–XII) zawarte w pracy są efektem 

posługiwania się ww. programem, którego wersja instalacyjna znajduje się na 

dołączonym do pracy CD. 

10 Za zgodą autora T. Naskręta na wykorzystanie i dokonanie niezbędnych zmian w programie 

Supersieci.exe, którego pochodną stanowi program Thue–MorseSuper.exe. 

52

Program Thue-MorseSuper.exe moŜe posłuŜyć jako uŜyteczne narzędzie 

przy projektowaniu wielowarstwowych struktur, np. w inŜynierii optycznej 

do projektowania filtrów optycznych, rezonatorów optycznych o zadanych 

właściwościach, wykorzystując do tego nieperiodyczny i nieprzypadkowy 

przestrzenny rozkład warstw. Tworzy to jakościowo nowy czynnik 

modyfikujący właściwości transmisyjne struktur wielowarstwowych. Ponadto 

pozwala na badanie transmisji światła spolaryzowanego w materiałach 

lewoskrętnych– tzw. metamateriałach. Godnym uwagi jest równieŜ fakt 

wykorzystania wielowarstwowych niebinarnych struktur dodatnich i ujemnych 

do uzyskania całkiem nowych efektów niŜ te otrzymywane poprzez inne nowo 

odkryte materiały, często o drogiej i czasochłonnej technologii wytwarzania, 

i w większości przypadków dające niemalŜe jednakowe wyniki. 

Aplikację moŜna równieŜ wykorzystać jako poŜyteczne narzędzie 

dydaktyczne. 

Praca moŜe zostać wykorzystana do celów naukowych i dydaktycznych 

jako opracowanie zawierające wieloaspektowy i szczegółowy materiał 

źródłowy. Powód to obszerny spis literatury zawierający nie tylko 

najwaŜniejsze pozycje ksiąŜkowe, liczne publikacje naukowe, najnowsze 

odkrycia, lecz takŜe adresy godne uwagi, ze względu na zawartość 

merytoryczną, stron internetowych. 

Praca jest wielopłaszczyznowym opracowaniem w języku polskim 

omawiającym kwazijednowymiarowe wielowarstwowe struktury aperiodyczne 

T-M. Przedstawia równieŜ najnowsze odkrycia z dziedziny wytwarzania 

metamateriałów jedno– dwu– i trzywymiarowych, opisując nowe, często dość 

nietypowe rozwiązania technologiczne. 

53

DODATEK A 

A.1 SEKWENCJA THUE-MORSE’A 11 

Is there a binary sequence that contains no overlap, 

i.e., a sequence which contains no substrings 

of the form awawa, where a is any binary letter 

and w any word? 

Na powyŜsze pytanie udzielił twierdzącej odpowiedzi Axcel Thue i stał się 

tym samym współtwórcą sekwencji najlepiej znanej teraz jako SEKWENCJI THUE- 

MORSE’A. WiąŜe się ona z wieloma róŜnymi gałęziami, odnaleźć ja moŜna 

w geometrii róŜniczkowej, fizyce, a nawet w teorii liczb. Za pomocą tej reguły moŜna 

tworzyć grafikę (przykład poniŜej), a takŜe komponować muzykę (przykładowe pliki 

muzyczne znajdują się na dołączonej do niniejszej pracy płycie CD). NiŜej 

zamieszczono róŜne sposoby konstrukcji rozwaŜanego ciągu. 

Formalna definicja sekwencji T-M rozpięta na alfabecie binarnym {0, 1} ma 

następującą postać: 

( t j ) j>=0 = 1, 0, 0 , 1, 0 , 1, 1, 0 , 0 , … (1) 

gdzie t 0 = 1 , t 2j = t j , t 2j+1 = 0 dla wszystkich j>= 0 . 

Obecnie stosuje się kilka równorzędnych definicji ciągu T-M. Nietrudno tym 

samym zauwaŜyć, iŜ kolejne wyrazy moŜna tworzyć przy uŜyciu takiego oto 

podstawienia: 

1→ 1, 0 0 → 0 , 1 

W ten sposób otrzymujemy ciąg w postaci 

1 → 1 , 0 → 1, 0, 0 , 1 → 1, 0 , 0 , 1, 0 , 1, 1, 0 → … 

Innym sposobem przedstawienia ciągu T-M jest rozpoczynanie od elementu 0 

i postępowanie wg takiej oto reguły: bierzemy powstały ciąg i dodajemy jego 

uzupełnienie (tzn. 0 zastępujemy przez 1, a 1 przez 0). W wyniku tak 

przeprowadzonej operacji otrzymamy: 

0 

01 

0110 

01101001 

0110100110010110 

…. 

11 Nad sekwencją tą jako pierwszy pracował P. Prouhet w 1859 roku, który zastosował ją 

w teorii liczb. JednakŜe wyraźnie zaakcentował jej istnienie norweski matematyk, Axcel Thue 

w 1906 roku, jako przykład aperiodycznego okresowego ciągu znaków. Pierwszą naukową 

publikację Thue, obejmująca dany temat, zignorowano. Większą uwagę poświęcono dopiero 

publikacji Marstona Morse’a w 1921, który uŜył owej sekwencji w geometrii róŜniczkowej 

oraz dowiódł, iŜ trajektorie układów dynamicznych, które na przestrzeni fazowej mają ujemną 

krzywiznę, mogą być scharakteryzowane jako dyskretne ciągi zer i jedynek. Fakt ten stanowił 

oszałamiające odkrycie ówczesnych czasów [47]. 

Sekwencja ta była (i nadal jest) stosowana wielokrotnie i to nie zawsze przez profesjonalnych 

matematyków. Przykład stanowi niejaki Max Euwe (mistrz szachownicy i nauczyciel 

matematyki), który w 1929 roku zastosował daną formułę do gry w szachy [47]. 

54

Trzecia metoda jest ściśle związana ze sposobem konstrukcji słów binarnych (tutaj 

liczb) ustawianych w rosnącej wartości: 

0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, … 

W ten sposób moŜemy przedstawić kaŜdą liczbę redukując jej cyfry modulo 2. 

W redukowanej liczbie sumuje się jej cyfry, dotąd, póki nie przypomina w swym 

zapisie liczby binarnej. Tak więc redukcją liczby 111 jest 3, której pozostałością 

modulo 2 jest 1. 

A.2. ZASKAKUJĄCE WŁASNOŚCI SEKWENCJI T-M 

Ciąg T-M ma strukturę samopodobną, oznacza to tyle, iŜ kaŜda wartość 

występująca w danym ciągu na parzystej pozycji stanowi swoje „przeciwieństwo”, 

a mianowicie: 

Ponadto ciąg ten nazwano „cube free”, gdyŜ nie musi zawierać bezpośrednio 

podciągów 0,0,0, lub 1,1,1 [46]. W danej formule słowo jest zastąpione jakąś 

charakterystyczną sekwencją zaczerpniętą z alfabetu (w danym przypadku są to cyfry 

0 i 1). 

„Cube free” ma zastosowanie do wszystkich słów, np. jeśli W = 

1,0,1,1,0 (gdzie W oznacza dowolne słowo w ciągu T-M), wówczas mamy: 

W, W, W lub równowaŜnie 1, 0, 1, 1, 0, 1 ,0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0. 

Sekwencję T-M moŜemy uogólnić na redukcję wyrazów inną niŜ modulo 2. 

Na przykład dla podstawy modulo 5 uogólnionym ciągiem T-M jest 

0, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 0, 2, 3, 4, 0, 1, 3, 4, 0, 1, 2, 4, 0, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 0, … 

JednakŜe kaŜda z metod konstrukcji opiera się głównie na redukcji wyrazów 

modulo n, poniewaŜ podstawę równą 2 moŜemy zastąpić dowolną inną według 

potrzeb i uznania. 

A.3. GEOMETRYCZNA INTERPRETACJA SEKWENCJI T-M 

Gdy liczbę zero (występującą jako element ciągu T-M) przedstawimy 

w postaci czarnego kwadratu, natomiast liczbę jeden w postaci białego kwadratu, 

wówczas ciąg T-M przyjmie graficzną postać (na podstawie [48]) 

Podstawiając kolejne wyrazy ciągu otrzymamy: 

Dany sposób konstrukcji moŜemy przedłuŜyć do 2D, gdzie w kaŜdym kroku 

dołączane są kolejne części ciągu ustawiane poziomo i pionowo [49]. PoniŜszy 

rysunek przedstawia pierwsze cztery iteracje. 

55

Rys. A1 Konstrukcja płaszczyzn T-M (na podstawie [48]). 

Często płaszczyznę T-M utoŜsamia się z fraktalem [50] (nieskończone częściodcinki 

płaszczyzny mogą być regularnie dzielone i zestawiane razem tworzyć całą 

płaszczyznę). Wbrew pojawiającej się w danej strukturze symetryczności 

i regularności, nie jest ona jednak powtarzalna. 

Geometryczną interpretację ciągu T-M moŜna wprowadzić w wyŜsze 

wymiary, a takŜe tworzyć róŜne ciekawe wzory i grafiki [51] (rysunek 

poniŜej). 

Rys A.2 a) Sześcian T-M; b) „przeplatanka” T-M (na podstawie [48]). 

56

DODATEK B 

B.1. FRAKTALE 

Twórca teorii fraktali Benoit Mandelbrot w swojej podstawowej ksiąŜce Fractal 

Geometry of Nature [50] podaje wiele przykładów nieprzyjaznych reakcji wybitnych 

matematyków, których draŜniły konstrukcje fraktalne. Matematycy znali wiele 

konstrukcji trudnych do opisania, jednak prostych do wyobraŜenia i wytworzenia. 

Tymczasem brakowało spójnej teorii opisującej wszystkie fraktale. B. Mandelbrot, 

twierdził, Ŝe fraktalem jest wszystko, gdyŜ wszystko jest wystrzępione, fragmentami 

do siebie podobne. Trudno jest określić fraktale stwierdzeniem: "fraktalem jest 

wszystko". Jest ono zupełnie nieprecyzyjne. Mandelbrot w swej pracy Fractal 

Geometry of Nature podaje trzy główne własności fraktali: 

1. nie są określone wzorem matematycznym, tylko zaleŜnością rekurencyjną, 

2. maja cechę samo podobieństwa, 

3. są obiektami, których wymiar nie jest liczbą całkowitą. 

Warto równieŜ przytoczyć definicję fraktala, zawartą w pracy prof. Kudrewicza 

Fraktale i chaos [52]: 

"Fraktalem na płaszczyźnie nazywamy 

dowolny niepusty i zwarty podzbiór płaszczyzny X ". 

Słowo fraktal pochodzi od łacińskiego fractus- 'złamany' i oznacza figurę 

geometryczną o złoŜonej strukturze, nie będącą krzywą, powierzchnią, ani bryłą 

w znaczeniu geometrii klasycznej, mającą wymiar ułamkowy. Przy opisywaniu 

konstrukcji fraktali daje się zauwaŜyć, Ŝe są one takie same w kaŜdym swoim kawałku 

i w kaŜdej skali. Tę cechę nazywa się często samopodobieństwem. B.Mandelbrot 

do pełniejszego opisu teoretycznego fraktali musiał odpowiednio zmodyfikować 

topologiczne pojęcie wymiaru, poniewaŜ klasyczne pojęcie wymiaru nie było zbyt 

dokładne. Kilka lat po wydaniu ksiąŜki Mandelbrota powstała prosta i ciekawa teoria 

fraktali stworzona głównie przez K.Falconera i M. Barnsleya [53,54]. Matematykom 

nie wystarczyła znajomość prostych reguł tworzenia poszczególnych fraktali 

i opisywanie ich za pomocą wymiarów, chcieli oni znać własności tych konstrukcji. 

Bardzo szybko okazało się, Ŝe w sposób prosty i pełny moŜna matematycznie opisać 

własności wszystkich znanych fraktali. Był to początek bardzo ciekawej teorii 

geometrycznej. Najistotniejsze w tej teorii było spostrzeŜenie, Ŝe fraktale otrzymuje 

się za pomocą wielokrotnego stosowania przekształceń afinicznych 12 wyjściowego 

12 Niech E1 ,E 2 będą przestrzeniami afinicznymi oraz S(E 1 ),S(E 2 ) ich przestrzeniami stycznymi. 

Odwzorowanie f: E 1 → E 2 nazywamy afinicznym, gdy istnieje taki punkt P 0 naleŜący do E 1 , 

Ŝe przekształcenie fˆ: S(E 1 )→ S(E 2 ) określone wzorem fˆ (P 0 X) = f(P 0 ) f(X)jest 

przekształceniem liniowym. Odzworowanie fˆ nazywamy częścią liniową odwzorowania 

afinicznego f. Innymi słowy mówiąc: Przekształcenie afiniczne płaszczyzny lub przestrzeni 

(pokrewieństwo, powinowactwo) to kaŜde róŜnowartościowe przekształcenie geometryczne, 

które wszystkie proste zawarte w dziedzinie tego odwzorowania przekształca na proste. 

Własności figur geometrycznych, które nie zmieniają się przy przekształceniach afinicznych 

nazywa się niezmiennikami afinicznymi; przykładami niezmienników afinicznych mogą być 

równoległość prostych i skośne połoŜenie prostych. Przekształcenie afiniczne płaszczyzny 

zachowuje: stosunek długości odcinków równoległych, a przekształcenie afiniczne przestrzeni 

57

obiektu. Przytoczymy tu pojęcie iteracji, które jest jednym z podstawowych w teorii 

fraktali [55]; "Iteracja to ponowne, powtórne, kolejne zastosowanie przepisu 

do poprzedniego wyniku, Iterowanie to ... powtarzanie, ponawianie." 

Rys.B.1 Zbiór Mandelbrota (na podstawie [56]) 

Niezwykle trudno jest podsumować cały ogrom wiedzy dotyczącej FRAKTALI. 

Bransley swoją metodą IFS (patrz dodatek B4) umoŜliwił przebadanie kaŜdego 

skrawka fraktala. Zadziwiająca jest prostota wzoru i jego nieograniczone moŜliwości. 

Mandelbrot jak sam twierdzi nie wynalazł nic nowego, a jedynie skojarzył wcześniej 

odkryte prawa w jedną całość. Trudno odmówić sobie refleksji, Ŝe fraktale są piękne. 

Niektórzy twierdzą, Ŝe wszystko jest fraktalem zaczynając od układu komórek 

nerwowych, a kończąc na budowie wszechświata. Trudno zaprzeczyć tym 

twierdzeniom podczas oglądania kolorowych fraktali na ekranie komputera (fraktalna 

grafika komputerowa). Niesamowite jest wraŜenie, Ŝe gdzieś te kształty juŜ 

widzieliśmy lub nie. MoŜe we śnie, moŜe na wycieczce w lesie, moŜe na dywanie 

przywiezionym ze wschodnich krajów, moŜe ... . 

Równie duŜe zasługi w rozwoju matematyki współczesnej jak ludzie wniosły 

maszyny liczące. To komputery dały moŜliwość wykonania wielu tysięcy, milionów 

iteracji w krótkim czasie i dały równieŜ nieznane dotąd matematykom moŜliwości 

graficznego przedstawienia wyników. Z tego powodu teoria fraktali i bliska jej teoria 

chaosu szybko rozwinęły się dzięki komputerom traktowanym jako narzędzie 

do uprawiania matematyki. Wiele faktów odkrywa się stosując najpierw praktycznie 

komputery, a potem poszukuje się dla nich teoretycznego uzasadnienia [58]. 

NaleŜy oczekiwać, Ŝe juŜ niedługo pojawią się kolejne nowe fascynujące 

odkrycia w matematyce, a jak wiadomo matematyka nie Ŝyje tylko dla siebie [56]. 

- stosunek pól figur leŜących na płaszczyznach równoległych; równość wektorów, co pozwala 

na uogólnienie powyŜszej definicji [57]. 

58

B.2. Wymiar fraktalny– co to właściwie jest? 

Wymiar fraktalny (nazywany czasami wymiarem samopodobieństwa lub wymiarem 

pudełkowym [47]) ma wiele definicji. KaŜda z nich opiera się jednak na własności 

samopodobieństwa. Jest to coś w rodzaju klasycznego podobieństwa figur. 

Aby zrozumieć pojęcie wymiaru fraktalnego rozpatrzmy w tym celu dwie figury 

płaskie (osadzone w przestrzeni R 2 ), podobne do siebie w skali k, o polach P 1 i P 2 . 

MoŜemy zapisać, Ŝe: 

P 1 /P 2 = k 2 

(B.21) 

Uczyńmy to samo dla brył (osadzonych w przestrzeni R 3 ), równieŜ podobnych w skali 

k, o objętościach V 1 i V 2 . Czyli 

V 1 /V 2 = k 3 

(B.22) 

Określamy liczbę 

d = log k (P 1 /P 2 ) = log k k 2 = 2 

(B.23) 

Liczbę d moŜemy wyznaczyć znając pola powierzchni figur podobnych. Nazwijmy ją 

wymiarem podobieństwa dwóch figur płaskich, podobnych o polach powierzchni P 1 

i P 2 . Łatwo wykazać, Ŝe dla dowolnych takich figur, wymiar podobieństwa d będzie 

zawsze równy dwa. NaleŜy zwrócić uwagę teraz na fakt, Ŝe figury te są osadzone 

w przestrzeni 2D. Podobne czynności przeprowadźmy dla brył podobnych 

(osadzonych w przestrzeni R 3 ). 

d = log k (V 1 /V 2 ) = log k k 3 = 3 

(B.24) 

Analogicznie liczbę d moŜemy wyznaczyć znając objętości brył podobnych. 

Nazwijmy ją wymiarem podobieństwa dwóch brył podobnych o objętościach V 1 i V 2 . 

Łatwo wykazać, Ŝe dla dowolnych takich brył, wymiar podobieństwa d będzie równy 

3. Znów naleŜy zwrócić uwagę na fakt, iŜ bryły te są osadzone w przestrzeni 3D. 

Pojęcia zdefiniowane powyŜej moŜemy w prosty sposób rozszerzyć na przestrzeń n– 

wymiarową. Daje nam to nowe, specyficzne określenie wymiaru, które jest zgodne 

z intuicją... 

Wymiar samopodobieństwa definiujemy jako logarytm przy podstawie równej skali 

podobieństwa z liczby określającej "ile razy większa jest figura wyjściowa od figury 

podobnej". 

59

Dla przykładu podajmy zbiór Cantora. 

Łatwo zauwaŜyć, Ŝe jest on podobny do swojej "połowy" w skali 3, ale długość tejŜe 

"połówki" jest 2 razy mniejsza od wyjściowego zbioru (na zbiór C składają się dwie 

takie części). Czyli 

d = log 3 2 = 0,631.... 

(B.25) 

będzie wymiarem fraktalnym zbioru Cantora. 

Własności wymiaru samopodobieństwa dla fraktali obrazuje prosta zaleŜność. JeŜeli 

w płaskiej figurze geometrycznej (np. kwadracie) dwukrotnie powiększymy boki − jej 

powierzchnia wzrośnie czterokrotnie. Przeprowadzając takie operacje na fraktalu jego 

powierzchnia zwiększy się mniej niŜ czterokrotnie. Wymiar fraktalny niesie w sobie 

bardzo waŜną informację. Pokazuje w jakim stopniu fraktal wypełnia przestrzeń, 

w której jest osadzony [57]. 

B.3. Systemy funkcji iterowanych ( IFS- iterated 

function system) 

Często w opisie fraktali pojawia się pojęcie systemów funkcji iterowanych (IFS– 

iterated function system [47]). Co to takiego jest ? Warto w tym celu zapoznać się 

z informacjami poniŜej. 

Przekształcenie płaszczyzny F:R 2 -->R 2 nazywamy odwzorowaniem zwęŜającym jeśli 

istnieje taka liczba c, Ŝe 0 < c < 1 oraz 

||F(A) – F(B)|| < = c ||A – B|| 

(B.31) 

dla dowolnych dwóch punktów A, B płaszczyzny R 2 . Przykładani takich przekształceń 

są na przykład ściśnięcia płaszczyzny (jednokładności o współczynnikach mniejszych 

od 1) złoŜone z dowolnymi obrotami i przesunięciami. 

RozwaŜmy rodzinę F 1 , F 2 , ..., F n takich odwzorowań i rozwaŜmy następujące 

przekształcenie: 

G(A) = F 1 (A) + F 2 (A) + ... + F n (A) 

(B.32) 

60

określone dla ograniczonych i domkniętych podzbiorów płaszczyzny R 2 . Pokazać 

moŜna, Ŝe istnieje dokładnie jeden z ograniczonych i domkniętych podzbiorów R 2 

taki, Ŝe F(A) = A. Nazywamy go obiektem fraktalnym generowanym przez rodzinę 

funkcji {F 1 , F 2 , ..., F n }. 

Warto w tym miejscu wspomnieć, Ŝe istnienie i jednoznaczność takiego obiektu 

wynika ze słynnego twierdzenia Banacha o punkcie stałym [46] (jednego 

z największych matematyków polskich). 

Obiekty takie jak np. paprotka Barnsleya powstaje z systemu czterech przekształceń 

afinicznych płaszczyzny. Warto zwrócić uwagę na jedną ciekawą sprawę: otóŜ obiekt 

o tak skomplikowanym kształcie jak - paprotka jest generowana przez układ zaledwie 

czterech funkcji o bardzo prostych wzorach. Do zapisania tych funkcji wystarczą 

zaledwie 24 liczby rzeczywiste. Obserwacja ta nasuwa pewien pomysł: fraktale mogą 

słuŜyć do kompresji skomplikowanych obrazów. I rzeczywiście − pomysł ten jest 

obecnie intensywnie badany [59]. Zostały juŜ opracowane skuteczne metody 

kompresji obrazów oparte o techniki fraktalne. Wykorzystują one pewne twierdzenie 

(tzw. twierdzenie o kolaŜu), które wykorzystuje się do przybliŜania dowolnego zbioru 

za pomocą obiektu fraktalnego [60]. 

Na koniec jeszcze kilka przykładów występowania fraktali – czyli grafika fraktalna 

w przyrodzie i wirtualnej rzeczywistości. 

Rys. B.2 Fraktale w świecie rzeczywistym: a) chmura; b) obraz pochodzący 

z teleskopu Hubble’a; c) dendryty manganowe na róŜance kalcytowej (występowanie: 

Góra Rzepka, Chęciny, Góry Świętokrzyskie);d) piroluzyt w formie dendrytu (na 

podstawie [57]). 

a) b) 

c) d) 

61

Rys. B.3 Fraktale w świecie wirtualnym: a) fraktal w przestrzeni 3D; b) grafika 

fraktalna; c) najbardziej znany obiekt fraktalny, otrzymany za pomocą systemów 

funkcji iterowanych – paprotka Barnsleya. ( na podstawie [57]). 

a) b) 

c) 

62

DODATEK C 

C.1.Wybrane wstępne wyniki obliczeń numerycznych 

dla niebinarnych supersieci prawoskrętnych 

Rys. C.1 Mapy transmisji T(λ̃, θ) dla niebinarnej ST-M(1, 1): a) trzy warstwy o 

parametrach n A = 1,43, n B = 1,86, n C = 2,3, d A = d B = d C =300; b) cztery warstwy o 

parametrach n A = 1,43, n B = 1,72, n C = 2,01, n D = 2,3, d A = d B = d C = d D =300; c) pięć 

warstw o parametrach n A = 1,43, n B = 1,65, n C = 1,86, n D = 2,08, n E = 2,3, d A = d B = d C 

= d D = d E =300; Parametr L = 4 oraz n in = n out = n A w kaŜdym przypadku. 

a) 

polaryzacja s 

polaryzacja p 

b) 

c) 

63

C.2.Wybrane wstępne wyniki obliczeń numerycznych 

dla niebinarnych supersieci lewoskrętnych 

Rys. C.2 Mapy transmisji T(λ̃, θ) dla niebinarnej ST-M(1, 1) dla trzech warstw o 

parametrach: a) n A = 1,43, n B = -1,86, n C = –2,3; b) n A = 1,43, n B = 1,86, n C = –2,3; 

Parametr L = 4, d A = d B = d C =300 oraz n in = n out = n A w kaŜdym przypadku. 

polaryzacja s 

polaryzacja p 

a) 

b) 

64

Rys. C.3 Mapy transmisji T(λ̃, θ) dla niebinarnej ST-M(1, 1) z czterema warstwami o 

parametrach: a) n A = 1,43, n B = –1,72, n C = –2,01, n D = –2,3; b) n A = 1,43, n B = 1,72, 

n C = –2,01, n D = –2,3; c) n A = 1,43, n B = 1,72, n C = 2,01, n D = –2,3; Parametr L = 4, 

d A = d B = d C =300 oraz n in = n out = n A w kaŜdym przypadku. 

Polaryzacja s 

a) 

polaryzacja p 

b) 

c) 

65

Rys. C.4 Mapy transmisji T(λ̃, θ) dla niebinarnej ST-M(1, 1) dla pięciu warstw o 

parametrach a) n A = 1,43, n B = 1,65, n C = –1,86, n D = –2,08, n E = –2,3; b) n A = 1,43, 

n B = 1,65, n C = 1,86, n D = –2,08, n E = –2,3; c) n A = 1,43, n B = –1,65, n C = –1,86, 

n D = –2,08, n E = –2,3; Parametr L = 4, d A = d B = d C = d D = d E =300 oraz n in = n out = n A 

w kaŜdym przypadku. 

Polaryzacja s 

a) 

polaryzacja p 

b) 

c) 

66

DODATEK D 

Supersieci THUE-MORSE’A — ich niezwykłe odkryte 

właściwości 

Dodatek ten ma na celu zaakcentowanie dotychczasowych osiągnięć 

w dziedzinie badań dotyczących optycznych supersieci aperiodycznych 

skonstruowanych, według deterministycznej reguły podstawiania, w strukturę 

odpowiadającą łańcuchowi Thue-Morse’a. JuŜ od przeszło dwudziestu lat bada się nie 

tylko własności transmisyjne tego typu struktur, lecz takŜe wiele innych i nowych 

właściwości. 

W materiałach nieuporządkowanych fale świetlne doznają wielokrotnych 

rozpraszeń i podlegają efektom interferencyjnym [61]. Wielokrotne rozpraszanie 

światła w nieuporządkowanych ośrodkach dielektrycznych ma wiele podobieństw 

do propagacji elektronów w półprzewodnikach [62]. 

Z drugiej strony periodyczne struktury dielektryczne pod względem 

właściwości propagowania się w nich fal elektromagnetycznych zachowują się jak 

kryształy i wykazują zjawisko konstruktywnej interferencji w dobrze określonych 

kierunkach rozchodzenia się. Jeśli w takich układach współczynnik załamania zmienia 

się w przestrzeni i róŜnica (tzw. kontrast) jego wartości jest dostatecznie duŜy, 

to wykazują one fotoniczną przerwę wzbronioną, czyli przedziały częstotliwości, przy 

których światło nie moŜe propagować się. 

Kwazikryształy to nieperiodyczne struktury generowane za pomocą prostych 

deterministycznych reguł [63]. Wytworzone z materiałów dielektrycznych mają 

interesujące właściwości optyczne. W szczególności matematyczne i fizyczne 

właściwości jednowymiarowych stuktur tworzących samopodobną sekwencją, 

generowane przez regułę podstawiania typu T-M ( A→AB, B→BA ) były ostatnio 

rozpatrywane w literaturze [64]. Ciąg T-M jest kwazi–regularną strukturą posiadającą 

własność Pisota [65]. 

Oznacza to, Ŝe największa wartość własna macierzy definiującej regułę 

podstawiania jest rzeczywista, dodatnia i większa od jedności, co ma miejsce 

wówczas, gdy inne wartości własne są mniejsze od jedności; dla ciąg T-M wartości 

własne wynoszą λ 1 = 2 i, λ 2 = 0. Widmo Fouriera sekwencji T-M ma charakter czysto 

osobliwego widma, co zostało nazwane jako kryterium Bombieriego–Taylora dla 

struktury Pisot [66]. Dodajmy, za pracą [2], Ŝe widmo transformat Fouriera P(q) jest 

sumą trzech składników, którymi są: 1) Składnik (część) czysto punktowa 

odpowiadająca refleksom Bragga (złoŜona z δ pików Diraca); 2) Składnik (część) 

ciągła widma, która jest funkcją róŜniczkowalną; 3) Składnik (część) osobliwa, która 

ma charakter fraktala i nie jest ani zbiorem δ pików Diraca ani nie jest funkcją 

róŜniczkowalną. Część osobliwa widma Fouriera charakteryzuje się szerokimi pikami 

Bragga, które nie są izolowane i przy zwiększeniu rozdzielczości rozpadają się na 

nowe piki, które przy następnym zwiększaniu rozdzielczości ponownie rozpadają się 

na nowe piki itd. Tym samym osobliwe widmo Fouriera ma wewnętrzną bardzo 

bogatą substrukturę, której szczegóły stają się widoczne przy zwiększaniu 

rozdzielczości. Wykazują więc cechy samopodobieństwa, o których mówi B. 

Mandelbrot definiując pojęcie fraktala. Z tego powodu jednowymiarowa sieć T-M 

nie jest kwaziperiodyczną lecz aperiodyczną. 

Z elektronicznego punktu widzenia bogactwo obserwowanych właściwości 

dotyczących transmisji sygnałów elektrycznych w heterostrukturach T-M jest ściśle 

związane z tym, Ŝe widmo energetyczne tych układów składa się z części ciągłej 

i osobliwej. Pociąga to za sobą współistnienie elektronowych stanów 

zdelokalizowanych (odpowiadających części ciągłej widma) i krytycznych 

67

(związanych z osobliwym składnikiem widma). Jest to przyczyną szczególnego 

charakteru wyznaczanych współczynnika transmisji elektronówj 

w wielowarstwowych uładach typu T-M, gdzie obecne są dwa rodzaje przerw 

energetycznych. Jedne odpowiadają tzw. normalnym, tj. Braggowskim typom przerw 

występujących w strukturach periodycznych. Drugie z nich są skojarzone 

z samopodobnymi charakterem widma energetycznego, które przy wzroście 

rozdzielczości w skali energii, rozpada się na węŜsze podpasma energetyczne, które 

przy kolejnym zwiększeniu rozdzielczości energii rozpadaja się na jeszcze mniejsze 

itd. [67]. W tym miejscu warto bliŜej i bardziej szczegółowo przedstawić opisane 

wyŜej zjawisko pojawiania się coraz to większej liczby podpasm w miarę zwiększania 

rozdzielczości w skali energetycznej. ZałóŜmy, Ŝe mamy przyrząd, za pomocą którego 

moŜemy oddzielić od siebie poziomy elektronowe połoŜone nie bliŜej niŜ ∆ 1 

(w przyjętych jednostkach energii). Dodajmy, Ŝe ∆ 1 jest miernikiem stopnia 

rozdzielczości zastosowanego przyrządu. Pozwala to nam na przedziale energii znaleźć powiedzmy N 1 podpasm energetycznych. ZauwaŜmy, Ŝe dwa poziomy 

energetyczne zaliczamy do jednego i tego samego energii, o ile ich róŜnica energii jest 

mniejsza od ∆ 1. ZałóŜmy teraz, Ŝe mamy do swojej dyspozycji przyrząd o większej 

zdolności rozdzielczej ∆ 2 < ∆ 1 poziomów energetycznych. Zastosujmy ten przyrząd do 

analizy jednego z N 1 podpasm energetycznych naleŜących do . Ze względu na 

fraktalny (samopodobny) charakter widma energetycznego, przy dostatecznie małej 

wartości ∆ 2 okaŜe się, Ŝe podpasmo to składa się N 2 podpasm. ZałóŜmy, Ŝe mamy do 

swojej dyspozycji przyrząd o jeszcze większej zdolności rozdzielczej ∆ 3 < ∆ 2 

poziomów energetycznych. Zastosujmy ten przyrząd itd. 

Optyczne właściwości 1D dielektrycznych struktur typu T-M były 

rozpatrywane w wielu pracach [68]. Zbadano efekty związane z modulacją 

współczynnika załamania oraz optycznej grubości warstw [68]. Teoria propagacji 

światła w dielektrycznych supersieciach T-M była przedmiotem wielu prac [24, 

69,70]. 

Efekty absorpcji światła w supersieciach aperiodycznych T-M wytworzonych 

na bazie PbS/CdS zbadano w [71], gdzie zaobserwowano po raz pierwszy istnienie 

samopodobnych elementów w widmie energetycznym takich układów. W pracy [72] 

zmierzono rezonansową transmisję światła w sieci T-M zbudowanej na bazie 

SiO 2 /TiO 2 . 

Właściwości struktury pasmowej i wielokierunkowego odbicia (odbicia przy 

dowolnym kącie padania)wielowarstwowych struktur T-M zbudowanych z warstw Si 

oraz /SiO 2 , zbadano w publikacji [73]. 

Autorzy [74] wytworzyli silnie domieszkowane krzemem wielowarstwową 

strukturę T-M złoŜoną z SiN x /SiO2 w celu zbadania zjawiska generowania i transmisji 

światła. 

W pracy [75], wyŜej wspomniane cechy dotyczące dwóch typów przerw 

energetycznych zostały doświadczalnie potwierdzone. Autorzy [75] wyznaczyli 

strukturę fotoniczną próbek T-M wytworzonych z Al 0,6 Ga 0,4 /As/GaAs i pokazali 

istnienie dwóch przerw energetycznych: fraktalnych i tradycyjnych (typu Bragga). 

W pracy [76] moŜna znaleźć dodatkowe informacje na temat właściwości 

m.in. jednowymiarowych wielowarstwowych struktur dielektrycznych typu T-M. 

68

D.1 Światło spolaryzowane w wielowarstwowych 

ośrodkach dielektrycznych a technika dynamicznych 

odwzorowań śladów i antyśladów macierzy przejścia 

W tej pracy dyplomowej właściwości transmisji światła spolaryzowanego 

w wielowarstwowych ośrodkach dielektrycznych były prowadzone przy uŜyciu 

formalizmu macierzowego – dynamicznych odwzorowań śladów i antyśladów 

macierzy przejścia [24]. 

To samo podejście zaproponowano w pracy [76], gdzie zbadano 

właściwości elektronicznego widma energii trój-składnikowych uogólnionych 

nieperiodycznych sieci T-M oraz Fibonacciego. Z badań tych wynika, iŜ widma 

energii tego typu struktur (podobnie jak ich dwu- składnikowych odpowiedników), 

mają charakter funkcji Cantora (rysunek D.1. poniŜej). 

Rys. D.1 Struktura pasmowa trój- składnikowej sieci T-M dla róŜnych wartości I: 

a) m = 2, n = p =1 ; b) m = p = 1, n = 2 ; c) m = n= 1, p = 2; gdzie m, n, p są 

odpowiednio numerami pokolenia warstw A, B, C tworzących daną strukturę (na 


Brak translacyjnej niezmienniczości danych struktur uniemoŜliwia stosowanie do nich 

twierdzenia Blocha. Z drugiej jednak strony struktury takie wykazują niemalŜe 

perfekcyjne uporządkowanie (wynika to z zastosowanej przy ich tworzeniu zasady 

konstrukcji oraz wykazywanego samopodobieństwa), co wiąŜe się z moŜliwością 

wykorzystania metody macierzy przejścia, bazującej na samopodobieństwie sieci, 

przez co pozwala nam na obliczenie ich fizycznych właściwości. Metoda ta stała się 

jedną z waŜniejszych technik wykorzystywaną przez wielu autorów prac naukowych 

[77]. 

69

Badaną w [76] trój-składnikową sieć T-M zbudowano z trzech typów atomów 

A, B, C ułoŜonych w strukturę T-M według następującej reguły: 

A l+1 = A l B l , B l+1 = B l C l , C l+1 = C l A l (D.1) 

Analizę struktury pasmowej przeprowadzono w oparciu o jednowymiarowe 

równanie Schrödingera: 

ψ n+1 + ψ n-1 + V n ψ n = E ψ n , 

(D.2) 

gdzie V n oraz ψ n oznaczają odpowiednio wartość energii i amplitudę 

prawdopodobieństwa dla n-tego węzła. Ponadto V n przybiera wartości V A , V B , V C 

odpowiadające trzem składnikom nieperiodycznej sekwencji T-M. 

W formie macierzowej powyŜsze równanie przybiera postać: 

gdzie M(n) jest macierzą przejścia, a ψ n są funkcjami falowymi 

(D.3) 

(D.4) 

ponadto M (N) = M(N)M(N-1)…..M(1). 

D.2 Ciąg THUE-MORSE’A ─ zastosowanie 

matematyki w fizyce a moŜe coś więcej? 

‘ Which nonperiodic sequences are more „disordered”?’– P. Tong 

Temat ten nieco abstrahujący od zagadnienia ściśle związanego z transmisją 

światła w sieciach aperiodycznych, przedstawia niezwykle ciekawą teorię odnośnie 

stopnia uporządkowania struktur aperiodycznych. Czy odpowiedź na tak postawione 

pytanie moŜe być zaskakująca? 

Istnieją trzy moŜliwe sposoby odpowiedzi na powyŜsze pytanie. Pierwszy 

opiera się głównie na odpowiednio zdefiniowanych miarach stopnia 

nieuporządkowania lub uporządkowania takich układów. Drugi sposób to analiza 

właściwości dyfrakcji promieniowania X (promieniowania rentgenowskiego) [78] na 

tych strukturach, co zostało obszernie scharakteryzowano na wstępie Dodatku D za 

pracą [79]. Trzeci to charakteryzacja za pomocą właściwości elektronicznych tej 

struktury pasmowej i 1D modeli sieci nieperiodycznych [80]. 

70

Ze względu na to, iŜ powyŜsze podejścia skupiają uwagę na róŜnych 

aspektach matematycznych i fizycznych układów wielowarstwowych, więc tym 

samym dają inne odpowiedzi na postawione wyŜej pytanie. Z kolei moŜliwość 

eksperymentalnego wytworzenia trójskładnikowej supersieci oraz badanie stopnia jej 

nieuporządkowania, znacząco stymuluje zrozumienie powyŜszego zagadnienia. 

W pracy [81] zaproponowano przeprowadzenie analizy stopnia 

nieuporządkowania tego typu struktur za pomocą entropii Shannona [80] Tego typu 

badania przeprowadzono w [82] dla trójskładnikowych łańcuchów Fibonacciego oraz 

Thue-Morse’a i zastosowano entropie k–tego rzędu zdefiniowane następująco: 

H k = ∑ P(x 1 , …. x k ) H(x| x 1 , …, x k ), 

(D.5) 

gdzie H(x| x 1 , …, x k ) oznacza entropię warunkową zdefiniowaną wzorem: 

H(x| x 1 , …, x k ) = − P(A| x 1 , …, x k ) log 3 P(A| x 1 , …, x k ) 

– P(B| x 1 , …, x k ) log 3 P(B| x 1 , …, x k ) 

– P(C| x 1 , …, x k ) log 3 P(C| x 1 , …, x k ) (D.6) 

Szczegółowe wyniki obliczeń zawiera poniŜsza tabela. 

Tabela D.1 Entropia pierwszego i drugiego rzędu dla róŜnych, trójskładnikowych 1D 

sekwencji (na podstawie [82]). 

Wyniki zamieszczone w tabeli D.1 pozwalają sformułować następujące 

wnioski jakościowe: 

• Trójskładnikowa sekwencja Fibonacciego (z m = n = 1) 

charakteryzuje się większym stopniem uporządkowania niŜ jej 

uogólniony trójskładnikowy odpowiednik oraz trójskładnikowa 

sekwencja Thue-Morse’a. Takie same wyniki uzyskuje się dla 

dwuskładnikowych ciągów [81]. Sekwencja T-M wykazuje strukturę 

bardziej losową (mniej uporządkowaną) niŜ sekwencje Fibonacciego. 

Dzieje się tak ze względu na występowanie niezerowych 

prawdopodobieństw w wyraŜeniach dla entropii pierwszego 

71

i drugiego rzędu. Prowadzi to do większego nieuporządkowania 

w porównaniu z pozostałymi. Jest to niewątpliwie zasadnicza róŜnica 

w stosunku do dwuskładnikowych struktur T-M, które wykazują 

większy stopień nieuporządkowania, gdy n > 1 (nazywa się je 

wówczas niekwaziperiodycznymi), a mniejszy, gdy n = 1 

(nazywanych kwaziperiodycznymi). 

• Podobnie w przypadku nieperiodycznych dwuskładnikowych 

sekwencji o parametrach m = 1, n = 2, wykazujących większe 

nieuporządkowanie niŜ inne struktury Fibonacciego (po porównaniu 

wartości entropii pierwszego rządu H 1 , gdzie sekwencje o n = 1 

są bardziej uporządkowane niŜ dla n > 1). Sekwencje o parametrze 

n = 2 posiadają wysokie wartości H 1 , ale niskie H 2 , co prowadzi 

do spostrzeŜenia, iŜ entropia pierwszego rzędu wskazuje dokładnie 

na rodzaj uporządkowania w rozpatrywanej sekwencji. 

D.3 O wymiarze fraktalnym oraz analizie 

multifraktalnej słów kilka 

Kiedy w początku lat 80-tych XX wieku wprowadzono pojęcie fraktala (patrz 

dodatek B1), struktury te zaczęto charakteryzować często przy uŜyciu róŜnych 

wielkość, nazywając je wymiarami fraktalnym [83]. Zastosowanie analizy mono- lub 

mulifraktalnej okazało się być waŜnym narzędziem badań (w wielu przypadkach 

imponująco zgodnym z danymi eksperymentalnymi) rzeczywistych układów [84]. 

Prace teoretyczne temu poświęcone wprowadziły do fizyki fazy skondensowanej 

takie nowe pojęcia fizyczne jak stany krytyczne, energetyczne widma Cantora, 

widma osobliwe, prawa skalowania, wymiary fraktalne, widma multifraktalne [34,77, 

85]. 

Wspólną cechą układów tego typu jest fraktalność lub multifraktalność ich 

widm energii (dotyczy to struktury pasmowej [86], widma drgań atomów [85], 

spektrum wzbudzeń spinowych [86], fotonicznej struktury pasmowej [24,85], które 

mają charakter funkcji Cantora. 

Obiekty fraktalne lub multifraktalne charakteryzuje się uŜywając 

uogólnionych wymiarów D q oraz widm multifraktalnych. Formalizm ten jest 

szczegółowo przedstawiony w [85]. 

W pracy [87] za pomocą algorytmu zaproponowanego w [88] zbadano 

fraktalne i multifraktalne właściwości widma transmisyjnych kilku rodzajów 

aperiodycznych struktur wielowarstwowych, w tym takŜe układów T-M. 

Obiekty fraktalne lub multifraktalne moŜna zidentyfikować w wielu 

przypadkach fizycznych obejmującym zarówno problemy „aggregation” 

jak i zachowania dynamicznego systemu chaosu [89]. Zbiory multifraktalne 

charakteryzuje się poprzez wprowadzenie uogólnionego wymiaru D q i połączeniu 

go z pojedynczym widmem f(α). W pełni opisane są albo za pomocą nieskończonej 

liczby uogólnionych wymiarów G q , albo pojedynczych widm f(α) [90]. Krzywą D q 

versus q definiuje wyraŜenie: 

(D.7) 

72

gdzie dla D q=1 = D 1 dane wyraŜenie przybiera postać: 

(D.8) 

z p i = ∫ box dµ, µ – zachodzące prawdopodobieństwo pomiaru zbioru multifraktalnego, 

z kolei i i = 1, 2, …, N’ ( N’ oznacza numer „pudełka”). Tak więc i jest indeksem 

„pudełka” pokrywającym zbiór, o liniowym rozmiarze ε = 1/N’. 

Wykładnik eksponenty α definiuje formuła 

(D.9) 

gdzie p(x) jest całkowitą miarą „pudełka” dµ ze środkiem w punkcie x. W takim 

przypadku funkcję f(α) definiuje wzór: 

(D.10) 

dla ε→ 0. W równaniu tym N’ (α, ε) określa numer „pudełka” ε ze współczynnikiem 

α zawartym w przedziale [α, α + ∆α]. 

Istnieje wiele numerycznych procedur umoŜliwiających obliczenie funkcji 

f(α). Jeden z najefektywniejszych algorytmów wprowadzili Chabra i Jensen [88]. 

UmoŜliwia on wyznaczenie funkcji f(α) z poprawną numerycznie precyzją. 

D.3.1 Analiza multifraktalna a widma transmisyjne 

układów wielowarstwowych 

M.S. Vasconcelos, E.L. Albuquerque oraz E. Nogueira Jr. [87] za pomoca 

algorytmu Chabra i Jensena zbadali widma transmisyjne kilku rodzai 

kwaziperiodycznych sekwencji, w tym takŜe sekwencji T-M, w bezpośredni sposób 

powiązanej z tematem poniŜszej pracy. PoniŜej przytaczamy fragment streszczenia 

pracy [87] dotyczący tego zagadnienia. 

Rozpatrzmy wielowarstwową strukturę dielektryczna i umieśćmy 

ją w układzie współrzędnych w ten sposób, aby oś Z była równoległa do kierunku 

normalnego płaszczyzn warstw. System wielowarstwowy zawarty jest zatem 

w obszarze 0

Przezroczysta warstwa V, która otacza wielowarstwową strukturę, posiada indeks 

załamania równy n V . 

Aby wyznaczyć współczynnik transmisji światła (lub inaczej mówiąc 

transmitancji), propagującego się przez wytworzony system multiwarstwowy, uŜywa 

się macierzy przejścia. PowyŜszy przypadek rozpatrywano dla polaryzacji typu „s” 

oraz częstości światła ω. Współczynniki transmitancji oraz reflektancji dane są przez 

zaleŜności: 

oraz 

(D.11). 

gdzie M ij ( i, j = 1, 2) oznaczają elementy macierzy przejścia M , która zespala 

amplitudy fal zarówno w obszarze z < 0 jak i z > L. Szczegóły dotyczące elementów 

występujących w macierzy przejścia M moŜna odnaleźć w wielu pozycjach 

naukowych [88]. 

Wyniki jakie uzyskano przedstawiają wykresy poniŜej: 

D.1 Wykres prezentujący: a) zaleŜność transmitancji T od częstości ω/ω 0 

kwaziperiodycznej struktury Thue-Morse’a; b) funkcję f(α) widma transmisji dla 

trzech typów kwaziperiodycznych sekwencji: Thue-Morse’a, Fibonaccie’ego oraz z 

podwójnym okresem (na podstawie [87]). 

a) b) 

74

DODATEK E 

Metamateriały, wybrane zastosowania i metody 

otrzymywania 

Tym co czyni je tak uŜytecznymi, jest moŜliwość współpracy 

z szerokim spektrum długości fali optycznej 

przy minimalnej stracie energii – 

prof. Xiang Zhang, Uniwersytet Kalifornijski w Berkeley 

Dodatek ten ma na celu przedstawić podstawowe informacje odnoszące się do 

terminów: materiał lewoskrętny, metamateriał. Pojęć tych jako pierwszy uŜył Victor 

Veselago w 1967 r. i miał on odnosić się do materiały charakteryzujących się 

ujemnym współczynnikiem załamania światła. Ciągły wzrost liczby publikacji 

(głównie autorstwa Johna Pendry’ego), dotyczących tego tematu, spowodował nawet 

wprowadzenie w kwietniu 2003 roku specjalnego wydania ‘Optical Express’. 

PodwyŜszone zainteresowanie tym problemem pod koniec lat 90-tych XX 

w. zainicjowało otrzymanie za pomocą zaawansowanych technologii kompozytowej 

warstwy wykazującej ujemny współczynnik załamania oraz przeprowadzeniem na niej 

pierwszych eksperymentalnych badań. W dodatku tym postaramy się, streszczając 

kilka wybranych prac naukowych, odpowiedzieć na pytanie czym są metamateriały 

i dlaczego zagadnienia dotyczące metamateriałów i ujemnego załamania rodzą szereg 

zaciętych sporów i dyskusji. Przedstawione zostaną takŜe najnowsze odkrycia z tej 

dziedziny fizyki, w tym między innymi konstrukcja 2D i 3D materiałów 

lewoskrętnych oraz ‘peleryny niewidki’. 

E.1 Ujemny współczynnik załamania warstw (za pracą [93]) 

Znak współczynnika załamania warstwy zaleŜy od fazy i prędkości grupowej 

fali, które są równoległe lub antyrównoległe względem siebie w danej warstwie. 

W pierwszym przypadku prędkość grupową jest traktowana jako dodatnia (zwroty 

prędkości grupowej i fazowej są zgodne), w drugim natomiast jako ujemna (zwroty 

prędkości grupowej i fazowej są przeciwne). W 1945 roku L. I. Mandel’shtam 

zaznaczył, Ŝe warstwy przestrzennie periodyczne (np. sieci krystaliczne) stanowią 

przykład warstwy, w której współczynnik załamania moŜe być ujemny wewnątrz 

pewnego obszaru częstotliwości. Kompozytowe, przestrzennie periodyczne warstwy 

lewoskrętne, które wytworzono pod koniec lat 90-tych [91,92], spowodowały nagły 

wzrost zainteresowania danym problemem. Odznaczają się one ujemnym 

współczynnikiem załamania dla zakresu mikrofalowego (częstotliwości rzędu 10 

GHz). 

Periodyczne układy falowodowe były dobrze znane w elektronice juŜ od 

dłuŜszego czasu. Fale z ujemnym współczynnikiem załamania są więc dobrze znane 

jako „fale wsteczne” lub teŜ jako „fale o ujemnej dyspersji”. Istnieje zatem zasadnicza 

róŜnica między ‘starymi’ falowodowymi układami, a nowymi, nazywanymi 

materiałami lewoskrętnymi. Podstawowa róŜnica polega na tym, Ŝe falowody są 

układami jednowymiarowymi, a materiały lewoskrętne stanowią struktury 

wielowymiarowe (dwu– lub trójwymiarowe). Odbicie fali w obszarze dwóch warstw 

jest efektem wielowymiarowym i jest nieobecne w strukturach falowodowych. 

75

Badanie wymiarowości struktur periodycznych rozpoczęło się juŜ dawno temu 

[92], ale ich autorzy [91, 92, 93] nie cytują Ŝadnych wcześniejszych prac o tej 

tematyce. Jest to moŜliwe, gdyŜ byli oni nieświadomi wielu artykułów wydawanych 

w Związku Radzieckim oraz nie wiedzieli w jaki sposób podejść do całkiem nowego 

problemu. 

E.2 Propagacja fali i jej załamanie w metamateriałach 

Rozpatrzmy płaską falę elektromagnetyczną (FEM) propagującą się 

w warstwie ze skalarną przenikalnością magnetyczną µ oraz elektryczną ε. Jeśli ε>0, 

µ>0, to wtedy pole elektryczne E, magnetyczne H oraz wektor falowy k tworzą 

prawoskrętną formę tripletu wektorowego, jeśli natomiast ε

Fakt występowania i załamania fal po tej samej stronie normalnej do powierzchni 

umoŜliwia wytworzenie z materiałów lewoskrętnych dość niezwykłych elementów 

optycznych. Przykładowo płytki płaskorównoległe, wytworzone z materiałów 

lewoskrętnych, zachowują się tak jak soczewki skupiające (rysunek E.22). 

Rys. E.22 Płytka płaskorównoległa wytworzona z materiału lewoskrętnego, 

zachowuje się jak soczewka skupiająca (na podstawie [93]). 

Soczewki takie mają niezwykłą cechę, a mianowicie stanowią bezogniskowe 

płaszczyzny. Teoretycznie tworzą trójwymiarowy obraz obiektu, analogicznie 

jak ma to miejsce w przypadku luster. JednakŜe w porównaniu z lustrami, pozwalają 

na wytworzenie rzeczywistego obrazu obiektu, i ta właściwości otwiera nowe 

moŜliwości trójwymiarowej fotografii. Oczywiście, takie płaskie soczewki mają jedną 

główna wadę: tworzą obrazy obiektów, które muszą być umiejscowione dostatecznie 

blisko powierzchni soczewki. Przykładowo dla obiektów umieszczonych blisko 

soczewki wykonanej z idealnego materiału lewoskrętnego (ε = µ = −1), tylko 

te punkty, których odległość od powierzchni soczewki nie przekroczy grubości całej 

soczewki, posiadają rzeczywiste obrazy (rysunek poniŜej). 

Rys.E.23 Trójwymiarowy obraz jaki wytwarza płytka płaskorównoległa zbudowana 

z materiału lewoskrętnego (na podstawie [93]). 

Nie jest tym samym przypadkowa moŜliwość uŜycia terminu „idealna warstwa 

lewoskrętna” dla materiałów o ε = µ = − 1. W istocie takie warstwy mają pewne 

dodatkowe, interesujące własności. Po pierwsze idealny materiał lewoskrętny posiada 

zerowy współczynnik odbicia: czyli całkowita energia fali rozchodzącej się w takim 

ośrodku jest przejmowana przez energię fali załamanej. Po drugie równoległe 

płaszczyzny płyt idealnego materiału lewoskrętnego tworzą idealne obrazy, gdyŜ 

pojawiająca się między obiektem a obrazem róznica faz wynosi zero. Fakt ten staje się 

bardziej zrozumiały zwaŜywszy na to, iŜ dla propagującej się w takiej warstwie wiązki 

światła z obiektu do obrazu, część drogi pokonywana jest w warstwie głównej, 

natomiast pozostała część w idealnej warstwie lewoskrętnej. PoniewaŜ prędkości 

fazowe w obu warstwach mają te same wartości, lecz są przeciwne skierowane, 

opóźnienie fazy wzdłuŜ dwóch trajektorii ‘dokładnie’ kompensują się. 

77

Na tym nie koniec wszystkich, intrygujących własności idealnych materiałów 

lewoskrętnych. W 2000 roku Pendry opublikował pracę pt. „ Negative refraction makes 

a perfect p 

lens” [94]. Słowo ‘idealna soczewka’ oznacza tutaj soczewkę, która 

przekracza dyfrakcyjną zdolność rozdzielczą wynikającą z falowej natury światła. 

E.3 Optyczna niewidzialność – czy to jest moŜliwe? 

Najnowsze osiągnięcia w tej dziedzinie przedstawiła niedawno grupa 

naukowa z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Berkeley. Stworzyli oni trójwymiarowe 

materiały, które mają ujemny współczynnik załamania dla światła widzialnego 

i bliskiej podczerwieni. Oznacza to, Ŝe materiał ugina światło w odwrotnym 

do naturalnego kierunku 13 . 

JuŜ wcześniej inne zespoły badawcze stworzyły metamateriały zapewniające 

niewidzialność, jednak dopiero odkrycie z Berkeley pozwala na zastosowanie jej 

w praktyce. Dotychczas bowiem metamateriały albo były dwuwymiarowymi 

warstwami atomów, których właściwościami nie mogliśmy manipulować, albo teŜ, 

w przypadku materiałów 3D, wykazywały one ujemny współczynnik odbicia tylko 

w przypadku niewidzialnego dla oka promieniowania mikrofalowego. 

Ludzkie oko widzi światło o długości fali od 400 do 700 nanometrów. 

Tymczasem struktura metamateriału, by nadać mu ujemny współczynnik załamania, 

musi być mniejsza niŜ długość fali. Nic więc dziwnego, Ŝe łatwiej było uzyskać 

metamateriały uginające fale o długości od 1 milimetra do 30 centymetrów. 

Grupa badawcza prof. Xiang Zhanga z Uniwersytetu Kalifornijskiego w 

Berkeley stworzyła nowy metamateriał łącząc srebro z fluorkiem magnezu 14 . 

Następnie ponacinali go tak, aby powstała matryca składająca się z miniaturowych 

igiełek. ZauwaŜono zjawisko ujemnej refrakcji przy falach o długości 1500 nm (bliska 

podczerwień). 

Warstwy przewodzącego srebra i nieprzewodzącego fluorku magnezu działają 

jak obwód. Naprzemienne ułoŜenie obok siebie takich obwodów powoduje, 

Ŝe odpowiadają one na docierające do nich światło w kierunku przeciwnym do jego 

pola magnetycznego. Ponadto metamateriał absorbuje minimalna ilość światła. Innymi 

13 Odkrycie pozwoli na stworzenie lepszych technologii optycznych, układów scalonych dla wysoko 

wydajnych komputerów oraz na uczynienie przedmiotów niewidzialnymi dla ludzkiego oka. Jako 

potencjalne zastosowania wymienia się m.in.: wysokiej rozdzielczości mikroskopię optyczną, moŜliwość 

budowy wydajnych, oszczędnych, mniejszych anten i innych urządzeń telekomunikacyjnych, litografię 

bardzo wysokiej rozdzielczości, która moŜe przynieść dalszy rozwój elektroniki (jeszcze mniejsze układy 

scalone), moŜliwość integracji układów elektronicznych z optycznymi, co zwiększy szybkość 

przetwarzania danych w komputerach, moŜliwość zwiększenia gęstości upakowania danych na nośnikach 

optycznych, budowę sensorów nowej generacji, konstrukcję optycznych manipulatorów nanocząstek. 

Niedługo juŜ w urządzeniach codziennego uŜytku: telefonach komórkowych, komputerach, 

samochodach, odtwarzaczach multimedialnych będzie moŜna znaleźć podzespoły wykonane z uŜyciem 

tej technologii. Najnowsze pomysły to przezroczyste metale oraz ukrywanie przedmiotów przed 

wzrokiem ludzkim [5]. 

14 W laboratorium prof. Xiang Zhanga z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Berkeley powstały materiały, 

które mają ujemny współczynnik załamania. Okazuje się, Ŝe moŜna z nich utkać pelerynę niewidkę, która 

będzie tak załamywała światło, Ŝe promienie nie wnikną do jej wnętrza, lecz opłyną ją gładko, jak woda 

kamień w potoku. Ukryty pod peleryną obiekt nie odbije światła ani nie zostawi za sobą cienia - stanie się 

więc niewidoczny dla wzroku. Sekret tkwi w strukturze materiałów "uszytych" w Kalifornii. 

Przypominają one mikroskopowe Ŝaluzje, są złoŜone z periodycznej sieci jednakowych elementów − 

drucików i rezonatorów, które są tysiąc razy cieńsze niŜ ludzki włos. W pracy [95a] opisano jeden z nich 

− sieć o oczkach rozmiaru 860 nanometrów (tj. miliardowych części metra) zbudowaną z wielu cienkich 

warstw srebra przetykanych warstwami fluorku magnezu. Inny z „cudownych” materiałów, opisuje ten 

sam kalifornijski zespół w [95], zbudowany ze srebrnych drucików o średnicy 60 nm i w odstępach 110 

nm, zatopionych w aluminium. 

78

słowy, materiał składa się z silnie reagujących na światło nanoobwodów, które 

jednocześnie nieomalŜe go nie pochłaniają [95, 95a]. 

Inny z metamateriałów został stworzony ze srebrnych nanowłókien, które 

wzrastały na porowatym podłoŜu z tlenku glinu. Na nim zaobserwowano odwrotne 

odbicie dla fali długości około 660 nm. Po raz pierwszy zauwaŜono go dla światła 

widzialnego. Najwięcej korzyści dają metamateriały z ujemnym współczynnikiem 

refrakcji (jak wspomniane na wstępie połączenie srebra z fluorkiem magnezu).To 

mogą znaleźć zastosowanie w konstrukcji anten, czujników optycznych i peleryn 

niewidek. Na zdjęciu poniŜej przedstawiono sieć o oczkach rozmiaru 860 nanometrów 

zbudowaną z wielu warstw srebra przetykanych warstwami fluorku magnezu. Okryte 

nią pojazdy byłyby niewidoczne dla promieniowania podczerwonego (na podstawie 

[95]). 

NaleŜy jednak stwierdzić, Ŝe potrzeba wieloletnich badań zanim powstaną 

rzeczywiste „płaszcze–niewidki” (oba bowiem wyŜej krótko opisane metamateriały są 

bardzo kruchymi metalami). PowaŜnym wyzwaniem będzie równieŜ opracowanie 

metod masowej produkcji takich materiałów [95]. 

A jednak moŜliwe: konstrukcja ‘peleryny niewidki’ 

Jesteśmy bliŜej niewidzialności 

Jak podaje agencja Associated Press (11.08.08), grupie naukowej z University of 

California kierowanej przez profesora Xiang Zhang, udało się opracować materiały 

mogące tak odbijać światło, Ŝe obiekt staje się niewidoczny. 

Do tej pory moŜliwe było ukrywanie jedynie niewielkich, cienkich 

przedmiotów. Dzięki wykorzystaniu odpowiednio spreparowanych metamateriałów 

moŜliwym staje się załamanie światła wokół dowolnego obiektu np. człowieka. Jak 

wynika z relacji dziennikarzy AP, cień równieŜ staje się niewidoczny. PoniewaŜ 

odkrycie jest w części sponsorowane przez U.S. Army Research Office naleŜy spodziewać 

się, Ŝe wynalazek w pierwszej kolejności trafi do amerykańskiej armii [95]. 

Naukowcy ze School of Electrical and Computer Engineering and Birck 

Nanotechnology Center (Purdue University, West Lafayette, Indiana, USA) 

przedstawili projekt [96] niemagnetycznej peleryny działającej dla częstotliwości 

optycznych. 

79

E.31 Optyczna peleryna wykonana z meta materiału 

Sztucznie wytwarzane metamateriały z wewnętrzna strukturą (materiały 

kompozytowe) umoŜliwiają spektakularne sposoby sterowanie FEM, i co za tym idzie 

wytwarzanie urządzeń o nowych właściwościach funkcjonalnych, takich jak ‘peleryna 

niewidka’. W pracach [96] zaproponowano niemagnetyczną konstrukcje peleryny 

działającej efektywnie w obszarze widma widzialnego FEM. 

PoniŜej przdstawiamy streszczenie pracy [97] gdzie zastosowano transformację 

współrzędnych w niemagnetycznej pelerynie optycznej o cylindrycznym kształcie, 

podobną do tej przedstawionej w [96], gdzie cylindryczny obszar r

W przeciwieństwie do opisanego powyŜej [96] projektu peleryny 

dla zakresu mikrofalowego z polaryzacją TE, autorzy [97] rozpatrują polaryzację typu 

TM – pole magnetyczne spolaryzowane wzdłuŜ osi OZ. W tym przypadku tylko µ z , 

ε r , ε θ muszą spełniać warunki równania (E.31), a relacje dyspersyjne wewnątrz 

peleryny pozostają bez zmian dotąd, dopóki iloczyny µ z ε r oraz µ z ε θ maja wartości 

określone równaniem (E.31). Warto odnotować, Ŝe w przypadku polaryzacji TM 

istotna jest wyłącznie jedna współrzędna µ, co pozwala usunąć potrzebę rozwaŜania 

optycznego magnetyzmu. W równaniu (E.31) po wymnoŜeniu ε r , ε θ przez µ z , 

wyznacza się następujące, zredukowane parametry peleryny: 

(E.32) 

W porównaniu do peleryny o idealnych własnościach przedstawionych 

równaniem (E.31), redukcja parametrów w równaniu (E.32) zapewnia taką samą 

drogę fali. Natomiast niekorzystnym efektem towarzyszącym tej redukcji jest 

występowanie niezerowego odbicia. Ma to głównie związek z impedancją, jaką 

wykazuje zewnętrzna powierzchnia peleryny. Optymalne parametry z równania (E.31) 

prowadzą do wartości idealnie dopasowanej impedancji Z = (µ z / ε θ ) 1/2 = 1 dla r = b. 

Natomiast zredukowany zbiór tych parametrów z równania (E.32) prowadzi 

do wartości impedancji na zewnętrznej granicy Z = 1 – R ab , gdzie R ab = a/b oznacza 

stosunek promienia zewnętrznego do wewnętrznego struktury peleryny. Dlatego moc 

fali odbitej dany wartościami parametrów zredukowanych moŜna oszacować jako 

|(1− Z)/(1 + Z)| 2 = [ R ab /(2 – R ab )] 2 . 

( E.33) 

Niemagnetyczna natura układu opisana równaniem (E.32) eliminuje 

najambitniejszą część projektu. Przenikalność azymutalna jest stała, o wartości 

większej od 1, co jest osiągalne w konwencjonalnych dielektrykach. Kluczem dla 

implementacji okazała się konstrukcja cylindrycznego szkieletu o przenikalności 

radialnej ε r , róŜnej od zera we wnętrzu peleryny (r = a) i sięgającej 1 na jej 

zewnętrznej powierzchni (r = b). Wymaganą wartość ε r zrealizowano posługując się 

metalowymi drucikami, o rozmiarach w kierunku radialnym mniejszych od długości 

fali, osadzając je w materiale dielektrycznym (patrz rysunek poniŜej). 

Oznaczmy przez α wartość ilorazu długości drucików do ich promienia. 

Przestrzenne rozmieszczenie drutów nie moŜe wykazywać periodyczności, ale moŜe 

być losowe. Elektromagnetyczną odpowiedź takich drutów moŜna opisać stosując 

współczynnik ekranowania κ, reprezentujący zasięg oddziaływań między polem a 

drutem. Efektywna przenikalność ε eff kompozytowego materiału zawierającego: 

metalowe cząstki o przenikalności ε m , współczynniku wypełnienia f i współczynniku 

ekranowania κ, wraz ze składnikiem dielektrycznym o przenikalności ε d 

i współczynniku wypełnienia f – 1, jest dana wzorem zaczerpniętym z teorii ośrodków 

efektywnych [97] 

ε eff = 1/2к { ε̃ +(ε + 4κε m ε d ) 1/2 } 

(E.34) 

gdzie 

ε̃ = [(κ + 1)f – 1]ε m + [κ –(κ + 1)f]ε d . (E.34a) 

81

Rys. E.32. Wycinek cylindrycznej peleryny. Druciki ułoŜone prostopadle w stosunku 

do zewnętrznej i wewnętrznej powierzchni peleryny. Przestrzenne rozmieszczenie 

drutów nie moŜe wykazywać periodyczności, moŜe natomiast być losowe. 

W przypadku dłuŜszej peleryny druciki wystarczy połamać na mniejsze paski, 

o długościach w kierunku radialnym duŜo mniejszych od długość fali (na podstawie 

[97]). 

DuŜą zaletą wykorzystania metalowych drutów w konstrukcji kompozytowej 

peleryny jest zachowywanie się przenikalności radialnej ε r (zdefiniowaną równaniem 

(E.33)), która przyjmuje dodatnie wartości, mniejszej od jedności, o nieznacznej 

wartości części urojonej. Dla struktury z rysunku E.32 współczynnik wypełnienia 

(występujący we wzorze (E.33)) dla wyznaczania wartości ε r , jest dany wzorem 

f(r) = f a * (a/r), gdzie f a oznacza współczynnik wypełnienia metalu wewnętrznej 

powierzchni peleryny. Przenikalność azymutalna ε θ wnętrza peleryny jest w gruncie 

rzeczy taka sama jak dielektryka, poniewaŜ odpowiedź drucików na przyłoŜone 

‘kątowe’ pole elektryczne E θ , skierowane w kierunku normalnym do nich, jest 

niewielka dla małych wartości współczynników wypełnienia metalu i moŜe być 

pominięta. 

Zredukowany zbiór parametrów peleryny z równania (E.42) wymaga gładkiej 

zmiany wartości przenikalności radialnej od 0 do 1 przy zmianie promienia r od a do 

b. Osiągnięcie optymalnej efektywnej przenikalności radialnej ε eff , r jednoznacznie 

opisuje funkcja z równania (E.42) 

(E.35) 

W praktycznych konstrukacjach, wartość współczynnika ε eff , r moŜe nieco 

odbiegać od optymalnej wartości we wnętrzu peleryny. NajwaŜniejszą jednak kwestią 

są punkty zewnętrznej i wewnętrznej powierzchni peleryny, gdzie równanie (E.34) 

powinno być spełnione dokładnie. Gwarantuje to poŜądaną trajektorię fali 

elektromagnetycznej, gdy r = b oraz minimalną stratę energii, gdy r = a. 

W celu określenia wszystkich niezbędnych do konstrukcji peleryny wartości 

(rysunek E.32), wprowadzono dwie funkcje wypełnienia f 0 ( λ, α ) oraz f 1 ( λ, α ), 

zdefiniowane następująco: 

ε eff , r (λ, f 0 ( λ, α )) = 0 

ε eff , r (λ, f 1 ( λ, α )) = 0 

( E.36). 

82

Kombinacja równań (E.34) oraz (E.35) dla zadanej długości fali λ prowadzi 

z kolei do układu 

f 0 ( λ, α ) = f a 

Stąd wyznacza się kształt współczynnika R ab 

f 1 ( λ, α ) = f a • a/b. 

R ab = a/b = f 1 (λ, α )/f 0 (λ, α) . 

( E.38) 

(E.37) 

UŜycie równania (E.37) oraz wyraŜenia dla ε θ (występującego w równaniu (E.32)) 

pozwala wyznaczyć warunek ‘działania’ dla peleryny 

. ( E.39) 

W zastosowaniach praktycznych, często posługuje się długością tzw. fali 

działania peleryny oznaczaną jako λ op . Przy powyŜszych załoŜeniach proces 

konstrukcji przebiega następująco. Po pierwsze naleŜy dokonać wyboru materiału na 

metalowe druty, a takŜe otaczających je dielektryków. Po drugie obliczenie wartości f 0 

oraz f 1 (z równania (E.33) uŜywając do tego metody elementów skończonych oraz 

teorii efektywnego ośrodka) jako ilorazu α i λ op . Oczekiwaną wartość stosunku α /λ op 

określa równanie (E.38). W ten sposób moŜna wyznaczyć (w oparciu o równania 

(E.36) oraz (E.37)) geometryczne współczynniki peleryny, zawierające między 

innymi R ab i f a . 

Próbną wersję projektu stanowi peleryna wykorzystująca długość fali światła 

λ op = 632,8 nm (laser He-Ne). Równania (E.33), (E.35) i (E.38) określają poŜądaną 

wartość stosunku α = 10.7, a współczynniki wypełnienia obu powierzchni wynoszą 

odpowiednio f a = 0,125 oraz f b =0,039. Z równań (E.36) i (E.37) wyznaczamy 

wartość współczynnika kształtu cylindrycznej peleryny R ab = 0,314. Parametry tego 

projektu, tj. ε r , ε θ , µ z , łącznie z parametrami wyznaczonymi równaniem (E.32), 

przedstawia poniŜszy wykres. 

Rys. E.33 Parametry materiałowe ε r , ε θ , µ z , zaproponowanej peleryny dla długości fali 

EM λ op = 632,8 nm. Linie ciągłe reprezentują zredukowane parametry określonych 

równaniem (E.32). Znaki w postaci rombów pokazują własności materiałowe 

zaprojektowanych metalowych połączeń drutów tworzących pelerynę oraz parametry 

uzyskane z równań (E.33) – (E.38) (na podstawie [97]). 

MoŜna przy tym zauwaŜyć, Ŝe ε θ , µ z doskonale odpowiadają teoretycznym wymogom 

w całej strukturze cylindrycznej peleryny, a przenikalność radialna ε r odpowiada 

dokładnie wartością wymaganym równaniem (E.32) na dwóch granicznych 

powierzchniach peleryny i bardzo dobrze spełnia wymagania w jej wnętrzu. 

83

W celu sprawdzenia, czy poŜądane rozkłady podatności moŜna osiągnąć 

stosując srebrne nanodruty w kształcie mocno wydłuŜonych elipsoid obrotowych 

osadzonych w krzemowej rurce, określono efektywną anizotropię przenikalności dla 

komórki elementarnej o liniowych rozmiarach mniejszych lub porównywalnych 

z uŜywaną długością fali. 

Rys. E.34. Komórka podstawowa symulacji metodą elementów skończonych: 

a) komórka podstawowa (cylindryczne sektory) srebrnych drutów, zastąpiona przez 

komórki złoŜone z prostopadłościennych pryzmatów. b) Geometria 3D prostokątnej 

komórki podstawowej. W symulacji wartości h c oraz I c były ustalone, natomiast 

zmieniano wartości w c proporcjonalnie do wartości promienia kaŜdej warstwy (na 


Analiza numeryczna przeprowadzona bardziej zaawansowaną metodą [97] 

(wektorowa metoda elementów skończonych) pokazała, Ŝe obszary zmienności 

wymagane dla zaleŜności ε θ , i ε r są dobrze wyznaczone metodą ośrodka efektywnego. 

Ta analiza potwierdziła doskonałe dopasowanie zaleŜności ε θ , ε r wyznaczanych na 

podstawie równania (E.32); ponadto: 

a) wskazała na konieczność dodatkowego dostosowania ilorazu α oraz wartości 

parametru określającego stosunek objętości nanodrutów do objętości kaŜdej 

z warstw; 

b) potwierdziła małą wartość urojonej przenikalności radialnej ε r , której rząd 

wynosił około 0,1 w całej objętości peleryny. 

W celu zilustrowania działania proponowanej niemagnetycznej peleryny 

optycznej przedstawionej na rys. E.33 dla długości fali λ op = 632,8 nm wykonano 

numeryczne symulacje, w których wyznaczano rozkłady (mapy) pól elektromagnetycznych. 

Obiektem, który ma być niewidoczny/ukryty pod peleryną, jest 

metalowy cylinder o promieniu r = a. Wyniki symulacji (dla polaryzacji TM) w 

postaci rozkładu pola magnetycznego wokół ukrytego obiektu oraz linii przepływu 

mocy przedstawia rys. E.35. NaleŜy przy tym zaznaczyć, iŜ rozmiar peleryny jest 

sześciokrotnie większy niŜ długość fali λ op , natomiast obszar symulacji jest 

dwudziestokrotnie większy od długości fali λ op . Rys. E.35a przedstawia przebieg linii 

pola dookoła metalowego cylindra umieszczonego wewnątrz zaprojektowanej 

peleryny (wartości parametrów określone są na rys. E.33). Na rys. E.35a widoczny 

jest przepływ frontów falowych dookoła ukrytego obszaru z niezwykle małymi 

zaburzeniami. Natomiast na rys. E.35b linie te, bez peleryny, są dookoła obiektu w 

istotny sposób zniekształcone i rzucają widoczny cień na obszar między cylindrem a 

peleryną. 

W proponowanym układzie peleryny niewidki dla wartości R ab = 0,314, 

współczynnik odbicia wynosi ok.4%, przy zastosowaniu zredukowanych parametrów 

określonych równaniem (E.32). 

84

Rys. E.35 Wyniki symulacji map pola magnetycznego dla obiektu umieszczonego we 

wnętrzu peleryny dla długość fali λ op = 632,8 nm i polaryzacja typu TM.a) Obiekt 

znajduje się we wnętrzu peleryny, której parametry określa równanie (E.32); H – pole 

magnetyczne, E – pole elektryczne, k – wektor falowy; b) Obiekt umieszczony 

w próŜni – bez peleryny. Koncentryczne okręgi reprezentują dwie powierzchnie 

peleryny o promieniach r = a, r = b. Ukryty obiekt stanowi metalowy cylinder 

o promieniu r = a (na podstawie [97]). 

Niemagnetyczna natura przedstawionego w [97] projektu nie wymaga 

konstrukcji trójwymiarowych gradientowych metamateriałów magnetycznych 

i teoretycznie wyznacza moŜliwość praktycznej realizacji urządzeń ( podobnych 

do rozpatrywanej w pracy [97] peleryny) w zakresie częstotliwości optycznych. 

Zaproponowany w [97] model moŜna uogólnić na inne peleryny niewidki 

konstruowanych przy uŜyciu innych metali.. 

Warto w tym momencie nadmienić, Ŝe osiągnięta w pracy [97] niewidzialność 

nie jest idealna, a to z powodu impedancji zastosowanych materiałów, co prowadzi 

do nieuchronnych strat energii w strukturze metal–dielektryk. Ponadto peleryna 

ta ukrywa obiekt tylko dla jednej długości fali. 

Według najnowszych doniesień naukowych, w 2009 r. w [99,100] 

zaprezentowano pierwszą strukturę, która umoŜliwia ukrycie obiektu w szerokim 

zakresie częstotliwości. 

E.4 Metody otrzymywania metamateriałów dla zakresu 

optycznego – ostatnie postępy i perspektywy 

Ten rozdział dodatku jest streszczniem wybranych fragmentów pracy [109]). 

Sztucznie wytworzone materiały – metamateriały skupiają znaczną uwagę 

ze względu na poszukiwania nowych metod sterowania światłem. Kiedy udało się 

zaprojektować i wytworzyć metamateriał, to: a) wykazał on nieoczekiwane własności 

elektromagnetyczne, których nie posiada Ŝaden istniejący w naturze materiał, b) 

umoŜliwił on modyfikację optycznych właściwości metamateriału za pomocą zmiany 

parametrów komórki jednostkowej lub „meta–atomu” poprzez zmianę wartości 

przenikalności magnetycznej µ oraz przenikalności elektrycznej ε. 

Ujemny współczynnik załamania, niezaobserwowany dotąd w Ŝadnym 

materiale występującym w naturalnych warunkach, stanowi jeden z waŜniejszych 

przykładów takich własności. Ujemny współczynnik załamania metamateriałów moŜe 

prowadzić do wytworzenia nowych urządzeń począwszy od anten optycznych 

o niezwykłych właściwościach, idealnych soczewek (supersoczewek, hipersoczewek 

85

[101]), zdolnych wytworzyć obraz obiektów duŜo mniejszych od zastosowanej 

długości fali, obwodów optycznych o niewielkich rozmiarach, a na specjalnych 

pelerynach, które zakrywający sobą obiekt czynią niewidocznym, kończąc. 

To oczywiście tylko niektóre z licznych zastosowań, jednakŜe waŜniejszym staje się 

fakt wytwarzania tych materiałów, mogących funkcjonować dla częstotliwości 

optycznych. 

Pomimo, Ŝe wskazana przez Veselago kombinacja ε

W przypadku małych SSR-ów, nieidealne zachowanie metalu prowadzi 

do modyfikacji prawa skalowania, gdzie częstotliwość osiąga niemalŜe stałą wartość 

i jest niezaleŜna od rozmiaru SSR–ów. To ograniczenie skalowania łączy się 

z trudnościami w wytworzeniu SSR–ów z metalowych drutów w skali nanometrowej, 

co doprowadziło do rozwoju alternatywnych projektów, odpowiednich zarówno 

w THz jak i zakresie widma widzialnego. 

Projekt odpowiedni dla zakresu widma widzialnego polega na zastosowaniu 

pary rurek (zwanych „cut-wires”), bądź teŜ metalowych pasków, oddzielonych 

przestrzenią dielektryczną. Takie struktury prowadzą do rezonansu magnetycznego z 

µ

E.41 Pierwszy eksperymentalny pokaz – pojedyncza warstwa 

metamateriału 

Pierwszy eksperymentalny, tj. realny pokaz ujemnego załamania dla zakresu 

widzialnego zaprezentowano, w tym samym czasie, dla dwóch róŜnych geometrii 

struktur metalowo–dielektrycznych. Były nimi pary metalowych prętów 

oddzielonych warstwą dielektryczna [109] oraz system odwrotny, czyli pary 

przestrzeni dielektrycznych ułoŜonych w strukturę metal—dielektryk—metal [109] 

(rys. E.41). 

W pierwszym przypadku, matrycę par równoległych, złotych prętów o grubości 

50 nm oddzielonych 50 nm przestrzenią SiO 2 , wytworzono przy uŜyciu litografii 

wiązek molekularnych (electron-beam lithography (EBL)). Połączone pręty, 

stanowiące podstawę uzyskania ujemnego współczynnika załamania, wykazały go dla 

długości FEM 1,5 µm i wyniósł on w przybliŜeniu n’≈ −0,3 [109]. W kolejnych 

pracach naukowych (stosując litografię interferencyjną (IL) oraz źródła emitującego 

fale o długości 355 nm), zdefiniowano 2D matryce ,dziurawych’ struktur 

wielowarstwowych (dielektryczna warstwa Al 2 O 3 o grubości 60 nm umieszczona 

między dwiema warstwami złota Au o grubości 30 nm). Eksperyment ten wykazał 

istnienie ujemnego współczynnika załamania dla długości fali ok. 2 µm i wynosił 

on n’ ≈ −2 [109]. 

Rys. E.41 Pierwsze eksperymenty ze strukturą wykazującą ujemny współczynnik 

załamania dla zakresu optycznego; a) schemat matrycy par złotych nanorurek 

oddzielonych warstwą SiO 2 ; b) obraz pola emisyjnego, pochodzący ze skaningowego 

mikroskopu elektronowego, dla struktury (Au(50nm)–SiO 2 (50nm)–Au(50nm), 

układanej stogowo), ujemny współczynnik załamania wykazano dla długości fali 

stosowanej w telekomunikacji; c) schemat multiwarstwowej struktury, składającej się 

z warstw dielektrycznych, oszadzanych między dwiema metalowymi foliami 

perforowanymi, ze szklaną dziurą w swym wnętrzu; d) obraz pochodzący ze 

skaningowego mikroskopu elektronowego struktury (Au(30nm)–Al 2 O 3 (60 nm)– 

Au(30nm) − warstwy układane stogowo), wykazującej istnienie ujemnego 

współczynnika załamania dla długości fali ok. 2 µm (na podstawie [109]). 

88

E.42 Metody otrzymywania metamateriałów 2D 

I STANDARDOWA METODA – litografia wiązek elektronowych 

e 

(electron– beam litography ― (EBL)) 

W metodzie tej wykorzystuje się wiązki elektronowe, które padają 

na wybraną powierzchnię. Szerokość wiązek jest rzędu nanometrów, co pozwala 

uznać tę metodą za technologię nanoskpową. EBL to seryjny proces, w którym wiązka 

elektronowa skanuje powierzchnię próbki. Przez ostatnie dwa lata z powodzeniem 

wytwarzano róŜne struktury (charakteryzujące się ujemnym współczynnikiem 

załamania) przy zastosowaniu metody EBL, a róŜne zespoły badawcze z 

powodzeniem przeprowadzały na nich eksperymentalne badania. Najlepszy wynik dla 

ujemnego współczynnika załamania dla długości fali stosowanej w telekomunikacji, 

osiągnęła grupa badawcza z Uniwersytetu w Karlsruhe we współpracy z grupą 

z Uniwersytetu Stanu Iowa w 2006 roku [109] dla struktury „sieci rybnej-(fishnet)” 

[110]. Tworzyła ją tablica prostopadłych, dielektrycznych mikroelementów 

umieszczonych w równoległych metalowych foliach. Dla struktury „fishnet” − stała 

sieci wynosząca 600 nm (w formie kanapkowej, tzn. Ag [45 nm]–MgF 2 [30 nm]−Ag 

[45 nm]) wykazano istnienie ujemnego współczynnika załamania n’ = −2 dla 

λ ≈ 1, 45 µm. 

Dalsze badania zaowocowały wykazaniem przez dwie grupy badawcze meta 

materiału o ujemnym współczynniku załamania dla zakresu widzialnego: grupa 

z Karlsruhe otrzymała ośrodek z n’ = – 0,6 dla λ ≈ 780 nm, a grupa z Purdue 

University otrzymała ośrodek z n’ = − 0.9, n’ = −1.1 dla λ = 770 nm oraz λ ≈ 810 nm 

[109]; patrz rys. I. Mimo, Ŝe metoda EBL jest powszechnie stosowana do nadruku 

relatywnie małych powierzchni, ostatnio rozpoczęto produkować równieŜ długie 

powierzchnie metamateriałów dielektrycznych [111]. W tym podejściu zastosowanie 

warstw o zmiennej dyspersji znacznie zmniejsza błędy seryjnego procesu nadruku i 

umoŜliwia tym samym produkcje dobrej jakości struktur. 

Wytwarzanie materiałów o ujemnym współczynniku załamania 

dla częstotliwości optycznych jest zadaniem bardzo ambitnym, gdyŜ wymaga 

uzyskania próbek o niewielkiej periodyczności (bliskiej lub mniejszej od 300 nm) oraz 

nanoskopowych rozmiarów (poniŜej kilku dziesiątek nm). Odkąd moŜliwym stała się 

fabrykacja niewielkich fragmentów materiałów (rzędu 100 µm × 100 µm) 

w umiarkowanie krótkim czasie i po rozsądnych kosztach, EBL nie stanowi juŜ 

rozwiązania proponowanego przy produkcji metamateriałów o duŜej skali integracji 

(poŜądanych w zastosowaniach). 

Rys I Obraz pochodzący ze skaningowego mikroskopu elektronowego 

przedstawiający „nano sieć rybną-fishnet” wytworzoną przy uŜyciu metody EBL; 

a) ujemny współczynnik załamania uzyskany przez grupę z Karlsruhe (n’ = − 0.6 dla 

λ≈ 780 nm, warstw Ag(40 nm)–MgF 2 (17 nm)–Ag(40 nm) układanych w stos, stała 

sieci 300 nm); b) grupę z Uniwersytetu Purdue’a (n’= − 0.9 dla λ ≈ 772 nm, warstw 

Ag(33 nm)–Al 2 O 3 (38 nm)–Ag(33 nm) układanych w stos, stała sieci 300 nm) (na 


89

II Metoda FIB (focused-ion beam milling) 

Metoda ta pozwala otrzymywać powierzchnie amorficzne w wyniku 

wszczykiwania atomów galu na głębokość co najwyŜej kilku nanometrów, bądź 

bombardowania wybranej powierzchni wiązką jonów. Bombardowanie stosowane jest 

tu jako narzędzie mikro-obrabiające, gdyŜ modyfikuje albo obrabia materiały w skali 

mikro lub nano. Ostatnio metody tej uŜyto do wyprodukowania magnetycznego 

metamateriału opartego na SSR-ach [107]. Uzyskanie małych rozmiarów (rozmiary 

przerw poniŜej 35 nm) w metodzie EBL wymagało starannego doboru parametrów 

nadruku, wieloetapowego procesu obróbkowego, co w konsekwencji wiązało się 

z wydłuŜeniem czasu procesu produkcyjnego. W porównaniu z techniką EBL przebieg 

procesu nadruku w metodzie FIB jest o około 20 minut krótszy [107], a tak 

przygotowana próbka jest juŜ gotowa do uŜycia i nie wymaga zastosowania 

dodatkowych procesów obróbczych. 

Metoda ta moŜe być preferowana w przypadku konieczności uzyskania 

specyficznych kształtów metamateriałów (chociaŜby SSR-ów), ponadto w przypadku 

zamiaru pozyskania materiału o ujemnym współczynniku załamania dla zakresu 

widzialnego, SSR-y stanowią kombinację róŜnych struktur metalicznych, które 

w konsekwencji pozwalają uzyskać ujemna przenikalność magnetyczną [112]. 

III Litografia interferencyjna 

Litografia optyczna (LO) jest techniką produkcji od dawna uŜywaną 

w przemyśle wytwarzającym układy scalone i mającą zastosowanie jako technika 

immersyjna [113]. Jednym z rodzaju LO jest litografia interferencyjna, stanowiąca 

potęŜną technikę w przypadku produkcji matryc (zastosowanie w nanotechnologii). 

Tego typu technika wytwarzania opiera się na superpozycji dwóch lub więcej 

koherentnych wiązek optycznych formujących próbkę fali stojącej. IL zapewnia niskie 

koszty i zdolność produkcji masowej, a w połączeniu z innymi technikami 

litograficznymi, moŜe znacznie powiększyć zakres zastosowań [113]. 

Od czasu, gdy produkcja materiałów o ujemnym współczynniku załamania 

wymaga dostarczenia periodycznych bądź kwaziperiodycznych próbek, litografia 

interferencyjna stanowi idealną kandydatkę do wytwarzania metamateriałów 

o wydłuŜonej powierzchni. Ostatnio zastosowano technikę IL do wytworzenia 1D 

struktur metalicznych [113], metamateriałów magnetycznych dla fal o długościach 

5 µm oraz 1,2 µm [103], a takŜe wspomnianym powyŜej materiale o ujemnym 

współczynniku załamania dla fali o długości 2 µm [109] rys. I. 

Stosując tę technikę zademonstrowano wytworzenie 2D struktury [103], 

charakteryzującej się jednorodnością na kaŜdej ze swych powierzchni [113]. 

Na przykład multiwarstwa o ujemnym współczynniku załamania, którą tworzą 

eliptyczne pręty wykonane z Au (30 nm)–Al 2 O 3 (75 nm)–Au(30 nm), nakładane 

stogowo, dała współczynnik załamania wynoszący n’ ≈ − 4 dla λ ≈ 1.8 nm (rys. II) 

[111]. 

Wyniki wspomniane powyŜej pozwalają traktować IL jako najlepszą technikę 

projektowania oraz produkcji 2D optycznych materiałów o ujemnym współczynniku 

załamania oraz zwracają uwagę na ogromne korzyści płynące z jej zastosowania. 

Technika ta charakteryzuje się niewielkimi rozmiarami wytwarzanych próbek, 

nie wymaga drogiego sprzętu i moŜe zapewnić próbce powierzchnie osiągające 

wymiary centymetrów kwadratowych. Zapewnia prostotę oraz wysoką jakość 

otrzymywania pojedynczych warstw metamateriału, moŜe tym samym nakierować 

przyszłe badania na (poczynając od układanych w stos warstw 2D) wytworzenie 

struktury 3D. 

90

Rys. II Obraz uzyskany ze skaningowego mikroskopu elektronowego przedstawiający 

próbkę wykonaną za pomocą techniki litografii interferencyjnej; a) multiwarstwowa 

struktura wykonana z pary prętów (Au(30 nm)–Al 2 O 3 (75 nm)–Au(30 nm)) 

[powierzchnia całkowita wynosi 787 nm, rozmiary dziur 470 nm i 420 nm]; 

b) heksagonalna struktura 2D wykonana na szklanym podłoŜu z Au(20 nm)–MgF 2 (60 

nm)–Au(20 nm); c) oraz d) struktura „sieci rybnej - fishnet” wykonana z Au(30 nm)– 

Al 2 O 3 (60 nm)–Au(30 nm) [rozmiary – długość 528 nm, szerokość 339 nm] (na 

podstawie [111]); 

IV Litografia ‘NANOODCISKOWA’ 

Kolejnym obiecującym kierunkiem wytwarzania produkcyjnie 

kompatybilnych, wysokiej jakości materiałów o ujemnym współczynniku załamania, 

przy równocześnie niewielkich kosztach produkcji i nakładach czasu, oferuje 

litografia ‘nanoodciskowa’ (NIL) [114]. NIL realizuje transfer próbek przez 

mechaniczne zniekształcenia oparte na znakowaniu, rzadziej na reakcjach foto- lub 

elektro- indukowania, na których opiera się większość obecnie wykonywanych metod 

litograficznych. Tego typu rozwiązanie techniczne nie jest ograniczane długością fali 

emitowanej przez źródło światła, a niewielkie parametry osiąga się stosując produkcję 

znakowania. Ponadto NIL zapewnia wysoką przepustowość równoległych procesów, 

przy uŜyciu standardowych procedur, połączonych z prostotą oraz niskimi kosztami. 

Ostatnio wyprodukowano za pomocą metody NIL dwa rodzaje materiałów 

wykazujących ujemny współczynnik załamania dla zakresu bliskich i średnich 

podczerwieni. Pierwsza kompozycja składała się z uporządkowanych warstw 

struktury „fishnet” tworzących tablice metal-dielektryk-metal, które dowiodły 

istnienia ujemnej przenikalności elektrycznej i magnetycznej w takim samym zakresie 

częstotliwości, i tym samym wykazały ujemny współczynnik załamania n’ ≈ −1,6 dla 

λ ≈ 1,7 µm [111] (patrz rys. III). 

91

Rys. III Obraz uzyskany ze skaningowego mikroskopu elektronowego 

przedstawiający próbkę wykonaną za pomocą techniki a) NIL; b) próbki struktury 

„fishnet” z Ag(25 nm)–SiO x (35 nm)–Ag(25 nm) (na podstawie [113]). 

Dla zakresu średniej podczerwieni metamateriał tworzyły uporządkowane 

tablice skrzyŜowanych, symetrycznych rezonatorów (w kształcie litery L o 

minimalnym rozmiarze 45 nm), wykazujących ujemne przenikalności dla fal o 

długości λ≈ 3,7 µm oraz λ≈ 5,25 µm. Był to jak dotąd najmniejszy rozmiar struktury w 

zakresie 100 nm – 45 nm dla bliskiej i średniej podczerwieni. Wcześniej metodę NIL 

z powodzeniem wykorzystywano przy produkcji planarnych, chiralnych 

metamateriałów fotonicznych w celu ich badania oraz jako zastosowanie do nowych 

efektów polaryzacyjnych [111]. 

Od niedawna moŜliwa jest prostsza metoda NIL wytwarzania 2D struktur 

metalicznych [111]. Technika ta w głównej mierze opiera się na wtłaczaniu gorącego 

metalu (np. Al) przy udziale związków chemicznych jak SiC [111]. W takim 

podejściu metalową nanostrukturę moŜna uzyskać bezpośrednio przez nadruk na 

metalowych substratach, bez konieczności wykonywania dodatkowych czynności 

produkcyjnych, co niewątpliwie upraszcza proces produkcji oraz znacząco wpływa na 

obniŜenie kosztów wytwarzania. 

E.43 Metody otrzymywania metamateriałów 3D 

I Otrzymywanie struktur wielowarstwowych 

Teoretyczny projekt struktury wielowarstwowej wykazującej ujemny 

współczynnik załamania, ulegał stopniowym modyfikacjom, i został zrealizowany 

przez grupę badawczą w Karlsruhe [115] w postaci układu zawierającego trzy 

warstwy (aktualnie siedem), Próbki ze srebra wykonano za pomocą litografii wiązek 

molekularnych, dodając osadzanie warstw metalowych i dielektrycznych, a proces 

produkcyjny przebiegał analogicznie jak miało to miejsce w przypadku wytwarzania 

pojedynczej warstwy metamateriału [109] (rys. IV). Wyniki uzyskane tą metodą (n’ = 

− 1, λ ≈ 1,4 µm) były bliskie oczekiwaniom teoretycznym. 

92

Rys. IV a) Schemat (widok z boku) poszczególnych warstw metamateriału; 

b) obraz N wytworzonych warstw, widziany w mikroskopie elektronowym (rozmiar 

liniowy poszczególnych kostek to około 400 nm) (na podstawie [111]). 

Realizacja powyŜszej struktury to pierwszy krok wykonany w kierunku wytworzenie 

3D metamateriału fotonicznego, lecz uŜycie w tym przypadku metody EBL okazało 

się być zawodne. Zasadniczy problem wynikał z faktu ograniczenia całkowitej 

grubość struktury grubością próbkowanych e-wiązek. Całkowita osadzana grubość 

warstw powinna normalnie wynosić co najmniej 15–20% grubości warstwy oporowej 

(rys. V). Wartość ta zwykle nie przekracza 100 nm. Jak juŜ wcześniej wspomniano 

(przy wytwarzaniu 2D metamateriałów metodą EBL), otrzymanie próbki, której 

wysokośc jest większa od szerokość jest powaŜnym wyzwaniem technologicznym. 

93

Ponadto ta metoda wytwarzania pozwala otrzymywać nieprostokątne ściany boczne 

o kątach około 10˚ [109] (rys. V) względem normalnych do wszystkich boków 

próbki. 

Rys. V. Dwa moŜliwe sposoby wytworzenia wielowarstwy metalowo– dielektrycznej; 

a) standardowe osadzanie [109] pozwala otrzymać końcowy trapezoidalny kształt 

końcowej struktury o grubości nie większej niŜ 15-20% grubości warstwy 

rezystywnej; b) zaproponowana wytrawiona struktura, zawierająca gruby stóg (grubą 

stertę) warstw metalowo-dielektrycznych głęboko wytrawionych w celu otrzymania 

3D płytki metamateriału (na podstawie [115]). 

Grupa badawcza ze Stuttgartu [116] zasugerowała pomysł ominięcia problemu 

związanego z uzyskiwaniem nieprostokątnych ścian bocznych oraz cienkich stosów 

warstw materiałów o ujemnym współczynniku załamania. Według nich zrealizowanie 

3D warstw takich materiałów dla zakresu optycznego, polegałoby na zastosowaniu 

techniki warstwowej, podobnej do tej uŜytej podczas produkcji 3D kryształów 

fotonicznych [116]. W przeprowadzonym eksperymencie wytworzono strukturę 

czterowarstwowych, rozszczepionych rezonatorów kołowych (SSR-ów). Pojedynczą 

warstwę SSR-a wyprodukowano przez naparowanie metalu, naświetlanie wiązkami 

elektronowymi oraz wytrawianie metalu za pomocą wiązki jonów. PoniewaŜ 

pojedynczych warstw SSR-ów nie moŜna seryjnie układać w warstwy, powierzchnie 

warstw zawierających SSR-y spłaszczano, stosując procedurę planaryzacji 

(chropowatość powierzchni kontrolowano z dokładnościa do 5 nm). Procedury 

wytwarzania pojedynczych warstw, planaryzacji oraz bocznego ustawienia 

późniejszych warstw, powtarzano kilkakrotnie, zyskując w ten sposób 

czterowarstwową próbkę SSR-a [116] (rys. VI). 

94

Rys. VI Obraz uzyskany ze skaningowego mikroskopu elektronowego 

przedstawiający pole emisyjne czterowarstwowej struktury SSR-a; a) widok 

normalny; b) widok powiększony, ukośny (na podstawie [111]). 

Kolejnym sposobem uzyskania 3D wielowarstwowego materiału 

o ujemnym współczynniku załamania, moŜe posłuŜyć proces oparty o głębokie 

anizotropowe wytrawianie. 

Wytwarza się najpierw płaszczyznę złoŜoną z przemiennych warstw metalu 

i dielektryków o poŜądanej grubości, następnie wykonuje się głębokie wytrawianie 

uŜywając maskę zawierającą stosowne kształty (wzory) próbki, która jest 

otrzymywana stosownym procesem litograficznym. (rys. VI). Metoda ta wymaga 

zastosowania trudnych materiałów i procesów wytwarzania, włączając w to staranny 

dobór, masek odpornych na procesy wytrawiania oraz optymalizacji procesów 

trawienia zarówno warstw metalu jak i warstw dielektrycznych. 

II Technika fotopolimeryzacji dwu-fotonowej (TTP) 

Techniki tej dość często uŜywano przez ostatnie kilka lat do wytwarzaniu 3D 

próbek metamateriałów [117], poniewaŜ jest znacznie szybsza od standardowej, 

polegającej na uŜyciu pojedynczej wiązki światła laserowego do obróbki matrycy 

polimerowej i nadaje się do implementacji do produkcji układów o wysokim stopniu 

integracji. Technika ta wykorzystuje nieliniowy wielofotonowy proces obróbki 

do polimeryzacji materiału. 

Zaproponowana metoda umoŜliwia równoczesny nadruk więcej niŜ 700 

struktur polimerowych o jednakowych wymiarach geometrycznych. Metalizację 

struktur osiągnięto za pomocą osadzania cienkich warstw zawierających małe 

cząsteczki srebra (rys. VII). 

Rys. VII Obraz uzyskany ze skaningowego mikroskopu elektronowego 

przedstawiający strukturę otrzymana technologią TTP. 

a) Wolnostojąca struktura zbudowana z elementarnych sześcianów, których objętości 

wypełnia powietrze, połączonych w pary o wysokości ~ 4,6 µm; 

b) Powleczona srebrem polimerowa struktura zbudowana z sześciennych kostek (patrz 

powiększenie z rys. a) (o rozmiarze 2 µm) z mikroskopową spręŜyną na powierzchni 

(wewnętrzna średnica spręŜyny wynosi około 700 nm) (na podstawie [111]). 

95

Technologia TPP umoŜliwia wytwarzanie wielu odosobnionych, bardzo dobrze 

przewodzących mikroobiektów i pozwala otrzymywać polimerowe mikrostruktury 

pokryte metalem, albo liczne odosobnione, izolowane obiekty polimerowe 

rozmieszczone na warstwach metalicznych [118]. Technika TTP oparta o nadruk 

laserowy jest obecnie jedną z najbardziej obiecujących metod w przyszłym 

wytwarzaniu 3D metamateriałów o duŜej powierzchni [117, 118]. 

III Otrzymywanie złoŜonych struktur 3D 

Nanostruktury typu metal-dielektryk moŜna wytworzyć dzisiaj róŜnymi 

technologiami. Znaczną uwagę skupiły na sobie ostatnio dwie metody: nadruki 

za pomocą wiązek elektronowych (EBW) [119] oraz chemiczne osadzanie 

zogniskowanych wiązek jonowych (FIB-CVD) [119]. Metody te pozwalają 

otrzymywać 3D struktury, których nie moŜna uzyskać przy zastosowaniu 

dotychczasowych tradycyjnych technik, jak metody optyczne i litograficzne. 

Rys. VIII. a) obraz struktury multiwarstwej Ag-Au-Ag (uzyskany z mikroskopu sił 

atomowych) przygotowanej w procesie stereolitografii wiązek elektronowych; 

b) obraz (uzyskany ze skaningowego mikroskopu jonowego) struktury poprzecznego 

obwodu wykonanego techniką VIB-CVD (przewodzące druty zawierają Ga oraz W) 

(na podstawie [111]). 

Opisane techniki nanoprodukcji oferują jedyne w swoim rodzaju metody 

i procedury wytworzenia złoŜonych struktur 3D, jednakŜe ich stosowanie ograniczają 

właściwości stosowanych materiałów oraz długi czas wytwarzania. 

Ostatnio, dzięki zastosowaniu zmodyfikowanego procesu MEMS, 

wyprodukowano w Sandia National Labs [120], trójwymiarowy, wolframowy kryształ 

fotoniczny. Próbkę kryształu fotonicznego, którego szkielet tworzył dwutlenek 

krzemu wypełniono warstawami wolframu o grubości 500 nm. 

Produkcję mikrokomponentów moŜna wykonywać równieŜ przy zastosowaniu 

techniki LIGA. Nazwa jest akronimem odsyłającym do głównych kroków procesu 

produkcyjnego takich jak: głęboka litografia promieniowaniem X (deep X-ray 

lithography − DXRL), galwanoplastyka (electroforming) oraz modelowanie 

plastyczne (plastic moulding). Technologia ta stwarza moŜliwość masowej produkcji 

mikrokomponenetów, po znacznie obniŜonych kosztach. W Sandia National Labs 

uŜyto jej do produkcji 3D sieci fotonicznej [120]. 

Przegląd innych zaawansowanych metod technologicznych otrzymywania 

mikrostrukturalnych trójwymiarowych metamateriałów znajduje się w pracy [111]. 

96

Podsumowanie 

Wytwarzanie metamateriałów o ujemnym współczynniku załamania dla 

zakresu optycznego to dziś ambitne i wymagające zadanie, co w głównej mierze 

spowodowane jest wymogiem niewielkich geometrycznych rozmiarów ‘meta– 

atomów’ rzędu 300 nm i mniejszych rozłoŜonych periodycznie w przestrzeni 

z okresem rzędu 300 nm. Technologia EBL stanowi obecnie podstawową technikę 

produkcji metamateriałów o niewielkich powierzchniach (~ 100µm × 100µm) [109]. 

Propozycją wytwarzania wysokiej jakości metamateriałów w nieco większej 

skali (powierzchnie rzędu cm 2 ) stanowi litografia interferencyjna IL [113]. Technika 

ta juŜ w niedalekiej przyszłości moŜe zostać wykorzystana do produkcji 3D 

metamateriałów, za pomocą układania 2D w stosy tworzące 3D strukturę. JednakŜe 

nie poczyniono jeszcze Ŝadnego kroku w tym kierunku. 

Kolejna obiecującą technikę wytwarzania wysokiej jakości metamateriałów 

stanowi litografia ‘nanoodciskowa’ NIL, oferująca rozdzielczość rzędu nanometrów. 

Idealnie nadaje się do równoległej produkcji metamateriałów, bez konieczności 

wstępnego testowania struktur, jak ma to miejsce w przypadku techniki EBL. 

Pierwszym krokiem w kierunku otrzymania 3D materiałów o ujemnym 

współczynniku załamania było wytworzenie wielowarstwowej struktury [70, 71]. 

Choć złoŜone 3D nanostruktury mogą zostać wytworzone róŜnymi 

technologiami (nadruk za pomocą wiązek elektronowych, czy teŜ FIB-CVD), 

to pochłaniają one zbyt wiele czasu, stąd teŜ trudno je wykorzystać do produkcji 

metamateriałów o większej skali integracji. 

Obecnie jedną z najbardziej obiecujących technologii wytwarzania 

trójwymiarowych metamateriałów o duŜej skali integracji jest fotopolimeryzacja dwufotonowa 

[118], której rozdzielczość jest rzędu 100 nm i która znakomicie nadaje się 

do technologicznej obróbki 3D metamateriałów 

Trójwymiarowe, wielowarstwowe struktury metaliczne i polimerowe moŜna 

otrzymać za pomocą technologii litografii ‘nanoodciskowej’ (nanoimprint) [120]. 

Technika ta oferuje wysoką reproduktywność (w skali milimetrowej) i została 

zastosowana do wytworzenia trójwymiarowych struktur, na których bazują urządzenia 

wykorzystujące kryształy fotoniczne. 

W celu realnego zastosowania metamateriałów wykazujących ujemny 

współczynnik załamania, powinno być spełnionych kilka warunków: znaczna 

redukcja strat (obniŜenie absorpcji energii fali elektromagnetycznej) oraz otrzymanie 

izotropowych 3D struktur o duŜej skali integracji. Dzięki starannemu doborowi 

materiałów (zamiast tradycyjnych metali — srebra i złota, zastosowanie kryształów 

i metali o obniŜonej absorpcji), optymalizacji procesu obróbki (mała chropowatość, 

wysoka jednorodność) moŜna znacznie ułatwić wytworzenia bezstratnych materiałów 

o ujemnym współczynniku załamania dla zakresu częstotliwości optycznych. Inną 

moŜliwością jest wkomponowanie w 3D wymiarową strukturę metamateriału ośrodka 

aktywnego, który kompensowałby straty wynikające z absorpcji. 

Pomimo, Ŝe nadal daleko nam do otrzymania rzeczywistych, 

trójwymiarowych i izotropowych metamateriałów dla zakresu częstotliwości 

optycznych, to kilka metod technologicznych jest dziś bardzo obiecujących. 

Do takich naleŜy zaliczyć: ‘nanoodciskową’ litografię, laserowy nadruk oraz 

nowego typu technologie wykorzystujące zjawisko przestrzennego 

samoorganizowania się obiektów nanoskopowych. 

Podsumowując rozwaŜania tego dodatku dotyczące wytwarzania nowych 

metamateriałów, o wysokiej jakości wymagane jest: wybranie odpowiedniej metody 

otrzymywania, dobór materiałów, oraz procesu optymalizacji wytwarzanych struktur, 

uwzględnienie niskich kosztów produkcji. 

97

BIBLIOGRAFIA 

1. Yeh P. ”Electomagnetic propagation in layered media” J. Opt. Soc. Amer., 69, 

742, 1979 Yariv A. and Yeh P., Propagation electromagnetic waves in periodical 

media in: Optical Waves in Crystals, Wiley & Sons, New York, 1984; W. Steurer, D. 

Sutter-Widmer, Photonic and phononic quasicrystals, J. Phys. D: Appl. Phys. nr 40 

(2007), str.229–247; 

2. J. D. Joannopoulos, R. D. Meade i J. N. Winn. Photonic Crystals. Molding the Flow 

of Light. Princeton University Press, Singapore, 1 wydanie, 1995.; 

K. Sakoda. Optical Properties of Photonic Crystals. Springer, 2001. ISBN 3-540- 

41199-2.; S.G. Johnson i J. D. Joannopoulos. Photonic Crystals. The road from 

Theory to Practice. Kluwer Academic Publishers, Boston, wydanie 1, 2002.; J. D. 

Joannopoulos, R. D. Meade, J. N. Winn i S. G. Johnson. Photonic Crystals.Molding 

the Flow of Light. Princeton University Press, 2 wydanie, 2008. ISBN 978-0-691- 

12456-8.http://ab-initio.mit.edu/book/. 

http://pl.wikipedia.org/wiki/Kryszta%C5%82_fotoniczny 

http://ab-initio.mit.edu/photons/tutorial/tutorial-small.gif: 

http://www.krysztalyfotoniczne.yoyo.pl/wpis.html; Notomi M., Phys. Rev. B 62, 

10969 (2000). 

3. Yeh P., Yariv A. ”Optical surface waves in periodic layered media” Appl. Phys. 

Lett., 32, 104, 1978 

4.R. Lifshitz, Nanotechnology and quasicrystals: from self assembly to photonic 

applications, Raymond and Beverly Sackler School of Physics & Astronomy Tel Aviv 

University, 69978 Tel Aviv, Israel; dostępne teŜ na: arXiv: cond-mat/0810.5161v1 

(28.10.2008) 

5.http://kopalniawiedzy.pl/transmisja-swiatlowod-filtr-krysztal-add-drop-fotonika- 

4366.html - autor Przemysław Kobel; http://www.wikipedia.org/wiki 

6. G. P. Ortiz,B. E. Martınez-Zerega, B. S. Mendoza, W. L. Mochan, Effective 

Dielectric Response of Metamaterials, dostępne na arXiv:0901.3549v1 [cond– 

mat.mtrl–sci] 22.01.2009; 

7. Maciej Kubisa “ Supersieci półprzewodnikowe” – rozdział 32 skryptu dostępnego 

na stronie: rainbow.if.pwr.wroc.pl/~kubisa/skrypt/32.pdf 

8. http://pl.wikipedia.org/wiki/Druty_kwantowe. 

9. Quantum Dots, L.P. Kouwenhoven and C.M. Marcus, Physics World 11 p. 35-39 

(1998); http://pl.wikipedia.org/wiki/Kropka_kwantowa 

L.P. Kouwenhoven, D.G. Austing, S. Tarucha, Few-electron Quantum Dots, Reports 

on Progress in Physics 64 (6), 701-736 (2001); http://www.fizyka.net.pl 

10. Ch. Kittel, Wstęp do fizyki ciała stałego, Wydawnictwo Naukowe PWN, 

Warszawa 1999; N. W. Ashcroft, N. D. Mermin, Fizyka ciała stałego, PWN, 

Warszawa 1986. 

11. Baibich M., Brote J., Fert A. Nguyen V. D., Petroff F., Etienne P., Greuzet G., 

Friederich A., Giant Magnetoresistance of Fe/Cr Magnetic Superlattices, Phys . 

Rev Lett., 63, 664, 1989; A. Fert, Nobel Lecture: Origin, development, and future of 

spintronics, RevModPhys, Vol. 80, October–December 2008; P. A. Grunberg, Nobel 

Lecture: From spin waves to giant magnetoresistance and beyond, RevModPhys, Vol. 

80, October–December 2008; 

12. A. Yariv, P. Yeh, Photonics: Optical Electronics in Modern Communication, 6 th 

Edition, Oxford University Press, USA, 2006; Grundman M., Nano-optoelectronics, 

Concepts, Physics and Devices, Springer-Verlag, Berlin 2002; Bugajski M., 

Nanofotonika, Postępy Fizyki, 55, 4, 2004 

13. Dowling J. P., A comprehensive bibliography website on photonic crystals, 

http://phys.lsu.edu/~jpdowling/pbgbib.html 

98

14. L. Novotny, B. Hecht, Principles of Nano-Optics, Cambridge University Press, 

Cambridge 2007; M. Born, E. Wolf, Principle of Optics, 7 th Edition, Cambridge 

University Press, Cambridge 1999. 

15. Patrini M., Galli M., Belotti M., Andreani L.C., Guizzetti G., Pucker G., Lui A., 

and Bellutti L. “Optical response of one-dimensional (Si/SiO2)” J. Appl . Phys., 

92, 4, 1816, 2002 

16. Ivan Hip “Interactive Visualization Package for 4D Lattice Field Theories”, 

Proceedings of science, arXiv: 0710.0781v1 [hep –lat], 3 Oct. 2007 

17. R. Tsu, Superlattice to Nanoelectronics, Elsevier, 2nd Edition, Amsterdam 2008 

18. C. Weisbuch, B. Vinter „Quantum Semiconductors Structures”, Chapter 

1,Academic Press, Boston, (1991); L. Jacak, P. Hawrylak, A. Wójs, „Quantum Dots”, 

Springer –Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1998. 

19. G.A. Sai – Halasz, „Physics of Semiconductors” 1978, red.B. L. H. Wilson, Inst. 

Phys. Confer. Ser. 43, (1979);F. Srobar, Czech. J. Phys. 29A, 119 (1979); L. L. 

Chang , L. Esaki, Surf. Sci. 98, 70 (1980); G. H. Kohler, Phys. Scr. 24, 431, (1980); L. 

Esaki, R. Tsu, Superlattice and negative differantial conductivity in semiconductors, 

IBM J. Res. Develop, 14, str. 61-5, 1970; praca dostepna na stronie 

http://garfield.library.upenn.edu/classics1987/A1987H916900001.pdf 

20. M. Aleksiejuk "Wytwarzanie i propagacja fal akustycznych o wysokich 

częstotliwościach w nanowarstwach metalicznych”, Instytut Podstawowych 

Problemów Techniki PAN, Warszawa 2007 

21. Azaroff L., Elements of X-ray Crystalography, McGraw-Hill, New York 1968 

22. M. Tłaczała, Epitaksja MOVPE w technologii heterostruktur związków AIIIBV, 

Oficyna Wydawnicza P.Wr., 2002; Stringfellow G.B., Organometallic Vapor Phase 

Epitaxy: Theory and Practice, Academic Press, Boston 1989, Stringfellow G.B., 

J.Cryst.Growth, 137, 1994, s.212; 

www.wemif.pwr.wroc.pl/zpp/stary/laboratoria/mikroelektronika2/cw1epitaksjadoc 

23. J. Misiewicz „Wybrane metody optycznych badań półprzewodników”, PWr 1996; 

J. Misiewicz „Spektroskopia fotoodbiciowa struktur półprzewodnikowych”, PWr 

1999; J. Misiewicz „Optyka struktur półprzewodnikowych”, PWr 2008 

24. A. Klauzer - Kruszyna, „Propagacja światła spolaryzowanego w wybranych 

supersieciach aperiodycznych”, praca doktorska przygotowana pod kierunkiem dr 

hab. Włodzimierza Salejdy, prof. nadzw. PWr 

25. K. Aydin, I. Bulu, E. Ozbay, New J. Phys. 8, 221(2006). P. Alitalo, S. 

Maslovski,S. Tretyakov, Phys. Lett. A 357, 397 (2006).Y. Fang, Q. Zhou, Appl. Phys. 

B 83, 587 (2006). E. Centeno, D. Cassagne and J.P. Albert, Phys. Rev. B 73, 235119 

(2006).D. Felbacq, B. Guizal and F. Zolla, J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 2 L30 (2000). H. 

Benisty, J.M. Lourtioz, A. Chelnokov, Proc. IEEE 94, 997 (2006).T. Matsumoto, K.S. 

Eom, T. Baba, Opt. Lett. 31, 2786 (2006).J.B. Pendry, D. Schurig, D.R. Smith, 

Science 312, 1780 (2006). 

26. W. Salejda, The Landauer resistance of generalized Fibonacci lattices: the 

dynamical maps approach. Proceedings of the VI-th Max Born Symposium on the 

Nature of Crystalline States, Physica A 232 769–776 (1996); W. Salejda, P. Szyszuk, 

The Landauer conductance of generalized Fibonacci superlattices. Numerical results, 

Physica A 252 (1998) 547–562; W. Salejda, M. Kubisa, J. Misiewicz, K. Ryczko, M. 

Tyc, The Landauer conductance of generalized Fibonacci semiconductor 

superlattices, Acta Phys. Pol. A 94 514–518(1998); M. H. Tyc, W. Salejda, Negative 

differential resistance in aperiodic semiconductor superlattices, Physica A 303, 493– 

506 (2002). 

27. A. Klauzer-Kruszyna, W. Salejda, M. H. Tyc, Polarized light transmission 

through generalized Fibonacci multilayers. I. Dynamical maps approach, Optik 115, 

257–266 (2004); A. Klauzer-Kruszyna, W. Salejda, M. H. Tyc, Polarized light 

transmission through generalized Fibonacci multilayers. II. Numerical results, Optik 

115, 267–276 (2004); A. Klauzer-Kruszyna, W. Salejda, M. H. Tyc, Transmitancja 

99

światła spolaryzowanego w aperiodycznych supersieciach typu Fibonacciego, Instytut 

Fizyki PWr, Raport Serii PRE-5/2003, Wrocław (2003). 

28. J. M. Lick, Cantor spectra and scaling of gap widths in deterministic aperiodic 

systems, Phys. Rev. B 39, 5834–5849 (1989); M. Kolar, F. Nori, Trace maps of 

general substitutional sequences, Phys. Rev. B 42, 1062–1065 (1990); M. Kolar, M. 

K. Ali, F. Nori, Generalized Thue-Morse chains and their physical properties, Phys. 

Rev. B 43, 1034-1047 (1991). 

29. E.L. Albuquerque, M.G. Cottam; “Theory of elementary excitations in 

quasiperiodic structures”, Physics Reports 376 (2003) 225–337. 

30. W. Salejda, Lattice dynamics of the binary aperiodic chains of atoms. I. Fractal 

dimension of phonon spectra, Int. J. Mod. Phys. B 9 1429–1481 (1995). 

31. G. Gumbs, M. K. Ali, Scaling and eigenstates for a class of one-dimensional 

quasiperiodic lattices, J. Phys. A:Math.Gen. 21, L517–L521 (1988); G. Gumbs, M. K. 

Ali, Electronic properties of the tight-binding Fibonacci Hamiltonian, J. Phys. A: 

Math. Gen. 22, 951–970 (1989); G. Gumbs, M. K. Ali, Dynamical Maps, Cantor 

Spectra, and Localization for Fibonacci and Related Quasiperiodic Lattices, Phys. 

Rev. Lett. 60, 1081–1084 (1988). 

32. J. M. Lick, Cantor spectra and scaling of gap widths in deterministic aperiodic 

systems, Phys. Rev. B 39, 5834–5849 (1989); 

33. B.L. Burrows, J.I. Millington „Recursive procedures for measuring disorder in 

non-periodic sequences and lattices „, Physica A 295 (2001) 488–506). 

34. M. Kohmoto, B. Sutherland, K. Iguci, “ Localization in Optics: 

Quasiperiodic Media”, Phys. Rev. Lett. 58, 2436-2838 (1987) 

35. K. Iguchi, Optical property of a quasi-periodic multilayer, Mat. Sc. En. B 

15, L13–L17 (1992); M. Dulea, M. Severin, R. Riklund, Transmission of light 

through deterministic aperiodic non-Fibonaccian multilayers, Phys. Rev. B 42, 

3680–3689 (1990). 

36. H. Miyazaki, M. Inoue, Optical properties of one-dimensional quasi-periodic 

crystals. I, Optical reflectivity spectrum of a Fibonacci lattice, J. Phys. Soc. Japan 59, 

2536–2548 (1990); M. Inoue, H. Miyazaki, Optical properties of one-dimensional 

quasi-periodic crystals. II. Modified Fibonacci lattice with arbitrary initial conditions, 

J. Phys. Soc. Japan 59, 2549–2562 (1990); M. Inoue, H. Miyazaki, Optical properties 

of one-dimensional quasiperiodic crystals. III. Optical reflectivity spectrum and 

structure of a generalized Fibonacci lattice, J. Phys. Soc. Japan 59, 2563–2577 

(1990). 

37. G. J. Jin, Z. D. Wang, A. Hu, S. S. Jiang, Scaling properties of coupled optical 

interface modes in Fibonacci dielectric superlattices, J. Phys.: Cond.Matt. 8, 10285– 

10292 (1996);X. Q. Huang, Y. Wang, C. D. Gong, Numerical Investigation of Light 

Wave Localization in Optical Fibonacci Superlattices with Symmetric Internal 

Structure, J. Phys.: Cond. Matt. 11, 7645–7651 (1999). 

38. X. B. Yang, Y. Y. Liu, X. J. Fu, Transmission properties of light through the 

Fibonacciclass multilayers, Phys. Rev. B 59, 4545–4548 (1999). 

39. X. Wang, S. Pan, G. Yang, Antitrace maps and light transmission coefficients for 

a generalized Fibonacci multilayers”, dostępne na arXiv: cond-mat/0106378 (2001) 

40. V. G. Veselago, Elektrodinamika veshchestv s odnovremeno otricatelnymi 

znacheniami ε i µ, Usp. Fiz. Nauk 92, 517–529 (1968). 

41. D. R. Smith, W. J. Padilla, D. C. Vier, S. C. Nemat-Nasser, S. Schultz, 

CompositeMedium with Negative Permeability and Permittivity, Phys. Rev. 

Lett. 84, 4184–4187(2000). 

42. E. Cubukcu, K. Aydin, E. Ozbay S. Foteinopoulou, C. M. Soukoulis, 

Subwavelength Resolution in a Two-Dimensional Photonic-Crystal-Based Superlens, 

Phys. Rev. Lett. 91, 207401 (2003); E. Cubukcu, K. Aydin, E. Ozbay, S. 

Foteinopoulou, C. M. Soukoulis, Electromagnetic waves: Negative refraction by 

photonic crystals, Nature 423, 604–605 (2003). 

100

43. P. Markos, C. M. Soukoulis, Left-handed Materials, dostępne w EBP 

arXiv:condmat/0212136, (2002). 

44. A. L. Pokrovsky, A. L. Efros, Sign of refractive index and group velocity in lefthanded 

media, Solid St. Comm. 124, 283–287 (2002); Veselago V. G., Usp. Fiz. Nauk 

92 517 (1967) [Sov. Phys. Usp. 10, 509 (1968).] 

45. D. W. Ward, K. A. Nelson, K. J. Webb, On the origins of the negative index of 

refraction,dostępne w EBP: arXiv:physics/0409083 (2004). 

46. Larry J. Cummings, Combinatorics on Words: Progress and Perspectives, ed., 

Academic Press, 1983. 

47. M. Schroeder, Fractals, Chaos, Power Laws: Minutes from an Infinite Paradis, 

Wydawnictwo Freeman, 1991, str. 264–269. 

48. R. E. Griswold “The Morse-Thue Sequence”, Department of Computer Science 

The University of Arizona, Tucson, Arizona, © 2001 Ralph E. Griswold 

49. M.J. Gazalé, Gnomon: From Pharaohs to Fractals, Princeton, 1999, str.223-224. 

50. B.B Mandelbrot, The fractal geometry of nature, New York, W.H.Freeman.1993; 

51 C. A. Pickover,Mazes for the Mind: Computers and the Unexpected, St. Martin’s 

Press, 1992, str. 71-77; L. Kindermann, MusiNum — The Music in the Numbers: 

http:/bfws7e.informatik.uni-erlangen.de/~kinderma/musinum.html; 

N. Mucherino, Recursion: A Paradigm for Future Music?, http://www-ks.rus.unistuttgart.de:/people/ 

schulz/fmusic/recursion.html; 

52. J. Kudrewicz, Fraktale i chaos, WNT, Warszawa 1993 

53. P. Pierański, Fraktale, Od geometrii do sztuki, Wydanie 1, Instytut Fizyki 

Molekularnej PAN, Ośrodek Wydawnictw Naukowych, Poznań 1992 

54. M. F. Barnsley, Fractals everywhere, Boston, Academic Press Professional, 1993; 

K.Falconer. Chichester : John Wiley and Sons, Fractal geometry :mathematical 

foundations and applications, cop. 2003. 

55. A. K. Kwaśniewski, Algorytmy i iteracje, 1996 

56. http://www.eugeniuszm.scholaris.pl/ 

57. http://pl.wikipedia.org/wiki 

58. M. Tempczyk, Geometria fraktali dzisiaj, Matematyka 6, 1996 

59 Program komputerowy, Shareware, FFF (FANTASTIC-FRACTAL-FACTORY), ver 

7/94 

60. http://helios.et.put.poznan.pl/~mmatels/plik.html 

61. P. Sheng, Introduction to Wave Scattering, Localization and Mesoscopic 

Phenomena, Academic Press, New York, 1995. 

62 A. Sparenberg, G.L.J.A. Rikken, B.A. van Tiggelen, Phys. Rev. Lett. 79 (1997) 

757; D.S.Wiersma, M. Colocci, R. Righini, F. Aliev, Phys. Rev. B 64 (2001) 144208; 

F. Scheffold, G. Maret, Phys. Rev. Lett. 81 (1988) 5800. 

63. T. Fujiwara, T. Ogawa, Quasicrystals, Springer Verlang, Berlin, 1990. 

64. A. Thue, Norske Vidensk. Selsk. Skr. I. Mat. -Nat. K17 (1) (1906); 

A. Thue, Norske Vidensk. Selsk. Skr. I. Mat. -Nat. 11 (1912). 

M. Morse, Trans. Am. Math. Soc. 22 (1921) 84; 

M. Morse, Am. J. Math. 43 (1921) 35. 

Z. Cheng, R. Savit, R. Merlin, Phys. Rev. B 37 (1988) 4375. 

65. C. Pisot, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 7 (1938) 205. 

66. E. Bombieri, J.E. Taylor, J. Physique Colloq 48 (1987) C3–C19. 

67. C.S. Ryu, G.Y. Oh, M.H. Lee, Phys. Rev. B 48 (1993) 132. 

68. N. Liu, Phys. Rev. B 55 (1997) 3542. 

69. R. Pelster, V. Gasparian, G. Nimtz, Phys. Rev. B 55 (1997) 7645. 

70. M.S. Vasconcelos, E.L. Albuquerque, Phys. Rev. B 59 (1999) 11128.S.F. 

Musikhin, V.J. Il’in, O.V. Rabizo, L.G. Bakueva, T.V. Yudinstseva, Semiconductors 

31 (1997) 46. 

71. F. Qiu, R.W. Peng, X.Q. Huang, Y.M. Liu, M.Wang, A. Hu, S.S. Jiang, Europhys. 

Lett. 63 (2003) 853. 

101

72. L. Dal Negro, M. Stolfi, Y. Yi, J. Michel, X. Duan, L.C. Kimerling, J. Le Blanc, J. 

Haavisto, Appl. Phys. Lett. 84 (2004) 5186. 

73. L. Dal Negro, J.H. Yi, V. Nguyen, Y. Yi, J. Michel, L.C. Kimerling, Appl. Phys. 

Lett. 86 (2005) 261905. 

74. X. Jiang, Y. Zhang, S. Feng, K.C. Huang, Y. Yi, J.D. Joannopoulos, Appl. Phys. 

Lett. 86 (2005) 201110. 

75. M.E. Mora-Ramos, V. Agarwal, J.A. Soto-Urueta, Microelect. J. 36 (2005) 413. 

76. J. B. Sokoloff, Phys. Rep. 126 (1985) 198. 

77. P. Tong, “Measurement of disorder in three– component nonperiodic sequences”, 

Phys. Lett. A 207 (1995) 159–164 

78. R. Riklund et al. Int. J. Mod. Phys. B I (1987) 121; 

M.G. Qin, H.R. Ma, C.H. Tsai, J. Phys. Condens. Matter 2 (1990) 1059; 

Q. Niu, F. Nori, Phys.Rev. Lett. 57 (1986) 2057; 

H. R. Ma, I. H. Tsai, J. Phys. C 21 (1988) 4311 

79. P. Tong, Trace maps and electronic properties of a class of three– component 

nonperiodic lattices, Phys. Lett. A 217, (1996) 141– 150; W. Steurer, Daniel Sutter- 

Widmer, Photonic and phononic crystals, J. Phys.. D: Appl.Phys. vol. 40, 2007, R- 

229-R247 

80. C.E Shannon, M. Weaver ‘The mathematical theory of 

communication’,Univ. Of Illinois Press, Chicago, 1949 

81. J. Tond, R. Merlin, Roy Clarke , K. M.Mohanty, J. D. Axe, Phys. Rev. 

Lett. 57 (1986) 1157; Z. Cheng, R. Savti, R. Merlin, Phys. Rev. B 37 (1988) 

4375; R. Merlin , J. Phys. (Paris) Colloq. 48 (1987) C5- 503; F. Axel, H. 

Terauchi, Phys. Rev. Lett. 66(1991) 2223 

82. B. L. Burrows , K. W. Sulston , J.Phys. A 24 (1991) 3797 

83. L. de Arcangelis, S. Redner, A. Coniglio, Phys. Rev. B 31 (1985) 4725. 

J.B. Drake, J.F. Weishampel, Forest Ecol. Manage. 128 (2000) 121; G.D. Tourassi, 

E.D. Frederick, N.F. Vittitoe, C.E. Floyd, R.E. Coleman, Radiology 213 (1999) 572; 

C. Paredes, F.J. Elorza, Comput. Geosci. 25 (1999) 1081. 

84. M.S. Vasconcelos, E.L. Albuquerque, Phys. Rev. B 57 (1998) 2826; C.G. Bezerra, 

E.L. Albuquerque, Physica A 245 (1997) 379; C.G. Bezerra, E.L. Albuquerque, 

Physica A 255 (1998) 285. 

85.W.Salejda, Dynamika sieci i przewodnictwo elektryczne kwazijednowymiarowych 

struktur aperiodycznych, autoreferat habilitacyjny, plik habil_ps.zip dostępny pod 

adresem http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/ (zakładka „Spis publikacji”), rozdziały 

dotyczące analizy multifraktalnej 

86. T.C. Halsey, M.H. Jensen, L.P. Kadano, I. Procaccia, B.I. Shraiman, Phys. Rev. A 

33 (1986) 1441. 

87. T. Vicsek, Fractal Growth Phenomena, World Scientic, Singapore, 1989. 

A.L. Olemskoi, A.Ya. Flat, Phys. Uspekhi 36 (1993) 1087. 

88. M.S. Vasconcelos, E.L. Albuquerque, A.M. Mariz, J. Phys.: Condens. Matter 10 

(1998) 5839. 

89. G. Paladin, A. Vulpiani, Phys. Rep. 156 (1987) 148; J.L. McCauley, Phys. Rep. 

189 (1990) 225;T.C. Halsey, M.H. Jensen, L.P. Kadano, I. Procaccia, B.I. Schraiman, 

Phys. Rev. A 33 (1986) 1141; T.C. Halsey, P. Meakin, I. Procaccia, Phys. Rev. Lett. 

56 (1986) 854. 

90. A.B. Chhabra, R.V. Jensen, Phys. Rev. Lett. 62 (1989) 1327. A.B. Chhabra, C. 

Meneveau, K.R. Srenivasan, Phys. Rev. A 40 (1989) 5284. 

116. R. Merlin, K. Bajema, R. Clarke, F. Y. Juang, P. K. Bhattacharya, Phys. Rev. 

Lett. 55 (1985) 1768 

91. Pendry J. B., Holden A. J., Stewart W. J., and Youngs I., Phys. Rev. Lett. 76, 4773 

(1996). 

92. Pendry J. B., Holden A. J., Robbins D. J., and Stewart W. J., IEEE Trans. 

Microwave Theory Tech. 47, 2075 (1999); Silin R. A. Neobychnye Zakony 

102

Prelomleniya i Otrazheniya (Unusual Laws of Refraction and Reflection) (Moscow: 

Fazis, 1999); Silin R. A., Chepurnykh I. P., Radiotekh. elektron 46, 1212 (2001); [J. 

Comm. Techol. Electron. 46, 1121 (2001).] Silin R. A., Radiotekh. elektron 47, 186 

(2002) [J. Comm. Techol. Electron. 47, 169 (2002).] 

93. Smith D. R., Padilla W. J., Vier D. C., Nemat-Nasser S. C., Schultz S., Phys. Rev. 

Lett. 84, 4184 (2000); R.A. Shelby, D.R. Smith, S. Schultz., Science 292, 77 (2001). 

94. K. Yu. Bliokhand Yu. P. Bliokh “What are the left-handed media and what is 

interesting about them?, arXiv: physics/0408135v2 

95. J.B. Pendry, Phys. Rev. Lett 85 3966 (2002); 

http://xlab.me.berkeley.edu/publications.htm;http://www.mahalo.com/Xiang_Zhang; 

N. Fang, H. Lee, Ch. Sun, X. Zhang, Sub–Diffraction-Limited Optical Imaging with a 

Silver Superlens, Science nr 308, 22.04.2005; Z. Liu, H. Lee, Y. Xiong, Ch. Sun, X. 

Zhang, Far-Field Optical Hyperlens Magnifying Sub-Diffraction-Limited Objects, 

Science nr 315, 23.03.2007; J. Yao, Z. Liu, Y. Liu, Y. Wang, Ch. Sun, G. Bartal, 

Optical Negative Refraction in Bulk Metamaterials of Nanowires, Science nr 321, 

15.08.2008. 

95a. Jason Valentine, Shuang Zhang, Thomas Zentgraf, Erick Ulin-Avila, Dentcho A. 

Genov, Guy Bartal & Xiang Zhang, Three-dimensional optical metamaterial with 

a negative refractive index, Nature 455, 376-379 (18 September 2008) 

96. Fragment artykułu z ‘Gazety Wyborczej’ z dnia 12. 08.08 r. oraz strony 

Sieć Doskonałości METAMORPHOSE: http://www.metamorphose-eu.org 

Zakład Optyki Informacyjnej UW: http://zoi.fuw.edu.pl; J.B.Pendry, D. Schurig, D.R. 

Smith, Controlling electromagnetic fields. Science 312,1780–1782 (2006); U. 

Leonhardt, Optical conformal mapping. Science 312, 1777–1780 (2006); U. 

Leonhardt, Notes on conformal invisibility devices. New J. Phys. 8, 118 (2006); D. 

Schurig, Metamaterial electromagnetic cloak at microwave frequencies. Science 

314,977–980 (2006). 

97. C. Wenshan, K.U. Chettiar, V. A. Kildishev, V.M. Shalaev, ‘Optical cloaking with 

metamaterials’, nature photonics/VOL 1/ April 2007 

www.nature.com/naturephotonics 

98. S.A.Cummer, B.I. Popa., D. Schurig, D.R. Smith, J. Pendry, “ Full-wave 

simulations of electromagnetic cloaking structures.”, Phys. Rev. E 74, 036621 (2006); 

V.M. Shalaev “Nonlinear Optics of Random Media: Fractal Composites and Metal- 

Dielectric Films”, (Springer, Berlin, 2000). 

99. Garcia de Abajo F. J., Gomez-Santos G., Blanco L. A., Borisov A. G., Shabanov 

S. V., “Tunneling mechanism of light transmission through metallic films.”, Phys. 

Rev. Lett. 95, 067403 (2005); U.K. Chettiar, “From low-loss to lossless optical 

negative-index materials.” CLEO/QELS-06 Annual Meeting Proceedings, Long 

Beach, California, May 21–26 (2006); T.A. Klar, A.V. Kildishev , Drachev V. P., 

Shalaev V. M.,” Negative-index metamaterials: Going optical.” IEEE J. Sel. Top. 

Quant. Electron. 12, 1106–1115 (2006). 

http://www.youtube.com/watch?v=Ja_fuZyHDuk&eurl= 

http://www.cbc.ca/technology/story/2009/01/15/invisibility-cloak.html 

100. A. C. Hamilton, J. Courtial, Metamaterials for light rays: ray optics without 

wave-optical analog in the ray-optics limit, dostępne na arXiv:0809.4370v2 

[physics.optics] 27.01.2009; K. Vynck, D. Felbacq, E. Centeno, A. I. Cabuz, D. 

Cassagne, B. Guizal, All-Dielectric Rod-Type Metamaterials at Optical Frequencies, 

dostępne na arXiv:0805.0251v2 [physics.optics] 05.02.2009; 

101. Koray A., I. Bulu, E. Ozbay„Electromagnetic wave focusing from sources inside 

a two-dimensional left-handed material superlens”, New Journal of Physics 8 (2006) 

221 

102. V.M. Shalaev, Optical negative-index metamaterials, Nat. Photon.1 (2007) 41; 

C.M. Soukoulis, M. Kafesaki, E.N. Economou, Negative-index materials: new frontier 

in optics, Adv. Mater. 18 (2006)1941. 

103

103. R.A. Shelby, D.R. Smith, S. Schultz, Experimental verification of a negative 

index of refraction, Science 292 (2001) 77. 

104. T.J.Yen,W.J. Padilla, N. Fang, D.C.Vier, D.R. Smith, J.B. Pendry, D.N. Basov, 

X. Zhang,Terahertz magnetic response from artificial materials, Science 303 (2004) 

1494; S. Zhang, W. Fan, B.K. Minhas, A. Frauenglass, K.J. Malloy, S.R.J. Brueck, 

Midinfrared resonant magnetic nanostructures exhibiting a negative permeability, 

Phys. Rev. Lett. 94 (2005) 037402–37404. 

N. Katsarakis, G. Konstantinidis, A. Kostopoulos, R.S. Penciu, T.F. Gundogdu, M. 

Kafesaki, E.N. Economou, T. Koschny, C.M. Soukoulis, Magnetic response of splitring 

resonators in the far-infrared frequency regime, Opt. Lett. 30 (2005) 1348. 

105. S. Linden, C. Enkrich, M. Wegener, J. Zhou, T. Koschny, C.M. Soukoulis, 

Magnetic response of metamaterials at 100-THz, Science 306 (2004) 1351. 

C. Enkrich, M.Wegener, S. Linden, S. Burger, L. Zschiedrich, F. Schmidt, J.F. Zhou, 

T. Koschny, C.M. Soukoulis, Magnetic metamaterials at telecommunication and 

visible frequencies, Phys. Rev. Lett. 95 (2005) 203901–203904. 

106. H.K. Yuan, U.K. Chettiar,W. Cai, A.V. Kildishev, A. Boltasseva, V.P. Drachev, 

V.M. Shalaev, A negative permeability material at red light, Opt. Express 15 (2007) 

1076. 

107. W. Cai, U.K. Chettiar, H.K. Yuan, V.C. De Silva, A.V. Kildishev, V.P. Drachev, 

V.M. Shalaev, Metamagnetics with rainbow colors, Opt. Express 15 (2007) 3341. 

108. C. Enkrich, F. Perez-Williard, D. Gerthsen, J. Zhou, T. Koschny, C.M. 

Soukoulis, M. Wegener, S. Linden, Focused-ion-beam nanofabrication of nearinfrared 

magnetic metamaterials, Adv. Mater. 17 (2005) 2547; W.M. Klein, C. 

Enkrich, M.Wegener, C.M. Soukoulis, S. Linden, Single-slit split-ring resonators at 

optical frequencies: limits of size scaling, Opt. Lett. 31 (2006) 1259. 

109. V.M. Shalaev, W. Cai, U.K. Chettiar, H.K. Yuan, A.K. Sarychev, V.P. Drachev, 

A.V. Kildishev, Negative index of refraction in optical metamaterials, Opt. Lett. 30 

(2006) 3356; S. Zhang,W. Fan, N.C. Panoiu, K.J. Malloy, R.M. Osgood, S.R.J. 

Brueck, Experimental demonstration of near-infrared negativeindex metamaterials, 

Phys. Rev. Lett. 95 (2005) 137404; G. Dolling, C. Enkrich, M. Wegener, C.M. 

Soukoulis, S. Linden, Simultaneous negative phase and group velocity of light in a 

metamaterial, Science 312 (2006) 892; G. Dolling, C. Enkrich, M. Wegener, C.M. 

Soukoulis, S. Linden, Low-loss negative-index metamaterial at telecommunication 

wavelengths, Opt. Lett. 31 (2006) 1800;G. Dolling, M. Wegener, C.M. Soukoulis, S. 

Linden, Negative index metamaterial at 780 nm wavelength, Opt. Lett. 32 (2007) 53; 

U.K. Chettiar, A.V. Kildishev, H.K. Yuan, W. Cai, S. Xiao, V.P. Drachev, V.M. 

Shalaev, Dual-band negative index metamaterial: double negative at 813 nm and 

single negative at 772 nm, Opt. Lett. 32 (2007) 1671; S. Zhang, W. Fan, K.J. Malloy, 

S.R.J. Brueck, N.C. Panoiu, R.M. Osgood, Near-infrared double negative 

metamaterials, Opt. Express 13 (2005) 4922. 

110. T.A. Klar, A.V. Kildishev, V.P. Drachev, V.M. Shalaev, Negative index 

metamaterials: going optical, IEEE J. Sel. Top. Quant. Electron. 12 (2006) 1106– 

1115; A.K. Popov, V.M. Shalaev, Compensating losses in negative index 

metamaterials by optical parametric amplification, Opt. Lett. 31 (2006) 2169–2171; 

A.K. Popov, S.A. Myslivets, T.F. George, V.M. Shalaev, Four wave mixing, quantum 

control and compensating losses in doped negative-index photonic metamaterials, 

Opt. Lett. 32 (2007) 3044–3046. 

111. A. Boltasseva , V. M. Shalaev, Fabrication of optical negative-index 

metamaterials: Recent advances and outlook, Invited Review Metamaterials 2 (2008), 

1–17 

112. V.M. Shalaev, Optical negative-index metamaterials, Nat. Photon.1 (2007) 41. 

113. S.R.J. Brueck, Optical and interferometric lithography— nanotechnology 

enablers, Proc. IEEE 93 (2005) 1704. N. Feth, C. Enkrich, M.Wegener, S. Linden, 

Large-area magnetic metamaterials via compact interference lithography, Opt. 

Express 15 (2006) 501. 

104

114. S.Y. Chou, P.R. Krauss, P.J. Renstrom, Nanoimprint lithography, J. Vac. Sci. 

Technol. B 14 (1996) 4129. 

115. G. Dolling, M. Wegener, S. Linden, Realization of a threefunctional- layer 

negative-index photonic metamaterial, Opt. Lett. 32 (2007) 551. 

116. N. Liu, H. Guo, L. Fu, S. Kaiser,H. Schweizer,H. Giessen, Three dimensional 

photonic metamaterials at optical frequencies, Nat. Mater. 7 (2007) 31–37. S. 

Subramania, S.Y. Lin, Fabrication of three-dimensional photonic crystal with 

alignment based on electron beam lithography, Appl. Phys. Lett. 85 (2004) 5037. 

117. K. Takada, H.-B. Sun, S. Kawata, Improved spatial resolution and surface 

roughness in photopolymerization-based laser nanowriting, Appl. Phys. Lett. 86 

(2005) 071122–71123. F. Formanek, N. Takeyasu, K. Tanaka, K. Chiyoda, T. 

Ishihara, S. Kawata, Selective electroless plating to fabricate complex three 

dimensional metallic micro/nanostructures, Appl. Phys. Lett. 88 (2006) 083110. 

118. F. Formanek, N. Takeyasu, T. Tanaka, K. Chiyoda, A. Ishikawa, S. Kawata, 

Three-dimensional fabrication of metallic nanostructures over large areas by twophoton 

polymerization, Opt. Express 14 (2006) 800. 

Y. Chi, E. Lay, T.-Y. Chou, H.-Y. Song, A.J. Carty, Deposition of silver thin films 

using the pyrazolate complex [Ag(3,5- (CF 3 ) 2 C 3 HN 2 )] 3 , Chem. Vapor Depos. 11 

(2007) 206. 

119. S. Griffith, M. Mondol, D.S. Kong, J.M. Jacobson, Nanostructure fabrication by 

direct electron-beam writing of nanoparticles, J. Vac. Sci. Technol. B 20 (2002) 2768. 

T. Morita, K. Nakamatsu, K. Kanda, Y. Haruyama, K. Kondo, T. Kaito, J. Fujita, T. 

Ichihashi, M. Ishida, Y. Ochiai, T. Tajima, S. Matsui, Nanomechanical switch 

fabrication by focused-ion-beam chemical vapor deposition, J.Vac. Sci.Technol.B22 

(2004) 3137. 

120. N. Kehagias, V. Reboud, G. Chansin, M. Zelsmann, C. Jeppesen, C. Schuster, M. 

Kubenz, F. Reuther, G. Gruetzner, C.M. Sotomayor Torres, Reverse-contact UV 

nanoimprint lithography for multilayered structure fabrication, Nanotechnology 18 

(2007) 175303–175304. 

105

Beata StaÅkiewicz - Instytut Fizyki

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?

Beata StaÅkiewicz - Instytut Fizyki