LOGIˇCKI TIPOVI I ONTOLOGIJA – ZABILJEŠKE

LOGIČKI TIPOVI I ONTOLOGIJA –
ZABILJEŠKE
5.2.2009., 2.12.2007., prva inačica 23.06.2004.

1 Uvod: logički tipovi i ontologija
1.1 Što su to logički tipovi
Uvodno razlikovanje: prema logičkome tipu razlikujemo, primjerice, pojedinačne
predmete od njihovih svojstava i relacija, a od svega toga, nadalje,
svojstva svojstava i relacija, relacije svojstava i relacija, itd.
Prva teorija tipova:
B. Russell (1872.–1970.) u ‘Mathematical logic as based on the theory of
types’ (ML), 1908., (Logic and Knowledge, London 1956.); u A. N. Whitehead,
B. Russell: Principa mathematica (PM), 1910.–1913., sv. 1.
Prethodnici: Frege (1848.–1925.), npr. u ‘Funktion und Begriff’, 1891.,
na kraju teksta; u Grundgesetze der Arithmetik, 1983.-1903., §§21-25).
Lit. Nino B. Cocchiarella, ‘Theory of Types’, u Routledge Encyclopedia
of Philosophy.
Logičke smo tipove već susreli u elementarnoj logici:
a) iskazna logika: nema tipa predmeta, osim ako 〈〉 ne uzmemo kao tip;
b) priročna logika (logika prvoga reda): svi su predmeti u predmetnome
području tipa 0, to su predmeti prvoga reda (pojedinačni predmeti); pokoličavanje
se izrvršuje samo po predmetima tipa 0 — upravo se time i definira
logika prvoga reda. Tomu tipu predmeta odgovaraju i simboli tipa
0: predmetne konstante i predmetne varijable. Skupovi uredenih n-toraka
(tj. relacije) predmeta prvoga reda, tipa su 〈0, . . .,0〉 (ne ulaze u predmetno
područje) i označeni su prirocima istoga tipa. To su tipovi drugoga reda.
Mjesnost je priroka zapravo oznaka za tip. Tek se logikom drugoga reda
uvodi i pokoličavanje na “predmetima” drugoga reda.
Tipske su razlike relativne: npr. brojeve možemo uzeti kao predmete
tipa 0 (tip prvoga reda), a njihova svojstva i relacije kao tipove drugoga reda
— iako se brojevi kao takvi mogu definirati kao svojstva svojstava (tipovi
trećega reda).

1.2 Ontologija
Ontologiju smo dosad (u logici prvoga reda) maksimalno držali neutralnom
i liberalnom - u smislu što ćemo prihvaćati kao predmete (u predmetnome
području), a što ne. Kao predmeti prvoga reda javljali su nam se:
• konkretni predmeti: obični predmeti (ljudi, gradovi, stolice i sl.;
• apstraktni predmeti: geometrijska tijela, brojevi, jezični predmeti u
dokazu potpunosti);
Uz to su se javljali pojmovi kao istina, neistina (već u iskaznoj logici) i
relacije (skupovi n-toraka) koji su unosili odredenu “strukturu” medu predmete.
Istinu (neistinu) i relacije kao takve nismo uzimali kao predmete,
makar bismo i to mogli ako zanemarimo njihovu specifičnost (npr. neka
D = {i, n}).
Javljali su se problemi: npr. što označuju odredeni opisi? Russell je na
to pitanje odgovorio eliminacijom odredenih opisa, dopuštajući samo njihovo
kontekstualno značenje u rečenici.
U logici višega reda, gdje se u predmetnim područjima javljaju i predmeti
višega reda, uspostavlja se izričit logički odnos medu predmetima različitoga
reda. Ontologija time dobiva širu i općenitiju strukturu.
3

2 Paradoksi
Razdioba paradoksa (Frank Ramsey (1903.–1930.), ‘The foundations of mathematics’,
1925.):
1) logičko-matematički: Burali-Fortiev, Cantorov, Russellov (Zermelo)
paradoks.
2) semantički ili epistemologijski: Epimenid, Richardov, Berryev, Grellingov
paradoks.
2.1 Cantorov paradoks i teorija skupova
Pojam sveopćega (univerzalnoga) skupa U (skup svih skupova) sadrži paradoks!
(Georg Cantor, 1845.–1918., izgradio teoriju skupova 1874.–1897.)
2.1.1 Prethodni pojmovi
Skup: ”okupljanje u cjelinu odredenih, različitih predmeta naše zamjedbe ili
naše misli” (Cantor, 1895.).
Kardinalni broj skupa S, |S|: broj članova skupa S. Prazan skup ima
kardinalni broj 0.
A i B imaju isti kardinalni broj, |A| = |B|, akko su jednakobrojni (ekvipotentni),
A ≈ B.
— Skupovi su A i B jednakobrojni akko izmedu njih opstoji odgovaranje
(korespondencija) 1 za 1; tj. obostrano jednoznačno pridruživanje (bijekcija
= injekcija i surjekcija, s A na B).
Skup je S beskonačan ako i samo ako je jednakobrojan sa svojim pravim
podskupom. Inače je konačan.
Npr. skup N (prirodni brojevi) i skup svih parnih pozitivnih cijelih brojeva
kao pravi podskup skup N .

(Alternativno: skup je konačan akko jednakobrojan je s nekim prirodnim
brojem. Pri tom je prirodan broj definiran kao skup svih manjih brojeva -
von Neumannova definicija prirodnoga broja. — I prazan je skup konačan).
Skup je prebrojiv (denumerable) ako i samo ako ima isti kardinalni broj
kao i P (skup svih pozitivnih cijelih brojeva). Taj je kardinalni broj ℵ 0 (“alef
nula”). – Npr. prebrojiv je skup Q (skup svih racionalnih brojeva) — sve
racionalne brojeve možemo uvrstiti u tablicu a zatim ih postaviti u linearni
poredak (pratimo strjelice u tablici!):
1
→ 1 1 2
2
1
1
→ . . .
3
ւ ր ւ
2
2
↓ ր ւ
3
1
3
2
. ւ .
2
. . .
3
3
. . .
3
.
Skup je izbrojiv (enumerable, countable) ako i samo ako je konačan ili
prebrojiv.
Ima i beskonačan neprebrojiv skup - R (skup svih realnih brojeva). To
se dokazuje dijagonalnim postupkom: definira se broj n veći od 0 a manji
ili jednak 1 (0 < x ≤ 1), koji se od prvoga broja u pretpostavljenoj tablici
svih brojeva toga intervala razlikuje prema prvoj decimali, od drugoga prema
drugoj itd. Definiranoga broja n nema u tablici, tj. ne može se prebrajanjem
doći do njega:
0, a 1,1 a 1,2 a 1,3 . . .
0, a 2,1 a 2,2 a 2,3 . . .
0, a 3,1 a 3,2 a 3,3 . . .
.
.
.
Napomenimo da se brojevi u tablicu zapisuju tako da nema nijedne znamenke
iza koje slijede same nule, nego se umjesto 0, 1000 . . . piše 0, 0999 . . .
itd. (razlika izmedu 0, 1 i 0, 0999 . . . konvergira nuli: 0, 01; 0, 001; 0, 0001; . . .)
— dakle se radi samo o beskonačnim decimalnim razlomcima.
Broj je n definiran tako da se dijagonalno umjesto a i,i stavlja znamenka
koja nije ni a i,i ni 0.) Stoga se n razlikuje od prvoga broja po tome što
.
5

umjesto a 1,1 ima bilo koju znamenku koja nije ni a 1,1 ni 0; od drugoga se
broja po tome što umjesto umjesto a 2,2 ima bilo koju znamenku koja nije ni
a 2,2 ni 0; itd. n se stoga razlikuje od svakoga broja u tablici.
Partitivni (potencijski) skup od S, ℘S, jest skup svih podskupova od S
(uvijek uključuje i prazan skup).
Partitivni skup skupa S ima veličinu 2 S . Partitivni skup skupa P ima
veličinu 2 ℵ 0
.
|R| = c = 2 ℵ 0
. To se dokazuje
• pomoću svojstva realnih brojeva da se svaki realan broj može injektivno
(jedan za jedan) preslikati u podskup racionalnih brojeva manjih od
njega (pa je c ≤ 2 ℵ 0
),
• te pomoću svojstva da se svaki podskup skupa P može injektivno preslikati
u realan broj s decimalnim znamenkama samo 0 i 1 unutar zatvorenoga
intervala [0, 1] (pa je 2 ℵ 0
≤ c) (pritom se redom svakomu
pozitivnomu cijelomu broju koji je član podskupa, pridružuje 1, inače
0).
(Beskonačni ili transfinitni kardinalni brojevi, ℵ 0 , ℵ 1 = c, ℵ 2 = 2 ℵ 1
, itd.
Cantorova hipoteza kontinuuma, 1878.: svaki beskonačan podskup kontinuuma
jest izbrojiv ili ima kardinalni broj kontinuuma.)
2.1.2 Cantorov poučak
Cantorov poučak (1891.) : kardinalni broj partitivnoga skupa od S veći je
od kardinalnoga broja skupa S, |℘S| > |S|. Dokaz:
1) |S| ≤ |℘S|, jer ima funkcija jedan za jedan (injektivna) za koju svaki
član s i ∈ S ima kao svoju sliku jednočlani skup {s i } ∈ ℘S.
2) Dijagonalnim se postupkom dokazuje da |S| ≠ |℘S|. Neka |S| = |℘S|.
Tada opstoji odgovaranje jedan za jedan, tako da svakomu s i ∈ S odgovara
neki p i ∈ ℘S. Neka je p ∗ skup svih članova skupa S koji nisu članovi svojih
odgovarajućih članova skupa ℘S. I skupu p ∗ treba odgovarati neki s ∗ . No,
je li s ∗ ∈ p ∗ . To nas pitanje vodi u protuslovlje. Stoga ne stoji da |S| = |℘S|
Iz 1) i 2) zajedno slijedi poučak.
6

(Quineov slikovit primjer za Cantorov poučak: ima više skupova krava
nego krava.)
2.1.3 Cantorov paradoks
Cantorov paradoks (1899. u pismu Dedekindu, ili koju godinu prije, obj.
1932.): kardinalni broj partitivnoga skupa sveopćega skupa veći je od kardinalnoga
broja sveopćega skupa, |℘U| > |U| — opstoji li sveopći skup i koji
je njegov kardinalni broj?
Cantor je smatrao da je neka skupina skup ako i samo ako ju neprotuslovno
možemo smatrati predmetom. Anticipacija von Neumannova razlikovanja
skupa i razreda.
Lit. Pavle Papić, Uvod u teoriju skupova, Zagreb, 2000; Darko Žubrinić,
Diskretna matematika, Zagreb, 1997; Vladimir Devidé, Matematička čitanka,
Zagreb, 1991.
Seymour Lipschutz, Set theory and related topics, McGraw–Hill, 1998.
Herbert Enderton, Set theory, Academic Press, 1977.
G. Boolos, J. Burgess, R. Jeffrey, Computability and logic (4th izd.), Cambridge
UP, 2002.
2.1.4 Burali-Fortiev paradoks
Cesare Burali-Forti (1897, prvi objavljeni paradoks) — paradoks o skupu
svih rednih brojeva: neka je redni broj skup svih prethodnih rednih brojeva,
skup svih rednih brojeva je ω, ali je redni broj skupa ω broj ω + 1.
2.2 Russellov paradoks
Bertrand Russell (1901. otkrio paradoks, pismo Fregeu 1902., Principles of
mathematics, 1903.); paradoks je neovisno otkrio Ernst Zermelo.
a) Mogu se razlikovati “prirecivi” (predicable) i “neprirecivi” (non-predicable)
priroci (pojmovi). Prvi se pririču sebi (npr. ‘je prirok’ je prirok, ‘je jedno-
7

mjesta’ je jednomjestan), a drugi ne (‘je bijel’ nije bijel, ‘je dvomjestan’ nije
dvomjestan). Definirajmo sljedeći prirok:
ne se priricati sebi.
Pririče li se on sebi ili ne?
b) Skup svih skupova koji nisu svoji članovi, {x | x /∈ x}; je li taj skup
svoj član ili nije?
Taj je paradoks uzdrmao temelje Fregeova logicističkoga programa (svodenja
aritmetike na logiku).
Fregeov V. aksiom:
⊢ ( ) ǫf(ǫ) = ) αf(α)) = ∀x(fx = gx)
)
ǫf(ǫ) je ime vrijednosnoga toka (opsega) funkcije (pojma) f(ξ); definicija:
imati isti vrijednosni tok znači imati za isti argument istu vrijednost funkcije;
vrijednosni je tok za Fregea neki predmet.
Napomene uz Fregea:
a) zašto ‘=’ umjesto ‘↔’? Jer je značenje rečenice i vrijednost pojma (kao
funkcije s jednim argumentom) istinitosna vrijednost — istina (das Wahre)
ili neistina (das Unwahre), a to su za Fregea predmeti (rečenica je vlastito
ime istine, odnosno, neistine);
b) Znak ‘⊢’ ima dva dijela:
vodoravna crta je oznaka za funkciju koji ima vrijednost istinu ako izraz
koji slijedi označuje istinu, i vrijednost neistinu, ako izraz koji slijedi ne
označuje istinu;
okomita (sudna) crta: njome se tvrdi da izraz koji slijedi iza vodoravne
crte znači istinu.
Russellov paradoks ruši i obično (“naivno”) shvaćanje skupova, prema
kojem vrijedi aksiom sadržaja (komprehenzije):
∃y∀x(x ∈ y ↔ P(x))
(odnosno: ∀z 1 . . . ∀z n ∃y∀x(x ∈ y ↔ P(x)), gdje su z 1 , . . .,z n varijable
koje se javljaju u P).
8

Popularizacija Russellova paradoks (Russell, 1919.): brijač u nekome selu
koji brije sve one koji sami sebe ne briju. Brije li on sam sebe ili ne? - No to
možemo lako riješiti, zaključujući da nema takova brijača.
2.3 “Semantički” (“epistemologijski”) paradoksi”
2.3.1 Richardov paradoks
Jules Richard (1905. - pismo uredniku časopisa, pretisnuto 1906.)
1) Skup svih (konačnih) izraza pomoću hrvatske abecede (30 slova) jest
prebrojiv (shvatimo i rečenice kao nizove slova). Te izraze možemo poredati:
jednočlani izrazi (jedno slovo): ima ih 30
dvočlani izrazi (dva slova): ima ih 30 × 30
tročlani izrazi (tri slova): ima ih 30 × 30 × 30
itd.
(kao i decimalni sustav brojeva, samo je ovdje osnovica 30; u decimalnom
sustavu ne brojimo posebno brojke koje počinju s nulama)
2) E: svi (decimalni) brojevi koji se mogu definirati konačnim brojem
riječi; ima prebrojivo mnogo takvih brojeva (npr. ima prebrojivo mnogo
različitih brojeva koji se mogu izraziti kao konačni decimalni razlomci; no
prebrojivim skupom izraza ne može se izraziti više od prebrojivo mnogo
brojeva).
Te brojeve i njihove definicije možemo poredati u niz (idemo redom po
nizu izraza i preskačemo sve one koji ne označuju broj):
1. broj - definicija 1
2. broj - definicija 2
3. broj - definicija 3
itd.
3) N: broj koji ima 0 kao cijelu znamenku, a od n-toga broja izmedu 0 i
1 razlikuje se u njegovoj n-toj znamenci p, tako da
umjesto p ima p + 1 ako p nije 8 ili 9, ili 1 ako je p 8 ili 9.
9

Toga broja nema u tablici, a ipak je definiran konačnim brojem riječi.
(To je dijagonalni postupak kao u Cantora za neprebrojivaost skupa realnih
brojeva.)
Kao da ima više nego prebrojivo mnogo brojeva s konačnim definicijama,
a ipak, ima samo prebrojivo mnogo brojeva s konačnim definicijama.
2.3.2 Berryev paradoks
George Godfrey Berry (1906., oxfordski knjižničar), paradoks formulirao Russell
(1906.) na temelju Berryeva pisma:
Najmanji broj neimenljiv u manje od dvadeset slogova.
The least integer not nameable in fewer than nineteen syllables.
(111,777)
2.3.3 Grellingov paradoks
Kurt Grellling (1908.) (verbalna) varijanta Russellova paradoksa: razlikuju
se heterologijski i autologijski pridjevi prema tome govore li o sebi ili ne.
a) heterologijski pridjevi: jednosložan, bijel, drven, brz, itd.
b) autologijski pridjevi: višesložan, trosložan, hrvatski, izreciv,
ne-bijel, itd.
Je li pridjev “heterologijski” heterologijski?
2.3.4 Lažljivac i dr.
Lažljivac (Eubulid, filozof 4. st. pr. Kr.): Ovo što upravo govorim, jest neistinito.
Epimenid (oko 600.): Svi Krećani lažu (nije pravi paradoks, zašto?).
Ti se paradoksi rješavaju uvodenje hijerarhije jezikâ (predmetni jezik i
metajezik, Tarski).
10

2.4 Razgranjena (ramificirana) teorija tipova
2.4.1 Opća značajka paradoksâ prema Russellu
Russell: navedeni paradoksi sadrže pretpostavku o nekoj sveukupnosti (totality)
koja treba uključivati i članove definirane samom tom sveukupnošću
(ili: uključivati samu sebe kao svoj član), samoodnošajnost:
• svi skupovi i skup svih skupova (ako nisu svoji članovi); svi pojmovi i
pojam koji vrijedi o svih pojmovima (ako ne vrijede o sebi) (Russellov
i Cantorov paradoks, koji Russell ovdje ne navodi) (Russell navodi i
odgovarajući paradoks o svim relacijama i relaciji T svih relacija ako
ne stoje u relaciji T - vrijedi li T(T, T)?),
• svi redni brojevi i redni broj (dobro uredena skupa) svih rednih brojeva
(Burali-Forti),
• sve (konačne) definicije (brojeva) i definicija definirana svim tim definicijama
(Richard),
• sva imena i ime koje uključuje sva imena (Berry): za svako ime i, ako
i ima manje od 20 slogova, i ne imenuje broj n,
• svi pridjevi i pridjev svih pridjeva (ako ne govore o sebi) (Grelling) -
nema u Russella,
• svi iskazi i iskaz o svim iskazima (ako ih sada iskazujem) (Lažljivac):
za bilo koji iskaz p vrijedi, ako sada tvrdim p, p nije istinito.
2.4.2 Načelo “poročnoga (začaranoga) kruga”
Paradoksi će se izbjeći ako se pridržavamo načela poročnoga kruga: štogod
uključuje sve članove neke skupine (collection), ne smije biti član te skupine.
(Ili: nijedna sveukupnost (totality) ne može sadržavati članove definirane
tom sveukupnošću)
2.4.3 Logički tipovi
Postoje u Russella 2 “lagano različite” inačice teorije tipova (Church):
1. (ranija): ML, 1908. i Uvod u PM, pogl. 2,
11

2. (kasnija): PM, *12, i Uvod u 2. izd. PM.
(ima i Churchova inačica iz Introduction to mathematical logic, 1956,
§§58–59).
Uglavnom se držimo prve, ranije inačice.
Prethodna razlikovanja
1. Pojedinačni predmeti (individuals): jednostavni, opstoje samostalno
(on its own account)
2. stavci (propositions) (i sudovi kojim ih tvrdimo); jednostavan primjer:
stavak “A vidi B” jest složaj sastavnica A, videnje, i B – vidjenje tu
nije relacija nego član (term) relacije bistava (entities); pojedinačni su
predmeti “izvorne” (genuine) sastavnice stavaka, ne nestaju u analizi
kao razredi i odredeni opisi (PM 51); stavak je nepotpun i traži dopunu
sudom,
3. stavačne funkcije: ono što dobijemo kad neke članove u stavku ostavimo
dvosmislenim, neodredenim, dvosmislene su – njihov izraz sadrži
varijablu; – kad se varijabli priduži vrijednost, dobivamo stavke.
Stavačna je funkcija npr. φˆx, njezina neodredena je vrijednost φx, njezina
je odredena (nedvosmislena) vrijednost φa.
Stavačna se funkcija ne definira kao preslikavanje sa skupa u skup, jer se
ne pretpostavlja opstojnost skupova te se skup izvodi iz stavačne funkcije.
Kažemo da vrijednost x za koju je φx istinito, zadovoljava funkciju φˆx.
(a) Funkcija ne može imati medu svojim vrijednostima ništa što pretpostavlja
funkciju; vrijednosti funkcije su pretpostavljene funkcijom a ne obratno
(PM 39). Jer funkcija je dobro-definirana kad su joj dobro definirane vrijednosti:
PRIMJER: Funkcija φˆx ima neodredenu vrijednost φx; odredene su vrijednosti:
φa, φb, φc itd. Te vrijednost moraju već prije funkcije biti definirane
kao želimo da funkcija bude dobro definirana. – “ˆx je čovjek”, “x je čovjek”
i “Ivan je čovjek”.
(b) Sve funkcije koje kao argument imaju a, nisu legitimna sveukupnost
(prema načelu poročnoga kruga).
12

PRIMJER: funkcija f(φˆx, x), može se poopćiti u: ∀φf(φˆx, x). No i to
je jedna funkcija od x. Stoga bi sama trebala biti jednom od vrijednosti
varijable φˆx. Dakle, funkcija ∀φf(φˆx, x) sadrži sveukupnost – ∀φ – koje bi
sama trebala biti članom.
“Svi” (“uvijek”) u stavačnim funkcijama (npr. pojmovi) ne može uključivati
sve vrijednosti za “x” (tada bi uključivalo i sve stavke i sve funkcije), nego
samo “legitimnu sveukupnost” za koju je funkcija smislena. Ta je legitimna
sveukupnost “područje značenja” funkcije: čine ga svi argumenti za koje je
funkcija istinita ili neistinita (za koje ima znaěnje, vrijednost) (ML 72, 72*,
73).
Riječi kao što su “istiniti”, “neistinit”, “stavak”, “stavačna funkcija” imaju
“sustavnu dvosmislenost”. p je istinito izgleda kao jedna funkcija, ali je
to uistinu mnogo “analognih” funkcija s različitim značenjskim područjima.
Tako ni logički zakoni nisu iskazi (stavci) jer ne možemo reći da vrijede o
svim iskazima. Zbog načela se poročnoga kruga ne može reći: “Svi su iskazi
istiniti ili neistiniti”. Možemo samo reći:
p je istinito ili neistinito,
p i ne-p ne mogu oba biti istiniti,
gdje je p bilo koji iskaz (stavak).
Tip
Tip je “područje značenja neke funkcije”, skupina argumenata za koje rečena
funkcija ima vrijednost (za koje je istinita ili neistinita).
Područje vrijednosti vezane varijable takoder je tip - odreden je funkcijom
koje se sve vrijednosti razmatraju.
Tehnička formulacija načela poročnoga krug: što god sadrži vezanu varijablu,
ne smije biti vrijednost te varijable .
Svaki izraz koji sadrži vezanu (apparent) varijablu (tj. odnosi se na sve
nekoga tipa), višega je tipa od te varijable (ML 102).
Hijerarhija tipova
Prvi tip: pojedinačni predmeti.
1. Funkcije prvoga reda (φ!ˆx, φ!(ˆx, ŷ) a vrijednost im je φ!x, φ!(x, y))
13

(a) matrice (ili: prirične, predikativne funkcije) prvoga reda (nema
vezanih varijabla): vrijednosti su im npr. φx, ψ(x, y), χ(x, y, z)
(b) poopćene matrice prvoga reda (s vezanim varijablama, ali ne na
svim argumentima): vrijednosti su im npr. ∀y ψ(x, y), ∃y ψ(x, y),
∀y∀z χ(x, y, z), ∀y∃z χ(x, y, z), što su sve funkcije od x.
2. Stavci prvoga reda - s poopćenim svim argumentima u matrici prvoga
reda, npr. ∀x∀y φ(x, y).
3. Funkcije drugoga reda (funkcije prvoga reda za varijable, i ništa se
drugo ne javlja za varijable osim pojedinačnih predmeta)
(a) matrice (ili: prirične funkcije) drugoga reda - nema vezanih varijabla:
f(φ!ẑ) s vrijednostima φ!a ili ¬φ!a;
g(φ!ẑ, ψ!ẑ) s vrijednostima φ!a ∧ ψ!a (neR.);
F(φ!ẑ, x) s vrijednostima ¬φ!x;
G(φ!ẑ, x, y) s vrijednostima φ!x ∨ φ!y,
H(φ!ẑ, ψ!ẑ, x) s vrijednostima φ!x ∨ ψ!x, φ!x → ψ!x, φ!x ∧ ψ!x
(b) poopćene matrice drugoga reda (ne na svim argumentima), npr.
∀φ g(φ!ẑ, ψ!ẑ), što je funkcija od ψ!ẑ;
∀xF(φ!ẑ, x), što je funkcija od φ!ẑ;
∀φ F(φ!ẑ, x), što je funkcija od x; itd.
i. s jednim argumentom koji je funkcija prvoga reda: f!(ˆφ!ẑ),
vrijednost: f!(φ!ẑ), npr. ∀xφ!x, ∃xφ!x
ii. s dvama argumentima: funkcijom prvoga reda i pojedinačnim
predmetom, vrijednost joj je f!(φ!ẑ, x)
2.4.4 Aksiom svedljivosti (reducibilnosti)
Radi se o problemu da se u teoriji tipova, koliko smo ju dosad prikazali, ne
može govoriti, primjerice, o svim svojstvima predmeta a. Ipak, tako se govori
u matematici i u običnome govoru.
Odredimo najprije što su to prirične (predikativne), a što neprirične (nepredikativne)
funkcije. Funkcija reda n je prirična (predikativna) akko medu
svojim argumentima ima barem jedan argument reda n − 1 i nema drugih
14

argumenata koji su reda višega od n − 1. – Ako sve argumente reda n − 1
vežemo količiteljem, dobit ćemo nepriričnu (non-predicative) funkciju. (Od
nepriričnih funkcija razlikujmo “impredikativne” – specificirane pomoću sveukupnosti
kojoj funkcija pripada).
Sve stavačne funkcije potječu od priričnih poopćavanja. Npr. x ima sva
svojstva koja čine velikoga generala,
∀φ(f(φ!ẑ) → φ!x)
gdje je f “biti svojstvo koje čini velikoga generala”, nije prirična funkcija.
No može se svesti na priričnu funkciju, npr. ψ!ẑ, što je neko “opće i osobito”
svojstvo prvoga reda upravo velikih generala, npr., disjunkcija točnih trenutaka
rodenja svakoga od velikih generala. – Naravno ta prirična funkcija
(u našem primjeru) ne odgovara po “smislu” svojstvu “imati sva svojstva
velikoga generala”, ali, to je bitno, odgovara opsegovno (ekstenzijski).
Takvi primjeri navode na aksiom svedljivosti: svaka se stavačna funkcija
može svesti na neku priričnu funkciju, npr. za jednu varijablu:
∀φ∃ψ∀x(φx ↔ ψ!x)
Slično je i s istovjetnošću. x i y su istovjetni akko ako je φx istinito,
istinito je φy. Dobivamo hijerarhiju istovjetnostî:
1. sva svojstva prvoga reda koja pripadaju x, pripadaju i y:
Def. x = y ↔ ∀φ (φ!x → φ!y);
(Dovoljno je uporabiti pogodbu, umjesto dvopogodbe, jer φ! može biti
i neko svojstvo koje je osobito upravo za predmet x i nijedan drugi.)
2. sva svojstva drugoga reda koja pripadaju x, pripadaju i y.
Imati sva svojstva drugoga reda x, implicira imati sva svojstva x prvoga
reda. Ali obratno vrijedi samo uz pomoć aksioma svedljivosti. Stoga punu
istovjetnost predmeta x i y dobivamo samo pomoću aksioma svedljivosti (R.
kaže da već Leibnizova “istovjetnost nerazlučljivoga” daje taj aksiom).
Aksiom je svedljivosti nepotreban ako pretpostavimo opstojnost razredâ
(PM 166). Ali (prema Russellu)
15

(1) ako pretpostavimo razrede, rješenje paradoksa se komplicira i
(2) aksiom svedljivosti je manja pretpostavka od pretpostavke o opstojnosti
razreda.
Aksiom se svedljivosti stoga zove i ‘aksiom razredâ’ (‘aksiom relacija’ za
slučaj s više varijabla).
Neprirične su funkcije tim aksiomom poništene - ali samo u opsegovnome
(ekstenzijskome) smislu, ne u sadržajnome (intenzijskome) smislu, kakav
stavačne funkcije imaju.
2.4.5 Problemi razgranjene teorije tipova
– Svaki pojam kao što su “stavak”, “istina”, “funkcija”, “predmet”, “broj”,
beskonačno se umnožava prema svojoj sustavnoj (tipskoj) dvosmislenosti.
– Isključuje se samoodnošajnost, koja se javlja u običnome diskursu i u matematici.
– Aksiom se svedljivosti uvodi kako bi se izbjegla teorija skupova, a sam nije
dostatno očit.
– Russellova formulacija teorije: ne poštuje dovoljno razliku porabe i spomena;
npr. kad R. kaže da stavačna funkcija sadrži varijablu, često zapravo
misli na to da izraz stavačne funkcije sadrži varijablu; φ je katkad shematsko
slovo (npr. kad se kaže: vrijednost funkcije prvoga reda φ!x), a drugi put
varijabla, npr. u ∀φ f(φ!ẑ, x).
Prednosti:
– teorija je jedinstvena, ne traži svoju metateoriju, ne traži teoriju skupova
(teoriju je aktualizirao Alonzo Church u svojoj teoriji “smisla i obilježavanja”
1976., 1984.)
2.5 Dodatak: aksiomatska teorija skupova
“Naivna” teorija skupova:
1. Aksiom opsegovnosti (extensionality):
∀x∀y(∀y(z ∈ x ↔ z ∈ y) → x = y)
16
2. Aksiomatska shema sadržaja (comprehension):

∃x∀y(y ∈ x ↔ p(y))
Kako p može sadržavati i druge varijable, preciznije je formulacije:
∀z 1 . . . ∀z n ∃x∀y(y ∈ x ↔ p(y)).
Aksiomatskom je shemom naznačeno zapravo beskonačno mnogo aksioma
toga oblika (ovisno o tome što stoji za p).
Takva teorija skupova vodi u paradokse (usp. Russellov paradoks za
teoriju skupova). Ernst Zermelo aksiomatizira teoriju skupova (1908.) kako
bi se izbjegli paradoksi. Ta je teorija, uz neke kasnije preinake, poznata pod
nazivom ‘ZF’ (Zermelo-Fraenkel), a ako joj se doda aksiom izbora, oznaǔje
se se ‘ZFC’ (‘C’ za ‘choice’, ‘izbor’). U teoriji se ZF(C) umjesto aksioma
sadržaja uvodi aksiom odijeljenosti (v. dolje). No kako aksiom odijeljenosti
postavlja veliko ograničenja, pretpostavljajući da su nadskupovi već dani,
potrebno je drugim aksiomima osigurati pojedine oblike skupova.
1. Aksiom opsegovnosti, v. gore!
2. Aksiomatska shema odijeljenosti (separation) (aksiom podskupova):
Nadskup z mora već biti dan. Tada pomoću uvjeta p za sve ili neke
njegove clanove dobivamo skup (koji je podskup skupa z).
∀z∃x∀y(y ∈ x ↔ (y ∈ z ∧ p(y))
Poopćeno: ∀w 1 . . .w n ∀z∃x∀y(y ∈ x ↔ (y ∈ z ∧ p(y)).
3. Aksiom praznoga skupa (x je prazan skup):
∃x∀y y /∈ x
Uvodimo oznaku ‘∅’ kao oznaku za prazan skup.
4. Aksiom parova (z je par):
∀x∀y∃z∀w(w ∈ z ↔ (w = x ∨ w = y))
Uvodimo ‘{x, y}’ kao oznaku za neureden par. U slučaju x = y, aksiomom
je osigurana opstojnost skupa s jednim članom.
17

5. Aksiom spoja (unije) (y je unija članova x):
∀x∃y∀z(z ∈ y ↔ ∃w(z ∈ w ∧ w ∈ x))
.
Uvodimo oznaku ‘∪’ za uniju.
6. Aksiom partitivnoga skupa: Svaki skup x ima svoj partitivni skup y.
∀x∃y∀z(z ∈ y ↔ z ⊆ x)
Definiramo podskup: x ⊆ y = def ∀z(z ∈ x → z ∈ y)
Uvodimo ‘℘x’ kao oznaku za partitivni skup skupa x.
7. Aksiom beskonačnosti: Opstoji skup svih prirodnih brojeva.
∃x(∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → y′ ∈ x))
Definicija. y′ = def y ∪ {y} - skup svih prethodnih članova (prema von
Neumannovoj definiciji prirodnoga broja).
Dobivamo beskonačan skup:
{∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}} . . .}
Svaki novi član skupa ima kao svoje članove sve prethodne članove
skupa.
8. Aksiomatska shema zamjene (dodali Fraenkel / Skolem):
∀x(∀y(y ∈ x → ∃!z p(y, z)) → ∃w w = {z|∃y y ∈ x ∧ p(y, z)}))
Ako je dan neki skup x i relacija p koja za svaki član skupa x odreduje
jedan jedinstveni predmet, onda opstoji i skup svih predmeta u relaciji
p prema x.
9. Aksiom pravilnosti (utemeljenosti): Svaki neprazan skup ima barem
jedan član s kojim ima prazan prijesjek (razdvojeni su).
18
∀x(x ≠ ∅ → ∃y(y ∈ x ∧ x ∩ y = ∅))

Definicija. ∀x(x ∈ y ∩ z ↔ (x ∈ y ∧ x ∈ z))
Isključeni su svi skupovi kojima članovi nisu prethodno definirani, kao
skup {{{. . .}}}, koji je sam svoj član. – Svaki skup sadrži minimalni
član u silaznome članstvenome nizu. Skupovi se stoga razlikuju prema
stupnjevima: ℘a je za jedan stupanj viši od skupa a
Odavde slijedi da nijedan skup nije svoj član. Dokaz. Neka a ∈ a.
Tada ima i skup {a}. Medutim tada, suprotno aksiomu pravilnosti,
{a} i njegov jedini član a imaju neprazan prijesijek, naime, zajednički
im je član predmet a.
10. Aksiom izbora (AC): Neka je a skup nepraznih skupova. Tada ima
funkcija f takva da
∀x(x ∈ a → f(x) ∈ x).
Taj se aksiom često osporava. Pogledajmo sljedeća tri primjera:
1. Skup svih nepraznih skupova prirodnih brojeva. Uvijek možemo
izabrati najmanji član skupa.
2. Skup svih intervala realnih brojeva s pozitivnim, konačnim duljinama.
Uvijek možemo izabrati sredinu intervala.
3. No nije pronadena prikladna funkcija za skup svih nepraznih skupova
realnoga kontinuuma (npr., nema svaki takav skup najmanji, najveći
ili srednji član).
U prva dva slučaja aksiom nije potreban, a u trećem se samo (nekonstruktivistički)
postulira izborna funcija.
Dodajmo da se hipoteza kontinuuma i poopćena hipoteza kontinuuma ne
mogu u ZFC niti opovrći (Gödel, 1939.) niti dokazati (Cohen 1963.).
Osim sustava ZFC poznat je, primjerice, i sustav NBG (John von Neumann,
Paul Bernays i Kurt Gödel). Za taj je sustav karakteristično razlikovanje
skupa (kao posebnoga slučaja razreda) i “pravoga razreda”. Uvjet
da x bude skup (S) odreduje se ovako:
Sx ↔ ∃y(x ∈ y)
19

Pravi su razredi “preveliki” da bi bili skupovi:
gdje je V univerzalan skup.
¬Sx ↔ |x| = |V |
20

3 Jednostavna teorija tipova
Usp. M. Fitting, Types, Tableaus and Gödel’s God, Dordrecht: Kluwer, 2002.
Razvoj:
Frege - “stupnjevi”; Russell, Principles of mathematics (1903)
L. Chwistek (1922), Ramsey (1925), Carnap (1929), Gödel
(1931),
Church, 1940. (potpunost teorije tipova: Henkin, 1950)
R. Montague (Formal philosophy, 1974.) - modalno proširenje
Churchove jednostavne teorije tipova; sustav i potpunost: Daniel
Gallin (1975.)
Churchova modalna inačica jednostavne teorije tipova 1974.
3.1 Sintaksa i semantika jezika
3.1.1 Jezik
U jeziku L v imamo odgovarajući mehanizam tipiziranja.
Definicija 3.1.1 (Tip) 0 je tip. Ako su τ 1 , . . ., τ n tipovi, onda je
〈τ 1 , . . ., τ n 〉 tip.
Definicija 3.1.2 (Red) Tip 0 jest tip prvoga reda. Ako je najviši red tipova
τ 1 , . . .,τ n red k, onda je tip 〈τ 1 , . . .,τ n 〉 tip k + 1. reda.
Primjer:
0 — tip prvoga reda (‘Sokrat’),
〈0〉 — tip drugoga reda (‘hrabar’),
〈0, 0〉 — tip drugoga reda (‘veći’),
〈0, 0, 0〉 — tip drugoga reda (‘izmedu’),
〈〈0〉〉 — tip trećega reda (‘krjepost’, ‘boja’, ‘bit’),
〈〈0〉, 0〉 — tip trećega reda (odnos pripadnosti svojstva predmetu, npr. ‘xova
krjepost’, ‘x-ova boja’, ‘x-ova bit’, ili ‘to da neumjerenost kvari Antuna’),
〈〈0, 0〉, 0, 0〉 — tip trećega reda (‘opravdanost odnosa R izmedu x i y’).

Rječnik
1. Konstante: c τ , d τ , e τ . . .,c τ 1 , . . .
neformalno:
• konstante prvoga reda: c, d, e, c 1 , . . .;
• konstante drugoga reda: P n , Q n , R n , P n 1 , . . .;
• konstante višega reda: P τ , Q τ , R τ , P τ 1,...;
(metavarijable: c τ , d τ itd.)
2. Varijable: x τ , y τ , z τ , x τ 1, . . .
neformalno:
• x, y, z, x 1 , . . .;
• X n , Y n , Z n , X n 1 , . . .;
• X τ , Y τ , Z τ , X τ 1 , . . .;
(metavarijable: x τ , y τ itd.)
3. Djelateljni simboli:
• ¬, →, . . .
• ∀, ∃
• λ
4. = 〈τ,τ〉 ,
5. Pomoćni simboli: . , ( )
Tvorbena pravila
Oznaka (term) se i formula moraju definirati zajedno zbog njihove definicijske
meduovisnosti.
Definicija 3.1.3 (Oznaka (term) i formula)
22
1. konstante i varijable jesu oznake,

2. ako je t 〈τ 1,...,τ n〉 oznaka, i ako su t τ 1
1 , . . ., tτn n oznake, onda je t〈τ 1,...,τ n〉 (t τ 1
1 , . . .,tτn n )
formula (jednostavna, atomarna)
(neformalno, kad nema dvosmislenosti, možemo pisati tt 1 ili t(t 1 )),
3. ako je p formula, ¬p je formula,
4. ako je p formula, (p ∧ q), (p ∨ q), (p → q), (p ↔ q) jesu formule
(neformalno, kad ne proizlazi dvosmislenost, možemo izostaviti vanjske
zagrade),
5. ako je p formula a x τ varijabla, ∀x τ p i ∃x τ p jesu formule,
6. ako su x τ 1
1 , . . .,xτn n različite varijable, a p je formula, onda je (λxτ 1 . . .xτ n .p)
oznaka (lambda-apstrakt)
(neformalno, kad je lambda apstrakt sam, možemo izostaviti vanjske
zagrade).
Opći i opstojni količitelj vežu pojavke varijabla analogno logici prvoga reda.
λx τ 1
1 . . .x τn
n jest λ-djelatelj. On u p veže svaki slobodan pojavak varijabla
x τ 1
1 . . .xτn n .
Primjer. Apstrakt (λx τ 1
1 . . .x τn
n . p) jest tipa 〈τ 1 , . . .,τ n 〉.
(Red formule jest najveći red njezina tipizirana dijela.)
Formalno i kraće zapisane formule:
c 〈0〉 (c 0 ) — Pc
d 〈0,0〉 (c 0 , d 0 ) — Qcd
c 〈0,0,〈0,0〉〉 (c 0 , x 0 , c 〈0,0〉 ) — P(c, x, P 2 ) (npr. poželjno je da c i x stoje u odnosu
P).
Apstrakti i formule:
Primjeri
• (λxy.Pxy ∧ Qxy) je apstrakt tipa 〈0, 0〉
• (λxy.Pxy ∧ Qxy)(c, d) je jednostavna formula.
23

• P(λxy.Pxy ∧ Qxy) je jednostavna formula.
Evo još jednoga skupa primjera (s neformalnom porabom oznaka):
• Xx i VX (‘x ima svojstvo X’, ‘X je svojstvo koje čini velikoga generala’)
jesu jednostavne formule,
• λx.∀X(VX → Xx) je apstrakt tipa 〈0〉 (‘imati sva svojstva koja čine
velikoga generala’, to je “impredikativno” svojstvo!),
• (λx.∀X(VX → Xx))(n) je jednostavna formula (‘Napoleon ima sva
svojstva koja čine velikoga generala’),
• λX.Xn je apstrakt tipa 〈〈0〉〉 (‘biti Napoleonovo svojstvo’),
• (λX.Xn)(H) je jednostavna formula (‘hrabrost je Napoleonovo svojstvo’,
jednostavnije: Hn),
• (λX.Xn)(λx.∃yPxy) je jednostavna formula (‘biti pobjednik nad nekim
jest Napoleonovo svojstvo’),
• λXx.K(X, x) je apstrakt tipa 〈〈0〉, 0〉 (‘biti nečija krjepost’).
Supstitucija u formulu. Pripazimo da u supstitucijskome primjeru pokoličenoga
iskaza varijable vezane lambda-apstraktom ne zamjenjujemo oprimjerujućom
konstantom. Npr. od iskaza
supstitucijom (e/z) dobivamo
.
3.1.2 Semantika
∀z(λxy.Pxz ∨ Qy)(c, d)
(λxy.Pxe ∨ Qy)(c, d)
Definicija 3.1.4 (Model) Model M je ureden par 〈D, T 〉 gdje
24
1. D = D 0 je neprazan skup pojedinaka, a D 〈τ 1,...,τ n〉 = ℘(D τ 1
× . . . × D τn ),
(d τ je predmet tipa τ nad D)

2. T je funkcija vrjednovanja takova da za svaku konstantu c τ , T (c τ ) ∈
D τ ;
3. T (= 〈τ,τ〉 ) = {〈d τ , d τ 〉 | d τ ∈ D τ }.
Definicija 3.1.5 (Vrjednovanje varijabla) Vrjednovanje varijabla v svakoj
varijabli x τ pridružuje predmet d τ , tj. v(x τ ) ∈ D τ .
Definicija 3.1.6 (Označivanje i zadovoljenost)
1. c τ M v = T (c),
2. x τ M v = v(x),
3. M |= v t(t 1 , . . .,t n ) akko 〈t 1 M v , . . .,t n M v 〉 ∈ t M v ,
4. M |= v ¬p akko M, v ̸|= p,
5. M |= v p ∧ q akko M |= v p i M |= v q,
6. M |= v p ∨ q akko . . .,
7. M |= v p → q akko . . .,
8. M |= v p ↔ q akko . . .,
9. M |= v ∀x τ p akko za svaki d τ ∈ D τ , M |= v[d τ /x τ ]
p,
10. M |= v ∃x τ p akko barem za jedan d τ ∈ D τ , M |= v[d τ /x τ ]
p,
11. (λx τ 1
1 . . .x τn
n . p) M v
= {〈d τ 1
1 , . . .,d τn
n 〉 | M |= v[d τ 1
p}.
/x τ 1,...,d τn
1 1 n /xτn n ]
Definicija 3.1.7 (Istina) M |= p akko za svako vrjednovanje varijabla v,
M, v |= p.
Definicija 3.1.8 (Zadovoljivost) Skup je iskaza Γ zadovoljiv akko je svaki
član Γ istinit barem u jednome modelu M.
Definicija 3.1.9 (Semantička posljedica i valjanost)
• Γ |= p akko je p istinito u svakome modelu u kojem je istinit svaki član
Γ.
25

• Zaključak je valjan akko je njegov zaglavak istinit u svakome modelu u
kojem su sve njegove premise istinite.
• Iskaz je valjan akko je istinit u svakome modelu.
Definicija 3.1.10 (Semantička istovrijednost) Iskazi su p i q semantički
istovrijedni akko u svakome modelu M imaju istu istinitosnu vrijednost.
Primjeri
1. Leibnizov zakon istovjetnosti:
∀x∀y(x = y ↔ ∀X(Xx ↔ Xy))
(nadredena dvopogodba slijeva na desno: nerazlučljivost istovjetnoga,
zdesna na lijevo: istovjetnost nerazlučljivoga).
(Russellova) definicija istovjetnosti:
∀x∀y(x = y ↔ ∀X(Xx → Xy))
(dovoljna je pogodba jer X može biti i svojstvo pripadno samo jednomu
predmetu).
2. Definicije brojeva po tipovima:
∀X(0X ↔
∀X(1X ↔
∀X(2X ↔
∀X(3X ↔
¬∃xXx)
∃x∀y(Xy ↔ x = y))
∃x∃y(¬x = y ∧ ∀z(Xz ↔ (z = x ∨ z = y))))
∃x∃y∃z(¬(x = y ∨ x = z ∨ y = z) ∧
∀w(Xw ↔ (w = x ∨ w = y ∨ w = z))))
0(λx.x = x) ↔
1(λx.x = x) ↔
2(λx.x = x) ↔
¬∃xx = x
∃x∀y y = x
∃x∃y(¬x = y ∧ ∀z(z = x ∨ z = y))
Brojnost tipa općenito: N(λx τ .x τ = x τ ).
26

3. Definicije svojstava relacija:
4. Funkcije
refleksivna: ∀X(RX ↔ ∀xXxx),
npr. ‘istovjetan’, ‘sličan’.
simetrična: ∀X(SX ↔ ∀x∀y(Xxy → Xyx)),
npr. ‘blizu’, ‘daleko’.
prijelazna: ∀X(PX ↔ ∀x∀y∀z((Xxy ∧ Xyz) → Xxz)),
npr. ‘veći’, ‘manji’, ‘stariji’, ‘mladi’, ‘mudriji’.
euklidska: ∀X(EX ↔ ∀x∀y∀z((Xxy ∧ Xxz) → Xzy)),
npr. spojivost točaka u euklidskome prostoru.
Možemo definirati pojam funkcije, te injektivnost i surjektivnost:
Fun(X) ↔ ∀x∃y∀z(Xxz ↔ z = y),
Inj(X) ↔ ∀x∀y∀z((Xxz ∧ Xyz) → x = y),
Sur(X) ↔ ∀y∃xXxy.
3.2 Istinitosno stablo
h ∃x τ p̌ h ¬∀x τ p̌
i p(c τ /x τ ) h∃ i ¬p(c τ /x τ ) h¬∀
c τ je nova konstanta
c τ je nova konstanta
h ∀x τ p h ¬∃x τ p
i p(t τ /x τ ) h∀ i ¬p(t τ /x τ ) ¬∃
t τ je zatvorena oznaka
t τ je zatvorena oznaka
h (λx τ 1
1 . . .xτn n . p)(t 1, . . .,t n ) h ¬(λx τ 1
1 . . .xτn n . p)(t 1, . . .,t n )
i p(t τ 1
1 /x τ 1
1 , . . ., t τn
n /x τn
n ) hλ i ¬p(¬t τ 1
1 /x τ 1
1 , . . .,t τn
n /x τn
n )
t τ je zatvorena oznaka
t τ je zatvorena oznaka
h¬λ
3.2.1 Primjeri
Provjeriti valjanost
∀Y ∃X∀x ¬(λy.Y xy) = X
Za X treba supstituirati (λy.¬Rxy).
27

3.3 Deduktivni sustav
Analogno za ‘∃’.
h ∀x τ p
i p(t τ /x τ ) h i∀
t τ je zatvorena oznaka.
h p(c τ /x τ )
i ∀x τ p h u∀
c τ se ne javlja
u vrijedećim pretpostavkama ni
u ∀x τ p.
h p(t τ 1
1 /xτ 1
1 , . . .,tτn n /xτn
i (λx τ 1
1 . . .x τn
n . p)(t 1 , . . .,t n ) h uλ
n )
t τ je zatvorena oznaka.
h (λx τ 1
1 . . .xτn n . p)(t 1, . . .,t n )
i p(t τ 1
1 /x τ 1
1 , . . .,t τn
n /x τn
n )
h iλ
t τ je zatvorena oznaka.
3.4 Metateorija
Usp. M. Fitting, Types, Tableaus and Gödel’s God, Dordrecht: Kluwer,
2002, str. 15-16; G. Boolos, J. Burgess, R. Jeffrey, Computability and Logic,
Cambridge UP, 2002, str. 281-282.
3.4.1 Nekompaktnost
Kon:
∀X((Fun(X) ∧ Inj(X)) → Surj(X))
28

(a) ∃x 1 ∃ 2 ¬x 1 = x 2
(b) ∃x 1 ∃ 2 ∃ 3 ¬(x 1 = x 2 ∨ x 1 = x 3 ∨ x 2 = x 3 )
itd.
Skup
A = {Kon, (a), (b), . . .}
je nezadovoljiv, iako je svaki njegov konačan podskup zadovoljiv. Dakle,
logika je višega reda nekompaktna.
3.4.2 Nepotpunost
Promotrajmo neki pouzdan sustav V logike višega reda.
A |= ⊥, a svaki je njegov konačan podskup zadovoljiv.
Neka je sustav V potpun.
Dakle, A ⊢ ⊥,
dakle, A ′ ⊢ ⊥ (gdje je A ′ konačan podskup skupa A, def. dokaza),
dakle, A ′ |= ⊥ (prema pouzdanosti)
ali, svaki je konačan podskup A ′ zadovoljiv.
Dakle, sustav V nije potpun.
3.4.3 Ne vrijedi Löwenheim-Skolemov poučak
Izbrojivost možemo iskazati sljedećom formulom:
∃x∃f∀X((Xx ∧ ∀y((Xy → Xf(y)))) → ∀zXz)
Izb
gdje je f varijabla za funkciju (pojam funkcije je definirljiv u logici višega
reda).
¬Izb ima samo neizbrojive modele, što niječe Löwenheim-Skolemov poučak.
3.5 Henkinovi (opći) modeli
Definicija 3.5.1 (Henkinov model (a), vrjednovanje varijabla) Henkinov
je model, M, uredena trojka 〈H, T , A〉, a vrjednovanje varijabla je funkcija
v, gdje
1. H je skup domena {D τ } takvih da
29

(a) D 0 je neprazan skup,
(b) D 〈τ 1,...,τ n〉 ⊆ ℘(D τ 1
× . . . × D τn ), D 〈τ 1,...,τ n〉 je neprazan,
2. v je funkcija vrjednovanja takova da za svaku varijablu x τ , v(x τ ) ∈ D τ .
3. T je funkcija vrjednovanja takova da za svaku konstantu c τ , T (c τ ) ∈
D τ ,
4. A je funkcija takva da za svako v i za svaki apstrakt λx τ 1
1 . . . xτn n . p,
A(v, λx τ 1
1 . . .x τn
n . p) ∈ D 〈τ 1,...τ n〉 .
Slučaj 4 služi kako bi se osiguralo da je značenje svakoga λ-apstrakta u
odgovarajućoj domeni.
Definicija 3.5.2 (Označivanje i zadovoljenost)
.
• λx τ 1
1 . . .x τn
n . pM v = A(v, λx τ 1
1 . . .x τn
n . p).
Značenje λ-apstrakta gore je samo prethodno (općenito) definirano. Tek
sada se može dati konačna definicija, kojom se ujedno dovršuju definicija
Henkinova modela i označivanja i zadovoljenja.
Definicija 3.5.3 (Označivanje λ-apstrakta)
A(v, λx τ 1
1 . . .x τn
n . p) = {〈d 1 , . . .,d n 〉 | M |= v[d1 /x 1 ,...,dn/xn]
p}.
A je jedinstvena funkcija (u modelu). Može biti i da je u konačno definiranome
obliku nema za neki okvir 〈H, T 〉(Fitting, 22).
Definicije 3.5.1–3.5.3 treba uzeti kao jednu jedinstvenu definiciju.
Sada se može dokazati kompaktnost, potpunost i Löwenheim-Skolemov
poučak. Jer ima više Henkinovih modela nego “klasičnih” modela u jednostavnoj
teoriji tipova (i podskupovi partitivnih skupova kao domene, ne samo
partitivni skupovi). Stoga je za valjanost i nezadovoljivost potrebna istinitost
u više modela nego u “klasičnoj” jednostavnoj teoriji tipova. Prema tome je
∀X((Fun(X) ∧ Inj(X)) → Surj(X)) istinito i u beskonačnome modelu u
kojem prednjak pogodbe nije zadovoljen (što je sada moguće).
30

3.6 Modalna logika višega reda
Uvode se modalni djelatelji ‘✷’ i ‘✸’ te formule oblika ✷p i ✸p.
Modalni je model prvoga reda uredena petorka 〈S, R, D, Q, T 〉.
Pri tom je T tumačenje koje
1. svakomu priroku A n pridružuje funkciju S −→ ℘D n ,
2. svakoj predmetnoj konstanti c pridružuje predmet d ∈ D 0 ,
3. a T (E 1 ) = {〈d, s〉 | d ∈ Q(s)}.
Henkinov model s osnovnim predmetnim područjem ovisnim o svijetu:
Definicija 3.6.1 (Modalni model višega reda) Model je M uredena šestorka
〈S, R, H, Q,T , A〉, gdje
1. S je neprazan skup (“svjetova”),
2. R ⊆ S × S,
3. H je skup {D τ } područja, gdje
• D 0 je neprazan skup pojedinaka, a inače
• D 〈τ 1,...,τ n〉 ⊆ ℘(D τ 1
× . . . × D τn ) S (D 〈τ 1,...,τ n〉 je neprazan),
4. Q: S −→ ℘D 0 (Q(s) je neprazan),
5. T je funkcija vrjednovanja takva da za svaku konstantu c τ , T (c τ ) ∈ D τ ;
posebice
T (= 〈0,0〉 ) je funkcija koje je vrijednost za svaki svijet w skup parova
〈d 0 , d 0 〉 za svaki d 0 ∈ D 0 .
3.7 Gödelov ontologijski dokaz
Provodi se u S5-sustavu modalne logike višega reda. 1 Za pokoličavanje prvoga
reda primijenjuju se pravila slobodne logike (kao u modalnoj logici prvoga
reda. Za količitelje reda višega od prvoga vrijede gornja pravila logike
1 Usp. J. H Sobel, Logic and Theism, Cambridge University Press, 2004.
31

višega reda. P je konstanta trećega reda i znači “pozitivnost” (u “moralnoestetskom”
smislu). ¬X je skraćeno za λx.¬Xx.
U donjem su dokazu mjestimice, zbog jednostavnosti i prijeglednosti, jednostavniji
koraci prikazani u jedinstvenome retku.
3.7.1 Prvi dio
Aksiom 3.7.1 ∀X¬(PX ↔ P¬X),
Aksiom 3.7.2 ∀X∀Y ((PX ∧ ✷∀x(Xx → Y x)) → PY ),
Stavak 3.7.1 P(λx.x = x)
Dokaz Dokaz se temelji na tome da i iz nesamoistovjetnosti slijedi samoistovjetnost.
Stoga, ako je nesamoistovjetnost pozitivna, pozitivna je i
samoistovjetnost (prema aksiomu 3.7.1), što prostuslovi aksiomu 3.7.2.
1 ¬P(λx.x = x) pretpostavka
2 P(λx.¬x = x) 1 aksiom 3.7.1
3 ✷ Ea pretpostavka
4 (λx.¬x = x)(a) → (λx.x = x)(a) taut
5 ∀x((λx.¬x = x)(x) → (λx.x = x)(x)) 3–4 uv ∀
6 ✷∀x((λx.¬x = x)(x) → (λx.x = x)(x)) 3-5 uv ✷
7 (P(λx.¬x = x) ∧ ✷∀x((λx.¬x = x)(x) →
(λx.x = x)(x)) → P(λx.x = x) aksiom 3.7.2
8 P(λx.x = x) 1, 6,7 isklj →
9 ¬P(λx.x = x) 1 opet
10 P(λx.x = x) 1–9 isklj ¬
Poučak 3.7.1 ∀X(PX → ✸∃xXx)
Dokaz Ključ je dokaza u tome da iz nemogućega slijedi nesamoistovjetnost.
Stoga, ako je nemoguće imati neko pozitivno svojstvo, onda je i nesamoistovjetnost
pozitivna, što protuslovi stavku 3.7.1.
32
1 PA pretpostavka

2 ¬✸∃xAx pretpostavka
3 ✷ ¬∃xAx 2 K-op
4 Ea pretpostavka
5 ¬Aa 3,4 ¬∃ isklj
6 Aa → (λx.¬x = x)(a) ex falso quodlibet
7 ∀x(Aa → (λx.¬x = x)(x)) 4–6 uv ∀
8 ✷∀x(Aa → (λx.¬x = x)(x)) 3-7 uv ✷
9 PA ∧ ✷∀x(Aa → (λx.¬x = x)(x)) 1,8 uv ∧
10 (PA ∧ ✷∀x(Aa → (λx.¬x = x)(x)))
→ P(λx.¬x = x) aksiom 3.7.2
11 P(λx.¬x = x) 10,9 isklj →
12 ¬P(λx.x = x) 11 aksiom 3.7.1
13 P(λx.x = x) stav. 3.7.1
14 ✸∃xAx 2-13 isklj ¬
15 PA → ✸∃xAx 1-14 uv →
16 ∀X(PX → ✸∃xXx) 15 uv ∀
Definicija 3.7.1 (Bog) Gx ↔ def ∀X(PX → Xx),
Aksiom 3.7.3 PG,
Korolarij 3.7.1 ✸∃xGx
Dokaz Slijedi iz aksioma 3.7.3 i poučka 3.7.1.
3.7.2 Drugi dio
Stavak 3.7.2 ∀x(Gx → ∀X(Xx → PX))
Dokaz Kad bi predmet x koji je Bog, imao neko svojstvo X koje nije
pozitivno, morao bi (prema definiciji 3.7.1) imati i svojstvo ¬X, koje je
pozitivno, te tako imati medusobno protuslovna svojstva.
1 Ea pretpostavka
33

2 Ga pretpostavka
3 Ha pretpostavka
4 ¬PH pretpostavka
5 P¬H ↔ ¬PH aksiom 3.7.1
6 P¬H 4,5 ↔ isklj
7 ∀X(PX → Xa) 1,2 def. 3.7.1, isklj ∀
8 P¬H → ¬Ha 7, isklj ∀
9 ¬Ha 6,8 isklj →
10 Ha 3 op
11 PH 4–10 isklj ¬
12 Ha → PH 3–11 uv →
13 ∀X(Xa → PX) 12 uv ∀
14 Ga → ∀X(Xa → PX) 2–13 uv →
15 ∀x(Gx → ∀X(Xx → PX)) 1–14 uv ∀
Aksiom 3.7.4 ∀X(PX → ✷PX),
Napomena 3.7.1 Iz aksioma 3.7.4 slijedi ∀X(¬PX → ✷¬PX) pomoću
aksioma 3.7.1, i obratno (i pomoću aksioma 3.7.1).
Definicija 3.7.2 (Bit) E∫∫(X, x) ↔ def (Xx∧∀Y (Y x → ✷∀y(Xy → Y y)))
tj. bit je predmeta je ono njegovo svojstvo koje odreduje sva svojstva toga
predmeta.
Poučak 3.7.2 ∀x(Gx → E∫∫(G, x))
Dokaz Predmet koji je Bog ima sva pozitivna svojstva i samo pozitivna
svojstva. Stoga svojstvo ‘biti Bog’ odreduje sva svojstva predmeta.
1 Ea pretpostavka
2 Ga pretpostavka
34

3 Ha pretpostavka
4 Ga → (Ha → PH) stav. 3.7.2
5 PH 2,3,4 isklj →
6 ✷PH 5 aksiom 3.7.4
7 ✷ PH 6 K-op
8 Eb pretpostavka
9 Gb pretpostavka
10 PH → Hb 8, 9 def. 3.7.1, isklj ∀
11 Hb 7,10 isklj →
12 Gb → Hb 9–11 uv →
13 ∀y(Gy → Hy) 8–12 uv ∀
14 ✷∀y(Gy → Hy) 7-13 uv ✷
15 Ha → ✷∀y(Gy → Hy) 3-14 uv →
16 ∀Y (Y a → ✷∀y(Gy → Y y)) 15 uv ∀
17 Ga ∧ ∀Y (Y a → ✷∀y(Gy → Y y)) 2,16 uv ∧
18 E∫∫(G, a) 1,17 def. 3.7.2, isklj ∀
19 Ga → E∫∫(G, a) 2-18 uv →
20 ∀x(Gx → E∫∫(G, x)) 1–19 uv ∀
Definicija 3.7.3 (Nužna opstojnost) Nx ↔ def ∀Y (E∫∫(Y, x) → ✷∃xY x)
tj. svojstvo nužne opstojnosti ima predmet kojemu je bit nužno oprimjerena.
Aksiom 3.7.5 PN.
Poučak 3.7.3 ∃xGx → ✷∃xGx
Dokaz Predmet koji je Bog, ima svojstvo nužne opstojnosti (jer je pozitivna).
Stoga je (prema definiciji 3.7.3) bit toga predmeta, a to je upravo
svojstvo “biti Bog”, nužno oprimjerena.
35

1 ∃xGx pretpostavka
2 Ga ∧ Ea pretpostavka
3 PN → Na 2 def. 3.7.1, isklj ∀
4 Na 3 aksiom 3.7.5
5 ∀Y (E∫∫(Y, a) → ✷∃yY y) 2,4 def. 3.7.3, isklj ∀
6 E∫∫(G, a) → ✷∃yGy 5 isklj ∀
7 Ga → E∫∫(G, a) poučak 3.7.2
8 E∫∫(G, a) 2,7 isklj →
9 ✷∃yGy 6,8 isklj →
10 ✷∃yGy 1,2-9 ∃ isklj
11 ∃xGx → ✷∃xGx 1-10 uv →
Poučak 3.7.4 ✷∃xGx
Dokaz
1 ✸∃xGx Kor. 3.7.1
2 ¬✷∃xGx pretpostavka
3 ✷ ∃xGx (1) pretpostavka
4 ✷∃xGx 3 poučak 3.7.3 →E
5 ¬✷∃xGx 2 5-op
7 ⊥ 1,3-5 isklj ✸
8 ✷∃xGx 2-8 isklj ¬
36