KVANTNA FIZIKA (zadaci za vježbu) Zračenje crnog tijela 1 ... - phy

KVANTNA FIZIKA
(zadaci za vježbu)
Zračenje crnog tijela
1. Dječja ljuljačka ima vlastitu frekvenciju 0.5 Hz.
a) Kolika je najmanja razlika između mogućih vrijednosti energija ljuljačke?
b) Kada bi svaku moguću energiju ljuljačke prikazali stubištem, gdje visina stube odgovara
njenoj najmanjoj energiji, koliko bi bilo takvih stuba ako se ljuljačka popne do visine 45
cm iznad svoje najniže točke, a ima zajedno s djetetom masu od 20 kg?
R: b) broj stuba = 2.71 × 10 35 .
2. Za koliko će se stupnjeva promijeniti početna temperatura apsolutno crnog tijela koja je u
početku iznosila 2000 K, ako se vrijednost valne duljine, koja odgovara maksimumu jakosti
zračenja, poveća za 0.5 µm?
R: ∆T = 512.8 K.
3. Sfera od volframa promjera 2.3 cm je zagrijana na 2000 ◦ C. Na toj temperaturi volfram izrači
samo 30% energije koju bi izračilo crno tijelo iste veličine i temperature. Izračunajte:
a) temperaturu sferičnog crnog tijela koje je jednake veličine i koje izrači jednaku snagu
kao volframova sfera,
b) promjer sferičnog crnog tijela koje je jednake temperature i koje izrači jednaku snagu
kao volframova sfera.
R: a) T = 1682.2 K, b) d = 1.25 cm.
4. Tri solarne ćelije dimenzija 1 × 2 m pričvršćene su na krov. Uz pretpostavku da Sunce na njih
svijetli 4 sata svaki dan, i da se sva energija od tog zračenja pretvara u toplinu, koliko vode
možemo na dan zagrijati od 40 ◦ C do 120 ◦ C?
R: m = 328.13 kg.
5. U procesu fotosinteze dolazi do promjene molekule CO 2 u molekulu O 2 pomoću pigmenta
za što je potrebna energija oko 4.9 eV po molekuli CO 2 . Uzevši da je valna duljina fotona
koju najviše asporbira klorofil oko 670 nm i da je za taj proces potrebno oko devet fotona po
molekuli odredite djelotvornost procesa fotosinteze.
Fotoelektrični efekt
R: η = 29%
1. U fotoelektričnom eksperimentu monokromatsko svjetlo pada na natrijevu fotokatodu. Za
valnu duljinu 3000 Å zaustavni potencijal elektrona je 1.85 V, dok za valnu duljinu 4000 Å
zaustavni potencijal je 0.82 V. Iz ovih podataka odredite:
a) vrijednost Planckove konstante,
b) izlazni rad za natrij,
c) graničnu valnu duljinu iznad koje nema fotoefekta.

R: b) φ = 2.27 eV, c) λ prag = 5440 Å.
2. Elektromagnetsko zračenje intenziteta 149 W/m 2 izbacuje 10 20 elektrona u sekundi po jediničnoj
površini. Elektrone zaustavlja razlika potencijala od 3.6 V. Kolika je valna duljina
fotona koji uzrokuju fotoelektrični efekt i koliki je izlazni rad?
R: λ = 1334.1 Å, φ = 5.7 eV.
3. Metal čiji je izlazni rad 3 eV osvijetlimo zračenjem 1.2 pm. Kolika je maksimalna brzina
izbačenih elektrona? Možemo li izlazni rad zanemariti prema energiji fotona?
Comptonov efekt
1. Pokažite da slobodan elektron ne može apsorbirati foton a da za taj proces vrijedi zakon
sačuvanja energije i zakon sačuvanja impulsa.
2. Izračunajte koja je najmanja energija koju može imati foton, te koja je najveća energija koju
može imati elektron u Comptonovom efektu? Rezultat izrazite preko energije ulaznog fotona.
Bohrov model
R: E ′ γ = ( 1
E γ
+ 2
mc 2 ) −1 , K e = ( 1
E γ
1. Pokažite da je u Bohrovom modelu orbitalni angularni moment kvantiziran.
+ mc2 )
2E −1
γ
2
2. Koliku valnu duljinu mora imati foton da ionizira vodikov atom koji se nalazi u osnovnom
stanju i da pritom izbačeni elektron ima kinetičku energiju 10 eV?
3. Izračunajte polumjer n-te staze elektrona u dvostruko ioniziranom atomu litija ako je poznato
da pri prijelazu u niže energetsko stanje m = 2 emitira foton valne duljine 0.054 µm.
4. Pozitronij, vezan sustav elektrona i njegove antičestice, pozitrona, prelazi iz stanja n = 3 u
stanje n = 1 pritom emitirajući foton. Ako je pozitronij na početku mirovao, odredite njegovu
brzinu nakon emisije.
de Broglie-evi valovi materije
1. Izmjerena brzina metka mase m = 50 g i elektrona m = 9.11×10 −28 g je ista i iznosi 300 m/s,
uz neodređenost od 0.01 %. S kojom fundamentalnom točnošcu možemo poznavati njihov
položaj ako su oba mjerenja (položaja i brzine) načinjena istovremeno?
Matematički aparat kvantne mehanike
Jednodimenzionalni problemi
1. Čestica mase m se slobodno giba unutar beskonačno duboke pravokutne jame 0 < x < a.
a) Izračunajte 〈ˆx〉 n , 〈ˆp〉 n , 〈ˆx 2 〉 n , 〈ˆp 2 〉 n .
b) Izračunajte prosječni položaj i impuls klasično, te usporedite s rezultatima dobivenim
pod a).
c) Izračunajte neodređenost impulsa u osnovnom stanju ∆p 1 , te iz pretpostavke ∆p 1 ≈ p 1
odredite energiju osnovnog stanja.
2. Čestica se nalazi u stanju
|ψ〉 = A (|0〉 + |1〉 + |2〉 + |3〉) ,
gdje su |n〉 ortonormirana stanja harmoničkog oscilatora. Normalizirajte valnu funkciju, te
pronađite očekivanu vrijednost Hamiltonijana. Koja je srednja vrijednost ¯n broja kvantnog
stanja za |ψ〉?

3. Neka se čestica mase m nalazi u beskonačnoj jami 0 < x < L u kojoj je u t = 0 opisana
valnom funkcijom
ψ(x, 0) = A sin
a) Pronađi ψ(x, t) i P (E n ) u t > 0.
( ) ( )
3πx πx
cos .
L L
b) Ako je mjerenje energije E u t = 6 s dalo E = 4E 1 , pronađi ψ(x, t) za t > 6 s.
4. Elektron se slobodno giba unutar jedno-dimenzionalne kutije s zidovima u x = 0 i x = a. Ako
je elektron na početku u osnovnom stanju kutije i ako se iznenada kutija poveća za 4 puta,
pronađite vjerojatnost da je elektron
a) u osnovnom stanju nove kutije,
b) u prvom pobuđenom stanju nove kutije.
5. Čestica nailazi na potencijalni bedem
U(x) =
{
U0 , x > 0
0 , x < 0
sa energijom E < U 0 . Ako je čestica opisana valnom funkcijom
{ e
−κx
, x > 0
ψ(x) =
√1
2
[(1 + i)e ikx + (1 − i)e −ikx] , x < 0
a) Provjeri direktnim računom da je refleksijski koeficijent R = 1 u ovom slučaju.
b) Koja je veza između k i E da bi ψ bio rješenje Schrödingerove jednadžbe za x < 0?
Ponovite račun za κ, tj. u slučaju x > 0.
c) odredite dubinu prodiranja valne funkcije δ = 1/κ za protone energije 10 MeV ako je
U 0 = 13 MeV.
Angularni moment
1. Promotrite valnu funkciju
ψ(θ, φ) = 3 sin θ cos θe iφ − 2(1 − cos 2 θ)e 2iφ .
a) Napišite valnu funkciju preko sfernih harmonika.
b) Da li je ψ svojstveno stanje L 2 i L z ?
c) Pronađite vjerojatnost da se izmjeri L z = 2¯h.
2. Sustav se nalazi u stanju
gdje je A realna konstanta.
ψ(θ, φ) =
√ 3
8 Y 11(θ, φ) +
√ 1
8 Y 10(θ, φ) + A Y 1,−1 (θ, φ) ,
a) Pronađite A tako da normirate valnu funkciju.
b) Izračunajte očekivanu vrijednost L z i L 2 u stanju ψ.
c) Koje su vjerojatnosti mjerenja pojedinih projekcija angularnog momenta na z-os?
3. U određenom trenutku kruti rotator se nalazi u stanju
ϕ(θ, φ) =
√ 3
sin φ sin θ .
4π

a) Koje se vrijednosti L z mogu izmjeriti i s kojom vjerojatnošću?
b) Pronađite 〈ˆL x 〉 u danom stanju.
c) Pronađite 〈ˆL y 〉 u danom stanju.
Pomoć: poslužite se djelovanjem operatora ˆL ± = ˆL x ± iˆL y na to stanje, gdje su
Vodikov atom
1. Elektron se nalazi u stanju
(
ˆL ± = ¯he ±iφ i cot θ ∂
∂φ ± ∂ )
∂θ
.
a) Pronađite normalizacijsku konstantu N.
ψ 2,1,−1 (r, θ, φ) = Nre −r/2a 0
Y 1,−1 (θ, φ) .
b) Koja je vjerojatnost po jedinici volumena d 3 r da elektron pronađemo na r = a 0 , θ = 45 ◦ ,
φ = 60 ◦ ?
c) Koja je vjerojatnost po jedinici radijalnog intervala dr da elektron pronađemo na r =
2a 0 ?
d) Koji su sve mogući rezultati mjerenja L i L z ?
2. a) Izračunajte očekivanu vrijednost 〈r〉 nl za vodikov atom u stanju n = 2, l = 1. Usporedite
rezultat s vrijednošću na kojoj dana valna funkcija ima maksimum
b) Izračunajte širinu distribucije ∆r 21 = √ 〈r 2 〉 21 − (〈r〉 21 ) 2 .
3. Vodikov atom se u trenutku t = 0 nalazi u stanju
Ψ(r, 0) = Aφ 200 (r) + 1 √
5
φ 311 (r) + 1 √
3
φ 422 (r) ,
gdje A predstavlja normalizacijsku konstantu.
a) Pronađite A tako je stanje normalizirano.
b) Pronađite stanje atoma u bilo kojem kasnijem trenutku t > 0.
c) Koje sve vrijednosti energije se mogu izmjeriti i s kojom vjerojatnošću?
d) Pronađite srednju energiju atoma u danom stanju.
4. Izračunajte ∆r∆p r za elektron u stanju
ψ 210 (r, θ, φ) = √ 1 ( ) 1 3/2
r
e −r/2a 0
Y 10 (θ, φ) ,
6 a 0 2a 0
te provjerite da su time zadovoljene Heisenbergove relacije neodređenosti. Pomoć:
ˆp r ψ = −i¯h 1 r
∂
∂r (rψ) .
Sanjin Benić