Metoda sil - FGG-KM - Univerza v Ljubljani
Metoda sil - FGG-KM - Univerza v Ljubljani
Metoda sil - FGG-KM - Univerza v Ljubljani
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
RAČUNANJE POMIKOV STATIČNO<br />
DOLOČENIH KONSTRUKCIJ PO METODI SIL<br />
Marjan Stanek, Goran Turk in Rado Flajs<br />
Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo<br />
<strong>Univerza</strong> v <strong>Ljubljani</strong><br />
http://www.km.fgg.uni-lj.si/predmeti/TRDNOST<br />
Trdnost, Prosojnice 2002 stran 1
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
Primer 5.9<br />
1. Naloga<br />
Podatki: q = 1 N/cm., L = H = 1 m, φ z = 1.5 cm, φ n = 1.3 cm.<br />
E = 2 · 10 7 N/cm 2 .
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
Primer 5.9<br />
1. Naloga<br />
Podatki: q = 1 N/cm., L = H = 1 m, φ z = 1.5 cm, φ n = 1.3 cm.<br />
E = 2 · 10 7 N/cm 2 .<br />
Izračunajmo navpični pomik v točki E!<br />
Trdnost, Prosojnice 2002 stran 2
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2. Postopek<br />
A x = φ2 z − φ 2 n<br />
4<br />
π = 0.4398 cm 2 ,<br />
I y = φ4 z − φ 4 n<br />
64<br />
π = 0.1083 cm 4 .
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2. Postopek<br />
A x = φ2 z − φ 2 n<br />
4<br />
π = 0.4398 cm 2 ,<br />
I y = φ4 z − φ 4 n<br />
64<br />
π = 0.1083 cm 4 .<br />
Za določitev navpičnega pomika v točki E v to točko postavimo navpično<br />
virtualno <strong>sil</strong>o δF z = 1.
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2. Postopek<br />
A x = φ2 z − φ 2 n<br />
4<br />
π = 0.4398 cm 2 ,<br />
I y = φ4 z − φ 4 n<br />
64<br />
π = 0.1083 cm 4 .<br />
Za določitev navpičnega pomika v točki E v to točko postavimo navpično<br />
virtualno <strong>sil</strong>o δF z = 1.<br />
Navpični pomik v točki E določimo z enačbo:<br />
w E = ∑ ∫ (<br />
Nx δ ¯N x<br />
+ M y δ ¯M )<br />
y<br />
dx<br />
E A x E I y<br />
el<br />
Li
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2. Postopek<br />
A x = φ2 z − φ 2 n<br />
4<br />
π = 0.4398 cm 2 ,<br />
I y = φ4 z − φ 4 n<br />
64<br />
π = 0.1083 cm 4 .<br />
Za določitev navpičnega pomika v točki E v to točko postavimo navpično<br />
virtualno <strong>sil</strong>o δF z = 1.<br />
Navpični pomik v točki E določimo z enačbo:<br />
w E = ∑ ∫ (<br />
Nx δ ¯N x<br />
+ M y δ ¯M )<br />
y<br />
dx = w E,Ax + w E,My<br />
E A x E I y<br />
el<br />
Li<br />
Trdnost, Prosojnice 2002 stran 3
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong>
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
Trdnost, Prosojnice 2002 stran 4
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
(<br />
w E,Ax = 1 1 · 100 · 100 + 75 · √2<br />
· 50 √ √<br />
2<br />
2<br />
E A x 2<br />
+25 · √2<br />
· 50 √ √<br />
2<br />
2<br />
2 + 75 · √2<br />
· 50 √ 2 · √2<br />
)<br />
= 0.0031 cm
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
(<br />
w E,Ax = 1 1 · 100 · 100 + 75 · √2<br />
· 50 √ √<br />
2<br />
2<br />
E A x 2<br />
+25 · √2<br />
· 50 √ √<br />
2<br />
2<br />
2 + 75 · √2<br />
· 50 √ 2 · √2<br />
)<br />
= 0.0031 cm<br />
(<br />
w E,My = 1 2500 · 50 · √2<br />
E I y 2<br />
· 2<br />
3 · 50 · 2 )<br />
= 2.7203 cm
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
(<br />
w E,Ax = 1 1 · 100 · 100 + 75 · √2<br />
· 50 √ √<br />
2<br />
2<br />
E A x 2<br />
+25 · √2<br />
· 50 √ √<br />
2<br />
2<br />
2 + 75 · √2<br />
· 50 √ 2 · √2<br />
)<br />
= 0.0031 cm<br />
(<br />
w E,My = 1 2500 · 50 · √2<br />
E I y 2<br />
· 2<br />
3 · 50 · 2 )<br />
= 2.7203 cm<br />
Trdnost, Prosojnice 2002 stran 5
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
3. Rezultat<br />
w E = w E,Ax + w E,Ey = 0.0031 cm + 2.7203 cm = 2.7234 cm
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
3. Rezultat<br />
w E = w E,Ax + w E,Ey = 0.0031 cm + 2.7203 cm = 2.7234 cm<br />
4. Zaključek<br />
Relativni vpliv osnih <strong>sil</strong> na pomik v točki E znaša le 0.12 % od skupnega<br />
pomika. Pomik v točki E se zgodi skoraj izključno zaradi upogiba<br />
no<strong>sil</strong>cev, medtem ko je vpliv osnih deformacij zanemarljiv. Zato pri<br />
računu pomikov velikokrat vpliv osnih <strong>sil</strong> zanemarimo.<br />
Trdnost, Prosojnice 2002 stran 6
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
Primer 5.11<br />
1. Naloga<br />
S prikazano napravo merimo <strong>sil</strong>o<br />
F , ki se preko vijaka B prenaša<br />
na preizkušanec A. Silo merimo<br />
z velikostjo pomika jeklenega<br />
no<strong>sil</strong>ca D–D v točki E.<br />
Sila se na no<strong>sil</strong>ec D–D prenaša<br />
preko togega no<strong>sil</strong>ca K–K.
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
Primer 5.11<br />
1. Naloga<br />
S prikazano napravo merimo <strong>sil</strong>o<br />
F , ki se preko vijaka B prenaša<br />
na preizkušanec A. Silo merimo<br />
z velikostjo pomika jeklenega<br />
no<strong>sil</strong>ca D–D v točki E.<br />
Sila se na no<strong>sil</strong>ec D–D prenaša<br />
preko togega no<strong>sil</strong>ca K–K.<br />
Določimo razdaljo a od podpore D do prijemališča <strong>sil</strong>e K na no<strong>sil</strong>ec D–D, da bo pri<br />
<strong>sil</strong>i F = 5 kN upogib no<strong>sil</strong>ca v točki E enak 1 mm? No<strong>sil</strong>ec D–D ima širino 6 cm,<br />
višino 4 cm, dolžino 1 m, modul elastičnosti materiala pa je 20000 kN/cm 2 .<br />
Trdnost, Prosojnice 2002 stran 7
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2. Postopek<br />
Pomik w T na sredini no<strong>sil</strong>ca D–D določimo z enačbo<br />
w T =<br />
∫ L<br />
0<br />
M y δ ¯M y<br />
E I y<br />
dx.
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2. Postopek<br />
Pomik w T na sredini no<strong>sil</strong>ca D–D določimo z enačbo<br />
w T =<br />
∫ L<br />
0<br />
M y δ ¯M y<br />
E I y<br />
dx.<br />
Diagram M y v no<strong>sil</strong>cu D–D zaradi <strong>sil</strong> F/2 in δF = 1:<br />
Trdnost, Prosojnice 2002 stran 8
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
Za obravnavani primer dobimo:
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
Za obravnavani primer dobimo:<br />
E I y w T = 2 F a<br />
2<br />
a<br />
2<br />
2<br />
3<br />
a<br />
2 + 2 1 ( a<br />
2 2 + L ) ( ) L F a<br />
4 2 − a 2<br />
a3<br />
= −F<br />
12 + F L2 a<br />
.<br />
16<br />
Iz zadnje enačbe moramo določiti a, zato jo preoblikujemo takole:<br />
a 3 − 3 4 L2 a + 12<br />
F E I y w T = 0.
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
Za obravnavani primer dobimo:<br />
E I y w T = 2 F a<br />
2<br />
a<br />
2<br />
2<br />
3<br />
a<br />
2 + 2 1 ( a<br />
2 2 + L ) ( ) L F a<br />
4 2 − a 2<br />
a3<br />
= −F<br />
12 + F L2 a<br />
.<br />
16<br />
Iz zadnje enačbe moramo določiti a, zato jo preoblikujemo takole:<br />
a 3 − 3 4 L2 a + 12<br />
F E I y w T = 0.<br />
Vztrajnostni moment pravokotnega prečnega prereza no<strong>sil</strong>ca D–D je<br />
I y = 6 · 43<br />
12 = 32 cm4 .
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
Za obravnavani primer dobimo:<br />
E I y w T = 2 F a<br />
2<br />
a<br />
2<br />
2<br />
3<br />
a<br />
2 + 2 1 ( a<br />
2 2 + L ) ( ) L F a<br />
4 2 − a 2<br />
a3<br />
= −F<br />
12 + F L2 a<br />
.<br />
16<br />
Iz zadnje enačbe moramo določiti a, zato jo preoblikujemo takole:<br />
a 3 − 3 4 L2 a + 12<br />
F E I y w T = 0.<br />
Vztrajnostni moment pravokotnega prečnega prereza no<strong>sil</strong>ca D–D je<br />
Ob upoštevanju podatkov dobimo<br />
I y = 6 · 43<br />
12 = 32 cm4 .<br />
a 3 − 3 4 1002 a + 12<br />
5 2 · 104 · 32 · 0.1 = 0 → a 3 − 7500 a + 153600 = 0.
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
Za obravnavani primer dobimo:<br />
E I y w T = 2 F a<br />
2<br />
a<br />
2<br />
2<br />
3<br />
a<br />
2 + 2 1 ( a<br />
2 2 + L ) ( ) L F a<br />
4 2 − a 2<br />
a3<br />
= −F<br />
12 + F L2 a<br />
.<br />
16<br />
Iz zadnje enačbe moramo določiti a, zato jo preoblikujemo takole:<br />
a 3 − 3 4 L2 a + 12<br />
F E I y w T = 0.<br />
Vztrajnostni moment pravokotnega prečnega prereza no<strong>sil</strong>ca D–D je<br />
Ob upoštevanju podatkov dobimo<br />
I y = 6 · 43<br />
12 = 32 cm4 .<br />
a 3 − 3 4 1002 a + 12<br />
5 2 · 104 · 32 · 0.1 = 0 → a 3 − 7500 a + 153600 = 0.<br />
Trdnost, Prosojnice 2002 stran 9
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
3. Rezultat<br />
To nelinearno enačbo rešimo numerično in dobimo a = 21.8758 cm.
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
3. Rezultat<br />
To nelinearno enačbo rešimo numerično in dobimo a = 21.8758 cm.<br />
Računaje ničel polinoma a 3 − 7500 a + 153600 = 0:
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
3. Rezultat<br />
To nelinearno enačbo rešimo numerično in dobimo a = 21.8758 cm.<br />
Računaje ničel polinoma a 3 − 7500 a + 153600 = 0:<br />
MATLAB:<br />
kot ničlo polinoma:<br />
x = roots([1 0 -7500 153600]);<br />
−95.4429<br />
x = 73.5670<br />
21.8758
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
3. Rezultat<br />
To nelinearno enačbo rešimo numerično in dobimo a = 21.8758 cm.<br />
Računaje ničel polinoma a 3 − 7500 a + 153600 = 0:<br />
MATLAB:<br />
kot ničlo polinoma:<br />
x = roots([1 0 -7500 153600]);<br />
x =<br />
−95.4429<br />
73.5670<br />
21.8758<br />
kot ničlo funkcije:<br />
f = inline(’a 3 − 7500 ∗ a + 153600 ′ );<br />
x = fzero(f, 25)<br />
x = 21.8758
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
3. Rezultat<br />
To nelinearno enačbo rešimo numerično in dobimo a = 21.8758 cm.<br />
Računaje ničel polinoma a 3 − 7500 a + 153600 = 0:<br />
MATLAB:<br />
kot ničlo polinoma:<br />
x = roots([1 0 -7500 153600]);<br />
x =<br />
−95.4429<br />
73.5670<br />
21.8758<br />
kot ničlo funkcije:<br />
f = inline(’a 3 − 7500 ∗ a + 153600 ′ );<br />
x = fzero(f, 25)<br />
x = 21.8758<br />
Mathematica:<br />
FindRoot[a 3 − 7500a + 153600 == 0,{a, 25}];<br />
{a→ 21.8758 }<br />
Trdnost, Prosojnice 2002 stran 10
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
Primer 5.12<br />
1. Naloga<br />
Podatki: F = 10 kN,<br />
modul elastičnosti materiala<br />
je E = 20000 kN/cm 2 .<br />
Upoštevajmo tudi vpliv osnih<br />
<strong>sil</strong> na deformiranje konstrukcije.<br />
Dimenzije konstrukcije<br />
so na sliki.
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
Primer 5.12<br />
1. Naloga<br />
Podatki: F = 10 kN,<br />
modul elastičnosti materiala<br />
je E = 20000 kN/cm 2 .<br />
Upoštevajmo tudi vpliv osnih<br />
<strong>sil</strong> na deformiranje konstrukcije.<br />
Dimenzije konstrukcije<br />
so na sliki.<br />
Določimo navpični pomik točke D statično določene konstrukcije na<br />
sliki<br />
Trdnost, Prosojnice 2002 stran 11
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2. Postopek<br />
Za izračun pomika v točko D postavimo virtualno <strong>sil</strong>o δF = 1, ki<br />
deluje v enaki smeri, kot <strong>sil</strong>a F .
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2. Postopek<br />
Za izračun pomika v točko D postavimo virtualno <strong>sil</strong>o δF = 1, ki<br />
deluje v enaki smeri, kot <strong>sil</strong>a F .
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2. Postopek<br />
Za izračun pomika v točko D postavimo virtualno <strong>sil</strong>o δF = 1, ki<br />
deluje v enaki smeri, kot <strong>sil</strong>a F .<br />
Trdnost, Prosojnice 2002 stran 12
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
Enačbo za računanje pomika oziroma zasuka smo izpeljali ob predpostavki,<br />
da sta osi y in z glavni vztrajnostni osi v težišču prečnega<br />
prereza.
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
Enačbo za računanje pomika oziroma zasuka smo izpeljali ob predpostavki,<br />
da sta osi y in z glavni vztrajnostni osi v težišču prečnega<br />
prereza.<br />
V obravnavanem primeru glavni vztrajnostni osi oklepata z osema y in<br />
z kot 45 ◦ , saj tudi simetrijska os prereza oklepa z osema y in z kot 45 ◦ .
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
Enačbo za računanje pomika oziroma zasuka smo izpeljali ob predpostavki,<br />
da sta osi y in z glavni vztrajnostni osi v težišču prečnega<br />
prereza.<br />
V obravnavanem primeru glavni vztrajnostni osi oklepata z osema y in<br />
z kot 45 ◦ , saj tudi simetrijska os prereza oklepa z osema y in z kot 45 ◦ .<br />
Če želimo nalogo rešiti, moramo izračunati upogibne momente glede<br />
na glavni vztrajnostni osi.
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
Enačbo za računanje pomika oziroma zasuka smo izpeljali ob predpostavki,<br />
da sta osi y in z glavni vztrajnostni osi v težišču prečnega<br />
prereza.<br />
V obravnavanem primeru glavni vztrajnostni osi oklepata z osema y in<br />
z kot 45 ◦ , saj tudi simetrijska os prereza oklepa z osema y in z kot 45 ◦ .<br />
Če želimo nalogo rešiti, moramo izračunati upogibne momente glede<br />
na glavni vztrajnostni osi.<br />
Trdnost, Prosojnice 2002 stran 13
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
V tem primeru izračunamo pomik w D po enačbi<br />
w D =<br />
∫ L<br />
0<br />
(<br />
Nx δ ¯N x<br />
E A x<br />
+ M η δ ¯M η<br />
E I η<br />
Geometrijske lastnosti prečnega prereza so:<br />
+ M ζ δ ¯M )<br />
ζ<br />
dx.<br />
E I ζ
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
V tem primeru izračunamo pomik w D po enačbi<br />
w D =<br />
∫ L<br />
0<br />
(<br />
Nx δ ¯N x<br />
E A x<br />
+ M η δ ¯M η<br />
E I η<br />
Geometrijske lastnosti prečnega prereza so:<br />
+ M ζ δ ¯M )<br />
ζ<br />
dx.<br />
E I ζ<br />
A x = 69 cm 2 , I y = I z = 995.663 cm 4 , I yz = 551.087 cm 4 ,<br />
2 α g = 2 I yz<br />
I y − I z<br />
= ∞ → α g = 45 ◦ ,<br />
I η = 1546.750 cm 4 , I ζ = 444.576 cm 4 .
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
V tem primeru izračunamo pomik w D po enačbi<br />
w D =<br />
∫ L<br />
0<br />
(<br />
Nx δ ¯N x<br />
E A x<br />
+ M η δ ¯M η<br />
E I η<br />
Geometrijske lastnosti prečnega prereza so:<br />
+ M ζ δ ¯M )<br />
ζ<br />
dx.<br />
E I ζ<br />
A x = 69 cm 2 , I y = I z = 995.663 cm 4 , I yz = 551.087 cm 4 ,<br />
2 α g = 2 I yz<br />
I y − I z<br />
= ∞ → α g = 45 ◦ ,<br />
I η = 1546.750 cm 4 , I ζ = 444.576 cm 4 .<br />
Upogibna momenta v točki D glede na osi η in ζ sta:
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
V tem primeru izračunamo pomik w D po enačbi<br />
w D =<br />
∫ L<br />
0<br />
(<br />
Nx δ ¯N x<br />
E A x<br />
+ M η δ ¯M η<br />
E I η<br />
Geometrijske lastnosti prečnega prereza so:<br />
+ M ζ δ ¯M )<br />
ζ<br />
dx.<br />
E I ζ<br />
A x = 69 cm 2 , I y = I z = 995.663 cm 4 , I yz = 551.087 cm 4 ,<br />
2 α g = 2 I yz<br />
I y − I z<br />
= ∞ → α g = 45 ◦ ,<br />
I η = 1546.750 cm 4 , I ζ = 444.576 cm 4 .<br />
Upogibna momenta v točki D glede na osi η in ζ sta:<br />
M η = M y cos 45 ◦ = 1414 kNcm,<br />
M ζ = −M y cos 45 ◦ = −1414 kNcm.<br />
Trdnost, Prosojnice 2002 stran 14
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
Diagrama M η in M ζ zaradi <strong>sil</strong>e F ter δ ¯M η in δ ¯M ζ zaradi <strong>sil</strong>e δF z = 1:
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
Diagrama M η in M ζ zaradi <strong>sil</strong>e F ter δ ¯M η in δ ¯M ζ zaradi <strong>sil</strong>e δF z = 1:<br />
Trdnost, Prosojnice 2002 stran 15
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
3. Rezultat<br />
Pomik w D je:<br />
w D = 1<br />
E A x<br />
(10 · 200 · 1 · 2)+<br />
+ 1 ( 1414 · 200<br />
E I η 2<br />
+ 1 ( 1414 · 200<br />
E I ζ 2<br />
· 2 )<br />
3 · 141.4 · 2 +<br />
· 2 )<br />
3 · 141.4 · 2 =<br />
= 0.0029 + 0.8620 + 2.9991 = 3.86 cm.
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
3. Rezultat<br />
Pomik w D je:<br />
w D = 1<br />
E A x<br />
(10 · 200 · 1 · 2)+<br />
+ 1 ( 1414 · 200<br />
E I η 2<br />
+ 1 ( 1414 · 200<br />
E I ζ 2<br />
· 2 )<br />
3 · 141.4 · 2 +<br />
· 2 )<br />
3 · 141.4 · 2 =<br />
= 0.0029 + 0.8620 + 2.9991 = 3.86 cm.<br />
Tudi v tem primeru je del pomika zaradi osne deformacije zelo majhen<br />
v primerjavi z delom zaradi upogiba, saj znaša le 0.075% skupnega<br />
pomika.<br />
Trdnost, Prosojnice 2002 stran 16
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
Primer 5.17<br />
1. Naloga<br />
Konzola je sestavljena iz dveh elementov z odprtim/zaprtim tankostenskim prečnim<br />
prerezom. Podatki: E = 24000 kN/cm 2 , G = 10000 kN/cm 2 , I y2 = 5000 cm 4 , L =<br />
1.5 m, a = 0.5 m. D = 30 cm, t = 1.5 cm.<br />
Trdnost, Prosojnice 2002 stran 17
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
Določimo velikost <strong>sil</strong>e F tako, da bo največja strižna napetost enaka<br />
dopustni strižni napetosti τ dop = 10 kN/cm 2 .
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
Določimo velikost <strong>sil</strong>e F tako, da bo največja strižna napetost enaka<br />
dopustni strižni napetosti τ dop = 10 kN/cm 2 .<br />
Določimo tudi, za koliko se <strong>sil</strong>a F lahko poveča, če stik zavarimo tako,<br />
da dobimo elementa z zaprtim tankostenskim prerezom.
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
Določimo velikost <strong>sil</strong>e F tako, da bo največja strižna napetost enaka<br />
dopustni strižni napetosti τ dop = 10 kN/cm 2 .<br />
Določimo tudi, za koliko se <strong>sil</strong>a F lahko poveča, če stik zavarimo tako,<br />
da dobimo elementa z zaprtim tankostenskim prerezom.<br />
Pri tem predpostavimo, da nastane v elementih enakomerna torzija.
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
Določimo velikost <strong>sil</strong>e F tako, da bo največja strižna napetost enaka<br />
dopustni strižni napetosti τ dop = 10 kN/cm 2 .<br />
Določimo tudi, za koliko se <strong>sil</strong>a F lahko poveča, če stik zavarimo tako,<br />
da dobimo elementa z zaprtim tankostenskim prerezom.<br />
Pri tem predpostavimo, da nastane v elementih enakomerna torzija.<br />
Izračunajmo tudi navpični pomik w C točke C za <strong>sil</strong>i, ki ustrezata odprtemu<br />
oziroma zaprtemu prečnemu prerezu.
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
Določimo velikost <strong>sil</strong>e F tako, da bo največja strižna napetost enaka<br />
dopustni strižni napetosti τ dop = 10 kN/cm 2 .<br />
Določimo tudi, za koliko se <strong>sil</strong>a F lahko poveča, če stik zavarimo tako,<br />
da dobimo elementa z zaprtim tankostenskim prerezom.<br />
Pri tem predpostavimo, da nastane v elementih enakomerna torzija.<br />
Izračunajmo tudi navpični pomik w C točke C za <strong>sil</strong>i, ki ustrezata odprtemu<br />
oziroma zaprtemu prečnemu prerezu.<br />
Trdnost, Prosojnice 2002 stran 18
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2. Postopek in rezultati<br />
2..1 Dopustna <strong>sil</strong>a za oprti AB prerez<br />
2 r = D − t = 30 − 1.5 = 28.5 cm
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2. Postopek in rezultati<br />
2..1 Dopustna <strong>sil</strong>a za oprti AB prerez<br />
2 r = D − t = 30 − 1.5 = 28.5 cm<br />
∫<br />
t 3<br />
I x =<br />
3 dζ =<br />
L s
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2. Postopek in rezultati<br />
2..1 Dopustna <strong>sil</strong>a za oprti AB prerez<br />
2 r = D − t = 30 − 1.5 = 28.5 cm<br />
I x =<br />
∫<br />
L s<br />
t 3 3 dζ = t3 3 L s = 1.53<br />
3 2 π r =
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2. Postopek in rezultati<br />
2..1 Dopustna <strong>sil</strong>a za oprti AB prerez<br />
2 r = D − t = 30 − 1.5 = 28.5 cm<br />
I x =<br />
∫<br />
L s<br />
t 3 3 dζ = t3 3 L s = 1.53<br />
3 2 π r = 100.727 cm4 .
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2. Postopek in rezultati<br />
2..1 Dopustna <strong>sil</strong>a za oprti AB prerez<br />
2 r = D − t = 30 − 1.5 = 28.5 cm<br />
I x =<br />
∫<br />
L s<br />
t 3 3 dζ = t3 3 L s = 1.53<br />
3 2 π r = 100.727 cm4 .<br />
Silo F 1,dop izračunamo iz pogoja σ xζ,max ≤ τ dop .
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2. Postopek in rezultati<br />
2..1 Dopustna <strong>sil</strong>a za oprti AB prerez<br />
2 r = D − t = 30 − 1.5 = 28.5 cm<br />
I x =<br />
∫<br />
L s<br />
t 3 3 dζ = t3 3 L s = 1.53<br />
3 2 π r = 100.727 cm4 .<br />
Silo F 1,dop izračunamo iz pogoja σ xζ,max ≤ τ dop .<br />
Največjo strižno napetost izračunamo po enačbi σ xζ,max = |M x| max<br />
I x<br />
t max .
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2. Postopek in rezultati<br />
2..1 Dopustna <strong>sil</strong>a za oprti AB prerez<br />
2 r = D − t = 30 − 1.5 = 28.5 cm<br />
I x =<br />
∫<br />
L s<br />
t 3 3 dζ = t3 3 L s = 1.53<br />
3 2 π r = 100.727 cm4 .<br />
Silo F 1,dop izračunamo iz pogoja σ xζ,max ≤ τ dop .<br />
Največjo strižno napetost izračunamo po enačbi σ xζ,max = |M x| max<br />
I x<br />
t max .<br />
Upoštevamo, da je |M x | max = F 1,dop a in dobimo F 1,dop a<br />
I x<br />
t max ≤ τ dop .
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2. Postopek in rezultati<br />
2..1 Dopustna <strong>sil</strong>a za oprti AB prerez<br />
2 r = D − t = 30 − 1.5 = 28.5 cm<br />
I x =<br />
∫<br />
L s<br />
t 3 3 dζ = t3 3 L s = 1.53<br />
3 2 π r = 100.727 cm4 .<br />
Silo F 1,dop izračunamo iz pogoja σ xζ,max ≤ τ dop .<br />
Največjo strižno napetost izračunamo po enačbi σ xζ,max = |M x| max<br />
I x<br />
t max .<br />
Upoštevamo, da je |M x | max = F 1,dop a in dobimo F 1,dop a<br />
I x<br />
t max ≤ τ dop .<br />
Iz zadnje enačbe izračunamo F 1,dop :<br />
F 1,dop ≤ τ dop I x<br />
a t max<br />
= 10·100.727<br />
50·1.5<br />
= 13.43 kN.<br />
Trdnost, Prosojnice 2002 stran 19
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2..2 Dopustna <strong>sil</strong>a za zaprti AB prerez<br />
A s = π · 28.52<br />
4<br />
= 637.94 cm 2 .
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2..2 Dopustna <strong>sil</strong>a za zaprti AB prerez<br />
A s = π · 28.52<br />
4<br />
= 637.94 cm 2 .<br />
Silo F 2,dop izračunamo iz pogoja σ xζ,max ≤ τ dop .
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2..2 Dopustna <strong>sil</strong>a za zaprti AB prerez<br />
A s = π · 28.52<br />
4<br />
= 637.94 cm 2 .<br />
Silo F 2,dop izračunamo iz pogoja σ xζ,max ≤ τ dop .<br />
Največjo strižno napetost izračunamo po enačbi σ xζ,max = |M x| max<br />
2 A s t min<br />
.
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2..2 Dopustna <strong>sil</strong>a za zaprti AB prerez<br />
A s = π · 28.52<br />
4<br />
= 637.94 cm 2 .<br />
Silo F 2,dop izračunamo iz pogoja σ xζ,max ≤ τ dop .<br />
Največjo strižno napetost izračunamo po enačbi σ xζ,max = |M x| max<br />
2 A s t min<br />
.<br />
Upoštevamo, da je |M x | max = F 2,dop a in dobimo<br />
F 2,dop a<br />
2 A s t min<br />
≤ τ dop .
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2..2 Dopustna <strong>sil</strong>a za zaprti AB prerez<br />
A s = π · 28.52<br />
4<br />
= 637.94 cm 2 .<br />
Silo F 2,dop izračunamo iz pogoja σ xζ,max ≤ τ dop .<br />
Največjo strižno napetost izračunamo po enačbi σ xζ,max = |M x| max<br />
2 A s t min<br />
.<br />
Upoštevamo, da je |M x | max = F 2,dop a in dobimo<br />
F 2,dop a<br />
2 A s t min<br />
≤ τ dop .<br />
Iz zadnje enačbe izračunamo F 2,dop :<br />
F 2,dop ≤ τ dop 2 A s t min<br />
a<br />
=<br />
10 · 2 · 637.94 · 1.5<br />
50<br />
= 382.764 kN.<br />
Trdnost, Prosojnice 2002 stran 20
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2..3 Račun pomika točke C<br />
w C = ∑ el<br />
∫ L i<br />
0<br />
(<br />
My δ ¯M y<br />
E I y<br />
+ M x δ ¯M x<br />
G I x<br />
)<br />
dx
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2..3 Račun pomika točke C<br />
w C = ∑ el<br />
∫ L i<br />
0<br />
(<br />
My δ ¯M y<br />
E I y<br />
+ M x δ ¯M x<br />
G I x<br />
)<br />
dx = w C,My + w C,Mx .
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2..3 Račun pomika točke C<br />
w C = ∑ el<br />
∫ L i<br />
0<br />
(<br />
My δ ¯M y<br />
E I y<br />
+ M x δ ¯M )<br />
x<br />
dx = w C,My + w C,Mx .<br />
G I x<br />
Torzijska in upogibna momenta zaradi <strong>sil</strong> F in δF z = 1:<br />
Trdnost, Prosojnice 2002 stran 21
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2..4 Račun pomika točke C za no<strong>sil</strong>ec z odprtim prečnim prerezom<br />
(F 1,dop = 13.43 kN)<br />
I y1 = π 64 [D4 − (D − 2 t) 4 ] = 13673.73 cm 4 .
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2..4 Račun pomika točke C za no<strong>sil</strong>ec z odprtim prečnim prerezom<br />
(F 1,dop = 13.43 kN)<br />
I y1 = π 64 [D4 − (D − 2 t) 4 ] = 13673.73 cm 4 .<br />
w C,My = 1 F 1,dop L L<br />
E I y1 2<br />
2 L<br />
3 + 1 F 1,dop a a<br />
E I y2 2<br />
2 a<br />
3<br />
= 0.0507 cm.
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2..4 Račun pomika točke C za no<strong>sil</strong>ec z odprtim prečnim prerezom<br />
(F 1,dop = 13.43 kN)<br />
I y1 = π 64 [D4 − (D − 2 t) 4 ] = 13673.73 cm 4 .<br />
w C,My = 1 F 1,dop L L<br />
E I y1 2<br />
2 L<br />
3 + 1 F 1,dop a a<br />
E I y2 2<br />
2 a<br />
3<br />
= 0.0507 cm.<br />
w C,Mx = 1<br />
G I x<br />
F 1,dop a L a = 5.0 cm.
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2..4 Račun pomika točke C za no<strong>sil</strong>ec z odprtim prečnim prerezom<br />
(F 1,dop = 13.43 kN)<br />
I y1 = π 64 [D4 − (D − 2 t) 4 ] = 13673.73 cm 4 .<br />
w C,My = 1 F 1,dop L L<br />
E I y1 2<br />
2 L<br />
3 + 1 F 1,dop a a<br />
E I y2 2<br />
2 a<br />
3<br />
= 0.0507 cm.<br />
w C,Mx = 1<br />
G I x<br />
F 1,dop a L a = 5.0 cm.<br />
w C = 0.0507 + 5.0 = 5.0507 cm.
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2..4 Račun pomika točke C za no<strong>sil</strong>ec z odprtim prečnim prerezom<br />
(F 1,dop = 13.43 kN)<br />
I y1 = π 64 [D4 − (D − 2 t) 4 ] = 13673.73 cm 4 .<br />
w C,My = 1 F 1,dop L L<br />
E I y1 2<br />
2 L<br />
3 + 1 F 1,dop a a<br />
E I y2 2<br />
2 a<br />
3<br />
= 0.0507 cm.<br />
w C,Mx = 1<br />
G I x<br />
F 1,dop a L a = 5.0 cm.<br />
w C = 0.0507 + 5.0 = 5.0507 cm.<br />
Delež pomika zaradi upogiba je veliko manjši od deleža zaradi torzije. No<strong>sil</strong>ci z<br />
odprtim tankostenskim prečnim prerezom slabo prevzamejo torzijsko obtežbo.<br />
Trdnost, Prosojnice 2002 stran 22
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2..5 Račun pomika točke C za no<strong>sil</strong>ec z zaprtim prečnim prerezom<br />
(F 2,dop = 382.764 kN)<br />
I x = 4 A2 s<br />
dζ<br />
t
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2..5 Račun pomika točke C za no<strong>sil</strong>ec z zaprtim prečnim prerezom<br />
(F 2,dop = 382.764 kN)<br />
I x = 4 A2 s<br />
dζ<br />
t<br />
= 4 · 637.942<br />
π · 28.5<br />
1.5<br />
= 27271.92 cm 4 .
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2..5 Račun pomika točke C za no<strong>sil</strong>ec z zaprtim prečnim prerezom<br />
(F 2,dop = 382.764 kN)<br />
w C = F 2,dop<br />
3 E<br />
I x = 4 A2 s<br />
dζ<br />
t<br />
( ) L<br />
3<br />
+ a3<br />
I y1 I y2<br />
= 4 · 637.942<br />
π · 28.5<br />
1.5<br />
+ F 2,dop L a 2<br />
G I x<br />
= 27271.92 cm 4 .<br />
= 1.445 + 0.526 = 1.971 cm.
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2..5 Račun pomika točke C za no<strong>sil</strong>ec z zaprtim prečnim prerezom<br />
(F 2,dop = 382.764 kN)<br />
w C = F 2,dop<br />
3 E<br />
I x = 4 A2 s<br />
dζ<br />
t<br />
( ) L<br />
3<br />
+ a3<br />
I y1 I y2<br />
= 4 · 637.942<br />
π · 28.5<br />
1.5<br />
+ F 2,dop L a 2<br />
G I x<br />
= 27271.92 cm 4 .<br />
= 1.445 + 0.526 = 1.971 cm.<br />
Pomik zaradi torzije je manjši od pomika zaradi upogiba. No<strong>sil</strong>ci z zaprtim tankostenskim<br />
prečnim prerezom so primerni za prevzem torzijske obtežbe. Kljub temu, da smo<br />
konstrukcijo z odprtim prečnim prerezom obremenili kar z 28.5 krat manjšo <strong>sil</strong>o kot<br />
no<strong>sil</strong>ec z zaprtim prerezom, so pomiki pri odprtem prerezu več kot 2.5 krat večji.<br />
Trdnost, Prosojnice 2002 stran 23
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
Primer 5.19<br />
1. Naloga<br />
Na spodnji strani previsnega linijskega no<strong>sil</strong>ca nastane sprememba temperature<br />
∆T z + = 10 ◦ C, na zgornji strani pa ∆Tz − = 30 ◦ C.<br />
∆T z + in ∆Tz − se vzdolž osi no<strong>sil</strong>ca ne spreminjata.<br />
Podatki: L = 100 cm, h = 10 cm, A x = 10 cm 2 , I y = 100 cm 4 ,<br />
E = 10000 kN/cm 2 , α T = 10 −5 (1/ ◦ C).
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
Primer 5.19<br />
1. Naloga<br />
Na spodnji strani previsnega linijskega no<strong>sil</strong>ca nastane sprememba temperature<br />
∆T z + = 10 ◦ C, na zgornji strani pa ∆Tz − = 30 ◦ C.<br />
∆T z + in ∆Tz − se vzdolž osi no<strong>sil</strong>ca ne spreminjata.<br />
Podatki: L = 100 cm, h = 10 cm, A x = 10 cm 2 , I y = 100 cm 4 ,<br />
E = 10000 kN/cm 2 , α T = 10 −5 (1/ ◦ C).<br />
Izračunajmo pomika u T in w T ter zasuk ω T ≡ ω T y točke T pri x = L.<br />
Določimo tudi potek notranjih <strong>sil</strong>!<br />
Trdnost, Prosojnice 2002 stran 24
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2. Postopek in rezultati<br />
Ker so notranje <strong>sil</strong>e zaradi resnične obtežbe enake nič, računamo δ ¯W ∗ n<br />
po enačbi<br />
δ ¯W ∗ n(∆T ) =<br />
∫ L<br />
0<br />
α T (∆T x δ ¯N x + ∆T z δ ¯M y ) dx.<br />
Za račun pomikov u T in w T ter zasuka ω T moramo izračunati ∆T x in<br />
∆T z in notranje <strong>sil</strong>e, za virtualni <strong>sil</strong>i δF T x = 1 in δF T z = 1 in za virtualni<br />
moment δM T y = 1
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2. Postopek in rezultati<br />
Ker so notranje <strong>sil</strong>e zaradi resnične obtežbe enake nič, računamo δ ¯W ∗ n<br />
po enačbi<br />
δ ¯W ∗ n(∆T ) =<br />
∫ L<br />
0<br />
α T (∆T x δ ¯N x + ∆T z δ ¯M y ) dx.<br />
Za račun pomikov u T in w T ter zasuka ω T moramo izračunati ∆T x in<br />
∆T z in notranje <strong>sil</strong>e, za virtualni <strong>sil</strong>i δF T x = 1 in δF T z = 1 in za virtualni<br />
moment δM T y = 1<br />
Konstanti ∆T x in ∆T z izračunamo po enačbi<br />
10 + 30<br />
∆T x = = 20 ◦ 10 − 30<br />
C, ∆T z =<br />
2<br />
10<br />
= −2 ◦ C/cm.<br />
Trdnost, Prosojnice 2002 stran 25
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
Notranje <strong>sil</strong>e
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
Notranje <strong>sil</strong>e<br />
Trdnost, Prosojnice 2002 stran 26
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
u T x = u T = α T ∆T x<br />
∫L<br />
0<br />
δ ¯N x dx = 0.00001 · 20 · 100 · 1 = 0.02 cm.
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
u T x = u T = α T ∆T x<br />
∫L<br />
Vidimo, da ∆T z ne vpliva na pomik u T .<br />
0<br />
δ ¯N x dx = 0.00001 · 20 · 100 · 1 = 0.02 cm.
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
u T x = u T = α T ∆T x<br />
∫L<br />
Vidimo, da ∆T z ne vpliva na pomik u T .<br />
0<br />
δ ¯N x dx = 0.00001 · 20 · 100 · 1 = 0.02 cm.<br />
u T z = w T = α T ∆T z<br />
∫L<br />
0<br />
δ ¯M y dx = 0.00001 · (−2) ·<br />
−100 · 100<br />
2<br />
= 0.1 cm.
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
u T x = u T = α T ∆T x<br />
∫L<br />
Vidimo, da ∆T z ne vpliva na pomik u T .<br />
0<br />
δ ¯N x dx = 0.00001 · 20 · 100 · 1 = 0.02 cm.<br />
u T z = w T = α T ∆T z<br />
∫L<br />
0<br />
δ ¯M y dx = 0.00001 · (−2) ·<br />
−100 · 100<br />
2<br />
= 0.1 cm.<br />
Vidimo, da na w T ne vpliva sprememba temperature ∆T x ampak samo<br />
∆T z .
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
u T x = u T = α T ∆T x<br />
∫L<br />
Vidimo, da ∆T z ne vpliva na pomik u T .<br />
0<br />
δ ¯N x dx = 0.00001 · 20 · 100 · 1 = 0.02 cm.<br />
u T z = w T = α T ∆T z<br />
∫L<br />
0<br />
δ ¯M y dx = 0.00001 · (−2) ·<br />
−100 · 100<br />
2<br />
= 0.1 cm.<br />
Vidimo, da na w T ne vpliva sprememba temperature ∆T x ampak samo<br />
∆T z .<br />
ω T = α T ∆T z<br />
∫L<br />
δ ¯M y dx = 0.00001·(−2)·100·1 = −0.002rad = −0.115 ◦ .<br />
0<br />
Trdnost, Prosojnice 2002 stran 27
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
Iz ravnotežnih pogojev za obravnavani primer sledi, da so notranje <strong>sil</strong>e<br />
enake nič.<br />
Velja splošno pravilo, da sprememba temperature v statično določenih<br />
konstrukcijah povzroči deformacije ne pa tudi notranjih <strong>sil</strong>.<br />
Trdnost, Prosojnice 2002 stran 28
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
Primer 5.22<br />
1. Naloga<br />
Konstrukcija je sestavljena iz dveh no<strong>sil</strong>cev in dveh vzmeti. Vzmeti sta<br />
linearno elastični.
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
Primer 5.22<br />
1. Naloga<br />
Konstrukcija je sestavljena iz dveh no<strong>sil</strong>cev in dveh vzmeti. Vzmeti sta<br />
linearno elastični.<br />
Določimo navpični pomik točke T .<br />
Trdnost, Prosojnice 2002 stran 29
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2. Postopek<br />
Ker vpliv prečne <strong>sil</strong>e zanemarimo, je:<br />
w T =<br />
∫ 2a<br />
0<br />
M y δ ¯M y<br />
dx + N v δ ¯N v<br />
EI y k x<br />
+ M v δ ¯M v<br />
k ϕ<br />
.
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2. Postopek<br />
Ker vpliv prečne <strong>sil</strong>e zanemarimo, je:<br />
w T =<br />
∫ 2a<br />
0<br />
M y δ ¯M y<br />
dx + N v δ ¯N v<br />
EI y k x<br />
+ M v δ ¯M v<br />
k ϕ<br />
.<br />
Osna <strong>sil</strong>a in upogibni moment v vzmeteh sta: N v = −F/2 in M v =<br />
F a/2.
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
2. Postopek<br />
Ker vpliv prečne <strong>sil</strong>e zanemarimo, je:<br />
w T =<br />
∫ 2a<br />
0<br />
M y δ ¯M y<br />
dx + N v δ ¯N v<br />
EI y k x<br />
+ M v δ ¯M v<br />
k ϕ<br />
.<br />
Osna <strong>sil</strong>a in upogibni moment v vzmeteh sta: N v = −F/2 in M v =<br />
F a/2.<br />
Osna <strong>sil</strong>a in upogibni moment v vzmeteh sta: δN v = −1/2 in δM v =<br />
a/2.<br />
Trdnost, Prosojnice 2002 stran 30
M. Stanek, G. Turk in R. Flajs: Računanje pomikov statično določenih konstrukcij po metodi <strong>sil</strong><br />
Navpični pomik točke T je<br />
w T = 1 F aa<br />
E I y 2 2<br />
2<br />
3<br />
a<br />
2 2 + F/2 1<br />
k x<br />
2 + F a/2<br />
in po preureditvi enačbe dobimo<br />
( a<br />
3<br />
w T = F + 1 )<br />
+ a2<br />
.<br />
6 E I y 4 k x 4 k ϕ<br />
k ϕ<br />
a<br />
2<br />
Trdnost, Prosojnice 2002 stran 31