1.3 Strizni in precni normalni napetosti v nosilcu s konstantnim ...

1.2 Pomiki in vzdolžna normalna napetost 115
Tabela 1.14: Koordinate konveksnih točk v smeri η in ζ in odseki η o in ζ o
Točka na vogalu y z η ζ η o ζ o
1 −6.79 −4.21 −4.32 −6.72 0.89 3.02
2 2.21 −4.21 3.81 −2.86 −1.01 7.09
3 2.21 8.79 −1.77 8.89 2.17 −2.28
4 1.21 8.79 −2.67 8.46 1.43 −2.40
5 −6.79 −3.21 −4.75 −5.81 0.81 3.48
Koordinate mejnih točk jedra prereza izračunamo po enačbah
η P =
(ζ Na − ζ Nb ) i 2 ζ
η Na ζ Nb − ζ Na η Nb
, ζ P = (η Nb − η Na ) i 2 η
η Na ζ Nb − ζ Na η Nb
,
i 2 η = I η
= 425.55 = 20.26 cm 2 , i 2 ζ
A x 21
= I ζ
= 80.53 = 3.83 cm 2 ,
A x 21
zapišemo v preglednici 1.15 in prikazujemo na sliki 1.89.
Tabela 1.15: Račun koordinat točk, ki določajo jedro prereza
Prijemališče η Na ζ Na ζ Na − ζ Nb η Na ζ Nb − ζ Na η Nb η P Točka
sile N η Nb ζ Nb η Nb − η Na ζ P jedra
1 −4.32 −6.72 −3.86 37.93 −0.39 A
2 3.81 −2.86 8.13 4.34
2 3.81 −2.86 −11.74 28.79 −1.56 B
3 −1.77 8.89 −5.58 −3.93
3 −1.77 8.89 0.43 8.79 0.19 C
4 −2.67 8.46 −0.90 −2.08
4 −2.67 8.46 14.27 55.71 0.98 D
5 −4.75 −5.81 −2.08 −0.76
5 −4.75 −5.81 0.90 6.79 0.51 E
1 −4.32 −6.72 0.43 1.28
Primer izračunajmo še za osi y, z, ki nista glavni vztrajnostni osi. Normalno napetost σ xx izračunamo
z enačbo (1.88)
σ xx = N x
− M z I yz − M y I z
A x I y I z − Iyz
2 z − M z I y − M y I yz
I y I z − Iyz
2 y.
Enačba nevtralne osi je
σ xx = 0 = N x
− M z I yz − M y I z
A x I y I z − Iyz
2
z − M z I y − M y I yz
I y I z − Iyz
2 y.

116 1 Upogib z osno silo
Slika 1.89: Jedro prereza kotnega prečnega prereza
Upoštevamo oznake
in dobimo
Odseka y o in z o sta:
(
N
A x
N x = N, M y = N z N , M z = −N y N
1 + y N I yz + z N I z
I y I z − Iyz
2
A x z + y )
N I y + z N I yz
I y I z − Iyz
2 A x y = 0. (1.167)
(
)
( )
y o = − 1 Iy I z − Iyz
2 , z o = − 1 Iy I z − Iyz
2 .
A x y N I y + z N I yz A x y N I yz + z N I z
Enačbo (1.167) zapišimo za primera, da je sila N v točki s koordinatama y Na , z Na in v točki y Nb , z Nb .
S tem dobimo enačbi za premici a in b:
Konstante A 1 , A 2 , B 1 in B 2 so
premica a : A 1 y + A 2 z + 1 = 0,
premica b : B 1 y + B 2 z + 1 = 0.
A 1 = y Na I y + z Na I yz
I y I z − Iyz
2 A x ,
B 1 = y Nb I y + z Nb I yz
I y I z − Iyz
2 A x ,
A 2 = y Na I yz + z Na I z
I y I z − Iyz
2 A x ,
B 2 = y Nb I yz + z Nb I z
I y I z − Iyz
2 A x .

1.2 Pomiki in vzdolžna normalna napetost 117
Koordinati presečišča premic a in b izračunamo z enačbama:
y p =
A 2 − B 2
A 1 B 1 − A 2 B 1
, z p =
B 1 − A 1
A 1 B 1 − A 2 B 1
.
Tabela 1.16: Presečišča premic, ki določajo jedro prereza, z osema y in z
Točka robu prereza y N z N y o = −i 2 z/y N z o = −i 2 y/z N
1 −6.79 −4.21 0.86 −5.43
2 2.21 −4.21 −1.20 1.81
3 2.21 8.79 4.37 −1.68
4 1.21 8.79 2.22 −1.48
5 −6.79 −3.21 0.81 −3.67
V preglednici 1.17 zapišemo račun koordinat točk na robu jedra prereza za prečni prerez oblike črke T.
Tabela 1.17: Račun koordinat točk, ki določajo jedro prereza
Prijemališče y Na z Na A 1 A 2 y P Točka
sile N y Nb z Nb B 1 B 2 z P jedra
1 −6.79 −4.21 −1.160 0.184 1.51 A
2 2.21 −4.21 0.837 −0.554 4.09
2 2.21 −4.21 0.837 −0.554 −3.10 B
3 2.21 8.79 −0.229 0.594 −2.88
3 2.21 8.79 −0.229 0.594 −0.72 C
4 1.21 8.79 −0.451 0.676 −1.96
4 1.21 8.79 −0.451 0.676 0.56 D
5 −6.79 −3.21 −1.242 0.272 −1.10
5 −6.79 −3.21 −1.242 0.272 1.01 E
1 −6.79 −4.21 −1.160 0.184 0.94

118 1 Upogib z osno silo
1.3 Strižni in prečni normalni napetosti v nosilcu s konstantnim prečnim
prerezom
Pri upogibu ravnega nosilca s konstantnim prečnim prerezom A x upoštevamo razen vzdolžne normalne
napetosti σ xx tudi strižni napetosti σ xy in σ xz (slika 1.90).
Slika 1.90: V nosilcu upoštevamo vzdolžno normalno napetost σ xx ter strižni napetosti σ xy in σ xz
Pri izpeljavi enačb za račun pomikov u, v in w (enačbe (1.80) in (1.87)) ter enačbe za vzdolžno normalno
napetost σ xx (enačba (1.88)) v nosilcu z ravno osjo smo predpostavili, da sta od nič različni le vzdolžna
normalna deformacija ε xx in le vzdolžna normalna napetost σ xx . Enačbe za σ xy , σ xz , σ yy in σ zz izpeljemo
iz ravnotežnih enačb za ustrezni del nosilca.
Vzemimo del nosilca od ¯x = 0 do ¯x = x ter ga odrežimo pri y = y ∗ = konst (slika 1.91).
Slika 1.91: Obravnavamo del nosilca dolžine x z delnim prečnim prerezom A ∗
x

1.3 Strižni in prečni normalni napetosti v nosilcu s konstantnim prečnim prerezom 119
Zapišimo ravnotežno enačbo za ta nosilec:
∫
A ∗
x (0)
+
∫ x
0
⃗p S (0, y, z) dA x +
⎛
⎜
⎝
C ∗
∫
∫
A ∗
x (x)
x,z (¯x) ⃗p S (¯x, c) dc +
∫
A ∗
⃗σ x (x, y, z) dA x +
x (¯x) ⃗v(¯x, y, z) dA x +
⎞
∫
⃗σ y (¯x, y ∗ , z) dc⎟
⎠ d¯x = ⃗0.
x,01 (¯x)
C ∗
(1.168)
S c označimo krivuljsko koordinato, ki določa točke mejne črte dela prečnega prereza Ax ∗ . Del v oglatem
∗
oklepaju označimo z F ⃗ (x) in predstavlja nadomestno linijsko obtežbo zaradi zunanje obtežbe ⃗pS na
mejni črti C ∗ x,z ter zunanje obtežbe ⃗v na delu prereza Ax ∗ in zaradi napetosti ⃗σ y vzdolž meje C ∗ x,01
∫
∫
∫
∫
⃗F ∗ ∗
(x) = ⃗p S dc + ⃗v dA x + ⃗σ y dc = P ⃗ (x) + ⃗σ y dc. (1.169)
C ∗
x,z(x)
A ∗
x (x)
C ∗
x,01(x)
C ∗
x,01(x)
∗
S P ⃗ (x) označimo zunanjo linijsko obtežbo za del prereza A ∗
x
∫
∫
⃗P ∗ (x) = ⃗p S dc + ⃗v dA x . (1.170)
C ∗
x,z (x) A ∗
x (x)
Enačbo (1.168) krajše zapišemo takole:
∫
A ∗
x (0) ⃗p S dA x +
∫
A ∗
x (x) ⃗σ x dA x +
∫ x
0
⃗F ∗ (¯x) d¯x = ⃗0. (1.171)
Ax ∗ (x) ne predstavlja funkcijske zveze temveč le označuje za kateri prečni prerez gre. Ker v nadaljevanju
obravnavamo le prečni prerez pri x in sta njegova oblika in velikost neodvisni od x, integracijsko območje
krajše zapišemo z Ax ∗ , Cx,01 ∗ in C x,z. ∗ Enačba (1.171) predstavlja ravnotežno enačbo za del nosilca. Če
želimo določiti napetosti v odvisnosti od x, moramo enačbo (1.171) odvajati. Tedaj dobimo:
∫
∂
∂x
A ∗
x
∫
∗
⃗σ x dA x + F ⃗
∂ =
∂x
A ∗
x
⃗σ x dA x + ⃗ P
∗
+
∫
C ∗
x,01
⃗σ y dc = ⃗0 (1.172)
oziroma
∫
∂
∂x
A ∗
x
∫h ∗
∗
⃗σ x dA x + P ⃗ + ⃗σ y dc = ⃗0. (1.173)
0

120 1 Upogib z osno silo
Predpostavimo tudi, da se ⃗σ y vzdolž meje Cx,01 ∗ ne spreminja. Ker je A ∗
x
določimo tako, da odvajamo integrand (glej Bronstein ... str 341)
∫
A ∗
x
konstanten, odvod integrala
∂⃗σ x
∂x dA x + ⃗ P
∗
+ ⃗σy h ∗ = ⃗0. (1.174)
Iz enačbe (1.174) izrazimo ⃗σ y
⃗σ y = − 1 h ∗ ⎛
⎜
⎝ ⃗ P ∗ +
∫
A ∗
x
⎞
∂⃗σ x
∂x dA ⎟
x⎠ . (1.175)
Po množenju (1.175) z enotskim vektorjem ⃗e x , dobimo izraz za strižno napetost σ yx
⎛
σ yx = σ xy = − 1 ∫
⎜
h ∗ ⎝Px ∗ +
A ∗
x
∂σ xx
⎞
∂x dA ⎟
x⎠ , (1.176)
po množenju (1.175) z enotskim vektorjem ⃗e y pa izraz za prečno normalno napetost σ yy
σ yy = − 1 h ∗ ⎛
⎜
⎝P ∗
y +
∫
A ∗
x
∂σ xy
⎞
∂x dA ⎟
x⎠ . (1.177)
Pri izpeljavi enačb (1.176) in (1.177) smo predpostavili, da sta strižna napetost σ xy ter prečna normalna
napetost σ yy vzdolž črte, ki je vzporedna osi z, konstantni (glej enačbi (1.173) in (1.174)).
Izpeljava enačb za račun strižne napetosti σ xz in prečne normalne napetosti σ zz
Vzemimo del nosilca od ¯x = 0 do ¯x = x ter ga odrežimo pri z = z ∗ = konst (slika 1.92).
Zapišimo ravnotežno enačbo za ta nosilec:
∫
A ∗
⃗p S (0, y, z) dA x + ⃗σ x (x, y, z) dA x +
x (0) A ∗
x
⎛
(x)
∫ x ∫
∫
+ ⎜
⎝ ⃗p S (¯x, c) dc + ⃗v(¯x, y, z) dA x +
0 C ∗
x,z (¯x) A ∗
x (¯x)
∫
⎞
∫
⃗σ z (¯x, y, z ∗ ) dc⎟
⎠ d¯x = ⃗0.
x,01 (¯x)
C ∗
(1.178)

1.3 Strižni in prečni normalni napetosti v nosilcu s konstantnim prečnim prerezom 121
Slika 1.92: Obravnavamo del nosilca dolžine x z delnim prečnim prerezom A ∗
x
∗
Del v oglatem oklepaju označimo z F ⃗ (x) in predstavlja nadomestno linijsko obtežbo zaradi zunanje
obtežbe na mejni črti Cx,z ∗ ter na delu prereza Ax ∗ in zaradi napetosti ⃗σ z vzdolž meje Cx,01
∗
∫
∫
∫
∫
⃗F ∗ ∗
(x) = ⃗p S dc + ⃗v dA x + ⃗σ z dc = P ⃗ (x) + ⃗σ z dc. (1.179)
C ∗
x,z (x) A ∗
x (x) C ∗
x,01 (x) C ∗
x,01 (x)
∗
S P ⃗ (x) označimo zunanjo linijsko obtežbo za del prereza A ∗
x
∫
∫
⃗P ∗ (x) = ⃗p S dc + ⃗v dA x . (1.180)
Enačbo (1.178) krajše zapišemo takole:
∫
A ∗
x (0)
⃗p S dA x +
C ∗
x,z(x)
∫
A ∗
x (x)
A ∗
x (x)
∫ x
⃗σ x dA x +
0
⃗F ∗ (¯x) d¯x = ⃗0. (1.181)
Z odvajanjem ravnotežne enačbe (1.181) po x dobimo (namesto Ax ∗ (x) pišemo Ax ∗ )
∫
∫
∫
∂
∗
⃗σ x dA x + F ⃗
∂
∗
= ⃗σ x dA x + P ⃗ + ⃗σ z dc = ⃗0 (1.182)
∂x
∂x
oziroma
A ∗
x
∫
∂
∂x
A ∗
x
A ∗
x
C ∗
x,01
∫b ∗
∗
⃗σ x dA x + P ⃗ + ⃗σ z dc = ⃗0. (1.183)
0

122 1 Upogib z osno silo
Upoštevamo, da je Ax ∗ konstanten ter predpostavimo, da se ⃗σ z vzdolž Cx,01 ∗ ne spreminja
∫
∂⃗σ x
∂x dA ∗
x + P ⃗ + ⃗σz b ∗ = ⃗0. (1.184)
A ∗
x
Iz enačbe (1.184) izrazimo ⃗σ z
⃗σ z = − 1 b ∗ ⎛
⎜
⎝ ⃗ P ∗ +
∫
A ∗
x
⎞
∂⃗σ x
∂x dA ⎟
x⎠ . (1.185)
Po množenju (1.185) z enotskim vektorjem ⃗e x , dobimo izraz za strižno napetost σ zx
⎛
⎞
σ zx = σ xz = − 1 ∫
⎜
b ∗ ⎝Px ∗ ∂σ xx
+
∂x dA ⎟
x⎠ , (1.186)
po množenju (1.185) z enotskim vektorjem ⃗e z pa izraz za prečno normalno napetost σ zz
⎛
⎞
σ zz = − 1 ∫
⎜
b ∗ ⎝Pz ∗ ∂σ xz
+
∂x dA ⎟
x⎠ . (1.187)
Pri izpeljavi enačb (1.186) in (1.187) smo predpostavili, da sta strižna napetost σ xz ter prečna normalna
napetost σ zz vzdolž črte, ki je vzporedna osi y, konstantni (glej enačbi (1.183) in (1.184)).
V izrazih za strižni napetosti σ xy in σ xz nastopa integral na delu A ∗
x odvoda vzdolžne normalne napetosti
σ xx po x. Če vzamemo, da sta osi y in z glavni vztrajnostni osi v težišču prečnega prereza A x , je
napetost σ xx povezana z osno silo N x in upogibnima momentoma M y in M z po enačbi (1.89)
A ∗
x
A ∗
x
σ xx = N x
+ M y
z − M z
y. (1.188)
A x I y I z
Integral odvoda normalne napetosti σ xx je
∫
∫
∂σ xx
∂x dA x =
A ∗
x
=
A ∗
x
∫
A ∗
x
∂
∂x
(
Nx
+ M y
z − M )
z
y dA x =
A x I y I z
( 1
A x
dN x
dx + 1 I y
dM y
dx z − 1 I z
dM z
dx y )
dA x =
= − A∗ x
P x + N z − M y
Sy ∗ + N y + M z
Sz ∗ .
A x I y
I z
(1.189)

1.3 Strižni in prečni normalni napetosti v nosilcu s konstantnim prečnim prerezom 123
Uporabili smo oznake
A ∗ x =
∫
dA x , S ∗ y =
∫
z dA x , S ∗ z =
∫
y dA x , (1.190)
A ∗
x
A ∗
x
A ∗
x
ter upoštevali ravnotežne enačbe za ravni linijski nosilec (enačbe (1.30) in (1.31))
dN x
dx = −P x,
dM y
dx = N z − M y ,
dM z
dx = −N y − M z . (1.191)
Enačbo (1.189) vstavimo v enačbo (1.176) in dobimo izraz za strižno napetost σ xy
σ xy = − 1 h ∗ (
)
Px ∗ − A∗ x
P x + S∗ y
(N z − M y ) + S∗ z
(N y + M z ) . (1.192)
A x I y I z
Če (1.189) vstavimo v enačbo (1.186), dobimo izraz za strižno napetost σ xz
σ xz = − 1 b ∗ (
)
Px ∗ − A∗ x
P x + S∗ y
(N z − M y ) + S∗ z
(N y + M z ) . (1.193)
A x I y I z
Pri izpeljavi enačbe (1.192) predpostavimo, da je strižna napetost σ xy vzdolž črte, ki je vzporedna glavni
vztrajnostni osi z, konstantna (slika 1.93a). Pri izpeljavi enačbe (1.193) privzamemo, da se strižna
napetost σ xz vzdolž črte, ki je vzporedna glavni vztrajnostni osi y, ne spreminja (slika 1.93b).
Slika 1.93: a) Del prereza Ax ∗ za račun napetosti σ xy b) Del prereza Ax
∗ za račun napetosti
σ xz
Velikosti prečnih normalnih napetosti σ yy in σ zz so pri nosilcih majhne v primerjavi z velikostmi napetosti
σ xx , σ xy in σ xz in jih zato običajno ne računamo (glej primer 1.31).
V primeru upogiba z osno silo se nosilec ne zasuče okrog vzdolžne osi x. Točko S, skozi katero morata
potekati smernici rezultant strižnih napetosti σ xy in σ xz (prečnih sil N y in N z ) v prečnem prerezu A x ,
da se prerez ne zasuče, imenujemo strižno središče (slika 1.94).

124 1 Upogib z osno silo
Slika 1.94: a) Strižni napetosti σ xy in σ xz v prečnem prerezu A x
b) Prečni sili N y in N z v strižnem središču prečnega
prereza A x
Če prečni sili N y in N z potekata skozi strižno središče S, je torzijski moment M xS na točko S enak nič
M xS = 0,
na težišče T p prečnega prereza pa je enak (slika 1.94b)
∫
A x
(y σ xz − z σ xy ) dA x = y S N z − z S N y .
V primeru, da ima prečni prerez simetrijsko os, leži strižno središče S na tej osi. †
strižnega središča podajamo v razdelku 2.6.
Enačbe za račun
1.3.1 Primeri
Primer 1.25 Določimo strižni napetosti σ xy in σ xz zaradi prečne sile N z za prečni prerez pravokotne
oblike s širino b in višino h ter za prečni prerez krožne oblike! Iz enačb (1.192) in (1.193) za P ∗ x = 0,
P x = 0, M y = 0, N y = 0 in M z = 0 sledi
Za določitev σ xy tako potrebujemo le S ∗ y(y ∗ ).
Prečni prerez pravokotne oblike
σ xy (y ∗ ) = − N z S ∗ y(y ∗ )
h ∗ (y ∗ ) I y
, σ xz (z ∗ ) = − N z S ∗ y(z ∗ )
b ∗ (z ∗ ) I y
.
Pri računu statičnega momenta S ∗ y dela prečnega prereza A ∗ x dvojni integral (enačba (1.190)) prevedemo
na enojnega, če upoštevamo, da je dA x = a dz (slika 1.95).
S ∗ y(y ∗ ) =
∫
A ∗
x
z dA x =
∫h/2
−h/2
( ) b
z
2 + y∗ dz =
( ) b z
2
2 + h/2
y∗ 2 ∣
−h/2= 1 ( ) ( b h
2
2 2 + y∗
† I.S. Sokolnikoff, Mathematical Theory of Elasticity, McGraw-Hill, New York, 1956.
4 − h2
4
)
= 0.

1.3 Strižni in prečni normalni napetosti v nosilcu s konstantnim prečnim prerezom 125
Slika 1.95: Del prereza A ∗
x za račun statičnega momenta S ∗ y(y ∗ )
Sledi, da je strižna napetost σ xy povsod v prerezu enaka nič
σ xy = 0.
Velja splošno pravilo, da je σ xy zaradi prečne sile N z enaka nič, če ima prerez dve pravokotni osi
simetrije. Takim prerezom pravimo, da so dvojnosimetrični. Račun napetosti σ xz dobimo z enačbo
(1.193). V njej upoštevamo, da je P ∗ x = P x = M y = N y = 0. Za določitev σ xz tako potrebujemo
le S ∗ y(z ∗ ). Pri računu statičnega momenta dela prečnega prereza A ∗ x dvojni integral prevedemo na
enojnega, če upoštevamo, da je dA x = b dz (glej sliko 1.96).
Slika 1.96: Del prereza A ∗
x za račun statičnega momenta S ∗ y(z ∗ )
S ∗ y(z ∗ ) =
∫
A ∗
x
z dA x =
∫ z∗
−h/2
z b dz = b 2 z2 ∣ ∣∣∣
z ∗
−h/2= b 2
)
(z ∗ 2 − h2
.
4
Če upoštevamo, da je
b ∗ (z) ≡ b,
I y = b h3
12 ,

126 1 Upogib z osno silo
sledi, da je strižna napetost σ xz enaka
σ xz (z ∗ ) = − 6 N ( )
z
b h 3 z ∗ 2 − h2
.
4
Strižna napetost σ xz je kvadratna funkcija koordinate z. Lego ekstremne vrednosti strižne napetosti σ xz
dobimo iz pogoja za ekstrem funkcije
dσ xz
dz ∗
Velikost ekstremne vrednosti napetosti σ xz je
= −6 N z
b h 3 2 z∗ ekst = 0 → z∗ ekst = 0.
σ xz (zekst ∗ ) = 3 N z
2 b h = 1.5 N z
.
A x
Spreminjanje strižne napetosti σ xz po višini prečnega prereza prikazujemo na sliki 1.97.
Slika 1.97: Spreminjanje strižne napetosti σ xz po prečnem prerezu nosilca
Prečni prerez krožne oblike s polmerom R
Na sliki 1.98 označimo del prečnega prereza krožne oblike s pozitivno zunanjo normalo z z A ∗ x , z
negativno zunanjo normalo z pa z A ∗∗
x .
Ker je S ∗ y(y) = 0, je strižna napetost σ xy enaka nič. Za račun strižne napetosti σ xz potrebujemo
I y = π R4
4 , R2 =
( ) b(z) 2
+ z 2 , b(z) = √ R 2 − z 2 ,
2
∫ R
Sy ∗∗ = z b(z) dz =
z ∗
∫ R
z ∗
2 z √ R 2 − z 2 dz.

1.3 Strižni in prečni normalni napetosti v nosilcu s konstantnim prečnim prerezom 127
Slika 1.98: Strižno napetost σ xz določamo pri z = z r
Vpeljemo novo spremenljivko u = √ R 2 − z 2 in dobimo
Določimo še u pri z ∗ in R:
Statični moment S ∗∗
y
du = 1 2
1
dz
√ (−2 z) dz = −z
R 2 − z2 u .
z = z ∗ → u = √ R 2 − (z ∗ ) 2 , z = R → u = 0.
je
S ∗∗
y (z ∗ ) =
∫ 0
√
R 2 −(z ∗ ) 2
(
2 z u − u du ) = −2 u3
0
z 3 ∣√ = 2
R 2 −(z ∗ )
3 2
√
(R 2 − (z ∗ ) 2 ) 3 .
Strižna napetost σ xz je
√
σ xz (z ∗ ) = N z 2 (R 2 − (z ∗ ) 2 ) 3 4
3 · 2 √ R 2 − (z ∗ ) 2 π R = 4 N z (
R 2 4 3 π R 4 − (z ∗ ) 2) .
Napetost σ xz ima ekstremno vrednost pri z = 0
σ xz,ekst =
4 N z
3 π R 2 = 4 N z
. (1.194)
3 A x
Na sliki 1.99 prikazujemo potek strižne napetosti σ xz (N z ) za prečni prerez krožne oblike.

128 1 Upogib z osno silo
Slika 1.99: Strižna napetost σ xz za prečni prerez krožne oblike
Primer 1.26 Določimo diagram strižnih napetosti zaradi prečne sile N z = 10 kN za na sliki prikazani
prerez oblike črke T (slika 1.100)!
Slika 1.100: Prečni prerez v obliki črke T
Enačbi za račun napetosti σ xy in σ xz dobimo iz (1.192) in (1.193)
σ xy (N z ) = − N z S ∗ y(y ∗ )
h ∗ (y ∗ ) I y
, σ xz (N z ) = − N z S ∗ y(z ∗ )
b ∗ (z ∗ ) I y
.
Koordinatni osi y in z morata potekati skozi težišče prečnega prereza. Ker njegove lege še ne poznamo,
za njegov račun izberemo tak koordinatni sistem, v katerem račun poteka dovolj preprosto. Uporabimo
koordinatni sistem y ′ , z ′ , kot kaže slika 1.101. Zaradi simetrije prereza težišče leži na osi z ′ oziroma
y ′ T = 0. y ′ T = 0, z ′ T =
15 · 8 · 4 + 15 · 8 · 15.5
2 · 15 · 8
= 9.75 cm.

1.3 Strižni in prečni normalni napetosti v nosilcu s konstantnim prečnim prerezom 129
Slika 1.101: Koordinati težišča računamo v koordinatnem sistemu y ′ , z ′
Vztrajnostni moment I y glede na glavno vztrajnostno os y v težišču prereza (slika 1.102)
I y =
15 · 83
12
+ 5.75 2 · 8 · 15 + 8 · 153
12
+ 5.75 2 · 8 · 15 = 10825 cm 4 .
Slika 1.102: Koordinate težišč posameznih likov za račun vztrajnostnega momenta
Črte vzdolž katerih računamo σ xy so navpične. Oblika dela prečnega prereza se nezvezno spremeni pri
y = −4 in pri y = 4. Zato za račun statičnega momenta S ∗ y(y) za del prereza A ∗ x ločimo tri integracijska
območja. Delni prerez A ∗ x za območje −7.5 ≤ y ∗ ≤ −4.0 je prikazan na sliki 1.103
S ∗ y(y ∗ ) =
∫ y∗
−7.5
−5.75 · 8 dy = −8 · 5.75 y∣ y∗
= −46 −7.5 (y∗ + 7.5) = −345 − 46 y ∗ [cm 3 ].

130 1 Upogib z osno silo
Slika 1.103: Integracijsko območje −7.5 ≤ y ∗ ≤ −4.0
Delni prerez A ∗ x za območje −4.0 ≤ y ∗ ≤ 4.0 je prikazan na sliki 1.104
S ∗ y(y ∗ ) =
∫−4
−5.75 · 8 dy +
∫ y∗
1.75 · 23 dy = −46 (−4 + 7.5) + 40.25 (y ∗ + 4) = 40.25 y ∗ [cm 3 ].
−7.5
−4
Slika 1.104: Integracijsko območje −4.0 ≤ y ∗ ≤ 4.0
Delni prerez A ∗ x za območje 4.0 ≤ y ∗ ≤ 7.5 je prikazan na sliki 1.105
S ∗ y(y ∗ ) =
∫−4
∫ 4
−5.75 · 8 dy +
1.75 · 23 dy +
∫ y∗
−5.75 · 8 dy =
−7.5
−4
4
= −161 + 40.25 · 8 − 46 (y ∗ − 4) = 345 − 46 y ∗ [cm 3 ].

1.3 Strižni in prečni normalni napetosti v nosilcu s konstantnim prečnim prerezom 131
Slika 1.105: Integracijsko območje 4.0 ≤ y ∗ ≤ 7.5
Za račun statičnega momenta Sy(z ∗ ∗ ) za del prereza Ax
∗ ločimo dve integracijski območji, saj se pri
vodoravnih črtah, vzdolž katerih računamo napetost σ xz , delni prerez nezvezno spremeni le pri z =
−1.75. Delni prerez Ax ∗ za območje −9.75 ≤ z ∗ ≤ −1.75 je prikazan na sliki 1.106
S ∗ y(z ∗ ) =
∫ z∗
−9.75
z · 15 dz = 7.5 z 2 ∣ ∣∣
z ∗
−9.75 = 7.5 ( (z ∗ ) 2 − 9.75 2) = 7.5 (z ∗ ) 2 − 712.97 [cm 3 ].
Slika 1.106: Integracijsko območje −9.75 ≤ z ∗ ≤ −1.75
Delni prerez A ∗ x za območje −1.75 ≤ z ∗ ≤ 13.25 je prikazan na sliki 1.107
−1.75 ∫
Sy(z ∗ ∗ ) = z·15 dz+
∫ z∗
−9.75
−1.75
Strižno napetost σ xz izračunamo po enačbi
z·8 dz = 7.5 (1.75 2 −9.75 2 )+4 ( (z ∗ ) 2 − 1.75 2) = 4 (z ∗ ) 2 −702.25[cm 3 ].
N z
σ xz (z ∗ ) = −
b ∗ (z ∗ (4 (z ∗ ) 2 − 702.25).
) I y
(1.195)

132 1 Upogib z osno silo
Slika 1.107: Integracijsko območje −1.75 ≤ z ∗ ≤ 13.25
Ekstremno vrednost strižne napetosti σ xz izračunamo z odvajanjem dσ xz /dz ∗ = 0:
−1.75 ≤ z ∗ ≤ 13.25 :
dσ xz
dz ∗
= N z
8 I y
8 z ∗ = 0 → z ∗ ekst = 0 → σ xz,ekst = 81.7 N/cm 2 .
Velikosti strižnih napetosti σ xy in σ xz podajamo v preglednicah 1.18 in 1.19, grafični prikaz pa na sliki
1.108. Vidimo, da se σ xy v odvisnosti od y spreminja odsekoma linearno in je na mestih, kjer se prerez
nezvezno spremeni, nezvezna. Napetost σ xz se spreminja po kvadratni paraboli v odvisnosti od z. Pri
z = −1.75, kjer se širina prereza nezvezno spremeni, je tudi σ xz nezvezna. Največja vrednost σ xz =
81.7 N/cm 2 je pri z = 0.
Tabela 1.18: Strižna napetost σ xy (y)
y ∗ [cm] h ∗ [cm] σ xy [N/cm 2 ]
-7.5 8 0
-4.0 8 18.59
-4.0 23 6.47
0 23 0
4.0 23 -6.47
4.0 8 -18.59
7.5 8 0

1.3 Strižni in prečni normalni napetosti v nosilcu s konstantnim prečnim prerezom 133
Tabela 1.19: Strižna napetost σ xz (z)
z ∗ [cm] b ∗ [cm] σ xz [N/cm 2 ]
-9.75 15 0
-1.75 15 42.5
-1.75 8 79.7
0 8 81.7
13.25 8 0
Slika 1.108: Potek strižnih napetosti σ xy in σ xz
Posledica predpostavke, da se strižni napetosti σ xy in σ xz ne spreminjata vzdolž y oziroma z osi je, da
niso izpolnjeni robni pogoji (slika 1.109).
Na sliki 1.109a vidimo, da je napetost σ xz vzdolž vodoravnega roba z = −1.75 različna od nič, čeprav
je ta rob neobremenjen in iz ravnotežne enačbe na robu sledi, da je σ xz = 0. Podobno iz slike 1.109b
sledi, da je σ xy vzdolž navpičnih robov različna od nič, čeprav ta robova nista strižno obremenjena in
iz robnih pogojev sledi, da je σ xy = 0. Kljub tej pomanjkljivosti sta podani enačbi dovolj natančni za
oceno strižnih napetosti v linijskih konstrukcijah in se v praksi redno uporabljajo.

134 1 Upogib z osno silo
Slika 1.109: Zaradi privzetih predpostavk robni pogoji niso izpolnjeni
Primer 1.27 Z uporabo ravnotežne enačbe za del nosilca na sliki 1.110 izpeljimo enačbo za račun
strižne napetosti σ xz . Predpostavimo ravninsko napetostno stanje v ravnini x, z. Ploskev A z je vzporedna
ravnini x, y.
Slika 1.110: Iz nosilca v ravnini x, z, na katerega deluje navpična obtežba, izrežemo del nosilca
dolžine dx s prečnim prerezom A ∗
x
Vzemimo, da na nosilec v ravnini x, z delujejo zunanje sile pravokotno na vzdolžno os nosilca, to je v
smeri osi z. Prečni prerez A x nosilca se vzdolž osi nosilca ne spreminja. Oblika prečnega prereza naj
ima simetrijsko os, ki sovpada z osjo z. V tem primeru računamo vzdolžno normalno napetost σ xx po
enačbi
σ xx = M y
I y
z. (1.196)
V nadaljevanju predpostavimo, da se velikost strižne napetosti σ xz vzdolž premic, ki so vzporedne osi y,
ne spreminja. Na sliki 1.111 prikazujemo napetosti, ki na obravnavani del telesa delujejo.

1.3 Strižni in prečni normalni napetosti v nosilcu s konstantnim prečnim prerezom 135
Slika 1.111: Na izrezani del nosilca delujeta normalna in strižna napetost
Izraz za strižno napetost σ xz izpeljemo, če za sile na sliki 1.111 zapišemo ravnotežni pogoj ∑ X = 0.
Pri tem upoštevamo, da na prečni prerez Ax1 ∗ deluje normalna napetost σ xx, na prečni prerez Ax2 ∗ pa
σ xx + dσ xx . V ploskvici, ki je vzporedna ravnini x, y, deluje vzdolž robu x konstantna strižna napetost
σ zx , vzdolž robu x + dx pa konstantna strižna napetost σ zx + dσ zx . Srednja (povprečna) strižna napetost
v tej ploskvici je zato σ zx + (1/2) dσ zx . Ravnotežni pogoj zapišemo z enačbo:
∫
(
− σ xx dA x + σ zx + 1 )
∫
2 dσ zx b ∗ (z) dx + (σ xx + dσ xx ) dA x = 0. (1.197)
A ∗
x1
Upoštevamo enčbo (1.196) ter zvezo dM y /dx = N z
σ xx + dσ xx = M y
z + d ( )
My
z dx = M y
I y dx I y I y
in dobimo
− M y
I y
∫
A ∗
x1
A ∗
x2
z + dM y
dx
z dA x + σ zx b ∗ (z) dx + 1 2 dσ zx b ∗ (z) dx + M y
I y
z
dx = M y
z + N z
z dx. (1.198)
I y I y I y
∫
A ∗
x2
z dA x + N z
I y
dx
∫
A ∗
x2
z dA x = 0.
Če upoštevamo še, da sta ploskvi Ax1 ∗ in A x2 ∗ enaki in če zanemarimo kvadrat diferencialnih količin
(dσ zx dx), sledi
σ zx b ∗ (z) dx + N ∫
z
dx z dA x = 0.
I y
Upoštevamo še, da je σ zx = σ xz in dobimo
Z S ∗ y je označen statični moment delnega prereza A ∗ x .
A ∗
x
σ xz = − N z S ∗ y
b ∗ (z) I y
. (1.199)

136 1 Upogib z osno silo
Primer 1.28 Izračunajmo največjo strižno napetost v vijaku v konstrukciji na sliki 1.112. Nosilec med
točkama AC je sestavljen iz dveh delov, med točkama BC pa iz enega dela. Polmer r prečnega prereza
vijaka ima velikost 1 cm, sila F = 5 kN, razdalja a pa 1 m.
Slika 1.112: Nosilec AC je sestavljen iz dveh delov, nosilec BC pa iz enega dela
Reakcije in sile v vezi izračunamo iz ravnotežnih pogojev (slika 1.113).
Slika 1.113: Vpliv podpor nadomestimo z reakcijami, vez pa izrežemo
Ravnotežni pogoji:
Členek:
C l x = C d x, C l z = C d z .
Iz momentnega pogoja na členek v podpori A za celo konstrukcijo dobimo, da je B z = −F , iz pogoja
∑ Z = 0 za celo konstrukcijo sledi Az = −F , iz momentnega ravnotežnega pogoja na členek C za levi
del konstrukcije A x = F/4, iz pogojev ∑ X = 0 in ∑ Z = 0 za levi del pa C l x = −F/4 in C l z = 0. Na
sliki 1.114 so prikazane sile na vijak. Upoštevano je, da je nosilec AC iz dveh delov.

1.3 Strižni in prečni normalni napetosti v nosilcu s konstantnim prečnim prerezom 137
Slika 1.114: Sile, ki na vijak delujejo
Na prečni prerez vijaka deluje prečna sila Q velikosti F/8. Največja strižna napetost v vijaku je (enačba
(1.194))
τ max = 4 3
Q
π r 2 = 4 3
5
8 π 1 2 = 0.265 kN/cm2 .
Primer 1.29 Določimo velikost strižne sile F s , ki učinkuje na prvo zakovico prostoležečega nosilca,
sestavljenega iz dveh tračnic! Nosilec je obremenjen z enakomerno obtežbo q = 18 kN/m. Ploščina
prereza tirnice je A x = 55.6 cm 2 , vztrajnostni moment tirnice na težišče prereza je Iy T = 1476 cm 4 ,
oddaljenost težišča z
T ′ = 6.96 cm. Dolžina nosilca je L = 6.5 cm, razdalja e med zakovicami pa 15 cm
(slika 1.115). Določimo tudi potrebni premer prve zakovice! Največja dovoljena strižna napetost τ max v
zakovici je τ max = 4 kN/cm 2 .
Slika 1.115: Nosilec je sestavljen iz dveh tračnic, ki sta med seboj povezani z zakovicami
Pri računu predpostavimo, da se zakovičen nosilec obnaša tako, kot da bi bil prerez nosilca homogen.
Na sliki 1.116 je prikazano deformiranje dveh nepovezanih in dveh povezanih nosilcev. Slika 1.116a
prikazuje primer, ko tirnici nista povezani, med njima pa ni trenja. Slika 1.116b prikazuje togo povezani
tirnici. Taki tirnici sta po vsej dolžini zavarjeni. Zakovičeni tirnici nista povsem togo povezani. Vendar
je njuno obnašanje bližje drugemu primeru.
Če se nosilec obnaša, kot da je iz enega samega dela, izračunamo napetosti σ xz = σ zx zaradi prečne sile
N z po enačbi
σ xz (N z ) = − N z S ∗ y(z ∗ )
b ∗ (z ∗ ) I y
.

138 1 Upogib z osno silo
Slika 1.116: Deformirani legi nepovezanih in togo povezanih tračnic
Strižno silo F s , ki jo morata “prevzeti” prvi dve zakovici, približno določimo, če integriramo strižno
napetost σ zx po ravnini A s (x, y) pri z = 0 na dolžini 0 ≤ x ≤ e (slika 1.117)
∫
∫
2F s = σ zx dA s = σ xz dA s .
A s A s
Slika 1.117: Območje stika med tračnicama, ki pripada prvima dvema zakovicama
Integral po ploskvi lahko prevedemo na enojni integral tako, da upoštevamo dA s = b ∗ (z = 0) dx
2F s =
∫ e
0
− N z S ∗ y(z = 0)
b ∗ (z = 0) I y
∫ e
b ∗ (z = 0) dx = −
0
N z Sy(z ∗ = 0)
dx.
Izračunati moramo prečno silo N z v odvisnosti od koordinate x, statični moment dela prereza za z = 0
in vztrajnostni moment glede na os y.
I y

1.3 Strižni in prečni normalni napetosti v nosilcu s konstantnim prečnim prerezom 139
Račun prečne sile (slika 1.118):
N z (x) = −A z − q x = q L 2 − q x = 0.18 ( 650
2 − x )
= 0.18 (325 − x).
Slika 1.118: Statični model za račun prečne sile N z
Račun statičnega momenta dela prereza S ∗ y(z = 0):
Račun vztrajnostnega momenta I y glede na os y:
Strižna sila, ki jo prevzameta dve zakovici, je
S ∗ y(z = 0) = −6.96 · 55.6 = −386.98 cm 3 .
I y = 2 (1476 + 6.96 2 · 55.6) = 8338.71 cm 4 .
2F s =
∫ 15
na eno zakovico pa deluje polovična sila
0
0.18 (325 − x) 386.98 dx = 39.78 kN,
8338.71
F s = 39.78
2
Določimo prerez zakovice (dimenzioniranje zakovice).
= 19.89 kN.
Zakovica ima krožni prerez polmera R. Največja strižna napetost je (glej (1.194))
σ max
F s
xz = 4 3 π R 2
in mora biti manjša ali enaka največji dovoljeni strižni napetosti
σ max
xz ≤ τ max .

140 1 Upogib z osno silo
Iz te neenačbe izračunamo pogoj, ki mu mora ustrezati polmer zakovice
√
4
R ≥
3
F s
π τ max
=
√
4
3
19.89
4 π
= 1.453 cm,
premer D zakovice pa mora ustrezati pogoju
D = 2 R ≥ 2.91 cm.
Primer 1.30 Določimo prečno normalno napetost σ zz v nosilcu z ravno osjo in pravokotnim prečnim
prerezom (slika 1.119). Prečni prerez je obtežen s prečno silo N z ter upogibnim momentom M y .
Slika 1.119: Prečni prerez pravokotne oblike širine b in višine h
Prečno normalno napetost izračunamo po enačbi (1.177)
σ zz = − 1
b ∗ (z ∗ )
V obravnavanem primeru je (p z [N/cm 2 ])
b ∗ (z ∗ ) = b,
⎛
⎜
⎝P ∗
z (x) +
∫
A ∗
x (x)
∂σ xz
σ xz = − 6 N ( )
z
b h 3 z 2 − h2
, Pz ∗ =
4
⎞
∂x dA ⎟
x⎠ . (1.200)
∫
C ∗
x,z
p z ds = p z b
in
∫
P z =
p z ds = p z b = P ∗
z ,
dA x = b dz,
dN z
dx + P z = 0.
C x

1.3 Strižni in prečni normalni napetosti v nosilcu s konstantnim prečnim prerezom 141
Tako dobimo
σ zz = − 1 b
= − 1 b
⎛
⎜
⎝P ∗
z +
⎛
∫
A ∗
x
⎜
⎝P z + 6 P z
b h 3
(
− 6 dN z
b h 3 dx
∫z
−h/2
= − P b − 6 P ( )
z
3
b h 3 3 − h2
4 z − h3
12
)) (z ⎞ 2 − h2 ⎟ ⎠ =
4
⎞
) (¯z 2 − h2 ⎟
b d¯z ⎠ =
4
= − 6 P ( )
z z
3
b h 3 3 − h2
4 z + h3
.
12
Vrednosti prečne normalne napetosti σ zz za z = −h/2, z = 0 in z = h/2:
σ zz (−h/2) = − P z
b ,
σ zz(0) = − P z
2 b , σ zz(h/2) = 0.
Na sliki 1.120 prikazujemo potek prečne normalne napetosti σ zz .
Slika 1.120: Potek prečne normalne napetosti σ zz a
Določimo še razmereje med največjo prečno normalno napetostjo σ zz,max = σ zz (−h/2) ter največjo
vzdolno normalno napetostjo σ xx,max za prostoležeči nosilec pravokotnega prereza, na katerega deluje
enakomerna linijska obtežba P z .
Največja vzdolžna normalna napetost je (z L je označena dolžina nosilca)
σ xx,max = M max
W y
= P z L 2 6
b h 2 = 3 P z L 2
b h 2 .
Po absolutni vrednosti največja prečna normalna napetost je |σ zz,max | = P z /b. Razmerje med prečno
normalno in vzdolžno normalno napetostjo je
|σ zz,max |
= 4 ( ) h 2
.
σ xx,max 3 L

142 1 Upogib z osno silo
Za linijski nosilec, pri katerem je h/L = 0.1 dobimo
|σ zz,max | = 4
300 σ xx,max.
V tem primeru znaša prečna normalna napetost 1.33% vzdolžne normalne napetosti. Zaradi teg pri
linujskih nosilcih prečne normalne napetosti največkrat zanemarimo.
1.4 Glavne normalne napetosti v nosilcu
Napetosti σ xx , σ zz in σ xz določajo ravninsko napetostno stanje v ravnini x, z. Napetostni vektor ⃗σ N v
prerezu z zunanjo normalo ⃗e N lahko izrazimo z napetostnima vektorjema ⃗σ x in ⃗σ z , ki pripadata ravninam
z zunanjima normalama ⃗e x in ⃗e z (slika 1.121)
⃗σ N = ⃗σ x e Nx + ⃗σ z e Nz .
Slika 1.121: Prerez nosilca z zunanjo normalo ⃗e N
Če je α kot med vektorjema ⃗e x in ⃗e N , zapišemo normalno napetost σ NN in strižno napetost σ NT z
enačbama
σ NN = σ xx + σ zz
2
σ NT = σ xx − σ zz
2
+ σ xx − σ zz
2
cos 2 α − σ xz sin 2 α, (1.201)
sin 2 α + σ xz cos 2 α, (1.202)
ki ju izpeljemo na enak način kot v razdelku 2.6.1 v učbeniku: M. Stanek, G. Turk, Osnove mehanike
trdnih teles, Univerza v Ljubljani. Ekstremno vrednost normalnih napetosti določa kot α σ (glej razdelek
2.6.2 v istem učbeniku)
tg 2 α σ =
2 σ xz
, (1.203)
σ zz − σ xx
ekstremno vrednost strižnih napetosti pa kot α τ
Velikosti ekstremnih napetosti lahko izračunamo z enačbama
tg 2 α τ = − σ zz − σ xx
2 σ xz
. (1.204)
σ 11,22 = σ xx + σ zz
2
√ (σzz )
− σ 2
xx
±
+ σ
2
xz, 2 (1.205)

1.4 Glavne normalne napetosti v nosilcu 143
velikosti ekstremnih strižnih napetosti pa po enačbah
√ (σzz
− σ xx
τ II = ±
2
) 2
+ σ 2 xz = ± 1 2 (σ 11 − σ 22 ). (1.206)
Pri grednih nosilcih prečno normalno napetost σ zz običajno zanemarimo. Zato se enačbe (1.201) -
(1.206) poenostavijo.
Ekstremno vrednost normalnih napetosti določa kot α σ
ekstremno vrednost strižnih napetosti pa kot α τ
Velikosti ekstremnih napetosti lahko izračunamo z enačbama
σ NN = σ xx
2 + σ xx
2 cos 2 α − σ xz sin 2 α (1.207)
σ NT = σ xx
2 sin 2 α + σ xz cos 2 α. (1.208)
tg 2 α σ = − 2 σ xz
σ xx
, (1.209)
tg 2 α τ = σ xx
2 σ xz
. (1.210)
σ 11 = σ max = 1 2 [σ xx + √ σ 2 xx + 4 σ 2 xz],
σ 22 = σ min = 1 2 [σ xx − √ σ 2 xx + 4 σ 2 xz],
(1.211)
velikosti ekstremnih strižnih napetosti pa po enačbah
τ II = ± 1 2√
σ 2 xx + 4 σ 2 xz = ± 1 2 (σ 11 − σ 22 ). (1.212)
Z uporabo enačb (1.209) in (1.211) lahko določimo v vseh točkah (x, z) linijskega nosilca smeri in
velikosti glavnih normalnih napetosti in narišemo dve skupini med seboj pravokotnih krivulj, katerih
tangente se v vsaki točki (x, z) nosilca ujemajo z eno od glavnih ravnin za to točko. Te krivulje imenujemo
trajektorije glavnih napetosti.
Trajektorije glavnih normalnih napetosti določimo z uporabo enačbe (1.209), v kateri upoštevamo, da sta
σ xx in σ xz funkciji koordinat x in z
Enačbo (1.213) izrazimo v odvisnosti od tg 2 α σ
tg 2 α σ =
tg 2 α σ = − 2 σ xz(x, z)
σ xx (x, z) . (1.213)
2 tg α σ
1 − tg 2 α σ
= f(x, z) → f(x, z) tg 2 α σ + 2 tg α σ − f(x, z) = 0

144 1 Upogib z osno silo
in jo rešimo
√
tg α σ = − 1
f(x, z) ± 1
1 +
f 2 (x, z) .
Posamezna trajektorija glavnih normalnih napetosti je funkcija z(x). Če upoštevamo, da je odvod dz/dx
enak tg α σ , ter namesto f(x, y) zapišemo (1.213), dobimo
√
dz
dx = σ xx(x, z)
2 σ xz (x, z) ± 1 + σ2 xx(x, z)
4 σxz(x, 2 z) . (1.214)
Enačba (1.214) predstavlja diferencialno enačbo prvega reda, katere rešitev je funkcija z(x). Diferencialni
enačbi prvega reda pripada en robni pogoj. Če vzamemo
z(0) = k, (1.215)
kjer je s k označena konstanta, dobimo eno izmed trajektorij. Različnim trajektorijam napetosti ustrezajo
različne vrednosti robnega pogoja z(0) = k. Diferencialno enačbo (1.214) z robnim pogojem (1.215)
lahko rešimo numerično (na primer s programom Mathematica ali Matlab).
Primer 1.31 Določimo trajektorije glavnih normalnih napetosti v konzolnem nosilcu dolžine L = 3 m,
višine h = 1 m in širine b = 20 cm, ki je obtežen s silo F = 1 kN na prostem koncu konzole pri x = L!
Notranje sile v obravnavani konstrukciji so
N x (x) = 0, N z (x) = F, M y (x) = −F (L − x).
Normalno napetost σ xx izračunamo po enačbi (1.89), strižno napetost σ xz pa po enačbi (1.193)
σ xx (x, z) = M y(x)
I y
σ xz (x, z) = − N z(x) S ∗ y
b ∗ I y
z = M y(x)
b h 3
12 F (L − x) z
12 z = −
b h 3 ,
= − 6 F (
b h 3 z 2 − h2
4
)
.
(1.216)
Ob upoštevanju enačb (1.216) v diferencialni enačbi (1.214) smo z računalniškim programom določili
potek trajektorij glavnih normalnih napetosti, ki jih prikazujemo na sliki 1.122.
Slika 1.122: Potek trajektorij glavnih normalnih napetosti v konzoli