PrednÃ¡Å¡ka Ä. 4 - Dynamika HB a SHB

CAE mechatronických 

systémov a sústav 

Vladimír Goga 

Katedra mechaniky 

1

Dynamika hmotného bodu a 

sústavy hmotných bodov 

Prednáška 4. 

2

Obsah prednášky 

1. Ciele a úlohy dynamiky 

2. Základné pojmy 

3. Newtonove zákony 

4. Zostavovanie pohybových rovníc 

5. Základné vety dynamiky hmotného bodu 

6. Sústava hmotných bodov 

3


• Cieľ dynamiky: 

– základný cieľ dynamiky je vyšetrovať 

súvislosti medzi pohybom mechanických 

modelov a pôsobiacimi silami 

– tento vzájomný vzťah je definovaný v 

pohybových rovniciach, preto hlavná úloha 

dynamiky je zostavenie týchto pohybových 

rovníc 

4


• Základné úlohy, ktoré dynamika rieši sú: 

1. určenie takých pôsobiacich síl, aby sa teleso 

(hmotný bod - HB) pohybovalo predpísaným 

pohybom (ide o riešenie algebraických 

rovníc) 

2. pôsobiace sily sú známe (prípadne ich 

závislosti od parametrov pohybu) a hľadáme 

pohyb, ku ktorému účinkom týchto síl 

dochádza (riešenie diferenciálnych rovníc) 

5


• V technickej praxi sa často stretávame s 

úlohami v podstate prvého typu, v ktorých 

pri známom priebehu kinematických 

veličín jednotlivých bodov telesa môžeme 

určiť vnútorné silové účinky v 

pohybujúcom sa telese, a tým aj 

namáhanie v ľubovoľnom priereze telesa. 

6


• Z uvedeného vyplýva zrejmý význam 

dynamiky: 

– skúmanie pohybu mechanickej sústavy, 

– určenie hlavných parametrov hnacích a 

pracovných strojov tak, aby vyhovovali 

technologickému procesu, 

– určenie namáhania jednotlivých strojových 

častí a ich dimenzovanie, 

– a pod. 

7


• Klasickú mechaniku možno rozdeliť: 

– z hľadiska zostavovania pohybových rovníc na: 

• vektorovú mechaniku: vychádza priamo z 

Newtonových zákonov 

• analytickú (skalárnu) mechaniku: vychádzame z 

energetických úvah 

– z hľadiska pohybujúceho sa objektu: 

• dynamika hmotného bodu (HB), 

• dynamika sústavy hmotných bodov (SHB), 

• dynamiku telesa, 

• dynamiku sústavy telies, 

• dynamiku kontinua. 

8


• Teoretické a aplikačné odbory dynamiky: 

– dynamika strojov, 

– náuka o kmitaní, 

– štatistická dynamika, 

– pohyb telies s premennou hmotnosťou, 

– a pod. 

9


1. Hmota: 

– je objektívna realita, existujúca nezávisle od nášho 

vedomia, ktoré ju odráža, fotografuje a zaznamenáva, 

a ktorá existuje v priestore a čase 

– látkovou formou hmoty sú hmotné telesá 

– mierou odporu hmoty proti zmene jej pohybového 

stavu vyvolaného pôsobiacimi silami, t.j. mieru 

zotrvačných účinkov hmoty, vyjadruje veličina 

nazývaná hmotnosť 

– hmotnosť je zároveň mierou množstva hmoty v telese 

(je skalárna veličina s reálnou kladnou hodnotou) 

– v klasickej mechanike (v technickej praxi) hmotnosť 

telesa nezávisí od rýchlosti telesa 

10


2. Priestor: je trojrozmerný euklidovský 

– inerciálna sústava: 

• jej základnou vlastnosťou je, že je v kľude 

• platí v nej zákon zotrvačnosti 

• jej realizácia je abstraktná 

• najlepšie by takejto SS odpovedala SS, ktorá je 

pevne spojená so stálicami, ktoré majú vo vesmíre 

nemennú polohu 

• každá sústava, ktorá sa vzhľadom na inerciálnu 

sústavu nepohybuje, alebo sa pohybuje 

rovnomerne priamočiaro, je takisto inerciálna 

11


2. Priestor: je trojrozmerný euklidovský 

– inerciálna sústava: 

• napriek tomu, že SS pevne spojený so Zemou sa 

pohybuje, jej zrýchlenie pri pohybe okolo Slnka je 

také malé (0,00593ms -2 – stred Zeme) v porovnaní 

s gravitačným zrýchlením alebo v porovnaní s 

väčšinou zrýchlení vyskytujúcich sa v technickej 

praxi, že SS pevne spojený so Zemou môžeme s 

dostatočnou presnosťou považovať za nehybný 

SS 

12


• Hmotný bod: 

– je teleso, ktorého geometrické rozmery v uvažovanej 

sústave môžeme zanedbať 

– teleso sa scvrklo do bodu, ktorý má hmotnosť 

rovnajúcu sa hmotnosti telesa a jeho poloha je v 

strede telesa (ťažisku) 

– táto idealizácia je možná v prípadoch, keď uvažujeme 

len posuvný pohyb telesa, a keď rozmery telesa majú 

zanedbateľný alebo žiadny vplyv na výsledok riešenia 

(napr. pohyb zemegule v slnečnej sústave) 

– na určenie polohy hmotného bodu nám stačia tri 

súradnice 

14


• Sila: 

– je vektorová veličina 

– na jednoznačné určenie sily je potrebné udať 

bod jej pôsobiska, smer a zmysel jej 

pôsobenia a jej veľkosť, t.j. intenzitu jej 

pôsobenia 

– priamka na ktorej leží vektor sily je nositeľkou 

sily 

– jednotkou sily je 1 newton 

 

N 

kg. m. 

s 

2 

 

 

15


• Sila: 

– môžeme ju vyjadriť v tvare 

F F i F j 

F k 

x y z 

- veľkosť sily (jej absolútna hodnota): 

F F F F F 

2 2 2 

x y z 

16


• Moment sily: 


– vyjadruje sa k určitému bodu 

M rF 

0 

Moment k bodu 0 

17





M 

i j k 

 

r r r 

 

F F F 

0 x y z 

x y z 

Moment k bodu 0 

 

 

 

 

 

18





M 

 

i r F r F 

0 y z z y 

 

j r F r F 

 

z x x z 

k r F r F 

 

x y y x 

iM jM kM 

 

 

x y z 

19



– moment sily F k bodu 0 sa nemení, ak túto 

silu posúvame po jej nositeľke 

– preto je veľkosť momentu tiež daná súčinom 

veľkosti sily a kolmej vzdialenosti nositeľky 

sily od bodu 0 

– jednotkou momentu sily je 1 newton meter 

 

N. m kg. m . s 

2 2 

 

 

20



nositeľka sily 

veľkosť momentu: 

M 

rF 

0 0 

smer a orientácia 

momentu: 

- kolmý na rovinu 

definovanú vektormi r 

a F 

kolmá vzdialenosť 

r točí do F 

21



– pre rovinu: 


M 

rF 

0 0 

smer a orientácia 

momentu: 

- kolmý na rovinu x-y 

22



– pre rovinu: 


M 

 

r F 

r F 

0 x y y x 

23


• Mechanická práca: 

– je definovaná ako skalárny súčin vektora sily 

F pôsobiacej na hmotný bod, ktorého poloha 

sa zmenila o dr 

dA Fdr F dr F dr F dr 

x x y y z z 

x2 y2 

z2 

A Fdr F dx F dy F dz 

 

x y z 

x1 y1 z1 

– tiež môžeme povedať, že práca predstavuje 

dráhový účinok sily 

24


• Mechanická práca: 

– práca momentu sily: 

dA Md 

– jednotkou mechanickej práce je 1 joule 

 

J N. m kg. m . s 

2 2 

 

 

25


• Mechanický výkon: 

– výkon je definovaný podielom vykonanej 

práce za jednotku času 

– jednotkou mechanického výkonu je 1 watt 

 

W J. s N. m. s kg. m . s 

1 1 2 3 

– ak sa vykoná práca dA za čas dt , je okamžitý 

výkon: 

dA 

P 

dt 

dA dr 

dA d 

P F F. 

v P M M. 

 

dt dt 

dt dt 

 

 

26


• Účinnosť: 

– účinnosť je definovaná pomerom: 

PV 

 

P 

– PV 

je výkon odovzdaný sústave, P 

je výkon 

sústave privedený (tzv. príkon) 

– rozdiel P P P 1 

0 je stratový výkon 

P V P 

– výkon je bezrozmerná veličina, ak ju 

prenásobíme 100, dostaneme účinnosť v % 

27


• Silové pole: 

– pod týmto pojmom rozumieme funkčnú 

závislosť vektora sily, ktorý pôsobí na skúmaný 

hmotný bod alebo teleso, od súradníc a aj 

rýchlosti daného bodu a vo všeobecnosti aj od 

času, t.j. 

F 

F r, r ,t 

 

– ak sila nie je explicitne funkciou času, potom 

hovoríme, že silové pole je stacionárne, v 

opačnom prípade nestacionárne 

– sily, ktoré môžeme vyjadriť pomocou potenciálu, 

nazývame konzervatívne F gradU 

 

28


• Potenciálové (konzervatívne) pole: 

– pole potenciálových síl je pole potenciálové alebo 

tiež konzervatívne 

– ide o vektorové silové pole v priestore, kde v 

každom mieste priestoru pôsobí na HB sila 

jednoznačne určená veľkosťou a smerom 

• na presunutie HB z miesta A do miesta B po dráhe s 

je potrebné vykonať určitú prácu W 

• pri presune HB naspäť z miesta B do A sa bod 

pohybuje po inej dráhe s’ , pričom sa vykoná práca 

W’ 

29



• HB teda vykoná pohyb po uzavretej krivke (dráhe), ktorá 

je tvorená dráhami s a s’ 

• ak platí W = - W’ , potom celková práca po uzavretej dráhe je 

nulová: W + W’ = 0 

• body A a B boli zvolené ľubovoľne, čo znamená, že v 

takomto poli nezávisí práca na dráhe, ktorú musí HB 

prejsť, ale iba na počiatočnej a koncovej polohe 

• takéto pole sa nazýva konzervatívne alebo tiež 

potenciálové (je to teda pole potenciálových síl) 

30



– v konzervatívnom poli platí zákon zachovania 

mechanickej energie 

• celková mechanická energia sústavy ostáva stála 

– v konzervatívnom poli pôsobia len konzervatívne sily 

• medzi konzervatívne pole patrí napr. pole gravitačné 

• konzervatívne polia sú silové polia, ktoré sú homogénne (tzn. 

pôsobiace sily majú v každom bode rovnaký smer a veľkosť) 

– ak mechanická práca v konzervatívnom silovom poli 

nezávisí na dráhe, po ktorej sa bod pohybuje, ale iba na 

počiatočnej a koncovej polohe, potom možno miesto 

vektorového poľa použiť skalárne pole – túto veličinu 

31 

potom nazývame potenciál



– ak neplatí vzťah W + W’ = 0, teda platí W + W’ ≠ 0, 

potom v takomto poli obvykle dochádza počas pohybu 

HB k strate energie, väčšinou dôsledkom nejakej 

odporovej sily 

• HB sa teda vracia do pôvodnej polohy s inou energiou 

• zákon zachovania energie už neplatí, pretože mechanická 

energia sa zmenila na iný typ energie (napr. teplo, deformačnú 

energiu a pod.) 

• takéto pole sa nazýva nekonzervatívne 

• ak v nekonzervatívnom poli platí W + W’ < 0, potom hovoríme o 

poli disipatívnom 

32



– práca vykonaná v disipatívnom poli pri pohybe bodu je teda 

záporná 

– pri pohybe v disipatívnom poli sa teda kinetická energia HB 

znižuje 

– napr. pohyb bodu v gravitačnom poli, ak nezanedbáme 

odpor vzduchu, dochádza k disipácii (stratám) energie a 

pohyb sa spomaľuje (výsledné silové pole už nie je 

konzervatívne) 

33


• Newtonove zákony tvoria základné 

princípy dynamiky 

– alebo tiež axiómy dynamiky (axióm je 

tvrdenie, ktoré sa považuje za platné a teda 

sa nedokazuje) 

34


• Prvý Newtonov zákon: 

– vzhľadom na inerciálnu súradnicovú sústavu 

sa pohybový stav hmotného bodu (resp. 

telesa) nemení, ak hmotný bod nepodlieha 

pôsobeniu iných telies 

– každý HB zotrváva v pokoji alebo v stave 

rovnomerného priamočiareho pohybu, pokiaľ 

nie je vonkajšími silami prinútený svoj 

pohybový stav zmeniť 

– takisto sa nazýva zákon zotrvačnosti 

35


• Druhý Newtonov zákon: 

– po kvantitatívnej stránke Newton zavádza ako 

mieru množstva pohybu hybnosť : 

p 

mv 

– touto veličinou charakterizujeme pohybový 

stav HB alebo telesa pri jeho posuvnom 

pohybe 

36



– časová zmena hybnosti určuje silu vyvolávajúcu zmenu 

pohybového stavu telesa, pričom sila je úmerná rýchlosti 

tejto zmeny 

– časová zmena hybnosti je úmerná vonkajšej sile a 

prebieha v smere tejto sily 

dp 

dt 

F 

F = 

 

i 

F 

i 

- je výsledný účinok vonkajších síl pôsobiacich 

na teleso 

37



– ak je hmotnosť telesa v priebehu pohybu 

konštantná: 

dp 

dmv 

dv 

= m = m. 

a 

dt dt dt 

F = 

ma 

– takisto sa nazýva zákon sily alebo zákon o 

zmene hybnosti 

38



F = 0 

– ak (silová sústava pôsobiaca na teleso 

je v rovnováhe), platí: 

p konšt. 

• čo tiež opisuje rovnovážny stav 

• zákonu zotrvačnosti (1. Newtonov zákon) potom 

hovoríme aj zákon o zachovaní hybnosti 

– ak konšt.= 0, hmotný bod zotrváva v pokoji 

– ak konšt.≠ 0, hmotný bod sa pohybuje rovnomerne 

priamočiaro 

39



2 

– vzťah: dv 

d x 

m m ma 

2 

dt dt 

F 

– je to vektorová rovnica 

• jej zložkový tvar: 

ma 

x 

 

F 

x 

2 

dv 

d x 

m m ma 

2 

dt dt 

F 

ma 

y 

 

F 

y 

ma 

z 

 

F 

z 

40


• Tretí Newtonov zákon: 

– silové pôsobenie medzi telesami je vždy 

vzájomné 

– dve telesá pôsobia na seba silami rovnakej 

veľkosti, rovnakého smeru, ale opačnej 

orientácie 

– tiež sa nazýva zákon akcie a reakcie 

– matematicky môže byť vyjadrený 

F 

F 

1 2 

41


• pre oblasť dynamiky je charakteristický 

druhý Newtonov zákon, ktorý je 

východiskom pri odvádzaní základných 

dynamických vzťahov – pohybových rovníc 

42

4. Zostavovanie pohybových 

rovníc 

• pri zostavovaní pohybových rovníc HB 

metódami vektorovej mechaniky môžeme 

použiť 2 spôsoby: 

1. Newtonov spôsob: 

– vychádza zo znenia 2. Newtonovho zákona 

2. d’Alembertov spôsob: 

– zavádza pojem zotrvačnej sily 

43

4.1 Newtonov spôsob 

• pri pôsobení síl F i 

na hmotný bod s 

konštantnou hmotnosťou m platí pre jeho 

pohyb v ľubovoľnom inerciálnom 

súradnicovom systéme Newtonova 

pohybová rovnica 

ma 

F 

i 

zrýchlenie hmotného bodu vyvolané výslednicou pôsobiacich síl 

44


Fi 

tu sú zahrnuté všetky pôsobiace sily 

bod bez väzieb 

bod s väzbami 

sú to všetky akčné sily 

okrem akčných síl musia 

byť zahrnuté aj reakčné sily, 

ktoré predstavujú silové 

pôsobenie väzieb 

45


• pre praktické riešenie je nevyhnutné 

vektorovú rovnicu prepísať do zložkových 

rovníc 

• podobne ako pri kinematike, aj tu sa 

najčastejšie používa rozpis do jedných z 

nasledovných súradníc: 

– kartézske 

– cylindrické 

– sférické 

– sprievodný trojhran 

46


• kartézske súradnice 

ma 

ma 

ma 

x 

y 

z 

 

 

 

 

i 

 

i 

 

i 

F 

F 

F 

ix 

iy 

iz 

kde: 

a 

x 

 

 

x 

a 

y 

 

 

y 

a 

z 

 

 

z 

47


• cylindrické súradnice 

ma 

ma 

ma 

 

 

z 

 

 

 

 

i 

 

i 

 

i 

F 

F 

F 

i 

i 

iz 

kde: 

a 

 

 

2 

( ) ; 

a 2 ; 

 

a z 

 

 

 

 

z 

 

48


• sférické súradnice 

kde: 

ma 

ma 

ma 

r 

 

 

 

 

 

 

i 

 

i 

 

i 

F 

F 

F 

ir 

i 

i 

a r r r 

r 

 

2 

( ) 2 2 

( ) sin ; 

 

2 

a 

r 2 r 

r ( ) sin cos ; 

a r sin 2r sin 2r cos 

 

 

 

49


• sprievodný trojhran 

kde: 

ma 

ma 

ma 

t 

t 

n 

b 

n 

b 

 

 

 

 

i 

 

i 

 

i 

2 

v 

 

R 

0 

F 

it 

F 

F 

a v s 

a 

a 

 

 

in 

ib 

50

4.2 d’Alembertov spôsob 

ma 

• skutočnosť, že súčin v Newtonovej 

pohybovej rovnici má rozmer sily, využil 

d'Alembert k zavedeniu zotrvačnej sily: 

Dma 

• Newtonovu pohybovú rovnicu je možné potom 

písať nasledovne: 

F i 

D 0 

• d'Alembertov princíp: všetky sily pôsobiace na 

daný hmotný bod sú v rovnováhe so zotrvačnou 

silou tohto bodu 

51

5. Základné vety dynamiky 

hmotného bodu 

• pohybové rovnice využívame najčastejšie 

k výpočtu kinematických veličín pohybu 

bodu a k určeniu reakcií väzieb 

• základné vety dynamiky vyjadrujú obecné 

závislosti medzi dynamickými veličinami a 

veličinami charakterizujúcimi pôsobiace 

sily 

• vyplývajú z Newtonových pohybových 

zákonov 

52

5.1 Veta o zmene hybnosti 

základná rovnica 

ma 

F 

i 

vzťah medzi zrýchlením a rýchlosťou 

d 

a v 

dt 

53



ma 

F 

i 


d 

a v 

dt 

54



ma 

F 

i 


d 

a v 

dt 

mdv 

 

Fi 

 

dt 

55



ma 

F 

i 


d 

a v 

dt 

mdv 

 

Fi 

 

dt 

po integrovaní 

m 

v v 

0 

 

Fi 

t 

0 

dt 

56


m 

v v 

0 

 

Fi 

t 

0 

dt 

57


hybnosť hmotného bodu 

mv 

p 

t 

0 

impulz sily 

F idt 

I 

i 

m 

v v 

0 

 

Fi 

t 

0 

dt 

58



mv 

p 

t 

0 

impulz sily 

F idt 

I 

i 

m 

v v 

0 

 

Fi 

t 

0 

dt 

59



mv 

p 

t 

0 

impulz sily 

F idt 

I 

i 

m 

v v 

0 

 

Fi 

t 

0 

dt 

 

p p I 

0 i 

i 

60


m 


mv 

p 

v v 

0 

 

Fi 

t 

0 

 

p p I 

0 i 

i 

dt 

t 

F idt 

0 

impulz sily 

zmena hybnosti v určitom 

časovom intervale je daná 

súčtom impulzov pôsobiacich síl 

v danom časovom intervale 

dp 

i 

I 

i 

dI 

i 

61


rozpis do jednotlivých zložiek 

 

p p I 

0 i 

i 

p p F dt 

x x0 

ix 

i 0 

p p F dt 

y y0 

iy 

i 0 

p p F dt 

z z0 

iz 

i 0 

t 

 

t 

t 

 

 

62



 

p p I 

0 i 

i 

p p F dt 

x x0 

ix 

i 0 

p p F dt 

y y0 

iy 

i 0 

p p F dt 

z z0 

iz 

i 0 

t 

 

t 

t 

 

 

ak je zložka výslednice pôsobiacich síl do niektorého smeru 

nulová, potom sa zložka hybnosti v tomto smere nemení 

63

5.2 Veta o zmene momentu 

hybnosti 


ma 

F 

i 

64


hybnosti 


ma 

F 

i 

vektorovo vynásobíme zľava 

r 

65


hybnosti 


ma 

F 

i 


r 

rma r F 

 

i 

66


hybnosti 


ma 

F 

i 


r 

rma r F 

 

i 

d 

a v 

dt 

67


hybnosti 


ma 

F 

i 


r 

rma r F 

 

i 

dv 

r m rFi 

dt 

d 

a v 

dt 

68


hybnosti 

dv 

r m rFi 

dt 

69


hybnosti 

moment hybnosti 

L rmv 

dv 

r m rFi 

dt 

70


hybnosti 


L rmv 

dv 

r m rFi 

dt 

časová derivácia momentu hybnosti 

dL dr dv 

mv r 

m 

dt dt dt 

dv 

v mv r m dt 

dv 

r 

m dt 

71


hybnosti 


L rmv 

dv 

r m rFi 

dt 


dL dr dv 

mv r 

m 

dt dt dt 

dv 

v mv r m dt 

dv 

r 

m dt 

moment sily 

rF M 

i 

i 

72


hybnosti 


L rmv 

dv 

r m rFi 

dt 


dL dr dv 

mv r 

m 

dt dt dt 

dv 

v mv r m dt 

dv 

r 

m dt 

moment sily 

rF M 

i 

i 

dL 

dt 

 

M 

L L M 

0 i 

i 

73


hybnosti 

dL 

dt 

M 

i 

časová zmena momentu hybnosti k danému 

bodu je daná momentom všetkých pôsobiacich 

síl k danému bodu 

74


hybnosti 

dL 

dt 

M 

i 

časová zmena momentu hybnosti k danému 

bodu je daná momentom všetkých pôsobiacich 

síl k danému bodu 

ak majú sily k nejakému 

bodu nulový moment, t..j. 

M i 

0 

potom moment hybnosti k 

tomuto bodu sa nemení 

75


hybnosti 


dL 

dt 

M 

i 

dL 

dt 

dL 

dt 

dL 

dt 

x 

y 

z 

 

 

 

 

i 

 

i 

 

i 

M 

M 

M 

ix 

iy 

iz 

76

5.3 Veta o zmene kinetickej 

energie 


ma 

F 

i 

77


energie 


ma 

F 

i 

skalárne vynásobíme 

dr 

78


energie 


ma 

F 

i 


dr 

madr 

Fi 

dr 

79


energie 


ma 

F 

i 


dr 

madr 

Fi 

dr 

d 

a v 

dt 

80


energie 


ma 

F 

i 


dr 

madr 

Fi 

dr 

dv m d r F 

id 

r 

dt 

d 

a v 

dt 

81


energie 

dv m d r F 

id 

r 

dt 

82


energie 

dv m d r F 

id 

r 

dt 

d 

v r 

dt 

83


energie 

dv m d r F 

id 

r 

dt 

mvdv 

Fi 

dr 

d 

v r 

dt 

84


energie 

1 1 

 

2 2 

 

2 

mvdv 

md v v d mv dE k 

 

 

 

dv m d r F 

id 

r 

dt 

mvdv 

Fi 

dr 

d 

v r 

dt 

85


energie 

1 1 

v v v v 

FidrdA 

i 

2 2 

 

 

2 

m d md d mv dE k 

dv m d r F 

id 

r 

dt 

mvdv 

Fi 

dr 

d 

v r 

dt 

86


energie 

1 1 

v v v v 

FidrdA 

i 

2 2 

 

 

2 

m d md d mv dE k 

dv m d r F 

id 

r 

dt 

mvdv 

Fi 

dr 

d 

v r 

dt 

k 

 

dE dA dA 

i 

i 

87


energie 

k 

 

dE dA dA 

i 

i 

zmena kinetickej energie hmotného bodu 

medzi dvoma polohami je daná prácou 

všetkých síl medzi týmito polohami 

88


energie 

dE dA dA 

k 

 

i 

i 

zmena kinetickej energie hmotného bodu 

medzi dvoma polohami je daná prácou 

všetkých síl medzi týmito polohami 

r 

E E dA Fdr 

 

k k 0 

i 

r r 

r 

0 0 

89


energie 

• časová zmena kinetickej energie je daná 

výkonom pôsobiacich síl: 

dE k 

dt 

 

P 

90

6. Dynamika sústavy hmotných 

bodov 

• mechanický model, ktorého pohyb je 

charakterizovaný pohybom dvoch alebo 

viacerých bodov, nazývame sústavou hmotných 

bodov (SHB) 

• jednotlivé hmotné body na seba obecne pôsobia 

• toto vzájomné pôsobenie vyjadrujeme 

I 

vnútornými (internými) silami F ij 

, ktoré 

charakterizujú účinok z bodu i na bod j 

F 

I 

ij 

F 

I 

ji 

I 

Fii 0 

91


bodov 

• sily vyjadrujúce účinok hmotných bodov alebo 

telies, ktoré nie sú súčasťou uvažovanej SHB na 

hmotné body sústavy, nazývame vonkajšie 

(externé) sily 

E 

F i 

- je výslednica vonkajších síl pôsobiacich na i – ty bod 

92


bodov 

sústava viazaných 

hmotných bodov 

jednotlivé hmotné body sú 

viazané geometrickými 

väzbami buď navzájom 

alebo k vonkajšiemu 

systému, tým sa znižuje 

počet stupňov systému 

sústava hmotných 

bodov 

sústava voľných 

hmotných bodov 

na jednotlivé body 

nepôsobia žiadne väzby 

93


bodov 

• zvláštne typy sústav hmotných bodov: 

– sústava na ktorú nepôsobia žiadne vonkajšie 

sily – tzv. izolovaná sústava 

– dokonale tuhé teleso – všetky jeho body sú 

vzájomne zviazané takým spôsobom, že 

vzájomná poloha všetkých bodov zostáva 

trvale nezmenená 

94

6.1 Newtonove pohybové rovnice 

pre SHB 

• zostavujú sa pomocou metódy 

uvoľňovania 

• na ľubovoľný bod SHB o hmotnosti 

pôsobia (po uvoľnení od väzieb) sily 

vonkajšie ako aj sily vnútorné 

m i 

95



vonkajšie (externé) sily 

vnútorné (interné) sily 

96





výslednica síl, ktoré pôsobia na bod i: 

 

k 

 

F F F 

E I 

ki ji i 

j 

97





výslednica síl, ktoré pôsobia na bod i: 

 

k 

 

F F F 

E I 

ki ji i 

j 

potom pre N hmotných bodov platí N 

vektorových pohybových rovníc: 

ma F i 1,2, , 

N 

i i i 

98



N rovníc: 

ma F i 1,2, , 

N 

i i i 

99



N rovníc: 

ma F i 1,2, , 

N 

i i i 

 

 

F F F 

E I 

i ki ji 

k 

j 

100



N rovníc: 

ma F i 1,2, , 

N 

i i i 

 

 

F F F 

E I 

i ki ji 

k 

j 

sčítaním všetkých 

N rovníc: 

 

m 

a F F 

 

E I 

i i ki ji 

i i k j 

 

 

 

101


N rovníc: 

ma F i 1,2, , 

N 

i i i 

 

 

F F F 

E I 

i ki ji 

k 

j 



N rovníc: 

 

m 

a F F 

 

E I 

i i ki ji 

i i k j 

ale 

 

 

 

F 

I 

ji 

0 

i j 

102


N rovníc: 

ma F i 1,2, , 

N 

i i i 

 

 

F F F 

E I 

i ki ji 

k 

j 



N rovníc: 

 

m 

a F F 

 

E I 

i i ki ji 

i i k j 

ale 

 

 

 

F 

I 

ji 

0 

i j 

 

i 

m a 

 

 

F 

E 

i i i 

i 

103


N rovníc: 

ma F i 1,2, , 

N 

i i i 

 

 

F F F 

E I 

i ki ji 

k 

j 



N rovníc: 

 

m 

a F F 

 

E I 

i i ki ji 

i i k j 

ale 

 

 

 

F 

I 

ji 

0 

i j 

nazýva sa Newtonovou 

pohybovou rovnicou celej sústavy 

a vystupujú v nej len vonkajšie 

(externé) sily 

 

i 

m a 

 

 

F 

E 

i i i 

i 

F 

i 

E 

i 

 

F - je výsledný posuvný účinok sústavy vonkajších síl 

104



N rovníc: 

ma F i 1,2, , 

N 

i i i 

105



N rovníc: 

ma F i 1,2, , 

N 

i i i 

i-ty bod vektorovo vynásobíme zľava: 

r i 

106



N rovníc: 

ma F i 1,2, , 

N 

i i i 


r i 

r ma r F i 1,2, , 

N 

i i i i i 

107



N rovníc: 

ma F i 1,2, , 

N 

i i i 


r i 

r ma r F i 1,2, , 

N 

 

i 

i i i i i 

sčítaním N rovníc 

 

r m 

a r F 

i i i i i 

i 

108

i 



 

r m 

a r F 

i i i i i 

i 

109

i 



 

r m 

a r F 

i i i i i 

i 

r F 

 

r F F 

 

 

E I 

i i i ki ji 

i i k j 

 

 

r F r F 

 

 

 

E 

I 

i ki i ji 

i k i j 

110

i 


 

r m 

a r F 

i i i i i 

i 

r F 

 

r F F 

 

 

E I 

i i i ki ji 

i i k j 

 

 

r F r F 

E 

I 

i ki i ji 

i k i j 


 

 

 

majú rovnako veľký otáčavý účinok 

(moment), ale opačne orientovaný, 

takže platí: 

r F r F 0 

I 

I 

i ji j ij 

111

i 


r m 

a r F 

i i i i i 

i 

r F 

 

r F F 

 

 

E I 

i i i ki ji 

i i k j 

potom: 

 

i 

 

 

 

r F r F 

E 

I 

i ki i ji 

i k i j 

 

r m 

a r F 

E 

i i i i i 

i 


 

 

 


(moment) ale opačne orientovaný, 

takže pahltí: 

r F r F 0 

I 

I 

i ji j ij 

112

i 


 

r m 

a r F 

i i i i i 

i 

r F 

 

r F F 

 

 

E I 

i i i ki ji 

i i k j 

potom: 

 

i 

 

 

r F r F 

E 

I 

i ki i ji 

i k i j 

 

r m 

a r F 

E 

i i i i i 

i 


 

 

 


(moment) ale opačne orientovaný, 

takže pahltí: 

r F r F 0 

I 

I 

i ji j ij 

 

i 

 

r m 

a M 

E 

i i i i0 

i 

113



 

i 

 

r m 

a M 

E 

i i i i0 

i 

 

i 

 

r F M 

E 

i i i0 

i 

- rovnica predstavuje výsledný otáčavý 

účinok sústavy vonkajších síl k bodu 0 

114



• ak riešime len jeden HB sústavy, majú na 

jeho pohyb vplyv vonkajšie aj vnútorné sily 

• pri riešení sústavy hmotných bodov ako 

celku je jej pohyb ovplyvňovaný len 

vonkajšími silami 

115



• pohybové rovnice (silové aj momentové) 

pre jednotlivé hmotné body, ale aj pre celú 

sústavu môžeme rozpísať do jednotlivých 

skalárnych zložiek 

116



pre celý systém SHB: 

 

i 

 

i 

m a 

 

 

E 

i i i 

i 

 

F 

r m 

a M 

E 

i i i i0 

i 

 

i 

 

i 

 

i 

 

i 

 

i 

 

 

i 

m a 

F 

E 

i ix ix 

i 

m a 

F 

E 

i iy iy 

i 

m a 

 

 

 

 

 

 

F 

E 

i iz iz 

i 

y m a z m a M 

E 

i i iz i i iy ix 

i 

z m a x m a M 

E 

i i ix i i iz iy 

i 

x m a y m a M 

E 

i i iy i i ix iz 

i 

 

 

 

 

 

 

117

6.2 d'Alembertov spôsob 

• pre každý hmotný bod sa zavádza 

zotrvačná sila 

D 

m a 

i i i 

• potom pohybové rovnice môžeme písať 

Fi Di 0 i1,2, , 

N 

• sčítaním rovníc dostávame 

 

F D 0 

E 

i 

 

i 

118

6.2 d'Alembertov spôsob 

• momentové rovnice každého bodu 

ri Fi ri Di 0 i1,2, , 

N 

• sčítaním rovníc dostávame 

 

 

M M 0 

E 

D 

i0 i0 

moment externých síl k bodu 0 moment zotrvačných síl k bodu 0 

119

6.3 Stred hmotnosti SHB 

• vektor r s , ktorý definuje stred hmotnosti 

SHB, je definovaný rovnosťou statických 

momentov hmotnosti všetkých hmotných 

bodov a statického momentu celkovej 

hmotnosti sústredenej práve v tomto 

strede 

120


m r 

i i 

statický moment hmotnosti i- 

teho hmotného bodu napr. k 

bodu 0 

121


m r 

i i 

statický moment hmotnosti i- 

teho hmotného bodu napr. k 

bodu 0 

 

mr 

i i 

 

 

 

 

r 

r 

s 

s 

m 

mr 

 

i s 

m 

i 

statický moment hmotnosti 

SHB 

statický moment hmotnosti, 

keď je celá hmotnosť m 

sústredená v strede hmotnosti 

122


poloha stredu hmotnosti: 

miri 

 

r 

s 

m 

123



miri 

r 

s 

m 

r 

s 

m 

r 

m 

i i 

124



miri 

r 

s 

m 

r 

s 

m 

r 

m 

i i 

 

 

mirix 

mr 

i iy 

m r 

rsx ; rsy ; rsz 

m m m 

zložky polohy stredu hmotnosti 

i iz 

125


• stred hmotnosti sa tiež nazýva napr. hmotný 

stred, stredisko hmotnosti, stred zotrvačnosti, ... 

• často tiež dochádza k zámene stredu hmotnosti 

(s) s ťažiskom (T), lebo pre obvyklý prípad, keď 

všetky body sústavy sú vystavené účinkom 

rovnako veľkého tiažového zrýchlenia, oba body 

splynú 

r 

T 

 

 

 

mgr 

i 

mg 

i 

i 

r 

s 

126



r 

s 

m 

miri 

127



derivácia podľa času: 

r 

s 

m 

miri 

v 

m 

mv 

s i i 

128




r 

s 

m 

miri 

v 

m mv 

s i i 

mivi 

p 

hybnosť celej SHB 

129




r 

s 

m 

miri 

v 

m mv 

s i i 

p 

v 

s m 

hybnosť SHB je daná hybnosťou 

hmotného bodu o hmotnosti m m i 

umiestneného v strede hmotnosti 

mivi 

p 

hybnosť celej SHB 

130



r 

s 

m 

miri 

131



druhá derivácia podľa času: 

r 

s 

m 

miri 

a 

m 

ma 

s i i 

132



druhá derivácia podľa času: 

r 

s 

m 

miri 

a 

m 

ma 

s i i 

ma 

s 

F 

E 

i 

stred hmotnosti sústavy hmotných bodov 

sa pohybuje ako hmotný bod, v ktorom je 

sústredená hmota celej sústavy a na 

ktorú pôsobia všetky vonkajšie sily (je to 

veta o pohybe stredu hmotnosti) 

i 

 

i 

m a 

 

 

F 

E 

i i i 

i 

133

6.4 Hybnosť SHB 

• aplikovaním vety o zmene hybnosti pre 

uvoľnený i-ty hmotný bod SHB dostávame 

pi p0 i 

Ii 

pre i=1,2, N 

134




pi p0 i 

Ii 

pre i=1,2, N 

p 

m v 

i i i 

135




pi p0 i 

Ii 

pre i=1,2, N 

p 

m 

v 

i i i 

I 

i 

t 

 

0 

F dt i 

impulz všetkých síl – vonkajších 

(externé E) aj vnútorných (interné I), 

ktoré pôsobia na daný uvoľnený bod 

136


• ale pre impulz vnútorných síl platí 

t 

 

t 

I 

I 

F dt F dt 0 

ij 

 

0 0 

ji 

137


• ale pre impulz vnútorných síl platí 

t 

 

t 

I 

I 

F dt F dt 0 

ij 

 

0 0 

ji 

I 

Ii 

0 

i 

F 

I 

ij 

F 

I 

ji 

silové pôsobenie hmotného bodu i 

na hmotný bod j je rovnako veľké 

ako silové pôsobenie hmotného 

bodu j na hmotný bod i , ale opačne 

orientované (zákon akcie a reakcie) 

138


• sčítaním jednotlivých rovníc 

pi p0 i 

Ii 

pre i=1,2, N 

 

p E 

0 

+ 

I 

i 

p 

i 

Ii Ii 

i i i i 

139



pi p0 i 

Ii 

pre i=1,2, N 

 

p E 

0 

+ 

I 

i 

p 

i 

Ii Ii 

i i i i 

t 

 

t 

I 

I 

F dt F dt 0 

ij 

 

0 0 

ji 

140



pi p0 i 

Ii 

pre i=1,2, N 

 

p E 

0 

+ 

I 

i 

p 

i 

Ii Ii 

i i i i 

p p I 

E 

i 0i i 

i i i 

t 

 

t 

I 

I 

F dt F dt 0 

ij 

 

0 0 

ji 

141


• nové označenie 

p 

p p I 

E 

i 0i i 

i i i 

0 

 

p p I 

i 

E 

i 

vyjadruje vetu o zmene hybnosti SHB: 

Zmena hybnosti SHB v určitom časovom intervale je daná impulzom 

všetkých vonkajších síl v danom časovom intervale. 

142


• jednotlivé zložky 

p p I 

0 

 

i 

E 

i 

 

p p I 

E 

x 0x ix 

i 

 

p p I 

E 

y 0 y iy 

i 

 

p p I 

E 

z 0z iz 

i 

ak na sústavu nepôsobí v určitom smere žiadna 

vonkajšia sila, zostáva zložka hybnosti v tomto smere 

nezmenená 

143


• pre izolované sústavy 

E 

Fi 

0 

i 

144


• pre izolované sústavy 

E 

Fi 

0 

i 

p p 0 

0 

p konšt. 

platí veta o zachovaní hybnosti 

145

6.5 Moment hybnosti SHB 

• aplikovaním vety o zmene momentu 

hybnosti k bodu 0 pre uvoľnený i-ty 

hmotný bod SHB dostávame 

dL 

dt 

i0 

M M pre i1,2, , 

N 

E I 

i0 i0 146


• aplikovaním vety o zmene momentu 

hybnosti k bodu 0 pre uvoľnený i-ty 

hmotný bod SHB dostávame 

dL 

dt 

i0 

L r m v 

i0 

i i i 

M M pre i1,2, , 

N 

E I 

i0 i0 

M r F 

E 

E 

i0 

i ki 

k 

 

M r F 

I 

I 

i0 

i ji 

j 

147


• sčítaním rovníc 

dLi0 

E I 

Mi0 Mi0 pre i1,2, , 

dt 

N 

148



dLi0 

E I 


dt 

N 

dL 

dt 

0 

 

 

i 

M 

 

 

M 

E 

I 

i0 i0 

i 

149



dLi0 

E I 


dt 

N 

dL 

dt 

0 

 

 

i 

M 

 

 

M 

E 

I 

i0 i0 

i 

r F r F 0 

I 

I 

i ji i ij 

150



dLi0 

E I 


dt 

N 

L 

dL 

dt 

0 

 

L 

 

0 i0 

i 

i 

M 

 

 

M 

E 

I 

i0 i0 

i 

r F r F 0 

I 

I 

i ji i ij 

151



dLi0 

E I 


dt 

N 

L 

dL 

dt 

0 

 

L 

 

0 i0 

i 

i 

M 

 

 

M 

E 

I 

i0 i0 

i 

dL 

dt 

0 

M 

i 

E 

i0 

r F r F 0 

I 

I 

i ji i ij 

152


dL 

dt 

0 

M 

i 

E 

i0 

153


dL 

dt 

0 

M 

i 

E 

i0 

predstavuje vetu o zmene momentu hybnosti pre 

SHB: 

Časová zmena momentu hybnosti SHB k 

ľubovoľnému pevnému bodu je daná súčtom 

momentov všetkých vonkajších síl k danému bodu. 

154


dL 

dt 

0 

M 

i 

E 

i0 






ak existuje bod, pre 

ktorý platí 

M E 

i0 

0 

i 

155


dL 

dt 

0 

M 

i 

E 

i0 






ak existuje bod, pre 

ktorý platí 

M E 

i0 

0 

i 

L0 konšt. 

a platí veta o zachovaní momentu hybnosti: 

Moment hybnosti SHB k určitému bodu sa 

nemení, ak výsledný moment vonkajších síl k 

tomuto bodu je nulový. 

156

6.6 Kinetická energia SHB 

• aplikovaním vety o zmene kinetickej 

energie pre uvoľnený i-ty hmotný bod, 

dostávame 

dE dA pre i 1,2, , 

N 

ki 

i 

157


• aplikovaním vety o zmene kinetickej 

energie pre uvoľnený i-ty hmotný bod, 

dostávame 


N 

ki 

i 

1 

2 

dEki d mivi 

 

2 

 

dA 

F 

dr 

i ki i 

k 

F ki 

- sily, ktoré pôsobia 

na uvoľnený i-ty hmotný 

bod (vnútorné aj 

vonkajšie) 

158




N 

ki 

i 

159




N 

ki 

i 

dEk 

 

dA 

160




N 

ki 

i 

dEk 

 

dA 

E 

 

1 

2 

m v 

2 

k i i 

i 

A Ai 

i 

161




N 

ki 

i 

E 

 

1 

2 

dEk 

m v 

 

2 

k i i 

i 

dA 

A 

 

i 

A 

i 

obecne práca vnútorných 

síl nie je rovná nule 

F dr F dr F dr dr 

I I I 

ij j ji i ij j i 

 

 

162




N 

ki 

i 

E 

 

1 

2 

dEk 

m v 

 

2 

k i i 

i 

dA 

A 

 

i 

A 

i 

obecne práca vnútorných 

síl nie je rovná nule 

F dr F dr F dr dr 

I I I 

ij j ji i ij j i 

 

 

j 

i 

 

 

dr dr 0 

tak je tomu napr. pri poddajných 

telesách – deformáciou sa mení 

vzájomná poloha bodov 

163


dEk 

 

dA 

predstavuje vetu o zmene kinetickej energie pre 


Elementárna zmena kinetickej energie SHB je 

daná elementárnou prácou všetkých (vnútorných aj 

vonkajších) síl. 

164

PrednÃ¡Å¡ka Ä. 4 - Dynamika HB a SHB

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?

PrednÃ¡Å¡ka Ä. 4 - Dynamika HB a SHB