Príklady

Príklady z LS
RNDr. Peter Kaprálik, PhD.
1.1. Riešené príklady
1. Úvodné pojmy
Príklad 1. Zistite, či zobrazenie g : (−2, 7 t R, g(x) =−3x + 2 je injektívne, surjektívne
alebo bijektívne.
Riešenie. Nech x 1 , x 2 c (−2, 7 , x 1 ! x 2 . Potom
x 1 ! x 2 /.(−3)
− 3 x 1 ! −3 x 2 / + 2
− 3 x 1 + 2 ! −3 x 2 + 2
g( x 1 ) ! g( x 2 )
To však znamená, že zobrazenie g je injektívne.
Pre každé x c (−2, 7 platí
− 2 [ x < 7
6 m −3x >−21
8 m −3x + 2 >−19
8 m g( x) >−19
preto napr. číslo 10 nemá vzor (neexistuje x c (−2, 7 , pre ktoré g( x) = 10), čo znamená, že
zobrazenie g nie je surjektívne a teda ani bijektívne.
Príklad 2. Zistite, či binárna operácia ' : R 2 t R, x ' y = x y je komutatívna, asociatívna a
2
či má neutrálny prvok.
Riešenie. Pre každé x, y, z c R platí
1. x ' y = x y ,
2 = xy
2 = y 2 x = y ' x
2. (x ' y) ' z = xy
xy
.
2 ' z = 2 z
= xyz
2 4 = x yz
2
2 = x ' yz
2 = x ' (y ' z)
Daná operácia je preto komutatívna aj asociatívna.
Zistime, či existuje číslo e c R, také, že pre všetky x c R je x ' e = x.
x ' e = x
xe
2 = x
xe = 2x
x(e − 2) = 0
Vidíme, že ak e = 2, je pre každé x c R x ' 2 = x , teda číslo 2 je neutrálny prvok operácie '.
1

RNDr. Peter Kaprálik, PhD.
Príklady z Logických systémov
Príklad 3. Aká je pravdivostná hodnota kvantifikovaného výroku ≥x c R ≤y c R xy > x + y
Napíšte jeho negáciu.
Riešenie. Ak by existovalo číslo x = x 0 také, že pre všetky y c R by platilo x 0 y > x 0 + y, po-
tom by
− x 0 > y − x 0 y
− x 0 > (1 − x 0 )y
Túto nerovnosť môžeme ďalej upraviť v závislosti od toho, či
a) x 0 = 1, b) x 0 > 1, c) x 0 < 1.
a) −1 > 0.y. Táto nerovnosť neplatí pre žiadne y.
−x
b) 0
< y. Táto nerovnosť neplatí napr. pre číslo y= −x 0
− 1.
1 − x 0 1 − x
−x 0
c) 0
> y. Táto nerovnosť zas neplatí napr. pre číslo y= −x 0
+ 1.
1 − x 0 1 − x 0
Vidíme, že také číslo x 0 neexistuje, preto daný výrok je nepravdivý, t.j. jeho pravdivostná
hodnota je 0.
Negácia uvedeného výroku: ≤x c R ≥y c R x 0 y [ x 0 + y.
Príklad 4. Zistite, či výroková formula b = (p e q) e q je tautológia, kontradikcia alebo
splniteľná formula.
Riešenie. Zistíme to pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt.
p
q
p e q
q
b
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
Z tabuľky vyplýva, že b je splniteľná formula.
Príklad 5. Zistite, či výrokové formuly a = p e (p . q) , b = p e q sú tautologicky
ekvivalentné.
Riešenie. Úlohu budeme riešiť pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt.
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p . q
0
0
0
1
a
1
1
0
1
b
1
1
0
1
Výrokové formuly a, bmajú rovnaké pravdivostné ohodnotenie, preto a{ b.
Príklad 6. Úpravami (pomocou tabuľky tautologických ekvivalenci) dokážte, že výrokové
formuly a = p e (q . r) , b = p . (q e r) sú tautologicky ekvivalentné.
2

Príklady z Logických systémov
RNDr. Peter Kaprálik, PhD.
Riešenie.
a = p e (q . r) { p - (q . r) { p . (q . r) { p . (q - r) { p . (q e r) = b
Príklad 7. Zistite, či relácia = (x, y); x 2 − x = y 2 − y na množine R je reflexívna, symetrická,
antisymetrická, tranzitívna.
Riešenie.
Pre každé x c R platí x 2 − x = x 2 − x, preto x x. Relácia je teda reflexívna.
Nech x y t.j. x 2 − x = y 2 − y. Potom aj y 2 − y = x 2 − x a teda y x, čo znamená, že relácia
je symetrická.
Nech x y, y z. Potom x 2 − x = y 2 − y, y 2 − y = z 2 − z, odkiaľ vyplýva x 2 − x = z 2 − z, teda
x z. To ale znamená, že je tranzitívna relácia.
Nech x y, y x t.j. x 2 − x = y 2 − y. Upravme túto rovnosť:
x 2 − y 2 + y − x = 0
(x − y)(x + y) − (x − y) = 0
(x − y)(x + y − 1) = 0
Vidíme, že táto rovnosť je splnená pre x = y ale aj pre y= 1 − x. Potom však napr. pre x= 3,
y = 1 − 3 =−2 platí (3, −2) c , (−2, 3) c , ale 3 ! −2. Preto relácia nie je antisymetrická.
Príklad 8. Na množine A = 1, 2, 3, 4, 5, 6 je daný rozklad T = 2, 5, 6 , 1, 3 , 4 .
Napíšte reláciu ekvivalencie, ktorá je indukovaná rozkladom T.
Riešenie. Reláciu indukovanú rozkladom T označme . Dvojica (x, y) c A patrí do relácie
práve vtedy, keď x, y patria do tej istej triedy rozkladu. Teda
= (2, 2), (5, 5), (6, 6), (2, 5), (5, 2), (2, 6), (6, 2), (5, 6), (6, 5), (1, 1), (3, 3), (1, 3), (3, 1), (4, 4)
1.2. Cvičenia
Zobrazenia a operácie
1. Zistite, či dané zobrazenia sú injektívne, surjektívne alebo bijektívne.
a) h 1 : Z t Z, h 1 (x)=2x,
b) h 2 : R t R, h 2 (x)=2x,
c) h 3 : R t R, h 3 (x)=x 2 ,
d) h 4 : R + t R, h 3 (x)=x 2 ,
e) h 5 : R t R + 4 {0}, h 5 (x)=x 2 ,
f) h 6 : R + t R + , h 6 (x)=x 2
g) h 7 : R # {2} t R, h 7 (x)= 3x + 1 ,
x − 2
h) h 7 : R # {2} t R # {3}, h 7 (x)= 3x + 1 .
x − 2
2. Zistite, či dané operácie sú komutatívne, asociatívne a či majú neutrálny prvok.
a) ' : (R + ) 2 t R + , a ' b = a b ,
b) ± : N 2 t N, a ± b = b,
c) ¿ : N 2 t N, a ¿ b = a,
d) f : R 2 t R, f (x, y)=x + y + 1.
3

RNDr. Peter Kaprálik, PhD.
Príklady z Logických systémov
3. Na množine N máme definované tri binárne operácie + (štandardné sčitovanie),
± : a ± b = b , ¿ : a ¿ b = a. Zistite, ktorá operácia vzhľadom ku ktorej je distributívna.
Výroková logika
4. Určte pravdivostnú hodnotu výroku a napíšte jeho negáciu.
a) ≤x c R ≥y c R 3x − 6 > 2y,
b) ≥y c R ≤x c R 3x − 6 > 2y,
c) ≥x c R ≤y c R xy [ y 2 ,
d) ≤y c R ≥x c R xy [ y 2 ,
e) ≤x c R ≤y c R xy [ y 2 .
5. Napíšte negáciu výrokov
a) ≥m c N ≤n c N (m m 4 − n - m + n je párne číslo).
b) ≤m c N ≥n c N (m m 4 − n e m + n je párne číslo).
6. Zistite, či výroková formula b je tautológia, kontradikcia alebo splniteľná formula
a) b = p - p ,
b) b = p . p ,
c) b =(p e q) e p,
d) b =(p . (p e q)) e q,
e) b =((p e q) - r) e (p - q - r) ,
f) b =((p . s) - (p . q) - (p . r . s)) g ((p . s) - (p . r) - (p . q . s)) .
7. Zistite, či formuly a, b sú tautologicky ekvivalentné.
a) a = p e (q e r) , b =(p e q) e r,
b) a = p, b= p e (q . q ),
c) a = p e q, b=(p . q ) e (r . r ),
d) a = p e (q e r) , b =(p - q - r) .
8. Pomocou tabuľky tautologických ekvivalencií dokážte, že formuly a, b sú tautologicky
ekvivalentné.
a) a = p e q, b = q e p ,
b) a =((p - q) e (q - r )) . (p - q), b = p - q,
c) a =(p e q) e r, b =(p - q - r) . (p - q - r) . (p - q - r) .
9. Zistite, či uvedené množiny sú úplnými systémami logických spojok.
a) { , -, ., e} ,
b) { , -},
c) { , .},
d) { , e} ,
e) { },
f) {-}.
10. Vyjadrite (p . q ) e q pomocou { , -} a pomocou { , e} .
4

Príklady z Logických systémov
RNDr. Peter Kaprálik, PhD.
Relácie
11. Na množine A ={1, 2, 3, 4} definujte reláciu, ktorá je
a) reflexívna, symetrická a nie je tranzitívna,
b) reflexívna a nie je symetrická ani tranzitívna,
c) reflexívna, antisymetrická a nie je tranzitívna,
d) symetrická, tranzitívna a nie je reflexívna ani antisymetrická,
e) tranzitívna a nie je reflexívna ani symetrická,
12. Zistite, či relácia na množine R je reflexívna, symetrická, antisymetrická, tranzitívna,
ak
a) ={(x, y); y = x 2 },
b) ={(x, y); x < y} ,
c) ={(x, y); x 2 + y 2 = 4} ,
d) ={(x, y); (x + 1) 2 + y 2 = 3} ,
e) ={(x, y);|x| = |y|} ,
13. Zistite, či relácia na množine N je reflexívna, symetrická, antisymetrická, tranzitívna, ak
a) ={(a, b) c N 2 ; a x b} ,
b) ={(a, b) c N 2 ; a [ b} ,
c) ={(a, b) c N 2 ; a < b} ,
d) ={(a, b) c N 2 ; a 2 + a = b 2 + b} ,
e) : ab g a + bje párne.
14. Zistite, či relácia na množine A je reláciou ekvivalencie. Ak áno, nájdite triedy ekvivalencie
jednotlivých prvkov množiny A.
a) A ={1, 2, 3, 4, 5} ,
={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 5), (5, 1), (3, 5), (5, 3), (1, 3), (3, 1)}
b) A ={1, 2, 3, 4, 5} ={(x, y) c A 2 ; x x 2 − y} ,
c) A ={1, 2, 3, 4, 5} ={(x, y) c A 2 ;3x x + y} ,
d) A = N + , xy g x x y alebo yx x,
e) A = Z, xy g x, y sú súdeliteľné čísla,
f) A = Z, xy g 2 x x + y.
15. Zistite, koľko rôznych relácií ekvivalencie je možné definovať na množine A ={1, 2, 3}
16. Na množine A ={1, 2, 3, 4, 5} je daný rozklad T ={{1, 2}, {3, 5}, {4}}. Napíšte reláciu
ekvivalencie na množine A indukovanú rozkladom T.
17. Na množine R je daná relácia : xy g x − y c Z. Dokážte, že je relácia ekvivalencie na
množine R. Aké sú triedy ekvivalencie prvku 0 a −2, 1
Orientované grafy
18. Daný je orientovaný graf G =(V, H, e) , kde V ={1, 2, 3, 4, 5, 6} , H ={h 1 , h 2 , h 3 , h 4 , h 5 , h 6 ,
h 7 , h 8 , h 9 , h 10 , h 11 },
e(h 1 )=(1, 1), e(h 2 )=(1, 2), e(h 3 )=(3, 2), e(h 4 )=(2, 3), e(h 5 )=(1, 4),
e(h 6 )=(5, 1), e(h 7 )=(2, 4), e(h 8 )=(6, 2), e(h 9 )=(6, 3), e(h 10 )=(6, 3), e(h 11 )=(4, 5)}.
5

RNDr. Peter Kaprálik, PhD.
Príklady z Logických systémov
a) Nakreslite diagram grafu G.
b) Určte indukovaný podgraf G({2, 3, 4, 5}) grafu G. (Stačí nakresliť jeho diagram)
c) Napíšte orientovaný sled (v grafe G) z vrcholu 2 do vrcholu 2 dĺžky 0, 1, 2 a 4.
d) V grafe G nájdite orientovanú cestu z vrcholu 6 do vrcholu 1.
e) V grafe G nájdite orientovaný ťah z vrcholu 1 do vrcholu 4, ktorý nie je cestou.
f) Je graf G silne súvislý
g) Nájdite všetky silne súvislé komponenty grafu G.
1.3. Výsledky
1. a) i. b) i, s, b. c) -. d) i. e) s. f) i, s, b. g) i. h) i, s, b. 2. a) -. b) a. c) a. d) k, a, -1. 3. Operácia
< je distributívna vzhľadom k operácii «; operácia « je distributívna vzhľadom k operácii
< . 4. a) 1, ≥x c R ≤y c R 3x − 6 [ 2y. b) 0, ≤y c R ≥x c R 3x − 6 [ 2y. c) 1, ≤x c R
≥y c R xy > y 2 . d) 1, ≥y c R ≤x c R xy > y 2 . e) 0, ≥x c R ≥y c R xy > y 2 . 5. a) ≤m c N
≥n c N (m < 4 − n . m + n je nepárne číslo) b). ≥m c N ≤n c N (m m 4 − n . m + n je
nepárne číslo). 6. a) tautológia. b) kontradikcia. c) splniteľná formula. d) tautológia. e) splniteľná
formula. f) kontradikcia. 7. a) nie. b) áno. c) áno. d) áno. 9. a) áno. b) áno. c) áno. d)
áno. e) nie. f) nie. 10. p - q, (q e p) e q. 11. Napríklad a) = (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4),
(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2) . b) = (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 3) . c) = (1, 1),
(2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 3) . d) = (1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1) . e) = (1, 1), (2, 2),
(1, 2), (2, 1), (2, 3), (1, 3) . 12. a) a. b) a, t. c) s. d) a. e) r, s, t. 13. a) r, a, t. b) r, a, t. c) a, t. d)
r, s, t. e) r, s, t. 14. a) áno, (1)={1, 3, 5}, (2)={2}, (4)={4} . b) nie. c) nie. d) nie. e) nie.
f) áno, (0)={2k; k c Z}, (1)={2k − 1; k c Z} 15. 5. 16. = (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2),
(3, 3), (3, 5), (5, 3), (5, 5), (4, 4) . 17. (0)=Z, (−2, 1)={k − 0, 1; k c Z} . 18. b)
G({2, 3, 4, 5}) = (V ∏ , H ∏ , e ∏ ), V ∏ ={2, 3, 4, 5} , H ∏ ={h 3 , h 4 , h 7 , h 11 },
e ∏ (h 3 )=(3, 2), e ∏ (h 4 )=
(2, 3), e ∏ (h 7 )=(2, 4), e ∏ (h 11 )=(4, 5)} . c) 2; neexistuje; 2, h 4 ,3,h 3 ,2; 2,h 7 ,4,h 11 ,5,h 6 ,1,h 2 ,2
d) 6, h 8 ,2,h 7 ,4,h 11 5, h 6 ,1 alebo 6,h 9 ,3,h 3 ,2,h 7 ,4,h 11 5, h 6 ,1. e) 1,h 2 ,2,h 4 ,3,h 3 ,2,h 7 ,4. f)
nie, lebo neexistuje or. sled z 2 do 6. g) G({1, 2, 3, 4, 5}), G({6}) .
2.1. Riešené príklady
2. Booleovské funkcie
Príklad 1. Booleovskú funkciu určenú B-výrazom U(x, y, z) = yz (x(yz + z)) zapíšte pomocou
tabuľky.
Riešenie.
x y z yz
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
yz yz + z x(yz + z)
0 1 1
1 1 1
0 1 1
0 0 0
0 1 0
1 1 0
0 1 0
0 0 0
Príklad 2. Zistite, či sú B-výrazy U, V ekvivalentné, ak
a) U(x, y) = x(x + y), V(x, y) = x + xy,
6
x(yz + z)
0
0
0
1
1
1
1
1
U(x, y, z)
0
0
0
1
0
0
0
1

Príklady z Logických systémov
RNDr. Peter Kaprálik, PhD.
b) U(x, y, z) = y (x + z)(x + z), V(x, y, z) = y + xz + xz
Riešenie.
a) Zostavme tabuľky booleovských funkcií určených B-výrazmi . U, V
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
x + y
1
0
1
1
f U (x, y)
1
0
0
0
xy
1
0
0
0
f V (x, y)
1
0
1
1
Z tabuľky vidíme, že f U ! f V , a teda B-výrazy U, V nie sú ekvivalentné.
b) U(x, y, z) = y (x + z)(x + z) { y (x + z) + (x + z) { y(xz + xz),
V(x, y, z) = y + xz + xz { y (xz)(xz) { y(x + z)(x + z) { y(xz + xz).
Teda .
U(x, y, z) { V(x, y, z)
Príklad 3. Nájdite UNDF a UNKF funkcie g(x, y, z) = xy + xyz + yz.
Riešenie. Nájdeme množinu jednotkových bodov funkcie g:
J(g) = J(xy) 4 J(xyz) 4 J(yz) = (0, 1, 0), (0, 1, 1) 4 (1, 0, 1) 4 (0, 1, 0), (1, 1, 0)
= (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)
Teraz ľahko zostavíme tabuľku funkcie g. K tabuľke pridáme ešte dva stĺpce. Do prvého z
nich zapíšeme elementárne súčinové členy, ktorých jednotkové body sú jednotkovými bodmi
funkcie g, a do druhého zase elementárne súčtové členy, ktorých nulové body sú nulovými
bodmi funkcie g.
x
0
0
0
0
1
1
1
1
y
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
g
0
0
1
1
0
1
1
0
xyz
xyz
xyz
x + y + z
x + y + z
x + y + z
x + y + z
UNDF (g) = xyz + xyz + xyz + xyz,
UNKF (g) = (x + y + z)(x + y + z)(x + y + z)(x + y + z) .
Príklad 4. Nájdite jednu NDF funkcie h(x, y, z) = (xz + yz)(xyz) rôznu od UNDF.
Riešenie.
h(x, y, z) = (xz + yz)(x + y + z) = xyz + xz + xyz = xz + xyz, NDF(h) = xz + xyz.
7

RNDr. Peter Kaprálik, PhD.
Príklady z Logických systémov
Príklad 5. Nájdite jednu NKF funkcie h(x, y, z) = (xz + yz)(xyz) rôznu od UNKF.
Riešenie.
h(x, y, z) = (xz + yz)(x + y + z) = (xz + y)(xz + z)(x + y + z) = (x + y)(z + y)(x + z)(x + y + z) =
= (x + y)(y + z)(x + z)(x + y + z)
NKF(h) = (x + y)(y + z)(x + z)(x + y + z).
Príklad 6. Pomocou B-výrazu napíšte pravdivostné ohodnotenie výrokovej formuly
a = (p e q) - q.
Riešenie. Najprv nájdeme k výrokovej formule a tautologicky ekvivalentnú formulu, ktorá z
logických spojok obsahuje len -, ., .
a = (p e q) - q i (p - q) - q i (p . q) - q = b
Ak pravdivostnými ohodnoteniami výrokových premenných p, q sú v poradí premenné x, y,
tak
ph a (x, y) = ph b (x, y) = xy + y.
Príklad 7. Nájdite UNDF a UNKF výrokovej formuly a = ((p e q) . (p e r)) e (q e r) .
Riešenie. Najprv vyjadríme pravdivostné ohodnotenie formuly a pomocou B-výrazu.
Ak zvolíme
a i ((p - q) . (p - r)) e (q - r) i ((p - q) . (p - r)) - (q . r)
ph p = x, ph q = y, ph r = z, tak
ph a (x, y, z) = (x + y)(x + z) + yz.
Teraz nájdeme UNDF booleovskej funkcie ph a (x, y, z) .
ph a (x, y, z) = xy + xz + yz = xy(z + z) + x(y + y)z + (x + x)yz =
Potom
= xyz + xyz + xyz + xyz,
UNDF(ph a ) = xyz + xyz + xyz + xyz.
UNDF(a) = (p . q . r) - (p . q . r) - (p . q . r) - (p . q . r).
UNKF formuly amôžeme získať napr. pomocou tabuľky booleovskej funkcie ph a (x, y, z) .
x y z
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
ph a (x, y, z)
0
0
1
0
1
1
1
0
x + y + z
x + y + z
x + y + z
x + y + z
UNKF(ph a ) = (x + y + z)(x + y + z)(x + y + z)(x + y + z).
8

Príklady z Logických systémov
RNDr. Peter Kaprálik, PhD.
Potom
UNKF(a) = (p - q - r) . (p - q - r) . (p - q - r) . (p - q - r).
Príklad 8. Ukážte, že množina h , kde h : B 3 t B, h(x, y, z) = xyz, je úplný systém boole-
ovských funkcií.
Riešenie. Keďže +, $, je úplný systém booleovských funkcií, stačí ukázať, že funkcie
x + y, xy a x sa dajú vyjadriť len pomocou funkcie h.
x = xxx = h(x, x, x),
x + y = x + y = x y = xy.1 = x.1.1 yy.1.1 = h(h(x,1,1), h(y, y,1),1),
xy = xy = xy.1.1.1 = h(h(x, y,1),1,1).
Príklad 9. Funkciu
Riešenie.
f(x, y, z) = (x + yz)(x + z) vyjadrite pomocou S 2 -výrazov.
f(x, y, z) = (x + yz)(x + z) = x(yz)xz = x(yz) (xz) = x(yz) (xz) =
= (((x m) m ((y m) m z)) m).((x m) m (z m)) =
= (((x m) m ((y m) m z)) m).((x m) m (z m)) =
= ((((x m) m ((y m) m z)) m) m ((x m) m (z m))) m
Príklad 10. Funkciu f(x, y, z, u) = (x + z + u)(x + y)(x + y + z + u) vyjadrite pomocou
P-výrazov.
Riešenie.
f(x, y, z, u) = (x + z + u)(x + y)(x + y + z + u) = (x + z + u) + (x + y) + (x + y + z + u) =
= ((x o z o u) o (x o y) o (x o y o z o u)) =
= (((x o) o z o (u o)) o (x o y) o ((x o) o y o (z o) o u))
Príklad 11. Nakreslite Karnaughovu mapu booleovskej funkcie f(x, y, z) = (x + y)(y + z) .
Riešenie. Pre nulové body funkcie f platí:
N(f ) = N(x + y) 4 N(y + z) = (1, 0, 0), (1, 0, 1), (0, 0, 0)
Teraz už ľahko zostavíme Karnaughovu mapu funkcie f.
y
z
.
x
0 1 1 1
0 1 1 0
Príklad 12. Pomocou Karnaughovej mapy nájdite UNDF a jednu NDF (rôznu od UNDF)
funkcie .
h(x, y, z, u) = (y + z + u)(x + z + u)(x + y)
9

RNDr. Peter Kaprálik, PhD.
Príklady z Logických systémov
Riešenie.
N(h) = (0, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 1), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 1, 1)
z
u
y
x
1 1 0 1
0 0 0 0
0
0
1 1 1
1 0 1
UNDF(h) = xyzu + xyzu + xyzu + xyzu + xyzu + xyzu + xyzu + xyzu,
z
u
y
x
1 1 0 1
0 0 0 0
0
0
1 1 1
1 0 1
NDF(h) = xyu + xzu + yzu + xyu.
Príklad 13. Pomocou Karnaughovej mapy nájdite NKF (rôznu od UNKF) funkcie
g(x, y, z, u) == xy + xyu + yzu.
Riešenie. Vytvoríme Karnaughovu mapu funkcie g a pomocou nej nájdeme NDF (g).
J(g) = J(xy) 4 J(xyu) 4 J(yzu) = (1, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1),
(0, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 1, 1)
J(g) = B 4 # J(g) = (0, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 1),
(1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 1), (1, 0, 1, 0)
g _
y
x
z
u
1 1 0 1
1 1 0 1
0
0
0 0 0
0 1 1
NDF(g) = yu + yz + xyu,
g(x, y, z, u) = yu + yz + xyu = (y + u)(y + z)(x + y + u),
NKF(g) = (y + u)(y + z)(x + y + u).
Príklad 14. Nájdite SNDF a jadro funkcie h(x, y, z, u) = xyu + xzu + xz + yzu + xyu.
Riešenie. Na Karnaughovej mape funkcie h vyhľadáme všetky konfigurácie jednotkových
bodov, ktoré nie sú časťou väčšej konfigurácie jednotkových bodov – tým získame všetky
prosté implikanty funkcie h. Ich súčtom je SNDF. Jadro tvoria tie prosté implikanty, ktoré
obsahujú jednotkový bod funkcie h, ktorý nie je jednotkovým bodom žiadneho iného
prostého implikanta tejto funkcie.
10

Príklady z Logických systémov
RNDr. Peter Kaprálik, PhD.
z
u
x
y
1 1 0 1
0 1 1 0
1 1 1 0
1 0 1 1
SNDF(h) = xz + xyu + yzu + xz + xyu + yzu + yzu + xyu,
Jadro(h) = xz + xz.
Príklad 15. Nájdite všetky INDF a MNDF funkcie h(x, y, z) = (x + y + z)(x + y + z) .
Riešenie. Ako vidieť z Karnaughovej mapy, každý jednotkový bod funkcie h je jednotkovým
y z
1 1 1 0
x 1 0 1 1
bodom dvoch prostých implikantov, preto Jadro(h) = 0.
Na pokrytie jednotkového bodu (0, 0, 0) prostými implikantmi máme tri možnosti:
1. vyberieme xz a nevyberieme yz,
2. vyberieme yz a nevyberieme xz,
3. vyberieme xz aj yz.
1. Keďže nevyberáme yz , musíme jednotkový bod (1, 0, 0) pokryť prostým implikantom xy
y z . Ostávajú nepokryté dva jednotkové body (0, 1, 1), (1, 1, 1) .
a) Bod (0, 1, 1) môžeme pokryť prostým implikantom xy alebo
1 1 1 0 yz. Vyberme xy . Na pokrytie bodu (1, 1, 1) nemôžeme použiť
x 1 0 1 1 prostý implikant yz, lebo už vybratý xy by bol nadbytočný,
ostáva nám prostý implikant xz. Máme už pokryté všetky jed-
y z
notkové body funkcie h, získali sme teda
1 1 1 0
x 1 0 1 1
INDF 1 (h) = xz + xy + xy + xz.
b) Bod (0, 1, 1) teraz pokryme prostým implikantom yz. Tým
pádom máme pokryté všetky jednotkové body funkcie h a získali sme
y z
INDF 2 (h) = xz + xy + yz.
1 1 1 0
x 1 0 1 1
2. Keďže nevyberáme xz , musíme jednotkový bod (0, 1, 0)
pokryť prostým implikantom xy. Jednotkové body
(1, 1, 1), (1, 0, 1) môžeme pokryť buď jedným prostým implikantom xz alebo dvomi
prostými implikantmi yz, xy. Tak dostávame ďalšie dve INDF.
11

RNDr. Peter Kaprálik, PhD.
Príklady z Logických systémov
x
y z
1 1 1 0
1 0 1 1
INDF 3 (h) = yz + xy + xz,
y
z
1 1 1 0
INDF 4 (h) = yz + xy + yz + xy.
x 1 0 1 1
3. V tomto prípade na pokrytie jednotkového bodu (0, 1, 1) môžeme použiť iba . Posledný
jednotkový bod (1, 0, 1) pokryjeme prostým implikantom xy alebo xy. Dostávame tak
ďalšie dve INDF funkcie .
x
x
y
z
1 1 1 0
1 0
y
1 z1
1 1 1 0
1 0 1 1
INDF 5 (h) = yz + xz + yz + xy,
INDF 6 (h) = yz + xz + yz + xz.
Spočítaním písmen jednotlivých INDF zistíme, že funkcia
minimálne normálne disjunktívne formy:
MNDF 1 (h) =INDF 2 (h) = xz + xy + yz,
MNDF 2 (h) =INDF 3 (h) = yz + xy + xz,
h
má dve
Príklad 16. Nájdite všetky INDF a MNDF funkcie h, ak N(h) = (0, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1),
(1, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 0) .
Riešenie. Nájdeme
u
u jadro.
z
z
y
x
0 1 1 0
1 1 1 0
1 0 1 1
0 1 1 1
Jadro(h) = xz + yu.
y
x
0 1 1 0
1 1 1 0
1 0 1 1
0 1 1 1
1. Na pokrytie jednotkového bodu (1, 0, 0, 0) vyberieme prostý implikant xzu ale
nevyberieme xyu . Potom bod (1, 0, 1, 0) musíme pokryť implikantom yz.
INDF 1 (h) =Jadro(h) + xzu + yz.
12

Príklady z Logických systémov
RNDr. Peter Kaprálik, PhD.
2. Na pokrytie jednotkového bodu (1, 0, 0, 0) vyberieme prostý implikant xyu ale
nepoužijeme xzu . Potom bod (1, 1, 0, 0) musíme pokryť prostým implikantom xyz.
Ostávajúci bod (1, 0, 1, 1) môžeme pokryť prostým implikantom yz alebo zu. Dostávame
tak ďalšie dve INDF
u
u
z
z
0 1 1 0
0 1 1 0
x
x
1 1 1 0
1 1 1 0
1 0 1 1
1 0 1 1
y
y
0 1 1 1
0 1 1 1
INDF 2 (h) =Jadro(h) + xyu + xyz + yz,
INDF 3 (h) =Jadro(h) + xyu + xyz + zu.
3. Na pokrytie jednotkového bodu (1, 0, 0, 0) vyberieme prostý implikant xzu aj xyu. Na
u pokrytie posledného jednotkového bodu (1, 0, 1, 1) môz
žeme použiť prostý implikant yz alebo zu. Dostali sme
ďalšie dve INDF.
0 1 1 0
INDF 4 (h) =Jadro(h) + xzu + xyu + yz
x
1 1 1 0
INDF 5 (h) =Jadro(h) + xzu + xyu + zu.
1 0 1 1
y
MNKF(h) =INDF 1 (h) = xz + yu + xzu + yz.
0 1 1 1
Príklad 17. Nájdite všetky MNKF funkcie g(x, y, z, u) = xyz + xyu + yzu + xyz.
Riešenie. Najprv nájdeme všetky MNDF funkcie g.
u
g _ z
y
x
0 1 1 0
1 1 1 0
0 0 1 1
1 0 0 1
Jadro(g) = yz + xyu + xyz,
INDF 1 (g) =Jadro(g) + xzu + yzu,
INDF 2 (g) =Jadro(g) + xyu =MNDF(g).
Potom
,
g(x, y, z, u) = g(x, y, z, u) = yz + xyu + xyz + xyu = (y + z)(x + y + u)(x + y
MNKF(g) = (y + z)(x + y + u)(x + y + z)(x + y + u).
13

RNDr. Peter Kaprálik, PhD.
Príklady z Logických systémov
2.2. Cvičenia
Booleovské funkcie a výrazy
1. Booleovskú funkciu určenú B-výrazom U(x, y, z)=(xz + yz) + xyz zapíšte pomocou
tabuľky.
2. Zistite, či sú B-výrazy U a V ekvivalentné.
a) U(x, y)=xy + (x + y) , V(x, y)=xy + xy,
b) U(x, y, z)=(x + y)(xz), V(x, y, z)=(xy) (xz),
c) U(x, y, u, v)=xv + xy + xuv, V(x, y, u, v)=(x + v)(x + u)(x + y) ,
d) U(x, y, z, u)=xu + xy + xzu, V(x, y, z, u)=(x + u)(x + z)(x + y + u) .
3. Pomocou tabuľky ekvivalencií B-výrazov ukážte, že B-výrazy Ua V sú ekvivaletné.
a) U(x, y, z)=x + y + y(x + z) , V(x, y, z)=z + xy,
b) U(x, y, z)=(x + y)(xz), V(x, y, z)=(xy)(xz) ,
c) U(x, y, z, u)=xu + xy + xzu, V(x, y, z, u)=(x + u)(x + z)(x + y + u) .
4. Nájdite všetky jednotkové a nulové body funkcie g bez použitia tabuľky funkcie.
a) g(x, y, z)=xz + xy + xyz,
b) g(x, y, z)=(x + y)(x + z)z,
c) g(x, y, z)=(x + y + z)(x + y)z .
UNDF a UNKF B-výrazov a booleovských funkcií
5. Aké je označenie elementárneho súčinového či súčtového člena
a) xyz, x + y + z,
b) xyzu, x + y + z + u
c) xyzu, x + y + z + u.
6. Ktorý elementárny súčtový či súčinový člen má označenie
a) S 0 (x, y, z), T 0 (x, y, z) ,
b) S 12 (x, y, z, u), T 12 (x, y, z, u)
7. Nájdite UNDF a UNKF B-výrazu, či funkcie
a) U(x, y, z)=(x + y) z +(x + z)y,
b) V(x, y, z, u)=(x + y + u)(x + z + u)(x + z + u) ,
c) g(x, y, z)=((xy + z) y + x(y + z))(xy + z)
d) h(x, y, z, u)=xy + xyu + xyz + zu + zu.
Normálna disjunktívna a konjunktívna forma
B-výrazov a booleovských funkcií
8. Nájdite jednu NDF (rôznu od UNDF) a jednu NKF (rôznu od UNKF) funkcie
a) ,
g(x, y, z)=(xz + yz)(xy + y)
14

Príklady z Logických systémov
RNDr. Peter Kaprálik, PhD.
b) g(x, y, z)=(x + yz)+(x + y)z.
9. U(x, y, z)=(x + y)(x + y + z)(y + z). Nájdite jednu NDF (rôznu od UNDF) B-výrazu U.
10. V(x, y, z)=xz + xyz + y. Nájdite jednu NKF (rôznu od UNKF) B-výrazu V.
Normálna disjunktívna a konjunktívna forma
výrokových formúl
11. Napíšte výrokovú formulu, ktorej pravdivostné ohodnotenie je reprezentované
B-výrazom
a) x + (y + z) (xz + yz) ,
b) 1 $ xyz + 0 $ xz + 1 $ xyz,
c) (0 + x + y)(1 + x + y)(0 + x + y + z) .
12. Pomocou B-výrazu napíšte pravdivostné ohodnotenie výrokovej formuly a.
a) a = p e q,
b) a = (p e q) e r,
c) a = p e (q e r) ,
d) a = (p . q) e r,
e) a = ((p - q) e r) - (p . r) .
13. Nájdite UNDF a UNKF výrokovej formuly a.
a) a = p e q,
b) a = (p e q) g (q e p) ,
c) a = ((p - q) . r) e (p - r) .
14. Nájdite NDF a NKF (rôznu od UNDF resp. UNKF) výrokovej formuly b.
a) b = (p e q) e (p e r) ,
b) b = (p e q) g (p e r) ,
c) b = ((p - q) . r) e (p - r) .
15. Ukážte, že množina Q je USBF, ak
a) Q ={+, },
b) Q ={$, }.
16. Funkciu g vyjadrite pomocou P 2 -výrazov.
a) g(x, y, z)=(x + yz)(x + yz) ,
b) g(x, y, z)=(x + y)(x + y + z) ,
c) g(x, y, z)=yz + xyz.
17. Funkciu g vyjadrite pomocou S 2 -výrazov.
a) g(x, y, z)=(x + yz)(x + yz) ,
Úplný systém booleovských funkcií
15

RNDr. Peter Kaprálik, PhD.
Príklady z Logických systémov
b) g(x, y, z)=(x + y)(x + y + z) ,
c) g(x, y, z)=yz + xyz.
18. Funkciu g vyjadrite pomocou P-výrazov.
a) g(x, y, z, u)=yu + xzu + xyzu,
b) g(x, y, z, u)=(z + u)(y + z + u)(x + y + z + u) .
19. Funkciu g vyjadrite pomocou S-výrazov.
a) g(x, y, z, u)=yu + xzu + xyzu,
b) g(x, y, z, u)=(z + u)(y + z + u)(x + y + z + u) .
Kombinačné logické siete
20. Nakreslite kombinačnú logickú sieť priradenú k B-výrazu
a) U(x, y, z) = (x + y)z + (x + z)y,
b) U(x, y, z) = ((xyz + z)y + x(y + z))(xy + z) ,
c) U(x, y, z) = x + xy + xyz,
d) U(x, y, z) = (x + y + z)(x + y)(y + z) .
21. Nakreslite kombinačnú logickú sieť zostavenú len z 2-vstupových členov NOR (resp.
NAND), ktorá realizuje funkciu
a) f(x, y, z) = (x + y) z + (x + z)y,
b) g(x, y, z) = x + xy + xyz,
c) h(x, y, z) = (x + y + z)(x + y)(y + z) ,
22. Nakreslite kombinačnú logickú sieť zostavenú len z 3-vstupových členov NOR (resp.
NAND), ktorá realizuje funkciu
a) f(x, y, z, u) = xz + xyzu
b) g(x, y, z, u) = (y + z)(x + y + z + u)
23. Nakreslite kombinačnú logickú sieť zostavenú len z členov NOR (resp. NAND) bez obmedzenia
počtu vstupov, ktorá realizuje funkciu
a) f(x, y, z, u) = xy + xyz + yzu + xyzu,
b) g(x, y, z, u) = (y + u)(x + y + z)(x + y + z + u) .
Booleovské funkcie f : B n t B m
24. Napíšte booleovskú funkciu, ktorá by realizovala
a) sčitovanie dvoch nezáporných celých čísel v dvojkovej sústave, z ktorých prvé je
jednociferné a druhé dvojciferné,
b) násobenie dvoch najviac dvojmiestnych nezáporných celých čísel v dvojkovej
sústave,
a zostavte k nej kombinačnú logickú sieť.
25. Nakreslite kombinačnú logickú sieť dvojkového dekódera s dvomi adresovými vstupmi.
16

Príklady z Logických systémov
RNDr. Peter Kaprálik, PhD.
26. Kombinačný logický obvod má dva vstupy a štyri výstupy. Keď vstup (x 1 , x 2 ) reprezentuje
v binárnej sústave číslo k = x 1 2 1 + x 2 2 0 , nech výstup (z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) reprezentuje číslo
3k = z 1 2 3 + z 2 2 2 + z 3 2 1 + z 4 2 0 . V tabuľkovej forme zapíšte logickú funkciu f : B 2 d B 4 ,
ktorá prislúcha k tomuto obvodu. Navrhnite jej fyzikálnu realizáciu pomocou členov
NAND.
27. Nech A = a 1 a 0 , B = b 1 b 0 sú čísla v dvojkovej sústave ( a i , b i c 0, 1 ). Navrhnite kombinačnú
logickú sieť, pomocou ktorej vieme rozhodnúť, či A = B, A < B alebo A > B.
28. Zostrojte kombinačnú logickú sieť, ktorá má na vstupe dve n-tice núl a jednotiek
a na výstupe 0, ak , a 1, ak .
X = (x 1 , ¢, x n ), Y = (y 1 , ¢, y n ) X ! Y X= Y
29. Nakreslite kombinačnú logickú sieť multiplexora s dvomi adresovými vstupmi.
30. Pomocou multiplexora s dvomi adresovými vstupmi generujte funkciu
a) g(x, y) = (((x o) o y) o (x o (y o))) o,
b) g(x, y, z) = (x + yz)(xz + yz) .
31. Pomocou multiplexora s tromi adresovými vstupmi generujte funkciu
a) g(x, y, z) = (x + yz)(xz + yz) ,
b) g(x, y, z, u) = 1 g v štvorici (x, y, z, u) sú aspoň tri jednotky.
Karnaughova mapa
32. Nakreslite Karnaughovu mapu booleovskej funkcie
a) g(x, y) = xy + y,
b) g(x, y) = (x + y)(x + y) ,
c) g(x, y, z) = xy + xy + z,
d) g(x, y, z, u) = ((((x m (y m) m u) m ((x m) m z)) m) m (y m z m (u m)) m (x m y)) ,
e) g(x, y, z, u, v) = 1 g v pätici (x, y, z, u, v) je párny počet jednotiek.
33. Funkcia f je určená normálnou disjunktívnou formou. Nakreslite Karnaughovu mapu pri-
radenú k tejto NDF, ak
a) f(x, y) = xy + x,
b) f(x, y, z) = xyz + xy + yz,
c) f(x, y, z, u) = xyzu + xyz + yz,
d) f(x, y, z, u) = xz + z + xyu,
e) f(x, y, z, u) = yz + yu + xzu,
f) f(x, y, z, u, v) = xzu + xz + xyu + xyzv,
g) f(x, y, z, u, v) = yz + xyv + xyzu.
34. Pomocou Karnaughovej mapy nájdite NDF (rôznu od UNDF) funkcie g, ak
a) J(g) = (0, 1, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1) ,
b) N(g) = (1, 0, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 1) ,
c) g(x, y, z, u, v) = 1 g v pätici (x, y, z, u, v) je viac jednotiek ako núl.
35. Pomocou Karnaughovej mapy nájdite NKF (rôznu od UNKF) funkcie g, ak
17

RNDr. Peter Kaprálik, PhD.
Príklady z Logických systémov
a) g(x, y, z) = xyz + xy + yz,
b) g(x, y, z, u) = xyzu + xyz + yz,
c) g(x, y, z, u) = xz + z + xyu,
d) g(x, y, z, u) = yz + yu + xzu,
e) g(x, y, z, u, v) = xzu + xz + xyu + xyzv,
f) g(x, y, z, u, v) = yz + xyv + xyzu.
36. V automobile máme štyri nezávislé ovládacie prvky p, t, d, h. Tieto nám umožňujú zapnúť
parkovacie svetlá P, tlmené svetlá T, diaľkové svetlá D, hmlové svetlá H. Platia tieto
zásady: Pri zapojení hociktorého zo svetiel T, D, H musia byť zapojené aj P. Pri zapojení
H musia byť zapojené aj T. Svetlá T a D nemôžu byť zapojené súčasne.
Nájdite MNDF pre funkcie P, T, D, H premenných p, t, d, h. Navrhnite fyzikálnu realizáciu
týchto funkcií pomocou členov NOR.
Minimalizácia B-výrazov
37. Nájdite SNDF a jadro funkcie g, ak
a) g(x, y, z) = xz + yz + xyz + xz,
b) g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y + z) ,
c) g(x, y, z, u) = xz + xyu + yzu + xyu + yzu,
d) g(x, y, z, u) = (x + z + u)(y + z + u) ,
e) g(x, y, z, u) = xz + yz + xzu + yzu + xyu,
f) g(x, y, z, u, v) = (x + z + u + v)(y + z + u + v)(x + y + u)(x + y + z + v)(x + y + u + v) .
38. Nájdite všetky INDF a MNDF funkcie g, ak
a) g(x, y, z) = xz + yz + xyz + xz,
b) g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y + z) ,
c) g(x, y, z, u) = xy + xy + xzu + yzu + xzu,
d) g(x, y, z, u) = xy + zu + xyz + xzu + xzu,
e) g(x, y, z, u) = xz + yu + xzu + xyu + xyu,
f) g(x, y, z, u) = xz + xz + xyu + yzu + yzu,
g) g(x, y, z, u) = yu + xz + yzu + xyz + xyz,
h) g(x, y, z, u, v) = zuv + yzu + xzu + xzu + yzuv + xzuv.
39. Nájdite všetky MNDF a MNKF funkcie g, ak
a) g(x, y, z) = xy + xyz + xyz,
b) g(x, y, z, u) = (x + y + z + u)(x + y + u)(x + y + z + u)(x + y + u) ,
c) g(x, y, z, u) = yzu + xyu + xz + yzu + xyz,
d) g(x, y, z, u) = xyzu + xzu + yzu + yzu + yzu
e) g(x, y, z, u) = (x + z + u)(x + y + z + u)(x + z + u)(x + y + z + u) ,
f) g(x, y, z, u, v) = xyz + yzu + xyu + xyz + xyv + xyzu,
g) g(x, y, z, u, v) = (y + z + u + v)(z + u + v)(x + y + z + u + v)(y + z + u + v) .
40. Nájdite MNDF a MNKF booleovskej funkcie g(x, y, z, u, v) = xz + yuv + yzuv + xyzuv a
k tej z nich, ktorá má menej písmen nakreslite prislúchajúcu kombinačnú sieť.
18

Príklady z Logických systémov
RNDr. Peter Kaprálik, PhD.
2.3. Výsledky
2. a) nie. b) áno. c) nie. d) áno. 4. a) J(g)={(0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 0, 0)} .
b) N(g)={(0, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1)} . c) J(g)= (1, 0, 1), (1, 1, 1),
(0, 0, 1), (0, 1, 0) . 5. a) S 5 (x, y, z), T 2 (x, y, z) . b) S 13 (x, y, z, u), T 2 (x, y, z, u) . c) S 10 (x, y, z, u) ,
T 5 (x, y, z, u) . 6. a) xyz, x + y + z. b) xyzu, x + y + z + u. 7. a) xyz + xyz + xyz, (x + y + z)
(x + y + z)(x + y + z)(x + y + z)(x + y + z) . b) xyzu + xyzu + xyzu + xyzu + xyzu + xyzu + xyzu +
xyzu + xyzu + xyzu+xyzu , (x + y + z + u)(x + y + z + u)(x + y + z + u)(x + y + z + u)(x + y + z + u).
c) xyz + xyz ++xyz + xyz, (x + y + z)(x + y + z)(x + y + z)(x + y + z) .
d) xyzu + xyzu + xyzu + xyzu + xyzu ++xyzu + xyzu + xyzu + xyzu + xyzu + xyzu + xyzu,
(x + y + z + u)(x + y + z + u)(x + y + z + u)(x + y + z + u) . 8. a) napr. NDF (g)=xy + yz,
NKF(g)=y(x + z) . b) napr. NDF(g) == xy + xz + xz + yz, NKF(g)=(x + z)(y + z) .
9. napr. NDF(U)=xy + xyz + yz. 10. napr. NKF(V)=(x + z)(x + y + z)y.
11. a) p - (q - r) . ((p . r) - (q . r)) . b) (p . q . r) - (p . q . r) . c) (p - q) . (p - q - r) .
12. a) ph a (x, y) = x + y. b) xy + z. c) x + y + z. d) x + y + z . e) (x + y)z + xz. 13. a) UNDF (a) =
= (p . q) - (p . q) - (p . q), UNKF (a) = p - q. b)
UNDF (a) = (p . q) - (p . q), UNKF (a) == (p - q) . (p - q). c)
UNDF (a) = (p . q . r) - (p . q . r), UNKF (a) = (p - q - r) .
.(p - q - r) . (p - q - r) . (p - q - r) . (p - q - r) . (p - q - r) . 14. a) napr. NDF (b) =
=NKF (b) = p - q. b)
napr. NDF(b) = (p . r) - (p . q) - (p . q) - (q . r), NKF(b) = (p - q) ..(p - q - r). c)
napr. NDF (b) = NKF (b) = p - p . 16. a) napr. (((x o) o (y o (z o))) o) o
(x o ((y o) o (z o))) . b) napr. (x o (y o)) o ((x o) o ((y o z) o)) . c) napr. ((y o (z o)) o
((((x o) o (y o)) o) o z)) o . 17. a) napr. ((x m ((y m) m z)) m) m ((x m) m (y m z)) m. b)
napr. (((x m) m y) m (x m ((y m) m (z m)))) m . c) napr. ((y m) m z) m (((x m y) m) m z m)) .
18. a) (((y o) o u) o (x o (z o) o (u o)) o ((x o) o y o z o (u o))) o.
b) ((z o (u o)) o (y o (z o) o u) o ((x o) o (y o) o (z o) o (u o) .
19. a) ((y m (u m)) m ((x m) m z m u) m (x(y m) m (z m) m u)) .
b) (((z m) m u) m ((y m) m z m (u m)) m (x m y m z m u)) m. 24. a) súčtom čísel x, y 1 y 2 je
najviac trojciferné číslo z 1 z 2 z 3 , kde z 1 = xy 1 y 2 , z 2 = xy 1 + xy 1
y 2 + xy 1 y 2
, z 3 = xy 2 + xy 2
. b)
súčinom čísel x 1 x 2 , y 1 y 2 je najviac štvorciferné číslo z 1 z 2 z 3 z 4 , kde z 1 = x 1 x 2 y 1 y 2 ,
z 2 = x 1 x 2 y 1 + x 1 y 1 y 2
, z 3 = x 1 x 2 y 1 + x 1 x 2 y 2 + x 1 y 1
y 2 + x 2 y 1 y 2
, z 4 = x 2 y 2 . 25. adresové vstupy:
A, B, výstupy: s 0 , ¢, s 3 , pričom s i = S i (A, B) , kde S i (A, B) je i-tý elementárny súčinový
člen. 26. f(x 1 , x 2 ) = (x 1 x 2 , x 1 x 2 , x 1 / x 2 , x 2 ). 34. a) napr. NDF (g) = y . b) napr. NDF(g) =
= yz + xyu + yzu + zu + xy . c) napr. NDF(g) = zuv + xzu + xzv + xuv + xyz + xyu + xyv +
+yzu + yuv + yzv . 35. a) napr. NKF (g) = (x + z)(y + z) . b) napr. NKF (g) = (z + u)(x + y)(x + z) .
c) napr. NKF (g) = (x + y + z)(x + z + u) . d) napr. NKF (g) = (y + z)(z + u)(x + y + u) . e) napr.
NKF (g) = (x + y + z)(x + z + u)(x + y + u)(x + z + v) . f) napr. NKF (y + z + u) . 37. a) SNDF
(g) = xz + y + xz = Jadro(g) . b) SNDF (g) = xz + yz + xy + yz + xz + xy , Jadro (g) = 0. c) SNDF
(g) = xz + xyu + yzu + yzu + xyu + xz + xyu + yzu + xyu + yzu,
Jadro (g) = 0 . d) SNDF (g) = zu + zu + xz + xu + xy + yz + yu , Jadro (g) = zu + zu.
e) SNDF (g) = xz + xy + xu + yz + xzu + xyu + yzu , Jadro (g) = yz + xu . f) Jadro (g) = xu + yv,
SNDF (g) = xu + xyzv + yzuv + xzv + zuv + xyuv + xzuv + xyzu + xyz + yzu + yv. 38. a)
xy + xz
INDF (g) = xz + y + xz = MNDF(g) . b) INDF 1,2 (g) = xz + xy +
,
yz
19

RNDr. Peter Kaprálik, PhD.
Príklady z Logických systémov
yz + xy
INDF 3,4 (g) = yz + xy +
, INDF 5 (g) = xz + yz + yz + xz,
MNDF 1 (g) = xz + xy + yz
xz
MNDF 2 (g) = yz + xy + xz. c) Jadro(g) = xy + xy + zu,
MNDF 1,2 (g) =INDF 1,2 (g) =Jadro(g) +
xzu
xzu
+ . d) Jadro (g) = xy + xy + zu,
INDF 1,2 (g) ==Jadro(g) + zy +
yzu
yzu
INDF 3,4 (g) =Jadro(g) + xz +
xzu
yzu
, každá INDF je aj MNDF. e) Jadro (g) = xz + xz + yu,
xyu
INDF 1,2 (g) =Jadro(g) + zu +
, každá INDF
yzu , INDF xyu
3,4(g) =Jadro(g) ++xu +
yzu
xyu
je aj MNDF. f) Jadro (g) = xz + xz, INDF 1,2 (g) =Jadro(g) ++zu + , INDF 3,4 (g) =
yzu
=Jadro(g) + xu +
=Jadro(g) + zu +
xyu
yzu
xzu
xyz
, každá INDF je aj MNDF. g) Jadro (g) = yu + yu + xz,
INDF 1,2 (g) =
, INDF 1,2 (g) =Jadro(g) ++yz +
xzu
xyz
, každá INDF je aj MNDF.
h) Jadro (g) = xzu + xu, INDF 1,2,3,4 (g) =Jadro(g) + zuv +
yzu +
yzuv
xyuv + xyzv
xyz +
yzuv
xyzv + xyuv
,
INDF 5,6,7,8 (g) =Jadro(g) + xzv ++
yzu +
yzuv
xyuv + xyzv
xyz +
yzuv
xyzv + xyuv
, 39. a) MNDF (g) = xz ++yz,
MNKF (g) = (x + z)(y + z) . b) MNDF (g) = xy + xu + xz , MNKF (g) = (x + u)(x + y + z) . c)
MNDF (g) = yu + xz + zu + xyz,
MNKF 1,2 (g) = (x + z + u)(x + z + u)(x + y + z)
(x + y + u)
(y + z + u)
d) MNDF (g) = xy + xzu + yzu + yzu + yzu , MNKF(g) = (x + z + u)(x + y + z + u)(y + z + u)
xy + yzu + xzu
yzu + xyz
(y + z + u) . e) MNDF 1,2,3 (g) = xz +
, MNKF (g) = (x + z)
xu +
xyz
xzu +
yzu
(x + y + u)(x + y + z + u) . f) MNDF 1,2 (g) = yz + yzu + xzu +
xzv
xyv
, MNKF(g) = (y + z + u)
(y + z + v)(x + y + z)(x + z + u) . g) MNDF 1,2 (g) = u + yv + yzv +
xzv
xyz
, MNKF(g) =
= (y + z + u)(y + u + v)(x + y + u + v) . 40. MNDF(g) = xz + zuv + yuv + xyu,
MNKF(g) =
= (z + u)(x + u)(x + v)(y + z).
20

Príklady z Logických systémov
RNDr. Peter Kaprálik, PhD.
3.1. Riešené príklady
3. Konečné automaty
Príklad 1. Zariadenie používa vstupnú abecedu X = a, b a výstupnú abecedu Z = 0, 1 .
Pri vstupe b, ak predchádzajúce dva vstupy boli a, b (v tomto poradí) je výstup 1. V ostatných
prípadoch je výstup 0 (napr.
pri vstupe b a b b b a a b b a
). Opíšte zariadenie ako
výstup je 0 0 1 0 0 0 0 1 0
automat.
Riešenie. Zariadenie opíšeme ako automat , kde X = a, b , Z = 0, 1 . S = s a , s ab , s b ,
pričom automat prejde do stavu:
s a vždy po vstupe písmena a,
s ab po vstupe písmena b, ak predchádzajúci vstup bol a,
s b po vstupe písmena b, ak predchádzajúci vstup nebol a.
Graf automatu A:
a/0
s a
a/0
b/0
b/0
a/0
s b
sab
b/1
Tabuľka automatu A:
a b
s a s a / 0 s ab / 0
s b s a / 0 s b / 0
s ab s a /0 s b / 1
Príklad 2. Nájdite ekvivalentné stavy automatu A a zostavte tabuľku k nemu redukovaného
automatu , ak automat A je daný tabuľkou
A R
1
2
3
4
5
6
7
8
9
a
1/0
4/1
7/0
3/1
8/0
7/0
3/1
6/1
3/1
b
2/0
9/0
9/0
3/0
4/0
4/0
4/1
9/1
6/0
Riešenie. Priamo z tabuľky vidieť, že E 1 = 1, 3, 5, 6 , 2, 4, 9 , 7, 8
zistiť, či
. Teraz potrebujeme
21

RNDr. Peter Kaprálik, PhD.
Príklady z Logických systémov
1 E 2 3, 3 E 2 5, 5 E 2 6 2E 2 4, 4 E 2 9,
7E 2 8
1 E 2 5, 3 E 2 6, 2 E 2 9,
1 E 2 6,
(1, a) = 1, (3, a) = 7, 1 E/ 1 7 e 1 E/ 2 3,
(1, a) = 1, (5, a) = 8, 1 E/ 1 8 e 1 E/ 2 5,
(1, a) = 1, (6, a) = 7, 1 E/ 1 7 e 1 E/ 2 7,
(3, a) = 7, (5, a) = 8, 7 E 1 8, (3, b) = 9, (5, b) = 4, 9 E 1 4, e 3 E 2 5,
(3, a) = 7, (6, a) = 7, 7 E 1 7, (3, b) = 9, (6, b) = 4, 9 E 1 4, e 3 E 2 6
5 E 2 3, 3 E 2 6 e 5 E 2 6,
Ďalej uvádzame už len výsledky:
2 E/ 2 4, 2 E/ 2 9, 4 E 2 9, 7 E 2 8.
Teda
E 2 = 1 , 3, 5, 6 , 2 , 4, 9 , 7, 8
Teraz zisťujeme či platí: 3 E 3 5, 3 E 3 6, 5 E 3 6, 4 E 3 9, 7 E 3 8.
(3, a) = 7, (5, a) = 8, 7 E 2 8, (3, b) = 9, (5, b) = 4, 9 E 2 4, e 3 E 3 5,
(3, a) = 7, (6, a) = 7, 7 E 2 7, (3, b) = 9, (6, b) = 4, 9 E 2 4, e 3 E 3 6,
5 E 3 3, 3 E 3 6 e 5 E 3 6,
(4, a) = 3, (9, a) = 3, 3 E 2 3, (4, b) = 3, (9, b) = 6, 3 E 2 6, e 4 E 3 9,
(7, a) = 3, (8, a) = 6, 3 E 2 6, (7, b) = 4, (8, b) = 9, 4 E 2 9, e 7 E 3 8.
E 3 = E 2 = E = 1 , 3, 5, 6 , 2 , 4, 9 , 7, 8
R
Označme s 1 = 1 , s 2 = 3, 5, 6 , s 3 = 2 , s 4 = 4, 9 , s 5 = 7, 8 . Potom redukovaný
automat A je daný tabuľkou
a b
s 1 s 1 /0 s 3 /0
s 2 s 5 /0 s 4 /0
s 3 s 4 /1 s 4 /0
s 4 s 2 /1 s 2 /0
s 5 s 2 /1 /1
s 4
.
.
Príklad 3. Nájdite ekvivalentné stavy medzi automatmi
ekvivalentné
A, B. Sú tieto automaty
A a b
B a b
s 1 s 2 /0 s 3 /1
t 1 t 3 /1 t 2 /0
s 2 s 1 /1 s 3 /0
t 2 t 1 /0 t 2 /1
s 3 s 2 /0 s 1 /1
t 3 t 1 /1 t 2 /0
s 4 s 4 /0 s 1 /1
Riešenie. Vytvoríme nový automat A 4 B - zjednotenie automatov A, B a v ňom nájdeme
ekvivalentné stavy.
22

Príklady z Logických systémov
RNDr. Peter Kaprálik, PhD.
A 4 B a b
s 1 s 2 /0 s 3 /1
s 2 s 1 /1 s 3 /0
s 3 s 2 /0 s 1 /1
s 4 s 4 /0 s 1 /1
t 1 t 2 /1 t 2 /0
t 2 t 1 /0 t 2 /1
t 3 t 1 /1 t 2 /0
E 1 = s 1 , s 3 , s 4 , t 2 , s 2 , t 1 , t 3
s 1 E 2 s 3 „ s 1 E/ 2 s 4 s 1 E 2 t 2 „ s 3 E/ 2 s 4
s 3 E 2 t 2 „ s 4 E/ 2 t 2
s 2 E 2 t 1 „ s 2 E/ 2 t 3 t 1 E/ 2 t 3
E 2 = s 1 , s 3 , t 2 , s 4 , s 2 , t 1 , t 3
s 1 E 3 s 3 „ s 1 E 3 t 2 „ s 3 E 3 t 2 „ s 2 E 3 t 1 „
E 3 = E 2 = E = s 1 , s 3 , t 2 , s 4 , s 2 , t 1 , t 3
Zistili sme, že s 1 i s 3 i t 2 , s 2 i t 1 . Automaty A, B nie sú ekvivalentné, lebo napríklad k
stavu s 4 automatu Aneexistuje ekvivalentný stav v automate B.
3.2.Cvičenia
1. Navrhnite tabuľkou Mealyho automat A = (S, X, Z, , ) , v ktorom X = 3, Z = 3, S = 3
a nakreslite jeho graf.
2. Navrhnite tabuľkou Moorov automat A = (S, X, Z, , ) , v ktorom X = 3, Z = 2, S = 4 a
nakreslite jeho graf.
3. Zariadenie používa vstupnú abecedu X = a, b a výstupnú abecedu Z = 0, 1 . Výstup je
1 práve vtedy, keď na vstupe boli za sebou písmená bab. Popíšte zariadenie ako automat.
4. Popíšte automat so vstupnou abecedou X = 1, 2, 3 a výstupnou Z = 0, 1 , ak výstup
z(t) = 1 práve vtedy, keď pre vstupy platí x(t − 2) + x(t − 1) > 2 x(t) (+ je obvyklé sčitova-
nie v množine reálnych čísel).
5. Zariadenie má vstupnú abecedu X = 0, 1 a výstupnú abecedu Z = 0, 1 . Výstup z(t) = 1
práve vtedy, keď pre vstup platí x(t) = x(t − 2), (t m 3) . Opíšte toto zariadenie ako
automat.
6. Popíšte automat A = (S, X, Z, , ) , ak X = a, b , Z = 0, 1 . Výstup je 1, vždy keď na
vstupe je v poradí štvrté b (nemusia ísť za sebou), ináč je výstup 0.
7. Popíšte ako automat zariadenie, ktorého vstupná abeceda je X = a, b , výstupná
Z = 0, 1 a na výstupe sa objaví 1 práve vtedy, keď sa na vstupe nachádza štvrté a
v bloku písmen a idúcich za sebou (počítadlo blokov dĺžky 4). V opačnom prípade je
výstup 0.
8. Hádžem mincou. Vyhrám 1 Sk za každé druhé písmo a za hlavu, keď pred ňou bola hlava
(ináč nevyhrávam). Popíšte automat, ktorý bude hlásiť moju výhru (výstup je 1 práve
vtedy, keď vyhrávam).
23

RNDr. Peter Kaprálik, PhD.
Príklady z Logických systémov
9. Chceme čítať slovenský text (26 základných písmen plus medzera medzi slovami).
Navrhnite zariadenie, ktoré bude indikovať prítomnosť slova začínajúceho na t a končiaceho
na r. Popíšte to zariadenie ako automat.
10. Daný je Mealyho automat tabuľkou. Zistite, či k nemu existuje silno ekvivalentný
Moorov automat. Ak existuje, popíšte ho tabuľkou.
a)
a b a b
s 0 s 1 s 1 0 1
s 1 s 0 s 2 1 0
s 2 s 2 s 1 0 1
b)
a b a b
s 0 s 1 s 1 1 1
s 1 s 0 s 2 1 0
s 2 0 1
s 2
s 1
11. Automat A je daný tabuľkou. Nakreslite graf automatu A a vypočítajte (s, w), (s, w) , ak
a) s = 3, w = aababbba
a b
1 3/1 1/0
2 4/0 3/1
3 4/0 3/0
4 2/1 2/0
b) s = 4, w = abbcbaac
1
2
3
4
a
3
1
4
1
b
2
4
1
3
c
4
2
3
2
0
1
1
0
12. Zariadenie má tri vstupné znaky 0, 1, Q. Na „otázku“ Q vloženú na vstup odpovedá, či
počet doteraz vyslaných jednotiek bol párny alebo nepárny. Popíšte toto zariadenie ako
neúplne špecifikovaný automat.
13. Nájdite ekvivalentné stavy automatu A daného tabuľkou
1
2
3
4
5
6
x
2/0
3/1
5/0
2/0
1/1
5/0
y
3/0
6/1
1/0
4/0
6/1
2/0
24

Príklady z Logických systémov
RNDr. Peter Kaprálik, PhD.
14. Nájdite ekvivalentné stavy automatu A daného tabuľkou
x y
1 2/1 6/1
2 1/0 5/0
3 6/1 2/1
4 2/0 7/0
5 6/0 7/0
6 3/0 4/0
7 5/0 7/0
15. Nájdite ekvivalentné stavy automatu A daného tabuľkou
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
0/0
0/0
5/0
3/0
7/0
7/0
7/1
3/0
7/1
1/0
y
1/0
1/0
5/1
5/1
8/0
2/1
8/1
5/1
8/1
4/0
z
2/0
3/0
6/0
8/0
9/0
8/0
0/1
8/0
9/1
3/0
16. Automat A je daný tabuľkou:
a) b)
x y
s 1 s 3 /0 s 2 /1
s 2 s 3 /0 s 2 /1
s 3 s 4 /1 s 1 /0
s 4 s 4 /1 s 1 /0
Nájdite k nemu redukovaný automat A R .
1
2
3
4
5
6
7
a
2
2
5
6
5
6
1
b
7
7
4
3
3
4
7
a
0
0
0
0
1
1
0
b
0
0
0
0
0
0
1
17. Nájdite redukovaný automat automatu A z príkladov 13, 14 a 15.
18. Zistite, ktoré stavy automatov A, B sú ekvivalentné. Sú automaty A, B ekvivalentné
A x y B x y
s 1 s 2 /0 s 3 /1 t 1 t 1 /0 t 2 /1
s 2 s 1 /0 s 4 /1 t 2 t 3 /1 t 1 /0
s 3 s 3 /1 s 1 /0 t 3 t 3 /1 t 1 /0
s 4 s 4 /1 s 2 /0
t 1 /0 t 1 /1
t 4
25

RNDr. Peter Kaprálik, PhD.
Príklady z Logických systémov
19. Množina stavov automatu A 1 je S = s 1 , s 2 , s 3 , s 4 a automatu A 2 je T = t 1 , t 2 , t 3 , t 4 .
Oba automaty majú vstupnú abecedu X = x a výstupnú abecedu Z = 0, 1 . Funkcie a
sú dané tabuľkami
x x
s 1 s 1 0
s 2 s 1 1
s 3 s 3 1
s 4 1
s 3
x x
t 1 t 2 0
t 2 t 2 0
t 3 t 1 1
t 4 1
t 4
Sú A 1 , A 2 ekvivalentné
20. Automaty A a B sú dané tabuľkami:
A x 1 x 2
s 1 s 2 /0 s 3 /1
s 2 s 1 /0 s 3 /1
s 3 s 3 /1 s 1 /0
B x 1 x 2
t 1 t 1 /0 t 2 /1
t 2 t 3 /1 t 1 /0
t 3 t 3 /1 t 2 /0
Vyšetrite, či automaty A a B sú ekvivalentné.
3.3.Výsledky
a b c
a b
s 1 s 2 /1 s 1 /1 s 2 /3
s 0 s 1 s 1 1
s 2 s 3 /2 s 2 /3 s 3 /1
s 1 s 0 s 2 1
1. napr. s 3 s 2 /1 s 3 /2 s 1 /3 10. a) nie. b) áno s 2 s 2 s 1 0 11. a)
(s, w) = 4, (s, w) = 01100100. b) (s, w) = 3, (s, w) = 01010011. 13. E = {1, 3, 4},
{6}, {2, 5} . 14. E = 1, 3 , 2, 6 , 4, 5 , 7 . 15. E = 0 , 1 , 9 , 4 , 2 , 3, 7 ,
5 , 8 , 6 . 18. s 1 i s 2 i t 1 , s 3 i s 4 i t 2 i t 3 ; automaty nie sú ekvivalentné. 19. áno.
20. nie.
4. Fyzikálna realizácia automatov
4.1. Riešené príklady
Príklad 1. Vytvorte dvojkový automat, ktorý pokrýva automat
tabuľkou
a b c
p q/u r/u q/v
q p/u q/v r/u
r p/v r/u p/u
A = (S, X, Z, , )
daný
Budiace funkcie a výstupnú funkciu vyjadrite pomocou B-výrazov.
Riešenie. Najprv vytvoríme k automatu A kódový ekvivalent A B . Zakódujme stavy, vstupy a
výstupy automatu A napr. pomocou zobrazení
26

Príklady z Logických systémov
RNDr. Peter Kaprálik, PhD.
f : S t B 2 , f(p) = (0, 0), f(q) = (0, 1), f(r) = (1, 0),
g : X t B 2 , g(a) = (0, 0), g(b) = (1, 0), g(c) = (1, 1),
h : Z t B, h(u) = 0, h(v) = 1,
čo môžeme znázorniť pomocou Karnaughových máp:
y 2 x 2
p q
a
y 1
r x 1
b c z
u
v
Pri tejto voľbe kódovým ekvivalentom automatu A je automat A B = ( f(S), g(X), h(Z), B , B ),
kde
f(S) = (0, 0), (0, 1), (1, 0) , g(X) = (0, 0), (1, 0), (1, 1) , h(Z) = 0, 1 a funkcie B , B sú
určené tabuľkou
A B
(0, 0)
(0, 1)
(1, 0)
(0, 0)
(0, 1)/0
(0, 0)/0
(0, 0)/1
(1, 0)
(1, 0)/0
(0, 1)/1
(1, 0)/0
(1, 1)
(0, 1)/1
(1, 0)/0
(0, 0)/0
Automat rozšírime na dvojkový neúplne špecifikovaný automat A B = B 2 , B 2 , B, B , B ,
ktorý pokrýva automat :
A B
(0, 0)
(0, 1)
(1, 0)
(1, 1)
(0, 0)
(0, 1)/0
(0, 0)/0
(0, 0)/1
− / −
(1, 0)
(1, 0)/0
(0, 1)/1
(1, 0)/0
− / −
(1, 1)
(0, 1)/1
(1, 0)/0
(0, 0)/0
− / −
(0, 1)
− / −
− / −
− / −
− / −
Budiace funkcie a výstupnú funkciu vyjadríme pomocou Karnaughovej mapy:
x
x
Y 1 2
x
x
1 Y 1 2
x
x
2 z 1 2
0 1 0 –
1 0 1 –
0 0 1 –
y y y 1 0 1 0 –
1 0 0 0 –
1 1 0 0 –
y
– – – –
y
– – – –
y
– – – –
2 2 2
0 0 1 –
0 1 0 –
0 1 0 –
Nedefinované hodnoty dourčíme tak, aby sme minimalizovali DNF týchto funkcií:
27

RNDr. Peter Kaprálik, PhD.
Príklady z Logických systémov
x
x
Y 1 2
x
x
1 Y 1 2
x
x
2 z 1 2
0 1 0 0
1 0 1 1
0 0 1 1
y y y 1 0 1 0 0
1 0 0 0 0
1 1 0 0 1
y
0 0 1 1
y
0 1 0 0
y
1 1 0 1
2 2 2
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 0
Y 1 = x 1 x 2 y 2
+ x 2 y 2 , Y 2 = x 1 y 1
y 2
+ x 2 y 1
y 2
+ x 1 x 2 y 2 , z = x 2 y 1
y 2
+ x 1 y 1 + x 1 x 2 y 2
Príklad 2. Kódový ekvivalent A B automatu A je určený tabuľkou
A B
(0, 0)
(1, 0)
(1, 1)
0
(1, 0)/1
(0, 0)/1
(1, 1)/0
1
(1, 1)/0
(1, 0)/0
(0, 0)/1
Navrhnite fyzikálnu realizáciu automatu A pomocou synchrónnych JK-preklápacích
obvodov.
Riešenie. Dvojkový automat pokrývajúci automat A:
A B
(0, 0)
(1, 0)
(1, 1)
(0, 1)
A B
0
(1, 0)/1
(0, 0)/1
(1, 1)/0
− / −
1
(1, 1)/0
(1, 0)/0
(0, 0)/1
− / −
Budiace funkcie a výstupná funkcia automatu A B :
Y 1
x Y 2
x z x
1 1
0 1
1 0
y 1 0 1 y 1 0 0 y 1 1 0
1 0
1 0
0 1
y y y 2 2 2
– –
– –
– –
z
y 2
y 1
x
1 0
1 0
0 1
0 1
z = xy 2
+ xy 2
Nedefinované hodnoty budiacich funkcií zatiaľ nešpecifikujeme, urobíme tak pri zostavovaní
vstupov JK-preklápacích obvodov, ktoré generujú tieto budiace funkcie. Uvedomme si, že na
dosiahnutie prechodu y i d Y i musíme nastaviť vstupy J i a K i podľa tejto tabuľky
J i K i
y i
Yi
–
–
Y – i
Karnaughove mapy pre vstupy JK-preklápacích obvodov sú potom takéto:
28

Príklady z Logických systémov
RNDr. Peter Kaprálik, PhD.
J 1
x K x 1 J x
2
K 2
y 1
y 1
y y 2 2
x
1 1
– –
0 1
– –
y 2
y 1
– –
– –
– –
1 0
0 1
– –
0 0
– –
– –
y 2
y 1
– –
0 1
– –
Dodefinujeme nedefinované hodnoty tak, aby sme minimalizovali DNF týchto funkcií.
J 1
x K x 1 J x
2
K 2
y 1
y 1
y y 2 2
x
1 1
1 0
0 1
0 1
y 2
y 1
1 1
1 1
1 1
1 0
0 1
0 1
0 0
0 0
0 1
y 2
y 1
0 1
0 1
0 1
J 1 = 1, K 1 = xy 2
+ xy 2 , J 2 = xy 1
,
K 2 = x
1
x
&
&
1 z
1
&
1
J
K
C
T
y 1
y 2
–
y 1
&
&
J
T
y 2
K
–
C
h
4.2. Cvičenia
1. Navrhnite fyzikálnu realizáciu automatu daného tabuľkou pomocou synchrónnych SR
preklápacích obvodov.
29

RNDr. Peter Kaprálik, PhD.
Príklady z Logických systémov
A
B
C
a
C
B
A
b
A
C
B
c
B
A
A
1
1
0
2. Navrhnite fyzikálnu realizáciu automatu daného tabuľkou
a b c
1 1/0 2/0 1/1
2 2/0 3/0 1/0
3 3/0 3/0 1/0
pomocou synchrónnych JK - preklápacích obvodov.
d
1/0
1/1
1/0
3. Navrhnite fyzikálnu realizáciu automatov z príkladov 3 až 8 pomocou synchrónnych
preklápacích obvodov.
4.3.Výsledky
30