Relacje Logika Rozmyta Wnioskowanie Systemy

Złożenie relacji (ang. composition) 

Niech 

R ⊂ X × Y, S ⊂ Y × Z. 

Pytanie: 

T ⊂ X × Z ? 

Czy można znaleźć taką relację T, która wiąże te 

same elementy z X, które zawiera R z tymi samymi 

elementami z Z, które zawiera S? Czyli czy szukamy 

T ⊂ X × Z. 

Przykład 

Podstawowe formy operacji złożenia max-min i 

max-product (czasem nazywana max-dot): 

1. max-min 

T = R o S 

χ = (x,z) 

T 

2. max-product 

T = R • S 

χ = (x,z) = 

T 

= V ( χ (x,y) ∧ χ (y,z)) = 

y∈Y 

= max (min( χ (x,y), χ (y,z))) 

y∈Y 

R 

= max ( χ (x,y) • χ (y,z)) 

R 

V ( χ (x,y) • χ (y,z)) = 

y∈Y 

y∈Y 

R 

R 

S 

S 

S 

S 

Rozmyte złożenie relacji (ang. fuzzy composition) 

Jak w przypadku crisp. Niech R ~ będzie relacją która 

mapuje elementy z przestrzeni X na Y, a S ~ relacją, 

która mapuje elementy z Y na Z. Szukamy T ~ z 

X × Z 

1. max-min 

T ~ = R ~ o S ~ 

µ (x,z) V ( (x,y) (y,z)) 

T ~ = = µ 

R ~ ∧ µ 

S ~ = 

y∈Y 

= max (min( µ (x,y), (y,z))) 

y Y 

R ~ µ 

∈ 

S ~ 

2. max-product 

T ~ = R ~ • S ~ 

µ = (x,z) = 

V ( µ (x,y) • µ (y,z)) = 

T ~ 

y∈Y 

R ~ 

S ~ 

y Y 

R ~ µ 

∈ 

S ~ 

= max (min( µ (x,y) • (y,z))) 

R ° S ≠ S ° R (Operacje na macierzach). 

© Maciej Hapke – Logika rozmyta w zastosowaniach inżynierskich 40 


Logika klasyczna i rozmyta 

Logika klasyczna 

Załóżmy, że mamy dwa twierdzenia 

P: prawda, że x∈A 

Q: prawda, że x∈B 

Prawdziwość mierzona jest następująco: 

Jeżeli x∈A, T(P) = 1; w przeciwnym wypadku T(P) = 0 

Jeżeli x∈B, T(Q) = 1; w przeciwnym wypadku T(Q) = 0 

Spójniki logiczne (ang. logical connectives) 

Dysjunkcja 

Koniunkcja 

Negacja 

Implikacja 

P∨Q: x∈A lub x∈B 

T(P∨Q) = max(T(P),T(Q)) 

P∧Q: x∈A i x∈B 

T(P∨Q) = min(T(P),T(Q)) 

Jeżeli T(P) = 1, to ⎺T(P) = 0 

Jeżeli T(P) = 0, to ⎺T(P) = 1 

(PQ): x∉A lub x∈B 

T(PQ) = T(⎺P∪Q) 

Równoważność 

(P↔Q): T(P↔Q) = ⎨ ⎧ 1, dla T(P) 

⎩ 0, dla T(P) 

= T(Q) 

≠ T(Q) 

Klasyczna implikacja PQ jest prawdziwa we 

wszystkich przypadkach, oprócz takiego, gdy poprzednik 

jest prawdą, a następnik fałszem. 

Przykład: 

1. Jeżeli 1+1=2 to 4>0 

2. Jeżeli 1+1=3 to 4>0 

3. Jeżeli 1+1=3 to 4

jeżeli A to B, w przeciwnym razie C 

≡ R = A × B ∪ (⎺A × C ) 

w logice (PQ) ∨ (⎺PS) 

gdzie S: y∈C, C⊂Y 

Dedukcja 

wnioskowanie, w którym z przesłanek wynika logicznie 

wniosek 

Dedukcja modus ponens (reguła odrywania) 

A 

T 

T 

Z prawdziwości przesłanki i implikacji wynika 

prawdziwość wniosku. 

Przykład 

Tautologie 

W logice pomocne są związki, które są zawsze 

prawdziwe (tautologie) w każdej niepustej dziedzinie. 

Przykłady tautologii: 

• „Każdy pies jest ssakiem” ⇒ „Każdy pies jest 

kręgowcem” 

(w domyśle „Każdy ssak jest kręgowcem”) 

A jest B ∧ B jest C ⇒ A jest C 

• ~ Λ T(x) ⇒ V ~ T(x) 

x 

x 

• A jest zbiorem liczb pierwszych, A1=1,A2=2, A3=3, 

A4=5 ..., wtedy twierdzenie „Ai nie jest podzielne 

przez 6” jest tautologią. 

B 

T 

C 

Przesłanka 

Implikacja 

Wniosek 

(A ∧ (AB)) B 

A – „Jan jest kierowcą” 

B – „Jan posiada prawo jazdy” 

Dedukcja modus tollens 

Przesłanka 

Implikacja 

Wniosek 

(⎺B ∧ (AB)) ⎺A 

⎺B – „Jan nie posiada prawa jazdy” 

⎺A – „Jan nie jest kierowcą” 

A 

A → B 

B 

⎺B 

A → B 

⎺A 



Wnioskowanie dedukcyjne 

Załóżmy, że mamy regułę (AB) 

JEŻELI A, TO B ≡ R = ((A × B) ∪ (⎺A × Y)) 

gdzie A jest zdefiniowane na X, a B na Y. 

? czy znając nowy poprzednik A’ możemy 

wywnioskować nowy następnik B’? 

B’ może być znalezione następująco: 

B’ = A’ ° R = A’ ° ((A × B) ∪ (⎺A × Y)) 

Paradoksy logiki dwuwartościowej 

• Golibroda z Sevilli – goli wszystkich i tylko tych 

mężczyzn, którzy sami się nie golą, kto goli golibrodę? 

• Lubię wszystkich tych i tylko tych którzy sami 

siebie nie lubią. 

• Czy kłamca z Krety kłamie gdy mówi – wszyscy 

Kreteńczycy są kłamcami. 

Niech 

S – golibroda sam się goli 

⎺S – golibroda sam się nie goli 

Wtedy 

S ⎺S oraz ⎺S S, tzn. S ↔⎺S, 

czyli T(S) = T(⎺S) = 1 – T(S) 

T(S) = ½ (półprawda – pół fałsz) 


© Maciej Hapke – Logika rozmyta w zastosowaniach inżynierskich 47

Logika rozmyta 

Załóżmy, że twierdzenie P ~ jest przypisane do zbioru 

A ~ , wtedy wartość prawdziwa twierdzenia będzie 

wyrażona: 

(P ~ ) = µ (x) , gdzie µ (x) 

∈ [0, 1] 

T 

A ~ 

Stopień prawdziwości T(P ~ ) jest odpowiada stopniowi 

przynależności x do A ~ . 

A ~ 

Jeżeli x jest A ~ to y jest B ~ 

R ~ = (A ~ × B ~ ) ∪ (A ~ × Y) 

funkcja przynależności 

µ ( x, y) = max[( µ (x) ∧ µ (y)),(1 − (x))] 

A ~ 

R ~ A ~ 

B ~ µ 

Jeżeli x jest A ~ to y jest B ~ , w przeciwnym razie y 

Niech P ~ będzie określone na zbiorze A ~ , a Q ~ na 

zbiorze B ~ . Wtedy 

jest C ~ R ~ = (A ~ × B ~ ) ∪ (A ~ × C ~ ) 

µ x, y) = max[( µ (x) ∧ µ (y)),((1 − µ (x)) ∧ 

( 

R ~ A ~ 

B ~ 

A ~ µ C ~ 

(y))] 

Negacja 

T(P ~ ) = 1− 

T(P ~ ) 

Dysjunkcja 

P ~ v Q ~ : x jest A ~ lub B ~ T(P ~ v Q ~ ) = max(T(P ~ ), T(Q ~ )) 

Koniunkcja 

P ~ ∧ Q ~ : x jest A ~ i B ~ T(P ~ ∧ Q ~ ) = min(T(P ~ ), T(Q ~ )) 

Implikacja [Zadeh, 1973] 

P ~ → Q ~ : x jest A ~ , to y jest B ~ T(P ~ v Q ~ ) = max( T(P ~ ), T(Q ~ )) 



Wnioskowanie przybliżone 

(Wnioskowanie z nieprecyzyjnych twierdzeń) 

Uogólniona (rozmyta) reguła wnioskowania modus 

ponens. 

Przykład: 

Przesłanka 

Implikacja 

x jest A ~ ’ 

Jeżeli x jest A ~ to y jest B ~ 

Wniosek y jest B ~ ’ 

Przesłanka 

Implikacja 

Wniosek 

B ~ ’ = A ~ ’ ° R ~ 

Prędkość samochodu jest „duża” 

Jeżeli prędkość samochodu jest 

„bardzo duża”, to poziom hałasu 

jest „wysoki” 

Poziom hałasu w samochodzie 

jest „średniowysoki” 

Inne operacje rozmytej implikacji 

Implikacja Zadeha (1973) 

µ x, y) = max{min[ µ (x), µ (y)],1 − 

( 

R ~ A ~ B ~ µ A ~ 

Implikacja Mamdani’ego (1976) 

µ x, y) = min{ µ (x), 

( 

R ~ A ~ µ B ~ 

Implikacja Larsena 

µ x,y) = µ (x) * 

( 

R ~ A ~ µ B ~ 

Implikacja Łukasiewicza 

µ x, y) = min{1,[1 − µ (x) + 

Ocena przesłanki 

(y) 

(y)} 

( 

R ~ A ~ µ B ~ 

(y)]} 

(x)} 

Wnioskowanie rozmyte - ocena stopnia spełnienia 

przesłanek poszczególnych reguł i przeniesienie 

go na konkluzje. 

Sposób obliczania stopnia spełnienia przesłanki 

JEŻELI x=A 

A 

µ(x) 

x1 

x 



Przykłady graficzne wnioskowania 

1. Jeżeli x=A to y=B (wejście jest crisp) 

A 

5 6 7 6 7 8 

A 

B 

B 

Obliczenia dla uproszczonej wersji dyskretnej, tzn. 

~ ⎧0 

.5 1 .5 0⎫ 

~ ⎧0 

.5 1 .5 

A = ⎨ + + + + ⎬ B = ⎨ + + + 

⎩5 

5.5 6 6.5 7⎭ 

⎩6 

6.5 7 7.5 

~ ⎧0 

0 0 1 0⎫ 

1. x = 6.5, tzn. A ' = ⎨ + + + + ⎬ (crisp) 

⎩5 

5.5 6 6.5 7⎭ 

~ ⎧0 

0 0 0.5 1⎫ 

2. 

A ' = ⎨ + + + + ⎬ (fuzzy) 

⎩5 

5.5 6 6.5 7⎭ 

Implikacja Mamdaniego i iloczynowa. 

0⎫ 

+ ⎬ 

8⎭ 

5 6 7 6 7 8 

2. Jeżeli x=A to y=B (wejście jest fuzzy) 

A A’ B 

5 6 7 6 7 8 

A A’ B 

5 6 7 6 7 8 

ad.1. 

A’ A\B 6 6.5 7 7.5 8 

0 5 0 0 0 0 0 

0 5.5 0 0.5 0.5 0.5 0 

0 6 0 0.5 1 0.5 0 

1 6.5 0 0.5 0.5 0.5 0 [0 0.5 0.5 0.5 0] 

0 7 0 0 0 0 0 

ad.2. 

A’ A\B 6 6.5 7 7.5 8 

0 5 0 0 0 0 0 

0 5.5 0 0.5 0.5 0.5 0 

0 6 0 0.5 1 0.5 0 

0.5 6.5 0 0.5 0.5 0.5 0 [0 0.5 0.5 0.5 0] 

1 7 0 0 0 0 0 



Rozmyte systemy regułowe 

Struktura systemu rozmytego 

x1 

Fuzzy system 

n inputs 1 output 

y1 

x 1 

x 2 

System 

y 

x2 

Fuzzy system 


y2 

µ(y) 

Fuz Inferencja Defuz 

x 1 

x 2 

xn 

Fuzzy system 


Postać kanoniczna systemu rozmytego 

Reguła 1: JEŻELI c1, TO r1 

Reguła 2: JEŻELI c2, TO r2 

… 

yn 

Nazwa 

oper. 

Fuzyfikacja 

(rozmywanie) 

Oper. • obliczanie stopnia przynależności 

wartości 

wejść modelu do zbiorów 

rozmytych tych 

wejść 

Elem. • funkcje przynależności 

wejść 

Inferencja 

(wnioskowanie) 

• ocena stopnia spełn. 

przesłanek reguł 

• określenie f. przyn. konkluzji 

• określenie wynikowej f. 

przyn. wszystkich reguł 

• baza reguł 

• mechanizm inferencji 

• funkcje przynależności 

wyjścia y 

Defuzyfikacja 

(ostrzenie) 

• zastąpienie zbioru 

rozmytego wartością 

ostrą 

• mechanizm 

defuzyfikacji 



Dekompozycja reguł złożonych 

Wiele koniunkcji poprzedników 

JEŻELI x jest A ~ 1 

oraz … x jest A ~ 

L 

A ~ 

s 

= A ~ ∩ A ~ ∩ ... ∩ A ~ 

µ = 

(x)] 

1 2 

L 

(x) t[ (x),..., 

A ~ µ 

s A ~ µ 

1 

A ~ L 

JEŻELI x jest 

A ~ s 

TO y jest B ~ 

s 

Dla dwóch przesłanek prostych: 

JEŻELI (x 1 =A 1 ) I (x 2 =A 2 ) 

TO y jest B ~ 

s 

to dla x 1 =x 1 * oraz x 2 =x 2 * stopień jej prawdziwości 

jest obliczany 

* * 

* * 

* 

µ (x1,x2 

) = µ 

A A 

(x1,x2 

) t( µ 

A 

(x1), 

µ 

1 ∩ 

= 

1 

1 

R ~ A 2 

gdzie t jest jednym z operatorów t-normy. 

Operatory t-normy 

1. min-operator 

* 

* 

* 

* 

t( µ 

A 

(x1), 

µ 

A 

(x2 

)) = min( µ 

A 

(x1), 

µ 

A 

(x2 

)) 

1 2 

1 

2 

2. iloczyn algebraiczny 

* 

* 

* 

* 

t( µ (x ), µ (x )) = µ (x ) * (x ) 

A 1 A 2 A 1 

µ 

1 2 

1 

A 2 

2 

(x 

* 

2 

)) 

Wiele dysjunkcji poprzedników 

JEŻELI x jest A ~ 1 

lub … x jest A ~ 

L 

A ~ 

s 

= A ~ ∪ A ~ ∪ ... ∪ A ~ 

µ = 

1 2 

L 

(x) max[ (x),..., 

A ~ µ 

s A ~ µ 

1 

A ~ L 

JEŻELI x jest 

A ~ s 

TO y jest B ~ 

s 

Dla dwóch przesłanek prostych: 

(x)] 

TO y jest B ~ 

s 

JEŻELI (x 1 =A 1 ) LUB (x 2 =A 2 ) 

* * 

* * 

* 

µ (x1,x2 

) = µ 

A A 

(x1,x2 

) s( µ 

A 

(x1), 

µ 

1 ∪ 

= 

1 

1 

R ~ A 2 

Operatory s-normy: 

1. max-operator 

* 

* 

* 

* 

s( 

µ 

A 

( x1 

), µ ( x2)) 

max( ( x1 

), ( x2)) 

1 A 

= µ 

2 

A 

µ 

1 A2 

2. suma algebraiczna 

* 

* 

* 

* 

s( 

µ ( x ), µ ( x )) = µ ( x ) + ( x ) 

µ(x) 

µ(x) 

A 1 1 A2 

2 A1 

1 

µ 

A2 

A1 

A2 

x’ 

1 x1 

t,s 

2 

(x 

* 

2 

)) 

x’ 

2 

x2 



Agregacja zbioru reguł rozmytych 

W określaniu strategii agregacji istnieją dwa ekstremalne 

przypadki: 

a. Koniunkcyjny system reguł. 

Wszystkie reguły muszą być spełnione, połączenie 

„and”. 

y = y 1 and y 2 and … and y r 

y = y 1 ∩ y 2 ∩ … ∩ y r 


µ ( y) = min( µ 1 (y), µ 2 (y),..., µ r1 

(y)) 

y 

b. Dysjunkcyjny system reguł. 

y 

y 

y 

dla y ∈ Y 

Tu wymagane jest spełnienie przynajmniej jednej 

reguły. Łącznik „or”. 

y = y 1 or y 2 or … or y r 

y = y 1 ∪ y 2 ∪ … ∪ y r 


µ ( y) = max( µ 1 (y), µ 2 (y),..., µ r1 

(y)) 

y 

y 

y 

y 

dla y ∈ Y 

Graficzne techniki wnioskowania (system 

reguł z wieloma przesłankami) 

Załóżmy rozmyty system regułowy, dysjunkcyjny: 

2 wejścia i 1 wyjście 

4 przypadki: 

1. x1 i x2 są crisp (funkcjami delta), wtedy 

Wg metody wnioskowania Mamdaniego, 

µ ( y) max[min[ k (input(i)), k (input(j))]] k 1,2,...,r 

B ~ = µ 

µ 

= 

k k 

A ~ 1 

A ~ 2 

2. x1 i x2 są crisp (funkcjami delta), wtedy 

Wg metody (max-product inference method) 

µ ( y) = max[ µ (input(i)) ⋅ µ 

k 

k (input(j))] k 1,2,...,r 

B ~ k k 

A ~ 1 

A ~ 

= 

2 

3. x1 i x2 są rozmyte 

Wg metody wnioskowania Mamdaniego 

µ (y) max[min{max[ (x) (x )], 

B ~ = 

µ 

A ~ k ∧ µ 

1 

k 

k 

1 

max[ µ (x) (x2 

)]}] k 1,2,...,r 

A ~ k ∧ µ = 

2 

4. x1 i x2 są rozmyte 

Wg metody wnioskowania max-product 

µ y) = max[max[ µ k (x) ∧ µ (x )],max[ µ (x) ∧ µ (x )]] 

( 

B ~ A ~ 

1 

A ~ 

2 

k 

k 

k 1 

2 



Algorytm inferencji 

Reguła 1: JEŻELI x 1 = A 11 I … I x n = A 1n , TO y = B 1 

… 

Reguła j: JEŻELI x 1 = A j1 I … I x n = A jn , TO y = B j 

… 

Reguła m: JEŻELI x 1 = A m1 I … I x n = A jn , TO y = B m 

Krok 1. 

Określić stopień spełnienia przesłanek poszczególnych 

reguł (agregacja przesłanek, t-norma) 

* 

* 

h = t( µ (x ),..., µ (x )) 

M 

h = t( µ 

M 

h 

1 

j 

m 

A 11 

A j1 

= t( µ 

A m1 

1 

* 

(x ),..., µ 

1 

* 

(x ),..., µ 

1 

A 1n 

A jn 

(x 

A mn 

n 

* 

n 

(x 

)) 

* 

n 

)) 

* 

B1 

µ (y) = t(h , µ (y)) 

M 

* 

B j 

B1 

µ (y) = t(h , µ (y)) 

M 

* 

Bm 

1 

j 

m 

B j 

µ (y) = t(h , µ (y)) 

B m 

Krok 3. 

Określić wynikową funkcję przynależności µ(y) 

przez akumulację zmodyfikowanych funkcji przynależności 

µ (y) 

konkluzji poszczególnych 

* 

reguł 

B j 

µ ( y) = µ * (y) = s( µ * (y),..., * 

µ 

B B 1 

B m 

(y)) 

Krok 2. 

Określić zmodyfikowane funkcje przynależności 

* 

µ 

B j 

(y) konkluzji (następników) poszczególnych reguł 

(inferencja w regułach). Tylko dla reguł, których 

przesłanki spełnione są w stopniu h>0.

Relacje Logika Rozmyta Wnioskowanie Systemy

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?