第十章干涉仪和综合孔径成图

第 十 章 干 涉 仪 和 综 合 孔 径 成 图
郑 兴 武
( 南 京 大 学 天 文 系 )

§10.1 引 言
• 极 限 角 分 辩 率 为
q:
l
/D
• 矛 盾 在 射 电 波 段 最 突 出
射 电 波 长 大 约 是 光 学 的
5
10
倍
• 全 波 段 天 文 观 测 中 , 干 涉 和 综 合 孔 径 技 术 在 射
电 天 文 中 发 展 得 最 好 最 完 美

星 系 和 恒 星 喷 流
Cyg A 喷 流
年 轻 恒 星 喷 流
射 电 天 文 的 重 大 发 现

射 电 天 文 的 重 大 发 现
视 超 光 速 现 象
3C279
GRS1915+105

引 力 透 镜
B2114+022 +022 H1413+117
射 电 天 文 的 重 大 发 现

米 波 射 电 望 远 镜 阵
GMRT 40(?) 45m

射 电 望 远 镜 阵
VLA 27 25m

射 电 望 远 镜 阵
ATCA 6 22m

亚 毫 米 射 电 望 远 镜 阵
SMA 8 9m

ALMA
64 12m
0.3-9.6 mm
150m – 18 km
亚 毫 米 射 电 望 远 镜 阵

VLBI Exploration of Radio Astrometry (VERA)
概 况
4 × 20 m

VLBA

EV
N

目 前 中 国 VLBI 网
(CVN)
2460
2476
3249
2158
1114
1920

射 电 天 文 成 图 的 方 法
• 直 接 成 图 的 方 法 ( 空 间 域 )
• 综 合 孔 径 成 图 的 方 法 ( 空 间 频 率 域 )

单 天 线 射 电 望 远 镜 是 单 像 素 (one pixel) 的 射 电 天 文 观 测 仪 器

一 架 口 径 为 25m, 焦 比 为 f / D = 2, 工 作 在 1cm 波 长
的 射 电 望 远 镜 , 指 向 的 一 个 点 源 , 在 焦 平 面 上 所 生
成 像 的 直 径 为 2cm!
要 获 得 天 空 一 个 区 域 的 一 幅 射 电 图 , 不 是 用 扫
描 观 测 模 式 , 就 是 利 用 多 波 束 观 测 模 式 。
(multiple beam operation)

单 天 线 扫 描 观 测 成 图 的 方 法
得 出 的 真 的 吗 ???
为 什 么 栅 格 间 隔 为
λ /2D
???
10 分 钟 一 点
13.5 个 小 时
太 费 时 间 了 !!!

单 天 线 多 波 束 观 测 成 图 的 方 法

干 涉 阵 和 综 合 孔 径 技 术
• 把 多 个 口 径 比 较 小 的 望 远 镜 综 合 成 一 架 大 的 望 远 镜
• 克 服 单 天 线 辐 射 收 集 面 积 的 限 制
干 涉 仪 阵 总 的 辐 射 收 集 面 积 ( N-
1) N /2A
eff
• 克 服 了 单 天 线 空 间 分 辩 率 的 限 制
干 涉 仪 的 空 间 分 辩 率 等 于 : l / B max

干 涉 阵 和 综 合 孔 径 技 术
• 干 涉 阵 最 大 优 点 还 可 以 一 次 成 像 , 克 服 了 单 天 线 不 能
一 次 观 测 成 图 的 缺 点
• 基 本 原 理
空 间 亮 度 分 布 可 以 傅 里 叶 变 换
∞
−i2πux
I( x) = ∫ V( u)
e du
−∞
称 做 可 见 度 函 数 , 为 空 间 方 向 的 空 间 频 率
单 位 : 周 / 米 或 周 / 弧 度
Vu ( )
u x
什 么 是 空 间 频 率 ??? 空 间 周 期 ???

x
空 间 周 期 和 空 间 频 率
• 方 向 强 度 按 正 弦 规 律 变 化
x i
• 为 空 间 周 期
• 定 义 空 间 频 率
θ i
• 为 空 间 周 期
• 定 义 空 间 频 率
u
u
i
i
= 1/ x
i
= 1/ θ
i

时 间 和 时 间 频 率 ( 一
维 )
∞
−i2πωt
I() t = ∫ I( ω)
e d
−∞
ω
空 间 和 空 间 频 率 ( 一
维 )
= ∫
∞
−i2πux
I( x) V( u)
e du
−∞

空 间 和 空 间 频 率 ( 两
维 )
i2 ( ux y)
I( x, y) = ∫ ∞
∫
∞
− π + ν
V ( u, ν ) e dud
−∞ −∞
只 要 测 到 所 有 的 空 间 频 率 分 量 可 见 度 函 数 ,
经 傅 立 叶 变 换 关 系 完 全 可 以 恢 复 得 到 天 体 的
图 像
Vu ( , ν )
2 π ( ux + ν y)
u
ν
???
???
???
???
ν

§10.2 干 涉 仪 理 论 基 础
没 有 偏 振
随 时 间 变 化 很 缓 慢
距 离 很 远
没 有 任 何 介 质
单 色 源
ε( xy , ) = ε ( xyt , , )e
天 线 1 和 2 接 收 到
r1
ε ( xyt , , − )
E1
( x, y) = c e
r
0
分 母 中
i2πν
t
0 1
i2 πν ( t−
)
1
r1
r
c
E
≈ z r2
2
r2
ε ( xyt , , − )
( x, y) = c e
r
≈
z
0 2
2 ( )
2
i
r
πν t−
c

两 个 天 线 接 收 到 电 磁 信 号 的 空 间 互 相 关 函 数
|r1−
r2 1
r r i2πν
|
c
Rν ( r − r ) = 〈 ε ( x, y, t− ) ε ( x, y, t− )〉
e dxdy
1 2
1 *
2
2
z
0
c
0
c
r2 r1
ε0( xyt , , − ) ≈ε0( xyt , , − )
c
c
r
2 * r
〈 ε
1
0( x, yt , − ) ε0( xyt , , − )〉 = Iν
( xy , )
c c
|r − r
1
2 |
⎡ ( x−ξ) ( y−η)
r z x y z⎢
⎣ 2z
2z
2 2
2 2 2 ⎡ x y ⎤
r1 = z + ( x) + ( y) z⎢1+ + 2
2 2
2
z z
⎥
⎣
⎦ 2
2 2
2 2 2
2
= + ( − ξ) + ( − η) 1+ +
2 2
远 场 情 况 下
2
D
2z

| xξ
|r2
− r1 +
z
yη
z
1 xξ
yη
1
i2 π ( + )
z z
R ( , ) I(, x, y)
e λ
ν
ξη =
dxdy
2
z
若 面 源 的 坐 标 用 角 度 来 表 示
α =
x
z
β =
y
z
dα =
dx
z
dβ =
dy
z
两 个 天 线 之 间 的 距 离 ( 称 基 线 ) 分 量
ξ
λ =
u
η
λ = v 2 π ( α + βv
)
R ( u, ) I( , ) e i u
ν
v = α β dαdβ
对 整 个 源 积 分 有
2 ( )
V ( u, ) I( , ) e i π αu
+ βv
v
d d
= ∫∫ Σ
ν
α β α β
可 见 度 函 数
V ( u, v)
ν
空 间 互 相 关 函 数
− i2 π( αu+
βv
)
Iν( αβ , ) Vν( u, v)
e dud
= ∫∫ Σ
v

重 要 结 论
可 见 度 函 数 : 空 间 互 相 关 函 数
源 的 强 度 缓 慢 变 化
天 体 面 源 是 非 相 干 的 源
空 间 频 率 : 天 线 基 线 两 个 分 量
ξ
λ =
u
η
λ = v
基 线 长 度 为
D
的 天 线 测 量 的 空 间 频 率 为
u
2 2
ξ + η D
+ v = =
λ λ
2 2
测 量 的 是 天 体 空 间 周 期 为
天 线 2 移 动 : 可 以 观 测 到 许 多 空 间 频 率
λ
D
的 分 量
??

分 立 采 样 (discrete sampling) 效 应
实 际 干 涉 阵 得 到 有 限 的
( u, v)
分 立 值
定 义 采 样 函 数 ( 或 称 转 移 函 数 和 权 函 数 )
Wu ( , v)
实 际 可 见 度 函 数 为 :
D
V ( u, v) = V ( u, v) W( u,
v)
ν
实 际 测 量 到 的 天 体 强 度 分 布
ν
∞ ∞
D − i2 π( αu+
βv
)
ν
( α, β) ν( , v) ( , v)
v
−∞ −∞
I V u W u e dud
= ∫ ∫
i2 π( αu
βv
)
Bν
( α, β) = ∫ ∞
∫
∞
− +
W( u, v)
e dud
−∞ −∞
D
I ( α, β) = I ( α, β) ⊗B( α, β)
ν
ν
干 涉 阵 测 量 得 到 的 天 体 强 度 分 布 图 :
实 际 天 体 强 度 分 布 与 综 合 束 的 卷 积
v
干 涉 阵 综 合 束
??

采 样 函 数 圆 对 称 并 等 权 (uniform)
⎧
⎪1
≤ + ≤
Wu ( , v)
= ⎨
⎪⎩ 0 > + >
2 2
qm
u v q0
2 2
qm
u v q0
q0 2π
D
−i2πθρ
cos( φ −ϕ
)
B ( , ) = ∫ ∫ e d d
q 0
ε
ν
θ ϕ ρ ρ φ
2
1( ) 2 2
1( )
D ⎡
G ( )
J υ J ευ
ν
υ
ε
q
m
= qm
=
q0
m
=
⎢
−
⎣ υ
εq
0
ευ
⎤
⎥
⎦
θ
FWHP
=
0.7 λ /
D
max

§10.3 双 天 线 干 涉 仪
假 定 : 单 色 ; 点 源
空 间 频 率 :
Dsinψ
λ
空 间 互 相 关 函 数 :
平 面 电 磁 波
??
天 线 1
天 线 2
E = E cosωt
1 0
D
D
E2 = E1 ( t− cos ψ ) = Ecos ω( t−
cos ψ)
c
c
1 T
R=〈 E1E2〉≅ E
0
1() t E2()
t dt
T
∫
∫
2
E T
0
D
R= cos tcos( t cos ) dt
T
∫ ω − ψ
0
c
2 2
E0 ωD
E0 2πD
R = ψ =
2 c 2 λ
cos ⎡ ⎢
cos ⎤ ⎥
cos ⎡ ⎢
cosψ
⎤
⎣ ⎦ ⎣
⎥
⎦
1 T
2 1 T
2 1
cos ωtdt
= sin tdt
T
0
T∫
ω =
0
2
1
T
∫
T
0
cosωtsinω tdt = 0

2 2
E0 ωD
E0 2πD
R = cos ⎡ cosψ
cos cosψ
2 ⎢ ⎤ =
⎡ ⎤
⎣ c ⎥
⎦ 2 ⎢
⎣ λ ⎥
⎦
R =
E
2
0
cos
2
条 纹 相 位
[ Φ]
改 变 多 少 ,
2π D
Φ= cosψ
λ
ψ Φ 2π
变 了
2π D
ΔΦ = − sinψΔ ψ = 2π
λ
λ
ψ
Dsinψ
Δ = 条 纹 间 隔 ( fringe spacing)
ψ

条 纹 间 隔 ( fringe spacing)
λ
Δ ψ = =
Dsinψ
λ
D
p
源 的 直 径
r
s
>Δ ψ =
λ
D
p
条 纹 消 失
干 涉 仪 条 纹 搜 寻 要 用 点 源

有 限 带 宽 对 干 涉 仪 观 测 的 影 响
带 宽
R
Δω
=
=
1
∫
中 心 频 率
Δω
ω0
+
2
Δω
2
E
2
0
ω 0
⎡ωD
⎤
cos
⎢
cosψ⎥
dω
Δω
ω0
− 2 ⎣ c ⎦
E0
1 c ⎡ωD
⎤
sin cosψ
2 Δω
Dcosψ
⎢
⎣ c ⎥
⎦
Δω
ω +
2 0
2
Δω
ω0
−
2
sin( α ± β) = sinαcos β ± cosαsin
β
cos( α + β) −cos( α − β) = 2sinαsin
β
R
⎡ ΔωD
⎤
2 sin cos
E ⎢ ψ
0 2c
⎥ ⎛ωD
⎞
= ⎢ cos cosψ
2 ΔωD
⎥ ⎜ ⎟
⎢ cosψ
⎥ ⎝ c ⎠
⎣ 2c
⎦

⎡ ΔωD
⎤
2 sin cos
E ⎢ ψ
0 2c
⎥ ⎛ω0D
⎞
R = ⎢ cos cosψ
2 ΔωD
⎥ ⎜ ⎟
⎢ cosψ
⎥ ⎝ c ⎠
⎣ 2c
⎦
D cosψ
τ
g
=
c
2
E ⎡sinπΔντ
⎤
0
g
R = ⎢ ⎥cos 2
2 ⎢⎣
πΔντg
⎥⎦
( πν τ )
0
g

R
2
E ⎡sinπΔντ
⎤
0
g
= ⎢ ⎥cos 2
2 ⎢⎣
πΔντg
⎥⎦
( πν τ )
0
g
为 了 保 证 条 纹 振 幅 接 近 1
1
2πΔ ντ
Δ ν

延 迟 跟 踪
我 们 比 较 精 确 地 知 道 观 测 源 位 置 ψ 0
( 射 电 天 文 称 观 测 相 位 中 心 )
D
预 计 延 迟 τ
0
= cosψ
0
c
⎛ D ⎞
E1 = E0cosω
⎜t−
cosψ
0⎟
⎝ c ⎠
⎛ D ⎞
E2 = E0cosω
⎜t−
cosψ
⎟
⎝ c ⎠
1 2 ⎛ D ⎞ ⎛ D ⎞
R = E0 cos t cos cos t cos
0
dt
T∫
ω⎜ − ψ ⎟ ω⎜ − ψ ⎟
⎝ c ⎠ ⎝ c ⎠
2
E0
ωD
= cos cos −cos
2 c
( ψ ψ0
)
cosψ cosψ − sin ψ ( ψ − ψ ) = cosψ −sinψ Δψ
2
E0
⎡ωD
⎤
R = cos sinψ
0
ψ
2 ⎢
Δ
⎣ c ⎥
⎦
0 0 0 0 0

R
2
E0
⎡ωD
⎤
= cos sinψ
0
ψ
2 ⎢
Δ
⎣ c ⎥
⎦
R
1
∫
Δω
ω +
2
0
2 0
=
Δω
cos sin
0Δ
Δω
ω0
− 2 ⎢
⎣ c ⎥
⎦
2
E
⎡ωD
⎤
ψ ψ dω
E 1 c ⎡ωD
⎤
ψ
Δ Δ ⎣
⎥
⎦
2 0
2
0
= sin sinψ0
2 ω Dsinψ0
ψ ⎢
Δ
c
Δω
ω +
Δω
ω0
−
2
R
⎡ ⎛ΔωD
⎞⎤
2
sin sin
0
E ⎢ ⎜ ψ Δψ
⎟
0 2c
⎥
⎛ωD
⎞
= ⎢
⎝
⎠
⎥cos
sinψ
0
ψ
2 ωD
⎜ Δ ⎟
⎢ Δ
sinψ
c
0Δψ
⎥ ⎝ ⎠
⎢
⎣ 2c
⎥
⎦
原 来
⎡ ΔωD
⎤
2 sin cos
E ⎢ ψ
0 2c
⎥ ⎛ωD
⎞
R = ⎢ cos cosψ
2 ΔωD
⎥ ⎜ ⎟
⎢ cosψ
⎥ ⎝ c ⎠
⎣ 2c
⎦

⎡ ⎛ΔωD
⎞⎤
sin sinψ
ψ
E ⎢ ⎜ Δ ⎟⎥
ωD
R = Δ
2
⎢
⎣ 2c
⎥
⎦
2 0
0 2c
⎛
⎞
⎢
⎝
⎠
⎥cos
sinψ
0
ψ
ωD
⎜
⎟
⎢ Δ
sinψ
c
0Δψ
⎥ ⎝ ⎠
D
实 际 的 几 何 延 迟 τ
g
= cosψ
c
D
预 计 的 延 迟 τ
0
= cosψ
0
c
D
τ
g
− τ0 =− sinψ0Δψ
c
2
E ⎡sin πΔν( τ
0
g
−τ0) ⎤
R = ⎢ ⎥ cos ⎡ 2 πν ( τg
−τ0
) ⎤
2 πΔν( τg
−τ0)
⎣ ⎦
⎢⎣
⎥⎦

由 于 接 收 的 射 电 频 率 很
高 , 条 纹 相 位 变 化 得 很
快 , 不 容 易 测 量 , 我 们
必 须 变 频 。

复 相 关
为 了 得 到 条 纹 振 幅 和 相 位
R
R
E
⎡sin πΔν( τ −τ
) ⎤
⎢ ⎥ cos ⎣ 2 ( ) ⎤
⎦
⎢⎣
⎥⎦
2
1
=
0
g 0
⎡
2 πΔν( τg
−τ0)
πν τg
−τ0
E
⎡sin πΔν( τ −τ
) ⎤
⎢ ⎥ sin ⎣ 2 ( ) ⎤
⎦
⎢⎣
⎥⎦
2
2
=
0
g 0
⎡
2 πΔν( τg
−τ0)
πν τg
−τ0
i
R = R1− iR2
= Ie ΔΦ
ΔΦ = 2 πν( τ −τ)
D
τ
g
− τ0 =− sinψ0Δψ
c
g
0

地 心 赤 道 坐 标 系 , 单 位 源 矢 量
S
S
S
= cosδ
cos H
X s s
= cosδ
sin H
Y s s
Z
= sinδ
基 线 矢 量
D = Dcosδ
cos H
s
X B B
D = Dcosδ
sin H
Y B B
基 线 投 影
DZ
= Dsinδ
B
r r
D⋅
S 1
r = ( SXDX + SYDY + SZDZ
) = cos ψ
| D | D
= sinδ sinδ + cosδ cosδ
cos( H −H
)
B S B S s B
2π D
∂Φ ∂Φ
cosψ
ΔΦ = Δ α + Δδ
λ
2π
D
α
s
= tr − H ΔΦ = {cos
s
[ δBcosδS sin( HS − HB)
] ΔαS
λ
+ sinδ cosδ −cosδ sinδ cos( H −H
) Δδ
}
Φ= S S
∂αS
∂δS
[ ]
B S B S S B S

垂 直 与 恒 星 方 向 天 球 切 平 面 上
Δ α = cosδ S
Δα
S
Δ β =Δδ
S
D
u = cosδ
Bsin( HS −HB)
λ
D
v = [sinδBcosδS −cosδBsinδS cos( HS −HB)]
λ
ΔΦ = 2 π ( uΔ α + vΔβ)
R= I( Δα, Δβ) e i π u α β
2 ( Δ + vΔ
)
注 意 相 对 与 干 涉 仪 的 相 位 中 心
∫∫
2 ( )
V ( u, ) I( , ) e i π Δ αu+Δβ
v
v
d d
Σ
ν
= Δα Δβ Δα Δβ
∞ ∞
−i2 π( Δ αu+Δβv
)
Iν( α, β) Vν( u, v)
e dud
−∞ −∞
Δ Δ =∫ ∫
定 义 向 东 , 向 北
u v
v

A
1
δ = 0 基 线 东 西 向
B
天 体 在 任 意 方 向
D
u = sin( HS
−HB)
λ
D
v =− sinδ
S
cos( HS −HB)]
λ
轨 迹 为 椭 圆
2
3
B
0
δ
S
= 90 天 体 在 北 极
D
u = sin( HS
−HB)
λ
D
v =− cos( HS
−HB)
λ
δ
S
=
0
D
u = sin( HS
−HB)
λ
v = 0
δ
B
=
0
90
天 体 赤 道 上
基 线 南 北 向
轨 迹 为 圆
轨 迹 为 直 线
u = 0
D
v = cosδ
S
λ
轨 迹 只 有 一 点

可 见 度 函 数 是 偶 函 数
V ( u, v) = V ( −u, −v)
ν
ν
只 要 测 量 一 半
如 果 天 线 2 移 动
12 小 时 的 跟 踪
天 线 2 移 动 方 式
7 小 时 的 跟 踪

§10.3 综 合 孔 径 干 涉 仪
Westbork , 荷 兰
最 早 干 涉 阵
25m × 14
东 西 向
地 球 自 转 综 合

Westbork 干 涉 阵 UV 覆 盖

圆 设 计 :
有 比 较 多 的 长 的 基 线
螺 旋 设 计 :
有 比 较 多 的 短 的 基 线
随 机 设 计 :
有 比 较 少 的 多 余 基 线
圆 形 设 计 N=45
螺 旋 形 设 计 N=45
随 机 设 计 N=45

§10.4 消 卷 积 (CLEAN 技 术 )
实 际 干 涉 阵 得 到 有 限 的
( u, v)
分 立 值
定 义 采 样 函 数 ( 或 称 转 移 函 数 和 权 函 数 )
Wu ( , v)
实 际 可 见 度 函 数 为 :
D
V ( u, v) = V ( u, v) W( u,
v)
ν
实 际 测 量 到 的 天 体 强 度 分 布
ν
∞ ∞
D − i2 π( αu+
βv
)
ν
( α, β) ν( , v) ( , v)
v
−∞ −∞
I V u W u e dud
= ∫ ∫
i2 π( αu
βv
)
Bν
( α, β) = ∫ ∞
∫
∞
− +
W( u, v)
e dud
−∞ −∞
D
I ( α, β) = I ( α, β) ⊗B( α, β)
ν
ν
干 涉 阵 测 量 得 到 的 天 体 强 度 分 布 图 :
实 际 天 体 强 度 分 布 与 综 合 束 的 卷 积
v
干 涉 阵 综 合 束
点 扩 散 函 数

对 点 源 的 响 应
D
I ( α, β) = δ( αβ , ) ⊗B( αβ , ) =B( αβ , )
ν
ν
点 源 的 响 应 好 坏 决 定 成 图 的 质 量

脏 图 (Dirty map)

脏 束 (Dirty beam)

CLEAN 技 术 对 点 源 洁 化 示 意 图

CLEAN 技 术 步 骤
• 1) 在 脏 图 中 找 到 极 大 值 , 乘 上 一 个 因 子 (r

洁 化 过 程

洁 图 (Clean map)