Teorija brojeva - PMF
Teorija brojeva - PMF
Teorija brojeva - PMF
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Doktorski studij matematičkih nauka Jugoistočne Evrope<br />
TEMPUS-SEE<br />
Silabus doktorskog kursa<br />
<strong>Teorija</strong> <strong>brojeva</strong><br />
Muharem Avdispahić 1<br />
Odsjek za matematiku, Univerzitet u Sarajevu<br />
Stefan Dodunekov 2<br />
Institut za matematiku i informatiku<br />
Bugarska akademija nauka<br />
Wolfgang A. Schmid 3<br />
Univerzitet u Grazu /Politehnika Paris<br />
Ciljevi<br />
Teoriju <strong>brojeva</strong> oduvijek odlikuje to da neki izazovni problemi čija formulacija je i<br />
nematematičarima lako razumljiva, tokom veoma dugog razoblja odolijevaju intenzivnim<br />
naporima usmjerenim na nalaženje njhova rješenja. U tom procesu, teorija <strong>brojeva</strong> je značajno<br />
utjecala i utječe na razvoj mnogih matematičkih disciplina. Nekoliko epohalnih dostignuća tokom<br />
posljednjih desetljeća, s jedne strane, kao i neslućeno veliko područje primjena s druge,<br />
uvišestručili su interes matematičara za istraživanja u ovoj oblasti. Program predmeta je<br />
struktuiran tako da doktorantima pruži uvid u neka od aktualnih područja analitičke, algebarske i<br />
algoritamske teorije <strong>brojeva</strong>. Izbor naprednih tema za produbljeno razmatranje ovisiće od<br />
iskazanog interesa učesnika.<br />
Potrebna predznanja<br />
Potrebna predznanja se razlikuju od modula do modula I kreću se od elementarne teorije <strong>brojeva</strong>,<br />
kompleksne analize, tehnika Fourierove analize, standardnog kursa algebre (osnovne činjenice<br />
teroije konačnih grupa, komutativnih prstena, ideala, proširenja polja) do baza podataka i vještina<br />
u programiranju.<br />
Moduli (po 20 časova svaki)<br />
I. Analitička teorija <strong>brojeva</strong><br />
predavač: prof. dr. Muharem Avdispahić, Univerzitet u Sarajevu<br />
II. Algebarska teorija <strong>brojeva</strong><br />
predavač: vanr. prof. dr. Ivan Chipchakov, IMI, Bugarska akademija nauka<br />
III. Algoritamska teorija <strong>brojeva</strong><br />
predavač: dr. habil. Wolfgang A. Schmid, Univerzitet u Grazu/Politehnika Paris<br />
1 mavdispa@pmf.unsa.ba<br />
2 stedo@math.bas.bg<br />
3 wolfgang.schmid@uni-graz.at
Analitička teorija <strong>brojeva</strong><br />
Eulerov dokaz beskonačnosti niza prostih <strong>brojeva</strong><br />
Dirichletov teorem o prostim brojevima u aritmetičkom nizu<br />
Funkcionalna jednadžba za Riemannovu zeta funkciju<br />
Teorem o prostim brojevima<br />
Selbergova klasa funkcija<br />
Poissonova sumaciona formula kao formula traga<br />
Weilov funkcional<br />
Hiperbolička geometrija<br />
Laplace-Beltramijev operator<br />
Selbergova formula traga<br />
Selbergova zeta funkcija i teoremi o prostim geodezijskim linijama<br />
Eksplicitne formule u fundamentalnoj klasi<br />
Algebarska teorija <strong>brojeva</strong><br />
Polja <strong>brojeva</strong> i algebarski cijeli brojevi<br />
Jedinstvena faktorizacija ideala<br />
Grupa klasa ideala<br />
Dirichletov teorem o jedinicama<br />
p-adska polja i princip lokalnog i globalnog<br />
Dedekindova zeta i Heckeova L-funkcija<br />
Eliptičke krive nad poljima <strong>brojeva</strong><br />
Zeta funkcija eliptičke krive<br />
Hipoteza Bircha i Swinnerton-Dyera<br />
Shimura-Taniyama i posljednji Fermatov teorem<br />
Algoritamska teorija <strong>brojeva</strong><br />
Osnovni algoritmi i neki algoritmi elementarne teorije <strong>brojeva</strong><br />
Algoritamska linearna algebra za teoriju <strong>brojeva</strong><br />
Osnovni zadaci računske algebarske teorije <strong>brojeva</strong><br />
Primjene u kriptografiji<br />
Testiranje prostosti i faktorizacija<br />
Računski problemi nejedinstvene factorizacije<br />
Najnovija dostignuća
Literatura<br />
U cilju općeg uvida u problematiku oblasti, korisno je pogledati neke od preglednih članaka<br />
vezanih za teoriju <strong>brojeva</strong> unutar izdanja<br />
T. Gowers (ed.), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press,<br />
Princeton 2008, posebno: B. Mazur, Algebraic numbers (pp. 315-332); A. Granville, Analytic<br />
Number Theory (332-348); C. Pomerance, Computational Number Theory (348-362).<br />
Bliži uvid u neku od tema i metoda aktualnih istraživanja daju npr. članci<br />
E. Bombieri,The Rosetta Stone of $L$-functions. Perspectives in analysis, 1--15, Math. Phys.<br />
Stud., 27, Springer, Berlin 2005<br />
K. Soundararajan, Small gaps between prime numbers; the work of Goldston-Pintz-Yildrim.<br />
Bulletin of the American Mathematical Society 44 (2007), no. 1, 1-18<br />
Zainteresovani-a učesnik-ca može naći korisnim i uvid u sljedeći rad u kom je riješen značajan<br />
problem, a bez upotrebe toliko komplikovane tehnike koliko se za postizanje tog rezultata moglo<br />
očekivati<br />
M. Agrawal, N. Kayal, N. Saxena, PRIMES is in P. Ann. of Math. (2) 160 (2004), no. 2, 781--<br />
793.<br />
Privlačne su kratke elegantne knjige poput<br />
H.P.F. Swinnerton-Dyer, A brief guide to algebraic number theory. London Mathematical Society<br />
Student Texts, 50. Cambridge University Press, Cambridge, 2001. x+146 pp.<br />
G. Tenenbaum, M. Mendès France, The prime numbers and their distribution. Student<br />
Mathematical Library, 6. American Mathematical Society, Providence, RI, 2000. xx+115 pp<br />
D. J. Newman, Analytic number theory. Graduate Texts in Mathematics, 177. Springer-Verlag,<br />
New York, 1998. viii+76 pp.<br />
Na kraju se mora posegnuti za djelima u kojim se odgovarajuća oblast izlaže obuhvatnije i<br />
potpunije. Neka od takvih djela su:<br />
H. Cohen, A course in computational algebraic number theory. Graduate Texts in Mathematics,<br />
138. Springer-Verlag, Berlin, 1993<br />
H. Iwaniec, E. Kowalski, Analytic number theory. American Mathematical Society Colloquium<br />
Publications, 53. American Mathematical Society, Providence, RI, 2004<br />
Yu. I. Manin, A. A. Panchishkin, Introduction to modern number theory. Fundamental problems,<br />
ideas and theories. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 49. Springer-Verlag, Berlin, 2005<br />
H. L. Montgomery, R. C. Vaughan, Multiplicative number theory I. Classical theory, Cambridge<br />
Studies in Advanced Mathematics, 97. Cambridge University Press, Cambridge 2006<br />
W. Narkiewicz, Elementary and analytic theory of algebraic numbers. Third edition. Springer<br />
Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2004<br />
J. Neukirch, Algebraic number theory. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 322.<br />
Springer-Verlag, Berlin, 1999<br />
Ocjenjivanje<br />
Zadaće 20%<br />
Projekt 40%<br />
Završni ispit 40%
Change language