Tématické okruhy ke státní zkoušce z matematiky a a didaktiky ...

Tématické okruhy k magisterské státní závěrečné zkoušce z učitelství
matematiky pro 2. stupeň ZŠ
Státní závěrečná magisterská zkouška v navazujícím magisterském studiu učitelství matematiky pro
ZŠ je pouze ústní. Student si vylosuje z každého níže uvedeného oddílu A, B, C jednu otázku, přičemž
u zkoušky musí prokázat základní teoretickou podstatu dané problematiky jako nezbytný teoretický
základ učiva matematiky základní školy. Dále student prokáže schopnost didaktické transformace
odborných matematických poznatků do učiva základní, resp. střední školy (v rámci nutného nadhledu
učitele na zadané téma).
A) MATEMATICKÁ ANALÝZA
1. Reálné funkce reálné proměnné
Definice, způsoby vyjádření funkcí, rovnost funkcí, vlastností funkcí, grafy funkcí, složené funkce,
inverzní funkce, elementární funkce.
2. Limita a spojitost reálných funkcí, limitní procesy
Limita funkce jedné reálné proměnné, jednostranné limity, vlastní limita ve vlastním bodě, vlastní
limita v nevlastním bodě, nevlastní limita ve vlastním bodě, nevlastní limita v nevlastním bodě,
způsoby výpočtu, věty o limitách funkcí, spojitost funkcí, vlastnosti funkcí spojitých v bodě a na
intervalech.
3. Derivace a diferenciál funkce jedné proměnné
Derivace a diferenciál funkce jedné proměnné – definice, geometrická interpretace. Věta o střední
hodnotě. Aplikace derivací. Taylorova věta.
4. Průběh funkce jedné proměnné, funkce v učivu školské matematiky
Vyšetřování průběhu funkce jedné proměnné (monotonie, lokální a globální extrémy, konvexnost,
konkávnost, inflexní body, asymptoty). Graf funkce.
5. Základy diferenciálního počtu funkcí více proměnných
Limita, spojitost, parciální derivace, extrémy, geometrická interpretace parciální derivace funkce
v bodě.
6. Primitivní funkce, základní integrační metody, výuka integračních metod na SŠ
Primitivní funkce a neurčitý integrál, základní integrační metody, integrování elementárních, zejména
racionálních funkcí a některých iracionálních a transcendentních funkcí. Užití integrálního počtu při
výpočtu povrchů a objemů těles, která jsou v učivu matematiky ZŠ.
7. Riemannův integrál funkce jedné proměnné a jeho užití
Určitý (Riemannův) integrál funkce jedné proměnné, vlastnosti, výpočet, integrál jako funkce horní a
dolní meze, integrály nevlastní. Užití integrálu (obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa,
délka rovinné křivky, povrch plochy vzniklé rotací oblouku křivky). Jordanova míra.
8. Posloupnosti a řady čísel a jejich využití v učivu základních a středních škol
Základní pojmy a vlastnosti, konvergence a divergence, kritéria konvergence řad, řady s kladnými
členy, řady alternující, součet řad.
9. Posloupnosti a řady funkcí, možnosti využití na základní a střední škole
Základní pojmy, bodová a stejnoměrná konvergence, mocninné řady, vlastnosti, řada Taylorova a
Maclaurinova, užití mocninných řad.

10. Diferenciální rovnice a jejich aplikace
Základní vlastnosti, metody řešení, vybrané rovnice 1. řádu (zejména separovatelné, homogenní a
lineární), lineární diferenciální rovnice 2. řádu nejen s konstantními koeficienty s pravou stranou i bez.
Metody řešení.
B.) ALGEBRA A GEOMETRIE
1. Binární relace a jejich vlastnosti, relace v učivu školské matematiky
Definice, vlastnosti relací, grafy binárních relací. Relace zobrazení, uspořádání, ekvivalence, příklady
těchto relací. Relace a zobrazení ve školské matematice.
2. Algebraické struktury s jednou operací a jejich využití v učivu školské matematiky
Pojem binární algebraické operace, vlastnosti bin. alg. operací, algebraické struktury s jednou operací
(grupoid, pologrupa, grupa) a jejich homomorfismy. Algebraické operace v učivu matematiky na ZŠ.
3. Algebraické struktury se dvěma operacemi a jejich využití v učivu školské matematiky
Algebraické struktury se dvěma operacemi (polokruh, okruh. Obor integrity, těleso) a jejich
homomorfismy. Užití ve školské matematice.
4. Vektorové prostory, vektory na základní a střední škole
Definice, příklady. Podprostory vektorového prostor. Lineární kombinace vektorů, lineární závislost a
nezávislost vektoru. Báze a dimenze vektorového prostoru. Souřadnice vektorů v dané bázi. Věta o
dimenzi součtu a průniku podprostorů. Vektory a jejich užití v učivu matematiky na ZŠ a SŠ.
5. Lineární zobrazení
Lineární transformace a její matice. Podobné matice. Vlastní vektory a vlastní hodnoty lineární
transformace.
6. Matice a determinanty, možnosti využití na SŠ
Typ matice, algebra matic, okruh matic nad tělesem reálných čísel, hodnost matice, inverzní matice.
Permutace konečných množin přirozených čísel. Determinanty, rozvoj determinantu podle řádu či
sloupce (Laplaceova věta).
7. Soustavy lineárních rovnic a jejich řešení v učivu školské matematiky
Homogenní a nehomogenní soustavy, lineární rovnice a jejich řešitelnost, Frobeniova věta. Metody
řešení.
8. Euklidovský prostor a jeho aplikace na SŠ
Definice skalárního součinu a jeho vlastnosti. Velikost vektorů, Cauchy-Bunjakovskho nerovnost.
Odchylka vektorů, Gramm-Schmidtův ortogonalizační proces. Užití v učivu matematiky na SŠ.
9. Polynomy, řešení algebraických rovnic
Definice polynomu, operace s polynomy. Kořeny polynomů, rozklad polynomů, největší společný
dělitel a nejmenší společný násobek polynomů. Binomické a reciproké rovnice. Řešení algebraických
rovnic na ZŠ a SŠ.
10. Konstrukce oborů N, Z a Q; číselné obory ve školské matematice
Peanova algebra přirozených čísel, upořádání přirozených čísel. Vnoření polokruhu přirozených čísel
do okruhu celých čísel Uspořádání celých čísel Vnoření okruhu celých čísel do tělesa racionálních
čísel. Číselné obory v učivu matematiky 2. stupně ZŠ.
11. Konstrukce těles R a C a jejich zavádění na střední škole

Pojem řezu, druhy řezů. Řezy v uspořádané množině racionálních čísel. Iracionální čísla, jejich sčítání
a násobení. Vnoření tělesa racionálních čísel do tělesa reálných čísel. Rozšíření tělesa reálných čísel na
těleso komplexních čísel. Operace s komplexními čísly. Aplikace ve školské matematice.
12. Kardinální čísla a jejich užití v učivu školské matematiky
Ekvivalentní množiny a jejich mohutnost. Definice kardinálního čísla, součet, součin a mocnina
kardinálních čísel. Uspořádání kardinálních čísel, Cantor-Bernsteinova věta. Budování přirozených
čísel jako čísel kardinálních.
13. Ordinální čísla a jejich užití v učivu školské matematiky
Ordinální typ dobře uspořádané množiny, součet a součin ordinálních typů. Ordinální čísla součet a
součin ordinálních čísel. Uspořádání ordinálních čísel. Budování přirozených čísel jako čísel
ordinálních.
14. Vzájemná poloha afinních podprostorů
Afinní prostor a podprostor, obecné a parametrické vyjádření podprostoru, pojem rovnoběžnosti,
vzájemná poloha afinních podprostorů zejména v rovině a prostoru
15. Vzdálenosti a odchylky afinních podprostorů:
Skalární součin, pojem kolmosti, vzdálenost bodů, odchylka vektorů, vzdálenost a odchylka obecných
afinních podprostorů, obsahy a objemy, způsoby určení zejména v rovině a prostoru
16. Shodná zobrazení
Definice, vlastnosti a maticové vyjádření, samodružné body a směry, klasifikace a rozklady zejména v
rovině a prostoru, užítí shodností při řešení konstrukčních úloh.
17. Podobná zobrazení
Definice, vlastnosti a maticové vyjádření, samodružné body a směry, klasifikace a rozklady zejména v
rovině a prostoru, užítí podobností při řešení konstrukčních úloh
C) DIDAKTIKA MATEMATIKY
Při státní zkoušce z didaktiky matematiky má student prokázat způsobilost k učitelství matematiky
na ZŠ:
- znalost odborného teoretického základu učiva a didaktického zpracování jednotlivých témat
- mít přehled o učivu matematiky základní školy
- prokázat znalosti metod a forem práce vhodných pro výuku matematiky na ZŠ
1. Metody a formy práce vyučování matematice
Metody motivační, expoziční, fixační, diagnostické a klasifikační. Samostatná práce, skupinová práce,
problémové vyučování, projektové vyučování.
Metody práce v matematice – analýza, syntéza, indukce, dedukce, zobecňování, abstrakce.
2. Individuální přístup k žákům, zájmová činnost v matematice
Vzdělávání žáků vhledem k jejich specifickým vzdělávacím potřebám. Péče o žáky s problémy
v matematice, péče o žáky s poruchami učení, péče o žáky talentované
Matematické soutěže, zájmová činnost, literatura pro tuto činnost.
3. Přehled materiálních prostředků v matematickém vzdělávání
Prostředky literární, prostředky technické, prostředky výpočetní techniky, multimedia.
4. Vytváření představ a pojmů v matematice

Pojmy, jejich vlastnosti, klasifikace pojmů. Zavádění základních pojmů v matematice. Axiomy,
definice, věty, důkazy matematických vět, příklady. Formulace matematických vět ve školské
matematice a jejich ověřování.
5. Budování číselných oborů
Přístup k rozšiřování číselných oborů z hlediska historického, z hlediska algebraického, ve školské
matematice. Přirozená čísla, jejich zavedení. Numerace, operace s přirozenými čísly, vlastnosti
operací. Čísla celá, racionální – zavedení, numerace, operace. Intuitivní zavedení reálných čísel ve
školské matematice.
Témata navazující: dělitelnost v oboru přirozených čísel, procentový počet, základy finanční
matematiky, mocniny, odmocniny.
6. Přístupy k řešení rovnic a nerovnic v průběhu školního vzdělávání
Rovnost, rovnice, nerovnost, nerovnice. Klasifikace rovnic, druhy rovnic řešených na ZŠ.
Postupy při řešení rovnic, úpravy ekvivalentní a důsledkové. Rovnice lineární, kvadratické, diskuse
počtu jejich řešení.
Soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, metody jejich řešení. Neurčité rovnice. Řešení
nerovnic.
7. Pojem funkce ve školské matematice
Přístupy k zavedení pojmu funkce (zobrazení, přiřazení). Definice a vlastnosti funkcí. Funkce lineární,
funkce kvadratické, funkce racionální lomená, funkce goniometrické.
8. Planimetrie v kurzu školské matematiky
Základní geometrické pojmy (bod, přímka, rovina) a pojmy odvozené (polopřímka, polorovina,
úsečka). Úhel, trojúhelník, čtyřúhelníky, kružnice, kruh. Metodika řešení konstrukčních úloh.
9. Geometrická zobrazení
Geometrická zobrazení shodná a podobná
10. Výuka stereometrie na základní škole
Polohové a metrické vlastnosti geometrických útvarů v prostoru. Odvození vztahů pro výpočty
povrchů a objemů těles.
11. Historie matematiky a filosofické směry v matematice
Klasifikace historických období ve vývoji matematiky, významné výsledky, využití ve školské
matematice. Vývoj matematiky v současném období.
12. Historie vyučování matematice
Základní dokumenty, které měly vliv na postavení školské matematiky, matematika v současné škole
.
13. Základy diskrétní matematiky
Kombinatorika a její využití v matematice základní školy. Prvky teorie grafů ve školské matematice.
14. Pravděpodobnost a statistika ve školské matematice
Základy statistiky v učivu matematiky ZŠ. Rozvoj pravděpodobnostního myšlení.
15. Kurikulární dokumenty
Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání, školní vzdělávací programy.
Cílové zaměření vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace
Rozvoj klíčových kompetencí žáků