Tématické okruhy ke státní zkoušce z matematiky a a didaktiky ...

ped.muni.cz

Tématické okruhy ke státní zkoušce z matematiky a a didaktiky ...

Tématické okruhy k magisterské státní závěrečné zkoušce z učitelství

matematiky pro 2. stupeň ZŠ

Státní závěrečná magisterská zkouška v navazujícím magisterském studiu učitelství matematiky pro

ZŠ je pouze ústní. Student si vylosuje z každého níže uvedeného oddílu A, B, C jednu otázku, přičemž

u zkoušky musí prokázat základní teoretickou podstatu dané problematiky jako nezbytný teoretický

základ učiva matematiky základní školy. Dále student prokáže schopnost didaktické transformace

odborných matematických poznatků do učiva základní, resp. střední školy (v rámci nutného nadhledu

učitele na zadané téma).

A) MATEMATICKÁ ANALÝZA

1. Reálné funkce reálné proměnné

Definice, způsoby vyjádření funkcí, rovnost funkcí, vlastností funkcí, grafy funkcí, složené funkce,

inverzní funkce, elementární funkce.

2. Limita a spojitost reálných funkcí, limitní procesy

Limita funkce jedné reálné proměnné, jednostranné limity, vlastní limita ve vlastním bodě, vlastní

limita v nevlastním bodě, nevlastní limita ve vlastním bodě, nevlastní limita v nevlastním bodě,

způsoby výpočtu, věty o limitách funkcí, spojitost funkcí, vlastnosti funkcí spojitých v bodě a na

intervalech.

3. Derivace a diferenciál funkce jedné proměnné

Derivace a diferenciál funkce jedné proměnné – definice, geometrická interpretace. Věta o střední

hodnotě. Aplikace derivací. Taylorova věta.

4. Průběh funkce jedné proměnné, funkce v učivu školské matematiky

Vyšetřování průběhu funkce jedné proměnné (monotonie, lokální a globální extrémy, konvexnost,

konkávnost, inflexní body, asymptoty). Graf funkce.

5. Základy diferenciálního počtu funkcí více proměnných

Limita, spojitost, parciální derivace, extrémy, geometrická interpretace parciální derivace funkce

v bodě.

6. Primitivní funkce, základní integrační metody, výuka integračních metod na SŠ

Primitivní funkce a neurčitý integrál, základní integrační metody, integrování elementárních, zejména

racionálních funkcí a některých iracionálních a transcendentních funkcí. Užití integrálního počtu při

výpočtu povrchů a objemů těles, která jsou v učivu matematiky ZŠ.

7. Riemannův integrál funkce jedné proměnné a jeho užití

Určitý (Riemannův) integrál funkce jedné proměnné, vlastnosti, výpočet, integrál jako funkce horní a

dolní meze, integrály nevlastní. Užití integrálu (obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa,

délka rovinné křivky, povrch plochy vzniklé rotací oblouku křivky). Jordanova míra.

8. Posloupnosti a řady čísel a jejich využití v učivu základních a středních škol

Základní pojmy a vlastnosti, konvergence a divergence, kritéria konvergence řad, řady s kladnými

členy, řady alternující, součet řad.

9. Posloupnosti a řady funkcí, možnosti využití na základní a střední škole

Základní pojmy, bodová a stejnoměrná konvergence, mocninné řady, vlastnosti, řada Taylorova a

Maclaurinova, užití mocninných řad.


10. Diferenciální rovnice a jejich aplikace

Základní vlastnosti, metody řešení, vybrané rovnice 1. řádu (zejména separovatelné, homogenní a

lineární), lineární diferenciální rovnice 2. řádu nejen s konstantními koeficienty s pravou stranou i bez.

Metody řešení.

B.) ALGEBRA A GEOMETRIE

1. Binární relace a jejich vlastnosti, relace v učivu školské matematiky

Definice, vlastnosti relací, grafy binárních relací. Relace zobrazení, uspořádání, ekvivalence, příklady

těchto relací. Relace a zobrazení ve školské matematice.

2. Algebraické struktury s jednou operací a jejich využití v učivu školské matematiky

Pojem binární algebraické operace, vlastnosti bin. alg. operací, algebraické struktury s jednou operací

(grupoid, pologrupa, grupa) a jejich homomorfismy. Algebraické operace v učivu matematiky na ZŠ.

3. Algebraické struktury se dvěma operacemi a jejich využití v učivu školské matematiky

Algebraické struktury se dvěma operacemi (polokruh, okruh. Obor integrity, těleso) a jejich

homomorfismy. Užití ve školské matematice.

4. Vektorové prostory, vektory na základní a střední škole

Definice, příklady. Podprostory vektorového prostor. Lineární kombinace vektorů, lineární závislost a

nezávislost vektoru. Báze a dimenze vektorového prostoru. Souřadnice vektorů v dané bázi. Věta o

dimenzi součtu a průniku podprostorů. Vektory a jejich užití v učivu matematiky na ZŠ a SŠ.

5. Lineární zobrazení

Lineární transformace a její matice. Podobné matice. Vlastní vektory a vlastní hodnoty lineární

transformace.

6. Matice a determinanty, možnosti využití na SŠ

Typ matice, algebra matic, okruh matic nad tělesem reálných čísel, hodnost matice, inverzní matice.

Permutace konečných množin přirozených čísel. Determinanty, rozvoj determinantu podle řádu či

sloupce (Laplaceova věta).

7. Soustavy lineárních rovnic a jejich řešení v učivu školské matematiky

Homogenní a nehomogenní soustavy, lineární rovnice a jejich řešitelnost, Frobeniova věta. Metody

řešení.

8. Euklidovský prostor a jeho aplikace na SŠ

Definice skalárního součinu a jeho vlastnosti. Velikost vektorů, Cauchy-Bunjakovskho nerovnost.

Odchylka vektorů, Gramm-Schmidtův ortogonalizační proces. Užití v učivu matematiky na SŠ.

9. Polynomy, řešení algebraických rovnic

Definice polynomu, operace s polynomy. Kořeny polynomů, rozklad polynomů, největší společný

dělitel a nejmenší společný násobek polynomů. Binomické a reciproké rovnice. Řešení algebraických

rovnic na ZŠ a SŠ.

10. Konstrukce oborů N, Z a Q; číselné obory ve školské matematice

Peanova algebra přirozených čísel, upořádání přirozených čísel. Vnoření polokruhu přirozených čísel

do okruhu celých čísel Uspořádání celých čísel Vnoření okruhu celých čísel do tělesa racionálních

čísel. Číselné obory v učivu matematiky 2. stupně ZŠ.

11. Konstrukce těles R a C a jejich zavádění na střední škole


Pojem řezu, druhy řezů. Řezy v uspořádané množině racionálních čísel. Iracionální čísla, jejich sčítání

a násobení. Vnoření tělesa racionálních čísel do tělesa reálných čísel. Rozšíření tělesa reálných čísel na

těleso komplexních čísel. Operace s komplexními čísly. Aplikace ve školské matematice.

12. Kardinální čísla a jejich užití v učivu školské matematiky

Ekvivalentní množiny a jejich mohutnost. Definice kardinálního čísla, součet, součin a mocnina

kardinálních čísel. Uspořádání kardinálních čísel, Cantor-Bernsteinova věta. Budování přirozených

čísel jako čísel kardinálních.

13. Ordinální čísla a jejich užití v učivu školské matematiky

Ordinální typ dobře uspořádané množiny, součet a součin ordinálních typů. Ordinální čísla součet a

součin ordinálních čísel. Uspořádání ordinálních čísel. Budování přirozených čísel jako čísel

ordinálních.

14. Vzájemná poloha afinních podprostorů

Afinní prostor a podprostor, obecné a parametrické vyjádření podprostoru, pojem rovnoběžnosti,

vzájemná poloha afinních podprostorů zejména v rovině a prostoru

15. Vzdálenosti a odchylky afinních podprostorů:

Skalární součin, pojem kolmosti, vzdálenost bodů, odchylka vektorů, vzdálenost a odchylka obecných

afinních podprostorů, obsahy a objemy, způsoby určení zejména v rovině a prostoru

16. Shodná zobrazení

Definice, vlastnosti a maticové vyjádření, samodružné body a směry, klasifikace a rozklady zejména v

rovině a prostoru, užítí shodností při řešení konstrukčních úloh.

17. Podobná zobrazení

Definice, vlastnosti a maticové vyjádření, samodružné body a směry, klasifikace a rozklady zejména v

rovině a prostoru, užítí podobností při řešení konstrukčních úloh

C) DIDAKTIKA MATEMATIKY

Při státní zkoušce z didaktiky matematiky má student prokázat způsobilost k učitelství matematiky

na ZŠ:

- znalost odborného teoretického základu učiva a didaktického zpracování jednotlivých témat

- mít přehled o učivu matematiky základní školy

- prokázat znalosti metod a forem práce vhodných pro výuku matematiky na ZŠ

1. Metody a formy práce vyučování matematice

Metody motivační, expoziční, fixační, diagnostické a klasifikační. Samostatná práce, skupinová práce,

problémové vyučování, projektové vyučování.

Metody práce v matematice – analýza, syntéza, indukce, dedukce, zobecňování, abstrakce.

2. Individuální přístup k žákům, zájmová činnost v matematice

Vzdělávání žáků vhledem k jejich specifickým vzdělávacím potřebám. Péče o žáky s problémy

v matematice, péče o žáky s poruchami učení, péče o žáky talentované

Matematické soutěže, zájmová činnost, literatura pro tuto činnost.

3. Přehled materiálních prostředků v matematickém vzdělávání

Prostředky literární, prostředky technické, prostředky výpočetní techniky, multimedia.

4. Vytváření představ a pojmů v matematice


Pojmy, jejich vlastnosti, klasifikace pojmů. Zavádění základních pojmů v matematice. Axiomy,

definice, věty, důkazy matematických vět, příklady. Formulace matematických vět ve školské

matematice a jejich ověřování.

5. Budování číselných oborů

Přístup k rozšiřování číselných oborů z hlediska historického, z hlediska algebraického, ve školské

matematice. Přirozená čísla, jejich zavedení. Numerace, operace s přirozenými čísly, vlastnosti

operací. Čísla celá, racionální – zavedení, numerace, operace. Intuitivní zavedení reálných čísel ve

školské matematice.

Témata navazující: dělitelnost v oboru přirozených čísel, procentový počet, základy finanční

matematiky, mocniny, odmocniny.

6. Přístupy k řešení rovnic a nerovnic v průběhu školního vzdělávání

Rovnost, rovnice, nerovnost, nerovnice. Klasifikace rovnic, druhy rovnic řešených na ZŠ.

Postupy při řešení rovnic, úpravy ekvivalentní a důsledkové. Rovnice lineární, kvadratické, diskuse

počtu jejich řešení.

Soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, metody jejich řešení. Neurčité rovnice. Řešení

nerovnic.

7. Pojem funkce ve školské matematice

Přístupy k zavedení pojmu funkce (zobrazení, přiřazení). Definice a vlastnosti funkcí. Funkce lineární,

funkce kvadratické, funkce racionální lomená, funkce goniometrické.

8. Planimetrie v kurzu školské matematiky

Základní geometrické pojmy (bod, přímka, rovina) a pojmy odvozené (polopřímka, polorovina,

úsečka). Úhel, trojúhelník, čtyřúhelníky, kružnice, kruh. Metodika řešení konstrukčních úloh.

9. Geometrická zobrazení

Geometrická zobrazení shodná a podobná

10. Výuka stereometrie na základní škole

Polohové a metrické vlastnosti geometrických útvarů v prostoru. Odvození vztahů pro výpočty

povrchů a objemů těles.

11. Historie matematiky a filosofické směry v matematice

Klasifikace historických období ve vývoji matematiky, významné výsledky, využití ve školské

matematice. Vývoj matematiky v současném období.

12. Historie vyučování matematice

Základní dokumenty, které měly vliv na postavení školské matematiky, matematika v současné škole

.

13. Základy diskrétní matematiky

Kombinatorika a její využití v matematice základní školy. Prvky teorie grafů ve školské matematice.

14. Pravděpodobnost a statistika ve školské matematice

Základy statistiky v učivu matematiky ZŠ. Rozvoj pravděpodobnostního myšlení.

15. Kurikulární dokumenty

Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání, školní vzdělávací programy.

Cílové zaměření vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace

Rozvoj klíčových kompetencí žáků

More magazines by this user
Similar magazines