5. Nuklearne reakcije - phy

Nuklearna fizika 2
- vježbe -
5. Nuklearne reakcije

Zadatak 43. Mjerenjem ekscitacijske funkcije za reakciju
12
C(a,g) 16 O nađen je oštar vrh koji odgovara laboratorijskog energiji
7045 keV. Objasnite pojavu ovog vrha! Odredite energiju emitirane
gama-zrake. Objasnite je li moguće pojavu ovog vrha potvrditi
proučavanjem reakcije 15 N(p,a) 12 C. Maseni defekti su: 7289 keV (p),
2425 keV (a), 100 keV ( 15 N) i -4737 keV ( 16 O).
Rješenje 43.
Q-vrijednost reakcije 12 C(a,g) 16 O dana je s:
2
Q m m c
out
12 16
(
a)
C
O
2425 0 ( 4737 ) keV
7162
keV
in

Rješenje 43.
Mjereni vrh u udarnom presjeku pripisujemo stvaranju složene jezgre
16
O: a+ 12 C 16 O * 16 O+g
Energija pobuđenja tog stanja računa se iz:
E
x
E
prag
gdje je E prag energija praga za raspad jezgre 16 O u a+ 12 C, a E rel
relativna energija gibanja a i 12 C u sustavu centra mase:
E
rel
E
rel
E
lab
( a)
M
M
( a)
C
M
12
12
C
Dobivamo:
E x = 7162+5284= 12446 keV.

Rješenje 43.
Pri računanju energije gama-zrake moramo uzeti u obzir i odboj
jezgre:
E
0
E g E0
2
1
2Mc
gdje je s M označena masa jezgre koja emitira gamu ( 16 O). Korekcija
odboja je vrlo malena i dobivamo: E g = 12440 keV.
Isto stanje složene jezgre 16 O bit će moguće pobuditi reakcijom
p+ 15 N 16 O * a+ 12 C
ako se ono nalazi iznad praga za raspad u p+ 15 N.

Rješenje 43.
Provjeravamo kolika je Q-vrijednost:
4964 keV
Dobivena vrijednost je 320 keV ispod E rel izračunate prije. Dakle,
proučavano stanje 16 O nalazi se 320 keV iznad praga za raspad 16 O u
15
N+p. Stoga ga je moguće pobuditi protonima čija je laboratorijska
energija:
E
lab
( p)
Q m m c
out in
15
(
p)
N
a
7289 100
2425 0 keV
E
rel
'
M
15
M
N
15
2
M ( p)
N
12
C
16
320
15
341
keV

Zadatak 44. Reakcijom (d,p) pobuđuje se neko stanje teške parnoparne
jezgre uz Q= +8 MeV. Pretpostavljajući da jezgre mete
ostaju u mirovanju, procijenite energiju snopa na kojoj će naprijed
emitirani protoni imati isti impuls kao ulazni deuteroni. Ako kutna
raspodjela ima vrh na 40 o , a jezgre u meti imaju polumjer 4.1 fm,
koliki je prenešeni L?
Rješenje 44.
Za dani impuls, energija je obrnuto proporcionalna masi.
E d /E p = m p /m d = 0.5
No, zadano je i:
E p ≈ E d +Q
pa dobivamo:
E p = 2Q = 16 MeV ; E d = Q = 8 MeV

Rješenje 44.
Prenešeni moment impulsa poluklasično se može odrediti iz:
p
2 2 2
2
2
t pi
po
2 pi
po
cos
pi
po
4 pi
po
sin
L L(
L 1)
Smjer izlazne čestice (q) ovisi o p t i zbog toga i o L t .
p
t
R
2
Specijalan slučaj: prenešena energija vrlo malena u odnosu na upadnu.
p
i
p
o
p
Slijedi:
sin
2
p t L(
L 1)
2 p 2 pR

Rješenje 44.
Dobivamo:
L(
L
1)
2 pRsin
2
2
L ( L 1)
6 L
2

Zadatak 45. Kvalitativno diskutirajte utjecaj momenta impulsa i
energije snopa na brzinu odvijanja nuklearnih reakcija.
Rješenje 45.
Poluklasično i vrlo kvalitativno, ako s p označimo relativni impuls
čestice snopa u odnosu na jezgru u meti, s l relativni moment
impulsa, a s r l parametar sudara, imamo:
l prl
l( l 1)
pa je parametar sudara dan s:
r
l
p
*
l( l 1)
l l
p
Upadni snop “dijelimo” na cilindrične zone polumjera r l unutar kojih
čestice s datim impulsima p imaju moment impulsa l.

Rješenje 45.
Ako domet interakcije označimo s r 0 , tada iz uvjeta:
rl, max lmax
r0
p
vidimo da je val s najvećim l koji će još sudjelovati u reakciji onaj s:
l
max
r0
*
gdje uglata zagrada označava najveći cijeli broj od izraza u njoj.
pr
0
kr
0
Udarni presjek za reakciju datog parcijalnog vala u ovakvoj
aproksimaciji može se izjednačiti s površinom prstena polumjera r l
(za homogeni upadni snop):
l
2 2 * 2
r r ( 2 1
l
l
1 l
)

Rješenje 45.
Uz:
l
max
totalni udarni presjek jednak je:
*2
r
0
r
0
*
l
l
2
max
2
*
l
max
l0
( l
max
2
2l
1
1)
l
*2
max
*2
1
l
l0
*2
max
( l
2l
l
max
max
1)
2
1
Za * 1) vrijedi:
2
r 0
Radi se o slučaju geometrijske optike, u kome je klasično
razmatranje po trajektorijama dobra aproksimacija.

Rješenje 45.
Za * >>r 0 (kr 0

Rješenje 45.
O ovom izrazu prepoznaje se utjecaj centrifugalne barijere. Dakle,
do interakcije čestice momenta impula l i jezgre dolazi ako je
energija veća od visine centrifugalne barijere.
Alternativno, ako je energija fiksirana, do interakcije dolazo samo za
one čestice s l

Rješenje 45.
Za nekoliko izabranih slučajeva, visina barijere dana je u MeV-ima:
meta \ snop p i n (S) p i n (P) p i n (D) p ( l)
p 0 20 60 1
7
Li 0 5.5 17 1.6
16
O 0 3.2 10 3.5
55
Mn 0 1.4 4.2 6.6
120
Sn 0 0.8 2.5 10
238
U 0 0.4 1.2 15
V cf V cf V cf V c

Zadatak 46. Na slici je prikazana ovisnost udarnih presjeka o
energiji upadnih protona za razne izlazne kanale reakcije p+ 7 Li:
1) 7 Li(p,g) 8 Be ,
2) 7 Li(p,a) 4 He ,
3) 7 Li(p,p) 7 Li ,
4) 7 Li(p,n) 7 Be .
Ove reakcije popraćene su emisijom gama-zraka energije E 1 = 14.7
MeV, E 2 = 17.6 MeV, E 3 = 15.2 MeV i E 4 = 18.1 MeV (sve tipa M1). Ako
je poznato da su dva najniža stanja jezgre 8 Be usko osnovno stanje
0 + (T 1/2 ≈ 10 -15 s) i vrlo široko (G≈ 800 keV) stanje 2 + na E x ≈ 2.9 MeV.
Na temelju ovih podataka naći i objasniti položaj stanja jezgre 8 Be,
njihove spinove i paritet, te shemu raspada. Kvalitativno objasniti
ponašanje udarnih presjeka navedenih reakcija i širine rezonanca.

1) 7 Li(p,g) 8 Be ,
2) 7 Li(p,a) 4 He ,
3) 7 Li(p,p) 7 Li ,
4) 7 Li(p,n) 7 Be .

Rješenje 46.
Prvo pomoću tablica masa nalazimo Q-vrijednosti reakcija:
1) 7 Li(p,g) 8 Be ........ Q 1 = 17.25 MeV,
2) 7 Li(p,a) 4 He ....... Q 2 = 17.34 MeV,
3) 7 Li(p,p) 7 Li ........ Q 3 = 0 MeV,
4) 7 Li(p,n) 7 Be ........ Q 4 = -1.64 MeV.
Uočiti da su (p,n)-reakcije najčešće endotermne jer je masa
neutrona veća od mase protona za 1.3 MeV, a za b-stabilne jezgre
meta mora imati najviše 500 keV veću energiju vezanja od izlazne
teške čestice...
Zbog negativne Q-vrijednosti prag za reakciju 4) je na E p = 1.88
MeV.

Rješenje 46.
Pretpostavljamo da se sve reakcije odigravaju preko stanja složene
jezgre 8 Be. Uz oznake:
imamo:
X(a,b)Y ili
p
U nerelativističkoj aproksimaciji:
m
*
C
c
2
a
p
C
a+X C* b+Y
p
X
0
2 * 2
ma
mX
c
Ea
mCc
EC
E
C
p
2m
2
C
*
C
m
m
a
*
C
p
2
a
2m
a
2
2 a
ma
mX
c
Ea
EC
ma
mX
c
1
Ea
m
m
a
*
C
E
a
m
m
*
C

Rješenje 46.
Uvrstimo li na desnu stranu:
*
m m
na lijevoj dobivamo:
m
*
C
c
2
C
pa je energija pobuđenog stanja u složenoj jezgri C jednaka:
* 2 2
2 m
X
Ex
mCc
mCc
ma
mX
mC
c Ea
m m
Prvi član je baš jednak Q-vrijednosti prve od popisanih reakcija,
Q= 17.25 MeV.
Dakle, rezonance se pojavljuju na energijama pobuđenja u 8 Be:
E x1 = 17.25+7/(7+1)·0.44= 17.6 MeV
E x2 = 19.8 MeV, E x3 = 18.12 MeV, E x4 = 19.15 MeV.
a
m
2
X
ma
mX
c Ea
m
X
a
m
m
X
a
X

Rješenje 46.
Spinove i paritet pobuđenih stanja (rezonanci) možemo odrediti
korištenjem zakona sačuvanja momenta impulsa i pariteta. Paritet
sistema a+X jednak je:
L
a X
a
X
(1)
i on mora biti jednak paritetu stanja C s jedne, ali i paritetu
krajnjeg sistema b+Y s druge strane.
Model ljusaka za osnovno stanje jezgre 7 Li daje J = 3/2 - .
Unutrašnja parnost protona je + (J=1/2), pa ako jezgra 7 Li
međudjeluje s S-protonom, paritet sistema p + 7 Li bit će
negativan, kao i paritet odgovarajućeg stanja u 8 Be. Ako 7 Li
međudjeluje s P-protonom, paritet stanja u 8 Be bit će pozitivan.
Na energijama do ≈5 MeV, relativni moment impulsa pri reakciji
praktički ne može biti veći od 1 (L= 0,1).

Rješenje 46.
Zaključujemo:
3 1
0
2 2
2
1
L=0 (S-proton) ... J( 8 Be)= ( 8 Be)= (-1)(+1)(-1) 0 = -1
3
3 1
2
L=1 (P-proton) ... J( 8 Be)= 1 ( 8 Be)= (-1)(+1)(-1) 1 = +1
2 2 1
0
Gledamo detektirane gama-zrake: ona od 17.6 MeV točno odgovara
prijelazu između rezonance na E(p)= 0.44 MeV i osnovnog stanja;
gama-prijelaz od 14.7 MeV prepoznajemo kao prijelaz iz tog
stanja u prvo pobuđeno stanje jezgre 8 Be. Najniža dva stanja su
pozitivnog pariteta, a prijelaz je tipa M1 paritet stanja na E x =
17.6 MeV mora biti pozitivan (M1-prijelaz čuva paritet), a spin
mora biti J=1; samo tako se mogu intenzivno puniti stanja i 0 + i 2 + !

Rješenje 46.
Zaključujemo da je u reakciji (p,g) 7 Li međudjelovao sa P-protonom.
Gama-raspad je “spor” i zbog toga je ova rezonanca uža od ostalih
koje se raspadaju emisijom čestica.
Paritet sistema aa je pozitivna jer su a-čestice identični bozoni.
S druge strane, za ovaj paritet vrijedi:
L
2a
a
a
( 1)
(
gdje je L relativni moment impulsa dvije a-čestice koji, dakle, mora
biti paran! Stanje na E x = 19.8 MeV preko kojeg se odvija reakcija
7
Li(p,a) 4 He mora dakle imati J = (0 ili 2) + . Relativno velika
energija protona za formiranje ovog stanja pogoduje prolasku
kroz kulonsku i centrifugalnu barijeru; stvorene a-čestice imaju
pak ogromnu relativnu brzinu pa one laganu tuneliraju kroz
barijeru(e) i rapad je tog stanja vrlo brz (tj. stanje je široko).
Primijetiti da za stanje na E x = 17.6 MeV spin jedan zabranjuje
raspad u 2 a-čestice!
1)
L

Rješenje 46.
Slično se ni stanja negativnog pariteta ne mogu raspadati u 2 alfačestice,
već je prvo potreban prijelaz u stanje pozitivnog
pariteta. To se može ostvariti g-emisijom “neparnih” fotona (E1,
M2, ...) ili pak bržim čestičnim raspadom koji su energetski
dozvoljeni.
Činjenica da se stanje na E x = 19.15 MeV ne raspada ni u 2 alfačestice
ni gama-emisijom, već baš emisijom neutrona koja je brža
od gama-emisije, govori da to stanje ima negativni paritet. To pak
znači da je u ovoj reakciji 7 Li međudjelovao sa S-protonom (nema
centrifugalne barijere!) i zbog toga je udarni presjek veći. Spin
ovog stanja tada mora biti 1 ili 2.

Rješenje 46.
Preostale dvije gama-zrake (18.1 i 15.2 MeV) pripisujemo raspadu
stanja na E x = 18.12 MeV u osnovno i prvo pobuđeno stanje. Slično
stanju na E x = 17.6 MeV, spin i paritet su jednoznačno određeni na
J = 1 + . Gama-raspad je ovdje slabiji u odnosu na konkurentni p-
kanal. Zapravo, ispravnije je reći da je p-raspad potisnut za
stanje na E x = 17.6 MeV višom kulonskom barijerom...

Rješenje 46.
Sada možemo nacrtati shemu pobuđenih stanja u 8 Be:

Zadatak 47. Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni
uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije. Koristeći
princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih
presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za
fotodezintegraciju. Energija vezanja deuterona je 2.2 MeV.
Rješenje 47.

Zadatak 47. Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni
uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije. Koristeći
princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih
presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za
fotodezintegraciju. Energija vezanja deuterona je 2.2 MeV.
Rješenje 47.
Korištenjem izraza za omjer totalnih udarnih presjeka za dvije
inverzne reakcije dobivamo:
np
gd
2J
2J
g
n
1
1
Spinovi neutrona i protona su J n = J p = ½, a deuterona i gama-kvanta:
J d = J g =1.
2J
d
1
2
gd
2
J 1 2
p
p
p
np

Rješenje 47.
Relativni impuls neutrona i protona u sistemu centra masa nalazimo iz
zakona održanja energije:
m
Budući da vrijedi:
B
d
d
c
2
m
n
c
2
m
p
c
2
m
m m c
2
n
p
d
p
2
2m
n
2
p
2m
p
dobivamo:
Dakle:
B
p
np
gd
d
p
2
2
m
n
m
m
n
m
p
p
2
np 2m
B d
p
2
2m
2
9
2
510
4 2m
B d

Zadatak 48. Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju
109
Ag(n,g) 110 Ag s termalnim neutronima energije 2 eV. Prva
rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 5.1 eV i za nju vrijedi:
G g 0.14 eV i G n = 1.3·10 -2 eV. Spinovi jezgara 109 Ag i 110 Ag su ½ i 1.
Rješenje 48.

Zadatak 48. Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju
109
Ag(n,g) 110 Ag s termalnim neutronima energije 2 eV. Prva
rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 5.1 eV i za nju vrijedi:
G g 0.14 eV i G n = 1.3·10 -2 eV. Spinovi jezgara 109 Ag i 110 Ag su ½ i 1.
Rješenje 48.
Totalni udarni presjek za reakciju koja se odvija mehanizmom složene
jezgre, a+A C* b+B, u blizini rezonance E 0 opisuje se Breit-
Wignerovom formulom:
ab g
2 2
E
E / 4
0 G
gdje je reducirana valna dužina upadne čestice, G ac i G b parcijalne
širine stanja za formiranje složene jezgre i njezin raspad emisijom b,
a G suma svih parcijalnih širina razmatranog stanja (rezonance).
G
ac
G
b

Rješenje 48.
Spinski statistički faktor dan je s:
g
2J
2J
12
J 1
U našem je slučaju g=3/4, G ac = G n , G b = G g .
Budući da vrijedi:
G
n
G
g
n
(m je reducirana masa neutrona, približno jednaka stvarnoj masi jer
1
je meta vrlo teška u odnosu na neutron). Dakle:
ng
a
,
p n
C
G G
c
2mc
A
n
2
G
E
2
GG
n g
2
2
2
0
G
3 c
4 2 mc E E E g /4
g
G
g
46
barn

Zadatak 49. Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na
pravac upadnog snopa čestica. Jezgra se raspada emisijom čestice b
momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j. Pravac kretanje
emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment
impulsa. Pretpostavljajući da je l >>j nađite kutnu raspodjelu
emitiranih čestica b !
Rješenje 49.
Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment
impulsa, raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo
prikazati d-funkcijom: n l
.
d
Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l >>j, slijedi:
l I d n l
d n I

Rješenje 49.
Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije
n I
po azimutzalnim kutovima, tj.:
d
1 2
W n
d n I d
2
0
n
n I
I cos sin
Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica, imamo:
W n 1 2 d cos sin
2
I d
0
Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije
nultočke unutar intervala integracije, tj. φ = π/2 i φ = 3π/2:

Rješenje 49.
Tada vrijedi:
d
g x
d x
g
i
'x
i
x
i
Gdje su x i nultočke funkcije g(x). Dakle, mi imamo:
d I sin cos
1 2
2
1
W n d / 2 d d 3 / 2
d
2 Isin
0 0
Isin
1 1
/ 2 3 / 2
d / 2
d 3 / 2
Isin sin Isin sin
d d
Isin
Isin
/ 2 3 / 2

Rješenje 49.
Dobivena distribucija:
W n
1
I sin
skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju
mehanizmom složene jezgre:

Zadatak 50. Reakcija 6 Li(p,p’) 6 Li* na energiji snopa E p = 40 MeV
tipičan je primjer direktne reakcije. Ako je poznato da transfer
momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2, procijenite na kojem
kutu treba očekivati maksimum raspodjele. Koristiti aproksimaciju
E p ≈ E p’ i za polumjer jezgre 7 Li: R= 3 fm.
Rješenje 50.

Zadatak 50. Reakcija 6 Li(p,p’) 6 Li* na energiji snopa E p = 40 MeV
tipičan je primjer direktne reakcije. Ako je poznato da transfer
momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2, procijenite na kojem
kutu treba očekivati maksimum raspodjele. Koristiti aproksimaciju
E p ≈ E p’ i za polumjer jezgre 7 Li: R= 3 fm.
Rješenje 50.
Poluklasično, maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod
uvjetom:
l
qR
gdje je R polumjer jezgre, a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji.

Rješenje 50.
Vrijedi:
q
p f p i
q
q
p
2
i
p
2
f
2p
i
p
f
cos
Kada je zadovoljeno:
p
f
p
i
tj.
E
f
E
i
vrijedi:
odnosno:
q 2
sin
2
p i
sin
2
l
2 p
R
cl
i 2
2R
mc E p

Rješenje 50.
Maksimalni intenzitet se pojavljuje na:
o
40