5. PREDAVANJE - phy

LJETNI SEMESTAR 2010/2011
NUMERIČKE METODE I
MATEMATIČKO MODELIRANJE
5. PREDAVANJE
www.phy.hr/~npaar

PRIMJENA NUMERIČKIH METODA U
RJEŠAVANJU DIFERENCIJALNIH JEDNADŽBI
(dio II)

RUNGE-KUTTA METODE
Runge-Kutta metode su zasnovane na Taylorovom razvoju,
bolji algoritam od Eulerove metode za rješavanje
diferencijalnih jednadžbi
uključuje međukorak u izračunu
Treba riješiti diferencijalnu jednadžbu

RUNGE-KUTTA METODA DRUGOG REDA (RK2)
prva aproksimacija uključujeTaylorov razvoj f(t,y) oko
središta intervala za integraciju, tj.
za određivanje vrijednosti
metoda
primjenjuje se Eulerova

algoritam RK2 metode:
RUNGE-KUTTA METODA DRUGOG REDA (RK2)
za razliku od metoda sa jednim korakom, Runge-Kutta
metoda ima međukorak u proračunu,
RK metode zahtjevaju izvođenje više operacija, no daju veću
stabilnost rješenja

RUNGE-KUTTA METODA ČETVRTOG REDA (RK4)
prvo se računa k 1 sa t i , y 1 i f
zatim se uveća korak za h/2 i računa k 2 , k 3 , i k 4
na kraju se određuje nova vrijednost varijable y

ZADATAK 5
Primjenom Runge-Kutta metode četvrtog reda, treba riješiti problem
nelinearnog oscilatora sa gušenjem i vanjskom periodičnom silom.
Tipičan primjer ovakvog oscilatora je opisan Duffingovom
jednadžbom:
Dobivena rješenja mogu se proučavati na grafu putanje x(t), u faznom
prostoru v(x), i u Poincareovoj mapi (sadrži presjeke faznog prostora
u vremenskim koracima t=0,T,2T,3T,… gdje je T=2π/ω period vanjske
sile).
Treba ispitati dinamiku sustava za određeni skup parametara koji daje
kaotično rješenje (npr. Vidjeti članak Lin et al.). Nacrtati
odgovarajuće slike za putanju, fazni prostor i Poincareovu mapu
kaotičnog rješenja (mapu računati za znatno dulje ukupno vrijeme da
bude dovoljna gustoća točaka).
W. A. Lin and L.E. Ballentine, Phys. Rev. Lett. 65, 2927 (1990).

EXERCISE 5
Employ the fourth order Runge-Kutta method in solving
nonlinear oscillator with friction and external time-dependent
force (Duffing oscillator):
The solutions can be represented by x(t), phase space v(x), and
Poincare map (which corresponds to phase space solutions in steps
t=0,T,2T,3T,… where T=2π/ω represents the period of external
force).
Explore the system dynamics for selected set of parameters which
gives chaotic solution (e.g. see below the paper Lin et al.) Plot the
corresponding figures for x(t), v(x) and Poincare map for chaotic
dynamics of the oscillator (Poincare map should be calculated long
enough in order to obtain sufficient density of points on the map).
W. A. Lin and L.E. Ballentine, Phys. Rev. Lett. 65, 2927 (1990).

PRIMJER PROGRAMA SA RUNGE-KUTTA METODOM ZA H.O.