LONGITUDINALNI valovi - phy

1 - 1 -
LONGITUDINALNI valovi
VALOVI ZVUKA su mehanička titranja čestica koje se širi kroz čvrsta tijela, tekućine i
plinove. Kroz vakuum se ne mogu širiti jer nema materijala! Zvuk se ne širi zrakopraznim
prostorom.
Kada nema zvučnog vala tlak je p 0 i gustoća ρ 0 .Kad val prolazi čestice titraju oko položaja
ravnoteže i nastaju zgušćaji i razređaji plina .
Čestica na mjestu x ima elongaciju s 1 i tlak p 1 ;
na x+ ∆ x je s 2 = s+ ∆ s p 2 = p 1 + ∆ p . Na element volumena ∆V djeluje sila:
F 1 = p 1 S
i F 2 = ( p 1 + ∆ p ) S ... F = F 1 - F 2 = -S ∆ p
ili naprezanje σ 1= F 1 / S ( Kao na slici!)
Iz 2. Newt-onovog zakona : F= m a ako pređemo na gustoću ρ,
ρ = m/V
-S ∆ p= ρ S ∆ x ∂ 2 s /∂ t 2 ,
gdje je: S ∆ x = ∆ V, za ∆x → = 0
2
∂p
ρ∂
s
Gradijent tlaka koji nastaje zbog prolaza zvučnog vala : = −
2
∂x
∂t
Slično kao Hookov zakon za kruta tijela (σ = E ∆ l/ l , gdje je E Youngov modul
elastičnosti,vidite dodatak 1 ) te imamo za fluide (B je volumni modul elastičnosti):

2 - 2 -
2
∂p
ρ∂
s
Iz 2. Newton-ovog zakona: = −
2
∂x
∂t
B=1/K , K je koeficijent kompresibilnosti fluida. Gornja jednadžba je valna jednadžba
longitudinalnih valova zvuka koji se šire brzinom v. Rješenje ove jednadžbe je:
Elongacija čestica plina u vremenu u određenoj točki prostora je:
2
∂p
ρ∂
s
= − Deriviranjem s(x, t) dva puta po t i uvrštavanjem u ovu jednadžbu
2
∂x
∂t
dobivamo za promjenu tlaka zraka povezanu s mehaničkim titranjem čestica materijala
(vidite dodatak 2 s cijelim izvodom!):
gdje je:
k= 2 π / λ ∆p = p- p 0
Za adijabatske promjene moguće je B, volumni modul elastičnosti plina, nadomjestiti sa
produktom adijabatskog koeficijenta i tlaka κ p.

3 - 3 -

4 - 4 -
Dodatak 1.
F = k ⋅ s ..... - HOOK-OV ZAKON za deformaciju elastičnog krutog tijela.
S
∆l
F
l 0
l
relativno produženje:
∆l
ε =
l
σ
ε = σ - naprezanje
E
E - Young-ov modul elastičnosti
F
σ =
S
∆l
1
= ⋅
l E
F
S
→
F =
ES
⋅ ∆l
l
F = konst.
⋅ ∆l
F = k ⋅ s
Al
10 −2
E = 7 ⋅10
( Nm )
Čelik
10 −2
E = 20⋅10
( Nm )

5 - 5 -
Dodatak 2:
⇒
s
( x,
t) = Asin
( ωt
− kx)
∂p
∂x
2
∂ s
= −ρ
⋅
2
∂t
ρ - gustoća sredstva
( x,
t)
∂s
= Aω cos( ωt
− kx)
∂t
2
∂ s
2
= − Aω sin( ωt
− kx)
2
∂t
2
∂p
∂ s
2
= −ρ
⋅ = + ρ ⋅ Aω
sin
2
∂x
∂t
∫
∂p = p = p0
+ ρ ⋅ A⋅ω
⋅ω
( ωt
− kx) / dx
2
ω
2
∫
sin
ω ⋅ cos
( ωt
− kx )
⋅ dx
⎛ ⎞
( ωt
− kx ) ⋅ + ⎟ ⎠
⎜
⎝
1
k
∆p
λ
∆p max
x
p =
p + ρ ⋅ Aω
⋅ v cos
0
( ωt
− kx)
;
λ/2
t
ωt
∆p
max
= Aρω
⋅v
∆p max
s
T
⇒ p − p
0
= ∆p
= ∆p
max
cos
( ωt
− kx)
;
A
∆p
= ∆p
max
cos
( ωt
− kx)
x
-A
λ
ωt

6 - 6 -
ENERGIJA VALOVA
Energija valova zvuka
Energija i intenzitet vala
Mehanička energija E čestice koja harmonički titra:
2
k = mω
(k= konst. elastičnosti, m= masa, ω =2 π f - frekvencija titranja čestica sredstva.)
Izvor vala predaje ovu E česticama sredstva
Gustoća energije w, tj. Energija po jedinici volumena:
dE 1 2
w = = ρ ω ⋅ A
dV 2
2
m
ρ = m = ρ ⋅V
V
E
S
⎛ ∂s
⎞
⎜ ⎟
⎝ ∂t
⎠
2
max
2
= ω A
2
∆E
∆t
= P
= w ⋅S
⋅v
1 2
= ρ ω ⋅ A
2
2
⋅S
⋅v
1 ⎛ ∂s
⎞
= ρ ⋅S
⋅v⎜
⎟
2 ⎝ ∂t
⎠
2
max
Intenzitet vala I je snaga kroz površinu S okomita na smjer širenja:

7 - 7 -
I
=
P
S
=
1 2 2 ρv
ρω A v ⋅
2 ρv
∆p
max
= ρAωv
Zvučni val:
I
( p)
1 ∆
2 ρv
2
max
2
= ( W / m ) − gust.
toka energ.
Intenzitet zvučnog vala zovemo jakost zvuka
Intenzitet zvuka mjeri se u decibellima (dB)
D = 10log I / I0
( dB)
I
−12
0
= W /
10 m
2
IZVOR
D (dB)
šapat 20
govor 65
gradski saobraćaj 70
kovanje 95
granica bola …120
... I = 1W
/ m
2