διαφανειες στατιστικη ι εισαγωγη - Τμήμα Μαθηματικών ...
διαφανειες στατιστικη ι εισαγωγη - Τμήμα Μαθηματικών ...
διαφανειες στατιστικη ι εισαγωγη - Τμήμα Μαθηματικών ...
- TAGS
- www.math.upatras.gr
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ<br />
Στατ<strong>ι</strong>στ<strong>ι</strong>κή Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος<br />
Τµήµα Μαθηµατ<strong>ι</strong>κών, Πανεπ<strong>ι</strong>στήµ<strong>ι</strong>ο Πατρών<br />
Στατ<strong>ι</strong>στ<strong>ι</strong>κή Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος<br />
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ
Ε<strong>ι</strong>σαγωγή<br />
X 1 , X 2 ,...,X n ανεξάρτητες τ.µ ∼ B(1, p).<br />
Π<strong>ι</strong>θανότητες<br />
Η τ<strong>ι</strong>µή του p ϑεωρείτα<strong>ι</strong> γνωστή (π.χ. p = 1/2)<br />
Ερωτήµατα<br />
1<br />
Πόσες επ<strong>ι</strong>τυχίες αναµένοντα<strong>ι</strong> στ<strong>ι</strong>ς n δοκ<strong>ι</strong>µές;<br />
2 Πο<strong>ι</strong>α είνα<strong>ι</strong> η π<strong>ι</strong>θανότητα ο αρ<strong>ι</strong>θµός των επ<strong>ι</strong>τυχ<strong>ι</strong>ών σε n δοκ<strong>ι</strong>µές να<br />
κυµαίνοντα<strong>ι</strong> σε κάπο<strong>ι</strong>α πλαίσ<strong>ι</strong>α;<br />
Στατ<strong>ι</strong>στ<strong>ι</strong>κή<br />
Η τ<strong>ι</strong>µή του p ϑεωρείτα<strong>ι</strong> άγνωστη, 0 < p < 1.<br />
Ερωτήµατα<br />
1 Πως µπορεί να εκτ<strong>ι</strong>µηθεί το p;<br />
2<br />
Σε πο<strong>ι</strong>α όρ<strong>ι</strong>α κυµαίνετα<strong>ι</strong> η τ<strong>ι</strong>µή του p;<br />
3 Θα υπερβεί η τ<strong>ι</strong>µή του p κάπο<strong>ι</strong>ο συγκεκρ<strong>ι</strong>µένο όρ<strong>ι</strong>ο;<br />
Στατ<strong>ι</strong>στ<strong>ι</strong>κή Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος<br />
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ
Ε<strong>ι</strong>σαγωγή<br />
Κλάδο<strong>ι</strong> Στατ<strong>ι</strong>στ<strong>ι</strong>κής Συµπερασµατολογίας<br />
1<br />
Εκτ<strong>ι</strong>µητ<strong>ι</strong>κή<br />
2 ∆<strong>ι</strong>αστήµατα Εµπ<strong>ι</strong>στοσύνης<br />
3<br />
΄Ελεγχος Υποθέσεων<br />
Θεωρούµε δεδοµένα X˜<br />
= (X 1 , X 2 ,..., X n ) µε από κο<strong>ι</strong>νού πυκνότητα<br />
π<strong>ι</strong>θανότητας f X˜(x˜,θ), που εξαρτάτα<strong>ι</strong> από µία άγνωστη παράµετρο θ, η<br />
οποία ανήκε<strong>ι</strong> σε κάπο<strong>ι</strong>ο σύνολο Θ. Το θ λέγετα<strong>ι</strong> άγνωστη παράµετρος<br />
κα<strong>ι</strong> το Θ καλείτα<strong>ι</strong> παραµετρ<strong>ι</strong>κός χώρος.<br />
Παρατήρηση<br />
Η συναρτησ<strong>ι</strong>ακή µορφή της από κο<strong>ι</strong>νού κατανοµής των X 1 , X 2 ,..., X n ,<br />
f X˜(x˜,θ), ϑεωρείτα<strong>ι</strong> γνωστή.<br />
Στατ<strong>ι</strong>στ<strong>ι</strong>κή Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος<br />
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ
Ορολογία<br />
Το τυχαίο δ<strong>ι</strong>άνυσµα X˜<br />
αναφέρετα<strong>ι</strong> σαν δείγµα. Αν επ<strong>ι</strong>πλέον ο<strong>ι</strong> τυχαίες<br />
µεταβλητές X i , i = 1, 2,...,n είνα<strong>ι</strong> ανεξάρτητες κα<strong>ι</strong> <strong>ι</strong>σόνοµες, δηλαδή<br />
έχουν την ίδ<strong>ι</strong>α κατανοµή, τότε το X˜<br />
αναφέρετα<strong>ι</strong> σαν τυχαίο δείγµα.<br />
X 1 , X 2 ,..., X n αποτελεί τυχαίο δείγµα.<br />
Ορ<strong>ι</strong>σµός1<br />
Μία συνάρτηση µόνο του δείγµατος καλείτα<strong>ι</strong> στατ<strong>ι</strong>στ<strong>ι</strong>κή συνάρτηση.<br />
T = T(X˜) = T(X 1 , X 2 ,..., X n )<br />
Ορ<strong>ι</strong>σµός2<br />
Μία οπο<strong>ι</strong>αδήποτε στατ<strong>ι</strong>στ<strong>ι</strong>κή συνάρτηση που χρησ<strong>ι</strong>µοπο<strong>ι</strong>είτα<strong>ι</strong> γ<strong>ι</strong>α την<br />
εκτίµηση της τ<strong>ι</strong>µής της άγνωστης παραµέτρου θ (ή γεν<strong>ι</strong>κότερα γ<strong>ι</strong>α την<br />
εκτίµηση της παραµετρ<strong>ι</strong>κής συνάρτησης g(θ), όπου g(·) : Θ → R k )<br />
αναφέρετα<strong>ι</strong> σαν εκτ<strong>ι</strong>µητής του θ (ή του g(θ)).<br />
Στατ<strong>ι</strong>στ<strong>ι</strong>κή Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος<br />
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ
Ορολογία<br />
Ορ<strong>ι</strong>σµός3<br />
Ο εκτ<strong>ι</strong>µητής T = T(X˜) ονοµάζετα<strong>ι</strong> αµερόληπτος εκτ<strong>ι</strong>µητής της<br />
παραµετρ<strong>ι</strong>κής συνάρτησης g(θ), αν<br />
E θ T(X˜) = g(θ), ∀θ ∈ Θ.<br />
Ερώτηµα: Πο<strong>ι</strong>ος είνα<strong>ι</strong> ο καλύτερος εκτ<strong>ι</strong>µητής γ<strong>ι</strong>α το θ; (του g(θ);)<br />
Κρ<strong>ι</strong>τήρ<strong>ι</strong>ο: Μέσο Τετραγων<strong>ι</strong>κό Σφάλµα.<br />
Ορ<strong>ι</strong>σµός4<br />
ΜΤΣ(T,θ) = E θ (T(X˜)−g(θ)) 2 .<br />
Ορ<strong>ι</strong>σµός5<br />
Ο εκτ<strong>ι</strong>µητής T 1 ονοµάζετα<strong>ι</strong> καλύτερος του εκτ<strong>ι</strong>µητή T 2 γ<strong>ι</strong>α την εκτίµηση<br />
της παραµετρ<strong>ι</strong>κής συνάρτησης g(θ), αν,<br />
ΜΤΣ(T 1 ,θ) ≤ ΜΤΣ(T 2 ,θ), ∀θ ∈ Θ<br />
κα<strong>ι</strong> επ<strong>ι</strong>πλέον<br />
ΜΤΣ(T 1 ,θ 0 ) < ΜΤΣ(T 2 ,θ 0 ), γ<strong>ι</strong>α κάπο<strong>ι</strong>ο θ 0 ∈ Θ.<br />
Στατ<strong>ι</strong>στ<strong>ι</strong>κή Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος<br />
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ
Change language