Skripta 2. deo - Alas

3.2 Transformacije koordinata tačaka
Sada nas interesuje kako su povezane koordinate jedne iste tačke M u dva
različita koordinatna sistema Oe i O ′ f. Formule transformacije ćemo izvesti
za ravanski slučaj, a čitaocu prepuštamo analogno izvede formule za prostor.
Neka su Oe i O ′ f dva repera, tzv. ”stari” i ”novi”. Koordinate tačke M u
reperu Oe označimo sa (x, y), a koordinate iste tačke u reperu O ′ f sa (x ′ , y ′ ).
Bazu f možemo da izrazimo preko baze e formulama
→
f 1 = c 11
→
e1 +c 21
→
e2 ,
→
f 2 = c 12
→
e1 +c 22
→
e2 .
Neka novi koordinatni početak ima koordinate (b 1 , b 2 ) u starom reperu, tj. neka
je [O ′ ] Oe = (b 1 , b 2 ). Po definiciji koordinata tačaka i vektora, važi:
(x, y) = [M] Oe = [ →
OM] e ,
odnosno
→
OM= x → e 1 +y → e 2 ,
Zato imamo
→
(x ′ , y ′ ) = [M] O ′ f = [ O ′ M] f ,
odnosno
→
O ′ M= x ′ → f 1 +y ′ → f 2 .
x e → 1 +y e → 2 = OM=
→ →
OO ′ →
+ O ′ → →
M= b 1 e1 +b 2 e2 +x ′ f → 1 +y ′ f → 2 =
= b 1
→
e1 +b 2
→
e2 +x ′ (c 11
→
e1 +c 21
→
e2 ) + y ′ (c 12
→
e1 +c 22
→
e2 ) =
= (c 11 x ′ + c 12 y ′ + b 1 ) → e 1 +(c 21 x ′ + c 22 y ′ + b 2 ) → e 2
Kako su koordinate vektora u bazi jedinstvene važi:
x = c 11 x ′ + c 12 y ′ + b 1 ,
y = c 21 x ′ + c 22 y ′ + b 2 . (6)
Te formule predstavljaju transformaciju koordinata tačaka ravni, tj. vezu
koordinata (x, y) i (x ′ , y ′ ) jedne iste tačke M u dva različita koordinatna sistema.
Možemo ih zapisati u matričnom obliku
odnosno,
(
x
y
)
=
(
c11 c 12
c 21 c 22
) (
x
′
y ′ )
+
(
b1
b 2
)
,
X = CX ′ + b. (7)
Matrica C = (c ij ) je tzv. matrica prelaska iz baze e u bazu f i označava se
sa C e→f . Njene kolone su koordinate novih baznih vektora u staroj bazi.
Matrične formule (7) važe u proizvoljnoj dimenziji. U slučaju prostora E 3
matrica prelaska je formata 3 × 3, a vektori koordinata X, X ′ i b dužine 3.
→
✻
M
✯ 2
→
e ′ 2
✍
O ′ (b 1, b 2)
e 2
→
e
′
1
O
3
→
e 1
✇
13