Skripta 2. deo - Alas

što je zapravo determinanta matrice čije su vrste (ili kolone) koordinate vektora
koje množimo:
∣ [ → v , → u, → v 1 v 2 v 3 ∣∣∣∣∣
w] =
u 1 u 2 u 3 .
∣ w 1 w 2 w 3
2.5 Odrediti površinu trougla odredjenog ABC, ako je A(1, 2), B(2, 3), C(−3, 4).
2.6 a) Odrediti mešoviti proizvod [ → v, → u, → w], ako su njihove koordinate u ortonormiranoj
bazi → a= (1, 2, −7), → b = (−1, 3, 3), → c = (−1, 8, −1).
b) Da li su vektori linearno nezavisni.
2.7 Dokazati da je za trougao ABC ispunjen uslov c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cosγ
(kosinusna teorema).
2.8 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački (ortocentar).
2.9 Data je kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ivice 1. a) Odrediti ugao izmedju dijagonala
strana kocke BC 1 i D 1 B 1 . b) Odrediti zapreminu tetraedra BC 1 B 1 D.
3 Koordinate tačaka i njihove transformacije
3.1 Koordinate tačaka
Sada ćemo da uvedemo koordinate tačaka u prostoru E. Neka je e baza odgovarajućeg
vektorskog prostora V i O ∈ E fiksirana tačka. Tada se Oe naziva
koordinatnim sistemom ili reperom prostora E.
Definicija 3.1 Koordinate tačke M ∈ E u reperu Oe definišemo kao koordinate
vektora OM →
u bazi e, tj.
[M] Oe
def
= [ →
OM] e .
Primer 3.1 Neka je OABC paralelogram, i neka je e = ( e → 1 , e → 2 ) = ( OA,
→ OB)
baza. Odrediti koordinate temena paralelograma u vektoru Oe.
Rešenje: Koordinate tačke A su, po definciji, koodinate vektora OA u bazi e.
Pošto je → OA= → e 1 = 1 → e 1 +0 → e 2 , važi
[A] Oe = [ → OA] e = (1, 0).
Preostavljamo čitaocu da se ubede da su koordinate preostalih tačaka
[B] Oe = (1, 1), [C] Oe = (0, 1), [O] Oe = (0, 0).
Primetimo da su koordinatni početak uvek ima koordinate (0, 0).
Nadjimo sada vezu koordinata tačaka u reperu Oe i vektora u bazi
e. Neka su M i N dve tačke. Tada su koordinate vektora MN:
→
→
[ MN] e = [ MO →
+ ON] →
e = [ ON] →
e − [ OM] →
e = [N] Oe − [M] Oe .
Dakle, koordinate vektora se dobijaju oduzimanjem početka od kraja usmerene
duži koja taj vektor predstavlja. Nije teško pokazati da ovakav način računanja
koordinata vektora ne zavisi ni od izbora predstavnika vektora, ni od izbora
koordinatnog početka.
→
12

3.2 Transformacije koordinata tačaka
Sada nas interesuje kako su povezane koordinate jedne iste tačke M u dva
različita koordinatna sistema Oe i O ′ f. Formule transformacije ćemo izvesti
za ravanski slučaj, a čitaocu prepuštamo analogno izvede formule za prostor.
Neka su Oe i O ′ f dva repera, tzv. ”stari” i ”novi”. Koordinate tačke M u
reperu Oe označimo sa (x, y), a koordinate iste tačke u reperu O ′ f sa (x ′ , y ′ ).
Bazu f možemo da izrazimo preko baze e formulama
→
f 1 = c 11
→
e1 +c 21
→
e2 ,
→
f 2 = c 12
→
e1 +c 22
→
e2 .
Neka novi koordinatni početak ima koordinate (b 1 , b 2 ) u starom reperu, tj. neka
je [O ′ ] Oe = (b 1 , b 2 ). Po definiciji koordinata tačaka i vektora, važi:
(x, y) = [M] Oe = [ →
OM] e ,
odnosno
→
OM= x → e 1 +y → e 2 ,
Zato imamo
→
(x ′ , y ′ ) = [M] O ′ f = [ O ′ M] f ,
odnosno
→
O ′ M= x ′ → f 1 +y ′ → f 2 .
x e → 1 +y e → 2 = OM=
→ →
OO ′ →
+ O ′ → →
M= b 1 e1 +b 2 e2 +x ′ f → 1 +y ′ f → 2 =
= b 1
→
e1 +b 2
→
e2 +x ′ (c 11
→
e1 +c 21
→
e2 ) + y ′ (c 12
→
e1 +c 22
→
e2 ) =
= (c 11 x ′ + c 12 y ′ + b 1 ) → e 1 +(c 21 x ′ + c 22 y ′ + b 2 ) → e 2
Kako su koordinate vektora u bazi jedinstvene važi:
x = c 11 x ′ + c 12 y ′ + b 1 ,
y = c 21 x ′ + c 22 y ′ + b 2 . (6)
Te formule predstavljaju transformaciju koordinata tačaka ravni, tj. vezu
koordinata (x, y) i (x ′ , y ′ ) jedne iste tačke M u dva različita koordinatna sistema.
Možemo ih zapisati u matričnom obliku
odnosno,
(
x
y
)
=
(
c11 c 12
c 21 c 22
) (
x
′
y ′ )
+
(
b1
b 2
)
,
X = CX ′ + b. (7)
Matrica C = (c ij ) je tzv. matrica prelaska iz baze e u bazu f i označava se
sa C e→f . Njene kolone su koordinate novih baznih vektora u staroj bazi.
Matrične formule (7) važe u proizvoljnoj dimenziji. U slučaju prostora E 3
matrica prelaska je formata 3 × 3, a vektori koordinata X, X ′ i b dužine 3.
→
✻
M
✯ 2
→
e ′ 2
✍
O ′ (b 1, b 2)
e 2
→
e
′
1
O
3
→
e 1
✇
13

Slika 8: Transformacije koordinata tačaka
Primer 3.2 Neka je OABC paralelogram i e = ( OA,
→ →
OC), f = ( OB, →
CA) →
dve
baze. Odrediti vezu koordinata tačke u reperima Oe i Bf.
Rešenje: Potrebno je da odredimo koordinate vektora nove baze u staroj.
Pošto je f → 1 = OB= →
e → 1 + e → 2 i f → 2 = CA= →
e → 1 − e → 2 dobijamo da je
[ → f 1 ] e = (1, 1), [ → f 2 ] e = (1, −1).
Matricu prelaska sa baze e na bazu f dobijamo tako što koordinate tih vektora,
složimo kao kolone matrice, redom. Dakle matrica prelaska je
( ) ( )
c11 c
C = 12 1 1
= .
c 21 c 22 1 −1
Koordinate novog koordinatnog početka, tačke B u reperu Oe su [B] Oe = [ OB
→
] e = (1, 1) = (b 1 , b 2 ), jer je OB= →
e → 1 + e → 2 . Dakle, formule transformacije koordinata
su
3.3 Vežbanja
x = x ′ + y ′ + 1,
y = x ′ + −y ′ + 1.
3.1 Težište trougla OAB je tačka O ′ . U ravni trougla izabrana su dva koordinatna
sistema: sistem Oxy sa početkom u tački O i koordinatnim vektorima
→
e 1 = OA → i e → 2 = OB →
i sistem O ′ x ′ y ′ sa početkom u tački O ′ i koordinatnim vektorima
f → 1 = O →
′ A i f → 2 = O →
′ B. Odrediti formule transformacija i koordinate središta
stranica trougla OAB u oba sistema.
3.2 Dat je tetraedar OABC. Koordinatni sistem Oxyz ima početak u temenu
O, a koordinatni vektori su e → 1 = OA, → e → 2 = OB →
i e → 3 = OC. →
Koordinatni sistem
Ax ′ y ′ z ′ ima početak u temenu A tetraedra, a njegovi koordinatni vektori su
→
f 1 = AD, →
f → 2 = AE → i f → 3 = AF, → gde su D, E i F središta ivica BC, OA i AB. Odrediti
formule transformacija i koordinate temena tetraedra u odnosu na sistem
Ax ′ y ′ z ′ .
3.4 Transformacije koordinata ortonormiranih repera
Neka su Oe i Qf dva ortonormirana repera u ravni i neka je, odredjenosti radi,
prvi reper pozitivne orjentacije. Odredimo formule transformacija koordinata
iz jednog repera u drugi.
Koordinate tačke Q u reperu Oe su, recimo, [Q] Oe = (q 1 , q 2 ). Vektor → f 1
gradi sa vektorom → e 1 neki ugao φ ∈ [0, 2π) (mereno u pozitivnom smeru od
vektora → e 1 prema vektoru → f 1 ), pa kako je on jedinični, njegove koordinate u bazi
e su [ → f 1 ] e = (cosφ, sin φ). Ako je baza ( → f 1 , → f 2 ) pozitivne orjentacije vektor → f 2
gradi ugao φ + π 2 sa vektorom → e 1 , pa su njegove koordinate
[ f → 2 ] e = (cos(φ + π 2 ), sin(φ + π )) = (− sin φ, cosφ).
2
14

Ovo nam omogućuje da odredimo formule transformacija.
Ako je reper Qf negativne orjentacije, vektor f → 1 ima iste koordinate kao u
prethodnom slučaju, a vektor f → 2 je suprotan onom iz prethodnog slučaja, pa je
[ f → 2 ] e = (sin φ, − cosφ).
→
✻
→
❪
→
e 2
φ + π 2
✙
f 2
→
f
′
2
e 2
→
e1
❫
Q
✻
→
f 1= f → 1
′
✸
❪ φ
✲
→
e 1
O
✲
Slika 9: Izometrijske transformacije koordinata
Ovo razmatranje možemo sumirati sledećom teoremom
Teorema 3.1 Formule transformacija koordinata ravni iz ortonormiranog repera
Oe u ortonormiran reper Qf iste orjentacije su:
( ) ( ) ( ) ( )
x cosφ − sinφ x
′
=
1 q1
y sin φ cosφ x ′ + . (8)
2 q 2
Ukoliko su reperi različitih orjentacija formule su:
( ) ( ) ( x cosφ sin φ x
′
=
1
y sin φ − cosφ x ′ 2
) ( )
q1
+ . (9)
q 2
Formula (8) predstavlja kompoziciju translacije koordinatnog sistema za vektor
(q 1 , q 2 ) i rotacije za ugao φ. Matrica u toj formuli naziva se matrica
rotacije za ugao φ. Formula (9) predstavlja kompoziciju translacije koordinatnog
sistema za vektor (q 1 , q 2 ) i refleksije u odnosu na pravu koja sadrži
tačku Q i gradi ugao od φ 2 u odnosu na vektor → e 1 .
Primetimo da je determinanta prve transformacije jednaka jedan, a druge
transformacije −1, što odgovara činjenici da su baze e i f iste, odnosno različite
orjentacije.
Naime, orjentaciju na vektorskom prostoru je algebarski moguće uvesti na
sledeći način. Ako su e i f baze vektorskog prostora V n kažemo da su one
iste orjentacije ako je det(C e→f ) > 0, gde je C e→f matrica prelaska. Ova
algebarska definicija se poklapa sa intuitivnim definicijama iz poglavlja 2.2.
3.3 Da li formule
( x
y
)
=
( √3
1
2 2
1
2
− √ 3
2
15
) ( ) ( x
′ 1
y ′ +
−1
⊓⊔
)
. (10)

prestavljaju transformaciju koordinata izmedju dva ortonormirana repera. Precizno
nacrtati uzajamni položaj tih repera.
4 Afina preslikavanja ravni
4.1 Definicija i osobine afinih preslikavanja
Reč afini označava da se pojam odnosi na prostor tačaka koji je vezan za odgovarajući
vektorski prostor. Intuitivno, afino preslikavanja je takvo preslikavanje
tačaka u tačke koje indukuje linearna preslikavanja odgovarajućih vektora. Da bi
se afina preslikavanja uvela na geometrijski način, tj. bez koordinata, neophodno
je uvesti pojam afinog prostora. To bi nas odvelo izvan granica praktičnog.
Iako sva tvrdjenja ovog poglavlja važe za proizvoljan reper, pretpostavimo da
je Oe ortonormiran reper pozitivne orjentacije, a (x, y) odgovarajuće koordinate
u ravni.
Definicija 4.1 Afino preslikavanje ravni je preslikavanje koje tački M(x, y)
preslikava u tačku M ′ (x ′ , y ′ ) po pravilu
( ) ( ) ( ) ( )
x
′ a11 a
y ′ = 12 x q1
+ , (11)
a 22 y q 2
uz uslov det(a ij ) ≠ 0.
a 21
Prethodna jednačina može se zapisati u matričnom obliku
X ′ = AX + q,
gde su X i X ′ kolone koordinata tačaka M i M ′ . Iz razloga koje ćemo pokazati
matrica A = (a ij ) se naziva linearni deo afinog preslikavanja, a vektor
kolona q je tzv. vektor translacije.
Označimo sa Y i Y ′ kolone koordinata neke druge tačke N i njene slike N ′
redom. Jasno je da važi
Y ′ = AY + q.
Za odgovarajuće vektore važi:
→
[ M ′ N ′ ] e = Y ′ − X ′ = (AY + q) − (AX + q) = A(Y − X) = A[ MN] e .
Dakle, afino preslikavanje tačaka indukuje linearno preslikavanje vektora odredjeno
matricom A, pa se zato ta matrica predstavlja linearni deo afinog preslikavanja.
Primetimo da vektor translacije q nema dejstva na vektorima (oni su
invarijantni na translacije), već samo na tačkama.
Pogledajmo sada kakvo značenje imaju matrica A i vektor translacije q.
Teorema 4.1 Kolone matrice A su koordinate slika baznih vektora, redom.
Vektor q predstavlja koordinate slike koordinatnog početka.
Dokaz: Prvi bazni vektor e → 1 ima koordinata (1, 0). Zato su koordinate njegove
slike
( ) ( ) ( )
A[ e → a11 a
1 ] e = 12 1 a11
= .
a 21 a 22 0 a 21
Dakle, prva kolona matrice A predstavlja koordinate slike vektora e → 1 . Slično
je sa drugom kolonom. Odredimo sada sliku koordinatnog početka O(0, 0).
Uvršavanjem u jednačine (11) dobijamo da je slika koordinatnog početka tačka
Q(q 1 , q 2 ).
⊓⊔
→
16

Teorema 4.2 (Osobine afinih preslikavanja ravni)
1. Bijekcije su;
2. Preslikavaju prave na prave, a krive drugog reda na krive drugog reda;
3. Čuvaju razmeru tri tačke;
4. Čuvaju paralelnost. Dakle, slika paralelograma je paralelogram.
5. Afinim preslikavanjem možemo preslikati proizvoljan trougao na proizvoljan
drugi trougao.
6. Ako je F ′ slika figure F pri afinoj transformaciji ?? tada je odnos njihovih
zapremina V (F ′ ) : V (F) = | detA|.
Dokaz:
1) Preslikavanje (11) je bijekcija zato što ima inverzno preslikavanje. Naime
formule (11) mogu da se reše po (x, y) jer je det A ≠ 0, pa postoji njoj inverzna
matrica (vidi sledeći primer).
2) Jednačina prave je linearna (stepena 1), a jednačina krive drugog reda
je kvadratna (stepena 2). Uvrštavanje linearnih jednačina preslikavanja (11)
neće promeniti stepen jednačine, tako da afino preslikavanje preslikava prave na
prave, a krive drugog reda na krive drugog reda.
→
3) Neka su tačke A, B i C kolinearne i λ njihova razmera, tj. AC= λ CB.
→
Ako su A ′ , B ′ i C ′ njihove slike, pošto je preslikavanje na vektorima linearno
važi
→
A ′ C ′ = L( AC) → = L(λ CB) →
= λL( CB) →
= λ C →
′ B ′ .
Dakle, preslikavanje čuva razmeru.
4) Ako su prave paralelne one se ne seku, pa se neće seći ni njihove slike.
Dakle slike paralelnih pvih su paralelne prave.
5) Neka je A(0, 0), B(1, 0) i C(0, 1). Dokažimo da se trougao ABC može
preslikati u proizvoljan trougao A ′ B ′ C ′ →
. Vektor AB= e → 1 je upravo prvi bazni
→
vektor, a njegova slika vektor A ′ B ′ . Vektor AC= → e → 2 je upravo drugi bazni vektor,
→
a njegova slika vektor A ′ C ′ . Tačka A je koordinatni početak, a njena slika data
tačka A ′ . Dakle, prva i druga kolona matrice preslikavanja su koordinate vektora
A ′ B ′ i A ′ C ′ , a koordinate vektora translacije su koordinate tačke A ′ . Dakle,
odredili smo afino preslikavanje L 1 koje slika trougao ABC na A ′ B ′ C ′ . Slično
možemo da odredimo preslikavanje L 2 koje slika ABC na A”B”C”. Kompozicija
L 2 ◦ L −1
1 je afino preslikavanje koje slika trougao A ′ B ′ C ′ na trougao A”B”C”.
6) Primetimo da translacija ne menja površinu. Zato je dovoljno videti kako
linearni deo afinog preslikavanja menja površinu. Posmatrajmo kvadrat ivice
jedan (i površine jedan) čiji su vektori ivica upravo bazni vektori → e 1 i → e 2 . On
se preslikava u paralelogram čiji su vektori ivica → a 1 = (a 11 , a 21 ) i → a 2 = (a 12 , a 22 )
zapravo kolone matrice A. Površina paralelograma razapetog tim vektorima je
| → a 1 × → a 2 | = |D( → a 1 , → a 2 )| = | detA|
Dakle u tom slučaju tvrdjenje važi. Ako ivicu kvadrata povećemo λ > 0 puta,
povećace se površina i kvadrata, ali i paralelograma za λ 2 puta, pa je odnos
površina opet jednak | detA|. Kako svaki lik možemo aproksimirati kvadratima,
1 dobijamo da tvrdjenje važi u opštem slučaju.
⊓⊔
mere
1 Ovo nije sasvim tačno. Matematički korektnim merenjem površina bavi se tzv. teorija
17

Primer 4.1 Date su tačke A(−1, −1), B(1, −1), C(1, 1), D(−1, 1); A ′ (4, 5),
B ′ (8, 7), C ′ (6, 9), D ′ (2, 7).
1) Odrediti jednačine afinog preslikavanja koje kvadrat ABCD preslikava u
paralelogram A ′ B ′ C ′ D ′ .
2) Odrediti jednačinu slike kruga upisanog u kvadrat.
3) Kolika je površina slike kruga.
Rešenje: 1) Kako se vektori
→
A ′ B ′ = (4, 2) i
→
AB= 2 → e 1 i
→
AD= 2 → e 2 slikaju redom u vektore
→
A ′ D ′ = (−2, 2), zbog linearnosti preslikavanja imamo
→
e 1 ↦→ (2, 1),
→
e 2 ↦→ (−1, 1).
Pošto se razmera čuva onda se središte dijagonale AC, a to je koordinatni
početak O(0, 0) preslikava u središte dijagonale A ′ C ′ , tj. tačku Q(5, 7). Dakle
O(0, 0) ↦→ Q(5, 7).
Dakle, traženo preslikavanje je dato formulama:
( ) ( ) ( ) (
x
′ 2 −1 x 5
y ′ =
+
1 1 y 7
)
.
2) Da bismo odredili sliku kruga x 2 + y 2 = 1 upisanog u kvadrat moramo
da odredimo formule ( inverznog ) preslikavanja. Matrica inverzna matrici ovog
1 1
preslikavanja je 1 3
, pa kada prethodne formule rešimo po (x
−1 2
′ , y ′ )
brzo dobijamo
( x
′
y ′ )
= 1 3
( 1 1
−1 2
) ( x
y
) ( 4
+
3
)
.
Zamenom u jednačinu kruga dobijamo jednačinu njegove slike
2x ′ 2 − 2x ′ y ′ + 5y ′ 2 + 6x ′ + 60y ′ + 216 = 0.
Slika kruga je elipsa.
3) Kako je površina kruga poluprečnika jedan jednaka π, a determinanta
matrice preslikavanja 4, površina elipse je jednaka
V (F ′ ) = | det A|F ′ = 4π.
4.2 Predstavljanje afinih preslikavanja matricama
Poznato je da kompoziciji linearnih preslikavanja odgovara proizvod matrica. Sa
afinim preslikavanjima to nije slučaj. Translatorni i linearni deo afinog preslikavanja
zapisuju se na različite načine: translatorni je dodavanje brojeva koordinatama,
a linearni množenje koordinata matricom. Teškoće nastaju kada želimo
da eksplicitno izračunamo ili u memoriji računara zapamtimo kompoziciju većeg
broja afinih transformacija, što je često slučaj u praksi.
Voleli bismo da celo afino preslikavanje predstavimo matricom, na takav
način da kompoziciji afinih preslikavanja odgovara množenje matrica. Evo kako
se to može uraditi.
Afino preslikavanje (11) predstavimo matricom formata 3 sa 3
A q =
⎛
⎝ a 11 a 12 q 1
a 21 a 22 q 2
0 0 1
⎞
⎠ ili A q =
( A q
0 1
)
,
18

gde je druga matrica zapisana u blok formi. Koordinatama tačaka (x, y) dodajemo
treću koordinatu koja je uvek jednaka 1 i koju zato uvek možemo ignorisati.
Lako se da proveriti da je tada izraz
⎛
⎝ x′
y ′
1
⎞
⎠ =
⎛
⎝ a 11 a 12 q 1
a 21 a 22 q 2
0 0 1
⎞⎛
⎠
⎝ x y
1
⎞
⎠
ili
( X
′
1
)
=
( A q
0 1
) ( X
1
ekvivalentna formulama afine transformacije (11). Dakle, afino preslikavanje
(11) predstavljeno matricom A q dejstvuje na kolone koordinata tačaka množenjem
sleva. Sada se postavlja pitanje da li kompoziciji afinih preslikavanja odgovara
proizvod matrica.
Ako su A q i B r dve takve matrice, njihov proizvod u blok formi je jednak
B r A q =
( B r
0 1
) ( A q
0 1
)
=
( BA Bq + r
0 1
On dakle predstavlja afino preslikavanje sa matricom BA i vektorom translacije
Bq + r. Pogledajmo sada šta bismo dobili kompozicijom afinih preslikavanja
X ′ = AX + q, X” = BX ′ + r.
Uvrstimo li formule prvog preslikavanja u formule drugog dobijamo
X” = B(AX + q) + r = (BA)X + (Bq + r).
Zaista, kompozicija afinih preslikavanja je preslikavanje sa matricom (BA) i
vektorom traslacije Bq + r, pa kompoziciji afinih preslikavanja odgovara
množenje matrica.
Ovo je lep primer izomorfizma grupa. Naime, grupa afinih preslikavanja
je izomorfna podgrupi {A q | detA ≠ 0} ⊂ Gl 3 (R) grupe invertibilnih matrica
formata 3 × 3.
4.3 Važni primeri afinih preslikavanja ravni
4.3.1 Translacija τ
Translacija za vektor → q (q 1 , q 2 ) data je formulama
x ′ = x + q 1 , y ′ = y + q 2 ,
)
.
)
ili u matričnom obliku
( ) ( x
′ 1 0
y ′ =
0 1
)( x
y
) ( )
q1
+ .
q 2
4.3.2 Rotacija R Q,φ za ugao φ oko tačke Q
Ako je tačka O(0, 0) baš koordinatni početak, tada se tačka O u rotaciji R O,φ
preslikava u sebe. Zato preslikavanje nema translatorni deo. Rotacija R O,φ koja
se kraće označava sa R φ je predstavljena matricom rotacije, tj.
( ) ( ) ( x
′ cosφ − sin φ x
y ′ =
sinφ cosφ y
U opštem slučaju možemo prvo napraviti translaciju za vektor → QO, zatim napraviti
rotaciju oko tačke O za dati ugao, i na kraju primeniti translaciju za vektor
)
.
19

→
OQ . Pokazuje se da je kompozicija ta tri preslikavnja upravo tražena rotacija
oko tačke Q, tj.
R Q,φ = τ →
OQ
◦ R φ ◦ τ →
OQ
.
Sada dolazi do izražaja predstavljanje afinih preslikavanja matricama. Naime
matrica preslikavanja R Q,φ je proizvod tri matrice (uzimamo Q(q 1 , q 2 ))
⎛
⎝ 1 0 q ⎞ ⎛
⎞⎛
1 cosφ − sinφ 0
0 1 q 2
⎠ ⎝ sin φ cosφ 0 ⎠⎝ 1 0 −q ⎞
1
0 1 −q 2
⎠
0 0 1 0 0 1 0 0 1
Primetite da se matrice primenjuju sa desna na levo, tj. najdesnija matrica se
primenjuje prva, isto kao u zapisu kompozicije preslikavanja.
Onaj kome je to potrebno može da pomnoži ove tri matrice i dobije opšte
formule rotacije. Mi to nećemo raditi jer je ideja da to radi računar.
4.3.3 Istezanje H Q,λ1,λ 2
u pravcu koordinatnih osa, sa centrom u
tački Q
Preslikavanje ( ) ( ) ( x
′ λ1 0 x
y ′ =
0 λ 2 y
za λ 1 , λ 2 > 0 fiksira kooridnatni početak, a bazne vektore → e 1 i → e 2 isteže λ 1 ,
odnosno λ 2 puta. Njega zovemo istezanje sa centrom u koordinatnom početku,
sa koeficientima λ 1 i λ 2 i označavamo sa H λ1,λ 2
.
Ako je centar istezanja proizvoljna tačka Q, tada se ono označava sa H Q,λ1,λ 2
.
Takvo istezanje svodimo na istezanje sa centrom u koordinatnom početku, slično
kao sto smo to radili sa rotacijom. Dakle, može se pokazati da važi
)
,
H Q,λ1,λ 2
= τ →
OQ ◦ H λ1,λ 2
◦ τ →
QO
.
Ukoliko je tačka Q(q 1 , q 2 ) tada je preslikavanje H Q,λ1,λ 2
dato proizvodom
matrica ⎛
⎝ 1 0 q ⎞ ⎛
1
0 1 q 2
⎠ ⎝ λ ⎞⎛
1 0 0
0 λ 2 0 ⎠⎝ 1 0 −q ⎞
1
0 1 −q 2
⎠
0 0 1 0 0 1 0 0 1
4.3.4 Smicanje S λ
Preslikavanje dato formulama
( ) ( ) ( x
′ λ1 λ x
y ′ =
0 λ 1 y
naziva se smicanje sa koeficientom λ u pravcu x ose.
4.4 Vežbanja
4.1 Definisati afino preslikavanje prostora, a zatim formulisati analogna tvrdjenja
tvrdjenjima 2, 4, 5 i 6 Teoreme 4.1 za afino preslikavanje prostora.
)
4.2 Dato je afino preslikavanje formulama
( ) ( ) (
x
′ 2 −1 x
y ′ =
1 1 y
) (
5
+
7
)
.
Odrediti formule inverznog preslikavanja.
20

4.3 Odrediti formule homotetije sa centrom u tački C(1, 2) i koeficientom 3.
U koju tačku se preslikava koordinatni početak pri ovoj homotetiji?
4.4 Odrediti formule rotacije za ugao φ = 7π 6
se preslikava tačka M(1, 3) pri ovoj rotaciji?
oko tačke A(−2, 3). U koju tačku
U narednim zadacima smatramo da su na ekranu računara uvedene celobrojne
(x, y) koordinate, x ∈ [0, 1023], y ∈ [0, 767], pri čemu donji levi piksel ima
koordinate (0, 0), a x osa je horizontalna. Pretpostavljamo da su to i koordinate
prozora u kome radimo. Koristiti matrični zapis afinih preslikavanja.
4.5 ”Zoom” alatka je realizovana na sledeći način: kada kliknemo mišem na
poziciju C(x 0 , y 0 ) slika se uveća za 40 posto, ali tako da se tačka C ne pomera.
Ako je korisnik programa kliknuo mišem na pozicije C 1 (200, 12), C 2 (466, 67),
C 3 (80, 222), redom, napisati matricu transformacije tačaka ekrana.
(Uputstvo: ta matrica je proizvod 9 matrica formata 3x3 - ne treba ih množiti
:))
4.6 ”Zoom to window” alatka je realizovana na sledeći način: kada kliknemo
mišem na poziciju A(x 0 , y 0 ), držimo pritisnutog miša, a zatim ga pustimo na
poziciji B(x 1 , y 1 ) zumira se pravougaonik čija su A i B dijagonalna temena.
Napisati afinu transformaciju koja odgovara ovoj komandi. Kako izgledaju njene
formule ako je A(750, 620), B(960, 100)?
4.7 ”Drag” alatka je realizovana na sledeći način: kada kliknemo mišem na
poziciju A(x 0 , y 0 ), držimo pritisnutog miša, a zatim ga pustimo na poziciji
B(x 1 , y 1 ) vrši se translacija ekrana za vektor AB. Napisati afinu transformaciju
koja odgovara ovoj komandi.
4.8 ”Rotate” alatka predstavlja rotaciju oko prethodno definisane tačke O za
neki ugao koji se odredjuje misem na sledeći način. Kada kliknemo mišem
na poziciju A(x 0 , y 0 ), držimo pritisnutog miša, a zatim ga pustimo na poziciji
B(x 1 , y 1 ) vrši se rotacija za ugao ∠AOB, od tačke A ka tački B (kraćim putem).
Napisati afinu transformaciju koja odgovara ovoj komandi. Kako izgleda matrica
ove transformacije ako je O(740, 150), A(740, 250), B(800, 150)?
21