Sterowanie sztafetowe w teorii sterowania - Wydział Matematyki i ...

Krzysztof Rykaczewski
Twierdzenie 3.2.2. [4] Załóżmy, że istnieje m > 0 takie, że dla każdego x ∈ AC(J, R n ), zachodzi
|Φ(x) − D(x)| m.
Jeśli spełnione jest, że CK(u) = 0, dla u ∈ U p−1 wtedy i tylko wtedy, gdy u(·) ≡ 0, to układ (3.2)
jest Φ-sterowalny poprzez U p . Dokładniej, dla każdego R > 0, istnieje λ > 0 takie, że układ (3.2) jest
Φ-sterowalny na zbiór B q (0, R) poprzez przestrzeń U p (λ).
Dowód. Ustalmy x 0 ∈ R n , u ∈ U p , s ∈ [0, 1] i oznaczmy
F(x 0 , u, s) := { x ∈ AC(J, R n ) : x(0) = x 0 , ẋ(t) = A(t)x(t)+B(t)u(t)+sf ( t, x(t), u(t) ) dla p. w. t ∈ J } .
Odwzorowanie F : R n × U p × [0, 1] ⊸ AC(J, R n ) ma niepuste wartości, co wynika z twierdzenia Peano.
Naszym zadaniem jest teraz pokazać, że jest ono u.s.c. jeśli na U p rozważamy topologię indukowaną
z L ∞ (J, R n ). W tym celu załóżmy, że C ⊂ AC(J, R n ) jest domknięty. Weźmy ciąg ( (x 0,k , u k , s k ) ) ∞
F −1
k=1 ∈
+ (C) = {(x 0 , u, s) ∈ R n ×U p ×[0, 1] : F(x 0 , u, s)∩C ≠ ∅} zbieżny do (x 0 , u, s). Dla każdego k istnieje
x k ∈ C takie, że
x k (t) = x 0,k +
Mamy, że ‖x k (t)‖ ∫ t
0
∫ t
0
[
A(τ)xk (τ) + B(τ)u k (τ) + s k f ( τ, x k (τ), u k (τ) )] dτ.
(
‖A(τ)‖·‖xk (τ)‖+‖B(τ)‖·|u(τ)|+|s k |·µ(τ) ) dτ. Stąd z nierówności Grönwalla
∫ 1
dostajemy, że ‖x k (t)‖ Ce
‖A(τ)‖ dτ 0 , gdzie C jest pewną stałą. Ponadto ‖ẋ k (t)‖ ‖A(t)‖ · ‖x k (t)‖ +
‖B(t)‖ · |u(t)| + |s k |µ(t) = c(t), gdzie c(·) jest dodatnia i całkowalna. Na podstawie twierdzenia 3.1.14
mamy, że istnieje takie x ∈ AC(J, R n k→∞
k→∞
), że x nk −−−→ x jednostajnie oraz ẋ nk −−−→ ẋ słabo w L 1 .
Tak więc z dokładnością do podciągu wartość sup t∈J |x k (t) − x(t)| dąży do zera, gdy k → +∞, oraz
x(t) = x 0 +
∫ t
0
[
A(τ)x(τ) + B(τ)u(τ) + sf
(
τ, x(τ), u(τ)
)]
dτ.
Następnie korzystając z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej wyrażenie po prawej stronie
nierówności
∫ 1
0 ‖ẋ k(τ) − ẋ(τ)‖ dτ ∫ 1
0 ‖A(τ)‖ · ‖x k(τ) − x(τ)‖ dτ + ∫ 1
0 ‖B(τ)‖ · |u k(τ) − u(τ)| dτ+
|s k − s| ∫ 1
0 ‖f( τ, x k (τ), u k (τ) ) ‖ dτ+
|s| ∫ 1
0 ‖f( τ, x(τ), u(τ) ) − f ( τ, x k (τ), u k (τ) ) (3.4)
‖ dτ,
dąży do zera, gdy k dąży do nieskończoności. Dlatego x k → x w AC(J, R n ), ponieważ norma w tej
przestrzeni jest postaci ‖x‖ AC = ‖x(0)‖+ ∫ 1
0 ‖ẋ(τ)‖ dτ. Stąd x ∈ C oraz (x 0, u, s) ∈ F+ −1 (C). Dowiedliśmy
więc górnej półciągłości F.
Tak samo (z twierdzenia Arzelà-Ascoli) można pokazać, że F jest odwzorowaniem o zwartych wartościach.
Z twierdzenia Aronszjana wynika, że F przyjmuje ponadto wartości acykliczne, gdy rozważamy
je jako podzbiory C(J, R n ) (tzn. w topologii z normą sup).
Żeby zobaczyć, że F(x 0 , u, s) jest acykliczny jako podzbiór AC(J, R n ) rozważmy odwzorowanie id :
AC(J, R n ) ⊃ F(x 0 , u, s) → F(x 0 , u, s) ⊂ C(J, R n ). Jest ono ciągłe (bo takie są normy w obydwu przestrzeniach)
oraz właściwe. Ponadto ma włókna acykliczne, bo id −1 (x) = x. Wobec tego z twierdzenia
Vietorisa-Beagle’a mamy, że F(x 0 , u, s) ⊂ AC(J, R n ) jest acykliczny.
Strategie sztafetowe w teorii sterowania, 2008 35