Sterowanie sztafetowe w teorii sterowania - Wydział Matematyki i ...

Krzysztof Rykaczewski
Dla naszych dalszych celów potrzebne będzie także natępujące
Twierdzenie 1.1.4. (Riesz) [1] Niech (X, Σ, µ) będzie przestrzenią z miarą σ-skończoną oraz niech
1 p < ∞. Niech L p (X, Σ, µ) będzie przestrzenią Banacha (klas abstrakcji) funkcji rzeczywistych Σ-
mierzalnych, całkowalnych z p-tą potęgą w X, wraz z normą zadaną jak w definicji 1.1.1. Wtedy przestrzenią
dualną do [ L p (X, Σ, µ) ] ∗
jest przestrzeń L q (X, Σ, µ), gdzie 1 p + 1 q
= 1, 1 < p < ∞ i q = ∞ dla
p = 1. Precyzyjniej: dla dowolnego f funkcjonału liniowego i ciągłego nad L p (X, Σ, µ) istnieje dokładnie
jedna Σ-mierzalna g ∈ L q (X, Σ, µ) (przy wspomnianej już relacji zachodzącej między p oraz q) taka, że
∫
f(x) = x(s)g(s) dµ(s) dla każdego x ∈ L p (X, Σ, µ).
X
Na odwrót, funkcjonał dany powyższym wzorem jest liniowy oraz ciągły nad L p (X, Σ, µ).
Podstawowym twierdzeniem dotyczącym rozszerzania funkcjonałów liniowych jest
Twierdzenie 1.1.5. (Hahn-Banach)[1] Niech X 0 będzie podprzestrzenią liniową rzeczywistej przestrzeni
liniowej X. Niech ρ będzie funkcjonałem Banacha określonym w X, a p 0 funkcjonałem liniowym i ciągłym
określonym na X 0 i takim, że p 0 (x) ρ(x) dla wszystkich x ∈ X 0 . Wtedy istnieje rozszerzenie p
funkcjonału p 0 , tzn. p| X0 = p 0 , takie, że p(x) ρ(x) dla każdego x ∈ X.
Twierdzenie 1.1.6. (Twierdzenie o odwzorowaniu odwrotnym)[1] Jeśli T : X → Y jest operatorem
liniowym, ciągłym i bijektywnym między dwiema przestrzeniami Banacha (ogólniej Frecheta( 1 )), to operator
T −1 jest również liniowy i ciągły.
Twierdzenie 1.1.7. Niech (X, Σ, µ) będzie przestrzenią z miarą, a f, g : X → R ∪ {+∞} niech będą
funkcjami Σ-mierzalnymi. Wtedy, jeśli f i g są całkowalne względem miary µ oraz dla każdego S ∈ Σ
zachodzi ∫ S fdµ = ∫ gdµ, to f = g µ-p.w. na Σ.
S
Twierdzenie 1.1.8. (Steinitza o wymianie) Dowolny zbiór liniowo niezależnych wektorów skończeniewymiarowej
przestrzeni liniowej można dopełnić do bazy tej przestrzeni przy pomocy wektorów wybranych
ze z góry zadanej bazy. Precyzyjniej: jeśli X = {v 1 , . . . , v n } jest bazą przestrzeni liniowej V oraz
Y = {z 1 , . . . z k } jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych, to:
1. k n,
2. istnieją takie indeksy i 1 , . . . , i n−s ∈ {1, . . . , n}, że {z 1 , . . . z k , v i1 , . . . , v in−s } jest bazą przestrzeni V .
1.2 Całkowita sterowalność układów liniowych
Na początek zajmować się będziemy liniowymi układami sterowania (będziemy też mówić procesami
sterowania), przez co rozumiemy równania różniczkowe postaci
ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ∈ J := [0, T ], (1.1)
gdzie A(·) oraz B(·) są macierzami o wymiarach n × n i n × m (odpowiednio), o współczynnikach całkowalnych.
Dokładniej, jeśli A = [ ]
a ij oraz B = [ ]
b
1i,jn ij , to a 1in, 1jm ij(·), b ij (·) ∈ L 1 (J, R) dla
wszystkich i, j.
O funkcji u : J → R m zakładamy, że należy do pewnej podprzestrzeni liniowej U B przestrzeni
L 1 (J, R m ), która zawiera L ∞ (J, R m ). Przestrzeń tę nazywać będziemy przestrzenią sterowań lub przestrzenią
strategii. Można ją wyrazić explicite wzorem: U B := { u ∈ L 1 (J, R m ) : B(·)u(·) ∈ L 1 (J, R m ) } .
1 Przestrzenią Frécheta nazywamy przestrzeń lokalnie wypukłą, której topologia wyznaczona jest przez zupełną półnormę.
Strategie sztafetowe w teorii sterowania, 2008 5