Sterowanie sztafetowe w teorii sterowania - Wydział Matematyki i ...

Uniwersytet Mikołaja Kopernika 

Wydział Matematyki i Informatyki 

Katedra Nieliniowej Analizy Matematycznej i Topologii 

Krzysztof Rykaczewski 

nr albumu: 183566 

Praca magisterska 

na kierunku matematyka 

Strategie sztafetowe w teorii sterowania 

Opiekun pracy dyplomowej 

prof. dr hab. Wojciech Kryszewski 

Katedra Nieliniowej Analizy 

Matematycznej i Topologii 

TORUŃ 2008

Spis treści 

Spis treści 1 

1 Podstawy teorii sterowania 4 

1.1 Podstawowe definicje i twierdzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

1.2 Całkowita sterowalność układów liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

1.3 Całkowita sterowalność poprzez n-wymiarową podprzestrzeń . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

1.4 Ograniczenie liczby przełączeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

1.5 D-sterowalność układów liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

2 Strategie sztafetowe 16 

2.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

2.2 Sterowania sztafetowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

2.3 Podstawowe twierdzenie o sterowaniach sztafetowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

2.4 Główny lemat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

3 Sterowanie sztafetowe dla układów nieliniowych 29 

3.1 Odwzorowania wielowartościowe i pomocne fakty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

3.2 Układy z zaburzeniem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

4 Zastosowanie sterowań sztafetowych do inkluzji różniczkowych 38 

4.1 Wstęp i podstawowe definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

4.2 Sterowalność procesów zadanych przez inkluzje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

Bibliografia 44 

Skorowidz 48 

1

WSTĘP 

Teoria sterowania jest interdyscyplinarną dziedziną matematyki, której głównym celem jest kontrola 

zachowania się w czasie układu dynamicznego, który najczęściej pochodzi od jakiegoś równania różniczkowego. 

Sterowanie układem uzyskuje się poprzez odpowiednie manipulowanie parametrem, którym 

jest funkcja zależna od czasu nazywana strategią. 

W pracy tej będziemy chcieli zrealizować dwa cele. Po pierwsze wytłumaczymy koncepcję sterowania 

sztafetowego, które to jest osią przewodnią całej pracy. W tej kwestii omówimy oraz udowodnimy podstawowe 

fakty i twierdzenia z tym związane. Oprzemy sie dlatego głównie na pracach [3], [4] oraz [5]. 

Po drugie pokażemy jak powstały i jaką drogą szły uogólnienia twierdzeń zawężających przestrzeń sterowań. 

Problem, który nas tutaj będzie interesował to jak zmniejszyć liczbę punktów nieciągłości (liczbę 

przełączeń) sterowania. 

Teoria sterowania jest bujnie rozwijającą się dziedziną analizy, dlatego istnieją dzisiaj dalekosiężne 

rozszerzenia niektórych zawartych w tej pracy wniosków. Dynamiczny i spektakularny rozwój tego działu 

matematyki dokonuje się jednak bardzo nierównomiernie. Niniejsza praca ma charakter systematyczny 

i jest próbą odpowiedzi na niektóre z pytań postawionych wyżej. W szczególności interesuje nas jak 

należycie ustalić optymalną liczbę przełączeń, a w niektórych przypadkach postaramy się dać odpowiedź 

jak znaleźć poszukiwaną przez nas przestrzeń strategii. Jednakże praca ta nie aspiruje bynajmniej do 

kompletnego omówienia zagadnień w niej zawartych. Jest to zaledwie zarys problematyki ujętych tu 

działów. 

Praca będzie się składać z czterech rozdziałów. Każdy rozdział rozpoczynać się będzie pewnymi twierdzeniami, 

które przydadzą się w dalszej jego części. Definicje oraz twierdzenia są często zaopatrzone 

w przykłady. Pracę otwiera rozdział, w którym zostaną opisane podstawowe kwestie koncepcyjne związane 

z teorią sterowania dla układów liniowych. Na początku nawiążemy do ogólnych twierdzeń dotyczących 

n-wymiarowej przestrzeni przełączeń. Scharakteryzujemy także pewne rozszerzenie klasycznej sterowalności 

układu. 

W rozdziale drugim wyjaśnimy kwestie związane ze sterowalnością sztafetową oraz podamy uogólnienia 

twierdzeń zawartych w rozdziale poprzednim. Ta część pracy jest najbardziej obszerna, ponieważ 

zastosowane tu metody będą (z korzyścią dla nas) pracowały w przypadkach ogólniejszych. 

W rozdziale trzecim poruszymy zagadnienie sterowalności układów liniowych z zaburzeniem. Da się tu 

zauważyć ogólny schemat, pod który podpadną podobne zagadnienia z tego zakresu. Zobaczymy też jak 

przydadzą się ogólne fakty zebrane i udowodnione w rozdziale drugim. 

2


W końcu w ostatnim rozdziale wytłumaczymy jak można przedstawione wcześniej wyniki zastosować 

do problemów sterowania w inkluzjach różniczkowych. 

Chciałbym podziękować mojemu promotorowi, prof. dr hab. W. Kryszewskiemu, za wnikliwe przeczytanie 

niniejszej pracy. 


Toruń, 18 lipca 2008 roku 

Strategie sztafetowe w teorii sterowania, 2008 3

ROZDZIAŁ 1 

Podstawy teorii sterowania 

1.1 Podstawowe definicje i twierdzenia 

W tym rozdziale przywołamy kilka podstawowych definicji, twierdzeń i koncepcji. Przybliżymy pewne 

(klasyczne już) konstrukcje z teorii równań różniczkowych oraz teorii sterowania, które zastosujemy 

w następnych częściach pracy. Zasadniczym obiektem naszego zainteresowania będą najpierw układy 

liniowe. 

Definicja 1.1.1. Niech (X, Σ, µ) będzie przestrzenią mierzalną z miarą. Zwyczajowo, przez L p (X, R n ), 

1 p < ∞, oznaczamy przestrzeń liniową (klas abstrakcji) funkcji mierzalnych f : X → R n , dla których 

∫ 

X |f(x)|p dµ(x) < ∞. Jest to przestrzeń Banacha z normą daną wzorem ‖f‖ p = [ ∫ X |f(x)|p dµ(x) ] 1 p 

. 

Symbolem L ∞ (X, R n ) oznaczamy przestrzeń funkcji spełniających warunek ess sup x∈X |f(x)| := 

inf {A: µ(A)=0} sup x∈X\A |f(x)| < ∞. Przestrzeń tę nazywamy przestrzenią funkcji istotnie ograniczonych; 

jest ona przestrzenią Banacha wraz z normą ‖f‖ ∞ = ess sup x∈X |f(x)|. 

Definicja 1.1.2. Niech a, b, gdzie a 

nazywamy absolutnie ciągłą, o ile istnieje funkcja y ∈ L 1( [a, b], R n) taka, że dla wszystkich t ∈ [a, b], 

mamy x(t) = x(a) + ∫ t 

a y(s) ds. Wynika stąd, że x ma wtedy prawie wszędzie pochodną oraz x′ = y. 

Zbiór wszystkich funkcji absolutnie ciągłych oznaczamy przez AC ( [a, b], R n) . Można pokazać, że 

AC ( [a, b], R n) jest przestrzenią Banacha z normą ‖x‖ AC = ‖x(a)‖ + ∫ b 

‖y(s)‖ ds. 

a 

Dowód poniższego twierdzenia o istnieniu i jednoznaczoności rozwiązania równania różniczkowego liniowego 

można znaleźć np. w [2]. 

Twierdzenie 1.1.3. Niech [a, b] =: J ⊂ R będzie odcinkiem. Przy założeniu, że J ∋ t ↦→ A(t) ∈ M n×n 

oraz J ∋ t ↦→ B(t) ∈ M 1×n są funkcjami ciągłymi, zagadnienie początkowe 

{ 

ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t), t ∈ J, 

x(t 0 ) = x 0 , 

dla dowolnych (t 0 , x 0 ) ∈ J × X, ma dokładnie jedno rozwiązanie określone na całym J. 

4


Dla naszych dalszych celów potrzebne będzie także natępujące 

Twierdzenie 1.1.4. (Riesz) [1] Niech (X, Σ, µ) będzie przestrzenią z miarą σ-skończoną oraz niech 

1 p < ∞. Niech L p (X, Σ, µ) będzie przestrzenią Banacha (klas abstrakcji) funkcji rzeczywistych Σ- 

mierzalnych, całkowalnych z p-tą potęgą w X, wraz z normą zadaną jak w definicji 1.1.1. Wtedy przestrzenią 

dualną do [ L p (X, Σ, µ) ] ∗ 

jest przestrzeń L q (X, Σ, µ), gdzie 1 p + 1 q 

= 1, 1 

p = 1. Precyzyjniej: dla dowolnego f funkcjonału liniowego i ciągłego nad L p (X, Σ, µ) istnieje dokładnie 

jedna Σ-mierzalna g ∈ L q (X, Σ, µ) (przy wspomnianej już relacji zachodzącej między p oraz q) taka, że 

∫ 

f(x) = x(s)g(s) dµ(s) dla każdego x ∈ L p (X, Σ, µ). 

X 

Na odwrót, funkcjonał dany powyższym wzorem jest liniowy oraz ciągły nad L p (X, Σ, µ). 

Podstawowym twierdzeniem dotyczącym rozszerzania funkcjonałów liniowych jest 

Twierdzenie 1.1.5. (Hahn-Banach)[1] Niech X 0 będzie podprzestrzenią liniową rzeczywistej przestrzeni 

liniowej X. Niech ρ będzie funkcjonałem Banacha określonym w X, a p 0 funkcjonałem liniowym i ciągłym 

określonym na X 0 i takim, że p 0 (x) ρ(x) dla wszystkich x ∈ X 0 . Wtedy istnieje rozszerzenie p 

funkcjonału p 0 , tzn. p| X0 = p 0 , takie, że p(x) ρ(x) dla każdego x ∈ X. 

Twierdzenie 1.1.6. (Twierdzenie o odwzorowaniu odwrotnym)[1] Jeśli T : X → Y jest operatorem 

liniowym, ciągłym i bijektywnym między dwiema przestrzeniami Banacha (ogólniej Frecheta( 1 )), to operator 

T −1 jest również liniowy i ciągły. 

Twierdzenie 1.1.7. Niech (X, Σ, µ) będzie przestrzenią z miarą, a f, g : X → R ∪ {+∞} niech będą 

funkcjami Σ-mierzalnymi. Wtedy, jeśli f i g są całkowalne względem miary µ oraz dla każdego S ∈ Σ 

zachodzi ∫ S fdµ = ∫ gdµ, to f = g µ-p.w. na Σ. 

S 

Twierdzenie 1.1.8. (Steinitza o wymianie) Dowolny zbiór liniowo niezależnych wektorów skończeniewymiarowej 

przestrzeni liniowej można dopełnić do bazy tej przestrzeni przy pomocy wektorów wybranych 

ze z góry zadanej bazy. Precyzyjniej: jeśli X = {v 1 , . . . , v n } jest bazą przestrzeni liniowej V oraz 

Y = {z 1 , . . . z k } jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych, to: 

1. k n, 

2. istnieją takie indeksy i 1 , . . . , i n−s ∈ {1, . . . , n}, że {z 1 , . . . z k , v i1 , . . . , v in−s } jest bazą przestrzeni V . 

1.2 Całkowita sterowalność układów liniowych 

Na początek zajmować się będziemy liniowymi układami sterowania (będziemy też mówić procesami 

sterowania), przez co rozumiemy równania różniczkowe postaci 

ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ∈ J := [0, T ], (1.1) 

gdzie A(·) oraz B(·) są macierzami o wymiarach n × n i n × m (odpowiednio), o współczynnikach całkowalnych. 

Dokładniej, jeśli A = [ ] 

a ij oraz B = [ ] 

b 

1i,jn ij , to a 1in, 1jm ij(·), b ij (·) ∈ L 1 (J, R) dla 

wszystkich i, j. 

O funkcji u : J → R m zakładamy, że należy do pewnej podprzestrzeni liniowej U B przestrzeni 

L 1 (J, R m ), która zawiera L ∞ (J, R m ). Przestrzeń tę nazywać będziemy przestrzenią sterowań lub przestrzenią 

strategii. Można ją wyrazić explicite wzorem: U B := { u ∈ L 1 (J, R m ) : B(·)u(·) ∈ L 1 (J, R m ) } . 

1 Przestrzenią Frécheta nazywamy przestrzeń lokalnie wypukłą, której topologia wyznaczona jest przez zupełną półnormę. 



Definicja 1.2.1. Niech U ⊂ U B . O układzie (1.1) powiemy, że jest całkowicie sterowalny poprzez podprzestrzeń 

U (lub po prostu całkowicie sterowalny poprzez U), o ile dla każdych x 0 , x 1 ∈ R n , przy pewnym 

sterowaniu u ∈ U, trajektoria temu sterowaniu odpowiadająca przeprowadza x 0 na x 1 , tzn. jedyne rozwiązanie 

układu (1.1), spełnia { 

x(0) = x 0 , 

x(T ) = x 1 . 

W przypadku gdy U = U B powiadamy, że proces (1.1) jest całkowicie sterowalny. 

Uwaga 1.2.2. Całkowita sterowalność jest równoważna całkowitej sterowalności z zera (tj. przy x 0 = 0). 

Istotnie, problemowi przejścia wzdłuż trajektorii rozwiązania z jednego punktu do dowolnego drugiego (dla 

ustalenia uwagi powiedzmy, że z x 0 ∈ R n do x 1 ∈ R n ), tzn. 

⎧ 

⎪⎨ ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), dla t ∈ J, 

x(0) = x 0 , 

(1.2) 

⎪⎩ 

x(T ) = x 1 , 

w sposób jednoznaczny, odpowiada problem przejścia z 0 do pewnego (zależnego od poprzednich) punktu, 

mianowicie ⎧ 

⎪⎨ 

⎪ ⎩ 

ż(t) = A(t)z(t) + B(t)u(t), dla t ∈ J, 

z(0) = 0, 

z(T ) = x 1 − X(T )x 0 ; 

(1.3) 

i vice versa. Przez X(·) oznaczyliśmy rezolwentę równania (1.1), tj. absolutnie ciągłą (a więc o wszystkich 

współrzędnych będących funkcjami absolutnie ciągłymi - patrz definicja 1.1.2) funkcję macierzową J ∋ 

t ↦→ M n×n spełniającą problem brzegowy Cauchy’ego 

{Ẋ(t) = A(t)X(t), t ∈ J, 

X(0) = I, 

gdzie I to macierz identycznościowa wymiaru n × n. 

Motywowani powyższą uwagą, nasze rozważania ograniczymy do zagadnień w postaci (1.3). 

W dalszym celu wprowadzimy kilka użytecznych definicji. Dla problemu początkowego Cauchy’ego 

{ 

ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), dla t ∈ J, 

(1.4) 

x(0) = 0, 

przez Ku oznaczymy jedyne jego rozwiązanie odpowiadające konkretnemu sterowaniu u. Jest więc to 

absolutnie ciągła funkcja dana za pomocą rezolwenty X(·) wzorem (wzorem Duhamela) 

Dla problemu (1.4) operator 

(Ku)(t) = X(t) 

∫ t 

0 

X −1 (s)B(s)u(s) ds. 

C : AC(J, R n ) → R n 

określa punkt końcowy, do którego można dojść w czasie T , idąc wzdłuż zadanej trajektorii startującej z 

zera. Oczywiście C dany jest przez 

C(x) = x(T ). 



Uwaga 1.2.3. K : U B → AC(J, R n ) oraz C : AC(J, R n ) → R n są operatorami liniowymi i ciągłymi. 

Użytecznym w dalszych naszych zamierzeniach będzie wprowadzenie oznaczenia (co prawda to raczej 

zabieg kosmetyczny) na złożenie powyżej zdefiniowanych operatorów C oraz K, mianowicie niech CK := 

C ◦ K : U B → R n . Mamy zatem 

∫ T 

CK(u) = X(T ) X −1 (s)B(s)u(s) ds. (1.5) 

0 

Zwróćmy uwagę, że surjektywność operatora CK jest równoważna całkowitej sterowalności procesu (1.1). 

1.3 Całkowita sterowalność poprzez n-wymiarową podprzestrzeń 

W tej części rozważać będziemy funkcje kawałkami stałe. Funkcję z odcinka J do R m nazywamy 

kawałkami stałą, o ile jest lewostronnie ciągła oraz istnieje skończona liczba rozłącznych przedziałów, 

sumujących się do całego J takich, że na każdym z nich funkcja przyjmuje stałą wartość z R m . Przestrzeń 

tych funkcji oznaczymy przez P C(J, R m ). Jest to oczywiście rzeczywista przestrzeń wektorowa. 

Niech {e i } m i=1 ⊂ Rm będzie bazą standardową w R m . Uściślijmy nasze dywagacje do odcinka J := [0, T ]. 

Oznaczmy przez χ [a,b] funkcję charakterystyczną odcinka [a, b] ⊂ J. Niech χ i τ (t) := χ [0,τ] (t)e i , i = 

1, . . . , m, τ ∈ J. 

Wykażemy iż 

Fakt 1.3.1. Przy wyżej wymienionych założeniach mamy 

gdzie χ = {χ i τ : τ ∈ J, i = 1, . . . , m}. 

P C(J, R m ) = span χ, (1.6) 

Dowód. Oczywiście każda funkcja ze zbioru span χ jest funkcją kawałkami stałą; stąd inkluzja „⊃” jest 

natychmiastowa. 

Niech v ∈ P C(J, R m ). Z definicji Im(v) = {v j } l j=1 dla pewnych v j ∈ R m . Oznaczmy A j = {t ∈ 

J : v(t) = v j }. Na mocy definicji funkcji kawałkami stałej możemy napisać, że A j = ⋃ n j 

k=1 (a k, b k ] oraz 

v j = ∑ m 

i=1 v ije i ∈ R m , gdzie v ij ∈ R. Mamy więc 

v = 

l∑ 

χ Aj v j = 

j=1 

l∑ 

j=1 i=1 

co dowodzi inkluzji „⊂” i kończy dowód. 

m∑ 

v ij χ Aj e i = 

Będzie nam jeszcze potrzebny następujący 

l∑ 

n m∑ ∑ j 

( 

v ij χ[0,bk ] − χ [0,ak ]) 

ei ∈ span χ 

j=1 i=1 k=1 

Lemat 1.3.2. Jeśli V jest n-wymiarową przestrzenią liniową oraz dla pewnego X ⊂ V mamy, że 

span X = V , to istnieją takie x 1 , . . . , x n ∈ X, że span{x 1 , . . . , x n } = V . 

Dowód jest trywialny. 

Jesteśmy już gotowi, aby sformułować najważniejszy rezultat w tej części. 



Twierdzenie 1.3.3. Jeśli układ (1.1) jest całkowicie sterowalny, to jest on sterowalny poprzez pewną 

n-wymiarową podprzestrzeń U ⊂ U B postaci 

gdzie i j ∈ {1, . . . , n}, τ j ∈ J dla j = 1, . . . , n. 

span{χ i1 

τ 1 

, . . . , χ in 

τ n 

}, (1.7) 

Twierdzenie to ma charakter egzystencjalny, ale okaże się, że jest możliwe znalezienie parametrów 

i 1 , . . . , i n , τ 1 , . . . , τ n . 

Dowód. Wykażemy, że CK(χ) rozpina R n . Załóżmy przez sprzeczność, że 

span CK(χ) = CK(span χ) = CK ( P C(J, R m ) ) ≠ R n . 

Stąd znajdziemy wektor 0 ≠ v ∈ R n taki, że v tr CK(u) = 0 dla każdego u ∈ χ, a więc z definicji 0 = 

v tr X(T ) ∫ T 

0 X−1 (s)B(s) ∑ m ∑ p 

i=1 j=1 χi τ j 

(s) ds dla dowolnych τ j ∈ J (v tr oznacza wektor transponowany 

do v). Stąd oczywiście wynika, że 

∫ T 

∫ τ 

0 = v tr X(T ) X −1 (s)B(s)χ i [ 

τ (s) ds = B tr (s) ( X(T )X −1 (s) ) tr ] trei 

v ds, 

0 

0 

dla wszystkich τ ∈ J oraz i = 1, . . . , m. 

Ponieważ odcinki [0, τ], gdzie 0 < τ T , generują σ-ciało zbiorów borelowskich na odcinku [0, T ], więc 

na podstawie twierdzenia 1.1.7 mamy, iż B tr (s) ( X(T )X −1 (s) ) tr 

v = 0 dla prawie wszystkich s ∈ J. Stąd 

jednak 

v tr CK(u) = 0, dla wszystkich u ∈ U B . 

Przeczy to jednak całkowitej sterowalności układu (1.1). Zastosowanie lematu 1.3.2 do X = CK(χ) 

kończy dowód. 

Oznaczmy przez B(R n ) rodzinę wszystkich niepustych, domkniętych i ograniczonych podzbiorów R n . 

Jeśli ɛ > 0 oraz A ∈ B(R n ), to zbiór O ɛ (A) := {x ∈ R n : istnieje a ∈ A taki, że ‖x − a‖ < ɛ} nazywamy 

ɛ-otoczką zbioru A. Dla A, B ∈ B(R n ) określmy 

d H (A, B) = inf{ɛ > 0 : A ⊂ O ɛ (B) oraz B ⊂ O ɛ (A)}. 

Można pokazać ([12], Proposition 4.3), że funkcja d H : B(R n ) × B(R n ) → [0, +∞) jest metryką 

na B(R n ). Metrykę tę nazywamy metryką Hausdorffa. 

Na oznaczenie funkcji przyjmującej wartości w zbiorze potęgowym danego zbioru (funkcji wielowartościowej) 

stosujemy oznaczenie ⊸. Więcej na temat tych funkcji można znaleźć w podrozdziale 

3.1. W celu znalezienia parametrów z tezy twierdzenia zdefiniujmy odwzorowania wielowartościowe 

G i1,...,i n 

: ∆ T n ⊸ R n wzorem 

{ ∫ t1 

∫ tn 

} 

G i1,...,i n 

(t 1 , . . . , t n ) = co 0, X(T − s)B(s)e i1 ds, . . . , X(T − s)B(s)e in ds , 

0 

0 

gdzie ∆ T n := {(τ 1 , . . . , τ n ) ∈ R n : 0 τ 1 . . . τ n T }, a i j = 1, . . . , n. Będziemy potrzebować 

następującego faktu: 

Fakt 1.3.4. Niech X będzie zwartym podzbiorem R n . Jeśli f 1 , . . . , f m : X → R n są ciągłe, to G : X ⊸ 

R n dana wzorem G(x) = co{f 1 (x), . . . , f m (x)} jest ciągła w metryce Hausdorffa. 



Dowód. Niech ɛ > 0 i ustalmy x ∈ X. Z ciągłości wszystkich f j istnieje δ > 0 taka, że dla wszystkich 

y 

∑ 

∈ X takich, że ‖x − y‖ < δ, zachodzi ‖f j (x) − f j (y)‖ < ɛ, gdzie j = 1, . . . , m. Weźmy dowolnie b = 

m 

k=1 λ kf k (y) ∈ G(y), przy czym ∑ m 

k=1 λ k = 1. Niech a ∈ G(x) będzie wtedy postaci a = ∑ m 

k=1 λ kf k (x). 

Wtedy, jeśli ‖x − y‖ < δ, to ‖a − b‖ ∑ m 

k=1 λ ( ) 

k‖f j (x) 

( 

− f j (y)‖ < 

) 

ɛ. Stąd G(y) ⊂ O ɛ G(x) . Podobnie 

pokazujemy przeciwną inkluzję. Stąd wyniknie, że d H G(x), G(y) < ɛ. 

Ponieważ funkcja [0, T ] ∋ s ↦→ X(T − s)B(s)e in ∈ R n f j 

jest całkowalna, to funkcje [0, T ] ∋ t j ↦→ 

∫ tj 

0 X(T − s)B(s)e i k 

ds ∈ R n są ciągłe dla j, i k = 1, . . . , n, jako funkcje górnej granicy całkowania. Stąd 

mamy wniosek, że odwzorowania G i1,...,i n 

: ∆ T n ⊸ R n są ciągłe w metryce Hausdorffa. 

Zauważmy teraz, że jeśli int G i1,...,i n 

(τ 1 , . . . , τ n ) ≠ ∅, to wektory ∫ t 1 

0 X(T −s)B(s)e i 1 

ds, . . . , ∫ t n 

X(T − 

0 

s)B(s)e in ds są liniowo niezależne, czyli stanowią bazę R n . Łatwo zauważyć, że wtedy przestrzeń 

span{χ i1 

τ 1 

, . . . , χ in 

τ n 

} całkowicie steruje układem (1.1). Ponadto z ciągłości wyznacznika wynika następujący 

Fakt 1.3.5. Jeśli int G i1,...,i n 

(τ 1 , . . . , τ n ) ≠ ∅, to int G i1,...,i n 

(s 1 , . . . , s n ) ≠ ∅ w pewnym otoczeniu punktu 

(τ 1 , . . . , τ n ) ∈ ∆ T n . 

Przy szukaniu potrzebnych nam parametrów wykorzystamy następujący algorytm: 

1. niech j = 1, 

2. dzielimy sympleksy ∆ T n na drobne części o średnicy mniejszej niż 1 2 j ; niech to będą ∆ T n,k , gdzie 

k = 1, . . . , m j , 

3. dla każdego układu {i 1 , . . . , i n } ⊂ {1, . . . , n}, każdego k = 1, . . . , m j oraz pewnego arbitralnego 

punktu (t 1 , . . . , t n ) ∈ ∆ T n,k sprawdzamy czy układ {∫ t 1 

0 X(T − s)B(s)e i 1 

ds, . . . , ∫ t n 

X(T − 

0 

s)B(s)e in ds} ⊂ R n jest liniowo niezależny (np. licząc wyznacznik); 

(a) jeśli TAK, to koniec algorytmu, a i 1 , . . . , i n oraz t 1 , . . . , t n są poszukiwanymi parametrami, 

(b) jeśli NIE, to j := j + 1 i wracamy do punktu 2. 

Z faktu 1.3.5 oraz zwartości ∆ T n otrzymujemy, że algorytm tej jest poprawny i zakończy się po skończonej 

liczbie kroków. 

1.4 Ograniczenie liczby przełączeń 

Skoro wiemy, że przestrzeń funkcji o skończonej liczbie przełączeń może sterować całym układem, to 

możemy zapytać czy da się zmniejszyć liczbę przełączeń (tj. punktów nieciągłości). Otóż przy mocniejszych 

założeniach dostajemy 

Twierdzenie 1.4.1. Niech m = 1 i załóżmy, że układ (1.1) jest całkowicie sterowalny. Wtedy układ ten 

jest całkowicie sterowalny poprzez przestrzeń funkcji kawałkami stałych posiadających co najwyżej n − 1 

punktów nieciągłości w ustalonych (tj. zależnych tylko od przestrzeni) punktach ⇔ ¯x(T ) ≠ 0, gdzie ¯x jest 

rozwiązaniem układu { 

ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)χ T (t), t ∈ J = [0, T ], 

(1.8) 

x(0) = 0. 



Dowód. W dalszym ciągu wygodnym będzie oznaczenie 

{ 

} 

V = CK(χ τ ) : 0 < τ T ⊂ R n . 

Z dowodu twierdzenia (1.3.3) wynika, że zbiór ten jest zbiorem generatorów przestrzeni R n . 

(Konieczność) Skoro ¯x(T ) ≠ 0, to (na podstawie tw. Steinitza o wymianie) istnieje baza R n zawierająca 

¯x(T ), zawarta w V . Powiedzmy, że b 1 , . . . , b n = ¯x(T ) ma opisaną własność i niech 

CK(v 1 ) = b 1 , 

. 

CK(v n ) = b n . 

Co więcej CK(χ T ) = ¯x(T ) = b n . Stąd v 1 , . . . , v n są liniowo niezależne, bo b 1 , . . . , b n są liniowo niezależne. 

Ponadto 

v 1 , . . . , v n ∈ span { χ τ : 0 < τ T } , 

ponieważ V generowało R n . 

Zauważmy teraz, że W = span {v 1 , . . . , v n } = span {χ τ1 , . . . , χ τk } dla pewnych 0 < τ 1 < · · · < τ k < T , 

gdzie k n, gdyż za χ τ1 można wziąć χ T , ponieważ jest to funkcja stała; ponownie skorzystaliśmy z tw. 

Steinitza o wymianie. Zatem W jest układem funkcji o co najwyżej n − 1 punktach nieciągłości, który 

całkowicie steruje układem (1.1), ponieważ 

CK(W ) = CK(span {v 1 , . . . , v n }) = span { CK(v i ) = b i ; i = 1, . . . , n } = R n . 

(Dostateczność) Z założenia wiemy, że 

CK| V : V → R n 

jest epimorfizmem, gdzie V = span {v 1 , . . . , v k } ⊂ U B to przestrzeń funkcji o co najwyżej n − 1 punktach 

nieciągłości (możemy założyć, że tych punktów jest dokładnie n − 1), a przez {v 1 , . . . , v k } oznaczyliśmy 

bazę V. Zauważmy, że skoro CK| V jest „na”, to k n. Jest jasne, że bez zmniejszenia ogólności można 

przyjąć, że k = n. Oznaczmy punkty nieciągłości przez τ 1 , . . . , τ n−1 . Tak więc J = [0, τ 1 ] ∪ (τ 2 , τ 3 ] ∪ 

. . . (τ n−1 , T ]. Wykorzystamy następujący 

Lemat 1.4.2. Jeśli v ma n − 1 punktów nieciągłości τ 1 , . . . , τ n−1 oraz na kolejnych przedziałach [0, τ 1 ], 

(τ 1 , τ 2 ], . . . , (τ n−1 , τ n ] przyjmuje odpowiednio wartości a j , j = 1, . . . , n, to mamy następujące przedstawienie 

n−1 

∑ 

v = (a j − a j+1 )χ τj + a n χ T , gdzie 0 < τ i < T , (1.9) 

j=1 

Dowód poprzez bezpośrednie sprawdzenie. 

Jeśli więc funkcja v i na wyżej wymienionych przedziałach przyjmuje kolejno wartości a i j , j = 1, . . . , n, 

to na podstawie lematu mamy przedstawienie 

n−1 

∑ 

v i = (a i j − a i j+1)χ τj + a i nχ T , dla i = 1, . . . , n. 

j=1 

Skoro v i było bazą V, to B = {CK(v i ); i = 1, . . . , n} jest bazą R n . Ale 

⎧ 

⎫ 

⎨n−1 

∑ 

⎬ 

B = (a i j − a i 

⎩ 

j+1)CK(χ τj ) + a i n¯x(T ); i = 1, . . . , n 

⎭ 

j=1 



{ ∑n−1 

} 

Jeśliby ¯x(T ) = 0, to B = 

j=1 (ai j − ai j+1 )CK(χ τ j 

); i = 1, . . . , n . Wtedy jednak {b i := CK(v i )} n i=1 

byłyby liniowo zależne! Istotnie, rozpisując powyższe równania mamy układ n równań liniowych o n − 1 

niewiadomych: 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

n−1 niewiadomych 

{ }} { 

a 1 1CK(χ τ1 )+ · · · +a 1 n−1CK(χ τn−1 ) = b 1 , 

· · · · · · · · · · · · 

a n 1 CK(χ τ1 )+ · · · +a n n−1CK(χ τn−1 ) = b n . 

Doszliśmy więc do sprzeczności! Dowód twierdzenia został ukończony. 

1.5 D-sterowalność układów liniowych 

Jesteśmy teraz gotowi do poszerzenia naszego pola badań. Zaczniemy od rozszerzenia definicji (1.2.1). 

Rozważmy wpierw ograniczony i surjektywny operator 

D : AC(J, R n ) → R q . 

Definicja 1.5.1. Powiemy, że układ (1.1) jest D-sterowalny poprzez U ⊂ U B (lub po prostu D-sterowalny, 

jeśli U = U B ), gdy dla dowolnego y ∈ R q układ 

{ 

ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ∈ J, 

(1.10) 

D(x) = y 

jest rozwiązywalny dla pewnego u ∈ U. 

Zauważmy, że jeśli D : AC(J, R n ) → R 2n jest przyporządkowaniem 

x ↦→ ( x(0), x(T ) ) , (1.11) 

to mamy do czynienia z całkowitym sterowaniem, a więc klasa równań jaką zamierzamy badać jest istotnie 

większa. 

Warunki początkowe istotnie ingerują w odpowiedź układu (1.10). Aby więc rozdzielić wpływ warunków 

początkowych oraz wyboru sterowania wprowadźmy operator liniowy L : AC(J, R n ) → L 1 (J, R n ) dany 

wzorem 

(Lx)(t) = ẋ(t) − A(t)x(t). (1.12) 

Jest to ciągły operator oraz dim Ker L = n (por. [2] Wniosek z § 12 rozdziału IX-tego). 

Definicja 1.5.2. Niech C : AC(J, R n ) → R q , q 0, będzie liniową i ciągłą surjekcją oraz C 0 : 

AC(J, R n ) → R n jest operatorem liniowym takim, że C 0 | Ker L 

jest izomorfizmem. Powiemy, że układ 

{ 

ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ∈ J, 

(1.13) 

C 0 (x) = 0 

jest C-sterowalny poprzez U, o ile dla każdego z ∈ R q istnieje u ∈ U takie, że jedyne jego rozwiązanie 

x ∈ AC(J, R n ) spełnia Cx = z. 

Zauważmy, że D-sterowalność można zawsze zredukować do C-sterowalności. Kluczowe w tej sprawie 

są dwa przypadki: 



Przypadek pierwszy 

ma miejsce gdy układ 

{ 

ẋ(t) = A(t)x(t), t ∈ J, 

D(x) = 0 

(1.14) 

ma tylko rozwiązanie trywialne (jest to na przykład spełnione, gdy D(x) = ( x(0), x(T ) ) ). 

Z założenia więc D| Ker L 

: Ker L → R q jest różnowartościowy, bo 

Ker(D| Ker L 

) = Ker D ∩ Ker L = {0}. (1.15) 

Możemy więc założyć, że q > dim Ker L = n, bo inaczej istniało by n liniowo niezależnych równań 

należących do Ker L, tzn. układ byłby sterowalny poprzez U = { u ≡ 0 } . Przypadek taki nie jest więc 

ciekawy. Tak więc q = p + n, gdzie p > 0. 

Skoro D| Ker L 

jest różnowartościowy, więc jest izomorfizmem na swój obraz, który jest n-wymiarową 

podprzestrzenią liniową (dla ustalenia uwagi powiedzmy, że M) w R q . 

Nim przejdziemy do dalszej części rozważań, wprowadzimy pewną definicję. Jeśli F : U → V ⊕ W jest 

przekształceniem liniowym, to oczywiście G : U → V ⊂ V ⊕ W , H : U → W ⊂ V ⊕ W dane wzorem 

{ 

{ 

F (x), o ile x ∈ F −1 (V ), 

F (x), o ile x ∈ F −1 (W ), 

G(x) = 

H(x) = 

0, w p.p., 

0, w p.p., 

są poprawnie zdefiniowanymi przekształceniami liniowymi. Weźmy a ∈ U. Skoro F (a) ∈ V ⊕ W , to 

w jednoznaczny sposób można przedstawić go w postaci sumy b 1 + b 2 w taki sposób, że b 1 ∈ V, b 2 ∈ W . 

Niech a 1 ∈ F −1 (b 1 ), a 2 ∈ F −1 (b 2 ). Wtedy 

Fakt 1.5.3. (Definicja) Odwzorowanie G ⊕ H : U → V ⊕ W , dane wzorem 

(G ⊕ H)(a) = G(a 1 ) + H(a 2 ), a ∈ U, 

jest poprawnie zdefiniowane oraz równe F . G ⊕ H nazywamy rozkładem operatora F na sumą prostą 

operatorów G i H. 

Skoro M ⊕ M ⊥ = R q , oraz D −1 (M), D −1 (M ⊥ ) są podprzestrzeniami liniowymi w AC(J, R n ), to 

naśladując powyższą definicję, następujące wzory (w sposób poprawny) zadają operatory liniowe 

{ 

{ 

D(x), o ile x ∈ D −1 (M), 

D(x), o ile x ∈ D −1 (M ⊥ ), 

C 0 (x) = 

C(x) = 

(1.16) 

0, w p.p., 

0, w p.p. 

w taki sposób, że obydwa są „na” oraz Ker C 0 | Ker L 

= {0}. 

W myśl powyższej uwagi, oraz utożsamiając M z R n , uzasadnionym staje się użycie następującego 

zapisu 

D = C 0 ⊕ C : AC(J, R n ) → R n ⊕ R p ≈ R q , (1.17) 

przy czym jak zauważyliśmy C 0 | Ker L 

jest izomorfizmem (np. C 0 x = x(0) w powyżej wspomnianym 

przykładzie). 

Uwaga 1.5.4. Skoro C 0 | Ker L 

jest „na”, to implikuje, że układ (1.13) jest D-sterowalny poprzez U wtedy 

i tylko wtedy, gdy układ { 

ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ∈ J, 

(1.18) 

C 0 (x) = 0 



jest C-sterowalny poprzez U. Istotnie, zauważmy najpierw, że przestrzeń rozwiązań układu (1.1) jest 

dokładanie równa x 0 + Ker L, gdzie x 0 jest dowolnym szczególnym rozwiązaniem tego równania. Jednakże 

Ker C 0 ∩ Ker L = {0}. Stąd rozwiązanie tego układu jest jednoznaczne. 

Jeśli dla każdego y ∈ R q istnieje x 0 ∈ AC(J, R n ) takie, że zachodzi (1.10), to D(x 0 ) = (C 0 ⊕ C)(x 0 ) = 

C 0 (x 1 ) + C(x 2 ) dla pewnych x 1 , x 2 takich, że C 0 (x 1 ) = y 1 ∈ R n , C(x 2 ) = y 2 ∈ R p . Skoro jednak C 0 | Ker L 

jest izomorfizmem, to możemy założyć, że x 1 ∈ Ker L. Stąd układ (1.10) odpowiada równoważnie dwóm 

układom { 

{ 

x˙ 

1 (t) = A(t)x 1 (t), t ∈ J, x˙ 

2 (t) = A(t)x 2 (t) + B(t)u(t), t ∈ J, 

C 0 (x 1 ) = y 1 , 

C(x 2 ) = y 2 . 

Pierwszy układ, na podstawie tego, że Ker C 0 | Ker L 

= {0}, ma zawsze jedno rozwiązanie. Tak więc układ 

(1.10) jest D-sterowalny, o ile C-sterowalny jest drugi z powyższych układów (oczywiście przy warunku 

C 0 (x 2 ) = 0). 

Na odwrót: załóżmy, że dla każdego z ∈ R p istnieje x 0 ∈ AC(J, R n ) takie, że zachodzi (1.18). Wtedy 

D(x 0 ) = (C 0 ⊕ C)(x 0 ). Z tego, że C 0 (x 0 ) = 0 mamy, iż x 0 ∈ D −1 (M ⊥ ), czyli C(x 0 ) = D(x 0 ) = z, tzn. 

(1.18) jest C-sterowalny. 

Skoncentrujemy więc nasze zainteresowanie na rozpatrywaniu C-sterowalności układu (1.18). Jak poprzednio 

K : U B → AC(J, R n ) 

wiąże z u ∈ U B jedyne rozwiązanie układu (1.18) (na podstawie Uwagi 1.5.4 jest on dobrze zdefiniowany). 

Naszym pytaniem jest więc surjektywność operatora 

CK := C ◦ K : U B → R p . 

Jeśli tylko istnieje pewna p-wymiarowa podprzestrzeń liniowa U ⊂ U B taka, że CK| U jest „na”, to układ 

(1.18) jest C-sterowalny. 

Zauważmy, że jeśli operator CK będzie posiadał przedstawienie całkowe takie jak (1.5), to z łatwością 

powtórzymy dowody twierdzeń (1.4.1) oraz (1.3.3); zatem aby rozszerzyć nasze wcześniejsze twierdzenia 

musimy pokazać, że CK również ma taką postać. 

W tym celu określmy 

Wiemy również, że 

L 0 = L| Ker C0 

: Ker C 0 → L 1 (J, R n ). 

Ker(L| Ker C0 

) = Ker(C 0 | Ker L 

) = Ker C 0 ∩ Ker L = {0}, (1.19) 

bo C 0 | Ker L 

jest izomorfizmem; stąd L 0 jest monomorfizmem. Ponadto L 0 jest „na”. Rzeczywiście, niech 

y ∈ L 1 (J, R n ). Wiemy, że L : AC(J, R n ) → L 1 (J, R n ) jest „na”, bo dla każdego b ∈ L 1 (J, R n ) równanie 

ẋ(t) = A(t)x(t) + b(t) ma rozwiązanie (twierdzenie 1.1.3). Istnieje więc x 1 ∈ AC(J, R n ) taki, że ẋ 1 = 

Ax 1 + y. Niech C 0 (x 1 ) = z. Skoro C 0 | Ker L 

też jest „na”, to istnieje x 2 ∈ Ker L takie, że C 0 (x 2 ) = z. 

Wówczas, z liniowości C 0 i L dostajemy, że C 0 (x 1 − x 2 ) = 0 oraz L 0 (x 1 − x 2 ) = L(x 1 − x 2 ) = y. 

Wykorzystamy następujący (dość oczywisty) 

Lemat 1.5.5. Jeśli f : V → W jest przekształceniem liniowym oraz Z ⊂ V jest podprzestrzenią liniową 

taką, że f| Z jest izomorfizmem, to Ker f ⊕ Z = V . 

Dowód. Z założenia {0} = Ker f ∩ Z = Ker(f| Z ). Niech v ∈ V oraz f(v) = w ∈ W . Istnieje v 1 ∈ Z taki, 

że f(v 1 ) = w. Oznaczmy v 2 := v −v 1 . Zauważmy, że v 2 ∈ Ker f, tzn. Ker f +Z = V . Dowodzi to tezy. 



Ponadto mamy 

Fakt 1.5.6. Jeśli U oraz W są przestrzeniami liniowymi i V = U ⊕ W , to przestrzeń ilorazowa V/U jest 

izomorficzna z W . 

Skoro L 0 jest izomorfizmem przestrzeni Banacha, to wtedy na podstawie lematu 1.5.5( 2 ) 

Stąd z pierwszego twierdzenia o izomorfizmie mamy 

Ker C 0 ⊕ Ker L = AC(J, R n ). (1.20) 

Ker C 0 ≈ AC(J, R n )/Ker L ≈ L 1 (J, R n ). (1.21) 

Istnieje więc operator L 1 (J, R n ) → Ker C 0 , który oznaczymy przez L −1 

0 . Co więcej: skoro U B ⊂ L 1 (J, R n ), 

to 

CL −1 

0 : L 1 (J, R n ) → R p (1.22) 

jest poprawnie zdefiniowany i „na”, zaś na podstawie twierdzenia o odwzorowaniu odwrotnym, jest liniowy 

i ciągły. Z twierdzenia Riesza o reprezentacji funkcjonałów liniowych i ciągłych, zastosowanego do każdej 

współrzędnej operatora liniowego CL −1 

0 , mamy 

CL −1 

0 (y) = ∫ T 

gdzie Φ(t) ∈ M p×n , gdzie t ∈ J. Stąd w szczególności 

0 

Φ(s)y(s) ds, dla każdego y ∈ L 1 (J, R n ), (1.23) 

CK(u) = 

∫ T 

0 

Φ(s)B(s)u(s) ds, (1.24) 

bo L −1 

0 (Bu) = {x ∈ Ker C 0 : L 0 x = Bu = ẋ − Ax} = Ku. Zaopatrzeni we wzór (1.24) jesteśmy teraz 

w stanie powtórzyć dowód twierdzenia 1.4.1 w przypadku, gdy D| Ker L 

jest monomorfizmem. 

Drugi przypadek to taki, w którym s = dim(Ker L ∩ Ker D) > 0, tzn. istnieje wiele rozwiązań 

(odpowiedzi) układu, które łączą dowolne dwa punkty z R n . 

Niech p 0 : Ker L ∩ Ker D → R s będzie dowolnym izomorfizmem. Z twierdzenia Hahna-Banacha 

wynika, że da się go rozszerzyć do funkcjonału liniowego i ciągłego S : AC(J, R n ) → R s takiego, że 

S| Ker L∩Ker D = p 0. 

Fakt 1.5.7. Układ (1.1) jest D-sterowalny poprzez U wtedy i tylko wtedy, gdy S ⊕ D-sterowalny poprzez 

U jest układ { 

ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ∈ J, 

(1.25) 

(S ⊕ D)(x) = (y 1 , y 2 ), 

gdzie S ⊕ D : AC(J, R n ) → R s × R q , S jest znalezionym powyżej funkcjonałem. 

Dowód. Rozumujemy analogicznie jak w Uwadze 1.5.4. 

Z tego faktu oraz z warunku, iż (S ⊕ D)| Ker L 

jest różnowartościwy, wynika, że wracamy znów do 

przypadku pierwszego. W ten sposób czystą formalnością jest przytoczenie poniższych wniosków. 

2 Przyjmujemy f = C 0 , Z = Ker L, V = AC(J, R n ). 



Wniosek 1.5.8. Niech D : AC(J, R n ) → R q będzie ciągłym surjektywnym operatorem liniowym oraz 

niech p = q + s − n, gdzie s = dim(Ker L ∩ Ker D), tzn. jest wymiarem przestrzeni rozwiązań problemu 

{ 

ẋ(t) = A(t)x(t), t ∈ J, 

D(x) = 0. 

Wtedy, jeśli układ (1.1) jest D-sterowalny, to jest D-sterowalny poprzez pewną p-wymiarową podprzestrzeń 

postaci 

U = span{χ i1 

τ 1 

, . . . , χ ip 

τ p 

}. 

Wniosek 1.5.9. Niech m = 1 i załóżmy, że układ (1.1) jest D-sterowalny oraz p = q + s − n, gdzie 

s = dim Ker L ∩ Ker D. Wtedy układ ten jest D-sterowalny poprzez przestrzeń funkcji kawałkami stałych 

posiadających co najwyżej p − 1 punktów nieciągłości w ustalonych (tj. zależnych tylko od przestrzeni) 

punktach ⇔ D(¯x) ≠ 0, gdzie ¯x jest rozwiązaniem układu (1.1) przy u ≡ 1. 


ROZDZIAŁ 2 

Strategie sztafetowe 

2.1 Wprowadzenie 

W tym rozdziale będziemy używać pewnych pojęć z pogranicza topologii algebraicznej i analizy, do których 

zrobimy teraz małe przygotowanie. Zaprezentowana maszyneria pozwoli nam osiągnąć mocniejsze 

wyniki niż w rozdziale pierwszym. 

2.1.1 Stopień w ujęciu homologicznym 

W dalszym ciągu potrzebna nam będzie znajomość funktora homologii singularnych (o współczynnikach 

w Z). Zaczerpnięte fakty pochodzą głównie z [8] oraz [16]. 

Jeśli f : S n → S n , gdzie S n oznacza n-wymiarową sferę, to odwzorowanie indukowane na grupach 

homologii jest następującym endomorfizmem f ∗n : H n (S n ) → H n (S n ). Skoro H n (S n ) ⋍ Z, to ten 

homomorfizm jest wyznaczony przez wartość na generatorze ˆ1 ∈ H n (S n ), ponieważ f ∗n (m) = mf ∗n (ˆ1). 

Definicja 2.1.1. Liczba całkowita f ∗n (ˆ1) nazywana jest stopniem (homologicznym) odwzorowania f i 

oznaczana jest przez deg(f). 

Znak deg(f) zależy od wyboru generatora grupy H n (S n ). Rzeczywiście, jeśli γ ∈ H n (S n ) jest generatorem 

tej grupy, to −γ też jest jej generatorem. Dlatego izomorfizm H n (S n ) ⋍ Z można zadać na dwa 

sposoby. 

Fakt 2.1.2. Powyżej zdefiniowany stopień ma następujące własności: 

1. Jeśli f, g : S n → S n są homotopijne, to deg(f) = deg(g). Na odwrót twierdzenie to też zachodzi 

(twierdznie Hopfa). 

2. Jeśli f, g : S n → S n oraz f ◦ g jest określone, to deg(f ◦ g) = deg(f) deg(g). 

Uwaga 2.1.3. Podobnie jak powyżej można zbudować stopień kohomologiczny. Można pokazać, że stopnie 

te są równe. 

16


2.1.2 Stopień topologiczny Brouwera 

Powyższa konstrukcja ma swój odpowiednik analityczny. Otóż, zachodzi 

Twierdzenie 2.1.4. [7] Każdej trójce (f, Ω, y 0 ), gdzie Ω ⊂ R n jest zbiorem otwartym i ograniczonym, 

f : Ω → R n jest odwzorowaniem ciągłym, a y 0 ∈ R n \ f(∂Ω), można przyporządkować liczbę całkowitą w 

taki sposób, że będzie zachodzić: 

1. Istotność (mówi się też Istnienie): Jeśli deg(f, Ω, y 0 ) ≠ 0, to istnieje x ∈ Ω taki, że f(x) = y 0 . 

2. Addytywność: Niech Ω i ⊂ Ω, i = 1, . . . , m będzie skończoną rodziną rozłącznych podzbiorów zbioru 

Ω, takich że y 0 ∉ f ( Ω \ (∪ m i=1 Ω i) ) . Mamy wtedy 

deg(f, Ω, y 0 ) = 

m∑ 

deg(f, Ω i , y 0 ). (2.1) 

i=1 

3. Wycinanie: Jeśli K = K ⊂ Ω i y 0 ∉ f(K) ∪ f(∂Ω), to 

deg(f, Ω, y 0 ) = deg(f, Ω \ K, y 0 ). (2.2) 

4. Homotopijna niezmienniczość: Niech f : Ω × I → R n będzie homotopią. Niech y będzie odwzorowaniem 

odcinka I w R n . Jeśli dla każdego t ∈ I zachodzi y(t) ∉ f t (∂Ω), to 

deg ( f t1 , Ω, y(t 1 ) ) = deg ( f t2 , Ω, y(t 2 ) ) , dla wszystkich t 1 , t 2 ∈ I. (2.3) 

5. Multiplikatywność: Niech Ω 1 ⊂ R n i Ω 2 ⊂ R k są ograniczonymi i otwartymi zbiorami, y 1 ∈ R n , y 2 ∈ 

R k oraz f 1 : Ω 1 → R n , f 2 : Ω 2 → R k odwzorowaniami ciągłymi, takimi że y 1 ∉ f 1 (∂Ω 1 ), y 2 ∉ 

f 2 (∂Ω 2 ). Wtedy 

deg ( f 1 × f 2 , Ω 1 × Ω 2 , (y 1 , y 2 ) ) = deg(f 1 , Ω 1 , y 1 ) · deg(f 2 , Ω 2 , y 2 ) (2.4) 

6. Normalność: Niech j : Ω ↩→ R n będzie włożeniem. Wtedy 

deg(j, Ω, y 0 ) = 1. (2.5) 

Definicja 2.1.5. Liczba całkowita deg(f, Ω, y 0 ) zdefiniowana powyżej nazywana jest stopniem Brouwera 

względem zbioru Ω ⊂ R n i punktu y 0 ∈ R n \ f(∂Ω). 

Fakt 2.1.6. Jeśli f, g : Ω → R n są ciągłe oraz takie, że f| ∂Ω 

= g| ∂Ω 

, to deg(f, Ω, p) = deg(g, Ω, p), o ile 

tylko p ∉ f(∂Ω). 

Fakt 2.1.7. Funkcja deg(f, Ω, ·) : R n → Z jest stała na składowych spójności R n \ f(∂Ω). 

Dowód powyższych twierdzeń oraz więcej informacji na temat elementarnych własności stopnia Brouwera 

Czytelnik może znaleźć w książce [7]. 

Poniższy lemat mówi o relacji między zdefiniowanymi powyżej niezmiennikami topologicznymi, a dowód 

jego można znaleźć w [9]. 

Lemat 2.1.8. Niech Ω ⊂ R k będzie ograniczonym i wypukłym zbiorem otwartym. Jeśli F : Ω → R k , 

będzie takie, że 0 ∉ F (∂Ω), oraz G : ∂Ω → S k−1 dany będzie wzorem 

G(t) = 

gdzie S k−1 oznacza sferę jednostkową w R k , to deg(G) = deg(F, Ω, 0). 

F (t) , dla t ∈ ∂Ω, (2.6) 

‖F (t)‖ 



Uwaga 2.1.9. Można pokazać, że przy powyższych założeniach o Ω mamy, że ∂Ω ⋍ S k−1 ([18], Twierdzenie 

2.10.13). 

Dotychczasowe rozważania z tego rozdziału przygotowały nas ażeby rozważać 

2.2 Sterowania sztafetowe 

Rozważać teraz będziemy tzw. sterowania sztafetowe (ang. relay control) wprowadzone pierwszy raz 

przez G. Aronssona w 1977 w [6]. 

Ponownie rozpatrujemy procesy sterowania postaci 

ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ∈ J := [0, 1]. (2.7) 

Podobnie jak poprzednio interesuje nas surjektywność operatora S : U B → R p (przy oznaczeniach 

z pierwszego rozdziału) danego wzorem 

S(u) := CK(u) = 

Następująca definicja będzie podstawowa dla naszych dalszych badań: 

∫ 1 

0 

Φ(s)B(s)u(s) ds. (2.8) 

Definicja 2.2.1. Niech U k będzie zbiorem tych sterowań ze zbioru U B , które mają co najwyżej k punktów 

nieciągłości oraz |u(t)| = λ ∈ [0, ∞) dla t ∈ J. Wtedy zbiór 

U rel = 

∞⋃ 

U k (2.9) 

nazywamy zbiorem sterowań sztafetowych. Liczbę rzeczywistą λ nazywamy amplitudą sterowania u. 

k=0 

Naturalnym uogólnieniem definicji 1.5.2 jest następująca 

Definicja 2.2.2. Niech C 0 : AC(J, R n ) → R n oraz C : AC(J, R n ) → R p będą takie jak w rozdziale 

pierwszym (patrz strona 12). Układ 

{ 

ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ∈ J, 

(2.10) 

C 0 (x) = 0 

nazywamy sztafetowo C-sterowalnym, o ile S| Urel 

jest surjekcją. 

W odniesieniu do tego samego układu co powyżej powiemy, że jest on sztafetowo C-sterowalny rzędu k 

wtedy i tylko wtedy, gdy S| U k jest surjekcją, tzn. dla każdego z ∈ R p istnieje u ∈ U k takie, że x ( jedyne 

rozwiązanie (2.7) ) spełnia 

C 0 (x) = 0. 

Uwaga 2.2.3. Niech 

∆ k := { (τ 1 , . . . , τ k ) ∈ R k : 0 τ 1 . . . τ k 1 } . 

Zauważmy, że przestrzeń U k może zostać sparametryzowana za pomocą amplitudy oraz przełączeń. Mianowicie, 

dla każdego sterowania sztafetowego u rzędu k mamy, iż u = λû dla pewnego λ ∈ R takiego, że 

|u(t)| = |λ|, oraz 

k∑ 

û(τ 1 , . . . , τ k )(t) = (−1) j χ [τj,τ j+1](t), t ∈ J, (2.11) 

j=0 



gdzie τ 0 = 0, τ k+1 = 1 oraz (τ 1 , . . . , τ k ) ∈ ∆ k . Z liniowości S otrzymujemy, że 

gdzie zastosowaliśmy następujące oznaczenie 

S(u) = λS ( û(τ 1 , . . . , τ k ) ) = λŜ(τ 1, . . . , τ k ), (2.12) 

Ŝ(τ 1 , . . . , τ k ) = 

k∑ 

∫ τj+1 

(−1) j 

j=0 

τ j 

Φ(s)B(s) ds. (2.13) 

2.3 Podstawowe twierdzenie o sterowaniach sztafetowych 

Główną myślą poniższych rozważań jest rozszerzenie twierdzenia Borsuka o odwzorowaniu nieparzystym 

oraz zastosowanie go do zmiany przestrzeni strategii na zbiór U rel . Nim to zrobimy podamy następujące 

2.3.1 Twierdzenie o inwolucji 

Niech φ : S n−1 → S n−1 będzie inwolucją, tzn. ciągłą funkcją taką, że φ ◦ φ = id S n−1. 

Kluczowym okaże się teraz następujące twierdzenie, które zostało udowodnione w ([10], Corollary 2). 

Twierdzenie 2.3.1. Niech φ : S n−1 → S n−1 będzie inwolucją oraz f : (D n , S n−1 ) → (D n , S n−1 ) 

odwzorowaniem ciągłym takim, że f ( φ(x) ) ≠ f(x) dla x ∈ S n−1 . Wtedy deg(f, B n , 0) jest nieparzysty, 

gdzie B n = int D n . 

2.3.2 Pomocne definicje i twierdzenia 

W tej części pracy przypomnimy kilka podstawowych definicji, które wykorzystamy do dowodu lematu 

2.4.1. Przez ⊔ będziemy oznaczać sumę rozłączną. 

Definicja 2.3.2. Dla danych: przestrzeni topologicznej X oraz f : ∆ k → X, określamy dołączenie 

komórki k-wymiarowej do przestrzeni X poprzez odwzorowanie f jako operację zadaną następującym 

wzorem 

∆ k ∪ f X = ∆ k ⊔ X/≈, 

gdzie relacja równoważności dana jest przez 

{ 

y = f(x), jeśli x ∈ ∂∆ k , 

x ≈ y ⇔ 

x = y, w przeciwnym przypadku. 

Definicja 2.3.3. Przestrzenie topologiczne X oraz Y nazywamy homotopijnie równoważnymi (lub mówimy, 

że mają ten sam typ homotopijny), o ile istnieją przekształcenia ciągłe f : X → Y oraz g : Y → X 

takie, że g◦f jest homotopijne z id X oraz f ◦g jest homotopijne z id Y . Przekształcenia f oraz g nazywamy 

wtedy homotopijnie odwracalnymi. 

Przykład 2.3.4. [17] Sfera S 2 powstaje przez dołączenie komórki 2-wymiarowej do punktu. 

Łatwo zauważyć, że jeśli f i g są homotopijne, to ∆ k ∪ f X oraz ∆ k ∪ g X mają ten sam typ homotopijny. 

Definicja 2.3.5. Parą kołnierzykową nazywamy parę (X, A) spełniającą następujące warunki: 



1. X jest przestrzenią Hausdorffa, 

2. A ⊂ X jest domknięty, 

3. dla każdego x ∈ X \ A istnieją zbiory otwarte U oraz V takie, że x ∈ U oraz A ⊂ V , 

4. istnieje otwarte otoczenie B podprzestrzeni A w X takie, że A ≠ B i A jest mocnym retraktem 

deformacyjnym B, tzn. istnieje przekształcenie r : B → A spełniające warunki 

(a) r ◦i = id A , gdzie i : A ↩→ B jest włożeniem (tzn. r jest retrakcją z B do A; zobacz def. 3.1.15), 

(b) istnieje homotopia h t : [0, 1] × B → B taka, że h 0 = i ◦ r, h 1 = id B oraz h t (x) = x dla x ∈ A 

i t ∈ [0, 1]. (B nazywamy kołnierzykiem A) 

Uwaga 2.3.6. Mocny retrakt deformacyjny przestrzeni jest jej homotopijnie równoważny. 

Dowód poniższego twierdzenia można znaleźć w [8]. 

Twierdzenie 2.3.7. Niech (X, A) będzie parą kołnierzykową oraz niech f : A → Y będzie odwzorowaniem 

ciągłym, gdzie Y jest przestrzenią Hausdorffa. Oznaczmy Z = X ∪ f Y . Wtedy (Z, Y ) jest parą 

kołnierzykową. 

Dokładniej, jeśli B jest kołnierzykiem podprzestrzeni A w X, to Y ∪ f(B) jest kołnierzykiem podprzestrzeni 

Y w Z, gdzie f jest rozszerzeniem rzutowania kanoniczego na Z, tzn. f : X → Z dany jest 

wzorem f(x) = [x] ≈ . 

Fakt 2.3.8. Jeśli X oraz Y są homotopijnie równoważne, a f : X → Y oraz g : Y → X są homotopijnymi 

odwrotnościami, to dla każdego q 0 odwzorowania H q (f): H q (X) → H q (Y ) oraz H q (g): H q (Y ) → 

H q (X) są wzajemnie odwrotnymi izomorfizmami. 

Lemat 2.3.9. Niech (X, A) będzie parą kołnierzykową, a przestrzeń Z powstaje poprzez doklejenie X 

do przestrzeni Y za pomocą odwzorowania f : A → Y , gdzie A ⊂ X. Niech f będzie rozszerzeniem 

rzutowania kanoniczego na Z, tzn. f : X → Z dany jest wzorem f(x) = [x] ≈ . Wtedy indukowany (przy 

pomocy funktora homologii singularnych) homomorfizm 

jest izomorfizmem dla każdego q 0. 

H q (f) : H q (X, A) → H q (Z, Y ) 

Dowód. Niech B będzie kołnierzykiem A w X. Odwzorowania wyindukowane z inkluzji i odpowiednich 

obcięć odwzorowania f powodują przemienność następującego diagramu 

i 

H q (X, A) −−−−→ 

∗ 

Hq (X, B) 

⏐ 

⏐ 

⏐↓ 

↓f 1 f 2 

H q (Z, Y ) 

j ∗ 

( ) 

−−−−→ Hq Z, Y ∪ f(B) 

(2.14) 

gdzie f 1 , f 2 

diagramie 

są wyindukowane przez f. Zauważmy teraz, że homomorfizmy poziome w następującym 

H q (X \ A, B \ A) −−−−→ H q (X, B) 

⏐ 

↓f 3 

⏐ ⏐↓ 

f 2 

H q 

( 

Z \ Y, f(B \ A) 

) 

−−−−→ Hq 

( 

Z, Y ∪ f(B) 

) 

(2.15) 



są wyindukowane przez odpowiednie inkluzje. Z własności wycinania dla homologii singularnych są 

one izomorfizmami. Homomorfizm f 3 jest indukowany przez homeomorfizm, stąd f 2 jest izomorfizmem. 

Z twierdzenia 2.3.7 wiemy, że A jest retraktem deformacyjnym B, a Y jest retraktem deformacyjnym 

Y ∪ f(B). Stąd mamy przemienność następującego diagramu 

H q (A) −−−−→ H q (X) −−−−→ H q (X, A) −−−−→ H q−1 (A) −−−−→ H q−1 (X) 

⏐ 

⏐ 

⏐ 

⏐ 

⏐ 

↓ 

↓ 

↓ 

↓ 

↓ 

(2.16) 

H q (B) −−−−→ H q (X) −−−−→ H q (X, B) −−−−→ H q−1 (B) −−−−→ H q−1 (X) 

w którym wiersze pochodzą z ciągu dokładnego par. Z faktu 2.3.8 widzimy, że cztery zewnętrzne homomorfizmy 

są izomorfizmami. Korzystamy teraz z następującego 

Lemat 2.3.10. (O pięciu izomorfizmach) W sytuacji jak powyżej środkowy pionowy homomorfizm jest 

izomorfizmem. 

Na jego podstawie wnioskujemy, że i ∗ (oraz analogicznie j ∗ ) jest izomorfizmem. Wracając więc do 

diagramu (2.14): skoro i ∗ , j ∗ oraz f 2 były izomorfizmami, to f 1 też jest izomorfizmem. Kończy to dowód 

lematu. 

Twierdzenie 2.3.11. (Ciąg Mayera-Vietorisa) Jeśli X = U ∪ V , gdzie U, V ⊂ X są dwoma zbiorami 

otwartymi, to następujący ciąg 

· · · → H n+1 (X) → ∂∗ 

H n (U ∩ V ) → ϕ H n (U) ⊕ H n (V ) → ψ H n (X) → ∂∗ 

H n−1 (U ∩ V ) → · · · . 

jest długim ciągiem dokładnym, tzn. jądro następującego homomorfizmu jest równe obrazowi poprzedniego. 

2.4 Główny lemat 

Dążymy do udowodnienia głównego rezultatu w tym paragrafie, mianowicie twierdzenia 2.4.6. Kluczową 

rolę gra w tym następujący 

Lemat 2.4.1. Niech 

jest funkcją ciągłą spełniającą następujące warunki: 

1. F (0, α 1 , . . . , α k−1 ) = −F (α 1 , . . . , α k−1 , 1), 

F : ∆ k → R k 

2. jeśli k 2, to dla dowolnych α i β i α i+1 , gdzie i = 0, . . . , k−1, mamy F (β 0 , β 0 , α 1 , . . . , α k−2 ) = 

F (α 1 , β 1 , β 1 , α 2 , . . . , α k−2 ) = · · · = F (α 1 , . . . , α k−2 , β k−2 , β k−2 ). W szczególności F (α, α) = const. 

dla dowolnego α ∈ [0, 1]. 

Wtedy 0 ∈ F (∆ k ), oraz jeśli 0 ∉ F (∂∆ k ), to deg(F, int ∆ k , 0) ≠ 0. 

Dowód. Oczywiście trzeba rozpatrzeć tylko przypadek, gdy 0 ∉ F (∂∆ k ), ponieważ jeśli 0 ∈ F (∂∆ k ), 

to oczywiście 0 ∈ F (∆ k ) i koniec dowodu. Niech G : ∂∆ k → S k−1 będzie dane równaniem (2.6). 

Na podstawie lematu 2.1.8 wystarczy pokazać, że deg(G) ≠ 0. Przypomnijmy, że deg(G) = H k−1 (G)(1), 

gdzie 1 ∈ H k−1 (∂∆ k ) jest generatorem grupy H k−1 (∂∆ k ), a H ∗ oznaczają grupę homologii singularnych 

o współczynnikach całkowitych, zaś H k−1 (G) to homomorfizm indukowany przez G. 



Brzeg ∆ k jest postaci 

∂∆ k = 

k⋃ 

A j k , 

gdzie A j k = { (t 1 , . . . , t k ) ∈ ∆ k : t j = t j+1 

} 

to j-ta ściana (k − 1)-wymiarowa, przy założeniu, że t0 = 0 

oraz t k+1 = 1. Niech X 0 := A 0 k oraz X 1 := A k k . 

Zdefiniujmy homemorfizmy h j : ∆ k−1 → X j dla j = 0, 1, wzorami 

j=0 

h 0 (s 1 , . . . , s k−1 ) = (0, s 1 , . . . , s k−1 ), 

h 1 (s 1 , . . . , s k−1 ) = (s 1 , . . . , s k−1 , 1), 

dla (s 1 , . . . , s k−1 ) ∈ ∆ k−1 . Niech ˜X j = h j (∂∆ k−1 ) ⊂ X j dla j = 0, 1. 

lub 

Na ∆ k wprowadzamy relację ∼ k następującą: dla t, t ′ ∈ ∆ k mamy, że t ∼ k t ′ wtedy i tylko wtedy, gdy 

t = t ′ , o ile t lub t ′ ∈ X 0 ∪ X 1 ∪ int ∆ k , 

(t 1 , . . . , t i−1 , t i+2 , . . . , t k ) = (t ′ 1, . . . , t ′ j−1, t ′ j+2, . . . , t ′ k), 

dla t ∈ A i k oraz t′ ∈ A j k 

, 1 i, j k − 1. Z bezpośredniego sprawdzenia wynika, że jest to relacja 

równoważności. 

Przez ϕ k : ∆ k → ∆ k/ ∼ k 

oznaczmy rzutowanie ilorazowe na przestrzeń D k := ∆ k/ ∼ k 

. Niech ponadto 

˜D k = ϕ k (∂∆ k ) = ∂∆ k/ ∼ k 

. 

Odchodząc nieco od głównej myśli dowodu lematu 2.4.1 udowodnimy dwa lematy. 

Lemat 2.4.2. Przy założeniach jak wyżej mamy, że ϕ k ( ˜X 0 ) = ϕ k ( ˜X 1 ), tzn. dla każdego t ∈ ˜X 0 istnieje 

t ′ ∈ ˜X 1 taki, że t ∼ k t ′ . 

Dowód. (Lematu) Niech t = (0, s) ∈ ˜X 0 = h 0 (∂∆ k−1 ), gdzie s = (s 1 , . . . , s k−1 ) ∈ ∂∆ k−1 . Mamy następujące 

trzy przypadki: 

1. Jeśli s ∈ A 0 k−1 , to łatwo widać, że s 1 = 0. Wtedy zaś t ∼ k t ′ , gdzie t ′ = (s 2 , . . . , s k−1 , 1, 1) ∈ ˜X 1 . 

2. Jeśli s ∈ A j k−1 dla 1 j k − 2, to t ∼ k t ′ , gdzie t ′ = (0, s 1 , . . . , s j−1 , s j+2 , . . . , s k−1 , 1, 1) ∈ ˜X 1 . 

3. Jeśli s ∈ A k−1 

k−1 \ ⋃ k−2 

j=1 Aj k−1 , to 0 < s 1 < . . . < s k−1 = 1. Stąd t = (0, s) ∈ ˜X 1 . 

Analogicznie dowodzimy inkluzji w drugą stronę. 

Dla j = 0, 1 zdefiniujmy π j : ∂∆ k−1 → X := ϕ k ( ˜X 0 ) = ϕ k ( ˜X 1 ) wzorem π j = ϕ k ◦ h j . 

Lemat 2.4.3. Mamy następujący homeomorfizm ˜D k−1 ⋍ X . 

Dowód. (Lematu) Zdefiniujmy f : ˜Dk−1 → X wzorem f ( ϕ k−1 (s) ) = ϕ k 

( 

h1 (s) ) = π 1 (s) dla s ∈ ∂∆ k−1 . 

Łatwo zauważyć, że definicja ta jest poprawna, gdyż jeśli φ k−1 (s 1 ) = φ k−1 (s 2 ), to π 1 (s 1 ) = φ k (0, s 1 ) = 

φ k (0, s 2 ) = φ 1 (s 2 ). Mamy więc przemienny diagram 

˜D k−1 

∧ 

ϕ k−1 | ∂∆k−1 

∂∆ k−1 

f 

π 1 

h 1 > 

> X 

∧ 

> 

˜X 1 

ϕ k | ˜X1 



Ponieważ odwzorowania ilorazowe ( ( są otwarte i ciągłe, h 1 jest homeomorfizmem, a na podstawie diagramu 

zachodzi f −1 (U) = ϕ k−1 h 

−1 

1 ϕ 

−1 

k 

(U))) , więc f jest ciągłe. Pokażemy teraz, że f jest odwracalne. 

Określmy g : X → ˜D k−1 wzorem g ( π 1 (s) ) = g ( ϕ k 

( 

h1 (s) )) = ϕ k−1 (s) dla s ∈ ∂∆ k−1 . Pokażemy, że 

definicja ta jest poprawna. Niech h 1 (s) ∼ k h 1 (s ′ ). Rozważmy trzy przypadki: 

1. Jeśli s = (s 1 , . . . , s k−1 ) ∈ A 0 k−1 \ ⋃ k−2 

j=1 Aj k−1 , tzn. zachodzi 0 = s 1 < s 2 < · · · < s k−1 < 1. Skoro 

h 1 (s) ∼ k h 1 (s ′ ), to zachodzi warunek pierwszy z definicji relacji ∼ k−1 ; tak więc s = s ′ . 

2. Jeśli s, s ′ ∈ ⋃ k−2 

j=1 Aj k−1 , to skoro (s, 1) ∼ k (s ′ , 1) mamy, że s ∼ k−1 s ′ , ponieważ s k−1 ≠ 1 i s ′ k−1 ≠ 1, 

więc gdzieś muszą powtarzać się współrzędne. 

3. Jeśli s ∈ A k−1 

k−1 \ ⋃ k−2 

j=1 Aj k−1 , to 0 < s 1 < · · · < s k−1 = 1. Gdyby s ′ ∈ ⋃ k−2 

j=1 Aj k−1 , to ażeby (s, 1) ∼ k 

(s ′ , 1) musiałoby być, że s k−2 = 1, co jest niemożliwe wobec postaci s. Stąd s ′ ∈ A k−1 

k−1 \ ⋃ k−2 

j=1 Aj k−1 

oraz s ∼ k−1 s ′ . 

Podobnie jak wyżej łatwo sprawdzić, że g jest ciągła. Ponadto 

g ◦ f = id ˜Dk−1 

, 

f ◦ g = id X . 

Uwaga 2.4.4. Definiując f ′ : ˜Dk−1 → X wzorem f ′( ϕ k−1 (s) ) = ϕ k (h 0 (s)) = π 0 (s), także doszlibyśmy 

do podobnej konkluzji co powyżej. Odwrotnością do homeomorfizmu f ′ jest g ′ : X → ˜D k−1 dane wzorem 

g ′( π 0 (s) ) = g ( ( 

ϕ k h0 (s) )) = ϕ k−1 (s). 

Stwierdzenie 2.4.5. Mamy następujący homeomorfizm ˜D k ⋍ S k−1 , gdzie S k−1 to sfera (k − 1)- 

wymiarowa, oraz H q (ϕ k | ∂∆k 

) : H q (∂∆ k ) → H q ( ˜D k ) jest izomorfizmem dla q 0. 

Dowód. (Stwierdzenia) Będziemy dowodzić przez indukcję. Jeśli k = 1, to relacja ∼ 1 jest relacją identyczności, 

więc ˜D 1 = S 0 oraz H q (ϕ k | ∂∆k 

) jest izomorfizmem dla q 0. 

Załóżmy, że twierdzenie zachodzi dla k − 1, k 2. Pokażemy, że zachodzi dla k. 

Dołączmy do X komórkę (k−1)-wymiarową poprzez odwzorowanie π j i otrzymaną przestrzeń oznaczmy 

przez Z j , gdzie j = 0, 1. Łatwo jest zauważyć, że odwzorowanie ilorazowe 

przekształca homeomorficznie X na v j (X ) ⊂ Z j . 

v j : ∆ k−1 ⊔ X → ∆ k−1 ⊔ X/≈ =: Z j 

Określmy v j : ∂∆ k−1 → Z j jako obcięcie v j | ∂∆k−1 

. Wtedy diagram 

komutuje. 

∆ k−1 ⊔ X vj > Z j 

∧ 

i 

∪ 

∂∆ k−1 

∧ 

i ′ 

∪ 

v j> 

v j (X) 

Zauważmy, że para (∆ k−1 , ∂∆ k−1 ) jest parą kołnierzykową. Stąd, na podstawie twierdzenia 2.3.7, parą 

kołnierzykową jest ( Z j , v j (X ) ) . Korzystając z lematu 2.3.9 otrzymujemy, że odwzorowania 

H q (v j ) : H q (∆ k−1 , ∂∆ k−1 ) → H q 

( 

Zj , v j (X ) ) 



są izomorfizmami dla q 0 oraz j = 0, 1. 

Następnie rozważmy diagram 

. 

. 

∨ 

H q+1 (∆ k−1 , ∂∆ k−1 ) 

Hq+1(vj) 

∨ 

( 

> H q+1 Z, vj (X ) ) 

∨ Hq(vj| ∂∆k−1 ) 

H q (∂∆ k−1 ) 

∨ 

( 

> H q vj (X ) ) 

∨ 

H q (∆ k−1 ) 

Hq(vj) 

∨ 

> H q (Z j ) 

∨ 

H q (∆ k−1 , ∂∆ k−1 ) 

Hq(vj) 

∨ 

( 

> H q Z, vj (X ) ) 

∨ Hq−1(vj| ∂∆k−1 ) 

∨ 

( 

H q−1 (∂∆ k−1 ) 

> H q−1 vj (X ) ) 

∨ 

∨ 

. 

w którym kolumny są ciągami dokładnymi par (∆ k−1 , ∂∆ k−1 ) i ( Z, v j (X ) ) . Mamy więc 

{ ( 

( 

H q (v j ) = H q (v j | X 

)◦H q (π j )◦H q (vj | ∂∆k−1 

) −1) Hq (v 0 | 

= 

X 

) ◦ H q (f) ◦ H q (ϕ k−1 ) ◦ H q (v0 | ∂∆k−1 

) −1) , 

( 

H q (v 1 | X 

) ◦ H q (f ′ ) ◦ H q (ϕ k−1 ) ◦ H q (v1 | ∂∆k−1 

) −1) , 

gdzie f i f ′ są wzięte z lematu 2.4.3 oraz uwagi 2.4.4. Stąd H q (v j ) jest izomorfizmem dla j = 0, 1, jako 

złożenie izomorfizmów (skorzystaliśmy z lematu 2.4.3 oraz założenia indukcyjnego do H q (ϕ k−1 )). 

Z lematu o pięciu izomorfizmach (Lemat 2.3.10) widzimy, że H q (v j ) : 

izomorfizmem dla j = 0, 1. Stąd H q (Z j ) = 0 dla q > 0, j = 0, 1. 

. 

H q (∆ k−1 ) → H q (Z j ) jest 

Zdefiniujmy Z jako przestrzeń powstałą przez dołączenie dwóch komórek (k − 1)-wymiarowych do X 

kolejno za pomocą π 0 oraz π 1 . Od tej pory przestrzenie X , v 0 (X ) oraz v 1 (X ) będziemy utożsamiać. Wtedy 

Z 0 , Z 1 można traktować jako domknięte podprzestrzenie Z, oraz zachodzi Z 0 ∪ Z 1 = Z, Z 0 ∩ Z 1 = X . 

Dzięki temu, że (Z j , X ) są parami kołnierzykowymi mamy, że 

H q (Z 0 , X ) izo 

⋍ H q (Z, Z 1 ), 

H q (Z 1 , X ) izo 

⋍ H q (Z, Z 0 ), 

co wynika z lematu 2.3.9. Wypisując ciąg Mayera-Vietorisa zauważymy, że pozostanie nam powtarzający 

się fragment · · · → 0 → H q (Z) → H q−1 (X ) → 0 → · · · , który dowodzi, że H q (Z) i H q−1 (X ) są 

izomorficzne dla każdego q 0. 

Podsumowując mamy, że X ⋍ ˜D k−1 ⋍ S k−2 , czyli po dołączeniu dwóch komórek otrzymamy Z ⋍ 

˜D k ⋍ S k−1 . 

Dalej, ponieważ H q (π 1 ) = H q (φ k | ˜X1 

) ◦ H q (h 1 ) : H q (∂∆ k−1 ) → H q (X ) jest izomorfizmem oraz H q (h 1 ) 

jest różnowartościowe, to H q (φ k | ˜X1 

) musi byc izomorfizmem. 

Przyjmijmy Y = ∂∆ k \ (int X 0 ∪ int X 1 ). Łatwo wtedy zauważyć, że φ k (Y ) = X oraz φ k (X j ) = Z j . 

Trzeba teraz zauważyć, że Y ma ten sam typ homotopijny co X , stąd H q (φ k | Y 

) : H q (Y ) → H q (X ) jest 

izomorfizmem dla każdego q 0. 



Rozważmy teraz następujący diagram 

H q (∂∆ k ) −−−−→ H q−1 (Y ) 

⏐ 

⏐ 

↓ 

↓H q−1(φ k | Y )=izo 

H q(φ k ) 

H q (Z) 

⋍ 

−−−−→ H q−1 (X ) 

(2.17) 

Ciąg Mayera-Vietorisa pary (U, V ) = (Y ∪ X 0 , Y ∪ X 1 ) redukuje się do izomorfizmu H q (∂∆ k ) → 

H q−1 (Y ), ponieważ 

· · · → H n+1 (U ∪ V ) → H n (U ∩ V ) → H n (U) ⊕ H n (V ) → H n (U ∪ V ) → H n−1 (U ∩ V ) → · · · 

oraz U, V są ściągalne, a U ∪ V = ∂∆ k , U ∩ V = Y . 

Tak więc w diagramie (2.17) wszystkie odwzorowania są izomorfizmami. W szczególności H q (φ k ) jest 

izomorfizmem dla każdego q 0. 

Kończy to dowód stwierdzenia 2.4.5. 

Przechodzimy do dalszej części dowodu lematu 2.4.1. 

Niech ˜G : ˜Dk → S k−1 dane będzie wzorem ˜G ( ϕ k (t) ) = G(t) dla t ∈ ∂∆ k . Poprawność definicji wynika 

z własności odwzorowania F . Rozważmy odwzorowanie α : ˜Dk → ˜D k dane formułą 

⎧ 

α ( ϕ k (t 1 , . . . , t k ) ) ⎪⎨ ϕ k (t 2 , . . . , t k , 1), dla t ∈ A 0 k \ ⋃ k 

j=1 Aj k , 

= ϕ k (0, t 2 , . . . , t j−1 , t j+2 , . . . , t k , 1, 1), dla t ∈ A j k 

, przy pewnym 1 j k − 1, 

⎪⎩ 

ϕ k (0, t 2 , . . . , t k−1 ), dla t ∈ A k k \ ⋃ k−1 

j=0 Aj k . 

Ponieważ zbiory A j k dla 1 j k − 1 sumują się do ∂∆ k, to łatwo pokazać, że definicja powyższa jest 

poprawna. W celu sprawdzenia ciągłości α rozważmy poniższy diagram 

α 

˜D k −−−−→ 

↑ 

⏐ ϕ k 

∂∆ k 

˜D k 

↑ 

⏐ ϕ k 

(2.18) 

α 

−−−−→ ∂∆ k 

gdzie α dana jest formułą 

⎧ 

⎪⎨ (t 2 , . . . , t k , 1), dla t ∈ A 0 k \ ⋃ k 

j=1 Aj k , 

α(t 1 , . . . , t k ) = (0, t 2 , . . . , t j−1 , t j+2 , . . . , t k , 1, 1), dla t ∈ A j k 


⎪⎩ 

(0, t 2 , . . . , t k−1 ), dla t ∈ A k k \ ⋃ k−1 

j=0 Aj k , 

dla t = (t 1 , . . . , t k ) ∈ ∂∆ k . Łatwo zauważyć, że α jest ciągła. 

( 

Skoro rzutowanie ilorazowe jest ciągłe i otwarte, to z (2.18) dostajemy, że α −1 (U) = ϕ ( k α 

−1 

ϕ −1 

k 

(U))) 

jest otwarte dla otwartego U ⊂ ˜D k . Stąd wynika ciągłość α. Kwestią przeliczenia jest sprawdzenie, że α 

jest inwolucją. 



Zauważmy dalej, że dla t ∈ ∂∆ k mamy 

⎧ 

( 

˜G α ( ϕ k (t) )) ⎪⎨ 

˜G ( ϕ k (t 2 , . . . , t k , 1) ) , dla t ∈ A 0 k \ ⋃ k 

j=1 Aj k , 

= ˜G ( ϕ k (0, t 2 , . . . , t j−1 , t j+2 , . . . , t k , 1, 1) ) , dla t ∈ A j k 


⎪⎩ ˜G ( ϕ k (0, t 2 , . . . , t k−1 ) ) , dla t ∈ A k k \ ⋃ k−1 

j=0 Aj k 

⎧ 

, 

⎪⎨ G(t 2 , . . . , t k , 1), dla t ∈ A 0 k \ ⋃ k 

j=1 Aj k , 

= G(0, t 2 , . . . , t j−1 , t j+2 , . . . , t k , 1, 1), dla t ∈ A j k 


⎪⎩ 

G(0, t 2 , . . . , t k−1 ), dla t ∈ A k k \ ⋃ k−1 

= − F (t) 

‖F (t)‖ = −G(t) = − ˜G ( ϕ k (t) ) . 

j=0 Aj k , 

Korzystamy teraz z twierdzenia 2.3.1, dzięki któremu dostajemy, że homomorfizm 

H k−1 ( ˜G) : H k−1 ( ˜D k ) → H k−1 (S k−1 ) 

jest niezerowy, co na podstawie twierdzenia 2.4.5 daje nam, że H k−1 (G) = H k−1 ( ˜G) ◦ H k−1 (ϕ k | ∂∆k 

) też 

jest niezerowy. Stąd H k−1 (G)(1) ≠ 0, bo gdyby zerował się na generatorze, to byłby zerowy. 

Lemat powyższy pozwala nam udowodnić następujące 

Twierdzenie 2.4.6. Niech w układzie (2.10) S| U p−1 

jest injekcją, tzn. zachodzi następujący warunek 

Wtedy układ ten jest sztafetowo C-sterowalny rzędu p − 1. 

S(u) = 0, dla u ∈ U p−1 ⇐⇒ u(·) ≡ 0. (2.19) 

Dowód. Jak już zauważyliśmy, dla u ∈ U p−1 mamy, że S(u) = λŜ(τ 1, . . . , τ p−1 ), gdzie (τ 1 , . . . , τ p−1 ) ∈ 

∆ p−1 , tzn. S(u) ∈ λŜ(∆ p−1) dla pewnego λ ∈ R. Na odwrót, każdy v ∈ ⋃ λ∈R λŜ(∆ p−1), na mocy wzoru 

(2.12), należy do S(U p−1 ). Podsumowując 

S(U p−1 ) = ⋃ λ∈R 

Ŝ(∆ p−1 ). (2.20) 

Naszym celem jest pokazanie, że S| U p−1 jest „na”. Zauważmy więc, że zachodzi następujący 

Fakt 2.4.7. Przy założeniu, że S| U p−1 jest różnowartościowy mamy, że S| U p−1 jest surjekcją wtedy i tylko 

wtedy, gdy dla każdego ortonormalnego zbioru {v i } p−1 

i=1 ⊂ Rp istnieje (t 1 , . . . , t p−1 ) ∈ ∆ p−1 taki, że 

〈Ŝ(t 1, . . . , t p−1 ), v i 〉 = 0, i = 1, . . . , p − 1. (2.21) 

Dowód. Załóżmy, że S| U p−1 jest różnowartościowy. Weźmy V := {v i } p−1 

i=1 ⊂ Rp jak w założeniach. Wymiar 

V jest równy p − 1. Z twierdzenia Steinitza o wymianie można V uzupełnić do bazy R p . Tak uzupełnioną 

bazę (o pewien wektor v p ) można, za pomocą ortogonalizacji Grama-Schmidta, zamienić na bazę ortogonalną. 

Ponieważ układ {v i } p−1 

i=1 był od początku ortonormalny, dlatego nie zmieni się. Zmianie ulegnie 

jedynie wektor v p (powiedzmy, że na v p). ′ Tak więc znaleźliśmy wektor, który spełnia 

〈v ′ p, v i 〉 = 0, i = 1, . . . , p − 1. (2.22) 

Z założenia v ′ p = S(u) dla pewnego u ∈ U p−1 . Ze wzoru (2.12) dostajemy, że S(u) = λŜ(τ 1, . . . , τ p−1 ) 

dla pewnego układu (τ 1 , . . . , τ p−1 ) ∈ ∆ p−1 oraz λ ∈ R. Oczywiście v ′ p ≠ 0, stąd na podstawie różnowartościowości 

S wiemy, że u ≠ 0, czyli λ ≠ 0. Po podzieleniu (2.22) przez λ dostajemy tezę. 



Na odwrót, załóżmy, że wektor v ∈ R p chcemy przedstawić w postaci v = S(u) dla u ∈ U p−1 . Weźmy 

wtedy V := {v} ⊥ . Znajdujemy w V bazę ortogonalną i na podstawie założenia istnieje T 0 ∈ ∆ p−1 takie, 

że Ŝ(T 0) jest ortogonalne do V . Jest jasne, że z dokładnością do stałej λ jest to v. Stąd ponownie ze 

wzoru (2.12) dostajemy tezę. 

Załóżmy, że ustaliliśmy V = {v i } p−1 

i=1 , zbiór p − 1 wektorów ortonormalnych w Rp i zdefiniujmy F V : 

∆ p−1 → R p−1 wzorem 

( 

) 

F V (τ 1 , . . . , τ p−1 ) = 〈Ŝ(τ 1, . . . , τ p−1 ), v 1 〉, . . . , 〈Ŝ(τ 1, . . . , τ p−1 ), v p−1 〉 . 

Na podstawie lematu wystarczy, że 0 ∈ F V (∆ p−1 ). Zauważmy jednak, że F V 

Istotnie: 

spełnia założenia lematu. 

(i) jeśli przyjmiemy, że α −1 = α 0 = 0 oraz α p−1 = α p = 1, to mamy 

Ŝ(0, α 1 , . . . , α p−2 ) = 

∑p−2 

j=−1 

∫ αj+1 

∑p−1 

∫ αj+1 

(−1) j Φ(s)B(s) ds = (−1) j+1 Φ(s)B(s) ds 

α j 

∑p−2 

∫ αj+1 

= − (−1) j 

j=0 

α j 

Φ(s)B(s) ds, 

j=0 

α j 

więc stąd 

F (0, α 1 , . . . , α p−2 ) = 

( 

) 

〈Ŝ(0, α 1, . . . , α p−2 ), v 1 〉, . . . , 〈Ŝ(0, α 1, . . . , α p−1 ), v p−2 〉 

= −F (α 1 , . . . , α p−2 , 1). 

(ii) oczywiste. 

Założenie (2.19) okazuje się być konieczne, co pokazuje poniższy 

Przykład 2.4.8. Układ 

[ẋ(t) ] 

= 

ẏ(t) 

[ 0 1 

−1 0 

] [ ] x(t) 

y(t) 

[ 0 

+ u(t), 

1] 

t ∈ [0, 2π], 

jest sterowalny, ale nie całkowicie sterowalny. Istotnie, skoro p = 2, to powinniśmy używać tylko jednego 

przełączenia: p − 1 = 1. Rezolwenta tego układu ma postać 

[ ] [ ] 

0 1 

X(t) = e −1 0 cos t sin t 

= 

. 

− sin t cos t 

Stąd dla 0 t := t 1 2π mamy 

Ŝ(t) = 

1∑ 

∫ tj+1 

∫ 

(−1) j ( ) t 

− sin(t − s), cos(t − s) ds = 

j=0 

t j 

0 

∫ 2π 

+ = (2 cos t − 2, 2 sin t). 

t 

Widzimy więc, że jedynym punktem jaki możemy osiągnąć na osi OY jest punkt (0, 0). Jednakże nie jest 

spełnione założenie (2.19), ponieważ dla u ≡ 2π mamy, że S(u) = S(2π) = S(0) = Ŝ(0) = 0. 



Oznaczmy U k (λ) = {u ∈ U k : |u(t)| = λ, t ∈ J} dla λ 0. Niech B p (x 0 , r) oznacza kulę domkniętą 

w R p o środku x 0 i promieniu r. 

Twierdzenie 2.4.9. Jeśli tylko S| U p−1 

jest injekcją, to dla każdego R > 0 istnieje λ = λ(R) taka, że 

S ( U p (λ) ) ⊃ B p (0, R). (2.23) 

Dowód. Różnowartościowość jest równoważna warunkowi (2.19), który z kolei oznacza, że S(u) ≠ 0 wtedy 

i tylko wtedy, gdy amplituda u jest różna od zera. Stąd 0 ∉ Ŝ(∂∆ p). Ponieważ jest to zbiór domknięty, 

to istnieje ɛ > 0 takie, że Ŝ(∂∆ p) ∩ B p (0, ɛ). 

Weźmy R > 0. Na podstawie powyższych rozważań istnieje λ = λ(R) taka, że dla dowolnego 

(t 1 , . . . , t p ) ∈ ∂∆ p zachodzi 

Definiujemy F λ : ∆ p → R p wzorem 

λŜ(t 1, . . . , t p ) = S ( λû(t 1 , . . . , t p ) ) ∉ B p (0, R). 

F λ (t 1 , . . . , t p ) = λŜ(t 1, . . . , t p ). 

Podobnie jak w poprzednim twierdzeniu F λ spełnia założenia lematu 2.4.1 oraz 0 ∉ F λ (∂∆ p ). Stąd 

deg(F λ , ∆ p , 0) jest poprawnie określony i różny od zera. 

Weźmy teraz z ∈ B p (0, R). Ponieważ B p (0, R) ⊂ R p \ F λ (∂∆ p ), więc z i 0 są w tej samej składowej 

R p \ F λ (∂∆ p ). Stąd z własności stopnia Brouwera wynika, że deg(F λ , ∆ p , z) = deg(F λ , ∆ p , 0) jest różny 

od zera. Podsumowując z ∈ F λ (∆ p ) = S(U p( λ) ) . Kończy to dowód. 

Uwaga 2.4.10. Twierdzenie to oznacza, że dla każdego z ∈ B p (0, R) istnieje u ∈ U p o amplitudzie 

λ = λ(R) takie, że jedyne rozwiązanie (2.10) spełnia C(x) = z. 


ROZDZIAŁ 3 

Sterowanie sztafetowe dla układów nieliniowych 

3.1 Odwzorowania wielowartościowe i pomocne fakty 

Od teraz symbol f : X → Y oznaczać będzie tylko funkcje jednowartościowe, natomiast symbolem 

φ : X ⊸ Y oznaczać będziemy odwzorowanie wielowartościowe, tzn. odwzorowanie φ : X → 2 Y \ {∅}. 

Inaczej mówiąc każdemu x ∈ X przyporządkowujemy φ(x) ⊂ Y , który jest niepusty. 

Przypomnimy pewne definicje z analizy wielowartościowej (zobacz też [12]). 

Definicja 3.1.1. Funkcję φ : X ⊸ Y nazywamy górnie półciągłą (ang. upper semicontinuous, w skrócie 

u.s.c.), o ile dla każdego zbioru otwartego U ⊂ Y zbiór φ −1 (U) := {x ∈ X : φ(x) ⊂ U} jest otwarty w X. 

Funkcję φ : X ⊸ Y nazywamy dolnie półciągłą (ang. lower semicontinuous, l.s.c.), o ile dla każdego 

zbioru otwartego U ⊂ Y zbiór φ −1 

+ (U) := {x ∈ X : φ(x) ∩ U ≠ ∅} jest otwarty w X. 

Odwzorowanie, które jest jednocześnie u.s.c. oraz l.s.c, nazywa się ciągłym. 

Uwaga 3.1.2. Łatwo sprawdzić, że φ : X ⊸ Y jest funkcją u.s.c. wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego 

zbioru domkniętego D ⊂ Y zbiór φ −1 

+ (D) jest domknięty. Podobnie φ : X ⊸ Y jest funkcją l.s.c. wtedy 

i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru domkniętego D ⊂ Y zbiór φ −1 (D) jest domknięty. 

W dalszym ciągu potrzebne nam też będą następujące fakty: 

Fakt 3.1.3. (Nierówność Grönwalla - postać całkowa) Jeśli x : [0, 1] → R jest funkcją ciągłą nieujemną, 

ψ : [0, 1] → R całkowalną funkcją oraz zachodzi nierówność 

x(t) K + L 

∫ t 

0 

ψ(s)x(s) ds, 

dla 0 t 1 oraz pewnych stałych nieujemnych K i L, to zachodzi 

( ∫ t 

) 

x(t) K exp L ψ(s) ds , 

dla wszystkich t ∈ [0, 1]. 

0 

29


Twierdzenie 3.1.4. (Peano)[12] Jeśli J := [0, 1] oraz f : J × R n → R n jest ciągła i ma subliniowy 

wzrost, tzn. istnieją funkcje α, β : J → R takie, że ‖f(t, x)‖ α(t)‖x‖ + β(t) dla t ∈ [0, 1], to dla każdego 

x 0 ∈ R n problem Cauchy’ego { 

ẋ(t) = f ( t, x(t) ) , dla t ∈ J, 

x(0) = x 0 

ma co najmniej jedno rozwiązanie określone na całym J. 

Twierdzenie 3.1.5. (Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej)[1] Niech (X, Σ, µ) będzie przestrzenią 

z miarą, niech f, f n : X → R będą funkcjami mierzalnymi oraz f n zbiega do f punktowo. Załóżmy, że 

istnieje funkcja g ∈ L 1 (X, R) taka, że dla n ∈ N oraz dla prawie wszystkich x ∈ X mamy |f n (x)| g(x). 

Wtedy f n oraz f są całkowalne oraz 

∫ 

∫ 

f dµ = lim f n dµ. 

X 

n→∞ 

X 

Definicja 3.1.6. Niech (X, d X ), (Y, d Y ) będą przestrzeniami metrycznymi. Załóżmy, że {f i } i∈I jest rodziną 

funkcji z X do Y . Powiemy o tej rodzinie, że jest jednakowo ciągła (ang. equicontinuous) jeśli dla 

każdego ɛ > 0 i każdego x ∈ X, istnieje δ > 0, taka, że dla wszystkich i ∈ I oraz wszystkich x ′ ∈ X takich, 

że d X (x, x ′ ) < δ zachodzi, że d Y 

( 

fi (x), f i (x ′ ) ) < ɛ. 

Uwaga 3.1.7. Rodzinę {f i : (X, d X ) → (Y, d Y )} i∈I nazywamy jednakowo jednostajnie ciągłą, o ile dla 

każdego ɛ > 0 istnieje δ > 0 taka, że dla wszystkich i ∈ I oraz wszystkich x, x ′ ∈ X takich, że d X (x, x ′ ) < δ 

zachodzi, że d Y 

( 

fi (x), f i (x ′ ) ) < ɛ. Stosując twierdzenie Cantora można pokazać, że w przypadku, gdy 

J = [0, 1], pojęcia jednakowej ciągłości i jednakowej jednostajnej ciągłości są równoważne. 

Definicja 3.1.8. Niech X będzie przestrzenią metryczną. Zbiór A ⊂ X nazywamy prezwartym, lub 

całkowicie ograniczonym (ang. precompact), jeśli dla każdego ɛ > 0 istnieje skończone pokrycie A ⊂ 

⋃ n 

i A i takie, że średnica każdego ze zbiorów pokrywających jest mniejsza niż ɛ. 

Twierdzenie 3.1.9. (Arzelà-Ascoli)[15] Niech X będzie przestrzenią Banacha, a I ⊂ R odcinkiem jednostkowym. 

Niech C(I, X) oznacza przestrzeń Banacha funkcji ciągłych z I do X z normą sup. Wtedy 

podzbiór H ⊂ C(I, X) spełniający warunki 

1. H jest jednakowo ciągły, 

2. dla każdego t ∈ I zbiór H(t) := { x(t) } x(·)∈H 

jest prezwarty, 

jest prezwarty w C(I, X). 

Definicja 3.1.10. Zbiorem relatywnie zwartym nazywamy zbiór, którego domknięcie jest zwarte. 

Następujący rezultat, dotyczący relacji między zbiorami prezwartymi i relatywnie zwartymi, pochodzi 

od Hausdorffa: 

Twierdzenie 3.1.11. Jeśli (X, d) jest przestrzenią metryczną zupełną, to jej podzbiór jest relatywnie 

zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest prezwarty. 

Twierdzenie 3.1.12. (Banach-Alaoglu) Jeśli X jest przestrzenią Banacha, to kula jednostkowa w X ∗ 

jest ∗-słabo zwarta. Co więcej, jeśli X jest ośrodkowa, to ∗-słaba topologia na kuli jednostkowej w X ∗ jest 

metryzowalna. 

Fakt 3.1.13. [1] Przestrzeń L p ([0, 1], R n ) jest ośrodkowa. 



Twierdzenie 3.1.14. (Compactness Theorem)[15] Niech (x n ) ∞ n=1 ⊂ AC ( [0, 1], R m) spełnia warunki: 

1. dla każdego t ∈ [0, 1] ciąg ( x n (t) ) ∞ 

n=1 jest ograniczony w Rm , 

2. istnieje y ∈ L 1( [0, 1], R ) taka, że ‖ẋ n (t)‖ y(t) dla prawie wszystkich t ∈ [0, 1], 

wtedy istnieje x ∈ AC ( [0, 1], R m) oraz podciąg (x nk ) ∞ k=1 ⊂ (x n) ∞ n=1 taki, że 

1. (x nk ) ∞ k=1 

dąży jednostajnie do x na [0, 1] oraz 

2. (ẋ nk ) ∞ k=1 dąży słabo do ẋ w L1( [0, 1], R m) . 

Dowód. Założenie 2 implikuje, że ( x k (·) ) jest jednakowo ciągły. Istotnie z absolutnej ciągłości całki 

k1 

dla każdego ɛ > 0 i każdego t 0 istnieje η taka, że 

∫ t+η 

t−η 

Stąd, jeśli |t − s| η, to dla wszystkich k mamy 

‖x k (t) − x k (s)‖ 

∫ s 

t 

y(τ) dτ ɛ 

‖ẋ(τ)‖ dτ 

∫ s 

t 

y(τ) dτ ɛ. 

Z założenia 1 zbiór ( x k (t) ) jest relatywnie zwarty dla każdego t ∈ [0, 1]. Na podstawie twierdzenia 

k1 

Arzelà-Ascoli ( x k (·) ) jest relatywnie zwartym podzbiorem C([0, 1], k1 Rm ) z topologią generowaną przez 

metrykę sup. Stąd istnieje podciąg (x nk ) k1 zbieżny do funkcji x ∈ C([0, 1], R m ) jednostajnie na zwartych 

odcinkach. Dowodzi to pierwszej tezy. 

W celu udowodnienia drugiej tezy zauważmy, że skoro ‖ẋ k (t)‖ y(t), to w k := ẋk 

y 

leży na kuli jednostkowej 

w L ∞ ([0, 1], R m ), która jest ∗-słabo zwarta, co wynika z twierdzenia Banacha-Alaoglu oraz faktu, 

że [ L 1 ([0, 1], R m ) ] ∗ 

= L ∞ ([0, 1], R m ). Ponieważ jest to przestrzeń ośrodkowa, to ponownie z twierdzenia 

3.1.12 istnieje podciąg ciągu (w k ) k1 ∗-słabo zbieżny do w ∈ L ∞ ([0, 1], R m ). 

Zauważmy teraz, że operator mnożenia przez funkcję y jest ciągły jako przekształcenie L ∞ ([0, 1], R m ) → 

L 1 ([0, 1], R m ), gdzie na L ∞ ([0, 1], R m ) rozpatrujemy ∗-słabą topologię, a na L 1 ([0, 1], R m ) rozpatrujemy 

topologię 

∫ 

słabą. Rzeczywiście: jeśli φ k → φ ∗-słabo w L ∞ , tzn. dla każdego funkcjonału p w L 1 mamy 

1 

0 p · φ k dτ → ∫ 1 

0 p · φ dτ, a więc ∫ 1 

0 p · (yφ k) dτ = ∫ 1 

0 (yp) · φ k dτ → ∫ 1 

0 (yp) · φ dτ = ∫ 1 

p · (yφ) dτ, ponieważ 

0 

yp ∈ L ∞ . Natychmiast stąd mamy, że yφ k → yφ słabo w L 1 . Podsumowując ciąg ẋ k = yw k dąży słabo 

w L 1 do funkcji yw. 

Skoro x k (t) − x k (s) = ∫ t 

s ẋk(τ)dτ = ∫ 1 

0 χ [s,t](τ)ẋ k (τ)dτ, to x(t) − x(s) = ∫ t 

y(τ)w(τ)dτ. Stąd dla 

s 

prawie wszystkich t ∈ [0, 1] zachodzi ẋ(t) = y(t)w(t). 

Od teraz załóżmy, że wszystkie przestrzenie są metryczne. Przypomnijmy: 

Definicja 3.1.15. Zbiór domknięty A ⊂ X nazywamy retraktem X, jeśli istnieje przekształcenie ciągłe 

r : X → A takie, że r| A 

= id A . 

Definicję retraktu można wysłowić w terminach problemu rozszerzania funkcji. Podzbiór A ⊂ X jest 

retraktem X, o ile istnieje ciągłe rozszerzenie identyczności id : A → A na zbiór X, tj. funkcja ciągła 

r : X → A, że r(x) = id A (x) = x dla x ∈ A. 



Definicja 3.1.16. Przekształcenie h : X → Y nazywamy zanurzeniem, o ile h(X) jest domkniętym 

podzbiorem Y oraz odwzorowanie h ′ : X → h(X), dane wzorem h ′ (x) = h(x), jest homeomorfizmem. 

Definicja 3.1.17. Powiemy, że przestrzeń X jest absolutnym rektraktem (będziemy pisać X ∈ AR), 

jeśli dla każdej przestrzeni Y oraz każdego zanurzenia h : X → Y zbiór h(X) jest retraktem Y . 

Można łatwo sprawdzić, że X jest absolutnym rektraktem wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego Y , 

każdego X ′ ⊃ X i dowolnego przekształcenia ciągłego f : X → Y istnieje jego rozszerzenie na X ′ , tzn. 

taka funkcja ciągła f ′ : X ′ → Y , że f ′ (x) = f(x) dla x ∈ X. 

Przykład 3.1.18. Absolutnymi retraktami są np. zbiory wypukłe i ich retrakty w przestrzeniach unormowanych. 

Definicja 3.1.19. Zwarty i niepusty zbiór A nazywamy zbiorem typu R δ , jeśli jest przecięciem zstępującej 

przeliczalnej rodziny zwartych AR-ów, tzn. A = ⋂ n1 A n, gdzie rodzina {A n } n1 zwartych absolutnych 

retraktów jest taka, że A n+1 ⊂ A n dla n 1. 

Skorzystamy też z bardzo ważnego w teorii równań różniczkowych wyniku 

Twierdzenie 3.1.20. (Aronszajn)[13] Niech f : [a, b] × R n → R n jest ciągła i ma subliniowy wzrost, 

tzn. istnieją funkcje α, β : [a, b] → R takie, że ‖f(t, x)‖ α(t)‖x‖ + β(t) dla t ∈ [a, b]. Wtedy dla każdego 

x 0 ∈ R n zbiór rozwiązań problemu Cauchy’ego 

{ 

ẋ(t) = f ( t, x(t) ) , dla p.w. t ∈ [a, b], 

x(0) = x 0 , 

jest zbiorem typu R δ . 

3.1.1 Stopień dla odwzorowań dopuszczalnych 

W tym podrozdziale bardzo często odwoływać będziemy się do [11]. 

Przez H ∗ oznaczać będziemy funktor kohomologii Alexandera-Spaniera o współczynnikach w Z. Szczegóły 

jego konstrukcji i własności można znaleźć w książce [16]. O przestrzeniach zakładamy, że są metryczne. 

Teoria stopnia dla odwzorowań dopuszczalnych w sensie Górniewicza pochodzi z pracy [11]. Poniżej 

przedstawimy konstrukcję zaczerpniętą z pracy [4]. 

Niech φ : X ⊸ Y ma zwarte wartości, tzn. dla każdego x ∈ X zbiór φ(x) jest zwarty. 

Definicja 3.1.21. Przekształcenie φ : X ⊸ Y o zwartych wartościach nazywamy dopuszczalnym (ang. 

admissible), o ile istnieje przestrzeń Γ oraz ciągłe odwzorowania α : Γ → X, β : Γ → Y takie, że 

1. Odwzorowanie α jest właściwą surjekcją. 

2. Włókna α są acykliczne, tzn. dla każdego x ∈ X mamy H ∗( α −1 (x) ) ≃ H ∗ (x). 

3. Dla każdego x ∈ X zachodzi φ(x) = β ( α −1 (x) ) . 

Parę (α, β) nazywamy rozkładem odwzorowania wielowartościowego φ. 

Uwaga 3.1.22. [12] Wprowadzone powyżej pojęcie acykliczności przenosi się w naturalny sposób na 

zbiory. Otóż, powiemy, że zbiór A jest acykliczny jeśli ma kohomologie punktu, tzn. 



1. A ≠ ∅, 

2. H q (A) = 0 dla q 1, 

3. H 0 (A) = Z. 

Zbiory typu R δ są acykliczne. 

Uwaga 3.1.23. [12] Każde odwzorowanie o wartościach acyklicznych jest dopuszczalne. Każde odwzorowanie 

dopuszczalne jest u.s.c. oraz ma zwarte i spójne wartości. 

Złożenie dwóch odwzorowań dopuszczalnych jest dopuszczalne. Złożenie odwzorowania ciągłego i acyklicznego 

jest dopuszczalne. 

Definicja 3.1.24. Odwzorowanie f : (X, X 0 ) → (Y, Y 0 ) nazywamy odwzorowaniem Vietorisa, jeśli 

1. f jest właściwe (Definicja 4.1.11), 

2. f −1 (Y 0 ) = X 0 , 

3. f jest „na”, 

4. dla każdego y ∈ Y zbiór f −1( {y} ) jest acykliczny. 

Uwaga 3.1.25. Przy założeniach jak wyżej odwzorowanie α jest odwzorowaniem Vietorisa. 

Twierdzenie 3.1.26. (Vietoris-Beagle)[4] Jeśli f : (X, X 0 ) → (Y, Y 0 ) jest odwzorowaniem Vietorisa, to 

odwzorowanie indukowane 

f ∗ : H ∗ (X, X 0 ) → H ∗ (Y, Y 0 ) (3.1) 

jest izomorfizmem. 

Wniosek 3.1.27. [4] Dla dowolnego A ⊂ X odwzorowanie α ∗ : H ∗ (X, A) → H ∗( Γ, α −1 (A) ) jest izomorfizmem. 

Przejdziemy teraz do głównej części tego podrozdziału, czyli zapowiedzianego w tytule stopnia topologicznego 

dla odwzorowań dopuszczalnych. 

Niech W ⊂ R q będzie otwarty i ograniczony oraz y ∈ R q . Załóżmy, że φ : W ⊸ R q jest dopuszczalne 

i takie, że y ∉ φ(∂W ). Ponadto załóżmy, że H q (W , ∂W ) ≃ H q (D q , S q−1 ) ≃ Z. Jeśli (α, β) jest rozkładem 

φ, to mamy 

Stąd po przyłożeniu funktora kohomologii 

(W , ∂W ) α ← ( Γ, α −1 (∂W ) ) β 

→ (R q , R q \ {y}). 

H q (W , ∂W ) → α∗ 

H q( Γ, α −1 (∂W ) ) β 

← ∗ 

H q (R q , R q \ {y}), 

co na podstawie twierdzenia Vietorisa-Beagle’a daje 

Z ≃ H q (W , ∂W ) (α∗ ) −1 ◦β ∗ 

← H q (R q , R q \ {y}) ≃ Z. 

Liczba (α ∗ ) −1 ◦ β ∗ (ˆ1), gdzie ˆ1 ∈ H q( R q , R q \ {y} ) , jest generatorem podgrupy w Z wybranym zgodnie 

z pewną orientacją w R q . Liczbę tę nazywamy stopniem (α, β) (stopniem φ) ze względu na zbiór W i y 

i oznaczamy go Deg ( (α, β), W, y ) (lub Deg(φ, W, y) jeśli wiadomo o jaki rozkład chodzi). 

Tak zdefiniowany stopień ma własności analogiczne do własności stopnia Brouwera ([9]): 



1. Jeśli φ jest jednowartościowa i ciągła, to Deg ( (α, β), W, y ) nie zależy od wyboru rozkładu (α, β). 

Ponadto Deg ( (α, β), W, y ) = deg(φ, W, y). 

2. Jeśli Deg(φ, W, y) ≠ 0, to y ∈ φ(W ). 

3. Jeśli y ′ ∈ R q leży w tej samej składowej spójności zbioru R q \ φ(∂W ) co y, to Deg ( (α, β), W, y ) = 

Deg ( (α, β), W, y ′) . 

4. Niech ψ : ( W , ∂W ) ⊸ ( R q , R q \ {y} ) będzie innym odwzorowaniem dopuszczalnym. Jeśli istnieje 

odwzorowanie dopuszczalne χ : ( W , ∂W ) × I ⊸ ( R q , R q \ {y} ) takie, że χ(·, 0) = φ oraz χ(·, 1) = ψ 

wtedy istnieją rozkłady φ i ψ ((α, β) oraz (γ, δ), odpowiednio) takie, że 

Deg ( (α, β), W, y ) = Deg ( (γ, δ), W, y ) . 

Ostatnią własność nazywamy własnością homotopii do odwzorowań wielowartościowych. 

Przygotowani w odpowiednie narzędzia możemy zacząć zasadniczy temat tego rozdziału. 

3.2 Układy z zaburzeniem 

Tematem tej części jest sterowanie układów z zaburzeniem. Takie układy mają postać 

ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f ( t, x(t), u(t) ) , dla p. w. t ∈ J = [0, 1], (3.2) 

gdzie A, B, u są jak w rozdziale pierwszym. Natomiast zaburzenie f : 

Carathéodory’ego, tzn. 

1. funkcja f(·, z) : J → R n jest mierzalna dla każdego z ∈ R n+1 , 

2. funkcja f(t, ·) : R n+1 → R n jest ciągła dla prawie wszystkich t ∈ J. 

Zakładamy ponadto następujący warunek 

3. istnieje całkowalna funkcja µ : J → R taka, że 

|f(t, z)| µ(t), dla z ∈ R n+1 i p. w. t ∈ J. 

J × R n × R → R n jest funkcją 

Definicja 3.2.1. Niech Φ : AC(J, R n ) → R q , gdzie q > n, będzie operatorem ciągłym. Powiemy, że 

układ (3.2) jest Φ-sterowalny na zbiór Y ⊂ R q poprzez U ⊂ L ∞ (J, R), gdy dla dowolnego y ∈ Y układ 

{ 

ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f ( t, x(t), u(t) ) , dla p.w. t ∈ J, 

(3.3) 

Φ(x) = y 


Załóżmy ponadto, że dany jest ciągły liniowy operator D : AC(J, R n ) → R q taki, że Ker D ∩ Ker L = 

{0} z danym rozkładem takim jak w (1.17). Mamy więc D = C 0 ⊕ C : AC(J, R n ) → R n ⊕ R p , gdzie 

p = q − n. 

Wiemy, że C 0 | Ker L 

: Ker L → R n jest izomorfizmem. Stąd wartość C 0 zależy tylko od wartości x(0). 

Możemy założyć, że C 0 (x) = C 0 

( 

x(0) 

) 

. 

Ponadto, tak jak w rozdziale pierwszym widzimy, że mamy następującą reprezentację całkową C(x) = 

∫ 1 

0 H(τ)Lx(τ) dτ = ∫ 1 

0 H(τ)( B(τ)u(τ) + f ( τ, x(τ), u(τ) )) dτ. (Zobacz szczegóły na stronie 14) 



Twierdzenie 3.2.2. [4] Załóżmy, że istnieje m > 0 takie, że dla każdego x ∈ AC(J, R n ), zachodzi 

|Φ(x) − D(x)| m. 

Jeśli spełnione jest, że CK(u) = 0, dla u ∈ U p−1 wtedy i tylko wtedy, gdy u(·) ≡ 0, to układ (3.2) 

jest Φ-sterowalny poprzez U p . Dokładniej, dla każdego R > 0, istnieje λ > 0 takie, że układ (3.2) jest 

Φ-sterowalny na zbiór B q (0, R) poprzez przestrzeń U p (λ). 

Dowód. Ustalmy x 0 ∈ R n , u ∈ U p , s ∈ [0, 1] i oznaczmy 

F(x 0 , u, s) := { x ∈ AC(J, R n ) : x(0) = x 0 , ẋ(t) = A(t)x(t)+B(t)u(t)+sf ( t, x(t), u(t) ) dla p. w. t ∈ J } . 

Odwzorowanie F : R n × U p × [0, 1] ⊸ AC(J, R n ) ma niepuste wartości, co wynika z twierdzenia Peano. 

Naszym zadaniem jest teraz pokazać, że jest ono u.s.c. jeśli na U p rozważamy topologię indukowaną 

z L ∞ (J, R n ). W tym celu załóżmy, że C ⊂ AC(J, R n ) jest domknięty. Weźmy ciąg ( (x 0,k , u k , s k ) ) ∞ 

F −1 

k=1 ∈ 

+ (C) = {(x 0 , u, s) ∈ R n ×U p ×[0, 1] : F(x 0 , u, s)∩C ≠ ∅} zbieżny do (x 0 , u, s). Dla każdego k istnieje 

x k ∈ C takie, że 

x k (t) = x 0,k + 

Mamy, że ‖x k (t)‖ ∫ t 

0 

∫ t 

0 

[ 

A(τ)xk (τ) + B(τ)u k (τ) + s k f ( τ, x k (τ), u k (τ) )] dτ. 

( 

‖A(τ)‖·‖xk (τ)‖+‖B(τ)‖·|u(τ)|+|s k |·µ(τ) ) dτ. Stąd z nierówności Grönwalla 

∫ 1 

dostajemy, że ‖x k (t)‖ Ce 

‖A(τ)‖ dτ 0 , gdzie C jest pewną stałą. Ponadto ‖ẋ k (t)‖ ‖A(t)‖ · ‖x k (t)‖ + 

‖B(t)‖ · |u(t)| + |s k |µ(t) = c(t), gdzie c(·) jest dodatnia i całkowalna. Na podstawie twierdzenia 3.1.14 

mamy, że istnieje takie x ∈ AC(J, R n k→∞ 

k→∞ 

), że x nk −−−→ x jednostajnie oraz ẋ nk −−−→ ẋ słabo w L 1 . 

Tak więc z dokładnością do podciągu wartość sup t∈J |x k (t) − x(t)| dąży do zera, gdy k → +∞, oraz 

x(t) = x 0 + 

∫ t 

0 

[ 

A(τ)x(τ) + B(τ)u(τ) + sf 

( 

τ, x(τ), u(τ) 

)] 

dτ. 

Następnie korzystając z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej wyrażenie po prawej stronie 

nierówności 

∫ 1 

0 ‖ẋ k(τ) − ẋ(τ)‖ dτ ∫ 1 

0 ‖A(τ)‖ · ‖x k(τ) − x(τ)‖ dτ + ∫ 1 

0 ‖B(τ)‖ · |u k(τ) − u(τ)| dτ+ 

|s k − s| ∫ 1 

0 ‖f( τ, x k (τ), u k (τ) ) ‖ dτ+ 

|s| ∫ 1 

0 ‖f( τ, x(τ), u(τ) ) − f ( τ, x k (τ), u k (τ) ) (3.4) 

‖ dτ, 

dąży do zera, gdy k dąży do nieskończoności. Dlatego x k → x w AC(J, R n ), ponieważ norma w tej 

przestrzeni jest postaci ‖x‖ AC = ‖x(0)‖+ ∫ 1 

0 ‖ẋ(τ)‖ dτ. Stąd x ∈ C oraz (x 0, u, s) ∈ F+ −1 (C). Dowiedliśmy 

więc górnej półciągłości F. 

Tak samo (z twierdzenia Arzelà-Ascoli) można pokazać, że F jest odwzorowaniem o zwartych wartościach. 

Z twierdzenia Aronszjana wynika, że F przyjmuje ponadto wartości acykliczne, gdy rozważamy 

je jako podzbiory C(J, R n ) (tzn. w topologii z normą sup). 

Żeby zobaczyć, że F(x 0 , u, s) jest acykliczny jako podzbiór AC(J, R n ) rozważmy odwzorowanie id : 

AC(J, R n ) ⊃ F(x 0 , u, s) → F(x 0 , u, s) ⊂ C(J, R n ). Jest ono ciągłe (bo takie są normy w obydwu przestrzeniach) 

oraz właściwe. Ponadto ma włókna acykliczne, bo id −1 (x) = x. Wobec tego z twierdzenia 

Vietorisa-Beagle’a mamy, że F(x 0 , u, s) ⊂ AC(J, R n ) jest acykliczny. 



Dla ustalonych λ, r > 0 rozważmy ciągłe przekształcenia h λ : B n (0, r)×∆ p ×[0, 1] → R n ×U p (λ)×[0, 1] 

oraz L : AC(J, R n ) × [0, 1] → R q dane wzorami 

h λ (x 0 , t 1 , . . . , t p , s) = ( x 0 , λû(t 1 , . . . , t p ), s ) , 

L(x, s) = (1 − s)D(x) + sΦ(x), 

dla x 0 ∈ B n (0, r), (t 1 , . . . , t p ) ∈ ∆ p , s ∈ [0, 1], x ∈ AC(J, R n ). Następnie zdefiniujmy odwzorowanie 

F λ : B n (0, r) × ∆ p × [0, 1] ⊸ R q jako złożenie F λ = L ◦ F ◦ h λ , tzn. wzorem 

F λ (x 0 , t 1 , . . . , t p , s) = { (1 − s)D(x) + sΦ(x) : x ∈ F ( x 0 , λû(t 1 , . . . , t p ), s )} . 

Na podstawie Uwagi 3.1.23 łatwo widać, że F λ jest dopuszczalne. 

Weźmy teraz R > 0. Pokażemy, że dla dostatecznie dużego λ oraz r mamy, że dla każdego s ∈ 

[0, 1], (x 0 , t 1 , . . . , t p ) ∈ ∂ ( B n (0, r) × ∆ p 

) 

= S n−1 (0, r) × ∆ p ∪ B n (0, r) × ∂∆ p zachodzi 

F λ (x 0 , t 1 , . . . , t p , s) ∩ B q (0, R) = ∅. (3.5) 

Ustalmy (x 0 , u, s) ∈ R n × U p × [0, 1] i x ∈ F(x 0 , u, s), x 1 ∈ F(x 0 , u, 0). Z definicji 

x(t) = x 0 + ∫ t [ ( )] 

0 A(τ)x(τ) + B(τ)u(τ) + sf τ, x(τ), u(τ) dτ, 

x 1 (t) = x 0 + ∫ t [ ] 

0 A(τ)x(τ) + B(τ)u(τ) dτ. 

Stąd ‖x(t)−x 1 (t)‖ ∫ t 

0 ‖A(τ)‖·‖x(τ)−x 1(τ)‖ dτ +s ∫ t 

0 ‖f( τ, x(τ), u(τ) ) ( 

‖ dτ, czyli na podstawie nierówności 

Grönwalla dostajemy sup t∈J ‖x(t)−x 1 (t)‖ M exp 

∫ ) 

1 

0 ‖A(τ)‖ dτ oraz ∫ 1 

0 ‖ẋ(τ)−ẋ 1(τ)‖ dτ M, 

gdzie M = ∫ ( 

1 

∫ ) 

0 µ(τ) dτ. Stąd ‖x − x 1 

1‖ AC M 1 , gdzie M 1 = M max{1, exp 

0 ‖A(τ)‖ dτ }. 

Na podstawie tego oszacowania i z założenia dostajemy, że 

gdzie R 1 = M 1 ‖D‖ + m. 

|(1 − s)D(x) + sΦ(x) − D(x 1 )| ‖D‖ · ‖x − x 1 ‖ AC + m R 1 , (3.6) 

Z drugiej strony mamy, że D(x 1 ) = C 0 (x 0 ) + ∫ 1 

0 H(τ)B(τ)u(τ) dτ = C 0(x 0 ) + S(u). Wybierzmy tak 

λ, r > 0, aby dla x 0 ∈ S n−1 (0, r) i (t 1 , . . . t p ) ∈ ∂∆ p zachodziło 

C 0 (x 0 ) ∉ B n (0, R + R 1 ), 

λŜ(t 1, . . . , t p ) = S ( λû(t 1 , . . . , t p ) ) ∉ B p (0, R + R 1 ). 

Ich wybór jest możliwy na mocy założenia, że CK(u) = 0, dla u ∈ U p−1 wtedy i tylko wtedy, gdy 

u(·) ≡ 0 oraz C 0 | Ker L działa na R n . Inaczej mówiąc, dla (x 0 , t 1 , . . . , t p ) ∈ ∂ ( B n (0, r) × ∆ p ) ) , u = 

λû(t 1 , . . . , t p ), x 1 ∈ F(x 0 , u, 0), mamy że ‖D(x 1 )‖ > R + R 1 . Na podstawie tej nierówności i nierówności 

(3.6) dostajemy, że dla s ∈ [0, 1] oraz x 0 , (t 1 , . . . , t p ) jak wyżej i x ∈ F(x 0 , u, 0) mamy, że ‖D(x)+sΦ(x)‖ > 

R. Stąd zachodzi warunek (3.5). 

Własność homotopijnej niezmienniczości dla stopnia topologicznego zapewnia, że 

Deg ( F λ (·, 0), B n (0, r) × ∆ p , 0 ) = Deg ( F λ (·, 1), B n (0, r) × ∆ p , 0 ) . 

Zauważmy dalej, że F λ (x 0 , t 1 , . . . , t p , 0) = C 0 (x 0 ) + λŜ(t 1, . . . , t p ), a stąd wynika, że 

Deg ( F λ (·, 0), B n (0, r) × ∆ p , 0 ) = deg ( C 0 , B n (0, r), 0 ) · deg(λŜ, ∆ p, 0) ≠ 0 



co wynika z twierdzenia 2.4.9 i własności multiplikatywności stopnia Brouwera. 

Ostatecznie Deg ( F λ (·, 1), B n (0, r) × ∆ p , 0 ) ≠ 0, czyli z własności stopnia topologicznego wynika, że 

dla y ∈ B q (0, R) mamy 

Deg ( F λ (·, 1), B n (0, r) × ∆ p , y ) ≠ 0 

czyli y ∈ { Φ(x) takich, że x ∈ F(x 0 , u, 1), x 0 ∈ B n (0, R), u ∈ U p (λ) } . Dowodzi to tezy. 


ROZDZIAŁ 4 

Zastosowanie sterowań sztafetowych do inkluzji 

różniczkowych 

4.1 Wstęp i podstawowe definicje 

Inkluzje różniczkowe stanowią ważne uogólnienie równań różniczkowych zwyczajnych. W ogólności 

przybierają one postać 

dx 

dt (τ) ∈ F ( τ, x(τ) ) , gdzie τ ∈ J (4.1) 

gdzie odwzorowanie F jest funkcją wielowartościową. Rozwiązaniem tej inkluzji będziemy nazywać absolutnie 

ciągłą funkcję x określoną na J taką, że dla prawie wszystkich τ ∈ J spełnione jest (4.1). 

Podstawy analizy wielowartościowej podaliśmy już w rozdziale trzecim. Teraz uzupełnimy jeszcze naszą 

wiedzę o pewne fakty. 

Załóżmy od teraz, że (X, Σ, µ) jest przestrzenią z miarą zupełną. 

Definicja 4.1.1. Funkcję φ : X ⊸ Y , o wartościach domkniętych, nazywamy mierzalną, o ile φ −1 (U) ∈ 

Σ dla każdego otwartego U ⊂ Y . 

W tym miejscu warto przypomnieć ważne twierdzenie o selekcjach mierzalnych. 

Twierdzenie 4.1.2. (Kuratowski, Ryll-Nardzewski) Jeśli φ : X ⊸ R n jest mierzalna, to istnieje jej 

mierzalna selekcja, tzn. funkcja f : X → R n taka, że f(x) ∈ φ(x) dla każdego x ∈ X. 

Definicja 4.1.3. Niech φ : X ×R m ⊸ R n ma domknięte wartości. Powiadamy, że φ jest odwzorowaniem 

Carathéodory’ego, o ile spełnione są dwa warunki 

1. φ(x, ·) : R m ⊸ R n jest górnie półciągła dla prawie wszystkich x ∈ X, 

2. φ(·, u) : X ⊸ R n jest mierzalna dla wszystkich u ∈ R m . 

Uwaga 4.1.4. Odwzorowania Carathéodory’ego w podanym wyżej sensie czasem w literaturze występują 

jako odwzorowania górnie Carathéodory’ego, w odróżnieniu od tych, dla których w pierwszym warunku 

mamy do czynienia po prostu z ciągłością. 

38


Uwaga 4.1.5. Jeśli φ : X × R m ⊸ R n jest odwzorowaniem Carathéodory’ego, a u : X → R m funkcją 

mierzalną, to funkcja φ (·, u(·) ) nie musi być w ogólności mierzalna. Natomiast zachodzi następujące 

twierdzenie: 

Twierdzenie 4.1.6. [5] Jeśli u : X → R m jest mierzalna, to istnieje mierzalna multifunkcja S : X ⊸ 

R n taka, że S(x) ⊂ φ ( x, u(x) ) dla prawie wszystkich x ∈ X. 

Twierdzenie 4.1.7. [12] Jeśli φ : [0, 1] × R n ⊸ R n jest odwzorowaniem Carathéodory’ego o zwartych 

i wypukłych wartościach oraz o subliniowych wzroście, tzn. sup z∈φ(t,x) |z| α(t) + β(t)‖x‖ dla pewnych 

α, β ∈ L 1( [0, 1], [0, +∞) ) , to dla każdego x 0 ∈ R n zbiór rozwiązań inkluzji 


{ 

x ′ (t) ∈ φ ( t, x(t) ) , 

x(0) = x 0 , 

Twierdzenie 4.1.8. [13] Jeśli φ : [0, 1] × R n → R n jest ograniczonym odwzorowaniem u.s.c o zwartych 

i wypukłych wartościach, to dla każdego x 0 ∈ R n zbiór rozwiązań inkluzji 

{ 

x ′ (t) ∈ φ ( t, x(t) ) , 

x(0) = x 0 , 


Definicja 4.1.9. Odwzorowanie p : X → Y nazywamy doskonałym (ang. perfect map), o ile jest 

domkniętą i ciągłą surjekcją o zwartych włóknach, tzn. taką, że p −1( {y} ) jest zwarty dla wszystkich 

y ∈ Y . 

Twierdzenie 4.1.10. Jeśli p : X → Y jest doskonałe i Y jest zwarty, to X jest zwarty. 

Dowód. Niech X = ⋃ λ∈Λ V λ, gdzie V λ są otwarte. Jeśli p −1 (y) ⊂ V λ , to z ciągłości p istnieje otoczenie W λ 

punktu y takie, że p −1 (W λ ) ⊂ V λ . Skoro Y = ⋃ y∈Y {y} = ⋃ λ∈Λ W λ oraz Y jest zwarty, to Y = ⋃ λ∈Λ 1 

W λ , 

gdzie Λ 1 jest skończonym podzbiorem Λ. Stąd X = p −1 (Y ) = ⋃ λ∈Λ 1 

p −1 (W λ ) = ⋃ λ∈Λ 1 

V λ . Tak więc X 

jest zwarty. 

Definicja 4.1.11. Odwzorowanie p : X → Y nazywamy właściwym (ang. proper map), jeśli dla każdego 

zbioru zwartego A ⊂ Y zbiór p −1 (A) jest zwarty. 

Twierdzenie 4.1.12. Jeśli X, Y są przestrzeniami metrycznymi, a p : 

domknięte. 

X → Y jest właściwe, to jest 

Dowód. Niech F ⊂ X będzie domknięty oraz niech y ∈ p(F ). Istnieje więc ciąg (y n ) ∞ n=1 zbieżny do y 

taki, że y n ∈ p(F ). Określmy C := {y} ∪ {y n } ∞ n=1. Skoro C jest zwarty, to p −1 (C) jest zwarty. Niech 

{x n } ∞ n=1 ⊂ F będzie taki, że p(x n ) = y n . Ponieważ {x n } ∞ n=1 ⊂ p −1 (C), to można z niego wybrać 

podciąg zbieżny; powiedzmy, że do x 0 . Z ciągłości p dostajemy, że p(x n ) → p(x 0 ) ∈ p(F ). Jednocześnie 

p(x n ) = y n → y. Stąd p(F ) ⊂ p(F ). 

Twierdzenie 4.1.13. Niech p : X → Y , gdzie X, Y są przestrzeniami metrycznymi. Wtedy p jest 

właściwe wtedy i tylko wtedy, gdy jest doskonałe. 



Dowód. Jeśli p jest doskonałe oraz W ⊂ Y jest zwarty, to p| p −1 (W ) : p−1 (W ) → W też jest doskonałe. 

Z twierdzenia 4.1.10 otrzymujemy, że p −1 (W ) jest zwarty. 

Jeśli p jest właściwe, to z twierdzenia 4.1.12 jest ono domknięte. Ponieważ {y}, dla y ∈ Y , jest zwarty, 

to p −1( {y} ) też jest zwarty. 

Twierdzenie 4.1.14. (Convergence Theorem)[5] Niech J będzie odcinkiem, a φ : J × R m ⊸ R n 

będzie przekształceniem Carathéodory’ego o zwartych i wypukłych wartościach. Dla każdych ciągów {v n } ⊂ 

L p (J, R m ), {u n } ⊂ L q (J, R n ) takich, że v n → v w normie przestrzeni L p (J, R m ), oraz u n → u słabo 

w L q (J, R n ) mamy, że jeśli dla prawie wszystkich n ∈ N oraz prawie wszystkich x ∈ J zachodzi u n (x) ∈ 

φ ( x, v n (x) ) , to u(x) ∈ φ ( x, v(x) ) prawie wszędzie na J. 

4.2 Sterowalność procesów zadanych przez inkluzje 

Niech J := [0, 1]. Interesować nas będzie sterowalność następującej inkluzji 

x ′ (t) ∈ A(t)x(t) + B(t)u(t) + φ ( t, x(t), u(t) ) , t ∈ J, (4.2) 

gdzie A(·) jest macierzą o wymiarach n × n i współczynnikach całkowanych ( tzn. z L 1 (J, R) ) , B(·) ∈ 

L 1 (J, R n ), sterowanie u należy do pewnej podprzestrzeni przestrzeni L ∞ (J, R), a odwzorowanie φ : 

J × R n+1 ⊸ R n jest odwzorowaniem Carathéodory’ego o zwartych i wypukłych wartościach. Załóżmy 

ponadto, że φ jest całkowo ograniczona, tzn. istnieje funkcja całkowalna µ : J → R taka, że 

dla prawie wszystkich t ∈ J oraz y ∈ R n+1 . 

sup |z| µ(t) 

z∈φ(t,y) 

Przepiszemy teraz pewne definicje z rozdziału pierwszego, które przydadzą nam się w dalszym ciągu. 

Niech będzie dany ograniczony i surjektywny operator 

D : AC(J, R n ) → R k . 

Definicja 4.2.1. Powiemy, że układ (4.2) jest D-sterowalny poprzez U ⊂ L ∞ (J, R), gdy dla dowolnego 

y ∈ R k układ { 

ẋ(t) ∈ A(t)x(t) + B(t)u(t) + φ ( t, x(t), u(t) ) , dla p.w. t ∈ J, 

(4.3) 

D(x) = y 


Definicja 4.2.2. Niech C : AC(J, R n ) → R k , k 0, będzie liniową i ciągłą surjekcją, a C 0 : 

AC(J, R n ) → R n będzie operatorem ciągłym takim, że C 0 | Ker L 

jest izomorfizmem. Powiemy, że układ 

{ 

ẋ(t) ∈ A(t)x(t) + B(t)u(t) + φ ( t, x(t), u(t) ) , dla p.w. t ∈ J, 

(4.4) 

C 0 x = p 

jest C-sterowalny poprzez U, o ile dla każdego z ∈ R k oraz każdego p ∈ R n istnieje u ∈ U takie, że jedyne 

jego rozwiązanie x ∈ AC(J, R n ) spełnia Cx = z. 

Identycznie jak w rozdziale pierwszym zauważmy, że jeśli zdefiniujemy operator L : AC(J, R n ) → 

L ∞ (J, R n ) wzorem Lx(t) = x ′ (t) − A(t)x(t) dla x ∈ AC(J, R n ), to D-sterowalność można zawsze zredukować 

do C-sterowalności (Uwaga 1.5.4). W dalszym ciągu spróbujemy pokazać, że inkluzje różniczkowe 

także mogą być C-sterowane za pomocą sterowań sztafetowych. 

Podobnie jak w rozdziale drugim powiemy, że układ (4.2) jest sztafetowo C-sterowalny, o ile jest C- 

sterowalny poprzez przestrzeń U rel zdefiniowaną w (2.9). 



4.2.1 Główny rezultat 

W tej części dla wygody przyjmujemy oznaczenie v(λ, T ) := λû(T ). 

Zauważmy, że układ (4.4) jest sztafetowo sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją x ∈ AC(J, R n ), λ ∈ 

R, T ∈ ∆ k spełniające ten układ z u = v(λ, T ) oraz C(x) = z, gdzie z ∈ R k jest dowolny. Oznaczmy 

S λ (T ) := { x ∈ AC(J, R n ) : x(0) = p oraz ẋ(t) ∈ A(t)x(t) + B(t)u(t) + φ ( t, x(t), u(t) ) , dla p.w. t ∈ J } . 

Wtedy układ (4.4) jest rozwiązalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją λ ∈ R, T ∈ ∆ k takie, że z ∈ 

C ◦ S λ (T ). Tak więc naszym celem jest pokazanie, że dla wszystkich p ∈ R n , z ∈ R k istnieją λ ∈ R oraz 

T = (t 1 , . . . , t k ) ∈ ∆ k takie, że 

0 ∈ C ◦ S λ (T ) − z, 

Niech K : L 1 (J, R) → AC(J, R n ) będzie dany wzorem (Ku)(t) = X(t) ∫ t 

0 X−1 (s)B(s)u(s) ds, gdzie 

X to rezolwenta operatora A. 

Głównym twierdzeniem, które zostanie przedstawione w tej pracy jest następujące twierdzenie pochodzące 

z ([5], Theorem 6.49). 

Twierdzenie 4.2.3. Załóżmy, że zachodzi 

Wtedy układ (4.2) jest C-sterowalny poprzez U k . 

CK(u) = 0, dla u ∈ U k−1 ⇐⇒ u(·) ≡ 0. (4.5) 

Dowód. Ustalmy p ∈ R n , z ∈ R k oraz dla dowolnego λ ∈ R zdefiniujmy 

W λ = 

{(x, T, s) ∈ AC(J, R n ) × ∆ k × J : x(0) = sp oraz 

ẋ(t) ∈ A(t)x(t) + B(t)v(λ, T )(t) + sφ ( t, x(t), v(λ, T )(t) ) , 

dla p.w. t ∈ J}, 

(4.6) 

przy czym zbiór ten będziemy rozpatrywać z topologią indukowaną z C(J, R n )×∆ k ×J, ażeby zachodziła 

teza Faktu 4.2.4. 

Dla λ ∈ R określmy odwzorowanie p λ : W λ → ∆ k × J wzorem p λ (x, T, s) = (T, s). 

Fakt 4.2.4. Odwzorowanie p λ jest doskonałe. 

Dowód. Skoro p λ działa między przestrzeniami metrycznym, to wystarczy pokazać, że jest ono właściwe 

( (Twierdzenie 4.1.13). Niech K będzie zwartym podzbiorem ∆ k × J i załóżmy, że mamy ciąg 

(xk , t k , s k ) ) ⊂ k1 p−1 λ 

(K). Tak więc dla każdego k 1 mamy, że (t k, s k ) ∈ K. Ponieważ t k , s k należą 

do zbiorów zwartych, to (z dokładnością do podciągu) możemy założyć, że t k → t 0 , s k → s 0 . 

Z nierówności Grönwalla dostajemy, że ciąg (x k ) k1 jest jednostajnie ograniczony. Istotnie, wystarczy 

zastosować nierówność 3.1.3 do ‖x k (t)‖ ∫ t k 

( 

0 ‖A(τ)‖ · ‖xk (τ)‖ + ‖B(τ)‖ · |u(τ)| + s k µ(τ) ) dτ. Stosując 

ten sam zabieg w przypadku ciągu (ẋ k ) k1 otrzymujemy, że jest on jednostajnie ograniczony. Z twierdzenia 

3.1.14 otrzymujemy, że istnieje absolutnie ciągła funkcja x 0 : [0, 1] → R n taka, że (ewentualnie 

przechodząc do podciągu) x k → x 0 jednostajnie i ẋ k → ẋ 0 słabo w L 1 (J, R n ). Z twierdzenia 4.1.14 zastosowanego 

do ciągu inkluzji ẋ k (t) ∈ A(t)x k (t) + B(t)v(λ, t k )(t) + s k φ ( t, x k (t), v(λ, t k )(t) ) otrzymujemy, 

że (x 0 , t 0 , s 0 ) ∈ p −1 

λ 

(K). Kończy to dowód faktu. 

Zauważmy teraz, że dla wszystkich T ∈ ∆ k , s ∈ J, zbiór p −1 

λ 

(T, s) jest zbiorem wszystkich rozwiązań 

układu { 

ẋ(t) ∈ A(t)x(t) + B(t)u(t) + sφ ( t, x(t), u(t) ) , dla p.w. t ∈ J, 

(4.7) 

x(0) = sp, 



gdzie u = v(λ, T ). Stąd wniosek, że p −1 

λ 

(T, s) jest zbiorem typu R δ, ponieważ φ ma zwarte i wypukłe 

wartości. 

Rozważmy teraz rodzinę Φ λ : 

rozkład 

∆ k × J ⊸ R k odwzorowań wielowartościowych wyznaczonych przez 

∆ k × J p λ q λ→ 

← W λ R k , 

( 

gdzie q λ (x, T, s) = C(x) − sz. Mamy więc, że Φ λ (T, s) = q λ p 

−1 

λ 

(T, s)) . Łatwo zauważyć, że Φ λ jest 

odwzorowaniem dopuszczalnym jako złożenie odwzorowania ciągłego z odwzorowaniem o acyklicznych 

wartościach. 

Co więcej Φ(·, 1) = C ◦ S λ − z oraz Φ(T, 0) = CK ( v(λ, T ) ) : J → R k jest jedynym rozwiązaniem 

układu { 

ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)v(λ, T )(t), dla p.w. t ∈ J 

(4.8) 

x(0) = 0. 

Stwierdzenie 4.2.5. Istnieje r > 0 takie, że dla wszystkich s ∈ [0, 1], T ∈ ∂∆ k oraz λ spełniających 

|λ| r, zachodzi 

0 ∉ Φ λ (T, s). 

Dowód. Ustalmy s ∈ [0, 1], T ∈ ∂∆ k , λ ∈ R. Niech x ∈ AC(J, R n ) będzie rozwiązaniem układu (4.8), tzn. 

a x ∈ AC(J, R n ) spełnia 

x(t) = 

∫ t 

0 

[ 

A(τ)x(τ) + B(τ)v(λ, T )(τ) 

] 

dτ, 

x(t) = sp + 

∫ t 

0 

[A(τ)x(τ) + B(τ)v(λ, T )(τ) + sy(τ)] dτ, 

gdzie y(τ) ∈ φ ( τ, x(τ), v(λ, T )(τ) ) dla prawie wszystkich τ ∈ J. Stąd x jest rozwiązaniem prawie wszędzie 

problemu (4.7). Mamy więc, że (x, T, s) ∈ p −1 

λ 

(T, s) oraz (x, T, s) ∈ p−1 

λ 

(T, 0). 

Wystarczy pokazać, że ‖q λ (x, T, s)‖ > 0 dla dostatecznie dużych |λ|. Stosując nierówność Grönwalla 

do 

‖x(t) − x(t)‖ 

∫ t 

0 

‖A(τ)‖ · ‖x(τ) − x(τ)‖ dτ + s 

∫ t 

0 

‖y(τ)‖ dτ + s‖p‖, 

dostajemy, że ‖x−x‖ sup = sup t∈J ‖x(t)−x(t)‖ M, gdzie M := ( ‖p‖+ ∫ 1 

0 ‖y(τ)‖dτ) exp ( ∫ 1 

0 ‖A(τ)‖dτ) . 

Wnioskujemy wtedy, że 

‖q λ (x, T, s) − C(x)‖ = ‖C(x) − sz − C(x)‖ ‖C‖‖x − x‖ sup + ‖z‖ ‖C‖M + ‖z‖ = R 1 

co bezpośrednio daje nam, że ‖q λ (x, T, s)‖ ‖C(x)‖ − R 1 , gdzie R 1 nie zależy od λ. 

Skoro założyliśmy, że T ∈ ∂∆ k , to v(1, T ) ∈ U k−1 , a na podstawie założenia (4.5) mamy, iż 

‖C ( K(v(1, T )) ) ‖ > 0. Ponieważ F λ (T ) := C(x) = C ( K(v(λ, T )) ) = λC ( K(v(1, T )) ) , to ‖C(x)‖ = 

|λ|‖C ( K(v(1, T )) ) ‖. Jeśli więc λ jest dostatecznie (co do modułu) duże, to ‖C(x)‖ > R 1 , czyli ‖q λ (x, T, s)‖ > 

0. 

Wybierzmy więc r jak z tezy stwierdzenia i λ ∈ R spełniające |λ| r. Na podstawie powyższego 

wnioskujemy, że dla każdego s ∈ [0, 1] stopień deg ( Φ λ (·, s), ∆ k , 0 ) jest dobrze zdefiniowany, a ponadto 

deg(C ◦ S λ − z, ∆ k , 0) = deg(F λ , ∆ k , 0). 



Stwierdzenie 4.2.6. Jeśli deg(F 1 , ∆ k , 0) ≠ 0, to deg(F λ , ∆ k , 0) ≠ 0 dla każdego λ. 

Dowód. Rozważmy homotopię H s = F (1−s)+sλ = [ (1 − s) + sλ ] C ( K(v(1, ·)) ) , gdzie s ∈ [0, 1]. Ponieważ 

H 0 = F 1 i H 1 = F λ , oraz H s (T ) ≠ 0 dla T ∈ ∂∆ k , s ∈ [0, 1] na podstawie założenia (4.5), to 

deg(F 1 , ∆ k , 0) = deg(F λ , ∆ k , 0). 

Zauważmy teraz, że F 1 (T ) = Ŝ(τ 1, . . . , τ k ) = ∑ k 

∫ j=0 (−1)j τ j+1 

τ j 

Φ(s)B(s) ds, gdzie Φ jest macierzą, 

którą wyprowadziliśmy w rozdziale drugim. Skoro F 1 spełnia założenia lematu 2.4.1, to deg(F 1 , ∆ k , 0) ≠ 0. 

Stąd otrzymujemy, że deg(C ◦ S λ − z, ∆ k , 0) ≠ 0, czyli istnieją T ∈ ∆ k , x ∈ p −1 

λ 

(T, 1) takie, że C(x) = z. 

Kończy to dowód twierdzenia. 


Bibliografia 

[1] J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1976 

[2] K. Maurin, Analiza. Część I - Elementy, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977 

[3] M. Furi, P. Nistri, M. P. Pera, P. L. Zezza, Linear Controllability by Piecewise Constant Controls 

with Assigned Swiching Times, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol. 45, No 2, 

February 1985, 219-229 

[4] W. Kryszewski, P. L. Zezza, Remarks on the Relay Controllability of Control Systems, J. Opt. Theory 

Appl. 188, No 1, November 15, 1994 

[5] W. Kryszewski, Homotopy properties of set-valued mappings, Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Toruń 

1997 

[6] G. Aronsson, Finite bang-bang controllability for certain non-linear systems, Proceedings of the Royal 

Society of Edinburgh, 77A, 137-144, 1977 

[7] J. Gulgowski, W. Marzantowicz, Wstęp do analizy nieliniowej cz.1: Teoria stopnia, Wydawnictwo 

Naukowe UAM, Poznań 2003 

[8] M. J. Greenberg, Wykłady z topologii algebraicznej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1980 

[9] A. Dold, Lectures on Algebraic Topology, Springer-Verlag, New York/Berlin, 1972 

[10] J. Jaworowski, Involutions of compact spaces and a generalization of Borsuk’s Theorem on Antipodes, 

Bull. Acad. Polon. Sci., 32 (1955), 289-292 

[11] L. Górniewicz, Homological methods in the fixed point theory of multivalued mappings, Dissertationes 

Math., 129 (1976), 1 - 71 

[12] L. Górniewicz, Topological fixed point theory of multivalued mappings, Kluwer Academic Publishers, 

1999 

[13] L. Górniewicz, Topological Structure of Solution Sets: Current Results, Preprint, 2000 

[14] J. Dugundji, A. Granas, Fixed point theory, Monografie Matematyczne, Tom 61, PWN, Warszawa 

1982 

44


[15] J.-P. Aubin, A. Cellina, Differential Inlusions. Set-Valued Maps and Viability Theory, Springer- 

Verlag, New York 1984 

[16] E. H. Spanier Topologia algebraiczna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1972 

[17] A. Hatcher Algebraic topology, Cambridge University Press, 2002 

[18] K. Sieklucki Geometria i topologia, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979 


Spis symboli 

Oznaczenie 

Opis 

AC(J, R n ) zbiór funkcji absolutnie ciągłych, 4 

C operator C, 6 

CK operator CK, 7 

D operator D, 11 

D k 

∆ k/ ∼ k 

, 22 

F λ (T ) odwzorowanie F λ (T ), 42 

G ⊕ H suma prosta operatorów, 12 

H ∗ funktor kohomologii Alexandera-Spaniera, 32 

K operator K, 6 

L operator L, 11 

L p przestrzeń funkcji całkowalnych z p-tą potęgą, 4 

L ∞ przestrzeń funkcji istotnie ograniczonych, 4 

P C(J, R m ) przestrzeń funkcjikawałkami stałych, 7 

S operator S, 18 

S λ (T ) zbiór rozwiązań S λ (T ), 41 

U k 

zbiór sterowań , które mają co najwyżej k punktów nieciągłości, 

18 

U B maksymalna przestrzeń sterowań, 5 

U rel zbiór sterowań sztafetowych, 18 

W λ zbiór W λ , 41 

X ∪ f Y 

doklejenie przestrzeni X do przestrzeni Y za pomocą odwzorowania 

f, 19 

X ⊸ Y odwzorowanie wielowartościowe z X to Y , 8 

X 0 , X 1 dwa wybrane boki sympleksu ∆ k , 22 

Deg ( (α, β), W, y ) stopień odwzorowania wielowartościowego, 33 

∆ T n przeskalowany sympleks n wymiarowy, 8 

O ɛ (A) ɛ otoczka zbioru A, 8 

F funkcja wielowartośiowa F, 35 

Φ λ pewna rodzina odwzorowań wielowartościowych, 42 

X przestrzeń X , 22 

deg stopień Brouwera, 17 

46


Oznaczenie 

Opis 

Ŝ operator Ŝ, 18 

û sterowanie sztafetowe o amplitudzie 1, 18 

L odwzorowanie L, 36 

F λ odwzorowanie wielowartościowe F λ , 36 

φ −1 (U) mały przeciwobraz prze funkcję wielowartościową, 29 

φ −1 

+ (U) duży przeciwobraz prze funkcję wielowartościową, 29 

π j odwzorowania π j , 22 

⊔ suma rozłączna, 19 

∼ k relacja równoważności na ∆ k , 22 

ϕ k rzutowanie ilorazowe na D k , 22 

d H (A, B) odległość Hausdorffa zbiorów A oraz B, 8 

h j odwzorowanie charakterystyczne X j , 22 

h λ odwzorowanie h λ , 36 

p λ rzutowanie W λ → ∆ k × J, 41 

q λ odwzorowanie q λ , 42 

v(λ, T ) strategia sztafetowa o amplitudzie λ, 41 

v tr wektor transponowany do wektora v, 8 


Skorowidz 

C-sterowalność, 11 

D-sterowalność, 11 

ɛ-otoczka, 8 

absolutny retrakt, 32 

amplituda sterowania, 18 

całkowita sterowalność, 6 

ciąg Mayera-Vietorisa, 21 

ciągłość odwzorowania wielowartościowego, 29 

Compactness Theorem, 31 

dołączenie komórki k-wymiarowej, 19 

dolna półciągłość, 29 

funkcja Carathéodory’ego, 34 

funkcje 

absolutnie ciągłe, 4 

jednakowo ciągłe, 30 

kawałkami stałe, 7 

górna półciągłość, 29 

homotopijna równoważność, 19 

inwolucja, 19 

metryka Hausdorffa, 8 

mocny retrakt deformacyjny, 20 

multifunkcja mierzalna, 38 

nierówność Grönwalla, postać całkowa, 29 

odwzorowanie 

Carathéodory’ego, 38 

dopuszczalne, 32 

doskonałe, 39 

właściwe, 39 

wielowartościowe, 29 

para kołnierzykowa, 19 

proces sterowania, 5 

przestrzeń 

L p , 4 

L ∞ , 4 

Frécheta, 5 

sterowań (przestrzeń strategii), 5 

retrakt, 31 

rezolwenta równania różniczkowego liniowego, 6 

rodzina jednakowo jednostajnie ciągła, 30 

rozkład 

na sumę prostą, 12 

odwzorowania wielowartościowego, 32 

sterowania sztafetowe (strategie sztafetowe), 16 

stopień 

Brouwera, 17 

odwzorowania wielowartościowego, 33 

stopień homologiczny, 16 

sztafetowa C-sterowalność, 18 

twierdzenie 

Aronszajna, 32 

Arzelà-Ascoli, 30 

Banacha-Alaoglu, 30 

Hahna-Banacha, 5 

Hausorffa, 30 

Hopfa, 16 

48


Kuratowskiego i Ryll-Nardzewskiego, 38 

Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej, 30 

o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania, 4 

o odwzorowaniu odwrotnym, 5 

Peano, 30 

Riesza, 5 

Vietorisa-Beagle’a, 33 

typ homotopijny, 19 

układ sterowania, 5 

wzór Duhamela, 6 

zanurzenie, 32 

zbiór 

acykliczny, 32 

prezwarty, 30 

sterowań sztafetowych, 18 

typu R δ , 32

Sterowanie sztafetowe w teorii sterowania - Wydział Matematyki i ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?