Zajęcia 5

Rachunek prawdopodobieństwa
Ćwiczenia 5
Oznaczenie 1. B(R) – rodzina zbiorów Borelowskich.
Definicja 1. Niech będzie dana przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P ). Funkcję X : Ω → R określoną
na przestrzeni zdarzeń elementarnych nazywamy zmienną losową o wartościach w R jeżeli dla każdego
a ∈ R zbiór X −1 ((∞, a)) jest zdarzeniem elementarnym, czyli X −1 ((∞, a)) ∈ F.
Zadanie 1. Zdefiniuj zmienną losową dla poniższych ”zdarzeń”:
• Rzut symetryczną monetą.
• Wybór jednej karty z tali.
• Rzut kostką.
• Odbiór partii produktów, z których 98 % jest dobra a pozostała wybrakowana.
Definicja 2. Niech będzie dana przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P ). Rozkładem prawdopodobieństwa
zmiennej losowej X : (Ω, F) → (R, B(R)) nazywamy prawdopodobieństwo µ X , określone na B(R)
zależnością:
µ X (B) = P (X −1 (B)), B ∈ B(R).
Oznaczenie 2. P (X −1 (B)) można również zapisywać:
P (X −1 (B)) = P ({ω ∈ Ω: X(ω) ∈ B}) = P (X ∈ B).
Ostatniej, skrótowej wersji będziemy używać najczęściej.
Definicja 3. Zmienna losowa X ma rozkład dyskretny, jeśli istnieje taki zbiór przeliczalny S ⊂ R,
że µ X (S) = 1.
Definicja 4. Zmienna losowa o rozkładzie dwumianowym (binomialnym, Bernoulliego)
opisuje liczbę k sukcesów w ciągu N niezależnych prób, z których każda ma stałe prawdopodobieństwo
sukcesu równe p. Pojedynczy eksperyment nosi nazwę próby Bernoulliego. Rozkład prawdopodobieństwa
zmiennej losowej X o rozkładzie Bernoulliego wyraża się wzorem:
P (X = k) =
(
N
k
)
p k (1 − p) n−k .
Zadanie 2. Dwóch równorzędnych graczy gra w szachy. Co jest bardziej prawdopodobne dla każdego
z nich:
1. wygrać dwie partie z czterech,
2. czy trzy z sześciu?.
1

2
Partie remisowe nie są brane pod uwagę.
Zadanie 3. Firma zakupiła 4 nowe monitory tej samej marki. Prawdopodobieństwo, że monitor tej
marki ulegnie awarii w okresie gwarancji wynosi 0,05. Oblicz prawdopodobieństwo, że
a) dwa monitory ulegną awarii w okresie gwarancji,
b) nie wszystkie monitory ulegną awarii w okresie gwarancji,
c) co najmniej jeden monitor ulegnie awarii w okresie gwarancji.
Definicja 5. Zmienna losowa o rozkładzie geometrycznym opisuje prawdopodobieństwo odniesienia
pierwszego sukcesu w k-tej próbie w ciągu niezależnych prób, z których każda ma stałe
prawdopodobieństwo sukcesu równe p (proces Bernoulliego). k musi być liczbą naturalną dodatnią.
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X o rozkładzie geometrycznym wyraża się wzorem:
P (X = k) = (1 − p) k−1 p.
Zadanie 4. Rzucamy symetryczną monetą jakie jest prawdopodobieństwo że pierwszy orzeł wypadnie
w 4 rzucie.
Definicja 6. Zmienna losowa o rozkładzie hipergeometrycznym określa liczbę elementów jednego
typu występujących w n-elementowej próbie wylosowanej z urny zawierającej M elementów tego
typu wśród N wszystkich elementów (N M) Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X o
rozkładzie hipergeometrycznym wyraża się wzorem:
P (X = k) =
( M )( N−M )
k n−k
( N
.
n)
Zadanie 5. Spośród 20 spółek inwestor kupił na giełdzie akcje 8. W następnym dniu kurs 14 spółek
wzrósł, a pozostałych 6 zmalał. Oblicz prawdopodobieństwo, ze wśród zakupionych przez inwestora
akcji ośmiu firm, kurs akcji co najmniej siedmiu spółek wzrósł.
Zadanie 6. W klasie jest 20 osób przy czym dziewczyn jest o 6 więcej niż chłopców. Nauczyciel
wybiera losowo do odpowiedzi cztery osoby , przy czym osoba raz wybrana nie jest pytana ponownie.
oblicz prawdopodobieństwo, ze nauczyciel wybierze :
a) samych chłopców
b) tyle samo dziewcząt co chłopców
Definicja 7. Zmienna losowa o rozkładzie Poissona Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej
losowej X o rozkładzie Poissona z parametrem λ > 0 wyraża się wzorem:
P (X = k) = e −λ · λk
k! .
Zadanie 7. Rozkład liczby dni nieobecności studentów na zajęciach obowiązkowych w semestrze jest
rozkładem Poissona z parametrem λ = 2.4. Oblicz prawdopodobieństwo, że student będzie nieobecny
w ciągu semestru:
a) mniej niż 2 razy
b) więcej niż 5 razy

3
Jakie zdarzenia opisuje zmienna losowa o rozkładzie Poissona?
Definicja 8. Zmienna losowa X ma rozkład ciągły, jeśli istnieje taka funkcja f : R → R, że
∫
µ X (A) = f(x)dx, A ∈ B(R).
Wtedy f nazywamy gęstością rozkładu µ X .
A
Definicja 9. Zmienna losowa o rozkładzie jednostajnym na odcinku Gęstość zmienna losowa
X o rozkładzie jednostajnym na odcinku [a, b] (a < b oraz a, b ∈ R) jest dana przez
χ [a,b] (x) =
{ 1
b−a
gdy x ∈ [a, b]
0 gdy x /∈ [a, b]
Zadanie 8. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [2, 6]. Wykonaj polecenia:
a) zapisz wzór na gęstość zmiennej losowej X
b) oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia że X ∈ [3, 3.5]
c) oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia że X ∈ (3, 3.5)
Definicja 10. Zmienna losowa o rozkładzie wykładniczym Gęstość zmienna losowa X o rozkładzie
wykładniczym z parametrem λ jest dana przez
{
λ · e
−λx
gdy x > 0
f(x) =
0 gdy x 0
Zadanie 9. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ = 0. Wykonaj polecenia:
a) narysuj gęstość zmiennej losowej X
b) na powyższym rysunku przedstaw graficznie prawdopodobieństwo, że X ∈ [0, 1]
c) oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia że X ∈ [0, 1]
Definicja 11. Zmienna losowa o rozkładzie normalnym (Gaussa) Gęstość zmienna losowa
X o rozkładzie normalnym z parametrami µ i σ jest dana przez
f(x) = 1
σ √ (x−m)2
e− 2σ 2
2π
Zadanie 10. Zmienna losowa X ma rozkład normalny o parametrach µ = 0 oraz σ = 1.
a) Podaj prawdopodobieństwo, że X osiąga wartości dodatnie.