Odwzorowania liniowe - pjwstk

Algebra
Przekształcenia linowe. Działania na
macierzach
Aleksander Denisiuk
denisjuk@pjwstk.edu.pl
Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych
zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku
ul. Brzegi 55
80-045 Gdańsk
Algebra – p. 1

Przekształcenia linowe. Działania na macierzach
Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem
http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/
Algebra – p. 2

Przekształcenie zwiazane ˛ z macierza˛
• Niech dane będza˛
przestrzenie kolumn R n oraz R m .
• Niech dana będzie m×n macierz A
⎛ ⎞
x 1
x
• ϕ A : R n → R m , ϕ A :
2
⎜ ⎟
⎝ . ⎠ ↦→ x 1A (1) +x 2 A (2) +···+x n A (n) ,
x n
gdzie A (1) ,. . . ,A (n) — kolumny macierzy A.
• Y = ϕ A (X) ∈ R m , y i = n ∑
j=1
a ij x j , i = 1,...,m
• ∀X,Y ∈ R n ϕ A (X +Y) = ϕ A (X)+ϕ A (Y)
• ∀X ∈ R n , ∀λ ∈ R ϕ A (λX) = λϕ A (X)
Algebra – p. 3

Przekształcenie Liniowe
Definicja 1. Niech dane będa dwie przestrzenie linioweR n iR m .
Odwzorowanieϕ : R n → R m ,x ↦→ ϕ(x) nazywa się przekształceniem
liniowym, jeżeli
1. ∀α ∈ R,∀R n ∈ X ⇒ ϕ(αX) = αϕ(X)
2. ∀X,Y ∈ R n ⇒ ϕ(X +Y) = ϕ(X)+ϕ(Y)
Algebra – p. 4

Macierz przekształcenia liniowego
• Niech dane będzie przekształcenie liniowe ϕ : R n → R m .
• ϕ(X) = ϕ( n ∑
• ϕ(E (j) ) =
j=1
⎛
⎜
⎝
x j E (j) ) = n ∑
⎞
a 1j
⎟
. ⎠
a mj
j=1
x j ϕ(E (j) )
Definicja 2. Macierza˛
przekształcenia liniowego nazywamy zdefiniowana˛
wyżej macierz o wyrazacha ij
Twierdzenie 3. Między przekształceniami liniowymiR n → R m a macierzami
m×nustalone jest wzajemnie-jednoznaczne odwzorowanie.
Algebra – p. 5

Przykłady przekształceń liniowych
Przykład 4.
• Przekształcenie jednostkowe
• Symetria względem osixna płaszczyźnie
• Obrót o katθ
˛
• Obrót w przestrzenix ↦→ y ↦→ z ↦→ x
• Funkcja liniowaR n → R
Algebra – p. 6

Działania liniowe na przekształceniach liniowych
Twierdzenie 5.
αϕ A +βϕ B = ϕ αA+βB
Algebra – p. 7

Dodawanie macierzy
Definicja 6. Suma˛
dwóch macierzyAiB tego samego wymiary jest macierz
C = A+B tegoż wymiary, taka żec ij = a ij +b ij .
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 −1 0
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Przykład 7. ⎝2⎠+
⎝ 2 ⎠ = ⎝4⎠.
3 4 7
Algebra – p. 8

Własności dodawania macierzy
• A+B = B +A — przemienność,
• (A+B)+C = A+(B +C) — łaczność
˛
• A+O = O+A = A — macierz zerowa jest elementem
neutralnym,
• dla każdej macierzy A istnieje macierz przeciwna −A, taka
że A+(−A) = (−A)+A = O.
• A−B = A+(−B).
Algebra – p. 9

Mnożenie macierzy przez liczbę
Definicja 8. Iloczynem liczby rzeczywistejλimacierzyAjest macierz
C = λA tego samego wymiary, taka żec ij = λa ij .
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 − 1 5
5 −1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Przykład 9. 5· ⎝ 2 0 ⎠ = ⎝10 0 ⎠.
−1 3 −5 15
Algebra – p. 10

Właściwości mnożenia macierzy przez liczbę
• Mnożenie macierzy przez liczbę posiada własności
liniowości:
◦ 1·A = A,
◦ (αβ)A = α(βA),
◦ α(A+B) = αA+αB,
◦ (α+β)A = αA+βA.
Algebra – p. 11

Superpozycja przekształceń liniowych
Twierdzenie 10.
ϕ AB = ϕ A ϕ B
Definicja 11. Iloczynem macierzyAwymiarun×r przez macierzB
wymiarur×mjest macierzC wymiarun×m, której elementc ij jest równy
c ij = a i1 b 1j +a i2 b 2j +···+a ir b rj =
r∑
a ik b kr .
k=1
Przykład 12.
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 3 ( ) 0 −11 7 12
⎜ ⎟ 3 −1 2 0 ⎜ ⎟
⎝−1 4⎠
= ⎝−11 −11 2 16⎠.
−2 −3 1 4
5 1
13 −8 11 4
Uwaga 13.
AB ≠ BA
Algebra – p. 12

Właściwości mnożenia macierzy
• Założymy, że we wszystkich przypadkach mnożenie
macierzy jest określone poprawnie.
• A(BC) = (AB)C,
• OA = O, AO = O, a
• IA = AI = A, b
• A(B +C) = AB +AC,
• (A+B)C = AC +BC,
• ∀λ ∈ R A(λB) = λ(AB).
a w tym przykładzie O w każdym przypadku oznacza zerowa˛
macierz różnych
wymiarów.
b w tym przykładzie w każdym przypadku I oznacza jednostkowa˛
macierz
różnych wymiarów.
Algebra – p. 13

Rzad ˛ iloczynu macierzy
Twierdzenie 14. rankAB min{rankA,rankB}
Dowód.
• NiechC = AB
• Dla wierszyC(i) i kolumnC (j) macierzyC:
C (i) = A (i) B, C (j) = AB (j) .
• Niechr1 = rankA orazA (1) ,...,A (r1 ) będa˛
bazowymi
• A (k) = ∑ r 1
i=1 λ kiA (i) dlar 1 < k n
• WięcC(k) = A (k) B = ( ∑ r1
i=1 λ ) ∑
kiA (i) B =
r1
i=1 λ ki(
A(i) B ) =
∑ r1
i=1 λ kiC (i) dlar 1 < k n
• 〈 〉 〈 〉
C (1) ,...,C (n) = C(1) ,...,C (r1 )
• rankC r 1
–verte–
Algebra – p. 14

Rzad ˛ iloczynu macierzy
Twierdzenie 15. rankAB min{rankA,rankB}
Dowód. cd.
• Analogicznie dlaB
• Niechr2 = rankB orazB (1) ,...,B (r 2) będa˛
bazowymi
• B (k) = ∑ r 2
j=1 µ kjB (j) dlar 2 < k m
• WięcC (k) = AB (k) ∑r2
)
= A(
j=1 µ kjB (j) =
∑ r2
j=1 µ (
kj AB
(j) ) = ∑ r 2
i=1 µ kjC (j) dlar 2 < k n
• 〈 C (1) ,...,C (m)〉 = 〈 C (1) ,...,C (r 2) 〉
• rankC r 2
Algebra – p. 15

Macierze kwadratowe
• M n (R n ) = M n zbiór macierzy kwadratowych n×n
• I ∈ M n macierz jednostkowa
• elementy macierzy jednostkowej δ ij =
(symbol Kroneckera)
• ∀A ∈ M n , AI = IA = A
{
1, jeżeli i = j,
0, jeżeli i ≠ j
• I(λ) = λI macierz skalarna
• ∀A ∈ M n , AI(λ) = I(λ)A = A
Twierdzenie 16. NiechZ ∈ M n oraz∀A ∈ M n ,AZ = ZA. Wtedy
Z = I(λ).
Dowód. E ij
Algebra – p. 16

Macierz nieosobliwa
Definicja 17.
• MacierzA ∈ Mn jest nieosobliwa, ˛ jeżelirankA = n.
• MacierzA ∈ Mn jest odwracalna, jeżeli istniejeA −1 (AA −1 = I).
Twierdzenie 18. Macierz jest odwracalna˛
wtedy i tyko wtedy, gdy jest
nieosobliwa˛
Dowód.
1. n = rankI = rankA −1 A rankA
2. (a) R n = 〈E (1) ,...E (n) 〉 = 〈A (1) ,...A (n) 〉
(b) E (j) = ∑ n
i=1 a′ ji A(i)
(c) I = AA ′
Wniosek 19. NiechA ∈ M n będzie macierza˛
nieosobliwa. ˛ WtedyA t też jest
macierza˛
nieosobliwa˛
oraz(A t ) −1 = (A −1 ) t .
Algebra – p. 17

Mnożenie przez macierz nieosobliwa˛
Twierdzenie 20. NiechB iC będa˛
macierzami nieosobliwymi względnie
m×morazn×n. Wtedy dla dowolnejm×nmacierzyA
rankBAC = rankA
Dowód. rankBAC rankBA = rankBA(CC −1 ) =
rank(BAC)C −1 BAC
Wniosek 21. NiechA,B ∈ M n orazAB = I (lubBA = I). Wtedy
B = A −1 .
Wniosek 22. NiechA,B,...,C,D ∈ M n będa˛
nieosobliwe. Wtedy
AB...CD teżbędzie macierza˛
nieosobliwa, ˛ oraz
(AB...CD) −1 = D −1 C −1 ...B −1 A −1 Algebra – p. 18

Macierze elementarne —F s,t
⎛
1
. .. 0 1
. .. • F s,t =
1
. ..
1 0
⎜
⎝
⎞
, s ≠ t
. .. ⎟
⎠
1
• F s,t = I −E ss −E tt +E st +E ts
• F s,t A ⇐⇒ zamiana wierszy A (s) i A (t)
Algebra – p. 19

Macierze elementarne —F s,t (λ)
⎛
1
. .. 1 λ
• F s,t (λ) =
. .. 1
⎜
⎝
⎞
, s ≠ t
. .. ⎟
⎠
1
• F s,t (λ) = I +λE st
• F s,t (λ)A ⇐⇒ A (s) A (s) +λA (t)
Algebra – p. 20

Macierze elementarne —F s (λ)
⎛ ⎞
1
. .. • F s (λ) =
λ
⎜
.
⎝
.. ⎟
⎠
1
λ ≠ 0
• F s (λ) = I +(λ−1)E ss
• F s (λ)A ⇐⇒ A (s) λA (s)
Algebra – p. 21

Sprowadzenie do postaci jednostkowej
Twierdzenie 23. NiechA ∈ M n będzie nieosobliwa. ˛ Wtedy za pomoca˛
przekształceń elementarnychAmożna sprowadzić do postaci macierzy
jednostkowej.
Dowód.
1. Sprowadzamy do postaci schodkowej
2. Sprowadzamy do postaci jednostkowej
Wniosek 24. NiechA ∈ M n będzie nieosobliwa. ˛ Wtedy za pomoca˛
mnożenia przed macierze elementarneAmożna sprowadzić do postaci
macierzy jednostkowej:
I = P k ...P 1 A,
gdzieP 1 ,...,P k — sa˛
macierze elementarne.
Wniosek 25.
P k ...P 1 = A −1 Algebra – p. 22

Obliczenie macierzy odwrotnej
(A|I) P 1
(P 1 A|P 1 ) P 2
(P 2 P 1 A|P 2 P 1 ) ...
Przykład 26. 1.
2.
⎛ ⎞−1
0 2 0
⎜ ⎟
⎝1 1 −1⎠
=
2 1 −1
⎛ ⎞−1
⎛
−1 1 1 1
1 −1 1 1
⎜ ⎟ = ⎜
⎝ 1 1 −1 1 ⎠ ⎝
1 1 1 −1
... P k
(P k ...P 2 P 1 A|P k ...P 2 P 1 ) = (I|A −1 )
⎛ ⎞
0 −1 1
⎜1
⎟
⎝2 0 0⎠
1
2
−2 1
− 1 1 1
4 4 4
1
4
− 1 1
4 4
1 1
4 4
− 1 4
1 1
4 4
1
4
1
4
1
4
1
4
− 1 4
⎞
⎟
⎠
Algebra – p. 23

Przestrzeń rozwiazań
˛
• Niech dany będzie układ jednorodny AX = 0
• Zbiór rozwiazań ˛ przestrzeń liniowa˛
• Baza przestrzeni rozwiazań ˛ nazywa się układem rozwiazań
˛
fundamentalnych
Algebra – p. 24

Google
• Uporzadkować ˛ strony (wyniki wyszukiwania)
• Ważność strony P jest I(P)
• Niech strona P j ma l i odnośników
• Jeżeli P j ma link na P i , strona P j przekazuje I(P j )/l j swojej
ważności na P i
• Ważność P i wyniesie
I(P i ) = ∑ I(P j )
,
l j
P j ∈B i
gdzie B i jest zbiorem stron z odnośnikami do P i
Algebra – p. 25

Google — podejście algebraiczne
• Maciezr hiperlinków H:
h ij =
{
1
l j
, jeżeliP j ∈ B i
0 w pozostałych przypadkach
◦ h ij > 0
◦ ∑ i h ij = 1
◦ H jest macierza˛
stochastyczna˛
⎛
• Wektor ważności I =
⎜
⎝
⎞
P 1
⎟
. ⎠
P n
• Równanie ważności I = HI
◦ I jest wektorem stacjonarnym przekształcenia ϕ H
Algebra – p. 26

Google — przykład
H =
⎛
⎞
1
0 0 0 0 0 0
3
0
1 1 1
2
0
2 3
0 0 0 0
1
2
0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
1 1 1
0 0 2 3
0 0
3
0
1 1 1
0 0 0
3 3
0 0 2
⎜ 1 1⎟
⎝0 0 0 0
3
0 0
2⎠
1 1
0 0 0 0
3
1
3
0
Algebra – p. 27

Google — ważności wyników
I =
⎛ ⎞
0,0600
0,0675
0,0300
0,0675
0,0975
0,2025
⎜ ⎟
⎝0,1800⎠
0,2950
Algebra – p. 28