Modelování odtoku z povodí pomocí Boussinesqovy rovnice ... - kvhem

ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE
Fakulta životního prostředí
Katedra vodního hospodářství a environmentálního modelování
Obor: Environmentální modelování
Modelování odtoku z povodí pomocí Boussinesqovy rovnice
(Diplomová práce)
Autor: Veronika Kajtárová
Vedoucí: Ing. Jiří Pavlásek, Ph.D.
2008

Prohlašuji, že jsem celou diplomovou práci na téma „Modelování odtoku z povodí pomocí
Boussinqovy rovnice“ vypracovala samostatně za použití uvedené literatury a podle
pokynů vedoucího diplomové práce.
V Praze dne 30. dubna 2008
……………………………………
Veronika Kajtárová

Poděkování
Děkuji všem, kteří mě doprovázeli, podporovali a pomáhali mi při studiu a při psaní
diplomové práce, nejdříve svému vedoucímu diplomové práce Ing. Jiřímu Pavláskovi,
Ph.D, dále svému manželovi, rodičům, sestrám, přátelům a také Bohu.

Modeling of outflow from catchment using Boussinesq
equation
Abstract
This diploma work is focused on modeling of outflow from small sylvan catchments. Total
runoff from catchment is build by base flow and direct runoff. Direct runoff is build by
surface runoff and by subsurface runoff and develops as a quick reaction on precipitation.
Base flow is build by ground water and develops as a slow reaction on a long lasting
precipitation. This work solves the outflow from sloping area using Dupuit assumption and
second Boussinesq approximation. The Boussinesq equation is solved by separation of
space and time variables. Some of equations are carried out by the numerical method
Runge-Kutta. For model calibration and verification are used data, which are obtained
from experimental catchment Modrava 2 in Šumava (experimental catchment of ČZU).
The model is able to simulate the base flow and also the direct runoff.

Obsah
Obsah
Obsah .....................................................................................................................................1
1 ÚVOD............................................................................................................................1
2 ROZBOR LITERATURY .............................................................................................2
2.1 Voda v půdě ...........................................................................................................2
2.2 Proudění vody v půdě ............................................................................................3
2.3 Vlastnosti půdního prostředí..................................................................................3
2.3.1 Pórovitost.......................................................................................................3
2.3.2 Storativita.......................................................................................................5
2.3.3 Homogenita, heterogenita..............................................................................5
2.3.4 Izotropie, anizotropie .....................................................................................6
2.4 Proudění podzemní vody .......................................................................................6
2.4.1 Darcyho zákon ...............................................................................................7
2.4.2 Meze platnosti Darcyho zákona.....................................................................8
2.4.3 Nasycená hydraulická vodivost .....................................................................9
2.4.4 Počáteční podmínky.....................................................................................10
2.4.5 Okrajové podmínky .....................................................................................11
2.4.6 Hydraulický přístup .....................................................................................12
2.4.7 Dupuitovy postuláty.....................................................................................12
2.4.8 Boussinesqova rovnice ................................................................................14
2.4.9 Boussinesqova první a druhá aproximace ...................................................15
3 ŘEŠENÍ DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC ..................................................................19
3.1 Ustálené proudění na nakloněné nepropustné rovině ..........................................19
3.2 Neustálené proudění na nakloněné nepropustné rovině ......................................23
4 MODEL ODTOKU PODZEMNÍ VODY ...................................................................26
5 VÝSLEDKY A DISKUZE..........................................................................................29
5.1 Ustálené proudění na nakloněné nepropustné rovině ..........................................29
5.2 Neustálené proudění na nakloněné nepropustné rovině ......................................32
5.3 Kalibrace a verifikace modelu .............................................................................36
5.4 Simulace...............................................................................................................37
6 ZÁVĚR ........................................................................................................................39
7 PŘÍLOHY ....................................................................................................................40
7.1 Ustálené proudění na nakloněné nepropustné rovině ..........................................40
7.2 Neustálené proudění na nakloněné nepropustné rovině ......................................44
7.3 Kalibrace modelu.................................................................................................49
7.4 Verifikace modelu................................................................................................57
Seznam použitých symbolů .................................................................................................60
Seznam literatury .................................................................................................................63

Úvod
1 ÚVOD
Tato diplomová práce zaměřená na problematiku malých lesních povodí řeší odtok vody z
povodí.
Celkový odtok z povodí je tvořen základním odtokem a přímým odtokem. Přímý odtok
tvořen povrchovým a podpovrchovým odtokem vzniká jako rychlá reakce na srážkovou
událost. Základní odtok, což je většinová část celkového odtoku, tvořen odtokem podzemní
vody, vzniká jako pomalá reakce povodí na dlouhodobou dotaci vody do podzemí z trvalé
pokrývky sněhu, či z dlouhodobých dešťů. Krátkodobé, třebaže vydatné, deště se na
základním odtoku téměř nepodílejí, neboť k povrchu podzemní vody „nestihnou“ dotéct,
způsobují však rychlé navýšení průtoků v říčním profilu, přívalové deště pak povodňovou
událost.
Pro člověka, zvířata a rostliny nemají krátkodobé deště příliš velký význam, neboť většina
vody i ze silného přívalového deště z krajiny během pár dnů zmizí a také období beze
srážek jsou delší než období se srážkami. Naopak podzemní voda jako zásoba vody
v povodí poskytuje stálý přísun vody do půdy, toků, vodních nádrží, studní, a tak slouží
jako zdroj života pro rostliny, živočichy i pro člověka.
Tato práce si klade za cíl namodelovat odtok vody z povodí, především odtok základní a
také odtok přímý, pomocí Boussinesqovy rovnice.
V první části diplomové práce je uveden přehled základních vztahů a zákonitostí
popisujících problematiku proudění podzemní vody. Dále jsou upraveny rovnice pro řešení
proudění podzemní vody na svahu pomocí separace časových a prostorových proměnných.
Tyto rovnice jsou použity pro modelování odtoku podzemní vody z malých lesních
horských povodí. Při kalibraci a verifikaci modelu jsou použita data naměřená na
pokusném povodí Modrava 2 nacházejícím se na Šumavě.
1

Rozbor literatury
2 ROZBOR LITERATURY
2.1 Voda v půdě
Veškerá voda nacházející se pod zemským povrchem bývá označována termínem
podpovrchová voda.
Voda dopadající na povrch půdy částečně infiltruje, vlivem gravitace se pohybuje směrem
dolů a akumuluje se nad nepropustným podložím. Prostředí, kterým voda proudí pod
povrchem půdy je tvořeno pevnou fází a volnými prostory (póry, puklinami, kavernami
apod.). Podle relativního vyplnění skulin a pórů vodou může být podpovrchová voda
rozdělena na několik horizontálních zón. Na obr. 2.1 je schematicky znázorněno rozdělení
podpovrchové vody v homogenním prostředí.
Podle toho, zda jsou všechny póry zcela vyplněny vodou, či nikoliv, rozlišujeme zónu
nasycenou (zvodnělou) a zónu nenasycenou (zónu provzdušnění – aerace).
Nasycená zóna zahrnuje částečně pásmo kapilární vody a celé pásmo podzemní vody.
Nenasycená zóna zahrnuje tři pásma: pásmo půdní vody, přechodné pásmo a částečně
pásmo kapilární vody (Valentová 2007).
Obr. 2.1 Rozdělení vody ve vertikálním profilu (Valentová 2007).
Podzemní voda je shora ohraničena volnou hladinou podzemní vody a zdola nepropustným
podložím. Na volné hladině podzemní vody je hydraulický tlak roven tlaku
atmosférickému (Šilar 1996).
2

Rozbor literatury
2.2 Proudění vody v půdě
Proudění vody v půdě je většinou nestacionární. Proud vody v půdě je neustálený
(nestacionární), jestliže se průtok v dané průtočné ploše mění s časem a v daném okamžiku
je v různých průtočných plochách různý (závisí tedy na dráze).
Rychlost proudu vody v nasyceném prostředí počítaná na základě makroskopicky
pozorovaných veličin je označována jako makroskopická rychlost (též zdánlivá rychlost),
odpovídající průměrné rychlosti v celé ploše průřezu porézním prostředím (jako kdyby
půdní zrna neexistovala), tj. kontinuální přístup. Skutečná rychlost vody v pórech je ale
velmi různá v závislosti na konfiguraci půdních pórů (rytmická proměnlivost průřezů pórů,
existence neprůchodných pórů, zakřivenost pórů apod.).
Tato skutečná rychlost je průměrem mikroskopických rychlostí pro jednotlivé průřezy
pórů. Mikroskopické rychlosti jsou velmi variabilní, zvětšují se s velikostí pórů, se
vzdáleností od stěn pórů od středu jejich průřezové plochy. Dále je třeba podotknout, že
voda pevně vázaná na povrchu stěn pórů (částic) není pohyblivá a zmenšuje tak průtočný
profil pórů. Proto se místo pórovitosti používá tzv. efektivní pórovitost. Upřesňuje se tím
objem pórů s pohyblivou vodou (Drbal 1984).
2.3 Vlastnosti půdního prostředí
2.3.1 Pórovitost
Vztah pro výpočet pórovitosti uvádí Tourková (2004):
Vp
n =
V
(2.1)
kde: n - pórovitost [-]
Vp - objem pórů [L 3 ]
V - celkový objem zeminy [L 3 ]
Na pórovitost má vliv tvar i vzájemné uložení zrn, jak je patrno z obr 2.2, který znázorňuje
několik typických případů pravidelného uspořádání kulových částic ve vrstvě. U volně
nasypaných vrstev složených z běžných zrnitých nebo krystalických materiálů se
pórovitost pohybuje v rozmezí od 0,3 do 0,5 (Novák a Rieger 2000).
3

Rozbor literatury
Obr. 2.2 Pórovitost různě uspořádaných vrstev kulových částic (Novák a Rieger 2000).
Efektivní pórovitost se nazývá rovněž účinná pórovitost a vyjadřuje objem gravitační vody,
který vyteče z plně nasyceného vzorku zeminy. Se stoupající velikostí zrna zeminy
pórovitost obvykle klesá a efektivní pórovitost stoupá (obr. 2.3). Tab. 2.1 znázorňuje
zařazení zemin do zrnitostních kategorií podle velikosti zrna. Příklady efektivní
pórovitosti: štěrk 25%, písek 20%, pískovec 10% a jíl 3% (Tourková 2004).
Tab. 2.1 Zrnitostní kategorie dle Kopeckého doplněné podrobnějším dělením I. Kategorie a
základním dělením skeletu (Drbal 1984).
Označení Pojmenování
Podrobné dělení
kategorie kategorie Průměr zrn [mm] Pojmenování Průměr zrn [mm]
koloidní jíl

Rozbor literatury
2.3.2 Storativita
Objem vody v elementu kolektoru s volnou hladinou je při jednotkové horizontální ploše
dán výškou volné hladiny podzemní vody (viz obr. 2.4).
Obr. 2.4 Schéma pro definici storativity v kolektoru s volnou hladinou (Valentová 2007).
Jestliže v důsledku proudění podzemní vody je množství vody opouštějící uvažovaný
element větší než množství přitékající vody, dojde k poklesu hladiny. Zásobnost kolektoru
se definuje výrazem:
S
=
∆V
v
A ⋅ ∆h
(2.2)
kde: S - storativita [-]
∆V - změna objemu vody v elementu kolektoru [L 3 ]
A - horizontální plocha elementu kolektoru [L 2 ]
∆h - pokles hladiny podzemní vody v elementu kolektoru [L]
Pro hlinité písky se hodnota storativity pohybuje v rozmezí 0,05 až 0,15, pro jemnozrnné
až hrubozrnné písky v rozmezí 0,19 až 0,3. Hodnota storativity kolektoru s volnou
hladinou je často nahrazována efektivní pórovitostí.
2.3.3 Homogenita, heterogenita
Porézní prostředí je homogenní vzhledem k dané vlastnosti (např. hydraulické vodivosti),
jestliže ve všech bodech je tato vlastnost stejná. Jestliže se vlastnost mění v závislosti na
poloze v oblasti, jedná se o prostředí nehomogenní (heterogenní) (obr. 2.5).
5

Rozbor literatury
2.3.4 Izotropie, anizotropie
Prostředí je izotropní vzhledem k nějaké vlastnosti, jestliže je tato vlastnost v daném bodě
nezávislá na směru v uvažovaném prostředí. V opačném případě je prostředí neizotropní
(anizotropní) (obr. 2.5). Anizotropie vzhledem k hydraulické vodivosti je vyvolána
strukturou porézního materiálu a způsobuje vyšší propustnost pro vodu v některém směru.
Obr. 2.5 Možné kombinace homogenity a izotropie (Valentová 2007).
2.4 Proudění podzemní vody
Řídícími silami, které ovlivňují pohyb vody v nasycené zóně, je gravitace a tlakový
gradient. V hydraulice podzemní vody se pracuje s hydraulickou výškou.
H
= z +
p
ρg
(2.3)
kde: H - hydraulická výška [L]
z - geodetická výška [L]
p - tlak vody v daném bodě pod hladinou podzemní vody [L -1 .M.T -2 ]
ρ - hustota vody [M.L -3 ]
g - tíhové zrychlení [L.T -2 ]
p = h
p
ρ
g
(2.4)
kde: h p - tlaková výška neboli hloubka daného bodu pod hladinou podzemní vody [L]
6

Rozbor literatury
Obr. 2.6 Schematický nákres piezometru (přístroj k určování hydraulické výšky) (Valentová 2007).
2.4.1 Darcyho zákon
Jako pohybová rovnice se v hydraulice podzemní vody běžně aplikuje empirický Darcyho
zákon (aparatura, pomocí níž byl odvozen, je znázorněna na obr. 2.7):
( H H ) L
Q = KS
1
−
2
(2.5)
kde: Q - průtok [L 3 .T -1 ]
K - nasycená hydraulická vodivost [L.T -1 ]
S - průřezová plocha sloupce [L 2 ]
(H 1 -H 2 ) - ztráta hydraulické výšky při průtoku vody sloupcem zeminy [L]
L - délka sloupce [L]
Obr. 2.7 Aparatura Darcyho experimentu (Valentová 2007).
Jeho diferenciální forma pro jednorozměrné proudění vody v homogenním prostředí
vypadá takto:
7

Rozbor literatury
dH
v = −K
dl
(2.6)
kde: v - Darcyovská rychlost proudění vody [L.T -1 ]
dH/dl - gradient hydraulické výšky – hydraulický gradient [-]
Koeficientem úměrnosti je nasycená hydraulická vodivost, základní hydraulická
charakteristika daného porézního materiálu, která má rozměr rychlosti. Nasycená
hydraulická vodivost je v případě neizotropního prostředí popsána pomocí tenzoru:
K
⎡K
⎢
= ⎢ K
⎢
⎣ K
x x
xy
xz
,
,
,
K
K
K
xy
y y
zy
,
,
,
K
K
K
xz
yz
z z
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
(2.7)
kde: K ii - složky tenzoru nasycené hydraulické vodivosti [L.T -1 ]
Zobecněný tvar Darcyho zákona pro trojrozměrné proudění vody v anizotropním prostředí
vyjadřují rovnice:
v
x
= −K
xx
∂H
∂x
− K
xy
∂H
∂y
− K
xz
∂H
∂z
(2.8)
v
y
= −K
yx
∂H
∂x
− K
yy
∂H
∂y
− K
yz
∂H
∂z
(2.9)
v
z
= −K
zx
∂H
∂x
− K
zy
∂H
∂y
− K
zz
∂H
∂z
(2.10)
2.4.2 Meze platnosti Darcyho zákona
Darcyho zákon je lineární zákon, vyjadřující lineární závislost makroskopické neboli
zdánlivé rzchlosti na hydraulickém gradientu. Tato lineární závislost neplatí pro celé
rozmezí hodnot gradientu hydraulické výšky mezi nulou a ∞, je omezena dolní i horní
limitní hodnotou gradientu (obr. 2.8). Při průsaku velmi jemnozrnným materiálem s nízkou
propustností existuje limitní hodnota hydraulického gradientu, při které ustává pohyb
kapaliny. Druhé omezení použitelnosti Darcyno zákona je při průsaku velmi hrubozrnným
materiálem, při kterém dochází k nelineární závislosti mezi růstem gradientu potenciálu a
růstem rychlosti.
8

Rozbor literatury
Obr. 2.8 Závislost rychlosti proudění na gradientu potenciálu (Valentová 2007).
Horní limit platnosti Darcyho zákona může být překročen při proudění v krasových
vápencích a dolomitech a ve vulkanických horninách s kavernami. Proudění podzemní
vody se děje většinou tak, že je Darcyho zákon aplikovatelný (Valentová 2007).
2.4.3 Nasycená hydraulická vodivost
Velikost nasycené hydraulické vodivosti závisí na vlastnostech porézního prostředí i na
vlastnostech proudící kapaliny.
Tabulka 2.2 a tabulka 2.3 uvádí orientační hodnoty nasycené hydraulické vodivosti při
proudění vody v různých druzích zeminy.
Tab. 2.2 Orientační hodnoty hydraulické vodivosti (Valentová 2007).
Koeficient nasycené
druh zeminy hydraulické vodivosti [m/s]
jíl

Rozbor literatury
Tab. 2.3 Informativní hodnoty hydraulické vodivosti podle hrubé závislosti na zrnitosti
půda
(Drbal 1984).
koeficient hydraulické
vodivosti [m/s]
poznámka
rašeliny (1 - 1000).10 -7 K klesá s růstem rozložení
jíly (1 - 100).10 -7 obvykle < 10.10 -7
písky (1 - 60).10 -5 obvykle > 3,5.10 -5
Drbal (1984) uvádí klasifikaci propustnosti půd (tab. 2.4).
Tab. 2.4 Klasifikace propustnosti půd (Drbal 1984).
koeficient hydraulické vodivosti
Klasifikace propustnosti [inch/hour] [m/s]
velmi nízká < 0,05 < 3,5.10-7
nízká 0,05 - 0,2 3,5.10 -7 - 1,4.10 -6
středně nízká 0,2 - 0,8 1,4.10 -6 - 5,6.10 -6
střední 0,8 - 2,5 5,6.10 -6 - 1,8.10 -5
středně vysoká 2,5 - 5 1,8.10 -5 - 3,5.10 -5
vysoká 5,0 - 10 3,5.10 -5 - 7,0.10 -5
velmi vysoká > 10 > 7,0.10 -5
2.4.4 Počáteční podmínky
Počáteční podmínky charakterizují stav proudění v celé řešené oblasti v počátečním čase
(t=0) sledovaného procesu:
H = f (x,y,z,t) (2.11)
kde: f - známá funkce
x,y,z - souřadnice libovolného bodu [L]
t - čas [T]
Vztah (2.11) vyjadřuje, že pro libovolný bod o souřadnicích x,y,z známe v čase t=0
hydraulickou výšku. Počáteční podmínky se uplatní při řešení nestacionární úlohy, kde se
průběh hydraulické výšky s časem mění.
10

Rozbor literatury
2.4.5 Okrajové podmínky
Obr. 2.9 Příklad proudění mezi dvěma řekami (Valentová 2007).
Přehled jednotlivých typů okrajových podmínek uvádí Valentová (2007):
a) Hranice s předepsanou hodnotou hydraulické výšky (okrajová podmínka prvního
typu, nazývaná také Dirichletova).
Ve všech bodech hranice řešené oblasti nebo na její části známe hodnotu hydraulické
výšky po celou dobu zkoumaného procesu:
H = f (x,y,z) nebo H = f (x,y,z,t) (2.12)
První případ vyjadřuje stacionární okrajovou podmínku, zatímco ve druhém případě je
okrajová podmínka závislá na čase.
Okrajové podmínky tohoto typu se vyskytuj vždy tam, kde je oblast proudění ve styku
s otevřenou vodní hladinou: řekou, jezerem apod. V případě na obrázku 2.9 jsou úseky AB
a EF úseky hranice s předepsanou hydraulickou výškou.
b) Hranice s předepsaným tokem (okrajová podmínka druhého typu, nebo také
Neumanova).
Ve všech bodech hranice je známá hodnota toku ve směru kolmém na hranici:
v n = f (x,y,z,t) (2.13)
kde: v n - složka rychlosti kolmá k hranici oblasti [L.T -1 ]
Speciálním případem této okrajové podmínky je nepropustná hranice, kdy v n = 0.
V obrázku 2.9 je úsek AF hranicí s předepsaným tokem.
c) Polopropustná hranice (smíšená okrajová podmínka, nebo Newtonova (někdy také
Cauchyho) okrajová podmínka).
Tento typ okrajové podmínky se vyskytuje tam, kde je oblast proudění v kontaktu
s otevřeným vodním zdrojem (nebo jiným porézním prostředím), ale je od něj oddělena
polopropustnou vrstvou.
11

Rozbor literatury
d) Volná hladina.
V obr. 2.9 se jedná o úseky BC, CD a DE. Protože hodnota tlaku na hladině podzemní
vody je rovna nule, je hydraulická výška rovna výšce geodetické:
H (x,y,z,t) = z nebo H (x,y,z,t) – z = 0 (2.14)
e) Výronová plocha.
Jde o součást volné hladiny podzemní vody, v obr. 2.9 se jedná o úseky BC a DE.
Výronovou plochou voda vystupuje na hranici porézního prostředí a volně po ní stéká. Pro
výronovou plochu opět platí, že tlaková výška je rovna nule:
H (x,y,z,t) = z (2.15)
2.4.6 Hydraulický přístup
Hydraulický přístup představuje zjednodušený postup řešení proudění podzemní vody. U
většiny zvodní je jejich výška relativně malá ve srovnání s horizontálními rozměry. Na
základě toho se předpokládá, že proudění má převážně vodorovný směr a jeho vertikální
složky se zanedbávají. Tento přístup se používá také při řešení zvodní s volnou hladinou.
2.4.7 Dupuitovy postuláty
Hodnota hydraulické výšky a rychlosti proudění v libovolném bodě zvodně je funkcí
prostorových souřadnic a času a jejich hodnoty je teoreticky možné získat řešením
platných diferenciálních rovnic.
Na obr. 2.10a je vykreslen úsek zvodně s volnou hladinou. V případě stacionárního
proudění je volná hladina proudnicí a v každém bodě hladiny má vektor hustoty toku směr
tečny k této hladině. Velikost hustoty toku je možné vyjádřit pomocí Darcyho zákona jako:
v s
= −K
dH
ds
= −K
dz
ds
= −K sinθ
(2.16)
kde: v s - vektor hustoty toku ve směru osy x [L.T -1 ]
θ - úhel, který svírá tečna k hladině s vodorovným směrem [-]
Ekvipotenciály jsou křivky kolmé na proudnice.
V roce 1863 publikoval Dupuit řešení proudění ve zvodni s volnou hladinou založené na
zjednodušujících postulátech. Sklon hladiny podzemní vody je většinou velmi malý:
12

Rozbor literatury
1/1000 až 10/1000, a proto je možné směr proudění pokládat za horizontální. Dupuitovy
postuláty je možné vyjádřit následujícím způsobem:
a) Hydraulická výška H(x,y,z) je rovna výšce hladiny podzemní vody h(x,y),
proudnice jsou vodorovné přímky a ekvipotenciály svislice.
b) Gradient potenciálu je dán sklonem volné hladiny a je po svislici konstantní:
dH
dx
dh
dx
( x, y,
z) = ( x,
y)
(2.17)
kde: h - výška hladiny podzemní vody nad nepropustným podložím [L]
Obr. 2.10 Dupuitovy postuláty (Valentová 2007).
Je-li úhel θ velmi malý, je možné nahradit sinθ =dh/ds sklonem hladiny tgθ = dh/dx.
Ekvipotenciály jsou svislice a hydraulická výška není funkcí vertikální souřadnice z (tzn.
H=h(x) místo H=h(x,z)), viz obr. 2.10b. Darcyovskou rychlost lze pomocí Dupuitových
postulátů vyjádřit jako:
dh
v x
= −K
dx
, h=h(x) (2.18)
Průtok vztažený na jeden metr šířky zvodně (specifický průtok):
q
x
=
h
( x)
∫
v
x
( x)
dz
0
(2.19)
kde: q x - specifický průtok ve směru osy x [L 2 .T -1 ]
Integrací rovnice (2.19) při zavedení vztahu (2.18) dostáváme rovnici pro výpočet
specifického průtoku ve směru osy x pro homogenní prostředí:
13

Rozbor literatury
dh
q x
= −K h( x)
dx
(2.20)
2.4.8 Boussinesqova rovnice
Protože podle Dupuitových postulátů je hydraulická výška na svislici konstantní, je také
rychlost proudění po svislici konstantní. Je-li h výška hladiny v bodě kolektoru X, můžeme
složky specifického průtoku vyjádřit jako qx=vx.h a qy=vy.h.
Obr. 2.11 Bilanční elementární objem kolektoru s volnou hladinou (Valentová 2007).
Provedeme-li bilanci množství vody v objemu, viz obr. 2.11, dostáváme rovnici kontinuity
ve tvaru:
∂q
∂q
x
y
∂h
− ⋅ ∆x
⋅ ∆y
⋅ ∆t
− ⋅ ∆x
⋅ ∆y
⋅ ∆t
+ R ⋅ ∆x
⋅ ∆y
⋅ ∆t
= S ⋅ ⋅ ∆x
⋅ ∆y
⋅ ∆t
(2.21)
∂x
∂y
∂t
kde: R - přítok na hladinu podzemní vody [L.T -1 ]
Vertikální přítok či odtok R (na obr. 2.11 značeno N) má kladnou hodnotu, představuje-li
infiltrované množství srážek, může být funkcí polohy a času (Valentová 2007).
Rovnice kontinuity vyjadřuje zákon zachování hmoty, neboli algebraický součet hmotnosti
vstupující do určitého objemu a hmotnosti z něho vystupující se rovná změně hmotnosti
v tomto objemu (Drbal 1984).
Po úpravě rovnice kontinuity (2.21) a po dosazení rovnice (2.20) dostaneme rovnici
proudění v homogenním neizotropním prostředí:
14

Rozbor literatury
∂ ⎛ ∂h
⎞ ∂ ⎛ ∂h
⎞ ∂h
⎜ K
xh
⎟ + ⎜ K
yh
⎟ + R = S
∂x
⎝ ∂x
⎠ ∂y
⎝ ∂y
⎠ ∂t
(2.22)
Pro proudění v homogenním izotropním prostředí, které je dotováno vertikálním přítokem
dostáváme rovnici známou jako Boussinesqova rovnice. Tato rovnice je nelineární:
∂ ⎛ ∂h
⎞ ∂ ⎛ ∂h
⎞
⎜h
⎟ + ⎜h
⎟ +
∂x
⎝ ∂x
⎠ ∂y
⎝ ∂y
⎠
R
K
=
S
K
∂h
∂t
(2.23)
Při odvození uvedených rovnic se zavádí další zjednodušující postulát: Darcyho zákon
platí i při nestacionárním proudění. Chyby, kterou se použitím tohoto postulátu
dopouštíme, je tím větší, čím rychleji se proudění mění s časem. Zanedbáváme vliv
setrvačných sil (Valentová 2007).
Koopmans (2000) uvádí Boussinsqovu rovnici ve tvaru:
K
x
∂ ⎛ ∂h
⎞
⎜h
⎟ + K
∂x
⎝ ∂x
⎠
kde: µ drenážní pórovitost [-]
y
∂ ⎛ ∂h
⎞
⎜h
⎟ + K
∂y
⎝ ∂y
⎠
z
∂
∂
⎛ ∂h
⎞
⎜h
z ⎝ ∂z
⎟ +
⎠
∂h
R = µ
∂t
(2.24)
2.4.9 Boussinesqova první a druhá aproximace
Pro řešení proudění podzemní vody na nakloněném nepropustném podloží se převážně
používá Boussinesqových aproximací, které byly odvozeny pro řešení drenážní soustavy
na svahu. Tyto aproximace vycházejí z dvou různých verzí Dupuitova postulátu
aplikovaného na nakloněné nepropustné podloží:
a) Ve své první publikaci v roce 1877 vycházel Boussinesq z předpokladu, že hladina
podzemní vody a proudnice jsou skoro rovnoběžné s nakloněným nepropustným
podložím, a proto je hydraulický potenciál konstantní v rovině kolmé na
nepropustné podloží. Tento předpoklad použili také Henderson a Wooding (1964) a
Childs (1971).
b) V druhé publikaci v roce 1904 uvedl Boussinesq teorii, že proudnice jsou
horizontální, což je základní Dupuitův předpoklad. Tento postup je určen pro
mírnější svahy a dále ho použili Schmid a Luthin (1964).
Rozdíl v koordinačních systémech při řešení proudění podzemní vody na svahu je
znázorněn na obr. 2.12.
15

Rozbor literatury
z +
M
z *
N
q x
q x
h M +
h N*
H + H*
x M + x N*
θ
θ
x + x *
a
b
Obr. 2.12 Koordinační systémy při řešení proudění podzemní vody na svahu
a) Boussinesqova první aproximace (BPA).
b) Boussinesqova druhá aproximace (BDA).
Diferenciální rovnici pro ustálené proudění podzemní vody na svahu v homogenním
prostředí odvozenou pomocí Boussinesqovy první aproximace (BPA) uvádí Lesaffre
(1987) ve tvaru:
d
dx
+
⎡
⎢h
⎣
+
dh
dx
+
+
⎞⎤
−
+ ⎛ R R
sh ⎜1 − ⎟⎥
+ = 0
⎝ K ⎠⎦
K
(2.25)
kde: x + - osa koordinačního systému pro BPA [L]
h +
- výška hladiny podzemní vody nad nepropustným podložím pro BPA [L]
s - sklon nepropustného podloží (tan θ) [-]
Lesaffre (1987) uvádí také tvar diferenciální rovnice pro Boussinesqovu druhou
aproximaci (BDA):
d
dx
⎛
⎜
⎝
dh
dx
⎞
⎟
⎠
R
K
*
*
*
⎜h
− sh ⎟ + =
* *
0
(2.26)
kde: x * - osa koordinačního systému pro BDA [L]
h *
- výška hladiny podzemní vody nad nepropustným podložím pro BDA [L]
Výchozí vztahy pro odvození diferenciální rovnice (2.26) jsou: rovnice (2.27) vyjadřující
hydraulický potenciál, pohybová rovnice (2.28) odvozená z Darcyho zákona s ohledem na
Boussinesqovu druhou aproximaci a rovnice kontinuity (2.29).
* * *
ϕ(
x ) = h − x tanθ
(2.27)
16

Rozbor literatury
kde: ϕ(x + ) - hydraulický potenciál [-]
θ - sklon nepropustného podloží [l]
*
* * dh * *
q x
( x ) = −K(
h ) h + sh K(
h )
dx
(2.28)
dq x
=
* *
( x ) Rdx
(2.29)
Obě aproximace musejí vést ke stejným výsledkům, jestliže je nepropustné podloží
horizontální (v tomto případě zaniká rozdíl v koordinačních systémech) a při malých
sklonech se liší minimálně (Wooding a Chapman, 1966).
Po zavedení parametru σ upravil Lesaffre (1987) diferenciální rovnice (2.25) a (2.26) pro
Boussinesqovu první i druhou aproximaci do shodného tvaru:
d
du
⎛
⎜h
⎝
dh
du
⎞
− 2 σ h⎟ + 1 = 0
(2.30)
⎠
kde:
u = x R K
- substituovaná proměnná pro BPA i pro BDA [L]
( 1− R K )
s
σ =
- pro Boussinesqovu první aproximaci [-]
2 R K
s
σ =
- pro Boussinesqovu druhou aproximaci [-]
2 R K
Rovnicí (2.30) je pro další úpravu rovnic pro proudění podzemní vody na svahu vyřešen
rozdíl v koordinačních systémech pro Boussinesqovu první a druhou aproximaci. Dále jsou
v textu použity (mimo grafického znázornění) proměnné bez indexů „+“ a „*“ s platností
pro obě aproximace.
Řešení rovnic (2.25) resp. (2.26) pro drenážní systém, kdy jsou drény uložené na
nepropustném podloží uvádějí Towner (1975) resp. Schmid a Luthin (1964). Tito autoři
uvádějí, že hladina mění svůj tvar v kritickém bodě řešení. Tato změna nastává při hodnotě
σ = 1. Při hodnotách σ < 1 je proudění rozdělené mezi oba drény. Při hodnotách σ > 1
proudí voda pouze k dolnímu drénu.
Rozdíly mezi Boussinesqovou první a druhou aproximací jsou patrné ze vzorců
odvozených pro jednotlivé aproximace. Obecně se uvažuje, že Boussinesqova druhá
aproximace je omezena na mírnější sklony, ale dosud neexistuje detailnější popis
podmínek, pro které je platná (Hartani, Lesaffre a Zimmer, 2001).
17

Rozbor literatury
Boussinesqova první aproximace (BPA) byla zavedena do výpočtů pro návrh drenážních
systémů Woodingem a Chapmanem (1966) a Childsem (1971). Tito autoři uvádějí rozdíly
ve vypočtených hodnotách pro BPA a BDA. Towner (1975) porovnal výsledky
z viskózního modelu s hodnotami vypočtenými na základě BPA a uvádí, že výsledky jsou
přijatelné i pro větší sklony. Rozdíly se mírně zvyšují s rostoucím poměrem R/K. V další
publikaci uvádí Marei a Towner (1975), že při porovnání BPA a BDA je správná teorie, že
proudnice jsou rovnoběžné s nepropustným podložím. Na základě těchto studií použil BPA
Lesaffre (1987) při odvození analytického vztahu pro návrh drenážních soustav na
skloněném nepropustném podloží.
Při porovnání maximální výšky hladiny odvozené pomocí Boussinesqovy druhé
aproximace (BDA) a výsledků studie viskózního modelu, které provedli Guitjens a Luthin
(1965), se rozdíly mezi vypočtenými hodnotami a modelem zvyšují s rostoucím sklonem a
vyšším poměrem R/K. Zároveň ale uvádějí, že při sklonech do 0,3 jsou chyby relativně
malé. Porovnání výsledků odvozených pomocí BDA s viskózním modelem do sklonu
nepropustného podloží 0,08 provedli Ram a Chauhan (1987) a uvádějí dobrý souhlas
v porovnávaných hodnotách. Pro účely návrhu drenáže dokonce doporučují pro půdy se
středními sklony použít rovnice odvozené pro horizontální nepropustnou vrstvu. Z BDA
vycházel také McEnroe (1994) při návrhu odvodnění skládek.
U BPA se ale narozdíl od BDA obtížněji určují okrajové podmínku, a proto je BDA stále
využívána při navrhování odvodňovacích soustav, které se většinou provádějí na územích
s nižší sklonitostí.
18

Řešení diferenciálních rovnic
3 ŘEŠENÍ DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
3.1 Ustálené proudění na nakloněné nepropustné rovině
Při ustáleném proudění podzemní vody na svahu, kdy se předpokládá, že voda proudí stále
pouze směrem ze svahu dolů, nastává při hodnotě σ = 1 změna ve tvaru hladiny podle obr.
3.1 (pro Boussinesqovu první aproximaci). Při hodnotách σ < 1 se na horním konci svahu
vytvoří výška h 0 [L]. Při hodnotách σ ≥ 1 je výška hladiny na horním konci svahu nulová.
Po integraci rovnice (2.30) dostaneme tvar:
dh
h − 2σ h + u = c 1
(3.1)
du
kde c 1 je integrační konstanta. Pro vyšetření hodnoty této konstanty musíme provést
analýzu tvaru hladiny v bodě A (obr. 3.1).
z +
z +
h 0 +
B
A
A
B
H +
a
θ
H + x +
C
x +
b
θ
C
Obr. 3.1 Změny tvaru hladiny podzemní vody při různých hodnotách faktoru σ pro Boussinesqovu
první aproximaci: a) σ < 1, b) σ ≥ 1.
Sklon hladiny dh/dx v x A = 0 je za předpokladu, že voda na horním konci svahu neproudí,
roven sklonu nepropustného podloží. Okrajové podmínky v bodě A jsou pro zjištění
konstanty c 1 následující:
dh dh s
x = x A = 0 h = h 0 u = 0 = s =
dx du R K
Rovnice (3.1) byla upravena pro okrajové podmínky v bodě A na tvar:
⎛ s ⎞
h ⎜
0
− 2σ ⎟ = c 1
(3.2)
R K
⎝
⎠
19

Řešení diferenciálních rovnic
a byla řešena zvlášť pro Boussinesqovu první a druhou aproximaci. Pokud dosadíme do
upravené rovnice vzorec σ z BPA, bude mít rovnice dvě různé hodnoty konstanty c 1
závislé na hodnotě výšky hladiny h 0 . Pro hodnoty h 0 > 0, což odpovídá hodnotám faktoru
hladiny σ < 1, bude mít konstanta hodnotu
c
0
1
= h s R K . Pro nulovou hodnotu výšky
hladiny na konci svahu bude mít i konstanta c 1 nulovou hodnotu (h 0 = 0, c 1 = 0). Pokud
budeme řešit konstantu pro BDA zjistíme, že první a druhý člen v závorce je totožný.
Závorka má tedy nulovou hodnotu a pro libovolnou hodnotu h 0 bude i hodnota konstanty
c 1 nulová.
Poloha maximální výšky hladiny na ose x se vypočte z podmínky nulového sklonu hladiny
v x = x H jako:
2 H + c
= σ (3.3)
R K
x H
1
Pro další úpravu rovnice (3.1) nahradíme v = u – c 1 a w = h/v a rovnici upravíme na tvar:
w
2
wdw
= −
− 2σw
+ 1
dv
v
(3.4)
Pokud zjišťujeme podmínky řešení rovnice (3.4), vypočítáváme ve zlomku na levé straně
kvadratickou rovnici, která má reálné kořeny v případě, že σ > 1, a nereálné pro hodnoty
σ < 1. Tento fakt odpovídá změně tvaru hladiny podzemní vody v kritické hodnotě σ = 1.
Pro tyto tři rozdílné hodnoty parametru σ dále řešíme rovnici (3.4) a získáme vzorce pro
výpočet maximální výšky hladiny podzemní vody při ustáleném proudění.
Pro hodnotu σ = 1 upravíme rovnici (3.4) na tvar:
wdw
dv
= −
( w −1) 2 v
(3.5)
kde v = u – c 1 u = R K ⋅ x w = h/v
Následnou integrací dostaneme:
ln
2
− (3.6)
w −1
( w 2
2
1) − = −ln
v + c2
20

Řešení diferenciálních rovnic
Konstantu c 2 vypočteme pomocí okrajových podmínek v místě maximální výšky hladiny
podzemní vody, kdy předpokládáme, že sklon hladiny dH/dx je nulový, h = H , v = 2H
,
w = 1 2 .
2
c = ln H 4
(3.7)
2
+
Pokud dále řešíme rovnici (3.6) pro okrajové podmínky h = h L , v = v L dostaneme rovnici
pro výpočet maximální výšky hladiny podzemní vody pro σ = 1 ve tvaru:
2 2 ⎛ 2v
( ) ⎟ ⎞
L
− 4hL
H = h − ⋅
⎜
L
vL
exp
(3.8)
⎝ hL
− vL
⎠
Pro hodnotu σ > 1 řešíme rovnici (3.4) a po integraci získáme tvar:
ln(
σ w − σ − λ
σ c
(3.9)
3
λ w − σ + λ
2
1
2
w − 2 w + 1) + ln = − ln v +
1
1
2
kde λ = σ 1
1
−
Hodnota konstanty c 3 vypočtená pomocí okrajových podmínek h = H, v = 2σH, w = 1/(2σ)
má hodnotu:
σ
1 (2σ
) − σ − λ
2
1
c
3
= ln H + ln
(3.10)
λ1
1 (2σ
) − σ + λ1
Dalším řešením rovnice (3.9) pro okrajové podmínky h = h L , v = v L odvodíme vzorec pro
výpočet maximální výšky hladiny podzemní vody pro hodnoty σ > 1, který můžeme psát
jako:
( ) ( )
2
2 ⎡ hL
vL
−σ
− λ1
h − 2σh
v + v
( 1 (2σ
) − σ + λ1
)
( h v −σ
+ λ ) ( 1 (2σ
) −σ
− λ )
1
2
H =
⎢
(3.11)
L
L L L
L L
1
1
⎣
Řešením rovnice (3.4) pro hodnoty σ < 1 dostaneme po integraci následující rovnici:
⎥ ⎦
⎤
σ
λ
ln
2
2σ
w − σ
2
( w − 2 w + 1) + arctan = − ln v + c4
σ (3.12)
λ λ
2
2
2
kde λ2 = 1−σ
Pro zvolené okrajové podmínky h = H, v = 2σH, w = 1/(2σ) má konstanta c 4 hodnotu:
21

Řešení diferenciálních rovnic
2σ
1 (2σ
) − σ
2
c
4
= ln H + arctan
(3.13)
λ2
λ2
Pokud rovnici (3.12) dále řešíme pro případ h = h L , v = v L , odvodíme rovnici pro výpočet
maximální výšky hladiny podzemní vody pro hodnoty σ < 1 ve tvaru:
2
2
⎡2σ
⎛ h
⎞⎤
L
vL
−σ
1 (2σ
−σ
( h − 2σh
v + v ) exp ⎜arctan
− arctan ⎟⎥ ⎦
H =
⎢ ⎜
⎟
(3.14)
L L L L
⎣ λ2
⎝ λ2
λ2
⎠
2 )
V rovnicích (3.5) až (3.14) se vyskytuje proměnná v respektive v L , jejíž hodnoty jsou
závislé na hodnotě konstanty c 1 . Tato konstanta má nulovou hodnotu pro σ = 1 a σ > 1.
V těchto případech lze dosadit do rovnic hodnoty
v = x R K respektive v L
= L R K .
Pokud řešíme rovnice pro σ < 1 je hodnota konstanty c 1 závislá na postupu zvoleného
řešení. Pokud se rovnice řeší pomocí Boussinesqovy druhé aproximace je hodnota
konstanty také nulová a platí výše uvedená substituce. Při použití Boussinesqovy první
aproximace je hodnota konstanty vyjádřená vzorcem c = 1
h0s
R K a tudíž
v
0
= x R K − h s R K a = L R K − h s R K .
v L 0
Hodnotu výšky hladiny na horním konci svahu, h 0 , lze získat řešením rovnice (3.12) pro
okrajové podmínky h = h L , v = v L a následným dosazením x = 0, h = h 0 ,
Po úpravě získáme implicitní vztah:
v0 −
0
= h s R K .
h
2
0
2
v
⎡ 2σ
⎛
− − ⎞⎤
⎢ ⎜ −σ
1 ( s R K ) σ
L
=
exp arctan − arctan
⎟ (3.15)
1+
2σs
R K +
σ
( ) ⎥ ⎥ 2
2
⎢ ⎜
2
2 ⎟
s R K ⎣ 1−σ
⎝ 1−σ
1−
⎠⎦
Tato rovnice může být řešena iteracemi, kdy počáteční hodnotu h 0 pro výpočet v L zvolíme
rovnu nule. Počet iterací potřebných k výpočtu hodnoty h 0 jsou čtyři až deset.
Tvar hladiny podzemní vody můžeme získat řešením rovnice (3.1) metodou Runge-Kutta
čtvrtého řádu (Rektorys, 2000). Jako počáteční hodnoty pro řešení zvolíme hodnoty
maximální výšky hladiny podzemní vody pomocí rovnic (3.8), (3.11) a (3.14) a její polohy
na ose x (3.3).
22

Řešení diferenciálních rovnic
3.2 Neustálené proudění na nakloněné nepropustné rovině
V této kapitole je opět použit symbol „*“ pro Boussinesqovu druhou aproximaci.
Při odvození vztahů pro neustálené proudění na nakloněné nepropustné rovině
v hydraulickém systému, znázorněném na obr. 3.2, budeme předpokládat tyto
charakteristiky hydraulického systému:
a) Hydraulický potenciál ϕ je konstantní v rovině kolmé na nepropustné podloží a je
závislý pouze na výšce hladiny podzemní vody:
ϕ ( x , z,
t)
= h(
x,
t)
(3.16)
b) Tvar hladiny podzemní vody je konstantní pro definovanou maximální výšku
hladiny podzemní vody. Lze tedy provést následující separaci proměnných:
h ( x,
t)
= H ( t)
W ( X , H )
(3.17)
c) Půdní materiál lze považovat za homogenní.
d) Voda proudí pouze směrem ze svahu, tzn. že na horním konci svahu voda neproudí
(není zde žádný recipient)
Podobný postup při úpravě rovnice kontinuity uvádí Lesaffre a Zimmer (1988).
Rovnici kontinuity můžeme napsat ve tvaru:
∂ q x
( x,
t)
∂h(
x,
t
= R(
t)
− µ )
(3.18)
∂x
∂t
z *
h 0 * (t1)
h 0 * (t2)
H * (t1)
H * (t2)
x *
θ
h L *
L *
Obr. 3.2 Hydraulický systém pro odvození rovnic neustáleného proudění na svahu
pro Boussinesqovu druhou aproximaci.
23

Řešení diferenciálních rovnic
Rovnici kontinuity (3.18) můžeme upravit, za předpokladu 2 na následující tvar:
dH(
t)
⎡
dW ( X , H)
⎤
dq x
( x)
= R(
t)
dx − µ L W X H H t
dX
dt ⎢
( , ) + ( )
dH ⎥ (3.19)
⎣
⎦
Při integraci rovnice (3.19) od x = 0 do x = x 1 získáme tvar:
X
1
dH ( t)
⎡
dW ( X , H ) ⎤
q
x
( x1)
= R(
t)
x1
− µ L∫
⎢
W ( X , H ) + H ( t)
⎣
⎥
dX (3.20)
dt
dH ⎦
0
Úpravou této rovnice pro podmínku x 1 = L získáme rovnici pro průtok na jednotku plochy
hydraulického systému, kterou můžeme psát:
dH ( t)
Q ( t)
= R(
t)
− µ B(
H )
(3.21)
dt
kde: Q - průtok na jednotku plochy Q = q x /L [L.T -1 ]
B(H) - první faktor tvaru hladiny [-]
1
⎡
dW ( X , H ) ⎤
B ( H ) = ∫ ⎢
W ( X , H ) + H ( t)
⎣
⎥
dX
(3.22)
dH ⎦
0
Druhou integrací rovnice kontinuity - integrací rovnice (3.20) od x = 0 do x = L získáme
tuto rovnici:
L
q
∫
0
x
2
2
L dH ( t)
L
( x)
dx = R(
t)
− µ C(
H )
(3.23)
2 dt 2
kde: C(H) - druhý faktor tvaru hladiny [-]
1
⎡
dW ( X , H ) ⎤
C ( H ) = 2∫
( 1−
X )
⎢
W ( X , H ) + H ( t)
⎣
⎥
dX
(3.24)
dH ⎦
0
Integrací pohybové rovnice (2.28) v mezích od x = 0 do x = L obdržíme:
2
L
L hL
− h0
∫ qx
( x)
dx = sKH ( t)
P(
H ) − K
(3.25)
2
2
0
2
kde: P(H) - třetí faktor tvaru hladiny [-]
1
∫
P ( H ) = 2 W ( X , H ) dX
(3.26)
0
24

Řešení diferenciálních rovnic
Dosazením rovnice (3.25) do rovnice (3.23) obdržíme rovnici neustáleného proudění
podzemní vody na svahu pro Boussinesqovu druhou aproximaci ve tvaru:
2 2
2 dH ( t)
2
( h − h ) = R(
t)
L − L C(
H )
sKLH ( t)
P(
H ) − K
L 0
µ
(3.27)
dt
Hodnoty faktorů tvaru hladiny, B(H), C(H), P(H), a případně výšky hladiny h 0 pro známé
hodnoty maximální výšky hladiny, H, a výšky hladiny h L vypočteme z rovnic pro ustálené
proudění na svahu. Tyto výpočty se musí opakovaně provádět pro každou novou
hodnotu H.
Kombinací rovnice kontinuity s upravenou pohybovou rovnicí (2.28) dostaneme
diferenciální rovnici pro proudění podzemní vody na svahu pro Boussinesqovu druhou
aproximaci ve tvaru:
dh ( x , t)
dt
d
dx
⎡
⎢
⎣
dh ( x , t)
⎤
⎥
dx ⎦
dh ( x , t)
dx
* *
* *
* *
* *
µ = R(
t)
+ K h ( x , t)
− sK
(3.28)
*
*
*
Rovnice pro výpočet pohybu maximální hladiny podzemní vody pro Boussinesqovu
druhou aproximaci má tvar:
* *
( h )
2
h
2
L
−
0
*
* *
dH ( t)
R(
t)
L − sKL H ( t)
P(
H ) + K
= (3.29)
dt
*
µ L
2
C(
H )
* 2
Průtok na jednotku plochy drenážní soustavy se vypočte podle rovnice:
* *
( h )
2
h
2
0
* * *
B(
H ) R(
t)
L
2
− sKL H ( t)
P(
H ) + K
L
−
Q(
t)
R(
t)
−
* 2
= (3.30)
C(
H )
L
Rovnici (3.29) lze vypočítat pomocí metody Runge-Kutta čtvrtého řádu (Rektorys, 2000).
25

Model odtoku podzemní vody
4 MODEL ODTOKU PODZEMNÍ VODY
Na základě uvedených rovnic (3.1), (3.3), (3.8), (3.11), (3.14), (3.22), (3.24), (3.26), (3.29)
a (3.30) (v modelu je tedy použita Boussinesqova druhá aproximace) byl sestaven model
neustáleného proudění podzemní vody na nakloněné nepropustné rovině. Model z velké
části řeší ustálené proudění, které je nutné pro odvození tvarů hladiny podzemní vody, a
z části řeší neustálené proudění podzemní vody na svahu. Pro výpočty byl použit program
Scilab-3.1.1.
Model je sestaven za předpokladů uvedených v kapitole 3.2.2:
• půdní prostření je homogenní
• nepropustné podloží není zakřivené
• recipienty leží na nepropustném podloží
• hladina podzemní vody je volná
Vstupní parametry modelu pro řešení proudění na svahu jsou:
• délka svahu L = 600 m
• sklon nepropustného podloží s = 0,23
• rozloha povodí A = 163000 m 2
• časové rozložení odtoku Q [l.s -1 ] z povodí
• časové rozložení srážek R [mm] na povodí
• koeficient ztráty deště koef (různý pro různé roky)
• výška hladiny na konci svahu h L = 0 m
• počet výpočtových bodů na ose x n = 100
• časový krok výpočtu fluktuace hladiny dt = 3600 s
Parametry modelu, které jsou pro dané povodí kalibrovány:
• hodnota nasycené hydraulické vodivosti K pro rychlou odezvu (dolní mez: K =
0,0001 m.s -1 ; horní mez: K = 0,0021 m.s -1 )
• hodnota nasycené hydraulické vodivosti K pro pomalou odezvu (dolní mez: K =
0,000001 m.s -1 ; horní mez: K = 0,000021 m.s -1 )
26

Model odtoku podzemní vody
• drenážní pórovitost µ pro rychlou odezvu (dolní mez: µ = 0,01; horní mez: µ =
0,026)
• drenážní pórovitost µ pro pomalou odezvu (dolní mez: µ = 0,01; horní mez: µ =
0,035)
Rovnice (3.1) a (3.29) jsou řešeny metodou Runge-Kutta čtvrtého řádu (Rektorys, 2000):
y
n+
1
k
k
k
k
1
2
3
4
1
= yn
+ h
6
= f
( x , y )
n
⎛
= f ⎜ x
⎝
( k + 2k + 2k + k )
( x + h, y + h k )
n
n
⎛
= f ⎜ x
n
+
⎝
= f
n
1
1 1 ⎞
+ h, yn
+ h k1
⎟
2 2 ⎠
1
h,
2
n
y
n
+
2
1
h k
2
3
2
3
⎞
⎟
⎠
4
(4.1)
kde: x n - nezávislá proměnná v kroku n [L]
y n
k x
h
y n+1
- proměnná závislá na proměnné x n v kroku n [L]
- proměnné metody Runge-Kutta pro odhad y n+1 [L]
- krok výpočtu [L]
- proměnná závislá na proměnné x n v kroku n+1 [L]
n - počet výpočtových kroků [-]
Graficky je tato metoda vyjádřena na obr 4.1:
Obr. 4.1 Metoda Runge-Kutta čtvrtého řádu (Rektorys, 2000).
Jako výchozí hodnota výpočtu fluktuace maxima hladiny (rovnice (3.29)) byla použita
hodnota vypočtená z naměřeného průtoku (rovnice (3.8) nebo (3.11) nebo (3.14)).
Simulace rychlé odezvy začíná vždy od inflexního bodu výtokové křivky.
V rovnici (3.30) byly parametry tvaru hladiny B(H), C(H) z důvodů stability výpočtu
považovány za shodné.
27

Model odtoku podzemní vody
Při kalibraci parametrů K a µ pro rychlou odezvu byl k simulovaným průtokům přičten
základní odtok odhadnutý z naměřených dat, aby se tvar křivek lépe porovnával. Do
výpočtu vstupovaly nulové srážky. Při kalibraci parametrů K a µ pro pomalou odezvu
nebyl k simulovaným průtokům přičten základní odtok a do výpočtu vstupovaly nulové
srážky.
K ověření správnosti namodelovaných průtoků (rovnice (3.30)) byla použita data naměřená
na povodí Modrava 2 na Šumavě (pokusné povodí Katedry vodního hospodářství a
environmentálního modelování Fakulty životního prostředí ČZU Praha).
Jako kriterium shody měřených a modelovaných dat byl použit koeficient determinace:
KD
n
∑
i=
1
= −
n
( Qmer − Qsim )
∑( Qmeri
− pQmer)
i=
1
i
i
2
1 (4.2)
2
kde: KD - koeficient determinace [-]
Qmer i - průtok měřený v čase i [L 3 .T -1 ]
Qsim i - průtok simulovaný v čase i [L 3 .T -1 ]
pQmer - průměrná hodnota naměřených průtoků [L 3 .T -1 ]
Pro kalibraci i pro verifikaci byly vybrány různorodé úseky, aby byla zajištěna co největší
objektivita.
Výsledný model je rozdělen na dvě části. První část simuluje rychlou odezvu povodí,
druhá část simuluje pomalou odezvu povodí. Do první části vstupují nulové srážky, do
druhé části vstupují měřené srážky přenásobené koeficientem ztráty deště. Součet těchto
dvou částí představuje výsledný simulovaný průtok.
28

Výsledky a diskuze
5 VÝSLEDKY A DISKUZE
5.1 Ustálené proudění na nakloněné nepropustné rovině
Pro výpočet tvaru hladiny podzemní vody při ustáleném proudění byly využity vzorce
(3.1), (3.3), (3.8), (3.11), (3.14), (3.22), (3.24) a (3.26).
Data vzniklá při výpočtech maximální výšky hladiny podzemní vody a její polohy na ose x
pro různé sklony nepropustného podloží jsou uvedena v grafu 5.1. (BPA), v grafu 5.2
(BDA), v tab. 7.1 (BPA) a v tab. 7.2 (BDA). V tab. 5.1 jsou uvedeny výsledky porovnání
vypočtených hodnot s hodnotami získanými při laboratorním experimentu na viskózním
modelu, který provedli Guitjens a Luthin (1965).
1,0
0,9
0,9
0,8
H/L
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
xH/L
0,1
0,1
0,0
0,0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
R/K
H s=0,1 H s=0,2 H s=0,3 H s=0,4 H s=0,5 xH/L s=0,05
xH/L s=0,1 xH/L s=0,2 xH/L s=0,3 xH/L s=0,4 xH/L s=0,5 H s=0,05
Graf 5.1 Závislost maximální výšky hladiny podzemní vody a její polohy na ose x
na poměru R/K pro Boussinesqovu první aproximaci.
29

Výsledky a diskuze
1,0
0,9
0,9
0,8
H/L
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
xH/L
0,1
0,1
0,0
0,0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
R/K
H/L s=0,1 H/L s=0,2 H/L s=0,3 H/L s=0,4 H/L s=0,5 xH/L s=0,05
xH/L s=0,1 xH/L s=0,2 xH/L s=0,3 xH/L s=0,4 xH/L s=0,5 H/L s=0,05
Graf 5.2 Závislost maximální výšky hladiny podzemní vody a její polohy na ose x
na poměru R/K pro Boussinesqovu druhou aproximaci.
Z porovnání výsledků odvozených na základě Boussinsqových aproximací a výsledků
z viskózního modelu (tab. 5.1) lze konstatovat, že hodnotám naměřeným při experimentu
lépe odpovídá Boussinesqova první aproximace. Experiment byl uskutečněn pro podmínky
drenážní soustavy na svahu, tzn. že oba okraje byly odvodněny. Model sestavený pro tuto
diplomovou práci počítá s odvodněním pouze u dolního okraje svahu, u horního okraje
k odvodnění nedochází. Proto lze pro srovnání použít buď minimální sklon a odvozené
vzorce aplikovat pouze na jednu polovinu soustavy, a nebo vyšší sklony, kdy hodnota
faktoru sigma σ > 1. V tabulce jsou pro porovnání orientačně uvedeny i hodnoty, kdy
σ > 0,5. V těchto případech má výška hladiny na horním okraji svahu malou hodnotu a její
vliv na výšku maximální hladiny není podstatný.
Rozdíly ve výsledcích odvozených pomocí obou aproximací a hodnot z viskózního modelu
se zvyšují s rostoucí hodnotou R/K. U Boussinesqovy první aproximace však rozdíly
nepřesahují 16 % naměřených hodnot, ve většině případů se rozdíl pohybuje do 10 %. U
Boussinesqovy druhé aproximace rozdíly rostou se zvyšujícím se sklonem nepropustného
podloží a dosahují hodnot více než 40 %. Tato aproximace byla autorem určena pro mírné
30

Výsledky a diskuze
svahy. Rozdíly ve vypočtených hodnotách pro BPA a BDA se také zvyšují s rostoucím
sklonem nepropustného podloží. Pro sklon 0,3 jsou rozdíly v obou aproximacích podobné,
což opravňuje užití BDA pro simulaci odtoku z experimentálního povodí, kde sklon svahu
má hodnotu 0,23 (tedy hodnotu menší než 0,3).
Tab. 5.1 Porovnání vypočtených hodnot maximální výšky hladiny s hodnotami z viskózního
modelu, které uvádějí Guitjens a Luthin (1965) (hodnoty BPA jsou převedeny na souřadnicový
systém BDA, který byl použitý na viskózním modelu).
sklon
0,0001
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
viskózní
R/K
model H/L
H/L BPA sigma BPA
difference
BPA - model H/L BDA sigma BDA
difference
BDA - model
H/L %
H/L %
0,0157 0,0617 0,1252 0,0004 0,0009 0,70 0,1252 0,0004 0,0009 0,70
0,0343 0,0901 0,1851 0,0003 0,0025 1,34 0,1851 0,0003 0,0025 1,34
0,0452 0,1064 0,2125 0,0002 -0,0001 -0,06 0,2125 0,0002 -0,0001 -0,06
0,066 0,1333 0,2568 0,0002 -0,0049 -1,91 0,2568 0,0002 -0,0049 -1,92
0,0864 0,1587 0,2939 0,0002 -0,0118 -4,01 0,2939 0,0002 -0,0118 -4,02
0,0277 0,0730 0,0727 0,8763 -0,0003 -0,39 0,0655 0,9013 -0,0075 -11,40
0,0446 0,0990 0,1074 0,6786 0,0084 7,83 0,0960 0,7103 -0,0030 -3,09
0,0625 0,1316 0,1405 0,5625 0,0089 6,37 0,1247 0,6000 -0,0069 -5,51
0,0885 0,1639 0,1842 0,4596 0,0202 10,98 0,1619 0,5042 -0,0021 -1,28
0,027 0,0592 0,0624 1,1843 0,0032 5,19 0,0528 1,2172 -0,0064 -12,15
0,0436 0,0971 0,0944 0,9161 -0,0027 -2,88 0,0790 0,9578 -0,0181 -22,84
0,0609 0,1266 0,1251 0,7611 -0,0015 -1,22 0,1038 0,8104 -0,0228 -21,93
0,0931 0,1818 0,1774 0,5944 -0,0044 -2,48 0,1452 0,6555 -0,0367 -25,26
0,0284 0,0595 0,0597 1,4413 0,0002 0,30 0,0467 1,4835 -0,0128 -27,39
0,0488 0,1020 0,0966 1,0765 -0,0054 -5,58 0,0747 1,1317 -0,0274 -36,63
0,0672 0,1351 0,1277 0,8996 -0,0074 -5,80 0,0977 0,9644 -0,0375 -38,34
0,0941 0,1887 0,1705 0,7383 -0,0182 -10,64 0,1286 0,8150 -0,0601 -46,71
0,0273 0,0505 0,0543 1,7661 0,0038 7,07 0,0391 1,8157 -0,0114 -29,23
0,0504 0,1010 0,0951 1,2690 -0,0059 -6,19 0,0673 1,3363 -0,0337 -50,00
0,0654 0,1282 0,1202 1,0964 -0,0080 -6,66 0,0843 1,1731 -0,0439 -52,08
0,0938 0,1786 0,1656 0,8877 -0,0130 -7,84 0,1142 0,9795 -0,0643 -56,33
0,033 0,0588 0,0627 1,8631 0,0039 6,18 0,0409 1,9267 -0,0179 -43,67
0,0456 0,0893 0,0847 1,5643 -0,0046 -5,43 0,0548 1,6390 -0,0345 -62,92
0,0638 0,1333 0,1154 1,2973 -0,0180 -15,56 0,0737 1,3857 -0,0596 -80,80
0,0927 0,1786 0,1622 1,0430 -0,0163 -10,07 0,1018 1,1496 -0,0768 -75,40
31

Výsledky a diskuze
5.2 Neustálené proudění na nakloněné nepropustné rovině
Při výpočtu vzorců (3.29) a (3.30) pro neustálené proudění na svahu je nejdůležitější
přesné stanovení faktorů tvaru hladiny B(H), C(H) a P(H), rovnice (3.22), (3.24) a (3.26),
které se odvozují za podmínek ustáleného proudění. Průběh hodnot těchto faktorů
v závislosti na maximální výšce hladiny podzemní vody je pro sklony 0,05 až 0,2
znázorněn v grafech 7.1 (graf 5.3 je totožný s grafem 7.1) až 7.5 (BPA) a v grafech 7.6 až
7.10 (BDA). V tab. 5.2 a 5.3 jsou uvedeny výsledky porovnání vypočtených hodnot
s hodnotami, které uvádějí Hartani, Lesaffre a Zimmer (2001).
2
1,8
1,6
1,4
1,2
B(H) C(H) P(H)
1
0,8
0,6
B(H) C(H) P(H)
0,4
0,2
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
H/L
Graf 5.3 Závislost faktorů tvaru hladiny B(H), C(H) a P(H) na výšce hladiny podzemní vody H/L
pro Boussinesqovu první aproximaci a sklon nepropustného podloží 0,05.
32

Výsledky a diskuze
Z grafů závislostí hodnot faktorů tvaru hladiny na maximální výšce hladiny podzemní vody jsou
patrné dvě části průběhu. Při nízkých hodnotách maximální výšky hladiny roste s rostoucí výškou
hladiny také hodnota faktorů tvaru hladiny. Při vyšších hodnotách maximální výšky hladiny
hodnoty faktorů mírně klesají a přibližují se hodnotám těchto faktorů odvozených pro ustálené
proudění na horizontální nepropustné rovině, které jsou konstantní pro všechny výšky maximální
hladiny. Místo, ve kterém dochází ke změně průběhu křivek, se pro větší sklony vyskytuje u
vyšších hodnot maximální hladiny. Tato oblast se přibližně vyskytuje v místě, kde je hodnota
faktoru hladiny podzemní vody σ = 0,7, kdy se začíná ve větší míře projevovat vliv výšky hladiny
na horním okraji svahu.
Tab. 5.2 Porovnání vypočtených hodnot faktorů tvaru hladiny B(H), C(H) a P(H) a maximální
výšky hladiny s hodnotami, které uvádějí Hartani, Lesaffre a Zimmer (2001) (část A).
H/L
P
B
C
sklon R/K sigma
článek
článek
článek
článek
H/L BPA P BPA B BPA C BPA
Hartani
Hartani
Hartani
Hartani
0,08
0,3
0,1228 0,1001 0,1753 1,5690 0,7821 0,9972 0,3022 1,6526 0,9305 0,9633
0,0308 0,2210 0,0872 1,5634 0,7979 1,1666 0,1292 1,7105 0,9791 0,9795
0,0235 0,2551 0,0756 1,5611 0,8060 0,2342 0,1083 1,7169 0,9869 0,9782
0,0127 0,3500 0,0551 1,5524 0,8356 0,4593 0,0717 1,7116 1,0064 0,9604
0,0089 0,4200 0,0454 1,5438 0,8632 1,6627 0,0558 1,6997 0,9961 0,9519
0,0056 0,5300 0,0351 1,5261 0,9043 1,9582 0,0399 1,6494 0,9862 0,9138
0,0044 0,6000 0,0304 1,5115 0,9239 2,1018 0,0331 1,6069 0,9710 0,8810
0,0024 0,8200 0,0202 1,4425 0,9026 2,0282 0,0203 1,4534 6,1971 42,3673
0,0020 0,9010 0,0174 1,3774 0,8281 1,7703 0,0174 1,4026 0,8315 0,6403
0,0016 1,0001 0,0146 1,3461 0,8095 1,6377 0,0147 1,3496 0,7707 0,5698
0,0015 1,0300 0,0139 1,3333 0,7980 1,5971 0,0140 1,3375 0,7654 0,5519
0,0001 4,0000 0,0012 1,0528 0,5470 1,1072 0,0012 1,0351 0,1170 -0,4001
0,0215 1,0001 0,0564 1,3587 0,8185 2,0727 0,0540 1,3496 0,7730 0,5704
0,0152 1,2002 0,0417 1,2842 0,7511 1,7784 0,0399 1,2754 0,7130 0,4798
0,0130 1,3000 0,0364 1,2561 0,7260 1,6739 0,0349 1,2454 0,6801 0,4534
0,0112 1,4002 0,0320 1,2324 0,7048 1,5887 0,0307 1,2215 0,6604 0,4317
0,0098 1,5004 0,0284 1,2120 0,6868 1,5180 0,0272 1,2031 0,6558 0,4152
0,0056 2,0005 0,0170 1,1436 0,6264 1,2969 0,0163 1,1338 0,6076 0,3944
0,0036 2,5001 0,0113 1,1050 0,5922 1,1843 0,0108 1,0952 0,5478 0,3169
0,0009 5,0011 0,0030 1,0376 0,5093 1,0186 0,0029 0,9889 12,1613 19,5801
33

Výsledky a diskuze
Tab. 5.2 Porovnání vypočtených hodnot faktorů tvaru hladiny B(H), C(H) a P(H) a maximální
výšky hladiny s hodnotami, které uvádějí Hartani, Lesaffre a Zimmer (2001) (část B).
sklon
0,08
0,3
difference
BPA – článek Hartani
difference
BPA - článek Hartani
difference
BPA - článek Hartani
difference
BPA - článek Hartani
H/L % P % B % C %
0,1269 42,00 0,0836 5,06 0,1484 15,95 0,4647 48,24
0,0420 32,53 0,1471 8,60 0,1812 18,51 0,3962 40,45
0,0327 30,20 0,1558 9,07 0,1809 18,33 0,8611 88,03
0,0166 23,16 0,1592 9,30 0,1708 16,97 0,7308 76,09
0,0104 18,58 0,1559 9,17 0,1329 13,34 0,1206 12,67
0,0048 11,95 0,1233 7,48 0,0819 8,31 -0,0653 -7,15
0,0027 8,18 0,0954 5,94 0,0471 4,85 -0,1699 -19,29
0,0001 0,62 0,0109 0,75 5,2945 85,44 41,3532 97,61
0,0000 0,27 0,0252 1,80 0,0034 0,40 -0,2448 -38,24
0,0001 0,61 0,0035 0,26 -0,0388 -5,04 -0,2490 -43,70
0,0001 0,61 0,0042 0,31 -0,0326 -4,26 -0,2466 -44,68
0,0000 -1,10 -0,0177 -1,71 -0,4300 -367,45 -0,9537 238,36
-0,0024 -4,48 -0,0091 -0,67 -0,0455 -5,89 -0,4660 -81,70
-0,0018 -4,46 -0,0088 -0,69 -0,0381 -5,34 -0,4094 -85,33
-0,0015 -4,42 -0,0107 -0,86 -0,0459 -6,75 -0,3835 -84,58
-0,0013 -4,29 -0,0109 -0,89 -0,0444 -6,73 -0,3626 -83,99
-0,0012 -4,37 -0,0089 -0,74 -0,0310 -4,72 -0,3438 -82,82
-0,0007 -4,33 -0,0098 -0,87 -0,0188 -3,09 -0,2541 -64,43
-0,0005 -4,47 -0,0098 -0,90 -0,0444 -8,11 -0,2753 -86,87
-0,0001 -3,91 -0,0487 -4,93 11,6520 95,81 19,0708 97,40
Tab. 5.3 Porovnání vypočtených hodnot maximální výšky hladiny s hodnotami, které uvádějí
Hartani, Lesaffre a Zimmer (2001).
sklon
0,08
H/L
difference
R/K
sigma článek H/L BPA BPA - článek Hartani
(mm/h)
Hartani
H/L %
39 0,0100 0,4415 0,8695 0,4280 49,23
5 0,1138 0,1576 0,2676 0,1100 41,11
1,593 0,2170 0,0883 0,1322 0,0439 33,19
1,172 0,2551 0,0754 0,1083 0,0329 30,36
0,636 0,3502 0,0547 0,0717 0,0170 23,67
0,444 0,4207 0,0451 0,0556 0,0105 18,93
0,281 0,5306 0,0349 0,0398 0,0049 12,31
0,108 0,8588 0,0188 0,0189 0,0001 0,34
0,074 1,0382 0,0138 0,0138 0,0000 0,01
0,05 1,2636 0,0099 0,0099 0,0000 -0,18
34

Výsledky a diskuze
Po porovnání výsledků odvozených na základě BPA a výsledků, které uvádějí Hartani,
Lesaffre a Zimmer (2001), také odvozených na základě BPA je vidět, že rozdíly
v hodnotách maximální výšky hladiny a faktoru tvaru hladiny P(H) se opět zvyšují
s rostoucí hodnotou R/K a také s rostoucím svahem, přičemž největší shody dosahují pro
sklon 0,08 (u parametru P(H) také sklon pro 0,3) a σ > 0,8, kdy diference téměř
nepřesahuje 1% V těchto případech má výška hladiny na horním okraji malou hodnotu a
její vliv na výšku maximální hladiny není podstatný (výsledků, které uvádějí Hartani,
Lesaffre a Zimmer (2001), bylo dosaženo za předpokladu odvodnění horního i dolního
okraje výpočtové oblasti, lze proto pro srovnání použít buď minimální sklon a odvozené
vzorce aplikovat pouze na jednu polovinu soustavy, a nebo vyšší sklony, kdy hodnota
faktoru sigma σ > 1). Uspokojivá je též shoda maxima hladiny a parametru B(H) pro svah
0,3, kdy se diference pohybuje kolem 5%. Největší rozdíly vykazuje parametr C(H): 80 až
90%
35

Výsledky a diskuze
5.3 Kalibrace a verifikace modelu
Parametry modelu (který pro modelování odtoku vody z povodí používá Boussinqovu
druhou aproximaci) K a µ pro rychlou odezvu byly kalibrovány na datech z let 2000, 2002
a 2006 a verifikovány na datech z let 1998, 1999 a 2004. Pro pomalou odezvu byly
kalibrovány na datech z let 2001, 2002, 2004 a 2006 a verifikovány na datech z let 1999,
2000 a 2003. Výsledky kalibrací jsou znázorněny v grafech 7.11 až 7.26 a výsledky
verifikací v grafech 7.27 až 7.32. Kalibrace parametrů K a µ se neřídila koeficientem
determinace ale výsledky znázorněnými v grafech 7.11 až 7.26. Při rychlé i pomalé odezvě
je odtoková křivka s klesajícím µ strmější a s klesajícím K pozvolnější.
Po kalibraci byly vybrány tyto parametry:
• nasycená hydraulická vodivost pro rychlou odezvu: K = 0,001 m.s -1
• nasycená hydraulická vodivost pro pomalou odezvu: K = 0,00001 m.s -1
• drenážní pórovitost pro rychlou odezvu: µ = 0,02
• drenážní pórovitost pro pomalou odezvu: µ = 0,015
Parametr K = 0,00001 m.s -1 svědčí pro druh zeminy: hlinitý a jemný písek (tab. 2.2), nebo
písek (tab. 2.3) se střední propustností (tab.2.4). Parametr K = 0,001 m.s -1 svědčí pro druh
zeminy: štěrk (tab. 2.2), nebo hrubší písek (tab. 2.3) s velmi vysokou propustností
(tab.2.4). Parametr µ = 0,015 i µ = 0,02 svědčí pro velikost zrna = 10 -4 mm a menší (obr.
2.3), která spadá do zrnitostní kategorie: koloidní jíl (tab.2.1).
Verifikace těchto parametrů se zdařila:
• KD pro pomalou odezvu se pohybuje v rozmezí 0,53 až 0,77
• KD pro rychlou odezvu se pohybuje v rozmezí 0,98 až 0,998
Nízké hodnoty KD pro pomalou odezvu jsou zapříčiněny srážkami a dotací vláhy ze
sněhové pokrývky, které vedou k rozkolísanému průběhu měřených průtoků.
Občasné „zuby“ ve výtokových křivkách jsou způsobeny nedokonalým výpočtem hladiny
podzemní vody pro ustálené proudění, tato nedokonalost se promítá do výpočtu parametrů
tvaru hladiny B(H), C(H) a P(H) a nakonec do výpočtu průtoku.
36

Výsledky a diskuze
5.4 Simulace
Výsledný model spojující simulaci pomalé i rychlé odezvy povodí byl vyzkoušen na
datech z let 1999, 2002 a 2006, kde byla prokázána schopnost modelu modelovat odtok
vody z povodí. Při simulaci průtoků z roku 1999 (graf 5.4) byla použita jedna rychlá
odezva (Q=12,5 l/s) a jedna pomalá odezva (Q=3,1 l/s). Při simulaci průtoků z roku 2002
(graf 5.5) byla použita jedna rychlá odezva (Q=15,5 l/s) a jedna pomalá odezva (Q=3,5
l/s). Při simulaci průtoků z roku 2006 (graf 5.6) byla použita jedna rychlá odezva (Q=16,3
l/s) a jedna pomalá odezva (Q=6,1 l/s). Zdánlivý neúspěch simulace roku 2006 (KD =
0,24) byl způsoben tím, že do výpočtu byla zahrnuta pouze jedna povodňová vlna (pro
simulaci by bylo vhodné požít také další dvě výrazné povodňové vlny: Q=14,9 l/s a
Q=27,7 l/s) a že v první polovině uvedeného časového úseku se na měřeném odtoku
významně podílí dotace vláhy z tajícího sněhu, jejíž hodnoty pro výpočet nebyly k
dispozici.
20
0
18
5
16
10
14
15
12
20
Q (l/s)
10
8
Qmer
Qsim1 + Qsim2
25
30
R (mm)
6
R
35
4
40
2
45
0
50
3800 4000 4200 4400 4600 4800 5000 5200 5400 5600 5800
referenční čas (hod)
Graf 5.4 Simulace průtoků z roku 1999, koeficient ztráty deště = 0,05 (KD = 0,84).
37

Výsledky a diskuze
20
0
18
5
16
10
14
15
12
20
Q (l/s)
10
8
Qmer
Qsim1 + Qsim2
25
30
R (mm)
6
R
35
4
40
2
45
0
3800 4000 4200 4400 4600 4800 5000 5200
referenční čas (hod)
50
Graf 5.5 Simulace průtoků z roku 2002, koeficient ztráty deště = 0,1 (KD = 0,81).
20
0
18
5
16
10
14
15
12
20
Q (l/s)
10
8
Qmer
Qsim1 + Qsim2
R
25
30
R (mm)
6
35
4
40
2
45
0
3600 3900 4200 4500 4800 5100 5400 5700 6000 6300
referenční čas (hod)
50
Graf 5.6 Simulace průtoků z roku 2006, koeficient ztráty deště = 0,06 (KD = 0,24).
38

Závěr
6 ZÁVĚR
Pomocí rozšířené metody separace časových a prostorových proměnných byly upraveny
rovnice pro proudění podzemní vody na horizontálním i nakloněném nepropustném
podloží. Tato metoda je založena na předpokladu, že tvar hladiny je konstantní pro danou
výšku hladiny v určitém bodě na ose x. Tento tvar hladiny se stanoví pomocí rovnic
ustáleného proudění.
Při odvození rovnic ustáleného proudění se vycházelo ze vztahů, které slouží pro výpočet
tvaru hladiny v drenážní soustavě. Tyto rovnice jsou založeny na Boussinesqových
aproximacích, které byly odvozeny pro různé koordinační systémy. Hodnoty odvozené na
základě těchto dvou aproximací byly porovnány s výsledky viskózního modelu, na základě
čehož bylo rozhodnuto o vhodnosti jejich použití pro podmínku proudění na svahu.
Z porovnání je patrné, že Boussinesqova druhá aproximace je vhodná pro řešení proudění
u sklonu nepropustného podloží do 0,3, zatímco Boussinesqova první aproximace je
vhodná i pro řešení při větších sklonech. Hodnoty odvozené na základě Boussinesqovy
první aproximace byly porovnány také s výsledky, které uvádějí Hartani, Lesaffre a
Zimmer (2001). Z porovnání je patrné, že lepší shodě dochází při vyšších sklonech.
Platnost modelu pro výpočet odtoku pozemní vody z povodí pro nakloněné nepropustné
podloží sestaveného na základě rovnic odvozených z Boussinesqovy rovnice byla ověřena
na datech naměřených v povodí Modrava 2 na Šumavě (pokusné povodí Katedry vodního
hospodářství a environmentálního modelování Fakulty životního prostředí ČZU Praha).
Model je schopen simulovat odtok základní i odtok přímý.
Pro zlepšení modelu by se dalo udělat několik opatření. Mezi první patří zdokonalení
výpočtu tvaru hladiny podzemní vody, které by vedlo k odstranění mnohých chyb ve
výpočtu. Bylo by vhodné zahrnout do vstupních dat modelu data představující dotaci vláhy
z tajícího sněhu. Dále by bylo třeba upravit srážky tak, aby byly při vstupu do modelu
ukráceny o počáteční a konstantní ztráty, obdobně i tající sníh. A také rychlá odezva by
měla být počítána pro celé výpočtové období stejně jako pomalá odezva, případně podle
potřeby by se vytvořila třetí složka odtoku („středně“ rychlá odezva). Celkový výsledný
odtok by se počítal jako součet těchto tří složek.
39

Přílohy
7 PŘÍLOHY
7.1 Ustálené proudění na nakloněné nepropustné rovině
Tab. 7.1 Výsledky aplikace rovnic pro ustálené proudění podzemní vody na svahu odvozeních na
základě Boussinesqovy první aproximace (část A).
sklon 0,05 0,1 0,2
R/K xH/L H/L sigma xH/L H/L sigma xH/L H/L sigma
0,0002 0,854 0,0034 1,767 0,940 0,0019 3,535 0,978 0,0010 7,070
0,0004 0,787 0,0063 1,250 0,905 0,0036 2,499 0,964 0,0019 4,998
0,0006 0,741 0,0089 1,020 0,877 0,0053 2,040 0,951 0,0029 4,080
0,0008 0,704 0,0113 0,883 0,854 0,0068 1,766 0,940 0,0038 3,533
0,001 0,675 0,0135 0,790 0,835 0,0084 1,580 0,930 0,0047 3,159
0,002 0,578 0,0232 0,558 0,762 0,0153 1,116 0,890 0,0089 2,232
0,004 0,478 0,0384 0,394 0,674 0,0271 0,787 0,834 0,0167 1,575
0,006 0,421 0,0508 0,321 0,618 0,0373 0,642 0,793 0,0239 1,283
0,008 0,382 0,0616 0,277 0,576 0,0465 0,555 0,761 0,0307 1,109
0,01 0,353 0,0714 0,248 0,543 0,0549 0,495 0,733 0,0370 0,990
0,02 0,271 0,1106 0,173 0,442 0,0902 0,346 0,639 0,0652 0,693
0,04 0,201 0,1678 0,120 0,346 0,1440 0,240 0,535 0,1114 0,480
0,06 0,166 0,2125 0,096 0,293 0,1871 0,192 0,471 0,1502 0,384
0,08 0,144 0,2505 0,081 0,258 0,2243 0,163 0,425 0,1847 0,325
0,1 0,128 0,2841 0,071 0,232 0,2575 0,142 0,389 0,2161 0,285
0,2 0,084 0,4177 0,045 0,157 0,3915 0,089 0,278 0,3473 0,179
0,4 0,046 0,6097 0,024 0,088 0,5883 0,047 0,165 0,5495 0,095
0,6 0,025 0,7592 0,013 0,050 0,7443 0,026 0,095 0,7161 0,052
0,8 0,011 0,8866 0,006 0,022 0,8790 0,011 0,043 0,8640 0,022
40

Přílohy
Tab. 7.1 Výsledky aplikace rovnic pro ustálené proudění podzemní vody na svahu odvozeních na
základě Boussinesqovy první aproximace (část B).
sklon 0,3 0,4 0,5
R/K xH/L H/L sigma xH/L H/L sigma xH/L H/L sigma
0,0002 0,989 0,0007 10,604 0,993 0,0005 14,139 0,995 0,0004 17,674
0,0004 0,980 0,0013 7,497 0,988 0,0010 9,996 0,991 0,0008 12,495
0,0006 0,973 0,0019 6,120 0,983 0,0015 8,160 0,988 0,0012 10,200
0,0008 0,967 0,0026 5,299 0,978 0,0020 7,065 0,985 0,0016 8,832
0,001 0,961 0,0032 4,739 0,974 0,0024 6,318 0,982 0,0020 7,898
0,002 0,935 0,0062 3,347 0,957 0,0048 4,463 0,969 0,0039 5,579
0,004 0,898 0,0120 2,362 0,930 0,0093 3,150 0,948 0,0076 3,937
0,006 0,868 0,0175 1,925 0,908 0,0137 2,566 0,932 0,0112 3,208
0,008 0,844 0,0227 1,664 0,889 0,0179 2,218 0,917 0,0148 2,773
0,01 0,823 0,0277 1,485 0,873 0,0220 1,980 0,904 0,0183 2,475
0,02 0,745 0,0507 1,039 0,809 0,0413 1,386 0,851 0,0347 1,732
0,04 0,650 0,0902 0,720 0,726 0,0756 0,960 0,778 0,0649 1,200
0,06 0,587 0,1248 0,576 0,667 0,1065 0,768 0,725 0,0926 0,959
0,08 0,539 0,1563 0,488 0,622 0,1351 0,651 0,683 0,1187 0,813
0,1 0,501 0,1855 0,427 0,584 0,1621 0,569 0,647 0,1437 0,712
0,2 0,374 0,3114 0,268 0,451 0,2819 0,358 0,514 0,2571 0,447
0,4 0,232 0,5151 0,142 0,291 0,4844 0,190 0,343 0,4570 0,237
0,6 0,138 0,6897 0,077 0,177 0,6651 0,103 0,214 0,6421 0,129
0,8 0,064 0,8495 0,034 0,084 0,8354 0,045 0,103 0,8217 0,056
41

Přílohy
Tab. 7.2 Výsledky aplikace rovnic pro ustálené proudění podzemní vody na svahu odvozeních na
základě Boussinesqovy druhé aproximace (část A).
sklon 0,05 0,1 0,2
R/K xH/L H/L sigma xH/L H/L sigma xH/L H/L sigma
0,0002 0,854 0,0034 1,768 0,940 0,0019 3,536 0,978 0,0010 7,071
0,0004 0,787 0,0063 1,250 0,905 0,0036 2,500 0,964 0,0019 5,000
0,0006 0,741 0,0089 1,021 0,877 0,0053 2,041 0,951 0,0029 4,082
0,0008 0,705 0,0113 0,884 0,854 0,0068 1,768 0,940 0,0038 3,536
0,001 0,675 0,0135 0,791 0,835 0,0083 1,581 0,930 0,0047 3,162
0,002 0,578 0,0231 0,559 0,762 0,0152 1,118 0,890 0,0089 2,236
0,004 0,479 0,0383 0,395 0,675 0,0270 0,791 0,835 0,0167 1,581
0,006 0,423 0,0507 0,323 0,619 0,0372 0,645 0,794 0,0238 1,291
0,008 0,384 0,0615 0,280 0,578 0,0463 0,559 0,762 0,0305 1,118
0,01 0,356 0,0712 0,250 0,546 0,0546 0,500 0,736 0,0368 1,000
0,02 0,275 0,1101 0,177 0,448 0,0895 0,354 0,645 0,0645 0,707
0,04 0,208 0,1667 0,125 0,356 0,1423 0,250 0,546 0,1093 0,500
0,06 0,176 0,2107 0,102 0,307 0,1843 0,204 0,488 0,1464 0,408
0,08 0,155 0,2480 0,088 0,275 0,2202 0,177 0,448 0,1791 0,354
0,1 0,140 0,2809 0,079 0,252 0,2522 0,158 0,417 0,2085 0,316
0,2 0,103 0,4108 0,056 0,190 0,3795 0,112 0,328 0,3285 0,224
0,4 0,074 0,5953 0,040 0,140 0,5619 0,079 0,252 0,5045 0,158
0,6 0,061 0,7371 0,032 0,117 0,7027 0,065 0,214 0,6421 0,129
0,8 0,054 0,8567 0,028 0,103 0,8217 0,056 0,190 0,7590 0,112
42

Přílohy
Tab. 7.2 Výsledky aplikace rovnic pro ustálené proudění podzemní vody na svahu odvozeních na
základě Boussinesqovy druhé aproximace (část B).
sklon 0,3 0,4 0,5
R/K xH/L H/L sigma xH/L H/L sigma xH/L H/L sigma
0,0002 0,989 0,0007 10,607 0,993 0,0005 14,142 0,995 0,0004 17,678
0,0004 0,980 0,0013 7,500 0,988 0,0010 10,000 0,991 0,0008 12,500
0,0006 0,973 0,0019 6,124 0,983 0,0015 8,165 0,988 0,0012 10,206
0,0008 0,967 0,0026 5,303 0,978 0,0020 7,071 0,985 0,0016 8,839
0,001 0,961 0,0032 4,743 0,974 0,0024 6,325 0,982 0,0020 7,906
0,002 0,936 0,0062 3,354 0,957 0,0048 4,472 0,969 0,0039 5,590
0,004 0,898 0,0120 2,372 0,930 0,0093 3,162 0,949 0,0076 3,953
0,006 0,869 0,0174 1,936 0,909 0,0136 2,582 0,932 0,0112 3,227
0,008 0,845 0,0225 1,677 0,890 0,0178 2,236 0,918 0,0147 2,795
0,01 0,825 0,0275 1,500 0,874 0,0219 2,000 0,905 0,0181 2,500
0,02 0,750 0,0500 1,061 0,813 0,0407 1,414 0,854 0,0342 1,768
0,04 0,661 0,0881 0,750 0,736 0,0736 1,000 0,787 0,0630 1,250
0,06 0,604 0,1209 0,612 0,684 0,1026 0,816 0,741 0,0889 1,021
0,08 0,563 0,1502 0,530 0,645 0,1290 0,707 0,705 0,1127 0,884
0,1 0,531 0,1770 0,474 0,614 0,1534 0,632 0,675 0,1350 0,791
0,2 0,433 0,2887 0,335 0,514 0,2571 0,447 0,578 0,2314 0,559
0,4 0,343 0,4570 0,237 0,417 0,4171 0,316 0,479 0,3832 0,395
0,6 0,295 0,5904 0,194 0,364 0,5458 0,258 0,423 0,5071 0,323
0,8 0,264 0,7046 0,168 0,328 0,6569 0,224 0,384 0,6148 0,280
43

Přílohy
7.2 Neustálené proudění na nakloněné nepropustné rovině
2
1,8
1,6
1,4
B(H) C(H) P(H)
1,2
1
0,8
0,6
0,4
B(H) C(H) P(H)
0,2
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
H/L
Graf 7.1 Závislost faktorů tvaru hladiny B(H), C(H) a P(H) na výšce hladiny podzemní vody H/L
pro Boussinesqovu první aproximaci a sklon nepropustného podloží 0,05.
2
1,8
1,6
1,4
B(H) C(H) P(H)
1,2
1
0,8
0,6
0,4
B(H) C(H) P(H)
0,2
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
H/L
Graf 7.2 Závislost faktorů tvaru hladiny B(H), C(H) a P(H) na výšce hladiny podzemní vody H/L
pro Boussinesqovu první aproximaci a sklon nepropustného podloží 0,1.
44

Přílohy
2
1,8
1,6
1,4
B(H) C(H) P(H)
1,2
1
0,8
0,6
B(H) C(H) P(H)
0,4
0,2
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
H/L
Graf 7.3 Závislost faktorů tvaru hladiny B(H), C(H) a P(H) na výšce hladiny podzemní vody H/L
pro Boussinesqovu první aproximaci a sklon nepropustného podloží 0,15.
2
1,8
1,6
1,4
B(H) C(H) P(H)
1,2
1
0,8
0,6
0,4
B(H) C(H) P(H)
0,2
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
H/L
Graf 7.4 Závislost faktorů tvaru hladiny B(H), C(H) a P(H) na výšce hladiny podzemní vody H/L
pro Boussinesqovu první aproximaci a sklon nepropustného podloží 0,18.
45

Přílohy
2
1,8
1,6
1,4
B(H) C(H) P(H)
1,2
1
0,8
0,6
0,4
B(H) C(H) P(H)
0,2
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
H/L
Graf 7.5 Závislost faktorů tvaru hladiny B(H), C(H) a P(H) na výšce hladiny podzemní vody H/L
pro Boussinesqovu první aproximaci a sklon nepropustného podloží 0,2.
2
1,8
1,6
1,4
B(H) C(H) P(H)
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
B(H) C(H) P(H)
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
H/L
Graf 7.6 Závislost faktorů tvaru hladiny B(H), C(H) a P(H) na výšce hladiny podzemní vody H/L
pro Boussinesqovu druhou aproximaci a sklon nepropustného podloží 0,05.
46

Přílohy
2
1,8
1,6
1,4
B(H) C(H) P(H)
1,2
1
0,8
0,6
B(H) C(H) P(H)
0,4
0,2
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
H/L
Graf 7.7 Závislost faktorů tvaru hladiny B(H), C(H) a P(H) na výšce hladiny podzemní vody H/L
pro Boussinesqovu druhou aproximaci a sklon nepropustného podloží 0,1.
2
1,8
1,6
1,4
B(H) C(H) P(H)
1,2
1
0,8
0,6
0,4
B(H) C(H) P(H)
0,2
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
H/L
Graf 7.8 Závislost faktorů tvaru hladiny B(H), C(H) a P(H) na výšce hladiny podzemní vody H/L
pro Boussinesqovu druhou aproximaci a sklon nepropustného podloží 0,15.
47

Přílohy
2
1,8
1,6
1,4
B(H) C(H) P(H)
1,2
1
0,8
0,6
0,4
B(H) C(H) P(H)
0,2
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
H/L
Graf 7.9 Závislost faktorů tvaru hladiny B(H), C(H) a P(H) na výšce hladiny podzemní vody H/L
pro Boussinesqovu druhou aproximaci a sklon nepropustného podloží 0,18.
2
1,8
1,6
1,4
B(H) C(H) P(H)
1,2
1
0,8
0,6
0,4
B(H) C(H) P(H)
0,2
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
H/L
Graf 7.10 Závislost faktorů tvaru hladiny B(H), C(H) a P(H) na výšce hladiny podzemní vody H/L
pro Boussinesqovu první aproximaci a sklon nepropustného podloží 0,2.
48

Přílohy
7.3 Kalibrace modelu
4
0
3,5
5
3
Qmer mi 0,01 mi 0,015
mi 0,02 mi 0,025 mi 0,03
10
2,5
mi 0,035
R
15
Q (l/s)
2
20
R (mm)
1,5
25
1
30
0,5
35
0
40
6100 6300 6500 6700 6900 7100 7300 7500
referenční čas (hod)
Graf 7.11 Kalibrace parametru drenážní pórovitost µ (mi) pro pomalou odezvu na datech z roku
2001.
4
0
3,5
5
Q (l/s)
3
2,5
2
Qmer mi 0,01 mi 0,015
mi 0,02 mi 0,025 mi 0,03
mi 0,035 R
10
15
20
R (mm)
1,5
25
1
30
0,5
35
0
3800 4000 4200 4400 4600 4800 5000 5200
referenční čas (hod)
40
Graf 7.12 Kalibrace parametru drenážní pórovitost µ (mi) pro pomalou odezvu na datech z roku
2002.
49

Přílohy
4
0
3,5
5
Q (l/s)
3
2,5
2
Qmer mi 0,01
mi 0,015 mi 0,02
mi 0,025 mi 0,03
mi 0,035 R
10
15
20
R (mm)
1,5
25
1
30
0,5
35
0
40
4100 4300 4500 4700 4900 5100 5300 5500 5700 5900 6100 6300
referenční čas (hod)
Graf 7.13 Kalibrace parametru drenážní pórovitost µ (mi) pro pomalou odezvu na datech z roku
2004.
7
0
6
10
Q (l/s)
5
4
3
Qmer mi 0,01
mi 0,015 mi 0,02
mi 0,025 mi 0,03
mi 0,035 R
20
30
40
R (mm)
2
50
1
60
0
3600 3900 4200 4500 4800 5100 5400 5700 6000 6300
referenční čas (hod)
70
Graf 7.14 Kalibrace parametru drenážní pórovitost µ (mi) pro pomalou odezvu na datech z roku
2006.
50

Přílohy
4
0
3,5
3
2,5
Qmer K 0,000001
K 0,000006 K 0,000011
K 0,000016 K 0,000021
R
5
10
15
Q (l/s)
2
20
R (mm)
1,5
25
1
30
0,5
35
0
40
6100 6300 6500 6700 6900 7100 7300 7500
referenční čas (hod)
Graf 7.15 Kalibrace parametru nasycená hydraulická vodivost
K pro pomalou odezvu na datech z roku 2001.
4
0
3,5
5
Q (l/s)
3
2,5
2
Qmer K 0,000001
K 0,000006 K 0,000011
K 0,000016 K 0,000021
R
10
15
20
R (mm)
1,5
25
1
30
0,5
35
0
3800 4000 4200 4400 4600 4800 5000 5200
referenční čas (hod)
40
Graf 7.16 Kalibrace parametru nasycená hydraulická vodivost
K pro pomalou odezvu na datech z roku 2002.
51

Přílohy
4
0
3,5
3
2,5
Qmer K 0,000001
K 0,000006 K 0,000011
K 0,000016 K 0,000021
R
5
10
15
Q (l/s)
2
20
R (mm)
1,5
25
1
30
0,5
35
0
40
4100 4300 4500 4700 4900 5100 5300 5500 5700 5900 6100 6300
referenční čas (hod)
Graf 7.17 Kalibrace parametru nasycená hydraulická vodivost
K pro pomalou odezvu na datech z roku 2004.
7
0
6
5
4
Qmer K 0,000001
K 0,000006 K 0,000011
K 0,000016 K 0,000021
R
10
20
30
Q (l/s)
3
40
R (mm)
2
50
1
60
0
3600 3900 4200 4500 4800 5100 5400 5700 6000 6300
referenční čas (hod)
70
Graf 7.18 Kalibrace parametru nasycená hydraulická vodivost
K pro pomalou odezvu na datech z roku 2006.
52

Přílohy
22
0
20
5
18
16
10
Q (l/s)
14
12
10
8
Qmer mi 0,01
mi 0,014 mi 0,018
mi 0,022 mi 0,026
R
15
20
25
R (mm)
6
4
2
30
35
0
40
5030 5040 5050 5060 5070 5080 5090 5100 5110
referenční čas (hod)
Graf 7.19 Kalibrace parametru drenážní pórovitost µ (mi) pro rychlou odezvu na datech z roku
2000.
22
0
20
5
18
16
10
Q (l/s)
14
12
10
8
Qmer mi 0,01
mi 0,014 mi 0,018
mi 0,022 mi 0,026
R
15
20
25
R (mm)
6
4
2
30
35
0
40
4420 4430 4440 4450 4460 4470 4480 4490 4500
referenční čas (hod)
Graf 7.20 Kalibrace parametru drenážní pórovitost µ (mi) pro rychlou odezvu na datech z roku
2002.
53

Přílohy
140
0
130
120
5
110
100
10
Q (l/s)
90
80
70
60
50
Qmer mi 0,01
mi 0,014 mi 0,018
mi 0,022 mi 0,026
R
15
20
25
R (mm)
40
30
30
20
35
10
0
40
3530 3540 3550 3560 3570 3580 3590 3600 3610 3620
referenční čas (hod)
Graf 7.21 Kalibrace parametru drenážní pórovitost µ (mi) pro rychlou odezvu na datech z roku
2006 (událost 1).
22
0
20
5
18
16
10
Q (l/s)
14
12
10
8
Qmer mi 0,01
mi 0,014 mi 0,018
mi 0,022 mi 0,026
R
15
20
25
R (mm)
6
4
2
30
35
0
40
5240 5250 5260 5270 5280 5290 5300 5310 5320
referenční čas (hod)
Graf 7.22 Kalibrace parametru drenážní pórovitost µ (mi) pro rychlou odezvu na datech z roku
2006 (událost 2).
54

Přílohy
22
0
Q (l/s)
20
18
16
14
12
10
Qmer K 0,0001
K 0,0006 K 0,0011
K 0,0016 K 0,0021
R
5
10
15
20
R (mm)
8
25
6
4
2
30
35
0
40
5030 5040 5050 5060 5070 5080 5090 5100 5110
referenční čas (hod)
Graf 7.23 Kalibrace parametru nasycená hydraulická vodivost
K pro rychlou odezvu na datech z roku 2000.
22
0
Q (l/s)
20
18
16
14
12
10
Qmer K 0,0001
K 0,0006 K 0,0011
K 0,0016 K 0,0021
R
5
10
15
20
R (mm)
8
25
6
4
2
30
35
0
40
4420 4430 4440 4450 4460 4470 4480 4490 4500
referenční čas (hod)
Graf 7.24 Kalibrace parametru nasycená hydraulická vodivost
K pro rychlou odezvu na datech z roku 2002.
55

Přílohy
140
0
130
120
5
110
100
90
80
Qmer K 0,0001
K 0,0006 K 0,0011
K 0,0016 K 0,0021
R
10
15
Q (l/s)
70
60
50
20
25
R (mm)
40
30
30
20
10
35
0
40
3530 3540 3550 3560 3570 3580 3590 3600 3610 3620
referenční čas (hod)
Graf 7.25 Kalibrace parametru nasycená hydraulická vodivost
K pro rychlou odezvu na datech z roku 2006 (událost 1).
22
0
Q (l/s)
20
18
16
14
12
10
Qmer K 0,0001
K 0,0006 K 0,0011
K 0,0016 K 0,0021
R
5
10
15
20
R (mm)
8
25
6
4
2
30
35
0
40
5240 5250 5260 5270 5280 5290 5300 5310 5320
referenční čas (hod)
Graf 7.26 Kalibrace parametru nasycená hydraulická vodivost
K pro rychlou odezvu na datech z roku 2006 (událost 2).
56

Přílohy
7.4 Verifikace modelu
4
0
3,5
5
3
2,5
Qmer
K 0,00001; mi 0,015
R
10
15
Q (l/s)
2
20
R (mm)
1,5
25
1
30
0,5
35
0
40
3800 4100 4400 4700 5000 5300 5600 5900
referenční čas (hod)
Graf 7.27 Verifikace parametrů K a µ (mi) pro pomalou odezvu na datech z roku 1999
(KD = 0,53).
4
0
3,5
5
3
10
Q (l/s)
2,5
2
Qmer
K 0,00001; mi 0,015
R
15
20
R (mm)
1,5
25
1
30
0,5
35
0
3800 4000 4200 4400 4600
referenční čas (hod)
40
Graf 7.28 Verifikace parametrů K a µ (mi) pro pomalou odezvu na datech z roku 2000
(KD = 0,66).
57

Přílohy
4
0
3,5
5
3
2,5
Qmer
K 0,00001; mi 0,015
R
10
15
Q (l/s)
2
20
R (mm)
1,5
25
1
30
0,5
35
0
6800 7000 7200 7400
referenční čas (hod)
40
Graf 7.29 Verifikace parametrů K a µ (mi) pro pomalou odezvu na datech z roku 2003
(KD = 0,77).
35
0
30
5
Q (l/s)
25
20
15
Qmer
K 0,001; mi 0,02
R
10
15
20
25
R (mm)
10
30
5
35
0
40
6230 6240 6250 6260 6270 6280 6290 6300 6310 6320
referenční čas (hod)
Graf 7.30 Verifikace parametrů K a µ (mi) pro rychlou odezvu na datech z roku 1998
(KD = 0,998).
58

Přílohy
14
0
12
5
Q (l/s)
10
8
6
Qmer
K 0,001; mi 0,02
R
10
15
20
25
R (mm)
4
30
2
35
0
40
4570 4580 4590 4600 4610 4620 4630 4640 4650
referenční čas (hod)
Graf 7.31 Verifikace parametrů K a µ (mi) pro rychlou odezvu na datech z roku 1999 (KD = 0,98).
60
0
50
5
10
Q (l/s)
40
30
20
Qmer
K 0,001; mi 0,02
R
15
20
25
R (mm)
30
10
35
0
40
6400 6410 6420 6430 6440 6450 6460 6470 6480
referenční čas (hod)
Graf 7.32 Verifikace parametrů K a µ (mi) pro rychlou odezvu na datech z roku 2004 (KD = 0,99).
59

Seznam použitých symbolů
Seznam použitých symbolů
A bod v kartézském koordinačním systému
A horizontální plocha elementu kolektoru [L 2 ]
B bod v kartézském koordinačním systému
B(H) první faktor tvaru hladiny [-]
C bod v kartézském koordinačním systému
C(H) druhý faktor tvaru hladiny [-]
c x
f
integrační konstanty
známá funkce
g tíhové zrychlení [L.T -2 ]
H hydraulická výška [L]
H maximální výška hladiny podzemní vody [L]
(H 1 -H 2 ) ztráta hydraulické výšky při průtoku vody sloupcem zeminy [L]
dH/dl gradient hydraulické výšky – hydraulický gradient [-]
h výška hladiny podzemní vody nad nepropustným podložím [L]
h krok výpočtu [L]
h + výška hladiny podzemní vody nad nepropustným podložím pro BPA [L]
h * výška hladiny podzemní vody nad nepropustným podložím pro BDA [L]
h p
tlaková výška neboli hloubka daného bodu pod hladinou podzemní vody [L]
h L výška hladiny podzemní vody nad nepropustným podložím v x = L- [L]
h 0 výška hladiny podzemní vody nad nepropustným podložím v x = 0- [L
∆h pokles hladiny podzemní vody v elementu kolektoru [L]
K nasycená hydraulická vodivost [L.T -1 ]
K ii složky tenzoru nasycené hydraulické vodivosti [L.T -1 ]
KD koeficient determinace [-]
k x proměnné metody Runge-Kutta pro odhad y n+1 [L]
L délka sloupce [L]
L délka svahu [L]
M bod v kartézském koordinačním systému
N bod v kartézském koordinačním systému
n pórovitost [-]
n počet výpočtových kroků [-]
P(H) třetí faktor tvaru hladiny [-]
p tlak vody v daném bodě pod hladinou podzemní vody [L -1 .M.T -2 ]
60

Seznam použitých symbolů
pQmer průměrná hodnota naměřených průtoků [L 3 .T -1 ]
Q průtok [L 3 .T -1 ]
Q průtok na jednotku plochy [L.T -1 ]
Qmer i průtok měřený v čase i [L 3 .T -1 ]
Qsim i průtok simulovaný v čase i [L 3 .T -1 ]
q x specifický průtok ve směru osy x [L 2 .T -1 ]
R přítok na hladinu podzemní vody [L.T -1 ]
S průřezová plocha sloupce [L 2 ]
S storativita [-]
s sklon nepropustného podloží (tanθ) [-]
t čas [T]
u substituovaná proměnná při řešení Boussinesqových rovnic [L]
V celkový objem zeminy [L 3 ]
Vp objem pórů [L 3 ]
∆V změna objemu vody v elementu kolektoru [L 3 ]
v Darcyovská rychlost proudění vody [L.T -1 ]
v n složka rychlosti kolmá k hranici oblasti [L.T -1 ]
v s vektor hustoty toku ve směru osy x [L.T -1 ]
v substituovaná proměnná při řešení Boussinesqových rovnic [L]
w substituovaná proměnná při řešení Boussinesqových rovnic [-]
W funkce tvaru hladiny [-]
X bezrozměrná osa x [-]
x,y,z souřadnice libovolného bodu [L]
x + osa koordinačního systému pro BPA [L]
x * osa koordinačního systému pro BDA [L]
x H poloha maximální výšky hladiny podzemní vody [L]
x n nezávislá proměnná v kroku n [L]
y n proměnná závislá na proměnné x n v kroku n [L]
y n+1 proměnná závislá na proměnné x n v kroku n+1 [L]
z geodetická výška [L]
z + osa koordinačního systému pro BPA [L]
z* osa koordinačního systému pro BDA [L]
ρ hustota [M.L -3 ]
θ úhel, který svírá tečna k hladině s vodorovným směrem [-]
θ sklon nepropustného podloží [l]
λ x substituovaná proměnná při řešení Boussinesqových rovnic [-]
61

Seznam použitých symbolů
µ drenážní pórovitost [-]
σ bezrozměrný faktor tvaru HPV pro proudění na svahu [-]
ϕ hydraulický potenciál [-]
62

Seznam literatury
Seznam literatury
Drbal, J. 1984: Geologie a Půdoznalství III.b. (půdoznalství), VŠZ, Praha, 175 s.
Guitjens, J. C., Luthin, J. N. 1965: Viscous Model Study of Drain Spacing on Sloping
Land and Comparison with Mathematical Solution. Water Resources Research.
Vol. 1, No 4, p. 523-530.
Hartani, T., Zimmer, D., Lesaffre, B. 2001: Drainage of Sloping Lands with Variable
Recharge: Analytical Formulas and Model Development. Journal of Irrigation and
Drainage engineering, Vol. 127, No. 1, p. 8-15.
Henderson, F. M., Wooding, R. A., 1964: Overland flow and groundwater flow from
steady rainfall of finite duration. Journal of Geophysical Research, Vol. 69, No. 8,
p. 1531-1540.
Childs, E. C., 1971: Drainage of Groundwater Resting on Sloping Bed. Water Resources
Research, Vol. 7, No. 5, p. 1256-1263.
Koopmans, R. W. R., 2000: Fluidmechanics and groundwater flow, Department of Water
Resources, Wageningen University, p. 234.
Lesaffre, B., 1987: Analytical formulae for traverse drainage of sloping lands with constant
rainfall. Irrigation and Drainage System, Vol. 1, No. 1, p. 105-121.
Marei, S. M., Towner, G. D., 1975: A Hele-Shaw Analog Study of the Seepage of
Groundwater Resting on Sloping Bed. Water Resources Research, Vol. 11, No. 4,
p. 589-594.
McEnroe, B. M., 1994: Hydraulics of Leachate Collection and Cover Drainage.
In Landfilling of Waste Bariers, Chapman and Hall, London, UK, p. 531-541.
Novák, V., Rieger, F. 2000: Hydraulické pochody, ČVUT, Praha, 318 s.,
ISBN 80-01-02153-X
Ram, S., Chauhan, H. S. 1987: Analytical and Experimental Solution for Drainage of
Sloping Lands With Time-Varying Recharge. Water Resources Research, Vol. 23,
No. 6, p. 1090-1096.
Rektorys, K. 2000: Přehled užité matematiky II, sedmé vydání. Prometheus, Praha,
ISBN 81-7196-181-7.
Schmid, P. and Luthin, J. 1964: The drainage of sloping lands, Journal of Geophysical
Research, Vol. 69, No. 8, p. 1525-1529.
63

Seznam literatury
Šilar, J. 1996: Hydrologie v životním prostředí, MŽP, Praha, 136 s., ISBN 80-7078-361-3
Tourková, J. 2004: Hydrogeologie. ČVUT, Praha, 165 s., ISBN 80-01-03101-2
Towner, G. D. 1975: Drainage of groundwater resting on a sloping bed with uniform
rainfall, Water Resources Research, Vol. 11, No. 1, p. 144-147.
Valentová, J. 2007: Hydraulika podzemní vody. ČVUT, Praha, 174 s.,
ISBN 978-80-01-03625-9
Wooding, R. A., Chapman, T. G. 1966: Groundwater flow over a sloping impermeable
layer, 1. Applications of the Dupuit-Forchheimer assumption. Journal of
Geophysical Research, Vol. 71, No. 12, p. 2895-2902.
64