Diplomová práce – Matematické modelování pole proudění ... - kvhem

Česká zemědělská Univerzita v PrazeFakulta životního prostředíKatedra vodního hospodářství a environmentálního modelováníDIPLOMOVÁ PRÁCEJan KřivonožkaMatematické modelování pole proudění atransportu pasivní příměsi v mezní vrstvěatmosféryVedoucí diplomové práce: Doc. Mgr. Marek Vach, PhD.Studijní program: Environmentální modelování2009

PoděkováníVelice děkuji Doc. Mgr. Marku Vachovi, PhD., za nadšené a trpělivé vedení mé práce, předávánízkušeností s praktickým řešení problémů proudění, důkladné zaškolení v programech Gambita Fluent, poskytnutou literaturu, cenné rady a volný čas, kterého tato práce zabrala velkémnožství.Velký dík patří také Radimu Pechalovi, který poskytl odborné rady a literuturu pro práci sprogramem L A TEX, ve kterém je tato práce vysázena.Dále díky všem, kdo se podíleli na korekturách. Především však své studentce Marii Dvoryančikovéza korekturu anglické verze abstraktu a dále Karolíně Pechalové, Miroslavu Štufkovia Michaele Mičkové za významné korektury českého textu.Děkuji také Jiřímu Křivonožkovi za zapůjčení počítače k předlouhému sázení textu tétopráce.Nakonec také díky všem svým studentům fyziky z Klasického gymnázia Modřany za kritikupráce, korektury a zejména za shovívavost k tomu, že jsem se jim až do dokončení této prácenemohl naplno věnovat.Prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci napsal samostatně, pod vedením Doc. Mgr. MarkaVacha, PhD., a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce ajejím zveřejňováním.V Praze dne 22. dubna 2009Jan Křivonožkai

ObsahÚvod 11 Cíl práce a metodika 32 Základní aspekty problematiky ochrany ovzduší 52.1 Zdroje znečištění ovzduší a jejich srovnání . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Způsoby řešení nejzásadnějších problémů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Různé metody modelování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4 Způsoby aplikace matematického a fyzikálního modelování v ochraně ovzduší . . 82.5 Problematika ochrany ovzduší v oblasti východních Krkonoš . . . . . . . . . . . 93 Matematický model proudění tekutin 113.1 Základní sada rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Shrnutí výchozích rovnic obecného modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Systémy rovnic a jejich aproximace 164.1 Rovnice stlačitelného proudění . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2 Rovnice nestlačitelného proudění . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.3 Aproximace mělké vody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.4 Aproximace hluboké vody - anelastická aproximace . . . . . . . . . . . . . . . . 194.5 Hydrostatická aproximace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.6 Boussinesqova aproximace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.7 Okrajové podmínky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Základy modelování turbulentního proudění 245.1 Pohybové rovnice turbulentního proudění . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2 Problém uzávěru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.3 Prandtlova teorie turbulentního přenosu hybnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.4 Používané modely turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 Modelování transportu pasivní přímesi 326.1 Gaussovský model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.2 Lagrangeův popis šíření . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.3 Eulerovská metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 Numerické řešení problému 367.1 Metoda konečných diferencí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.2 Metoda konečných prvků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37ii

OBSAH7.3 Metoda konečných objemů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 Tvorba výpočtové sítě 418.1 Zapracování komplikovaného terénu do výpočtové sítě . . . . . . . . . . . . . . . 418.2 Tvorba sítě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428.3 Model mezní vrstvy ve výpočtové síti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438.4 Zadání vstupních profilů rychlosti a modelu turbulence . . . . . . . . . . . . . . 459 Výsledky numerického modelu 479.1 Způsoby prezentování výsledků výpočtů a grafických výstupů . . . . . . . . . . 479.2 Diskuze dosažených výsledků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499.3 Vliv hustoty sítě, tvaru buněk a mezní vrstvy na výsledky výpočtu . . . . . . . 50Závěr 51Literatura 52A Hlavní grafické výstupy - pro všechny sítě 55A.1 Použité druhy sítí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55A.2 Tlakové pole těsně nad terénem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55A.3 Turbulentní kinetická energie těsně nad terénem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55A.4 Vektory rychlosti těsně nad terénem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55A.5 Kónické vektory rychlosti těsně nad terénem - horní a boční náhled . . . . . . . 55A.6 Vektory rychlosti pro boční profil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68A.7 Rychlostní pole pro boční profil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70B Vedlejší grafické výstupy - jen pro vybrané sítě 72B.1 Hustotní pole a tok hmoty nad terénem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72B.2 Rychlostní pole na horní hranici oblasti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72B.3 Tlakové pole na horní hranici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72B.4 Turbulentní viskozita na horní hranici terénu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72B.5 Typický histogram rychlosti v oblasti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75B.6 Typický graf závislosti velikosti rychlosti na horizontální souřadnici . . . . . . . 75iii

AbstraktNázev práce: Matematické modelování pole proudění a transportu pasivní příměsi v meznívrstvě atmosféryAutor: Jan KřivonožkaKatedra: Katedra vodního hospodářství a environmentálního modelováníVedoucí diplomové práce: Doc. Mgr. Marek Vach, PhD.E-mail vedoucího: vachm@knc.czu.czCílem této diplomové práce je studium matematického modelování rychlostního pole a transportupasivní přímesi při proudění nad velmi komplikovaným reálným terénem v mezní vrstvěatmosféry. Podrobně je odvozen a popsán použitý matematický model. Věnujeme se také diskuzinad zahrnutím turbulence a transportní rovnice do modelu. Dále je široce diskutován problémzjednodušení obecné soustavy rovnic a volba okrajových podmínek. Vzhledem k praktickémuzaměření práce dále řešíme metody zadání komplikovaného reálného terénu do výpočtu a tvorbuvýpočtové sítě. Nakonec jsou rozebrány numerické podmínky řešení a zejména praktický popisřešení specifických aspektů souvisejících se zvloneným terénem a to už konkrétně v prostředísoftwaru Fluent. Výsledkem práce je srovnání vypočtených výsledků, které je uvedeno v příloze.Klíčová slova: Mezní vrstva atmosféry, matematické modely proudění, turbulence, Boussinesqovaaproximace, okrajové podmínky, Fluent, Gambit.

AbstraktTitle: Mathematical modeling of flow field and passive admixture transport in atmosphericboundary layerAuthor: Jan KřivonožkaDepartment: Department of Water Resources and Environmental ModelingSupervisor: Doc. Mgr. Marek Vach, PhD.Supervisor’s e-mail address: vachm@knc.czu.czThe aim of this diploma thesis is the study of mathematical modeling of the flow field andpassive admixture transport above the real and very complicated topography in atmosphericboundary layer. Mathematical model used is derived and explained in detail. We discuss theturbulence model and using the transport equation as well. The simplification of the generalsystem of partial differential equations and choice of boundary conditions is also discussed ingreat detail. Considering the practical side of this diploma thesis we also discuss how to describein detail and include complicated real topography into the computing scheme. In a special casestudy we describe and discuss how to exactly make computing mash . Finally, we discuss numericalconditions of the solution and most importantly the practical describtion of solving specificaspects relating to the chosen terrain, specificallz in the Fluent software. The result of thisthesis is the comparison of results, which are shown in the attachement.Keywords: Atmosferic boundary layer, Mathmatical models of flow, turbulence, Boussinesqapproximation, boundary conditions, Fluent, Gambit.

ÚvodTato práce se zabývá velmi aktuálním problémem, kterým je řešení transportních úloh v praktickémeteorologii a zejména v problematice ochrany ovzduší. Matematické modelování má vtomto oboru dnes již nezastupitelné místo, což je dáno úspěšnými aplikacemi řešení složitýchsoustav parciálních diferenciálních rovnic pro modelování rychlostního pole proudění, či možnáještě častěji, modelování transportu znečištění v ozvduší. Matematické modely jsou vhodné křešení praktických problémů z několika důvodů. Jednak řeší problémy s čím dál větší přesnosti,čehož je dosaženo díky zlepšujícím se hardwarovým, ale i softwarovým možnostem, které námumožňují provádět numerická řešení i těch velmi složitých a ještě před několika lety neřešitelnýchsoustav rovnic s komplikovanými počátečními a okrajovými podmínkami. Dalším důvodem jejistě i finanční dostupnost a jednoduchost oproti např. metodám fyzikálního modelování, kdy jetřeba vytvořit zmenšené modely reálných profilů a simulovat reálné proudění v aerodynamickýchtunelech. Metody matematického modelování jsou v tomto případě mnohem flexibilnější. Oprotitomu se setkáváme s velkou nevýhodou, která spočívá v tom, že celé řešení reálných problémůje jaksi skryto v nepřehledných soustavách rovnic, kterým většina techniků či ekologů rozumíjen v největších základech. Jde tedy o matematickou i do jisté míry programátorskou náročnostřešení. Často se v praxi matematičtí modeláři setkávají s několikatýdenním odlaďováním svýmalgoritmů. V našem případě si pomůžeme dnes již velmi často používaným softwarem Fluent,pomocí nejž provedeme vetšinu potřebných výpočtů.Nyní je třeba si uvědomit, že z hlediska praktického modelování je nutno rozlišovat jednotlivéúlohy dle jejich měřítka. Ze všech možných aplikací se v této práci budeme věnovat řešeníproudových polí na relativně malém měřítku a to na oblastech o rozměrech přibližně 10 x 10km. Půjde nám o řešení pole proudění a dále také, mimo jiné, pole tlakového nad topografickykomplikovaným terénem.Další problém, který lze označit za velmi základní, někdy i nejtěžší, výpočtově nejkomplikovanějšía nutný doplnit důkladnou diskuzí, je tvar tzv. hraničních podmínek 1 . Na této prácibude zajímavé zejména to, že se budeme zabývat řešením problémů nad komplikovaným terénem,konkrétně nad horským terénem ve východních Krkonoších, což je typ terénu orografickyvelmi náročný díky velkému počtu údolí a vysokým vyškovým gradientům. Pro zadání taktosložité spodní hranice modelu si pomůžeme softwarem Gambit, který velice dobře spolupracujes výpočtovým prostředím programu Fluent. Otestujeme více možností tvorby výpočtové sítěa diskutovat budeme jejich vliv na výsledný výpočet.Co se týká struktury práce, tak si klademe za cíl před samotným řešením konkrétních problémůproudění nad reálným terénem předložit podrobný popis matematického modelu a tovčetně popsání a diskuze složitého modelu turbulence. Začneme popisem a odvozením základnícha obecných rovnic. Přejdeme k jejich nejběžnějšímu zjednodušení, čímž bude vytvořenjakýsi přehled nejběžněji používaných modifikací nejobecnějších rovnic. Chceme se tak vyhnout1 V anglické literatuře boundary conditions, pozn. autora.1

častému jevu, kdy v praxi používáme mocných softwarových nástrojů pro řešení velmi složitýchproblémů bez dostatečného matematického porozumění detailům modelu, což téměř vždy vedek velmi podivným až špatným interpretacím výsledků. Proto v další části textu diskutujeme ivhodnost použítí jednotlivých modelů turbulence.Věřím, že tato práce dobře poslouží jako přehledná pomůcka pro ty, kdož by se chtěli pokoušeto matematické modelování proudění v mezní vrstvě atmosféry. Svým obsahem by měla zahrnoutpotřebné matematické a fyzikální vysvětlení a diskuzi použitých metod. Dále tato práce můžebýt zdrojem inspirace pro ty, kdo se chtějí dozvědět o možnostech praktického využití pokročilématematiky v problémech ochrany proudění v atmosféře či ochrany ovzduší. V příloze jsouuvedeny veškeré výstupy z modelování konkrétního krkonošského terénu.2

Kapitola 1Cíl práce a metodikaPokusme se nyní více precizovat metodiku a cíl této práce. V tak široké problematice, jakou jematematické modelování, je to více než nutné pro přesné pochopení toho, čemu se v této prácivěnujeme.Nejprve definujeme základní aspekty problematiky ochrany ovzduší. Tato část práce je důležitápro motivaci k následné podrobné analýze proudění a konkrétním výpočtům. Cílem tétočásti je velmi stručný přehled problémů ochrany ovzduší a srovnání různých vlivů s ohledem nato, jak se uplatňují dnes oproti minulosti a jak se naopak situace bude vyvíjet do budoucna sohledem na plánované změny ve struktuře energetiky apod.Dále je našim cílem pečlivě sestavit obecný systém rovnic, které popisují problémy prouděnív mezní vrstvě atmosféry. Neklademe při tom důraz na detailní matematickou preciznost, neboťto by skutečně rozsahem i tématem přesahovalo rámec této práce, ale cílem je, aby čtenáři bylojasné, jak vzniknul nejobecnější systém rovnic. Důkazy konkrétních tvrzení jsou dále k prostudovánív citované literatuře, která je více matematicky zaměřená. Při důsledném dokazováníveškerých tvrzení bychom při formulaci našeho problému došli velmi rychle až k Jarníkovýmbiblím matematické analýzy. Z této práce by mělo být objasněno, jak lze dále obecnou soustavurovnic, kterou nejsme schopni ani numericky řešit, zjednodušit a tím dále postoupit numerickýmmetodám. Tato práce poskytuje poměrně obsáhlý výčet základních zjednodušujících metod,které jsou podrobně popsány.Stejně tak si klademe za cíl rozebrat teoreticky různé modely turbulence, což je z matematickéhohlediska problematika také značně obsáhlá a hlavně stále kompletně nedořešená. Nicméněv matematickém modelování proudění v mezní vrstvě atmosféry se musíme o nějakou formulaciturbulentního proudění pokusit, neboť při proudění nad reálnými terény a navíc v zajímavýchtopografiích je turbulence velmi významný fenomén.Dále je našim cílem popsat detailně metodiku řešení transportu pasivní přímesi. Tato problematikaje obecně velmi zajímavá a je nutno ji v této práci prodiskutovat, neboť dle oficiálnímetodiky SYMOS, která by měla sloužit v technických aplikacích pro řešení transportu přímesije založen na gaussovském modelu rozptylu, jehož předpoklady jsou velmi svazující pro většinureálných problémů. Porovnáme tedy v práci model gaussovský s pohledem lagrangeovským čis nejmodernějším postupem, který je zahrnut například i v softwaru Fluent a tím je příméeulorovské modelování pasivní přímesi.V neposlední řadě chceme v této práci popsat metody tvorby výpočtových sítí a zadáváníokrajových a počátečních podmínek. Tento praktický aspekt je v řešení praktických problémůdosti zásadní, takže mu v této práci budeme věnovat značnou pozornost. Uvedeme různé možnostitvorby výpočtové sítě, jejíž spodní hranice je tvořena reálným terénem. Porovnáme několik3

Kapitola 1: Cíl práce a metodikatypů výpočtové sítě z hlediska její hustoty či tvaru buněk apod. Jednotlivé druhy sítě následněporovnáme a zhodnotíme ve výsledcích výpočtu.Podrobněji prodiskutujeme také základní numerické metody používané při problémech proudění.V této části nechceme opět podat podrobný popis fungování pokročilých numerickýchmetod, ale spíše nastínit cesty, kterými se vydávají vývojáři numerických softwarů a alespoňsrovnat vhodnost využití různých numerických metod s důrazem na naši konkrétní aplikaci vsoftwaru Fluent.Nakonec budou prezentovány výsledky výpočtu, tedy grafické znázornění rychlostních, tlakových,hustotních, viskózních či turbulentních polí v různých pohledem a řezech a zejména prorůzné výpočtové sítě a počáteční meteorologické podmínky.Pokud jde o metodiku práce, tak můžeme celou práci rozdělit na teoretickou a praktickoučást. Část teroetická a její náplň byla vcelku podrobně rozvedena výše. Je pro tuto práci důležitýmnástrojem pro následný přechod k praktickému modelování s cílem dosáhnout výsledků,které mohou sloužit pro kvantitativní analýzu pro konkrétní území či srovnání různým modelůči výpočtových sítí.Pracovat budeme na jediném území o rozměrech 10x10 kilometrů. Na tomto terénu vytvořímeněkolik výpočtových sítí. Vytvořené síte bude možno rozdělit dle několika kritérií. Jednímz nich bude hustota jednotlivých výpočtových bodů. Při tvorbě sítě byla použita vzdálenostmezi body sítě 300 m, 200 m, 150 m, 100 m, 50 m a 25 m. Je to poměrně široká škálahustot sítě a ukážeme si na výsledcích, jaký vliv má hustota bodů na výsledky.Dalším kritériem je tvar výpočtových buňek. Sestavili jsme jednak sítě využívající hexagonálnízákladní buňky a dále pak sítě postavené na tetraedrickém základu. Dále jsme k tomutopřipočetli rozdíl v tom, zda u sítě byla či nebyla sestrojena tzv. mezní vrstva 1 .Máme tedy k dispozici několik různých výpočtových sítí a pokusíme se na nich provéstkompletní výpočet s co nejsložitějším systémem rovnic a počtem iterací. Tato část práce budesamozřejmě z praktického a časového hlediska nejvíce náročná, neboť každý z výpočtů trvalsám o sobě několik hodin. Při výpočtu experimentujeme u některých sítí se zadáním počátečníhoprofilu větru. Zajímá nás chování pole na území při různých směrech větru, které jsou vKrkonoších významné. Celkově uděláme výpočty pro 7 různých směrů větru.Takto vypočtené hodnoty veličin na sledovaném území nám poskytnou poměrně široké spektrumvýsledků pro jejich následnou analýzu.Budememe se zajímat o to, jaký typ sítě je prakticky vhodný, jaká je optimální hustotasítě a pro jaký druh aplikace, jak se vyvíjí výsledky modelu pro různé hodnoty počátečníhorychlostního profilu větru či nastavení modelu viskozity. Na všechny otázky tato práce odpoví.Obecně se snažíme nejvíce o to, aby práce pomohla nejen nahlédnout na praktické řešeníproblému, ale aby z ní témeř kdokoliv získal představu o tom, jaké předpoklady jsou nutné vzítv potaz při tvorbě modelu, odkud pochází použité systémy rovnic a jejich zjednodušení, podlejakých kritérií je tvořena výpočtová síť atd. Často se totiž bohužel v technické, přírodovědeckéči ochranářské praxi setkáváme se zajímavým jevem, že řešíme poměrně značně obtížné úlohypomocí velmi silných softwarových nástrojů, čímž dosáhneme jakýchsi výsledků, které následněinterpretujeme. Žel nezřídka se stává, že takovéto interpretace statistických či fyzikálních výsledků,které nejsou podloženy orientací ve fungování metod používaných softwarem, je poměrnězavádějící a někdy dokonce účelové. Tomuto jevu se chce tato práce vyhnout a naopak se snažíbýt pomůckou pro ty, kteří se dalšímu matematickému modelování chtějí věnovat. Snad se tentonejdůležitější cíl povede splnit.1 Více o této problematice bude rozepsáno v kapitole o tvorbě výpočtové sítě4

Kapitola 2Základní aspekty problematiky ochranyovzdušíNa tomto místě bude vhodné udělat několik krátkých motivačních poznámek k problematiceochrany ovzduší, pro kterou je náš matematický aparát velmi vhodným pomocníkem. Pokusmese však více nastínit o problematice v následujících bodech. V celé kapitole se budeme samozřejměvěnovat jen té části atmosféry, která je relevantní pro praktické aplikace, tedy uvažujmezejména tzv. mezní vrstvu atmosféry, která je součástí troposféry. Většinou se při definici těchtopojmů uvádí, že mezní vrstva sahá cca do 2km od povrchu Země. Smyslem pro její definici jepřítomnost konvekčních a hlavně turbulenčních pohybů způsobených jednak teplem, ale taképrouděním a následným třením o povrch atd.2.1 Zdroje znečištění ovzduší a jejich srovnáníMíra znešičtění ovzduší je vztahována většinou k míře tzv. emisí, případně imisí. Připomeňmezde jen, že emisemi myslíme látky, které jsou emitovány do atmosféry, zatímco imise jsou látkypřímo v atmosféře obsažené. Více o této problematice v pracech [36], [25], [44].Znečištění atmosféry můžeme rozdělit na plynné škodliviny, pevné částice a dále hovoříme io tzv. tepelném znečištění a v neposlední řadě také o radioaktivním znečištění.Mezi plyné škodliviny patří zejména skleníkové plyny, tedy oxid uhličitý CO 2 , metan CH 4 ,oxid dusný N 2 O a chlorfluorouhlovodíky, neboli freony, CF C. Dále jsou významnými znečišťovatelioxid siřičitý SO 2 a další oxidy síry SO x , oxidy dusíku NO x , oxid uhelnatý CO, sirovodíkH 2 S a čpavek NH 3 . Z uhlovodíků jsou to aldehydy, ketony a aromatické uhlovodíky, které jsousoučástí automobilových splodin.Zmiňme zde i jedno z nejproblematičtějších znečištění ovdzduší, které je tvořeno dibenzodioxiny,polychlorovanými dibenzodioxiny či polycyklickými aromatickými uhlovodíky. Tyto látkyse hojně vyskytují v blízkosti provozu chemiček, papíren, textilních továren a prakticky všudetam, kde se pracuje s chlórem. Nejzajímavějším problémem je samozřejmě spalování plastovýchodpadů, které v současné době neprodukují jen spalovny, které jsou však částěčně vybavenyfiltry a spalují podstatně efektivnějšími metodami, než všichni občané, kteří se rozhodnou šetřitna plynu, dřevu či uhlí a spalují podomácku PET lahve či další plasty. Tento druh znečištění jenyní velmi aktuálním problémem zejména českého venkova.Vysoce toxické látky tohoto typu však nejsou emitovány v plynné formě, neboť již v kouřovoduzkondenzují nebo přejdou do tuhého skupenství a sorbují se na emitované částice popílku5

Kapitola 2: Základní aspekty problematiky ochrany ovzdušíapod. Emise těchto látek tedy patří víceméně do kategorie tuhých znečišťujících látek, čímžmáme na mysli různé druhy popílku, sazí a prachové částice.U tepelného znečištění hrají významnou roli lidská sídla a poté lokální průmyslové zdrojetepla. Existují však i antropogenní ochlazovači atmosféry, mezi než patří zejména umělé vodnínádrže.U radioaktivního znečištěštění jde o množství radonu Rn, či dalších radioaktivních prvků,který se do atmosféry dostává z geologických podloží nejčastěji díky těžbě nerostů. Dále jesledována radioaktivita z úložišť odpadů, paliv, různých havárií a pokusných jaderných výbuchů.Pokud bychom znečištění ovzduší chtěli rozdělit podle původců, tak jednoznačně dostávámeprůmyslové podniky, energetické účely a také dopravu. Zmínit zde můžeme také zemědělství adomácnosti, ale v celkovém měřítku jsou obě položky řádově nižší než prvně jmenované.2.2 Způsoby řešení nejzásadnějších problémůUvěďme zde také několik zajímavých trendů z České republiky. Do roku 1990 jsme byli největšímsvětovým producentem oxidu siřičitého na obyvatele! Tento stav se díky odsíření provozů pomocímokré vápencové vypírky, či zdokonalení spalovacích technologií podařilo snížit na zhruba 10% původního stavu.Diskutovaným problémem jsou emise oxidů dusíku, které korelují přímo s rozvojem individuálníautomobilové dopravy. V blízkosti dopravních uzlů, zejména ve městech je tedy znečištěnítohoto druhu lokálně velmi významné. Tento problém je částečně řešen tzv. modernizací vozovéhoparku, neboť nové spalovací motory prokazují menší množství emisí. Uvědomme si však,že mnohem významnějším problémem, než samotné emise oxidů dusíku, jsou prachové částiceuvolňující se zejména z nákladních automobilů, na kterých jsou sorbovány vysoce toxické organickélátky, viz. předchozí odstavec. Obecně lze říci, že z hlediska zenčištění ovzduší nejsouproblémem plynné polutanty, ale tuhé částice.Za úvahu však stojí také zcela nový přístup k automobilismu, který není založen na využíváníropných produktů, tedy rozvoj elektromobilů, který už v těchto dnech nabývá obrovskéhorozvoje, například ve státě California v USA jde v současné době o boom elektromobilníchtechnologií, neboť tamní úřady motivují občany zajímavými dotačními prostředky ke koupi čistýchautomobilů. Situace je tedy dlouhodobě zajímavě řešitelná, otázkou zůstává, nakolik jsmeochotni ustoupit z využívání klasických spalovacích motorů. Tyto úvahy nebudeme dále rozvíjet,neboť přesahují rámec práce.Další významný problém jsou větší lokální topeniště na černé a zejména hnědé uhlí. Situace jena místní úrovni řešena různě. Nejčastější jde o využívání omezení spalovacího objemu, filtrováníemisí, optimalizaci spalovacího procesu. Všechna řešení jsou však jen dočasného charakteru aje těžko čekat jakékoliv zlepšení.Co se týká produkce skleníkových plynů, tak na našem území je nyní zaznamenám mírnýnárust. Z dlouhodobého hlediska je však Česká republika vcelku stabilním přispěvatelem skleníkovýchplynů do atmosféry. V současné době bude projednáván nový zákon umožňující prosazeníefektivnějších a čistších postupů v energetice, průmyslu i domácnostech. Návrh zákona se snažíkopírovat britský vzor, kde se podařilo novelou rozhýbat zkostnatělá energetická dogmata azačít omezovat zejména skleníkové plyny. Podrobněji opět nebudeme tyto úvahy rozebírat. Vícelze najít o těchto problémech na webových stránkách sdružení Arnika, Hnutí DUHA, Českéhohydrometeorologického ústavu.6

Kapitola 2: Základní aspekty problematiky ochrany ovzduší2.3 Různé metody modelováníUjasněme nyní, jaké postupy lze pod pojmem modelování vlastně myslet. V následujícím textuse nejvíce potkáme s pojemem matematické modelování, ale často budeme srovnávat výstupytaké s fyzikálním modelováním, takže je dobře na začátku více povědět o všech metodách. Poznamenejmevšak, že podrobněji je možno se o fyzikálním modelování a jeho principech dočíst vpracech [26] a [9]. Pokud hovoříme o modelování daného problému, máme tím na mysli popsáníproblému systémem rovnic. V případě proudění to je systém nelineárních parciálních diferenciálníchrovnic. Tento systém musí být uzavřený, tedy je nutno, aby počet rovnic souhlasil spočtem proměnných. Rovnice popisují základní fyzikální podstatu problému, tedy zákony zachování,termodynamické vztahy apod. Problém spočívá v jejich řešení, neboť jde o nelineárníparciální diferenciální rovnice, což je obecně problém řešitelný težko nebo spíše vůbec. Navícberme v úvahu komplikované počáteční a okrajové podmínky, které se v praktických aplikacíchvždy vyskytují. Vždyť například řešení obecné formy Navierových-Stokesových rovnic jezařazeno mezi 7 matematických problémů tisíciletí. Na řešení však můžeme nahlížet několikazpůsoby. Podívejme se podrobněji, jak tedy se soustavami parciálních diferenciálních rovnicnaložit.Explicitní řešeníNejprve se vždy musíme pokusit o vyřešení soustavy přesně. Jde tedy o nalezení explicitníhořešení, které není založeno na žádném zjednodušení rovnic, tedy zanedbáním členů, které zajistých podmínek zanedbat lze apod. Jde o skutečně přesné řešení kompletní soustavy. V případěproblémů proudění v mezní vrstvě atmosféry je však toto nemožné, vzhledem k nelineárnímuchování některých rovnic a zejména také ke komplikovaných počátečním a hlavně okrajovýmpodmínkám.Pokud snížíme požadavky a pokusíme se, přeci jen, najít explicitní řešení rovnic, za podmínkyznačného zjednodušení rovnic, dostáváme sice nějaká řešení, ale musíme si uvědomit, žetato jsou velmi vzdálena od praktické realizace problémů, takže je nazváženou, nakolik je užitečnétento postup aplikovat. Abychom řešení mohli nalézt je nutno například totálně zanedbadvnitřní tření v tekutinách, stlačitelnost reálných tekutin apod. Dostáváme následně už poměrněsnadno řešitelnou soustavu. Více o různých možných zanedbáních a aproximacích obecných rovnicbude uvedeno dále a vše bude podrobně naznačeno a odvozeno. Máme však samozřejmě ijiné možnosti, než hledání explicitního řešení.Matematické modelování - numerické metodyPokud bychom se snažili pracovat s nejobecnější formou rovnic, máme možnost sáhnout k poměrněmocným nástrojům, které poskytují výsledky numerické matematiky. Pomocí dynamickyse rozvíjející výpočtové síly počítačů, dokonce už i domácích PC, můžeme pokročit ke hledánípřibližných řešení některými z numerických metod. Toto odvětví matematiky je v současnédobě ve velkém rozvoji, což je způsobeno zvyšující se výpočtovou silou. Bohužel však i v tomtopřípadě neuspějeme s použitím nejobecnějších rovnic. Uvažujme například problém turbulence,který je obecně špatně formulovatelný, natožpak řešitelný. Dále uvažujme silnou nelinearitu vNavierových-Stokesových rovnicích, kde ani s nejsilnější výpočtovou silou nedostaneme řešenív konečném čase. A to ani nemluvě o komplikovaných topografiích. Je tedy nutno i v tomtopřípadě použít řadu aproximací. Více opět v následujících kapitolách. Kombinací numerických7

Kapitola 2: Základní aspekty problematiky ochrany ovzdušímetod a vhodných aproximací rovnic můžeme velmi efektivně dosáhnout výborných výsledků ipro komplikované praktické úlohy, kde jsou výpočtové sítě poměrně složité apod. Rozvoj zaznamenávái výpočetní software, který často v inženýrských aplikacích umožňuje problémy vcelkusnadno řešit. Je to však za cenu menší přesnosti, než při naprogramování softwaru tzv. namíru. Každý problém potřebuje jinou formulaci numerické metody apod. Více však v kapitoleo numerických metodách.Uveďme nakonec, že k hlavním výhodám matematického modelování, které využívá numericképostupy, je jeho přístrojová a tedy i finační nenáročnost, pokud tedy nepočítáme výkonýpočítač. Porovnejme tento fakt s tím, jaké vybavení musíme mít k řešení úloh metodami fyzikálníhomodelování.Fyzikální modelováníZcela jinou filozofii řešení problémů poskytují metody fyzikálního modelování. Ve zkratce jdeo způsob, jak fyzikální podmínky co nejvěrohodněji napodobyt modelem v malém měřítku.Okrajové a vlastně i počáteční podmínky jsou tedy sestrojeny mechanickým modelem. Poté jevyužit aerodynamický, nebo hydrodynamický tunel, který dokáže efektivně simulovat požadovanéproudění vzduchu, či vody přes sebevíce komplikovaný terén. existuje několik metod, jaktyto experimenty analyzovat. Uveďme pro příklad jako základní laserovou dopplerovskou anemometriiči laserovou optoakustickou detekční metodu. Více o těchto metodách je k nalezení vpráci [9].Výhodou a zároveň velkou nevýhodou fyzikálního modelování je nutnost pořízení robustníaparatury, kterou je aerodynamický tunel a detekční zařízení. Pokud už však tuto investici podnikneme,dostáváme do rukou nástroj, jak řešit problémy v malých i velkých měřítcích, problémynejkomplikovanějších orografií. Na druhou stranu můžeme snadno měnit drsnost povrchů, směryvětru atd. V této práci se však dále fyzikálním modelováním zabývat nebudeme.Přímé měřeníOd matematického modelování přes fyzikální modelování vede k výsledkům ještě jedna cesta,kterou je možno nazvat přímé měření. Jde v podstatě o nejvěrnější metodu, která spočívá vpraktickém měření skutečných hodnot přímo v požadovaném místě, tedy tzv. in situ metodou.Je však jasné, že tento způsob je v mnoha ohledech extrémně náročný až nepoužitelný. Pokudbychom chtěli dostat obdobnou informaci jako z matematického či fyzikálního modelování, muselibychom díky nestálosti podmínek v atmosféře mít přesně tolik měřících přístrojů, kolik jebodů ve výpočtové síti, což je poměrně náročný požadavek. Dobrou pomůckou jsou v tomtosmyslu distanční metody Lidar a Sodar. I tak se však in situ měření používá spíše pro ověřováníněkterých závěrů výše zmíněných modelů. Nehledě na omezené či spíše žádné možnostikvalitní predikce pomocí přímého pozorování.2.4 Způsoby aplikace matematického a fyzikálního modelovánív ochraně ovzdušíV této části zmiňme některé konkrétní problémy, které byly či jsou řešeny pomocí metod matematickéhoči fyzikálního modelování.8

Kapitola 2: Základní aspekty problematiky ochrany ovzdušíPokud jde o matematické modelování, tak jeho aplikace je namístě vždy, pokud je v našichsilách zadaný problém formulovat matematicky tak, že umíme v rozumném čase nalézt přesné,nebo většinou přibližné řešení pomocí numerických metod. Jsou případy, kdy tato podmínkanení splněna. Jde zejména o případy kvalitního matematického modelování proudění v podzemníchvodách, kde je výpočtová složitost neskutečně vysoká a zatím nejsme většinou schopnidojít k uspokojivým výsledkům. Naopak pro úlohy transportu znečištění v mezní vrstvě atmosféryje situace mnohem lepší. Jde o to formulovat hranice a území problému, většinou pomocídigitálního modelu terénu, dále zvolit okrajové podmínky a zvolit co nejpřesnější matematickouformulaci úlohy. Použitím numerických metod dostáváme hledané pole proudění, pole tlakovéči pole koncentrační pro šíření znečištění. Limitující podmínkou bývá složitost terénu a rozsahúzemí. Nejsme samozřejmě schopni při velké přesnosti výpočtové sítě modelovat situaci naúzemí o rozměrech stovek kilometrů. Většinou se jedná o menší měřítka.Skupina zabývající se matematickým modelováním působící na Fakultě strojní ČVUT súspěchem modelovala proudění v kaňonu Vltavy v blízkosti Tróji. Dále aplikuje metody prokomerční zakázky v případě uhelných dolů, kdy je modelováno znečištění prachovými částicemia testuje se vhodnost různých teréních úprav, zdí, výšek komínů, výsadeb stromů apod. na spádprachu na obývané území apod. S úspěchem kolegové s Fakulty strojní modelovali intoxikaci polívedených v evidenci jakožto pozemky, kde hospodaří ekologičtí zemědělci, chemickými postřikys nedalekých pozemků. Je vidět, že škála problémů, které matematické modelování pomáhá řešitje celá řada. Velmi často je však používano v kombinaci s modelováním fyzikálním a výslednézávěry poté pocházejí z vhodného přihlédnutí k oběma metodám.Fyzikální modelování je nejčastěji užíváno v případech extrémně náročných terénů, nebov případech, kdy je vyžadována velká přesnost, co do rozlišení výpočtových sítí, s čímž bymatematický model měl výrazné problémy. Jde zejména o modelování proudění či transportuznečištěštění v městské zástavbě, jakožto liniový zdroj v konkrétních ulicích, nebo jako plošnýzdroj v plánovaných sídlištích apod. Metod nejvíce používá Ústav termomechaniky AV, jehožpracovníkům se podařilo zlepšit situaci se znečištěním podhorské obce Jablonné v Podještědí,kde díky výsledkům fyzikálního modelování, které prokázalo nadlimitní emise některých splodin,byla prosazena změna v systému vytápění domácností a zejména pozměněn provoz přilehlýchtováren. Kombinace fyzikálního a matematického modelování je používána např. v řešení problémuStřáže pod Ralskem, kde je modelováno znečištění podzemních vod pocházející s bývalétěžby uranu chemickou metodou.Příkladů vhodného užití by byla celá řada. Uvedli jsme zde jen některé, které snad pomohlyáíiokujasnit představu o možných aplikacích pokročilé matematiky či fyzikálních metod.2.5 Problematika ochrany ovzduší v oblasti východníchKrkonošKrkonoše obecně vždy čelily vlivu emisí pocházejících z tepelných elektráren v Pardubickéma Královehradeckém kraji, zejména však ze zdrojů umístěných u severních sousedů v Polskua Německu. Podobná situace však panuje i v sousedních Jizerských horách. V současné dobětyto emise doznaly výrazného útlumu díky odsiřovacím technologiím a částečného omezení provozuzmíněných zařízení. Nelze tedy hovořit z tohoto pohledu o nějakém typickém výraznémznečišťovateli krkonošské oblasti na lokální úrovni.Problémem samozřejmě zůstávají podniky v Hradci Králové, které svou činností oblast východníchKrkonoší ovlivňují. Dále zmiňme provozy v Náchodě a elektrárnu v Trutnově. Míra9

Kapitola 2: Základní aspekty problematiky ochrany ovzdušíovlivnění emisemi záleží na meteorologických podmínkách a nejvíce na směru a intenzitě proudění.Jako mnohem zásadnější však v současné době lze vnímat lokální znečištění v horskýchobcích, které pochází z domácího spalování nekvalitních topiv, jako hnědé uhlí či kaly a zejménaplatových hmot. Toto znečištění je často na lokální úrovni tak vysoké, že v některých krkonošskýchúdolích je ovzduší horší než ve větších městech.10

Kapitola 3Matematický model proudění tekutinPokusme se v této kapitole formulovat obecný popis problému proudění v mezní vrstvě atmosféry.Budeme postupovat částečným odvození tzv. základní sady rovnic, které vyjadřujízákladní fyzikální skutečnosti - například rovnice kontinuity vyjadřuje zákon zachování hmoty,Navierovy-Stokesovy rovnice vyjadřují v podstatě zákon zachování momentu hybnosti atd. Prozačátek uvažujme prouděšní jako laminární. Podmínky turbulentího proudění zformulujeme vdalších kapitolách.3.1 Základní sada rovnicChování tekutiny popisujeme parciálními diferenciálními rovnicemi, které vyjadřují zákony zachovánía termodynamické vlastnosti tekutiny. Uvažujme případ laminárního, vazkého, stlačitelnéhoproudění a zaveďme základní rovnice pro popis tohoto proudění. Výsledkem budesoustava rovnic, které následně budeme aplikovat pro modelování v mezní vrstvě atmosféry.Rovnice kontinuityTato rovnice vyjadřuje zákon zachování hmoty. Označme čas t, polohový vektor x = (x, y, z),vektor parciálních derivací podle souřadnic ∇ = ( ∂ , ∂ , ∂ ). Uvažujme hustotu ϱ = ϱ(x, t)∂x ∂y ∂zproměnnou v prostoru a čase a rychlost u = (u, v, w).Pro důkladnější odvození budeme potřebovat transportní teorém, který je více rozebránnapříklad v práci ([41]).Věta 3.1.1 Transportní teorém.Nechť je funkce F dána jako F : M(T 1 , T 2 ) ↦−→ R, kdeM(T 1 , T 2 ) = {(x, y, z, t) ∈ R 4 : t ∈ (T 1 , T 2 ), (x, y, z) ∈ Ω t }.Nechť dále pro t 0 ∈ (T 1 , T 2 ), ω(t 0 ) je omezená oblast, pro kterou platí ω(t 0 ) ⊂ Ω t0 .Pro rychlosti u i platí u i ∈ C 1 (M).Potom existuje interval (t 1 , t 2 ) ⊂ (T 1 , T 2 ), pro který, za předpokladu spojitosti a omezenostiprvních derivací funkce F na oblasti M platí:∀t ∈ (t 1 , t 2 ) existuje konečná derivace F a lze ji vyjádřit ve tvaru∫∫ (d∂FF dx =dt ω(t)ω(t) ∂t + ∂F u )idx (3.1)∂x i11

Kapitola 3: Matematický model proudění tekutinkterý dosadíme do rovnice (3.19) a dostáváme tvar rovnici pro transport příměsi∂(ϱC)∂t+ ∂(ϱCu i)= ∂ (ϱD ∂C )+ ϱf (3.22)∂x i ∂x i ∂x iNakonec přepišme ještě zdrojový člen ϱf pomocí častěji používaného Φ c , takže konečnárovnice má poté tvar uvedený v rovnici(3.27).3.2 Shrnutí výchozích rovnic obecného modeluShrňme tedy přehledně základní rovnice popisující laminární, vazké, stlačitelné proudění newtonovskétekutiny.1. Rovnice kontinuity2. Pohybová rovnice∂ϱ∂t + ∂(ϱu i)= 0, (i = 1, 2, 3) (3.23)∂x i∂(ϱu i )∂t+ ∂(ϱu iu j )∂x j= − ∂p + ∂ (λ ∂u )k+ ∂ [ ( ∂uiµ + ∂u )]j+ ϱf i , (i = 1, 2, 3)∂x i ∂x i ∂x k ∂x j ∂x j ∂x i(3.24)3. Rovnice energie4. Stavová rovnice( )∂θϱc p∂t + u ∂θj∂x j= ∂ ( )∂θK T + ∂R , (i = 1, 2, 3) (3.25)∂x k ∂x k ∂x i5. Rovnice transportu∂(ϱC)∂tp = ϱRT (3.26)+ ∂(ϱCu i)= ∂ (ϱD ∂C )+ Φ c (3.27)∂x i ∂x i ∂x iTyto rovnice tvoří systém, který se v nejrůznějších zjednodušeních používá pro praktickéřešení modelování proudění. V dalším textu zavedeme několik základních úprav a aproximací,které s modelováním proudění tekutin souvisí. Zaměříme se přitom již zejména na popis modelováníatmosféry a mezní vrstvy atmosféry.15

Kapitola 4Systémy rovnic a jejich aproximace4.1 Rovnice stlačitelného prouděníPopišme si nejprve obecnější případ laminárního, vazkého, stlačitelného proudění v mezní vrstvěatmosféry. Pro tento případ potřebujeme k popisu použít úplný systém Navierových-Stokesovýchrovnic, viz [7], str. 2. Tento systém zapíšeme přehledně pomocí vektorového zápisu pro 2-Dpřípad takto∂∂t W + ∂∂x F + ∂ ∂z H = ∂∂x R + ∂ T, (4.1)∂zkde vektory mají složkyW = (ϱ, ϱu, ϱw, e) T ,F = (ϱu, ϱu 2 + p, ϱuw, u(e + p)) T ,H = (ϱw, ϱuw, ϱw 2 + p, w(e + p)) T ,R = (0, τ 11 , τ 12 , τ 11 u + τ 12 w + K T θ x ) T ,T = (0, τ 21 , τ 22 , τ 21 u + τ 22 w + K T θ z ) T ,a dále e je celková energie v jednotce objemu, θ x a θ z jsou parciální derivace potenciální teplotypodle x a z a τ ij je tenzor obsahující viskózní část tenzoru napětí, který je dle (3.5) dán vztahemτ ij = 2µd ij .Situaci zjednodušíme uvažováním adiabatičnosti a Boussinesqovy aproximace (viz níže),čímž dostáváme soustavu pro laminární, vazké a stlačitelné proudění, kde se neuvažuje rovniceenergie a pravá strana je zjednodušená na tzv. nestlačitelné proudění:∂ϱ∂t + ∂ϱu∂x + ∂ϱw∂z∂ϱu∂t + u∂ϱu ∂x + w ∂ϱu∂z∂ϱw∂t+ u ∂ϱw∂x + w ∂ϱw∂z= 0, (4.2)= − ∂p ( ∂ 2 )∂x + ϱν u∂x + ∂2 u+ 1 2 ∂z 2 3 ϱν ∂ ( ∂u∂x ∂x + ∂w )∂z= − ∂p∂z − ϱg + ϱν ( ∂ 2 w∂x 2 + ∂2 w∂z 2 )+ 1 3 ϱν ∂ ∂z( ∂u∂x + ∂w∂z)V této soustavě je ν = ν(T ), dynamická viskozita závislá na teplotě. Platí samozřejměstavová rovnice (3.9). Dále je nutné určit vztah mezi proměnnými u, v, ϱ a p v rovnicích (4.2).Tyto rovnice mohou být dále zjednodušeny přechodem k tzv. nestlačitlenému proudění.16

Kapitola 4: Systémy rovnic a jejich aproximace4.2 Rovnice nestlačitelného prouděníDále postupujme s popisem modelů nestlačitelného proudění. Jde o jednu z nejzákladnějšíchaproximací v modelování chování tekutin, která se používá zejména pro modelování prouděníatmosféry, neboť předpoklad nestlačitelnosti v tomto případě není závažnou chybou, viz [26].Většinou se proudění považuje za nestlačitelné, pokud jeho hustota je v průběhu pohybukonstantní ve všech infinitezimálních částech tekutiny a to i přesto, že dochází například kezměnám tlaku. Upravme rovnici kontinuity (3.3) na následující tvar∂ϱ+ u · ∇ϱ + ϱ∇ · u = 0, (4.3)∂tpřitom pokud je hustota konstantní, tak její časové i prostorové derivace jsou nulové, takžev tomto případě se rovnice kontinuity (4.3) redukuje na tvar∇ · u = 0, (4.4)V tomto případě bychom mohli zavést i často užívanou identitu, která bývá nazývána Eulerůvvztah, a zavádí pojem úplné derivace podle času symbolem d , která se dá dle Eulerova vztahudtrozepsat jakoddt = ∂ + (u · ∇). (4.5)∂tObecně však není možné považovat hustotu za konstatní funkci. Předpoklad nestlačitelnostispočívá v tomto případě v tom, že hustota je nezávislá na tlaku a platí vztah (4.4), takže rovnicekontinuity se zjednodušší na tvar∂ϱ+ u · ∇ϱ = 0. (4.6)∂tTakto zadaná rovnice kontinity je nejčastějším způsobem zadání průběhu hustoty pro případtzv. stratifikovaného proudění, jak se dočteme například v práci [30].Uveďme konkrétní systém rovnic řešící dvojrozměrné proudění v mezní vrstvě atmosféry.Uvažujme osu x jdoucí ve směru proudu a osu z kolmou k povrchu. Máme tedy u = (u, w)jako vektor rychlosti, ϱ 0 je hustota, která je konstantní, p je tlak, ν kinematická viskozitaa g gravitační zrychlení. Nejčastěji používaný model laminárního, vazkého a nestlačitelnéhoproudění v mezní vrstvě atmosféry je založen na následujících rovnicích∂u∂x + ∂w∂z∂u∂t + u∂u ∂x + w ∂u∂z∂w∂t + u∂w ∂x + w ∂w∂z= 0, (4.7)= − 1 (∂p ∂ 2 )ϱ ∂x + ν u∂x + ∂2 u, 2 ∂z 2 (4.8)= − 1 (∂p ∂ 2 )ϱ ∂z − g + ν w∂x + ∂2 w. 2 ∂z 2 (4.9)Pokud potřebujeme modelovat systém s většími změnami energie, je nutno k tomuto systémupřidat ještě rovnici energie (3.8) zapsanou pro teplotu nebo pro potencialni teplotu.V našem případě půjde o tzv. nízkorychlostní proudění o rychlostech 2 − 10 m · s −1 , které sevyznačuje nízkými hodnotami Machova čísla, M a = 10 −1 − 10 −2 , a naopak vysokým Reynoldsovýmčíslem, Re = 10 8 − 10 9 .17

Kapitola 4: Systémy rovnic a jejich aproximaceJe několik možných modifikací zadání rovnice kontinuity. Jednou z nich je přidat následujícírovnici∂ϱ∂t + u ∂ϱ∂x + w ∂ϱ = 0, (4.10)∂zkterou lze interpretovat jako rovnici přenosu hustoty.Je vidět, že rovnice (4.7) a (4.10) jsou vlastně jen přepsáním rovnice kontinuity v nestlačitelnémproudění (4.6), přičemž poznamenejme, že rovnice (4.10) je typická rovnice hyperbolickéhotypu.K rovnicím (4.7)-(4.10)se přidává stavová rovnice (3.9), která určuje vztah mezi hustotou astavovými veličinami.Dále použijeme např. Boussinesqovu aproximaci, kde hlavní část proudového pole splňujerovnici hydrostatické rovnováhy, viz níže.4.3 Aproximace mělké vodyAproximace mělké vody, nebo též shallow water equations, je často používanou aproximací rovnicekontinuity, která vychází z představy, že se hustota atmosféry mění s výškou jako důsledekstlačitelnosti, ale v horizontální rovině jsou změny v uvažované omezené oblasti relativně malé.Okamžitou hustotu ϱ lze proto rozložit na dvě složkyϱ(x, y, z) = ϱ 0 (z) + ϱ ′ (x, y, z), (4.11)kde ϱ 0 (z) je horizontálně homogenní složka hustoty, která se mění s výškou, ϱ ′ (x, y, z) pak značíporuchu této homogenity. Pro měrný objem můžeme provést obdobnou úvahuRovnici kontinuity (3.3) lze tak přepsat dle [26] na tvarOznačíme-li levou stranu rovnice H −1αα(x, y, z) = α 0 (z) + α ′ (x, y, z) (4.12)1 dα 0α 0 dz = 1 (∇ · u) (4.13)wa pravou stranu L −1z , potom veličina H α charakterizujerozměr změny hustoty a L z rozměr změny rychlosti. Charakteristický rozměr změny rychlosti,který lze odhadnout rozměrem mezní vrstvy atmosféry H α ≈ 1 km, je v atmosféře mnohemmenší než rozměr změny hustoty L z ≈ 8 km, což je výška, ve které zaznamenáváme výraznézměny hustoty. Platí tedyL z ≪ H α (4.14)a rovnici (4.13) přejde do jednoduchého tvaru∇ · u = 0, (4.15)který můžeme chápat tak, že se mezní vrstva atmosféry chová jako nestlačitelná tekutina skonstatní hustotou.Uveďme opět konkrétní systém rovnic pro popis proudění v mezní vrstvě atmosféry. Aproximacemělké vody se používá zejména pro 2-D případy proudění. Uvažujme stejně jako v případěnestlačitelného proudění osu x jdoucí ve směru proudu a osu z kolmou k povrchu, u = (u, w)18

Kapitola 4: Systémy rovnic a jejich aproximacevektor rychlosti, ϱ 0 hustota, p je tlak, ν kinematická viskozita a g gravitační zrychlení. Modellaminárního, vazkého proudění v aproximaci mělké vody pro mezní vrstvu atmosféry je založenna následujících rovnicích∂u∂x + ∂w∂z∂ϱ∂t + w ∂ϱ 0∂z∂u∂t + u∂u ∂x + w ∂u∂z∂w∂t + u∂w ∂x + w ∂w∂z= 0, (4.16)= 0, (4.17)= − 1 (∂p ∂ 2 )ϱ ∂x + ν u∂x + ∂2 u, 2 ∂z 2 (4.18)= − 1 (∂p ∂ 2 )ϱ ∂z − g + ν w∂x + ∂2 w. 2 ∂z 2 (4.19)4.4 Aproximace hluboké vody - anelastická aproximacePokud neuvažujeme proudění za nestlačitelné ve smyslu aproximace mělké vody, tedy pokuduvažujeme místo vztahu (4.14) porovnánítak rovnici kontinuity (3.3) přepisujeme naL z ∼ H α (4.20)∇ · (ϱu) = 0 (4.21)Takové přiblížení nazýváme aproximací hluboké vody, resp. anelastickou aproximací. Kompletnísystém rovnic, které popisují dvojrozměrné proudění v anelastické aproximaci je tedy,∂ϱu∂x + ∂ϱ 0w∂z∂u∂t + u∂u ∂x + w ∂u∂z∂w∂t + u∂w ∂x + w ∂w∂z= 0, (4.22)= − 1 (∂p ∂ 2 )ϱ ∂x + ν u∂x + ∂2 u, 2 ∂z 2 (4.23)= − 1 (∂p ∂ 2 )ϱ ∂z − g + ν w∂x + ∂2 w. 2 ∂z 2 (4.24)4.5 Hydrostatická aproximaceJe-li vzduch vůči zemi v relativním klidu a všechny síly působící ve vertikálním směru jsouzanedbatelné vůči síle tíhové, hovoříme o tzv. hydrostatické rovnováze. Rovnice (3.7) se vevertikální směru redukuje dle [26] na∂p= −ϱg (4.25)∂zTato aproximace se využívá v dalším textu např. při aplikaci Boussinesqovy aproximace, prosamostatný popis mezní vrstvy atmosféry se však příliš nehodí, neboť představuje pouze hrubépřiblížení. Nebudeme zde vypisovat celý systém rovnic, neboť je stejný jako v předchoyzíchpřípadech, jen pohybová rovnice (3.7) se změní ve vertikálním směru na tvar (4.25).19

Kapitola 4: Systémy rovnic a jejich aproximace4.6 Boussinesqova aproximacePředpokládejme dle [26], že:1. termodynamický stav atmosféry je blízký stavu hydrostatické rovnováhy (4.25), kterýbudeme nazývat referenčním stavem značeným dolním indexem 02. vertikální odchylky hustoty, tlaku a potenciální teploty jsou vůči referenčnímu stavu malé3. Machovo číslo M a charakterizující vliv stlačitelnosti dosahuje malých hodnotNásledně můžeme, obdobně jako v aproximaci mělké vody, hustotu, tlak a potenciální teploturozložit na referenční složku a odchylkuϱ(x, y, z) = ϱ 0 (z) + ϱ ′ (x, y, z),p(x, y, z) = p 0 (z) + p ′ (x, y, z), (4.26)Θ(x, y, z) = Θ 0 (z) + Θ ′ (x, y, z).Z předpokladu 2. vyplývá pro odchylky od referenčního stavuPro referenční tlak p 0 platí rovnice hydrostatické rovnováhyϱ ′ϱ 0, p′p 0, Θ′Θ 0≪ 1 (4.27)∂p 0∂z= −gϱ (4.28)Zapišme nyní pohybovou rovnici ve vertikálním směru∂w∂t + u · ∇w = − 1 ϱ 0∂p∂z − g + 1 ϱ 0∇(µ∇w). (4.29)V této rovnici můžeme dosadit do prvních dvou členů na pravé straně z rovnic (4.26), takžetyto členy pak vypadají− 1ϱ 0 + ϱ ′ ∂∂z (p 0 + p ′ ) − g = − 1ϱ 0 + ϱ ′ ∂p 0∂z − g − 1ϱ 0 + ϱ ′ ∂p ′∂z . (4.30)Nyní dosaďme na pravé straně za p 0 z rovnice hydrostatické rovnováhy (4.28). Dostávámetak výrazcož můžeme jednoduše upravit na− gϱ 0ϱ 0 + ϱ ′ − g − 1ϱ 0 + ϱ ′ ∂p ′∂z , (4.31)ϱ ′−gϱ 0 + ϱ − 1 ∂p ′′ ϱ 0 + ϱ ′ ∂z . (4.32)Dále uvážíme, že člen ϱ ′ ≪ ϱ 0 , takže jej v obou jmenovatelých zanedbáme a dále pokudvzpomeneme na definici potenciální teploty (3.12) a stavovou rovnici (3.9), takže platí− ϱ′ϱ 0= θ′θ 0, (4.33)20

Kapitola 4: Systémy rovnic a jejich aproximacedostáváme takRovnici (4.29) tedy přepíšeme do tvaru− 1 ϱ 0∂p ′∂z + g θ′θ 0. (4.34)∂w∂t + u · ∇w = − 1 ϱ 0∂p ′∂z + g θ′θ 0+ 1 ϱ 0∇(µ∇w), (4.35)kde druhý člen na pravé straně je nazýván vztlakový člen, který velice úzce souvisí s charakteremstability v mezní vrstvě atmosféry. Připišme zbývající pohybové rovnice∂u∂t + u · ∇u = − 1 ∂p ′ϱ 0 ∂x + 1 ∇(µ∇u) + Ω 0 v,ϱ 0(4.36)∂v∂t + u · ∇v = − 1 ∂p ′ϱ 0 ∂y + 1 ∇(µ∇v) − Ω 0 v.ϱ 0(4.37)Velice podobně můžeme odvodit rovnici energie zapsanou pro potenciální teplotu a takérovnici transportu přímesi∂c p θ ′+ u · ∇c p θ ′∂t= − 1 ∇( K T),ϱ 0 c p(4.38)∂C∂t + u · ∇C = − 1 ∇(ϱ 0 K C ∇C).ϱ 0(4.39)Systém rovnic uzavírá vhodná rovnice kontinuity, kterou zde uvedeme například v anelastickémtvaruu ∂ϱ 0u∂x+ v ∂ϱ 0v∂y+ w ∂ϱ 0w∂z= 0. (4.40)Zapsali jsme tedy systém rovnic, který popisuje 3-D laminární, vazké proudění v anelastickéaproximaci s Navier-Stokesovými rovnicemi zapsanými v Boussinesqově aproximaci.Boussinesqova aproximace je používána téměř při všech modelovaných situacích v meznívrstvě atmosféry a to jak pro stlačitelné, tak pro nestlačitelné proudění a pro modely různýchměřítek.4.7 Okrajové podmínkyMatematické modelování proudění se realizuje tak, že příslušné pohybové rovnice jsou numerickyřešeny na zadané omezené oblasti. Pro tyto účely je tedy nutno systém pohybových rovnicdoplnit o tzv. okrajové podmínky, které určují chování systému na jeho hranicích.Vycházejme s představy, že oblast, ve které budeme řešit matematický model je omezenašesti stěnami. Vstupní stěna, dolní stěna, horní stěna, výstupní stěna a boční stěny. Konkrétnícharakter hranic však samozřejmě závisí na tom, o jakou fyzikální situaci se jedná. Na těchtohranicích nějakým způsobem zadáváme hodnoty tlaku, rychlosti, potenciální teploty a koncentracepasivní přímesi.21

Kapitola 4: Systémy rovnic a jejich aproximaceJako dolní stěnu budeme uvažovat zemský povrch, který bude specifikován funkcí z = h(x, y),která vyjadřuje nerovnosti a překážky na povrchu.U definice horní stěny budeme uvažovat podmínku konečné hloubky, kde uvažujeme prouděnív oblasti shora omezené pevnou hranicí, která se s časem nemění.Pokud hustota na horní stěně je nulová, pak nazýváme tuto hranici volná hladina a pokládámep = 0.Tlak se na vstupní stěně často extrapoluje z vnitřku oblasti, nebo se využívá toho, že je vpřízemní vrstvě téměř konstantní. Na dalších stěnách se však používá i zadání Dirichletovýmiči Neumannovými podmínkami.Rychlost se zadává mnoha různými způsoby v závislosti na situaci. Většinou se však navstupní stěně zadává nějaký vstupní rychlostní profil. Na zemském povrchu se předepisují podmínkyulpívání rychlosti, které jsou v případě vazkého proudění vyjádřeny pomocí tzv. no-slipconditions (viz níže) a v případě nevazkého se rychlost uvažuje jako tečná k povrchu. Na hornístěně se rychlost zadává většinou Neumannovými podmínkami, neboť pokud by byla explicitnězadána, mohlo by to mít za následek nežádoucí efekt, který by byl způsoben tím, že taktozadaná rychlost by horní stěně dala charakter jakési další mezní vrstvy. Na výstupní stěně abočních stěnách se používají Neumannovy nebo Dirichletovy okrajové podmínky.Potenciální teplota a koncentrace pasivní přímesi se zadávají Dirichletovými nebo Neumannovýmipodmínkami a záleží samozřejmě na modelované situaci.Zapišme nyní jako příklad konkrétnější okrajové podmínky pro modelování laminárního,vazkého, nestlačitelného proudění v obdélníkové oblasti mezní vrstvě atmosféry.1. Vstupní stěna - předepisujeme Dirichletovy podmínky pro všechny proměnné. Předpokládámetedy znalost tlaku p, složek rychlosti u, v a w, potenciální teploty θ a případně ikoncentrace příměsy C jako explicitně zadané funkce souřadnic (y, z). Pokud jde o počátečnípodmínky rychlosti, tak máme několik možností, jak zvolit vstupní rychlostní profil.• Konstantní rychlostní profil, kdy rychlosti (u, v, w) jsou zadány jako (u 0 , v 0 , w 0 ), příčemž,u 0 , v 0 a w 0 jsou konstanty.• Logaritmický rychlostní profil, kdy (u, v, w) = (u 0 ln(1 + z(e−1)c),v 0 , w 0 ), kde c je vertikální rozměr oblasti.• Ekmanova spirála, což znamená, že (u, √v, w) = (u 0 (1 − e −Az ) ·· cos(Az), v 0 e −Az sin(Az), 0), kde A = Ω 0 /2K, Ω 0 je Coriolisův parametr a K jekonstanta.2. Zemský povrch - potřebujeme podmínku pro rychlosti, zvanou no-slip condition, tedypodmínku ulpívání proudu, která dává u = 0, v = 0 a w = 0. Potenciální teplotu předepisujemeDirichletovou podmínkou. Pokud uvažujeme transport příměsy, tak na spodníhranici se neuvažuje usazování příměsy, tedy ∂C = 0, přičemž n je vektor normálový k∂npovrchu. V blízkosti povrchu platí také rovnováha mezi silou tlakového gradientu a silouCoriolisovou v horizontálním směru.3. Výstupní stěna - podmínky předepisujeme jako Neumannovy podmínkykde n je vektor normálový ke stěnám.∂u∂n = ∂v∂n = ∂w∂n = ∂C∂n = ∂θ∂n22= 0, (4.41)

Kapitola 4: Systémy rovnic a jejich aproximace4. Horní stěna - Pro rychlost a tlak jsou většinou předepisovány Dirichletovy okrajovépodmínky. Někdy se pro vertikální složku rychlosti používá Neumannova podmínka. Prokoncentraci a potenciální teplotu bývá použita Neumannova podmínka, ale potenciálníteplota může být zadána i Dirichletovou podmínkou.5. Boční stěny - Předepíšeme různé okrajové podmínky v závislosti na charakteru řešenéhofyzikálního případu.• Zadáme periodické podmínky pro tlak, rychlost, potenciální teplotu a případně koncentraci.• Předepíšeme Neumannovy podmínky, tedykde n je vektor normálový ke stěnám.∂p∂n = ∂u∂n = ∂v∂n = ∂w∂n = ∂C∂n = ∂θ∂n= 0, (4.42)• Použijeme Dirichletovy podmínky, tedy zadáme tlak, rychlost, potenciální teplotu akoncentraci jako funkce (x, z).23

Kapitola 5Základy modelování turbulentníhoprouděníVyskytují-li se v proudění tekutiny statisticky náhodné fluktuace, hovoříme o proudění turbulentním.Takové fluktuace si lze zjednodušeně představit jako chaoticky se pohybující víry různévelikosti uvnitř proudící tekutiny. Oproti proudění laminárnímu mají proudnice turbulentníhoproudění zcela nepravidelný tvar, rychle se mění s časem, protínají se a nelze je sledovat na většívzdálenosti. V mezní vrstvě atmosféry a ve spodní části troposféry se dle pozorování vyskytujeproudění výhradně turbulentní.Turbulentní proudění vzniká v proudící tekutině v případě, že setrvačné síly jsou dostatečněvelké ve srovnání se silami vazkého tření. Důležitou charakteristikou proudění je Reynoldsovočíslo Re, které při přechodu proudění z laminárního do turbulentního dosahuje určité kritickéhodnoty.Je obecně několik způsobů, jak můžeme popisovat turbulenci, přičemž k podrobnějšímupopisu problematiky doporučme práci [26]. Můžeme sestavit rovnice pro dynamické chovánítekutiny a modelovat přímo veškeré hodnoty veličin v prostoru. Tato metoda je nazývána přímánumerická simulace, neboli Direct Numerical Simulation (DNS) a nutno řící, že dosahujeskvělých výsledků. Bohužel je numericky i pro současné technologie extrémně náročná a tudížnenachází uplatnění tak často jako metody jednodušší.Jednodušším způsobem popisu turbulence je metoda velkých vírů, neboli Large Eddy Simulation.Tato metoda spočívá v rozdělení turbulentních pohybů na pohyby velkých a malýchměřítek. Pohyby velkých měřítek jsou popsány přímo Navierovými-Stokesovými rovnicemi apohyby malé jsou vhodně parametrizovány a to pomocí vyjádření tzv. turbulentní viskozity, okteréžto je více popsáno níže. Tato metoda je výpočtově mnohem příznivější, ale přesto je stáledosti náročná.Pro praktické účely se tedy nejčastěji používají tzv. statistické modely turbulence, kterépokládají chaotickou složku turbulence naprosto nefyzikálně za náhodnou. Je to velké zjednodušení,které je založeno na logickém úsudku, že pojmy chaotický a náhodný mohou mít častovelmi podobné důsledky. Statistický náhled zde popišme důkladněji.Pro snadnější popis turbulentního proudění budeme uvažovat, že libovolná studovaná fyzikálníveličina ψ se skládá z časově zprůměrované hodnoty ψ a složky ψ ′ , která kolem zprůměrovanésložky fluktuuje (složka turbulentní)ψ = ψ + ψ ′ , (5.1)24

Kapitola 5: Základy modelování turbulentního prouděnípřičemž platí dle [5]ψ = 1 tψ = 0, (5.2)∫ τ+t/2τ−t/2ψdτ, (5.3)kde τ je vhodně zvolený časový interval dostatečně velký, abychom získali reprezentativní středníhodnotu a zároveň nesmí být příliš velký, aby nedošlo k vyhlazení meteorologicky významnýchčasových změn studované veličiny.5.1 Pohybové rovnice turbulentního prouděníSložky pohybové rovnice turbulentního tření odvodíme dle [5] z pohybové rovnice (3.7). Nejprverozložíme tlak a rychlost vystupující v rovnici (3.7) dle konvence (5.1). Po časovém zprůměrování,uvážením Eulerova vztahu (4.5) a rovnice kontinuity (3.3) dostáváme při předpokladunestlačitelné tekutiny pro x-ovou složku rychlosti prouděnídūdt = −1 ∂ ¯pϱ ∂x + Ω 0¯v + ν ∂2 ū∂z + 1 ∂2 ϱ ∂x (−ϱu′ u ′ ) + 1 ∂ϱ ∂y (−ϱu′ v ′ ) + 1 ∂ϱ ∂z (−ϱu′ w ′ ), (5.4)přičemž pro složky tíhové zrychlení platí g x = g y = 0,g z = g. Analogicky lze upravit rovnicepro y-ovou a z-ovou složku rychlosti. Použijeme-li značení pro složky rychlosti (u 1 , u 2 , u 3 ), výrazyobsahující členy −ϱu ′ iu ′ j mají význam tečné síly vztažené na jednotku plochy a nazývámeje Reynoldosova napětí τ ij , která tvoří symetrický tenzor 2. řádu, tzv. Reynoldsův tenzornapětí definovaný vztahemτ ij = −ϱu ′ iu ′ j (5.5)Dosazením Reynoldsova napětí do námi výše odvozených Navierových-Stokesových rovnicdostáváme pohybovou rovnici ve tvarudū idt = −gδ i3 − 2Ω 0 ɛ ijk h j ū k − 1 ∂ ¯p+ϱ ∂x i∂ (ν ∂ū )i∂x j ∂x j− ∂( u ′ iu ¯ ′ j)(5.6)∂x jPoslední člen na pravé straně reprezentuje turbulentní tok hybnosti, který je reprezentovánvýše definovanými složkami Reynoldsova tenzoru.Sepišme na tomto místě ještě rovnice v konkrétním složkovém tvaru, tak jak jsme byli zvyklív kapitole o aproximacích rovnic. Dostáváme tedy s pomocí odvození v [6] soustavu∂ū∂t + ū∂ū ∂ū ∂ū+ ¯v + ¯w∂x ∂y ∂z= − 1 ∂ ¯pϱ ∂x + ∂ (∂x+λ¯v + 1 ϱν ∂ū∂x)+ ∂ (ν ∂ū )+ ∂ (∂y ∂y ∂z)(∂τxx∂x + ∂τ yx∂y + ∂τ zx∂zν ∂ū∂z)(5.7)∂¯v∂t + ū∂¯v ∂¯v ∂¯v+ ¯v + ¯w∂x ∂y ∂z= − 1 ∂ ¯pϱ ∂y + ∂ (∂x−λū + 1 ϱν ∂¯v∂x)+ ∂ (ν ∂¯v )+ ∂ (∂y ∂y ∂z)(∂τxy∂x + ∂τ yy∂y + ∂τ zy∂zν ∂¯v∂z)(5.8)25

Kapitola 5: Základy modelování turbulentního proudění∂ ¯w∂t+ ū∂¯w∂x+ ¯v∂ ¯w∂y+ ¯w∂ ¯w∂z= − 1 ∂ ¯pϱ+ 1 ϱ∂z + ∂ (ν ∂ ¯w )∂x ∂x(∂τxz∂x + ∂τ yz∂y + ∂τ zz∂z+ ∂ ∂y)(ν ∂ ¯w∂y)+ ∂ (ν ∂ ¯w )∂z ∂z(5.9)Tyto rovnice se nazývají Reynoldsovy středované Navierovy-Stokesovy rovnice (RANS) ajsou to základní vztahy pro zkoumání proudění v mezní vrstvě atmosféry. Při jejich podrobnějšímzkoumání zjistíme, že Reynoldsův tenzor je symetrický, což znamená, namísto 9 dalšíchneznámých složek obsahuje 6 nových neznámých pro naši soustavu. Hledání vztahů pro jejichurčení je problém, který bývá nazýván problém uzávěru a dále se o něm ještě podrobněji zmíníme.5.2 Problém uzávěruJak jsme se již zmínili analytické řešení základních rovnic pro proudění v mezní vrstvě atmosférynelze nalézt. Numericky jsou dané rovnice řešitelné pouze do té míry, pokud nám to dovolívýpočetní síla. Bohužel pro vysoká Reynoldsova čísla, což je konstanta vyjadřující míru turbulentníchpohybů, se modelování stane nerealizovatelným. Pro názornost uveďme příklad dle [6].Lze ukázat, že velikost Reynoldsova čísla přímo souvisí s poměrem měřítek výpočetní oblasti.Poměr velikosti největšího měřítka l max a nejmenšího měřítka l min je dán jakol maxl min≈ Re 3 4 (5.10)Znamená to tedy, že pro typickou hodnotu Reynoldsova čísla v mezní vrstvě atmosféryRe = 10 7 dostáváme poměr měřítek lmaxl min≈ 10 5 . Pro 3D výpočet tedy dostáváme přibližnouhustotu sítě 10 15 , což je výpočetně nereálně velké číslo.Je tedy nutno počítat s rovnicemi vystředovanými, kde jsou pohyby malých měřítek jaksiredukovány. Při pohledu na rovnice (5.7), (5.8) a (5.9) však vidíme, že přibylo neznámých. Jdeo členy u ′ iu ′ j, případně, pokud bychom středovali rovnici teploty, dostali bychom člen θ ′ u ′ j. Díkytěmto členům je náš systém neuzavřený. Je tedy nutno pro nové členy odvodit nové rovnice atím systém uzavřít. Pokusme se o tento postup. Vyjdeme z obecných Navierových -Stokesovýchrovnic, kde položíme pro formální zjednodušení viskozitu konstantní a objemové síly nulové.Rovnice upravíme vynásobením fluktuačními složkami rychlostí, sečtením a následným zprůměrováním.Pro zjednodušení zápisu definujme operátorℵ(u i ) = ∂u i∂t + u ∂u ii + 1 ∂p− ν ∂2 u i. (5.11)∂x k ϱ ∂x i ∂x k ∂x iS ohledem na výše uvedené předpoklady můžeme tedy Navierovy-Stokesovy rovnice napsatve tvaruℵ(u i ) = 0 (5.12)Nyní budeme postupovat dle výše naznačeného postupu, tedy přenásobení rovnic fluktuačnímisložkami, sečtení a středování. Dostáváme tak pro výpočet Reynoldsova tenzoru vztah:26

Kapitola 5: Základy modelování turbulentního prouděníNyní pro přehlednost rozepíšeme jednotlivé členy.Nestacionární člen:u ′ iℵ(u j ) + u ′ jℵu i = 0 (5.13)Konvektivní člen:u ′ ∂u ji∂t + ∂u iu′ j∂t∂(ū= u ′ j + u ′ j)i∂t= u ′ ∂ū ji∂t + u′ i∂u ′= u ′ ji∂t + u′ j= ∂u′ ju ′ i∂t= − ∂τ ij∂t∂u ′ j+ u ′ ∂(ū i + u ′ i)j∂t∂t + u′ j∂u ′ i∂t∂ū i∂t + u′ j∂u ′ i∂t(5.14)u ′ ∂u jiu k + u ′ ∂u i∂xju k = u ′k ∂xi(ū k + u ′ k )∂(ū j + u ′ j)+ u ′k ∂xj(ū k + u ′ k )∂(ū i + u ′ i)k ∂x k∂(ū= u ′ j + u ′ j) ∂(ūiū k + u ′∂xiu ′ j + u ′ j)kk∂x k+ u ′ iū k∂(ū i + u ′ i)∂x k+ u ′ ju ′ k∂(ū i + u ′ i)∂x k= ū k∂u ′ iu ′ j∂x k+ u ′ iu ′ ∂ū′ jk + u ′∂xju ′ kk∂ū′ i+ u ′ k∂x k∂u ′ iu ′ j∂x k= ū k∂τ ij∂x k− τ ik∂ū j∂x k− τ jk∂ū i∂x k+ ∂u′ k u′ iu ′ j∂x k(5.15)Tlakový gradient:1ϱ u′ iA jako poslední vazký člen:∂p+ u ′ ∂pj = 1 ∂(¯p + p ′ )∂x j ∂x i ϱ u′ i∂x j= 1 ∂ ¯pϱ u′ i+ 1 ∂(¯p + p ′ )ϱ u′ j∂x i∂p ∂ ¯p+ 1 ∂x j ϱ u′ i + 1 ∂x j ϱ u′ i + 1 ∂p ′∂x i ϱ u′ j∂x i= 1 ∂p ′ϱ u′ i + 1 ∂p ′∂x j ϱ u′ j(5.16)∂x iν(u ′ i)∂ 2 u j+ u ′ ∂ 2 u ij∂x k ∂x k ∂x k ∂x k∂ 2 (ū= νu ′ j + u ′ j)i+ νu ′ ∂ 2 (ū i + u ′ i)j∂x k ∂x k ∂x k ∂x k27

Kapitola 5: Základy modelování turbulentního proudění= ν ∂ (∂u ′ )u ′ ji∂x k ∂x k+ ν ∂∂x k(u ′ ∂u ′ ij∂x k)− 2ν ∂u′ i∂x k∂u ′ j∂x k= −ν ∂2 τ ij∂x k ∂x k− 2ν ∂u′ i∂x k∂u ′ j∂x k(5.17)Dáme-li nyní všechny tyto členy dohromady, dotáváme přímo rovnici pro Reynoldsův tenzor∂τ ij∂τ ij∂t + u ∂u j ∂u ik = τ ik − τ jk + 2ν ∂u′ i∂u ′ j∂x k ∂x k ∂x k ∂x k ∂x k+ 1 ∂pϱ u′ i + 1 ∂p ′∂x j ϱ u′ j + ∂u′ k u′ iu ′ j+ ν ∂2 τ ij(5.18)∂x i ∂x k ∂x k ∂x kZískali jsme tedy nyní rovnice pro neznámé členy Reynoldsova tenzoru. Pokud se podrobněpodíváme na strukturu výše uvedených rovnic, tak zjistíme, že jsme prakticky nic nevyřešili,neboť v námi odvozených rovnicích se vyskytuje při započtení všech symetrií celkem 22 dalšíchneznámých, které jsou vyjádřeny těmito členy1ϱ u′ iu ′ k u′ iu ′ j → 10 neznámých2ν ∂u′ i∂u ′ j→ 6 neznámých∂x k ∂x k∂p+ 1 ∂p ′∂x j ϱ u′ j → 6 neznámých∂x iTento fakt je názorným příkladem problému, který jsme již naznačili výše. Jedná se o problémuzávěru, který nelze řešit přidáváním rovnic pro neznámé členy. Vidíme tedy, že jde spíše o problémalgebraický, než fyzikální, neboť z fyzikálního hlediska není na metodách řešení problémuuzávěru nic nového. Takovouto neuzavřenou soustavu rovnic turbulentního proudění nazývámeKeller-Friedmanovy rovnice. Rovnice jsou typické tím, že jsou obecně řádu n a obsahujípřitom n + 1 neznámých. Jde nyní o to na nějaké úrovni zvolit rozumnou aproximaci novýchčlenů a tím systém uzavřít.5.3 Prandtlova teorie turbulentního přenosu hybnostiNejjednodušším řešením problému uzávěru je tzv. Prandtlova teorie turbulentního přenosu hybnosti.Praktické použití rovnic (5.7), (5.8) a (5.9) naráží na značné potíže při určování členůobsahujících Reynoldsova napětí. Proto je vhodné použít k vyjádření sil určitého přiblížení.Základem teorie je formální podobnost chaotického pohybu vírů v turbulentním proudění snáhodným termickým pohybem molekul v proudění laminárním. Vzhledem k této podobnostizavádíme analogicky k dynamickému koeficientu vazkosti µ daného vztahem ν = µ , tzv. koeficientyvýměny A xz a A yz (resp. koeficienty turbulentní difuze K xz = 1 a K ϱAxz yz = 1 )proϱAyzϱvertikální přenos x-ové a y-ové složky hybnosti pohybujících se vzduchových částicτ xz = −ϱu ′ w ′ = A xz∂ū∂z(5.19)28

Kapitola 5: Základy modelování turbulentního proudění∂¯vτ yz = −ϱv ′ w ′ = A yz (5.20)∂zPrandtl dále zavádí směšovací délku l jako analogii ke střední volné dráze molekul. Uvážímelitekutinu proudící průměrnou rychlostí ū ve směru osy x, dle Prandtlovy teorie představujesměšovací délka l xz ′ vzdálenost, kterou urazí studovaná vzduchová částice, než ztratí své vlastnostivlivem turbulentních fluktuací a splyne s okolím. Index xz znamená, že se jedná o přenosx-ové složky hybnosti ve vertikálním směru osy z. Studujme vzduchovou částici s turbulentnífluktuací rychlosti u ′ , která je z výchozí hladiny z, kde je zprůměrovaná rychlost horizontálníhoproudění rovna ū(z), turbulentním promícháváním vertikálně transportována do hladiny z +l xz,′v níž se smísí s okolím, tedy (dle [5])ū(z) + ū ′ = ū(z + l ′ xz) (5.21)z čehož odvodímeū ′ = ū(z + l xz) ′ − ū(z) ˙=l xz′ ∂ū(5.22)∂zZ podmínky kontinuity proudění vyplývá, že vertikální turbulentní fluktuace rychlosti w ′musí mít řádově stejnou velikost jako u ′ , avšak opačný směr tedy opačné znaménko. Z tétoúvahy dostáváme pro Reynosldsovo napětí τ ijτ zx = −ϱu ′ w ′ = ϱl ′2xz( ) 2∂ū(5.23)∂zZavedením střední kvadratické směšovací délky (l xz ) 2 = (l ′2xz) 2 můžeme vztah (5.23) přepsatτ zx = −ϱu ′ w ′ = ϱl 2 xz( ) 2∂ū(5.24)∂zPorovnáním této rovnice se vztahem (5.19) dostáváme vyjádření pro koeficienty turbulentnívýměny a difuze pomocí směšovací délkyA xz = ϱK xz = ϱlxz2 ∂ū∂z(5.25)Analogicky lze odvodit vztahy pro všechny tři složky hybnosti proudění, které jsou turbulentněpřenášeny podél všech tří os. Takto zavedené veličiny A ij a K ij tvoří tenzory 2. řádu. Pojemsměšovací délky byl v Prandtlovy teorii zaveden spekulativně, na základě formální analogies volnou dráhou molekul při termickém pohybu, proto jí nemůžeme vyjádřit jednoznačně auniverzálně na základě měření pro všechny případy stejně. Určení směšovací délky je důležitýmproblémem Prandtlovy teorie a její stanovení plyne z hypotézy o vyjádření směšovací délky, viz[5]. Zpravidla neuvažujeme tenzorový charakter veličiny, tzn. různé velikosti l v různých směrech.V přízemní vrstvě atmosféry silné několik desítek metrů je vhodnou hypotézou předpokladlineární závislosti l na vertikální souřadnici zl = κ(z + z 0 ), (5.26)kde κ představuje von Kármánovu konstantu (hodnota této bezrozměrné veličiny je různýmiautory udávána v rozmezí 0,36–0,41, viz [5]) a z 0 značí parametr drsnosti. Další vyjádření prosměšovací délku lze nalézt v [5].29

Kapitola 5: Základy modelování turbulentního proudění5.4 Používané modely turbulencePrandtlova teorie je bohužel poměrně slabým řešením problému uzávěru, neboť je založená naaplikaci vztahů z molekulové fyziky, které v tekutině platí na mikroskopických měřítcích, ale vmakroměřítku při jejich užívání dosti narážíme. Kromě nejjednoduššího modelu popsaného výšese však používá celá řada dalších. Vesměs všechny metody fungují na tom principu, že se snažímev systému Keller-Friedmannových rovnic parametrizovat, tedy přibližně vyjádřit momenty n+1řádu pomocí momentů alespoň o řád nižších. Tím poté dosáhneme uzavření soustavy rovnic aříkáme, že jsme dostali model turbulence n-tého řádu.Zaveďme nyní užitečné veličiny, které najdou uplatnění v dalším textu. Přímo z rovnic (5.7),(5.8) a (5.9), lze totiž kontrakcí tenzorů (tedy předpokladem rovnosti indexů i a j a přesčítánímpřes i = 1, 2, 3) dostaneme rovnici pro kinetickou energii fluktuačního pohybu ve tvaruk = 1 2 u iu i (5.27)Nebo komplikovanější úpravou můžeme z téhož odvodit rovnici pro disipaci energieɛ = ν 2∑i,j( ∂ui∂x j+ ∂u j∂x i) 2(5.28)Modelů prvního a druhého řádu byla odvozena celá řada, přičemž nejvhodnější se doposudzdají být modely druhého řádu, které můžeme rozdělit následovně:1. Uzávěr prvního řádu - Ty modely, kde korelace druhého řádu uvádíme ve vztahu skoeficienty turbulentní viskozity. Máme pak tyto varianty pro tento druh uzávěru:• Předpokládáme prostě, že momenty druhého řádu jsou nenulové konstanty.• Výše uvedená Prandtlova teorie, která je v podstatě příkladem algebraického uzávěru,kdy jsou momenty vyjádřeny pomocí algebraických vztahů jako (5.19) a (5.20).Celkem tento model obsahuje tedy šest rovnic (3 pro složky roychlostí a 3 pro momenty).• Přidáme jednu evoluční rovnici pro turbulentní kinetickou energii, tedy pro veličinuk, resp. její odmocninu, která má zřejmě charakteristický rozměr rychlosti. Toto jetzv. jednorovnicová metoda, která obsahuje celkem sedm rovnic.• Přidáme rovnice pro k i ɛ a dostaneme tak dvourovnicovou k − ɛ metodu. Modeltak obsahuje osm rovnic.2. Uzávěr druhého řádu - V tomto případě nahradíme v rovnicích (5.7), (5.8) a (5.9)neznámé korelace vhodným přiblížením, čímž dostaneme celkově 18 rovnic pro osmnáctneznámých.Metody se různě navzájem kombinují a trendem ve vývoji je zkoumat různé druhy turbulentníchpohybů a odhadnout pro daný typ turbulence ten nejideálnější model a tak se postupnědostávat k nějakému modelu, který by bylo možno považovat za univerzální, třebaže obecněuniverzální model v podstatě neexistuje. Velmi podrobně se dalšími modely zabývají práce [33],[34], [47] a také [45].Věnujme se nyní už jen výše zmíněnému dvourovnicovému k − ɛ modelu, který bývá používánnejčastěji, jakožto vhodný kompromis mezi potřebou přesnějšího popsání turbulence a na30

Kapitola 5: Základy modelování turbulentního prouděnídruhé straně limitujícím faktorem numerické náročnosti. Tento model už totiž vůbec nepoužívápoměrně zavádějící pojem směšovací délky. Turbulentní viskozita je určena vztahemk 2K = C µ (5.29)ɛCelkově tedy máme pro uzavřený k −ɛ model turbulence v mezní vrstvě atmosféry soustavu,která bývá aplikována nejčastěji v této formě 1 :∂u k= 0 (5.30)∂x k∂u i∂t + u ∂u ik = T gδ i3 − 1 ∂p− 2ɛ ijk Ω j u k −∂ ( ( K ∂ui+ ∂u ))k(5.31)∂x k T 0 ϱ ∂x k ∂x k 2 ∂x k ∂x i∂k∂t + u ∂kk = 1 ν ∂T ∂u kgδ i3 − τ ij − ɛ +∂ ( ) K ∂k(5.32)∂x k T 0 P r ∂x i ∂x k ∂x k P r ∂x k∂ɛ∂t + u ∂ɛ ɛk = c ɛ1∂x k k τij ∂u i ɛ 2− c ɛ2∂x k k + ∂ ( ) K ∂ɛ(5.33)∂x k Sc ∂x k∂T∂t + u ∂Tk = ∂ ( ) K ∂T(5.34)∂x k ∂x k P r ∂x k∂C∂t + u ∂Ck = ∂ ( ) K ∂C(5.35)∂x k ∂x k Sc ∂x kK = C µk 2kde užíváme pro některé konstanty nejčastěji hodnotɛ(5.36)c µ = 0.09, P r = 1, Sc = 1.3, c ɛ1 = 1.44, c ɛ2 = 1.92 (5.37)Tento model je velmi dobře aplikovatelný pro oblasti proudění bez výskytu větších překážek(horské hřebeny, stěny apod.). Pro použití na oblastech s výskytem těchto překážek je potřebak modelu dodat vhodné stěnové funkce, tak jak to činíme dále v rovnicích (8.1) a (8.2). Taktomodifikovaný model bývá označován jako Low-Reynolds Number model a podrobněji je oněm zmíněno zejména v práci [35] a částečně i v [26].1 Uveden je zde pro jednoduchost model předpokládající nestlačitelnost ve formě ϱ = konst. V námi počítanémkonkrétním případě však používáme model stlačitelný, tedy s rovnicí kontinuity v obecném tvaru (3.3)31

Kapitola 6Modelování transportu pasivní přímesiPři řešení transportu pasivní přímesi z nějakého zdroje do oblasti proudění je možno postupovathned několika způsoby. Historicky nejstarší a také nejjednodušší metodou je tzv. gaussovskýmodel rozptylu. Dále můžeme použít o řád složitější metodu založenou na Lagrangeověpopisu. Obě tyto metody jaksi dopočítávají prostorovou koncentraci kontaminantu až po vyřešeníprůběhu proudového pole rychlosti. Ve výpočtu pole však nefigurují. S tím je spojenajistá relativní nepřesnost a nedokonalost obou metod, která je však vykompenzována relativníjednoduchostí výpočtu. Ideální je však zahrnout do systému rovnic také transportní rovnici akoncentraci počítat přímo s proudovým polem. Tuto metodu, která je nazývána eulerovskéřešení pole koncentrace, dnes využívá naprostá většina softwarových nástrojů pro řešeníproudění v atmosféře. Podrobnější přehled modelování transportu lze najít v pracech [45] a[46]. Základům počítačového zpracování transportních problémů se hlouběji věnuje publikace[18]. Jednou z používaných metod je také tzv. statistické modelování transportu, které nacházíuplatnění v některých specifických aplikacích a kterému se blíže věnuje například práce [27].6.1 Gaussovský modelTento způsob výpočtu prostorového rozložení koncentrace pasivní příměsi je založen na aproximaci,že rozptyl kontaminantu ze zdroje probíhá dle gaussovy křivky, což není nic jiného nežexponenciální průběh. Explicitní tvary uvedeme níže. Důležitým zjednodušujícím předpoklademje v tomto případě stacionárnost. Gaussovský model není schopen zahrnout časové změnyparametrů proudění, což je také hlavní nevýhodou tohoto přístupu. Tato aproximace je velmiužitečná z toho důvodu, že je numericky velmi nenáročná. Stači v podstatě jen dosadit do poměrněkomplikované, ale nediferenciální rovnice. Lehce se situace zkomplikuje požadujeme-livýpočet pro plošný či liniový zdroj namísto zdroje bodového.Vzhledem ke zjednodušením, které bereme v úvahu při výpočtu gaussovskou metodou, musímevýsledky takto dosažené podle tohoto také interpretovat. Gaussovská metoda výpočtukoncentrace se používá zejména pro odhad dlouhodobých hodnot koncentrace, kde si vystačímes průměrnými hodnotami, které z tohoto modelu získáme. Tímto způsobem dostáváme dobréodhady pro měsíční, či roční úhrny koncentrací vztažené většinou na větší prostorová měřítka.Metoda je nejvíce využívána pro tzv. krizový management, kdy je třeba co nejjednodušeji anejrychleji učinit hrubý odhad znečištění apod. Podrobnější informace o povaze gaussovskýchmodelů lze najít v pracech [15], [13] a [14].Model je tedy založen na tom, že pro koncentradci platí tento vztah32

Kapitola 6: Modelování transportu pasivní přímesic(x) = K ( )v exp − x2, (6.1)σ 2kde c je jednorozměrná koncentrace pasivní přímesi, v je zprůměrovaná rychlost proudění,K je blíže nedefinovaná konstanta zahrnující veškeré prostorové a materiálové podmínky (vdalším textu ji blíže specifikujeme) a σ je rozptylový parametr, který není ničím jiným, nežsměrodatnou odhylkou normálního rozdělení.Rovnice (6.1) je samozřejmě nepoužitelná díky nespecifikovaným konstantám a také je nepříjemnějednodimenzionální. Pro přehlednost a sjednocení postupů a náhledů na problematikuje přesný tvar rovnice upraven metodikou Symos (více přímo oficiální metodika [13] a [14]). Dlemetodiky vyjadřujeme koncentraci plynné pasivní příměsi emitované ze stacionárního zdroje dlevztahuc(x, y, z) =10 6 M z.2π(σ y + σ y0 )(σ z + σ z0 )u h + V s(−y 2 ) ( )xexpexp −k2(σ y + σ y0 ) 2 u K h .I, (6.2)u hkde M z je emise kontaminantu, tedy pro bodové zdroje rovna hmotnostnímu toku za časovoujednotku, pro plošné zdroje je rovna hmotnostnímu toku za časovou jednotku z jednotkyplochy a pro liniové zdroje představuje hmotnostní tok násobený délkou liniového zdroje. Dálejsou V s objemový tok příměsi, u h je rychlost větru ve výšce h, σ y příčný horizontální rozptylovýparamtetr, σ z příčný vertikální rozptylový parametr a σ y0 a σ z0 jsou počáteční hodnoty rozptylovéhoparametru pro plošné a liniové zdroje (tedy jsou nulové pro bodové zdroje), ϑ je koeficientvyjadřující míru zvlněnosti terénu, h je výška umístění zdroje nad terénem, K h je koeficientzeslabení vlivu nízkých zdrojů na referenční body ve větších nadmořských výškách, k u je koeficientodstraňování, který zahrnuje suchou a mokrou depozici a míru chemické transpormacekontaminantu a kde výraz I je roven[ ()()()](z − h)2(z + h)2(z − h)2I = exp − + (1 − ϑ)exp − + (1 + ϑ)exp −2(σ z + σ z0 ) 2 2(σ z + σ z0 ) 2 2(σ z + σ z0 ) 2Pro výpočet koncentrace pevného kontaminantu lze použít obdobný vzorec, který zde uvedeme:c(x, y, z) =10 6 M z.2π(σ y + σ y0 )(σ z + σ z0 )u h + V s(−y 2 )expexp2(σ y + σ y0 ) 2(−k uxu h)K hr c ∑i=1α pi.I, (6.3)100kde konstanta M z je pro bodové zdroje rovna hmotnostnímu toku za časovou jednotku, proplošné zdroje je rovna hmotnostnímu toku za časovou jednotku z jednotky plochy a pro liniovézdroje představuje délkovou intenzitu hmotnostního toku násobenou délkou liniového zdroje.Dále je α pi procentuální zastoupení v jednotlivých třídách velikosti prašných částic. Zde jevýraz I roven33

Kapitola 6: Modelování transportu pasivní přímesi[ ()()()](z − H)2(z + H)2(z − H)2I = exp − + (1 − ϑ)exp − + (1 + ϑ)exp − ,2(σ z + σ z0 ) 2 2(σ z + σ z0 ) 2 2(σ z + σ z0 ) 2kde H = h + h gi je výška daná vztahemh gi = x.v giu h, (6.4)kde konečně v gi je pádová rychlost částic o průměru d i .Je vidět, že přesné vztahy pro praktické výpočty rozložení koncentrací nejsou sice diferenciální,ale vzhledem k jejich empirickému založení jsou poměrně plné mnoha specifiských konstant,jejichž úloha je dosti důležitá pro přesné určení hodnot. S výhodou se samozřejmě používá uživatelkypříjmených aplikací, pro výpočet koncentrací, které jsou implementačně velmi jednodušenaprogramovatelné.6.2 Lagrangeův popis šířeníNarozdíl od Gaussova modelu se snaží Lagrangeův model popsat transport méně empiricky.Popis využívá zjednodušenou diferenciální rovnici pro šíření koncentrace, pro jejíž řešení jenutno znát předem přesný tvar proudnic. Lagrangeova metoda se tedy aplikuje po vyřešenímodelu proudového pole nad územím. Výhodou je, že tento druh modelování už připouští fakt,že parametry proudění se v prostoru mohou měnit. Jediné omezení je tedy to, že Lagrangeůvpopis je vázán výhradně na směr proudnic. Dle práce [15] je možno tyto modely dále dělit na:• Jednoduché trajektoriové modely, které vytváří přibližné kvantitativní analýzy a jejichcílem je vytipovat například nejvíce zasažené oblasti a vytvořit hrubou představu o charakterupole znečištění.• Vlečkové modely, které modelují vlastní tvar kouřových vleček za pomoci různého pohleduna vertikální a horizontální charakteristiku rozptylu příměsí. Využívají tedy v podstatěGaussův model, který vylepší o přesnější tvar vleček.• Puff-modely, které rozdělují vlečku na několik dílů, tzv. puffů, které jsou unášeny prouděním.Dokáží pracovat s časově proměnnými parametry proudění a dovolují zahrnout i vlivchemických reakcí, ke kterým dochází při kontaktu různých látek s prostředímn apod.• Kvalitnější puff-modely, které za jistých podmínem dokáží i dále členit jednotlivé puffy atím modelování podstatně zdokonalit. Pomocí tohoto modelu se už dokážeme velice dobřepřiblížit skutečnému charakteru difúze nečistot v atmosféře.Obecněji lze nahlížet na Lagrangeův popis tak, že počítáme s jednotlivými částicemi kontaminantumodelově vnášenými do pole proudění, kdy je turbulentní rozptyl každé modelovéčástice, tedy vektor připočítávaný k poli proudění, řešen pomocí náhodného parametru a jedosahováno dosti realisticky vypadajících kouřových vleček. Naznačme způsob výpočtu:Pro polohu nové částice platíx i (t + ∆t) = x i (t) + (u i + u ′ i)∆t (6.5)34

Kapitola 6: Modelování transportu pasivní přímesiPřitom vektor turbulentních fluktuací u ′ lze dle [46] vyjádřit jakou ′ i(t + ∆t) = au ′ i(t) + bσ ui ξ + δ i3 (1 − a)T Li∂σ 2 u i∂t , (6.6)kde ξ je náhodný parametr, který se pohybuje v mezích od b = √ 1 − a 2 do a = e − ∆tT L .T L je Langrangeův integrální čas a σ je funkce rychlostní variace, která je odvozena z turbulentníkinetické energie k vztahem: σ u1 = 0, 91 √ k, σ u2 = 0, 52 √ k. Detailněji je praktický popisLagrangeovy metody řešení transportu uveden v pracech [46], [40] a [31].6.3 Eulerovská metodaTato metoda je založena na řešení rovnice transportu ve tvaru (3.19) nebo častěji ve zjednodušenémpřípadě ve tvaru (3.27). Tato parciální diferenciální rovnice je řešena přímo v soustavěrovnic, které komplexně popisují daný problém. Je to tedy metoda nejpřesnější, avšak výpočtověnejnáročnější. Je velmi vhodná zejména při určování přesného vertikálního profilu koncentraceznečištění, tedy hlavně v modelech znečištění městských zástaveb apod. Výpočtová složitosttkví samozřejmě v nutnosti znát přesně pole proudění v dané lokalitě. Nutno je poznamenat,že většina softwarových nástrojů pro řešení znečištění ve vodních zdrojích či v atmosféře majíEulerovu metodu výpočtu implementovánu.35

Kapitola 7Numerické řešení problémuZde bychom rádi provedli popis používaných numerických metod, které nachází uplatnění přiřešení problémů proudění v atmosféře. Nebudeme popisovat detailní schémata, ani dokazovatkonvergenci metod, ale uvedeme rozdělení základních metod a jejich stručný popis. Naznačímejak různé metody pracují a k jakým aplikacím se proto užívají. Podrobněji se lze o numerickýchmetodách dočíst v pracech [19], [33], [47] a také v základních textech [28], [29].7.1 Metoda konečných diferencíJedná se o jednu z nejzákladnějších metod řešení diferenciálních rovnic. Princip metody spočíváv tom, že derivace umíme rozumně nahradit diferencemi a tím v podstatě dostaneme z rovnicdiferenciálních soustavu rovnic algebraických, které následně řešíme iteračními nebo přímýmimetodami.Při použití této metody používáme jako výpočetní síť pravidelné rozdělění oblasti pomocíbodů na obdélníkové tvary. Metoda neumí zahrnout trojúhelníkový mash či podobné tvary.Metoda je nejvíce aplikačně vhodná na řešení 1D problémů. Někdy se pro svou relativnísnadnost implementace využívá u problémů pro oblasti 2D. Proč je metoda snadná si ukážemena následujícím vysvětlení vyjádření derivací. Uvažujme pro jednoduchost 1D případ. Nechťje f funkce, která ma na celé oblasti derivace alespoň do řádu 2. Použijeme klasické definicederivace pomocí limitydf(x) f(x + h) − f(x)= lim(7.1)dt h→0 hNumerická metoda funguje tak, že zvolíme parametr h dostatečně malý a aproximujeme takvýše uvedenou limitu. Parametr h je přitom závislý na hustotě bodů na dané oblasti. Pokud jel délka intervalu a n počet bodů na intervalu, tak samozřejmě platí h = l . Každou 1. derivacinmůžeme tedy nejjednodušeji vyjádřit taktodf(x)≈ f(x n) − f(x n−1 )dthAlternativně se však častěji používá numericky výhodnější schémadf(x)≈ f(x n+1) − f(x n−1 )dt2hDruhé derivace se dají odvodit analogicky.(7.2)(7.3)36

Kapitola 7: Numerické řešení problémuProblémy nastanou až u potřeby vyjádření nestacionárních jevů, tedy v případě, kdy se vrovnicích objevují časové derivace. Navíc v praktických aplikacích se časová diskretizace řeší metodamiRungeovými-Kuttovými, o kterých je možno se podrobně dočíst v práci [6]. Ve srovnánís komplikovaností následující metody konečných prvků je to však jen drobná komplikace a dáleuž se zde této metodě věnovat nebudeme, přičemž odkážeme na práci [18], kde je o implementacitéto metody pojednáno více i z praktického hlediska.7.2 Metoda konečných prvkůJedná se o velmi silnou metodu, která má narozdíl od metody konečných diferencí poměrněhluboký matematický základ a stojí na složitém aparátu funkcionální analýzy. Uveďme zdealespoň nástin problematiky.Metoda konečných prvků je jednou z variačních metod, které se snaží volbou vhodnýchbázových funkcí a vhodných koeficientů aproximovat co nejlépe daný charakter paricální diferenciálnírovnice. Při řešení se vychází z variační úlohy hlednání minima funkcionálu. Totodefinujme přesněji.Formulujme zde základy tzv. Ritzovy metody, která je základem pro metodu konečnýchprvků.Ritzova metodaJe nutno zavést pojem Hilbertova prostoru H, čímž budeme rozumět prostor funkcí omezenýna nějaké oblasti, na kterém je dobře definován skalární součin funkcí f, g ∈ H a to nejčastějivztahem(f, g) =∫abf(x)g(x)dx (7.4)Dále potřebujeme znalost pojmu funkcionálu, což je velmi stručně řečeno operátor zobrazujícísvůj definiční obor do množiny reálných čísel.Pokud bychom uvažovali parciální diferenciální rovnici Au = f, kde A je diferenciální operátor,který je pozitivní a symetrický (více o těchto pojmech v práci [28]), potom můžeme variačníproblém definovaný na prostoru H psát jako hledání minima funkcionálu F definovaného jako∫∫F u = (Au, u) − 2(f, u) = Au · udΩ − 2 f · udΩ (7.5)Tento funkcionál je nazýván funkcionálem energie a důležitá je nyní poměrně silná věta,která říká, že je-li u 0 z H obecným řešením problému Au = f, pak pro u 0 nabývá funkcionálenergie ostrého minima.Tento princip je základem celé metody. Samozřejmě nehledáme minimum funkcionálu energiena celém definičním oboru, ale jen na daném podprostoru, který má dimenzi problému. Praktickyřešíme úlohu hledáním koeficientů pro vhodně zvolené bázové funkce, tak aby funkcionál vracelminimální hodnotu. Hledáme přitom koeficienty a i pro bázové funkce ν i . Funkce u n je pak dánajakoΩΩn∑u n = a i ν i (7.6)i=137

Kapitola 7: Numerické řešení problémuTento postup tedy znamená převod s nekonečnědimenzionálních problémů na problémy skonečnou dimenzí a pro konečný počet bázových funkcí.Metoda konečných prvků je potom nic jiného než Ritzova metoda se speciální volbou bázovýchfunkcí ve formě tzv. spline funkcí.Oblast, na které řešíme problém musí splňovat Lipschitzovskost a pro praktické řešení jepak oblast rozdělena pomocí trojúhleníkové sítě. Někdy se používá síť čtyřúhelníková a častoi šestiúhelníková. Pro prostorové oblasti jde o dělení pomocí čtyřstěnů, pětistěnů či šestistěnů.Způsob, jak pokrývat konkrétní oblasti je velmi komplikovaný. Poskytuje nám však obrovskouvýhodu ve flexibilitě narozdíl od čtvrcových sítí používaných metodou konečných difernecí.Nejvýznamnější výhodou je možnost snadné volby zahuštění oblasti v místech, kde je potřebazvýšená preciznost výpočtu apod.Metoda konečných prvků je nejčastěji používána na řešení plošných problémů, kde se ukazujebýt nejvýhodnější. Naopak pro řešení 3D úloh zatím nedosahuje takových výsledků jako metodakonenčých objemů popsaná níže. Hlavní aplikace jsou při řešení nestacionárních úloh vedenítepla, simulaci pružnosti, modelování elasticity a mnoha dalších průmyslových problémech.Podrobnější aspekty, nechť čtenář vyhledá například v publikaci [17], která obsahuje rigoróznímatematický výklad a zejména pak i konkrétní postupy pro různědimenzionální problémy,které již přesahují rámec této práce.Galerkinova metodaNa Ritzovu metodu dále navazuje další důležitá metoda nazývaná nejčastěji Galerkinova nebotéž metoda vážených reziduí. Aproximaci přesného řešení se však snažíme hledat pomocí analýzyreziduí. Pokud je u p přesné řešení problému Au = f, pak tomuto řešení se přibližujeme shledaným řešením pomocí bázových funkcí, které je možno zapsat vztahem (7.6). Můžeme tedypsátn∑u p ≈ u n = a i ν i (7.7)i=1Aproximace řešení u n nesplňuje diferenciální rovnici přesně, tedy jeAu n − f = r ≠ 0, (7.8)kde jsme zavedli r jako reziduum. Galerkinova metoda nyní hledá takovou aproximaci, kterásplňuje podmínku ortogonality s váhovými funkcemi ω i . Ortogonalitu rozumíme ve smyslu skalárníhosoučinu na Hilbertově prostoru H, takže hledáme takové koeficienty a i , že∫∫ω(Au − f)dΩ = ω(AΩΩn∑a i ν i − f)dΩ = 0 (7.9)i=1Nyní se dostáváme k nejdůležitějšímu principu Galerkinovi metody, která z poměrně hlubokýchdůvodů mají speciální vyjádření váhových fukncí ω i , takové, že jsou váhové funkce bránypřímo jako funkce bázové, tedy platí ω i = ν i .Tímto jsme formulovali základy další variační metody, která se v technické praxi hojně užívápro svou relativně mnohem větší snadnost algoritmizace oproti Ritzově metodě a je velmi častoužíváná v řešičích založených na metodě konečných prvků.38

Kapitola 7: Numerické řešení problému7.3 Metoda konečných objemůNakonec se podrobněji zaměřme na vpodstatě nejpoužívanější numerickou metodu pro 3D oblastia pro systémy rovnic používané pro řešení proudění v atmosféře.Metoda konečných objemů vznikla teoreticky na začátku sedmdesátých let, ale podstatnějšíhorozmachu a popularizace zaznamenala až v letech osmdesátých.Základní myšlenkou této metody je vlastně rozdělění výpočtové oblasti na systém měnšíchpodoblastí - tzv. kontrolních objemů, které však nemusí nutně být totožné s buňkami sítě!Pro každý kontrolní objem poté aplikujeme systém rovnic zvlášť. Pro kontrolní objemy platícelá řada zajímavých vztahů, které dávají mnoho možností, jak problémy na celé oblasti velmizjednodušit. Uveďme zde například zákon zachování pro nějakou skalární veličinu A na oblastiΩ. Zákon zachování má potom tento tvar∫ ∮ ∫∂AdΩ + F dS = QdΩ, (7.10)∂tΩ∂ΩΩkde F vyjadřuje tok přes hranici oblasti Ω a Q je zdrojová funkce. Nyní si představme, žerozdělíme oblast Ω úsečkou mezi body X a Y , které leží na hranici oblasti, na dvě další oblastiΩ 1 a Ω 2 . Někde na hranici nové oblasti Ω 1 si představme pomocný bod W a na hranici novéoblasti Ω 2 pomocný bod Z. Pro každou z těchto oblastí můžeme napsat zákony zachování takto:∫∂AdΩ +∂tΩ 1∫∂AdΩ +∂tΩ 2∮↔W XY∮↔XY ZF dS =F dS =∫QdΩ (7.11)Ω 1∫QdΩ (7.12)Ω 2Snadno nahlédneme, že výše uvedené křivkové integrály přes hranici mají v obou rovnicíchspolečný úsek přes hranici oblastí mezi body X a Y . Je však zřejmé, že tyto integrály majístejnou velikost až na znaménko, které je díky opačnému směru integrace právě opačné. Tytointegrály se tedy vyruší! Toto je veledůležitá vlastnost, která značí jistou konzervativnost, kteroumusí mít i naše výsledné výpočtové schéma.Pokusme se ještě vyjádřit zákon zachování pro každý z kontrolních objemů a ne jen prodvě speciální oblasti. Představa je tedy taková, že máme vhodnou 1 oblast Ω s hranicí ∂Ω. Tutooblast aproximujeme polygonální oblastí Ω pol s hranicí ∂Ω pol . Vrcholy této hranice samozřejměleží na hranici ∂Ω. Nyní vytvoříme dělení oblasti pomocí buněk, tedy vlastně pokryjeme oblastΩ pol systémem podmnožin Ω i , což jsou naše kontrolní objemy s požadovanými vlastnostmi. Tytoobjemy mají potom prakticky tvar tetraedrický či hexagonální, což rozebereme v další kapitole.Pokud zavedeme pojem míry objemu oblasti jako µ(Ω i ), tak platí zřejmá nezápornost objemů,disjunktnost a úplnost pokrytí oblasti Ω pol . Tedy∀i je µ(Ω i ) > 0 (7.13)( )⋃⋂Ω i = Ω pol , µ Ω i = 0 (7.14)ii1 Myslíme tím, že oblast je jednoduše souvislá a omezená, což požadujeme spolu s disjunktností a konvexnostíbuněk dělení oblasti i pro další uvažované oblasti v této kapitole.39

Kapitola 7: Numerické řešení problémuDále musíme vyřešit problémy s navzájem sousedícími oblastmi. Označme tedy jako K imnožinu indexů všech sousedních oblastí s oblastí i-tého objemu, tedy prakticky těch buněk,které mají i-tou stěnu společnou. Uvědomme si tedy, že pro každou ze stěn buňky Ω i můženastat jedna z možností:1. Stěna leží na hranici ∂Ω pol , tedy náleží jen jedné buňce Ω i .2. Stěna leží právě ve dvou buňkách Ω i .Pokud buňka Ω i obsahuje alespoň jednu stěnu prvého typu, pak jí říkáme hraniční, jinakmluvíme o vnitřní buňce. Nadále uvažujme platnost výše znázorněné konzervativnosti v tokumezi buňkami. Zákon zachování potom můžeme napsat diskretizovaně pro každý jednotlivýkontrolní objem jako∂∂t (A iµ(Ω i )) + ∑ K iF nS i = Qµ(Ω i ), (7.15)kde n je vektor vnější normály k hranici a S i je plocha příslušné stěny buňky.Ukázali jsme si tedy názorně, jak funguje diskretizace výchozích rovnic.Základní výhodou metody je to, že díky své obecnosti je použitelná na mnoha různých typechsítě a to i v sítích strukturovaných do pravidelné struktury, ale i pro sítě jinak strukturované.Pro vybraný typ sítě máme základní problém s rozložením neznámých uvnitř. Jsou zde typickytři základní možnosti umístění:• cell centre - neznámé jsou umístěny do středů buňky sítě a hodnoty neznámých jsoustředovány v rámci buňky.• cell vertex - neznámé jsou umístěny do síťových bodů, tedy vlastně do rohů buněk ahodnoty jsou střední hodnotou vrámci daných hran.• cell edges - neznámé jsou umístěny do středů stěn buněk a hodnoty jsou střední hodnotouvrámci stěn.Všechny možnosti jsou navzájem často kombinovány či doplňovány o modely umělé disipace.Připomeňme nakonec, že metodu konečných objemů využívá také software Fluent, kterýmbudeme řešit náš konkrétní problém.40

Kapitola 8Tvorba výpočtové sítěV této části se pokusíme co nejstručněji a přitom jasně popsat vhodné postupy při zahrnutíkomplikovaného reálného terénu do matematického modelu. Při řešení problému nám vyvstáváněkolik zásadních otázek:1. Jak matematicky formulovat komplikovanou orografii?2. Jak vytvořit dobře aplikovatelnou výpočtovou síť, která bude schopná respektovat požadavkynáročné orografie a přitom se nesnažit nijak terén zhlazovat či modifikovat, abychomneztratili žádný ze zajímavých aspektů konkrétní oblasti (hluboká údolí, ostré hřebeny,sedlové body, kolmé stěny apod.).3. Jak zahrnout do výpočtové sítě model mezní vrstvy?4. Nakonec můžeme diskutovat nad hustotou sítě, tvarem buňek a také vstupními profily amodely turbulence.8.1 Zapracování komplikovaného terénu do výpočtové sítěExistuje obecně řada možností, jak zapracovat nerovnosti do výpočtové sítě.Jedním z nich je použít k vyjádření tvaru terénu matematických křivek. Tím dostáváme samozřejmějisté zkreslení. Další nevýhodou této metody je fakt, že zpracovat terén o větší rozlozetouto metodou je značně pracné a míra nepřesnoti se s topografickou složitostí samozřejmě zvyšuje.Metodu můžeme použít pro dílčí odhady či přibližná řešení, od kterých čekáme snadnouimplementaci a výpočetní složitost.V dnešní době je však mnohem výhodnější použít technologií pracujících na bázi systémůGis apod. Není žádný problém získat tzv. digitální model terénu pro jakékoliv území. Modelůje sice několik druhů a kvalitou se často liší. Princip funkce se však zachovává. Jde o to, žeterén je popsán digitálně vyjádřenými vrstevnicemi. Problém je v původu těchto vrstevnic.Moderní metody používají umělou digitalizaci na počítači. V těchto modelech terénu se všakčasto objevují zkreslené křivky a jisté chyby. My jsme při zpracování terénu oblasti východníchKrkonoš použili model terénu, který pochází z ručně překreslovaných starých map, kde je kvalitazakreslených křivek skutečně maximální.Cesta k matematickému popsání terénu nyní vede přes zpracování digitálního modelu vsoftwaru podobnému ArcGis, AcrView apod. My jsme zvolili software Illvis, který je distri-41

Kapitola 8: Tvorba výpočtové sítěbuován jako freeware a funkčně je pro naše účely naprosto dostačující. Zpracování terénu dálepokračuje v těchto bodech:1. Načtení podrobné mapy do softwaru.2. Výřez požadovaného území. V našem případě jsme použili území o rozměrech 10 km x 10km.3. Volba rozumné hodnoty nulové hladiny, tedy nastavení souřadnice nejníže položenéhobodu.4. Volba rozlišení bodů, jimiž budeme terén popisovat. V softwaru totiž prakticky potřebujemepřevést mapu ze svého klasického formátu do formy matice, kde figurují jako prvkysouřadnice jednotlivých bodů. V našem případě jsme vytvořili sít o hustotě bodů 1 bodna 25 m, 1 bod na 50 m a nakonec síť s hustotou 1 bod na 100 m.5. Ověření použitelnosti sítě v programu Gambit, který budeme používat ke tvorbě výpočtovésítě. Jde o to, že pokud síť obsahuje i nulové body, což se vcelku často stává, tak sivelice přiděláme práci v následném zpracování výpočtové sítě, neboť nám vznikne mnohonových umělých hran tím, že nulové body rozdělí například horizontální hranu na dvěapod. Tomuto často se vyskytujícímu se problému předejdeme snadno parametrizací nulovéhodnoty o několi málo metrů nad nulu. Tím jakoby uměle zvýšíme polohu terénu okonstantu v řádu metrů, což není na závadu a výpočet to samozřejmě nijak neovlivní.8.2 Tvorba sítěPro tvorbu sítě použijeme program Gambit a to z toho důvodu, že je navržen přímo prospolupráci s výpočtovým prostředím programu Fluent, který nám posléze poslouží k provedeníveškerých výpočtů.Tvorba výpočtové sítě, někdy je tento pojem nazýván tvorba gridu, je realizovatelná i dalšímizpůsoby, které nejsou závislé na žádných komerčních softwarech. Už v případě 2D oblastíje však gridování implementačně i výpočtově poměrně náročná záležitost. Navíc vzpoměňmena oddíl o tvorbě mashů pro metodu konečných prvků či galerkinovu metodu, kde existuje nespočetalgoritmů, jak danou oblast pokrýt pomocí různých buněk apod. Tato problematika jeskutečně maximálně náročná, nicméně je to alternativní cesta. Za diskuzi by stála úvaha, zdavýsledky dosažené pomocí gridu naprogravoného tzv. namíru dané oblasti budou srovnatelnés tím, co obdržíme s pomocí softwarů Gambit a Fluent. Dostatečně dobré zpracování gridua numerického schématu by však vydalo na práci rozsahem mnohem větší než je tato, neboťnáročnost problému je poměrně vysoká.Při tvorbě sítě postupujeme v principu tak, že nejprve načteme maticová data, která jsmeimportovali z digitální mapy, což jsme popsali výše. Poté je třeba nechat Gambit, aby vytvořilz těchto importovaných dat souvislou vrstvu, která následně bude tvořit nejdůležitější součástsítě, tedy reálný povrch. Při zadávání parametrů importů postupujeme vždy tak, abychomnijak neaproximovali, ani nezkreslovali tvar terénu. Zachování co nejvěrnějšího obrazu terénu jehlavní prioritou. Základní postupy tvorby sítě je velmi přehledně popsán i v práci [8] a kompletnídokumentaci je třeba hledat v příručce [22].Postup tvorby sítě popišme v následujících bodech.42

Kapitola 8: Tvorba výpočtové sítě1. Načtení dat o terénu a vytvoření vrstvy odpovídající reálnému terénu2. Přidání bočních stěn a horní hranice. Vytvoříme prakticky obdélník zadaných rozměrů,který je umístěn na reálný terén. Důležitá je volba vertikálního rozměru, který položímeroven 3000 metrům. Vzhledem k tomu, že vrchol Sněžky se nachází uvnitř oblasti, mámetak jistotu, že máme dostatek prostoru ve vertikálním směru pro všechny potřebné výpočty.3. Zkompletování všech stěn a průnik obdélníku s reálným terénem, více obr. (8.2). V tomtobodě je pracné vybrat skutečně tu oblast, která nás pro výpočet zajímá. Je potřeba odstranitobjem pod úrovní terénu a ponechat jen skutečnou výpočtovou oblast. Vzniknetedy nakonec celkem šest stěn. Čtyři kolmé boční stěny o délce 10 km a dále horní plochástěna čtvercového rozměru a spodní stěna ve tvaru terénu. Na obrázku (8.2) je vidětvýsledný objem.4. Následuje zadání mezní vrstvy, což detailně probereme v následující části této kapitoly.5. Dále zadáme charakter stěn s ohledem na to, jak se budou chovat ve smyslu toku veličinatd. Máme možnost zvolit, zda stěna bude tzv. inletová, tedy taková, že rychlost do oblastiproudí přímo skrze ní. Stejně tak můžeme nastavit, aby stěna byla pro proudění výstupní,tzv. outflow, nebo aby se chovala neutrálně, tzv. symetry. Samozřejmě je nutno si uvědomit,že touto volbou zadáváme prakticky předpoklad o volné hranici horní vrstvy, jakje uvedeno výše v kapitole o systémech rovnic. Tuto volbu jsme zadávali pro nevstupnía nevýstupní stěny a horní hranici. Spodní hranici zvolíme nejlépe jako tzv. wall, cožznamená, že se jedná o pevnou hranici s jasně zadanými hodnotami veličin.6. Nakonec je potřeba celou sít vyplnit mashem, tedy sítí, která tvoří výpočtové buňky. Jepraktické používat co nejvíce tetraedrální tvar buněk, neboť je výpočtově nejvýhodnější anejpřesněji umí zahrnout jak mezní vrstvu, tak komplikovaný terén. Bohužel je však vícenáročný na výpočtový čas a paměť. Z toho důvodu se často užívá tvaru hexagonálníchbuňek. Zadáme přesný typ a tvar buňky a hlavně hustotu bodů, neboli rozměr jednébuňky. Pro tetraedrální buňky volíme rozměry 100, 200 a 300 metrů. Pro hexagonálnírozměry 50, 100, 150.Tvorba sítě je přiblížena na následujících obrázcích.8.3 Model mezní vrstvy ve výpočtové sítiVzhledem k tomu, že chceme zahrnout do modelu zejména fakt, že se jedná o mezní vrstvuatmosféry, je třeba tento model nějak zahrnout do přípravy sítě. Samozřejmě je tento faktzahrnut i ve vstupním formátu modelu v programu Fluent a to nastavenám drsnosti terénua také volbou profilu v k − ɛ modelu turbulence. V tomto případě však promluvme o přímýchúpravách sítě. Vzhledem k tomu, že nejzajímavější děje z hlediska turbulence i proudění budouprobíhat těsně nad terénem, bylo by moudré tento fakt zohlednit tím, že výrazně zhustímevýpočtovou síť v nižžích výškách. V programu Gambit tohoto dosáhneme přidáním tzv. meznívrstvy. Což je přesně ono zhuštění bodů od hranice terénu až po zadanou výšku. Nastavujemevýšku implicitně 1000 m a volíme co možná nejmenší rozměr spodní buňky zhušťované sítě.V našem případě volíme 1 metr. Dále nastavíme koeficient zvětšování rozměrů pro následující43

Kapitola 8: Tvorba výpočtové sítěObrázek 8.1: Vlevo načtení terénu ve formě datového souboru a vpravo vytvořená vrstva spodníhranice.Obrázek 8.2: Vlevo přilepování dalších vrstev k terénu a vpravo výsledný objem sítě - prázdnýgrid.Obrázek 8.3: Vlevo výsledný objem sítě a vpravo tvar sítě z různých pohledů.44

Kapitola 8: Tvorba výpočtové sítěObrázek 8.4: Vlevo tvorba výsledné podoby sítě - nastavení tvaru mashů a vpravo výslednápodoba výpočtové sítě připravené pro vstup do numerického modelu.vrstvu. Tento koeficient je zvolen jako 1,2. Nakonec nastavíme homogenitu mezní vrstvy tím,že horizontální rozměry buněk mezní vrstvy budou stále stejně velké.Z experimentálních důvodů jsme vytvořili i 2 pokusné sítě (jednu hexagonální a jednu tetraedrickou)bez mezní vrstvy, abychom následně mohli porovnat vliv zadání mezní vrstvy domodelu.Jak prakticky vypadá vkládání mezní vrstvy do modelu ukazují následující obrázky.Obrázek 8.5: Vlevo tvorba mezní vrstvy bez sloučení se spodním okrajem a dalšími stěnami avpravo mezní vrstva nastavená a sloučená z celkovým objemem sítě.8.4 Zadání vstupních profilů rychlosti a modelu turbulenceKromě klasických Neumannových podmínek, tedy nulových derivací počítaných parametrů, jepotřeba zadat na stěnách konkrétní vstupní hodnoty veličin. Vzhledem k tomu, že nemáme k45

Kapitola 8: Tvorba výpočtové sítědispozici žádná experimentálně naměřená data, je třeba použít co nejlepšího odhadu. Rychlostníprofili na vstupu zvolíme podle odhadu chování rychlosti v mezní vrstvě atmosféry. Zvolímetedy logaritmický profil rychlostní složky, přičemž jako maximální hodnota profilu bude u všechpočítaných situací rychlost v 0 = 5 m.s −1 .Další podmínky je třeba určit pro teplotu, teplotní odchylky a tlak. Jako počáteční hodnotyjsou v celé výpočtové oblasti nastaveny teploty i teplotní odchylky nulové. Hodnota tlaku jenastavena také jako p 0 = 101, 25 kP a, která je však pokládána jako nulová, takže v následujícíchgrafických výstupech pro tlakové pole je na stupnici odchylka od nulové hodnoty.Turbulentní energii nastavíme na vstupních oblastech taktéž Neumannovými podmínkami.Na spodním okraji nastavýme Dirichletovu podmínku nulové rychlosti a teploty, která senejvíce blíží realitě a z numerického hlediska je výhodná.Vzhledem k tomu, že ve všech případech budeme počítat s k − ɛ modelem turbulence, jetřeba určit hodnoty parametrů k a ɛ, které vstupují do modelu. Vzhledem ke složitosti terénujsou oba parametry zohledněny stěnovými funkcemi, takže platík = u2 ∗√Cµ(8.1)ɛ = u3 ∗κz(8.2)Přičemž určíme hodnotu třecí rychlosti jako u ∗ = 1 m.s −1 .Zvolené vstupní hodnoty a profily jsou klasicky užívanou volbou pro tento typ modelování. Vpracech ([45]), ([46]), ([38]), ([7]) a ([6]) je uvedena velmi podobná volba podmínek. Problemaikaokrajových podmínek a vstupních profilů je z teoretického hlediska blíže diskutována také vpracech ([1]), ([4]), ([3]), ([12]) a ([26]).46

Kapitola 9Výsledky numerického modeluV této kapitole se snažíme prezentovat veškeré dosažené výsledky naší práce, ve které vyústilapředchozí hluboká teoretická průprava, zpracování digitálního modelu terénu, tvorba výpočtovésítě a mnohahodinové výpočty. Uveďme v bodech předpoklady výpočetního modelu.• Použity byly klasické výchozí rovnice (4.1) pro stlačitelné proudění.• Tlakové pole vstupující do momentových rovnic pro výpočet rychlosti je přitom korigovánopomocí tlakové rovnice, která je odvozena z rovnice kontinuity a z Navierových-Stokesových rovnic a je užívána pod názvem Simplec algoritmus, který vychází z jednoduššíhoSimple algoritmu. Přesné odvození Simplec metody je publikováno v práci[45].• Okrajové a počáteční podmínky jsou diskutovány v předchozí kapitole a vstupní profilyvětru jsou upřesněny v následujícím textu.• Model turbulence byl zvolen dvourovnicový k − ɛ model s rovnicemi (5.30).• U všech všech výpočtů s výjimkou sítě tetraedrální s rozměrem buňky 300 m, bylo použito1000 iterací. Situace nekonvergovala k pevnému bodu, což jsme očekávali a počet iterací1000 byl zvolen jako kompromis mezi precizností výpočtu a časovými možnostmi. Uvažmetotiž, že 1000 iterací proběhlo u všech sítí cca za 120 minut. V případě tetraedrální sítěvýpočet konvergoval už při počtu 350 iteracích a proběhl velmi rychle.• Je nutno zde uvést, že sítě pro digitální model terénu o rozměrech bodů 25 metrů a 50metrů, nebyly nakonec použity, neboť se ukázalo, že zvolený model v kombinaci s použitýmvýpočtovým strojem nedokázal takto husté sítě vůbec zvládnout.9.1 Způsoby prezentování výsledků výpočtů a grafickýchvýstupůGrafické výstupy budeme prezentovat s požadavkem co největší míry možnosti srovnámí vícedruhů sítí mezi sebou. Zde uveďme podrobnější specifikaci zkoumaných případů, které budemenásledně navzájem srovnávat a diskutovat.47

Kapitola 9: Výsledky numerického modelu1. Srovnáme výsledky pro síť založenou na hexagonálních buňkách se sítí tetraedrální a toobě bez začlenění mezní vrstvy. Hexagonální síť měla základní rozměr buňky 150 metrů,tetraedrická 200 metrů. U těchto sítí byla nastavena západní stěna jako vstupní, tedy tzv.inlet a východní stěna jako výstupní, tedy tzv. outflow. Modelováno je tedy výraznězápadní proudění.2. Ukážeme výsledky pro tetraedrální síť s rozměrem buněk 300 metrů. U této sítě uvažujemestejné vstupní podmínky jako v předchozím prípadě. Následně budeme diskutovat vlivhustoty sítě na konečný výsledek.3. Ukážeme výsledky pro nejvhodnější síť, tetraedrální s rozměrem buňky 200 metrů, a srovnámevýsledky pro celkem 7 různých situací:• Západní stěna je vstupní. Východní stěna je výstupní. Jde o výrazně západní proudění.Obdobně další tři hlavní směry, avšak s logicky jinými vstupními a výstupnímistěnami. Tedy jde dále o výrazně východní proudění, severní proudění a jižníproudění.• Západní a severní stěna jsou nastaveny jako vstupní. Vstupní proudění má v oboustejnou hodnotu a směr rychlosti míří k jihovýchodu. Jižní a východní stěna jsounastaveny jako výstupní. Jde tedy o výrazně severozápadní proudění.• Západní a severní stěna jsou nastaveny jako vstupní. Vstupní proudění má v oboustejnou hodnotu a směr rychlosti ze západní stěny je jihozápadní a ze severní stěnyseverozápadní. Jižní a východní stěna jsou nastaveny jako výstupní. Jde tedy o severozápadníproudění sloučené s prouděním jihozápadním. Tímto schématemjsme chtěli prozkoumat, jak se chovají dva na sebe narážející směry proudění, což jev krkonošské oblasti poměrně častým jevem.• Východní stěna je nastavena jako vstupní. Vstupní proudění má směr rychlosti mířícík severovýchodu. Severní stěna je nastavena jako výstupní. Jde tedy o výrazně jihozápadníproudění vstupující do oblasti pouze ze západní části. Tímto schématemjsme chtěli experimentovat s tím, jaká je schopnost proudění dostávat se skrze teréni do oblasti, které jsou prouděním téměř nezasažené.V následující tabulce jsou uvedeny všechny používané typy sítí, rozměrů buňek v metrech,použítí či nepoužití mezní vrstvy a směr vstupního proudění. Vzhledem k počtu sítí a jejichatribut je v celém přehledu poměrně zmatek.Ozn. Tvar buňěk Rozměr Mezní vrstva Směr prouděníA Hexagonální 150 ne západníB Tetraedrální 200 ne západníC Tetraedrální 300 ano západníD-1 Tetraedrální 200 ano západníD-2 Tetraedrální 200 ano východníD-3 Tetraedrální 200 ano severníD-4 Tetraedrální 200 ano jižníD-5 Tetraedrální 200 ano severozápadníD-6 Tetraedrální 200 ano severozápadní a jihozápadníD-7 Tetraedrální 200 ano jihozápadní48

Kapitola 9: Výsledky numerického modeluV dalším textu už budeme sítě zkráceně označovat dle znaků uvedených v prvním sloupci.Veškeré grafy jedné veličiny jsou vztaženy k jedné stupnici, která je u výsledků grafickyznázorněna. Všechny výstupy dané veličiny se tak dají navzájem srovnávat. Veškeré grafickévýstupy jsou k nalezení v přílohách této práce.9.2 Diskuze dosažených výsledkůVýpočetní oblast vznikla z digitálního modelu terénu. Jak bylo uvedeno, měli jsme k dispozicimodely terénu se vzdáleností bodů 25, 50 a 100 metrů. Je třeba říci, že pro nejhustší síť senepodařilo pomocí Gambitu jakoukoliv síť sestrojit, neboť to bylo výrazně nad paměťové pomožnostipoužívaného počítače. Pro takto husté sítě by bylo potřeba zmenšit výpočtovou oblastalespoň o jeden řád a počítat dále v mnohem menším měřítku. Šlo by však poté již o zcela jinýdruh modelování.Pro model o rozměrech 50 metrů se síť podařilo zhotovit. Jednalo se o hexagonální síť 1 smezní vrstvou. Tato síť však po následném započetí numerického výpočtu hlásila silné divergencez důvodu existence záporných objemů. Nepodařilo se tedy na takto husté síti výpočet dokončit.Neúspěch si lze vysvětlit komplikovaností terénu, kdy řešič softwaru Fluent narazil na oblast,která odporuje předpokladům užívaných numerických metod, viz kapitola (7).Použili jsme tedy nakonec jen modely se vzdáleností bodů 100 metrů a vytvořili celkem 10různých sítí, které jsou podrobně popsány výše.Výpočty na všech sítích proběhly bez problému a vyjma sítě C bylo nutno nastavit pevnýpočet iterací, neboť problém nekonvergoval do pevného bodu. To, že pro síť C byl problém velmirychle vyřešen po 350 iteracích si lze vysvětlit zejména tím, že síť měla rozměr tetraedrální buňky300 metrů, což je o 100 metrů více než byl parametr ostatních sítí.Pokud nahlédneme na výsledky numerického modelu uvedené v příloze, lze říci, že použitýmodel byl velmi vhodný, neboť získané výsledky jsou velmi konzistentní. Veškeré vypočtenérozložení veličin se mění dle parametrů terénu, ale není vidět žádná anomálie, která by nasvědčovalanapříklad systematické chybě způsobené numerickou metodou apod. Vzhledem k počtuprovedených výpočtů je vhodnost modelu vcelku dobře ověřena.Co se týká tlakového pole těsně nad terénem, tak je vždy vidět silné ovlivnění vstupnímprouděním, které čím dál od vstupní stěny slábne. Dá se říci, že průběh tlakového pole nenínijak překvapující.Zdařilý byl i výpočet pole turbulentní kinetické energie, která je jedním z hlavních ukazatelůna přítomnost turbulence. V blízkosti povrchu byla turbulence velmi patrná a závislá na směruproudění a topografii. Ve vyšších vrstvách nad povrchem už turbulence nehrála v podstatě roli,jak dokládají i grafické výsledky.Výsledky výpočtu rychlostních polí lze považovat za velice zdařilé. Ve všech sítích lze vidětsilné ovlivnění topografií terénu. Model dle očekávání odhalil několik míst, kde se tvoří silnévíry, či kde je směr proudění naprosto odlišný od hlavního proudění. Tato vlastnost je v horskémterénu velmi typická a náš model to dokládá.Značné jsou rozdíly mezi sítěmi, kde byla použita mezní vrstva a sítěmi bez jejího jakéhokolivzačlenění. Rychlostní pole v sítích bez mezní vrstvy (síťe A a B) je mnohem prudší a silnější připovrchu. Naopak u ostatních sítí, kde byl zpřesněn výpočet u povrchu dle modelu mezní vrstvyvidíme reálnější průběh pole rychlosti.1 Tetraedrickou se z podobných důvodů jako u sítě 25 metrové nepodařilo zhotovit.49

Kapitola 9: Výsledky numerického modeluExperimentální síť D-6 pomohla odhalit chování dvou na sebe narážejících proudění, což jev horských oblastech poměrně častý jev. Prokázáno bylo silné ovlivnění tlakového a zejménarychlostního pole až do vyšších vrstev atmosféry, což u jiných sítí nenastalo. Rychlost na střetuproudů dosáhla řádově téměř trojnásobku hodnot klasického proudění. Díky komplikovanémuterénu v okolí místa střetu proudů se oblast zvýšené rychlosti zdeformovala na mnohem komplikovanějšíoblast než by se dalo teoreticky očekávat.Díky síti D-7 jsme se přesvědčili o jistém vlivu terénu na přenášení efektů proudění i dooblastí, kam proudění přímno vůbec nezasahuje. Na bočních profilech rychlosti je však vidět,že až k okrajovému profilu proudění témeř nezasáhlo a bylo utlumeno předchozí topografií.Rozhodně se zde podařilo ukázat na velký význam samotného terénu na konkrétní charakterproudění a vznikající anomálie.Jinak je tvar proudových polí u všech sítí vcelku v očekávaných mezích a splňuje základníteoretické předpovědi. Za překážkami pozorujeme útlumy rychlosti, časté víry či jiné projevyturbulence.Dle očekávání se neprojevily žádné výkyvy hustoty prostředí, kterou jsme očekávali velmistabilní. Pouze v jednom případě se ukázal významnější tok hmoty nad terénem. Vzhledem ktomu, že se jednalo o terén C, který je velmi specifický velkými rozměry buňek, lze považovatvzniklý jev za projev anomálie, způsobené nepříliš přesným výpočtem v lokální oblasti.Podle očekávání jsou horní profily tlaku i rychlostí, až na výjimku sítě D-6, velmi stabilní aodpovídají předpokladu, že komplikovaný terén má vliv zejména na proudění v nižších vrstváchvzduchu a vzniklé zajímavosti v proudění se s výškou zhlazují.9.3 Vliv hustoty sítě, tvaru buněk a mezní vrstvy navýsledky výpočtuVycházejme z výše vedené diskuze nad výsledky modelu. Již bylo řečeno, že hustota sítě je spíšelimitujícím faktorem, který nás při modelování silně brzdí, pokud nemáme k dipozici skutečněsilné výpočetní stroje. Je tedy třeba uvážit kompromis mezi rozměry oblastí a jejich zahuštěním.Ověřili jsme, že pro lokálnější modely je rozměr 10 x 10 km velmi rozsáhlý a není výpočtovězvládnutelný.Výsledky sítě C, která byla extrémně řídká ve srovnání s ostatními, ukazují, že většina jevů jevelmi podobně vypočtena. Objevil se však extrémnější vír a s ním i značný tok hmotnosti, kterýmůže být způsoben lokální výpočtovou chybou. Z tohoto pohledu se zdá být síť C použitelnáspíše pro rychlé odhady, než pro kvalitní lokální úsudky.Při srovnání výsledků jediné hexagonální sítě A a sítí dalších vidíme, že nelze poukázat navýrazné odlišnosti. Síť A vykazuje lehce prudší proudové pole přes překázky, ale jinak je plnněsrovnatelná se sítí B. Rozhodně můžeme dle našich experimentů říci, že vliv tvaru buňek neníaž tak podstatný jako jejich rozměr a už vůbec ne jako začlenění mezní vrstvy!Sítě, které počítaly i s modelem mezní vrstvy doznaly dosti odlišných výsledků. Je tedy vidět,že zapojení modelu mezní vrstvy je pro získaný výsledek velmi důležitým měřítkem. Vzhledemk poznatkům o proudění v mezní vrstvě atmosféry lze říci, že sítě bez modelu mezní vrstvyjsou pro modelování proudového pole a potažmo i následně pro řešení transportu kontaminantuvcelku nevhodné. Proudění v těsné blízkosti terénu je o dost silnější a zdá se, že nedokážezahrnout reálné jevy jako drsnost, turbulenci apod.50

ZávěrV této práci se podařilo předvést stručný základ teorie matematického modelování proudění vmezní vrstvě atmosféry a transportu pasivní příměsi.Částečně odvozen a formulován je jak obecný model složený ze soustavy parciálních diferenciálníchrovnic. Dále je podáno odvození několika nejčastěji používaných zjednodušení obecnéhomodelu.Podrobněji je formulována i problematika turbulentního proudění a problém zahrnutí turbulencedo modelu obecně. Jsou odvozeny rovnice pro složky Reynoldsova tenzoru napětí aukázány další metody modelovaní turbulence s důrazem na hojně používaný k − ɛ model. Tentomodel je dále užíván v numerickém modelu.Stručně je v práci naznačena problematika numerických metod aplikovatelných na systémyparciálních diferenciálních rovnic s důrazem na metodu kontrolních objemů, kterou využívápoužitý numerický software.Podrobně je vysvětlen postup, jak zpracovat komplikovaný reálný terén a začlenit jej úspěšnědo matematického modelu. Podařilo se terén ve východních Krkonoších zpracovat několika způsoby,takže byl vytvořen vhodný prostor pro debatu o vlivech kvality vytvořené výpočtové sítěna výsledky modelu.Na všech vytvořených výpočtových sítích byl otestován výpočet. Pro vybrané sítě byl výpočetproveden i pro celkem sedm různých směrů větru, což umožňuje podrobněji pochopitcharakter problematiky proudění v dané oblasti.Z výsledků vyplývá, že zvolená oblast je z výpočtového hlediska abnormálně zajímavá. Prokaždý směr větru dostáváme dosti odlišné tvary proudnic i tlakové pole. Tento efekt je způsobenvelmi členitým terénem. Jinak je z výsledků patrná konzistence výstupů numerického modelu.Pro alternativní sítě bez mezní vrstvy či s jiným tvarem nebo hustotou bodů v oblasti jsouukázány výsledky a je uvedeno srovnání a diskuze ovlivnění výpočtu těmito faktory. Celkově seukazuje hustota výpočetní sítě u takto komplikovaných terénů jako významně limitující faktorpro pouhý průběh modelu. U řídké sítě byla prokázána konvergence problému už u 350 iterací,zatímco u velmi hustých oblasti software nedokázal výpočet provést. Mezní vrstva významněovlivňuje charakter proudění a zejména šíření rychlosti v oblasti.Díky množství provedených výpočtů a poměrně komplikované skladbě parametrů sítí jsmeprokázali jejich vliv na konečný výsledek. Tento fakt je na této práci snad nejcennější, ačkolivje třeba vždy přihlížet k individuálním vlastnostem dané oblasti či vstupního proudění, takženaše závěry rozhodně nelze brát za obecněji platné.Celkově byla práce vzhledem k předem stanoveným cílům velmi úspěšná. Důležitý je fakt,že tento text může být velmi vhodnou pomůckou pro budoucí řešitele problémů proudění vatmosféře nad komplikovaným terénem.51

Literatura[1] Allen S. J., Newberger P. A., 1993: On intermediate models for stratified fluid, Journal ofPhysical Oceanography, vol. 23, Oregon.[2] Anders, A., 1989:Evaluation of a Turbulence Closure Schneme Suitable for Air-PollutionApplications. Journal of applied Meteorology , Vol. 29, s. 224-239[3] Barrabaa S., 2002: Ecoulements turbulents stratifies et simulations des grandes echélles,Doctorat de l´université de Toulon et du Var, Toulon.[4] Baines P.G., 1998: Topographic Effects in Stratified Flows, Cambridge University Press.[5] Bednář J., Zikmunda O., 1985: Fyzika mezní vrstvy atmosféry, Academia, Praha.[6] Beneš L., 2000: Numerické řešení proudění v mezní vrstvě atmosféry, Disertační práce,České vysoké učení technické, Fakulta strojní, Praha.[7] Beneš L., Bodnár T., Kozel K., 2006: Matematické modely stratifikovaného proudění, Českévysoké učení technické, Fakulta strojní, Praha.[8] Beran, A., 2008: Využití CFD programu Fluent pro detailní řešení proudění v meznívrstvě atmosféry. Bakalářská práce, Česká zemědělaská Univerzita, Praha, 40 s.[9] Bezpalcová, K., 2002: Odhad rozložení koncentrací od liniového zdroje v kaňonu ulice metodoufyzikálního modelování. Bakalářská práce, Matematicko-fyzikální fakulta UniverzityKarlovy v Praze, 80 s.[10] Boratov, O., Eden, A., Erzan, A., 1996:Turbulence Modeling and Vortex Dynamics.Proceedingsof a Workshop Held at Istanbul, Turkey, 245 s.[11] Boussinesq, J., 1877: Theory of Turbulence Flows. Par Diverse a L´academic Des L´institude France, Vol. 41, s. 46[12] Brdička M., Samek L., Sopko B., 2005: Mechanika kontinua, Academia, Praha.[13] Bubník J., Keder J., Macoun J., Maňák J., 2003: SYMOS’97 Metodicka přiručka - doplněk.ČHMÚ, Praha.[14] Bubník J., Keder J., Macoun J., Maňák J., 1998: SYMOS’97 Metodicka přiručka. ČHMÚ,Praha.[15] Bučánek, A., 2007: Modelování transportu a šíření znečištění v atmosféře pomocí gaussovskýchdisperzních modelů. Bakalářská práce, MFF UK, Praha, 37 s.52

LITERATURA[16] Cederwall R. T., Street R. L., 1999: A study of turbulence in a evolving stable atmosphericboundary layer using Large-Eddy simulation, First international symposium on turbulenceand shear flow, California.[17] Čermák, L., 2005: Algoritmy metody konečných prvků. Fakulta strojního inženýrství, VUTBrno. Elektronický učební text.[18] Černý, R., 1997: Řešení transportních jevů na počítači. ČVUT Praha, 157 s.[19] Deardorff, J., W., 1970: A three-dimensional numerical study of turbulent channelflow atlarge Reynolds numbers. Journal Fluid Mechanics, Vol. 41, s. 453[20] Dubrulle, B., Graner, F., Sornette, D., 1997: Scale invariance and beyond. EDP Sciences,Paris, 286 s.[21] Fluent Inc., 2006: Fluent documentation – user´s guide: Tutoriál guide. Manuál k programu.[22] Fluent Inc., 2006: Gambit documentation – user´s guide: Tutoriál guide. Manuál k programu.[23] Frisch, U., 1995: Turbulence. Cambridge University Press, Cambridge, 289 s.[24] Grimshaw R., 2002: Enviromental stratified flows, Kluwer Academic Publishers, Massachusetts.[25] Hůnová, I., Janoušková, S., 2004: Úvod do problematiky znečištění venkovního ovzduší.Univerzita Karlova v Praze, 144 s.[26] Jaňour Z.: Modelování mezní vrstvy atmosféry, Učební texty University Karlovy, Praha,2001.[27] Kos, I., Belušič, D., Jeričevič, A., 2004: Initial development of the Atmospheric LangrangianParticle Stochastic (ALPS) Dispersion Model. Geofizika., Vol. 21, s. 37-52[28] Kozel, K., 2000: Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic. ČVUT Praha, 57 s.[29] Kozel, K., Fořt, J., 2003: Numerické metody řešení problémů proudění II. ČVUT Praha,63 s.[30] Křivonožka J., 2007: Matematické modelování stratifikovaného proudění, Bakalářská práce,Univerzita Karlova, Matematicko-fyzikální fakulta, Praha.[31] Kurbanmuradov, O., Sabelfeld, K., 2004: Stochastic Lagrangian Models for TurbulentDispersion in Atmospheric Boundary Layer, Centre for Physics and Mathematics, TurkmenianState University.[32] Kurien S., Smith L. M., Wingate B. A., 2002: A novel investigation of rotating and stratifiedflows, Los Alamos Report, Los Alamos National Laboratory.[33] Mellor, G., L., 1973: Analytic prediction of the properties of stratified planetary surfacelayers. Journal Atmospheric sciences, Vol. 30, s. 1059-107053

[34] Mellor, G., L., Yamada, T., 1974: A hierarchy of turbulence closure models for planetaryboundary layer. Journal Atmospheric sciences, Vol. 31, s. 1780-1810[35] Nagano, Y., Hishida, M., 1987: Improved Form of the k-eps Model for Wall Turbulent ShearFlows. Journal Fluid Eng., Vol. 109, s. 156-160[36] Najnarová, E., 2007: Chemie troposféry – reakční schéma oxidačního smogu. Bakalářskápráce, Česká zemědělaská Univerzita, Praha, 40 s.[37] Novotný, R., Pech, P., 2008: Teorie polí v mechanice spojitých prostředí. ČZU v Praze, 260s.[38] Riley J. J., 2002: Turbulence in density-stratified flows, Mechanical engeneering faculty,University of Washington, dostupné na internetové adrese:http://faculty.washington.edu/rileyj/strat.html[39] Rofail N., 1977: A mathematical model of stratified groundwater flow, Hydrological SciencesBulletin, Káhira.[40] Ross, N., O., 2004: Recipe for 1-D Lagrangian particle tracking models in space-varyingdiffusivity. Limnology and Oceanography: Methods., Vol. 2, s. 289-302[41] Sládek I., 2004: Numerical solution of some problems in atmospheric boundary layer, Disertačnípráce, České vysoké učení technické, Praha.[42] Smyth N. F., 1988: Dissipative effects on the resonant flow of a stratified fluid over topography,Journal for fluid mechanics.[43] Straka et. al., 1993: Numerical Solutions of a Nonlinear Density-Current, InternationalJournal for Numerical Methods in Fluids, dostupné na internetové adrese:http://www.mmm.ucar.edu/projects/srnwp tests/density/density.html[44] Vacková, V., 2008: Systém ochrany ovzduší v ČR na jednotlivých úrovních státní správy.Bakalářská práce, Česká zemědělaská Univerzita, Praha, 65 s.[45] Vach, M., 2001: Modelování mezní vrstvy atmosféry v oblasti anemo-orografického systémuKrkonoš. Disertační práce, Česká zemědělská Univerzita, Praha, 49 s.[46] Vach, M., 2006: Transport v atmosféře a dalších složkách prostředí. Habilitační práce, Českázemědělaská Univerzita, Praha, 102 s.[47] Yamada, T., Mellor, G., L., 1975: A simulation of the Atmospheric Boundary Layer Data.Geophysical Fluid Program, Princeton University.54

Příloha AHlavní grafické výstupy - pro všechnysítěGrafické výstupy budou prezentovány v následujícím pořadí a to vždy pro všechny typy sítí.Podrobnosti k jednotlivým vizualizacím jsou vždy uvedeny v příslušné sekci.A.1 Použité druhy sítíČtyři základní typy sítí, na kterých se další výsledky počítaly.A.2 Tlakové pole těsně nad terénemTlakové pole těsně nad terénem při pohledu shora.A.3 Turbulentní kinetická energie těsně nad terénemRozložení turbulentní kinetické energie, která vyjadřuje míru turbulence v oblasti, těsně nadterénem.A.4 Vektory rychlosti těsně nad terénemRychlost ve formě vektorů těsně nad terénem při pohledu shora.A.5 Kónické vektory rychlosti těsně nad terénem - hornía boční náhledStejná veličina, jen při použití kónických vektorů pro vizualizaci rychlostního pole. Použit jeboční náhled a pohled shora, v obou případech s vykreslením konkrétní sítě.55

Obrázek A.1: Použité výpočetní sítě. Nahoře se jedná o síť hexagonální bez mezní vrstvy, doletetraedrickou o rozměrech buňky 300 m.56

Obrázek A.2: Použité výpočetní sítě. Nahoře se jedná o tetraedrickou síť s rozměrem buněk 200metrů a s mezní vrstvou při východním a dole při jižním proudění.57

Obrázek A.3: Tlakové pole těsně nad terénem. Shora a zleva jde o sítě A, B, C, D-1 a D-2.58

Obrázek A.4: Tlakové pole těsně nad terénem. Shora a zleva jde o sítě D-3, D-4, D-5, D-6 aD-7.59

Obrázek A.5: Pole turbulentní kinetické energie k těsně nad terénem. Shora a zleva jde o sítěA, B, C, D-1 a D-2.60

Obrázek A.6: Pole turbulentní kinetické energie k těsně nad terénem. Shora a zleva jde o sítěD-3, D-4, D-5, D-6 a D-7.61

Obrázek A.7: Vektory rychlosti těsně nad terénem při pohledu shora. Shora a zleva jde o sítěA, B, C, D-1 a D-2.62

Obrázek A.8: Vektory rychlosti těsně nad terénem při pohledu shora. Shora a zleva jde o sítěD-3, D-4, D-5, D-6 a D-7.63

Obrázek A.9: Kónické vektory rychlosti těsně nad terénem při bočním pohledu a s vykreslenímsítě. Shora a zleva jde o sítě A, B, C, D-1 a D-2.64

Obrázek A.10: Kónické vektory rychlosti těsně nad terénem při pohledu shora a s vykreslenímsítě. Shora a zleva jde o sítě D-3, D-4, D-5, D-6 a D-7.65

Obrázek A.11: Kónické vektory rychlosti těsně nad terénem při pohledu shora a s vykreslenímsítě. Shora a zleva jde o sítě A, B, C, D-1 a D-2.66

Obrázek A.12: Kónické vektory rychlosti těsně nad terénem při bočním pohledu a s vykreslenímsítě. Shora a zleva jde o sítě D-3, D-4, D-5, D-6 a D-7.67

A.6 Vektory rychlosti pro boční profilJde o velmi důležitý vertikální profil rychlosti na bočním řezu oblasti. Pro severní, jižní, východnía západní proudění je brán takový profil, který je podélný se směrem proudění. Pro zbylé případyje brán profil rovnoběžný s jižní stěnou. Tato volba je pro prokázání zajímavých jevů v oblastipravděpodobně nejlepší. Stupnice je shodná jako v minulých dvou vizualizacích.Obrázek A.13: Vektory rychlosti na bočním profilu. Shora jde o sítě A, B, C, D-1.68

Obrázek A.14: Vektory rychlosti na bočním profilu. Shora jde o sítě D-2, D-3, D-4, D-5, D-6,D-7.69

A.7 Rychlostní pole pro boční profilStejný případ jako v předchozí části, ale vykresleno je rychlostní pole místo vektorů. Stupniceje shodná jako v minulých třech vizualizacích.Obrázek A.15: Rychlostní pole na bočním profilu. Shora jde o sítě A, B, C a D-1.70

Obrázek A.16: Rychlostní pole na bočním profilu. Shora jde o sítě D-2, D-3, D-4, D-5, D-6 aD-7.71

Příloha BVedlejší grafické výstupy - jen provybrané sítěDále uvedeme pro zajímavost jen pro vybrané profily následující výsledky. Považujeme za zbytečnéje uvádět pro všechny typy sítí, neboť jsou u všech sítí přibližně srovnatelné a liší se jenvýjimky, které chceme ukázat, nebo jde o ilustrační případ, který je totožný pro všechny sítěapod. Na druhou stranu považujeme za důležité pro kompletnost výstupů z našeho výpočtu ityto výsledky uvést. Jde tedy o následující veličiny a jejich vizualizaci.B.1 Hustotní pole a tok hmoty nad terénemVe všech případech je velmi nezajímavé a je prakticky shodné pro všechny sítě. Uvedeno budepro síť D-1.Tok hmoty nad terénem (v kg.s −1 ) je uveden speciélně pro síť C, kde se jako u jediné objevilnetriviální výsledek. Viz průběh rychlosti v této síti, kde je v severovýchodním rohu vidět velmisilný vír, který je zapříčiňuje velmi zajímavý lokální tok hmoty v daném místě.B.2 Rychlostní pole na horní hranici oblastiUvádíme srovnání typického nezajímavého příkladu pro síť D-1 a sítě D-6, kde jde o střet dvouproudění, což výrazně ovlivní i profil rychlosti vysoko nad terénem. Použita je stejná barevnástupnice jako u předchozích rychlostních vizualizací.B.3 Tlakové pole na horní hraniciTaké vcelku nezajímavá veličina, jejíž hodnota je pro všechny sítě prakticky shodná. Uvedenobude pro síť D-1. Pro lepší možnot srovnání je zobrazeno také tlakové pole těsně nad terénempro stejnou síť. Stupnice je stejná jako v předchozích tlakových vizualizacích.B.4 Turbulentní viskozita na horní hranici terénuUvedeno za všechny na terénu D-1 jako ověření předpokladu, že turbulence je ve větších výškáchnad terénem prakticky nulová.72

Obrázek B.1: Nahoře rozložení hustoty při použití sítě D-1. Dole pak tok hmoty nad terénempro síť C.73

Obrázek B.2: Rychlostní pole u horní hranice výpočetní oblasti. Vlevo síť D-1 s klasickýmzápadním prouděním a vpravo síť D-6, kde jde o střet proudění jihozápadního a severozápadního.Obrázek B.3: Tlakové pole při horní hranici výpočetní oblasti při použití sítě D-1. Vpravo pakpro srovnání tlakové pole těsbně nad terénem pro stejnou síť.74

Obrázek B.4: Tlakové pole při horní hranici výpočetní oblasti při použití sítě D-1. Vpravo pakpro srovnání tlakové pole těsně nad terénem pro stejnou síť.B.5 Typický histogram rychlosti v oblastiZa všechny ukázano na síti D-1. Histogramy dalších sítí vykazovaly stejnou strukturu, což svědčío tom, že model dává pro různé proudění v různých typech sítě, ale na stejném terénu velmikonzistentní výsledky.B.6 Typický graf závislosti velikosti rychlosti na horizontálnísouřadniciZa všechny opět uvedeno pro síť D-1.75

Obrázek B.5: Typický histogram rychlosti v bočním profilu pro síť D-1. Na horizontální ose jezobrazena rychlost v m.s −1 . Na vertikální ose je procentuální zastoupení dané hodnoty veličinna horizontální ose.Obrázek B.6: Typický graf rychlosti v bočním profilu pro síť D-1. Na horizontální ose je zobrazenapozice v m. Na vertikální ose je hodnota rychlosti v m.s −1 .76